第六章 插值与逼近

若记n+1(x)=(x-x0)(x-x1)…(x-xn),则lk(x)可写成 n 1 ( x) l k ( x) 1 ( x k ) ( x x k ) n 若取(x)=xk (k=0,1,…,n),由插值多项式的唯一性有
i 0 k k l i ( x) xi x n
L2(x)是过点(x0,(x0)),(x1,(x1))和(x2,(x2))的抛物线.
Lagrange插值多项式简单而优雅, 只要取定节点就可
写出基函数,进而得到插值多项式.易于计算机上实现.
为了研究插值多项式的近似程度,记
Rn(x)=(x)-Ln(x)
称为n次Lagrange插值余项.
定理6.2
L1 ( x)
x x0 x x1 f ( x0 ) f ( x1 ) x 0 x1 x1 x 0
易见,L1(x)就是过点(x0,(x0))和点(x1,(x1))的直线. 例2 求(x)关于节点x0,x1,x2的二次Lagrange插值多 项式.
解
对节点x0,x1,x2的Lagrange插值基函数为
, k 0,1, , n
特别当k=0时,有
i 0
l i ( x) 1
n
例1 求(x)关于节点x0,x1的线性Lagrange插值多项式
解 于是有
对节点x0,x1,Lagrange插值基函数为
x x1 l 0 ( x) x 0 x1 , l1 ( x) x x0 x1 x 0
( x x1 )( x x 2 ) l 0 ( x) ( x 0 x1 )( x 0 x 2 ) l 2 ( x) ( x x 0 )( x x1 ) ( x 2 x 0 )( x 2 x1 ) ( x x 0 )( x x 2 ) , l1 ( x) ( x1 x 0 )( x1 x 2 ) ,
k 0
n
(6.4)
就是函数(x)满足插值条件(6.2)的n次插值多项式.
称lk(x)(k=0,1,…,n)是关于节点xk (k=0,1,…,n)的n
次Lagrange插值基函数,(6.4)式确定的n次多项式Ln(x)称 为n次Lagrange插值多项式. 由于lk(x)满足:lk(xj)=0,(j=0,1,…,k-1,k+1,…,n), 所以可设 lk(x)=c(x-x0)(x-x1)…(x-xk-1)(x-xk+1)…(x-xn) 再由lk(xk)=1确定c,从而有
于是有
( x x 0 )( x x 2 ) ( x x1 )( x x 2 ) L2 ( x ) f ( x0 ) f ( x1 ) ( x 0 x1 )( x 0 x 2 ) ( x1 x 0 )( x1 x 2 ) ( x x 0 )( x x1 ) f ( x2 ) ( x 2 x 0 )( x 2 x1 )
( n 1)
(6.5)
其中x(a,b)且与x有关.
证
由于Rn(xi)=(xi)-Ln(xi)=0(i=0,1,…,n),所以
Rn(x)=C(x)n+1(x) 对于任一x[a,b],xxi(i=0,1,2,…,n),构造函数 (t)=(t)-Ln(t)-C(x)n+1(t)
则有
(xi)=0 (i=0,1,2,…,n), (x)=0
Pn ,则pn(x)=a0+a1x+…+anxn是由n+1个系数唯一确定的.若
xn
x
pn(x)满足插值条件(6.2),则有
2 n a n x0 y0 a 0 a1 x 0 Baidu Nhomakorabeaa 2 x 0 2 n a 0 a1 x1 a 2 x1 a n x1 y1 a a x a x 2 a x n y 0 1 n 2 n n n n
n x x j ( x x 0 )( x x1 ) ( x x k 1 )( x x k 1 ) ( x x n ) l k ( x) 0 x x ( x k x 0 )( x k x1 ) ( x k x k 1 )( x k x k 1 ) ( x k x n ) jj j k k
插值方法,这里主要讨论函数类
y
y=(x) y=pn(x)
P是代数多项式,即所谓的多项
式插值. 多项式插值,从几何上 看就是要求过n+1个点(xk ,yk) (k=0,1,…,n)的n次代数曲线 o x0 x1 ……
y=pn(x)作为(x)的近似. 用Pn表示所有次数不超过n的多项式函数类,若pn(x)
其系数行列式为
D 1 x0 1 x1 1 xn
n x0 x1n
1 x0
n x0
1 x1 x1n

1
n xn
xn ( x j xi ) 0 0i j n
n xn
定理6.1
给定n+1个互异节点x0,x1,…,xn上的函数值
y0,y1,…,yn ,则满足插值条件(6.2)的n次插值多项式pn(x)
即,(t)在[a,b]至少有n+2个零点. 由Rolle定理可知(t)
是存在且唯一的.
§2 Lagrange插值多项式
对n+1个节点x0,x1,…,xn ,构造n+1个n次多项式l0(x), l1(x),…,ln(x),使满足 li(xj)=ij ,i,j=0,1,…,n (6.3)
那么
Ln(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+…+ln(x)yn l k ( x) y k
设(n)(x)在[a,b]连续, (n+1)(x)在(a,b)内
存在,在节点ax0<x1<…<xnb上, 满足插值条件(6.2)的插 值多项式Ln(x),对任一x[a,b],插值余项为
( x ) R n ( x ) f ( x ) Ln ( x ) n 1 ( x) (n 1)! f