第六章 插值与逼近
插值与逼近
l2 ( x) ( x x0 )(x x1 ) ( x2 x0 )(x2 x1 )
l1 ( x) ( x x0 )(x x2 ) ( x1 x0 )(x1 x2 )
插值的概念
插值是由离散数据来构造一个函数的近似函数 的重要方法, 插值要求近似函数与被近似函数 在一些点处取相同的函数值,甚至导数值. 已知函数y=f(x)在[a, b]中n+1个互异点x0, x1, …, xn上的函数值分别为f(x0), f(x1), …, f(xn) ，构造 一个简单的函数P(x)，满足条件 P(xi)=f(xi) (i=0,1,…n) (*) 称这类问题为插值问题，称P(x)为函数f(x)的插 值函数， f(x)为被插值函数，点x0, x1, …, xn为 插值节点，称(*)为插值条件.
由差均的定义 f(x)=f(x0)+f[x0,x](x-x0) f[x0,x]=f[x0,x1]+f[x0,x1,x](x-x1) f[x0,x1,x]=f[x0,x1,x2]+ f[x0,x1,x2, x](x-x2) …… f[x0,x1,…,xn-1, x]= f[x0,x1,…,xn]+ f[x0,x1,…,xn, x](x-xn) 反复将后一式代入前一式得 f(x)=f(x0)+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1) +…+ f[x0,x1,…,xn](x-x0)(x-x1)…(x-xn-1) + f[x0,x1,…,xn, x](x-x0)(x-x1)…(x-xn)
f ''( ) E ( x) f ( x) L1 ( x) ( x x0 )( x x1 ) 2! ( x1 x0 )2 E( x) f ( x) L1 ( x) max f ''( x) 8 a x b
数学中的函数逼近与插值方法
数学中的函数逼近与插值方法函数逼近和插值方法是数学中重要的概念与技术。
在数学与应用领域，我们经常会遇到需要近似计算或者重建一个函数的情况。
函数逼近和插值方法提供了一种有效的手段，能够用一个简单的函数或者曲线来近似代替原函数，并在一定程度上保留原函数的性质与结构。
1. 函数逼近在函数逼近中，我们需要给出一个近似函数，使其能够在原函数的一定范围内进行准确的近似。
这一方法常用于数据分析和拟合，以及在一些数学问题中的近似求解。
常见的函数逼近方法包括最小二乘逼近、Chebyshev逼近和插值型逼近等。
最小二乘逼近是一种通过使残差平方和最小化来确定近似函数的方法。
它的基本思想是将原函数表示为一个线性组合，通过求解线性方程组的最优解来确定系数。
Chebyshev逼近使用Chebyshev多项式来逼近函数。
这种方法的优点是能够在给定的逼近度下，取得最均匀的最小误差。
插值型逼近则是通过在一些数据点上确定一个插值多项式，然后用该多项式来逼近原函数。
这种方法的优点是能够在给定的数据点上实现完全的逼近。
2. 插值方法插值方法是一种通过给定的数据点来确定一个连续函数的方法。
在插值中，我们希望找到一个函数，使其通过给定的数据点，并且能够在这些点之间进行连续的插值。
常见的插值方法包括线性插值、拉格朗日插值和样条插值等。
线性插值是一种简单的插值方法，它假设插值函数在两个给定数据点之间是线性的。
通过连接两个邻近点，我们可以得到一个线性函数来近似整个区间上的函数。
拉格朗日插值是一种通过拉格朗日多项式来插值的方法。
它的基本思想是通过在每个数据点上构造一个插值多项式，然后将这些多项式进行线性组合来得到插值函数。
样条插值是一种在给定数据点上通过拟合一系列分段低次多项式来插值的方法。
这样可以在各个小区间上获得更好的逼近效果。
总结起来，函数逼近与插值方法是数学中重要且常用的技术。
它们在数学建模、数据分析以及计算数值方法中都起到了关键的作用。
数学中的函数逼近与插值
数学中的函数逼近与插值数学中的函数逼近与插值是一门重要的数学分支，通过近似求解函数与数据之间的关系，可以快速计算和预测未知的数值。
本文将介绍函数逼近与插值的基本概念和方法，并探讨其在实际应用中的价值和意义。
一、函数逼近函数逼近是指通过一系列已知的数据点来建立一个近似的函数模型，以便于计算和预测未知的数值。
在实际应用中，我们经常需要使用函数逼近来处理大量的数据，从而节省计算和存储资源。
1.1 最小二乘法最小二乘法是函数逼近的常用方法，它通过最小化实际观测数据与模型预测值之间的误差平方和，来确定函数逼近的参数。
最小二乘法可以应用于线性和非线性函数逼近，是一种广泛使用的数学工具。
1.2 插值法插值法是函数逼近的一种常见技术，它通过已知的数据点构建一个多项式函数，以逼近未知的函数模型。
插值法可以根据数据点的特点选择不同的插值多项式，如拉格朗日插值、牛顿插值等。
插值法在图像处理、信号处理等领域有广泛应用。
二、函数插值函数插值是指通过已知的数据点来构建一个连续的函数模型，以便于在任意位置计算函数值。
函数插值在数学、计算机科学和工程领域具有重要的应用价值。
2.1 插值多项式插值多项式是函数插值的一种常用方法，它通过已知的数据点构建一个多项式函数，以逼近未知的函数模型。
插值多项式可以使用拉格朗日插值、牛顿插值等方法进行构造，这些方法在实际应用中具有较好的效果。
2.2 样条插值样条插值是一种更加精确和平滑的插值方法，它通过已知的数据点构建一系列分段连续的多项式函数，以逼近未知的函数模型。
样条插值可以解决插值多项式在几点处不光滑的问题，常用的样条插值方法有线性样条插值、二次样条插值和三次样条插值等。
三、函数逼近与插值在实际应用中的意义函数逼近与插值在科学研究和工程实践中具有广泛的应用，对于大数据处理、数值计算和机器学习等领域具有重要的作用和意义。
3.1 数据拟合与预测函数逼近与插值可以通过已知的数据点建立一个模型，从而对未知的数据进行拟合和预测。
逼近方法和插值方法的比较
逼近方法和插值方法的比较逼近方法和插值方法是数值分析中常用的两种数据处理技术，它们可以用于解决各种数学问题，例如函数逼近、信号处理、图像处理等。
虽然这两种方法都可以用于拟合数据，但是它们的原理与应用有很大的不同。
在本文中，我们将对逼近方法和插值方法进行比较，并分析它们的优缺点和应用场景。
一、逼近方法逼近方法是一种利用数学模型对实际数据进行拟合的方法。
与插值方法不同，逼近方法不要求通过数据点来直接计算出函数值，而是要求在整个拟合域内，最小化实际数据与拟合函数之间的误差。
因此，在逼近方法中，拟合函数不需要通过所有数据点，只需要通过一部分数据点，从而能够更好地逼近真实的函数。
逼近方法中常用的模型包括多项式模型、三角函数模型、指数模型、小波模型等。
逼近方法相较于插值方法的优点在于，它对数据中的噪声具有一定的容忍度。
由于在逼近过程中，并不要求通过所有数据点，因此可以为一些离群点和噪声点留下一定的空间。
而插值方法则要求通过所有数据点，一旦数据出现噪声点或者离群点，就会对插值结果产生极大的影响。
逼近方法缺点在于，由于逼近过程是基于模型的，因此需要先选定一种适合于实际数据的模型，否则拟合结果可能无法正确表达数据的真实本质。
逼近方法适用于数据比较平滑的情况，例如时间序列数据、声音处理等。
通过选取合适的模型，逼近方法可以更好地保留数据的特征，同时对于部分离群点的情况，也可以提供一定程度的容忍度。
二、插值方法插值方法是一种通过已知数据点，在数据点之间进行插值计算出未知数据点的数值的方法。
插值方法要求通过每个数据点，计算出它们之间的函数值，从而构建出全局的函数。
常见的插值方法包括拉格朗日插值法、牛顿插值法、分段线性插值法、三次样条插值法等。
插值方法的优点在于，它可以精确地通过所有数据来计算未知数据值。
但是，插值方法的缺点在于，它对于数据的噪声敏感，并且过度拟合的可能性会很大。
当数据点过多时，插值方法会使插值函数波动较大，从而无法反映数据的真实本质。
课件：插值与逼近
f(x2) f[x1,x2]
f(x3) f[x2,x3]
¦
¦
f(xn) f[xn-1,xn]
f [x0,x1,x2] f[x1,x2,x3]
¦
f[xn-2,xn-1,xn]
f[x0,x1,x2,…,xn]
• 差商的性质
1. 差商关于所含节点是对称的,即与节点位置无关.
2. f[x0,x1,…,xn]＝
• 逼近的度量方式的要求 ：插值,一致逼近,平方逼近(要求必 须提得合理否则无解或许多解),
• 如何构造逼近函数P(x).
• 逼近的效果.
插值的概念
• 插值是由离散数据来构造一个函数的近似函数 的重要方法, 插值要求近似函数与被近似函数 在一些点处取相同的函数值,甚至导数值.
• 已知函数y=f(x)在[a, b]中n+1个互异点x0, x1, …, xn上的函数值分别为f(x0), f(x1), …, f(xn) ，构造 一个简单的函数P(x)，满足条件
f [x0 , x1
, xk ] f [x0, x1
, xk2 , xk ] f [x0, x1, xk xk1
, xk1]
称为函数f(x)在点x0,x2,…,xk处的k阶差商.
• 差商表
xi
x0 x1 x2 x3 ¦ xn
f(xi) 一阶差商 二阶差商 … n阶差商
f(x0)
f(x1) f[x0,x1]
而Ln(x)=Pn(x), Lagrange插值问题的解存在且唯一.
称li(x) (i=1,2,…n)为Lagrange插值基函数．称(3.1.2)为
Lagrange插值多项式．
• 记pn+1(x)=(x-x0)(x-x1) …(x-xn)
函数逼近与插值
函数逼近与插值函数逼近和插值是数学的两个重要分支，在工程、科学和金融等领域都有广泛的应用。
本文将从数学角度介绍这两个概念，并讨论它们的优缺点和应用领域。
函数逼近函数逼近是指用一个已知的函数来近似另一个函数的过程。
通常情况下，我们会选择一组基函数，将待逼近函数表示为基函数的线性组合形式，然后通过确定基函数的系数，使得逼近函数与原函数的误差最小。
常用的基函数包括多项式、三角函数、指数函数等，其中最为广泛应用的是多项式基函数。
多项式函数的优点在于易于计算和控制，同时由于其具有良好的局部逼近性，因此在实际应用中得到了广泛的应用。
以多项式逼近为例，设待逼近函数为$f(x)$，逼近函数为$p(x)$，则有：$$p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n$$其中，$a_0,a_1,a_2,...,a_n$为待求系数。
我们可以通过最小二乘法来确定这些系数，即$$\min\limits_{a_0,a_1,...,a_n}\sum\limits_{i=1}^n(f(x_i)-p(x_i))^2$$这个问题可以通过求解线性方程组的方式得到解析解，也可以通过牛顿迭代等数值优化算法得到近似解。
在实际应用中，我们通常会选择适当的基函数来进行逼近，例如在图像处理中，一般采用的是小波基函数，而在金融工程中，常用的则是Gaussian基函数。
不同的基函数对逼近结果的精确度和复杂度有着不同的影响，因此需要根据具体的需求来选择适当的基函数。
函数插值函数插值是指通过已知的样本点来求出一条经过这些点的曲线的过程。
具体来说，就是找到一个函数$p(x)$，使得$p(x_i)=f(x_i)$，其中$x_i$为已知的样本点。
该函数$p(x)$称为插值函数。
常见的插值方法包括拉格朗日插值、牛顿插值、样条插值等。
其中，拉格朗日插值最为简单直观，其基本思想是假设插值函数为一个多项式，并通过已知的样本点来确定该多项式的系数。
例如，在二次插值中，设插值函数为$p(x)=ax^2+bx+c$，则有$p(x_1)=f(x_1),p(x_2)=f(x_2),p(x_3)=f(x_3)$。
数值分析 张铁版 第6章 插值与逼近
(k 0,1, , n)
(6.5)
(6.6)
于是，所求n次插值多项式 Ln ( x) Ln ( x)称为n次LagrangBiblioteka 插值多项式. y l ( x)
k 0 k k
当n=1和n=2时，即为线性插值和抛物插值.
引入记号 n1 ( x) ( x x0 )( x x1 )( x xn ) (6.7) n 1 ( xk ) 则 lk ( x) ,k 0,1, , n 注意：基函数只与节 ( x xk )n 1 ( xk ) 点有关，而与具体的 n n 1 ( x) 被插值函数无关 于是 Ln ( x) yk
定理6.1 给定n 1个互异节点x0 , x1 , xn上的函数值y0 , y1 , yn , 则满足插值条件(6.2)的n次插值多项式Pn ( x)是存在且唯一的.
证：将插值条件P( xi ) yi， 0,1,, n) 分别代入 插值多项式(6.3) (i
a0 a1 x0 a2 x0 2 an x0 n y0 1 x0 2 n a0 a1 x1 a2 x1 an x1 y1 1 x1 a a x a x 2 a x n y 1 xn 2 n n n n 0 1 n
k 0 n
0, i k lk ( xi ) 1, i k
i, k 0,1, , n
(6.4)
由于x0 , , xk 1 , xk 1 , , xn是lk ( x)的零点 所以可设 lk ( x) Ak ( x x0 ) ( x xk 1 )( x xk 1 ) ( x xn )
( x xk )( x xk 1 ) 所以 lk 1 ( x) ( xk 1 xk )( xk 1 xk 1 )
插值与逼近
插值与逼近一插值多项式有时候我们只知道函数f(x)在区间［a,b ］上的一系列点的函数值，即知道i i y x f =)(，而不知道它在区间［a,b ］上的具体的函数表达式。
所以，无法研究该函数在其它点上的函数值的变化；也有些时候在［a,b ］区间上的函数)(x f 的表达式十分复杂，不便于利用函数的表达式研究问题。
插值法就是构造插值函数)(x p y =去近似被插值函数)(x f y =，使之满足插值条件)(i i x p y =。
通常我们构造插值多项式。
插值多项式就是利用一些已知的函数值所做的既能反映原来函数的主要性质，又有简单形式的一种较好的替代函数。
求插值多项式的基本思想：设函数)(x f 在区间［a,b ］上连续。
已知它在],[b a 上1+n 个互不相同的点nx x x ,,,10Λ处的值n y y y ,,,10Λ。
如果多项式)(x p 在点i x 上满足),,1,0()(n i y x p ii Λ==则称)(x p 是函数)(x f 的插值多项式。
在本章中讨论拉格朗日插值多项式、牛顿插值多项式、埃尔米特插值多项式和分段插值多项式。
1. 拉格朗日插值多项式拉格朗日插值法是最基本、最常用的插值方法，也是其他插值方法的基础。
我们讲授的拉格朗日插值多项式包括线性插值多项式、抛物线插值多项式和n 次插值多项式拉格朗日插值多项式的公式为：)())(()()()())(()()()()()()()()()(1101000110n i i i i i i i n ini i i ni i i n n o n x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x y x l y x l y x l y x l x L -⋅⋅⋅--⋅⋅⋅-='-⋅⋅⋅--='-==+⋅⋅⋅++=+-==∑∑ωωωω其中基函数的公式为：),...,2,1()()()())...()()...()(())...()()...()(()(11101110n i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x l i i n i i i i i i i n i i i ='-=----------=+-+-ωω余项公式为),()()!1()()()()(1)1(b a x n f x P x f x R n n n n ∈+=-=++ξωξ其中拉格朗日插值多项式计算步骤:⑴ 准确计算插值基函数。
第6章 函数逼近与函数插值
第六章 函数逼近与函数插值本章介绍函数逼近与插值的有关理论和算法. 函数逼近问题与插值问题两者既有联系又有区别，它们都是用较简单的函数来近似未知的、或表达式较复杂的函数. 一般来说，函数逼近是要在整个区间、或一系列离散点上整体逼近被近似函数，而在进行插值时，则须保证在若干自变量点上的函数值与被近似函数相等.6.1 函数逼近的基本概念进行函数逼近一般是在较简单的函数类Φ中找一个函数p(x)来近似给定的函数f(x)，以使得在某种度量意义下误差函数p (x )−f(x)最小. 被逼近函数f(x)可能是较复杂的连续函数，也可能是只在一些离散点上定义的表格函数，而函数类Φ可以是多项式、分段多项式、三角函数、有理函数，等等. 函数逼近问题中度量误差的手段主要是函数空间的范数，下面先介绍函数空间的范数、内积等有关概念，然后讨论函数逼近问题的不同类型.6.1.1 函数空间线性空间的概念大家都很熟悉，其定义中包括一个元素集合和一个数域，以及满足一定运算规则的“加法”和“数乘”运算. 简单说，若这个元素集合对于“加法”和“数乘”运算封闭，则为一线性空间. 线性空间的元素之间存在线性相关和线性无关两种关系，进而又有空间的基和维数的概念.在这里我们先考虑连续函数形成的线性空间. 例如C [a,b ]按函数加法、以及函数与实数乘法，构成一个线性空间. 对于[a,b]区间上所有k 阶导数连续的函数全体C k [a,b ]，也类似地构成一个线性空间. 我们一般讨论实数函数，因此对应的是实数域ℝ，若讨论复数函数，则相应的是复数域ℂ. 另外，与线性代数中讨论的向量空间ℝn 不同，连续函数空间是无限维的.对线性空间可以定义范数的概念（见3.1.2节）. 针对实连续函数空间C [a,b ]，与向量空间类似，可定义如下三种函数的范数(function norm)：1) ∞-范数 设f (x )∈C [a,b ]，则‖f (x )‖∞=max x∈[a,b ]|f (x )| .其几何意义如图6-1所示，即函数值绝对值的最大值.2) 1-范数‖f (x )‖1=∫|f (x )|dx b a .其几何意义如图6-2所示，即函数曲线与横轴之间的面积总和.3) 2-范数‖f (x )‖2=[∫f 2(x )dx b a ]1/2. 2-范数也常称为平方范数，其几何意义与1-范数类似. 线性空间还有一个重要概念是内积，它定义了空间中两个元素的一种运算. 下面给出一般的复数域上线性空间内积的定义.定义6.1：设S为实数域ℝ上的线性空间，∀u,v∈S，定义值域为ℝ的二元运算〈u,v〉，若满足1)〈u,v〉=〈v,u〉, (可交换性)2)〈αu,v〉=α〈u,v〉, ∀α∈ℂ(线性性1)3)〈u+v,w〉=〈u,w〉+〈v,w〉, ∀w∈S(线性性2)4)〈u,u〉≥0，当且仅当u=O时①，〈u,u〉=0, (非负性)则称〈u,v〉为一种实内积运算(inner product). 定义了内积的线性空间称为实内积空间.应说明的是，将定义6.1加以扩展可在更一般的实数域ℂ上定义内积，区别只是将第1条性质改为共轭可交换性：〈u,v〉=〈v,u〉 .例如复向量的内积为: 〈u,v〉=u T v̅，可以验证它满足上述共轭可交换性. 下面只考虑实内积，但得到的结果都可以类似地推广到复内积空间. 另外，定义6.1的条件2还说明零元素与任意元素的内积均等于0.根据内积的线性性可推出：〈α1u1+α2u2,v〉=α1〈u1,v〉+α2〈u2,v〉,∀α1,α2∈ℂ,(6.1) 更一般地有：〈∑αj u j nj=1,v〉=∑αj〈u j,v〉nj=1,∀α1,⋯,αn∈ℂ.(6.2)这里主要考虑函数空间，则(6.2)式表明，线性组合函数(与另一函数作)内积等于(相应各个函数)内积的线性组合.可以规定一种依赖于内积运算的范数：‖u‖≡√〈u,u〉 .易知这种内积导出的范数满足范数定义的三个条件（见3.1.2节），详细证明过程留给读者思考. 应注意，在向量空间中，由内积导出的范数等同于向量的2-范数. 在实函数空间C[a,b]中，一般定义内积为〈u(x),v(x)〉=∫u(x)v(x)dxba,(6.3) 因此，由它导出的范数也等同于函数空间的2-范数.下面介绍与内积有关的两个重要定理.定理6.1：设S为实内积空间，∀u,v∈S，有：|〈u,v〉|2≤〈u,u〉∙〈v,v〉 .(6.4) 这是著名的柯西-施瓦茨不等式(Cauchy-Schwarz inequality).定理6.1的证明留给读者思考，若u,v为三维向量，也请思考该定理有什么几何含义？定理6.2：设S为实内积空间，u1,…,u n∈S，则格莱姆矩阵（Gram matrix）G=[〈u1,u1〉〈u2,u1〉⋯〈u n,u1〉〈u1,u2〉〈u2,u2〉⋯〈u n,u2〉⋮⋮⋱⋮〈u1,u n〉〈u2,u n〉⋯〈u n,u n〉](6.5)非奇异的充要条件是u1,…,u n线性无关.[证明] 首先要用到线性代数中的一个基本结论：矩阵G非奇异⟺det(G)≠0⟺齐次线性方程组Ga=0只有全零解.设向量a=[a1,…,a n]T，则方程Ga=0可写成：①这里用正体的字母O表示线性空间的零元素.∑a j 〈u j ,u k 〉nj=1=0,k =1,2,⋯,n (6.6)下面证明方程组(6.6)只有恒零解的充分必要条件是u 1,…,u n 线性无关. 先证必要性，即已知方程组(6.6)只有恒零解，要证u 1,…,u n 线性无关. 采用反证法，若u 1,…,u n 线性相关，即存在不全为0的一组系数{αj ,j =1,⋯,n}使∑αj u j n j=1=O ，则∑αj 〈u j ,u k 〉n j=1=〈∑αj u j nj=1,u k 〉=〈O,u k 〉=0,(k =1,…,n ),即这组{αj }是方程组(6.6)的解，与已知条件矛盾！再证明充分性，即已知u 1,…,u n 线性无关，要证方程组(6.6)只有全零解. 仍采用反证法，若方程组(6.6)存在不全为零的一组解{αj }，则∑αj 〈u j ,u k 〉n j=1=〈∑αj u j nj=1,u k 〉=0,k =1,…,n将上述方程中第k 个方程乘以αk ，累加所有方程得到，〈∑αj u j n j=1,∑αj u j nj=1〉=0 ,根据内积的定义，必有∑αj u j n j=1=O , 也就是说存在不全为0的一组{αj }j=1n 使∑αj u j n j=1=O ，这与u 1,…,u n 线性无关的已知条件矛盾！综上所述，完成了定理的证明.应注意，格莱姆矩阵是实对称矩阵，并且当u 1,…,u n 线性无关时，它是对称正定矩阵. 针对实函数空间C[a, b]，常常有权函数、加权内积的概念.定义6.2：若函数ρ(x )≥0,∀x ∈[a,b]，且满足1) ∫x k ρ(x )dx ba 存在，(k =0,1,…),2) 对非负连续函数g (x )，若∫g (x )ρ(x )dx =0b a 可推出g (x )≡0,则称ρ(x)为区间[a,b]上的权函数(weight function).关于权函数的定义，说明几点：● 定义中对连续性没有要求，即ρ(x )可能不是连续函数；第1个条件要求的是ρ(x )与多项式乘积为可积函数.● 定义中第2条件的意义不是很直观，较直观的一种等价形式为：不存在子区间(c,d )⊆[a,b]，使ρ(x )=0,∀x ∈(c,d )，即“权函数在[a,b]中任一子区间不恒为零”. ● 一般遇到的C [a,b ]中非负函数（一定有界、可积），若不在某一子区间恒为零，则都可作权函数.定义6.3：若ρ(x )为区间[a,b]上的权函数，则可定义C [a,b ]上的内积为：〈u (x ),v (x )〉=∫ρ(x )u (x )v (x )dx b a ,(6.7)并称其为加权内积(weighted inner product).容易验证加权内积满足一般内积的定义，并且常用的函数内积(6.3)式是加权内积的特例，其对应于权函数ρ(x )≡1的情况. 根据加权内积，也可以导出范数，这种范数可看成是广义的2-范数，其公式为：‖f(x)‖=[∫ρ(x )f 2(x )dx b a ]12⁄ .6.1.2 函数逼近的不同类型在函数逼近问题中，用简单函数p(x)来近似f(x)，并要求误差最小. 这里度量误差大小的标准是范数，采用不同范数时其问题的性质是不同的. 下面分两种情况作些讨论.1) ∞-范数考虑误差函数p (x )−f (x )的∞-范数，假设函数的定义域为[a, b]，则可设ε=‖p (x )−f (x )‖∞=max x∈[a,b ]|p (x )−f (x )| , 因此有−ε≤p (x )−f (x )≤ε,∀x ∈[a,b ]，即p (x )−ε≤f (x )≤p (x )+ε, ∀x ∈[a,b ]图6-3显示了函数p (x ),f (x ), 以及‖p (x )−f (x )‖∞之间的关系，从中可以看出，在∞-范数意义下的逼近要求使ε尽量小，也就是要p (x )在整个区间上“一致地”接近f (x ). 因此，采用∞-范数的函数逼近问题常称为最佳一致逼近.2) 1-范数和2-范数先看看误差函数p (x )−f (x )的1-范数，‖p (x )−f (x )‖1=∫|p (x )−f (x )|dx ba令A =‖p (x )−f (x )‖1，则它表示p (x )和f (x )两个函数曲线之间的面积（如图6-4所示）. 在1-范数意义下的逼近，要求使A 尽量小，也就是要p (x )与f (x )曲线之间的总面积尽量小，反映出这种逼近有整个区间上“平均”误差尽量小的含义（在某个子区间上误差可能很大）.2-范数的意义与1-范数大体上类似，由于它更容易处理，在实际的逼近问题中一般采用图6-3 函数p (x ),f (x ), 以及‖p (x )−f (x )‖∞之间的关系.图6-4 函数p (x ),f (x ), 以及‖p (x )−f (x )‖1之间的关系.2-范数. 这种逼近称为最佳平方逼近或最小二乘逼近(least squares fitting).从直观上看，采用∞-范数的最佳一致逼近效果更好一些，而最佳平方逼近具有平均误差最小的含义.除了度量误差函数可采用不同的范数，被逼近函数也可分为连续函数和表格函数两种情况. 表格函数就是仅在一系列离散自变量点上已知函数值的函数，可通过函数值组成的向量来刻画，有关逼近问题的求解有特殊的处理方法. 而在逼近函数类方面，多项式函数是最常用的一种. 下面给出魏尔斯特拉斯定理（Weierstrass Theorem ），它是用多项式函数进行逼近的一个重要依据.定理6.3：设f (x )∈C[a,b]，则对任何ϵ>0，总存在一个多项式P (x )，使‖P (x )−f (x )‖∞<ϵ在[a, b]上一致成立.该定理的证明已超出了本书的要求，因此不做讨论. 值得一提的是，若f (x )∈C[0,1]，伯恩斯坦多项式(Bernstein polynomial)②B n (f,x )=∑f (k )Q k (x )nk=0 , 其中Q k (x )=(n k)x k (1−x )n−k , 就是满足定理要求的多项式P (x ). 注意B n (f,x )为n 次多项式，并且可以证明，lim n→∞B n (f,x )=f(x)在[0, 1]上一致成立. 因此，C[0,1]中的任意函数都可以用伯恩斯坦多项式（一致）逼近到任意好的程度. 应注意，它一般不是多项式函数类ℙn 中的最佳一致逼近.最后说明一点，求最佳一致逼近多项式的方法比较复杂，感兴趣的读者请参考[4, 9]. 本章后面主要介绍求最佳平方逼近的方法，它有很广泛的应用.6.2 连续函数的最佳平方逼近为了记号的方便，在6.2节和6.3节的介绍中记函数的自变量为t.6.2.1 一般的法方程方法一. 问题描述假设对f (t )∈C [a,b ]进行函数逼近，逼近函数类Φ应是形式简单的函数类，比如多项式函数、三角函数、有理函数，等等，并且它是有限维的线性子空间. 设Φ=span {φ1(t ),…,φn (t )}，则Φ的任一元素可表示为：S (t )=Σj=1n x j φj (t ), (6.8)其中x 1,…,x n ∈ℝ.连续函数的最佳平方逼近问题就是求S (t )∈Φ，使 ‖S (t )−f (t )‖2达到最小值. 利用公式(6.8)以及2-范数的定义，上述问题等价于最小化F =‖S (t )−f (t )‖22=∫[Σj=1n x j φj (t )−f (t )]2dt b a .(6.9)F 是关于实系数x 1,x 2,…,x n 的多元函数，需求出F 的最小值对应的那组系数x 1,x 2,…,x n .二. 法方程方法下面推导如何求(6.9)式的最小值点. 为了记号简便，省略函数记号中的“(t )”，即直接② 由原苏联数学家伯恩斯坦（1880—1968）于1912年提出.f ̃=f (3)=f (2)−2v 2T f (2)v 2T v 2v 2=[ −4.2061330.399807−0.004750130.0009512830.00195269], 此时矩阵A 经变换为： R =A (3)=[ −2.236068−3.35410200.790569000000] . 根据算法6.3，需求解方程R 1x =b ，其中R 1=[−2.236068−3.35410200.790569],b =[−4.2061330.399807]. 解得：x =[1.12250.5057]T ，即拟合公式为y ̃=1.1225+0.5057t ，它与例6.6, 6.7得到的结果是一样的.根据表格函数与其函数值向量的对应关系可证明，算法6.3与通过Gram-Schmidt 正交化过程求最佳逼近函数的方法在数学上是等价的. 不同之处在于：前者不涉及正交函数族，直接得到原基函数对应的拟合系数；前者的主要计算是矩阵的QR 分解，它可通过Householder 变换或Givens 旋转变换等不同方法实现. 由于算法6.3直接利用矩阵的QR 分解的特点，它更易于实现和应用，而且稳定性比算法6.2好. 最后说明一点，若初始的表格函数φ1(t ),…,φn (t )线性相关，矩阵A 不是列满秩的，QR 分解也能进行，但得到的上三角阵R 1奇异. 可以证明，这种情况下有无穷多个最小二乘解，详细的讨论请参考[6].一. 问题背景1945年7月16日，美国科学家在新墨西哥州Los Alamos沙漠试爆了世界上第一颗原子弹，这一事件令全球震惊. 但在当时有关原子弹爆炸的任何资料都是保密的，而很多其他国家的科学家非常想知道这次爆炸的威力有多大.两年之后，美国政府首次公开了这次爆炸的录像带，而其他数据和资料仍然不被外界所知. 英国物理学家G. I. Taylor(1886 ~ 1975)通过研究原子弹爆炸的录像带，建立数学模型对爆炸所释放出的能量进行了估计，得到估计值与若干年后正式公布的爆炸能量21 kt 相当接近(1 kt 为1千吨TNT 炸药的爆炸能量). Taylor 是如何根据爆炸录像估计的呢？主要是通过测量爆炸形成的“蘑菇云”半径来进行估计的（如图(A)）. 因为爆炸产生的冲击波从中心点向外传播，爆炸的能量越大，在相同时间内冲击波传播得越远、蘑菇云的半径就越大. Taylor 通过图(A) 原子弹爆炸的蘑菇云.*t 的单位为ms, r 的单位为m.然后通过量纲分析法建立了蘑菇云半径r 与时间t 和爆炸能量E 的关系式，利用上述数据最后求出了爆炸的能量.二. 数学模型考虑到原子弹爆炸在极短的时间内释放出巨大的能量，蘑菇云半径r 主要与时间t 、爆炸能量E 、以及空气密度ρ等几个参数有关. 通过仔细分析这几个量的单位，采用量纲分析法得到如下的蘑菇云半径的近似表达式：r =(t 2E )15. 其中r , t , E 的单位分别为米(m), 秒(s)和焦耳，而空气密度ρ的值为1.25 (kg m 3⁄). 对这次原子弹爆炸来说，E 为一固定值，因此r 与t 2成正比. 图(B)是根据蘑菇云半径与对应时刻的数据画出的散点图，它大体反映了这个趋势. 接下来的问题是如何求未知的参数E .三. 求解过程首先，改写蘑菇云半径的公式为r =at b 的形式，通过测量数据拟合出参数a 和b ，来验证量纲分析法得到的公式. 要作线性最小二乘拟合，进一步改写公式为：lnr =lna +blnt . 根据测量数据我们得到lnr 和lnt 的数据，将它们的函数关系拟合为1次多项式，得到系数b =0.4094，其值与前面分析的结果2/5非常接近，从而验证了量纲分析得到的公式.为了更为准确地计算爆炸能量E ，将蘑菇云半径公式改写为：5lnr −2lnt =ln (E ) . 此时可根据测量数据得到5lnr −2lnt 对应的一组数据，将它拟合为0次多项式（常数），设得到拟合系数为c ，则E ≈ρ∙e c .根据此方法算出E ≈8.6418×1013，单位为焦耳，查表得知1kt=4.184×1012焦耳，因此爆炸能量约等于20.65 kt.6.4函数插值与拉格朗日插值法函数插值可看作一种“特殊”的函数逼近问题，其逼近采用的“度量”准则是要求在插值节点处误差函数的值为0. 本节先介绍关于插值(interpolation)的一些基本概念，然后讨论最简单的一种多项式插值——拉格朗日插值法.图(B) 蘑菇云半径与对应时刻的数据 rt个节点：x 0<x 1<⋯<x n 进行插值，只需将B −k k (x ),B −k+1k (x ),⋯,B n−1k (x )这n+k 个k 次B-样条函数进行组合. 可以证明，它们在区间[x 0,x n ]上的部分组成n+k 个线性无关的基函数. 因此，对于满足额外边界条件的[x 0,x n ]上的k 次样条函数，可唯一地用这些基函数的线性组合表示. 感兴趣地读者可以推导B i 3(x )的表达式，然后利用插值条件和边界条件列方程求这些基函数对应的系数，进而推导出三次样条插值函数的表达式. 这个计算过程将与上一小节的方法得到相同的结果.利用B-样条基函数，可得到确定和计算各阶样条插值的有效而稳定的方法. 此外，它在计算机图形学、几何建模，以及数值求解微分方程等领域都有广泛的应用.评述关于多项式逼近和插值问题的研究历史悠久，应用面也很广. 本章只讨论了一元函数的最佳平方逼近，更多的相关内容，包括多元函数的逼近、正交多项式等，可参考下述文献：● P . J. Davis, Interpolation and Approximation , Dover, 1975.● W. Cheney, Introduction to Approximation Theory , AMS Chelsea Publishing, 2nd edition,1998.● G. A. Baker, and P . R. Graves-Morris, Pade Approximations , Cambridge University Press,2nd edition, 1996.● W. Gautschi, “Orthogonal polynomials: Applications and computation,” Acta Numerica ,Vol. 5, pp. 45-119, 1996.最佳平方逼近的法方程方法在1795年由高斯提出. 格莱姆－斯密特正交化方法在1883年由格莱姆提出，1907年斯密特给出了现代算法. 在求解最小二乘问题中使用QR 分解方法，特别是使用Householder 变换的方法是在1965年由G. Golub ⑥提出的. 最小二乘方法是统计学的重要工具，也称为回归分析，很多常用的数据处理软件（比如微软公司的Excel 软件）都具有这个功能. 本章讨论的线性最小二乘问题实际上是一种最简化的形式，即假设待逼近函数是基函数的线性组合. 在实际应用中还常遇到非线性最小二乘问题，它属于非线性优化问题，见参考文献[6]及其中给出的更多文献. 另外，若考虑所有参量都带有随机误差的情形，则成为完全最小二乘问题，有关详细讨论见文献：● S. Van Huffel and J. Vandewalle, The Total Least Squares Problem , SIAM Press, 1991. 本章也没有讨论拟合的基函数可能线性相关的情况，这在实际中可能由于拟合模型的不合理或数值误差造成，它使得矩阵A 列不满秩. 此时最佳平方逼近解不唯一，要得到实际有用的一个逼近解，需采用列重排的QR 分解等技术，更多讨论参见文献[6]及其他文献.多项式插值问题历史非常悠久，牛顿、拉格朗日等都在这方法做出了很多贡献. 除了将函数值作为条件的插值问题，插值条件中包括各阶导数值的情况也常见于各种工程应用中. 目前，常用的文档编辑软件都已使用保形分段插值来绘制曲线，例如微软公司的Word 和Power Point 软件. 样条函数是1946年由Schoenberg 首先提出的，本章只讨论了一维数据的样条插值和B-样条函数，实际问题中还有高维的插值问题，尤其在计算机图形学中二维B-样条是一个重要的工具. 关于样条的参考文献主要有：● C. de Boor, A Practical Guide to Splines , Springer-Verlag, 2nd edition, 1984.● E. V. Shikin and A. I. Plis, Handbook on Splines for the User , CRC Press, 1995.最后，列表说明Matlab 中与本章讨论的函数逼近与插值有关的命令和功能.⑥ Gene H. Golub (1932-2007), 美国斯坦福大学计算机系教授，美国科学院、工程院、艺术与科学院三院院士，著名的数值计算专家，1996年出版的著作”Matrix Computations ” [21]被奉为矩阵计算领域的经典.线拟合与样条插值的功能.[本章知识点]: 连续函数的范数；内积及其性质；内积空间的格莱姆矩阵、及其非奇异的充要条件；权函数与加权内积；最佳一致逼近与最佳平方逼近的概念；法方程方法求连续函数的最佳平方逼近；最佳平方逼近的误差；正交函数族与Gram-Schimdit正交化过程；勒让德多项式；用正交函数族作最佳平方逼近；曲线拟合的线性最小二乘问题；线性最小二乘问题的矩阵描述；法方程方法解线性最小二乘问题；表格函数的线性无关性与相关性；利用矩阵的QR分解解线性最小二乘问题；插值的基本概念；范德蒙矩阵与多项式插值的存在唯一性；拉格朗日插值公式；拉格朗日插值余项公式；牛顿插值公式；差商的计算；牛顿插值余项公式；高次多项式插值的问题；分段线性插值；埃尔米特插值；分段三次埃尔米特插值；保形分段插值；三次样条插值及边界条件；三次样条插值的构造方法；三弯矩方程；几种插值的比较；B-样条函数的基本概念与性质.算法背后的历史：拉格朗日与插值法约瑟夫·路易斯·拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange，1736年1月25日—1813年4月10日）是法国数学家、物理学家. 他在数学、力学和天文学三个领域中都有巨大的贡献，其中尤以数学方面的成就最为突出. 拉格朗日与同时代的勒让德（Legendre）、拉普拉斯（Laplace）并称为法国的3L.拉格朗日于1736年生于意大利西北部的都灵. 17岁时，开始专攻当时迅速发展的数学分析. 1756年，受欧拉的举荐，拉格朗日被任命为普鲁士科学院通讯院士. 1766年赴柏林任普鲁士科学院数学部主任，居住柏林达20年之久，这是他一生科学研究的鼎盛时期. 在此期间，他完成了著作《分析力学》. 1786年加入了巴黎科学院成立的研究法国度量衡统一问题的委员会，并出任法国米制委员会主任. 1795年建立了法国最高学术机构——法兰西研究院后，拉格朗。
插值法与逼近论
插值法与逼近论
插值法和逼近论都是数学中研究函数逼近和求解近似解的方法。
插值法是一种通过已知的数据点来确定未知函数的方法。
它的主要思想是使用已知数据点之间的函数来拟合未知函数，并在已知数据点上得到相同的函数值。
常见的插值方法有拉格朗日插值、牛顿插值和样条插值等。
逼近论是研究函数逼近的数学分支。
它的主要目标是通过一系列简单函数来近似复杂函数，从而精确计算或解决一些难题。
逼近论研究的问题包括：在某个函数空间中寻找最佳逼近函数、逼近函数的最优性、逼近函数的收敛性等。
插值法和逼近论之间存在一定的联系和区别。
插值法是在已知数据点上进行插值，通过插值函数来逼近未知函数；而逼近论是通过一系列简单函数来逼近复杂函数，有时并不需要已知的数据点。
插值法更加注重通过已知参数得到未知函数的精确解，而逼近论更注重通过简单函数近似复杂函数来解决实际问题。
插值法与逼近论
插值法与逼近论
插值法和逼近论是数学中两种不同的方法，用于处理函数的逼近问题。
插值法是一种通过在已知数据点之间插入新的数据点来逼近一个未知函数的方法。
在插值法中，通过已知数据点之间的连线或曲线来逼近未知函数。
最常见的插值方法是拉格朗日插值和牛顿插值。
插值法可以在已知数据点的区间内准确地逼近函数的值，但不能保证在数据点之外也能准确逼近函数。
逼近论则是从整体的角度考虑函数逼近的问题。
它主要关注如何用简单的函数（如多项式、三角函数等）来逼近一个复杂的函数。
逼近论的核心思想是将逼近问题转化为优化问题，通过选择合适的逼近函数，使得逼近误差最小化。
逼近论可以通过选择适当的逼近函数，对整个函数的逼近质量进行评估和优化。
在实际问题中，插值法和逼近论常常结合使用。
插值法可以通过在已知数据点上准确逼近函数的值，而逼近论可以帮助选择合适的插值函数，以获得更好的整体逼近效果。
数值分析第六章函数逼近
5
3
2
求x, y的函数关系. Matlab解法: polyfit([1, 2, 3, 4, 6, 7, 8], [2, 3, 6, 7, 5, 3, 2], 2) ans= -0.3864 3.4318 -1.3182
21
例 测得一发射源的发射强度 I 与时间 t 的一组数据如下 ti 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
12
n n x i i 1 n xi2 i 1
xi i 1 x i 1 x i 1
n n 2 i 3 i
n
n 2 xi yi i 1 i 1 a 0 n n 3 x y x a i 1 i i i 1 i 1 n a2 n 4 2 xi x i yi i 1 i 1 n
y a0 a1 x a0 a1 xi
yi
4
衡量近似函数好坏的标准：残差向量的大小 (1) 使残差的绝对值之和最小, 即
min || ||1 min | i |
a0 ,a1 a0 ,a1 i 1 n
(2) 使残差的最大绝对值最小, 即
min || || min max | i |
xi yi
x1
y1
x2 y2
xn yn
求直线 y=a0+a1x 使得
yi (a0 a1 xi ) i 1
n
2
达到最小.
6
令 F (a0 , a1 ) yi (a0 a1 xi ) 2
i 1
n
则原问题等价于求a0, a1使F(a0, a1)达到最小. 利用多元函数取极值的必要条件得
数值分析方法【ch01】插值与逼近 培训教学课件
二、多项式插值
0 5 Hermite插值
二、多项式插值
0 5 Hermite插值
二、多项式插值
0 5 Hermite插值
03
三、径向基函数插值
0 1 概述
三、径向基函数插值
0 1 概述
Hale Waihona Puke 三、径向基函数插值0 1 概述
三、径向基函数插值
0 2 再生核空间
三、径向基函数插值
0 2 再生核空间
二、多项式插值
0 4 分片线性插值
则Lagrange插值与Newton 插值失效，表现为： 当n增大时，在区间[-5，5]两端附近误差迅速增大(见 图1-2).
图1-2显示了当n=10时Lagrange插值与Newton 插值的效果，明显可以看出，在区间的两端附近插值 曲线出现振荡.
二、多项式插值
解：使用最小二乘方法可以求解.上 面的超定方程组，从而得到
四、最佳逼近
0 2 最佳一致逼近
常用的范数如下：
四、最佳逼近
0 2 最佳一致逼近
四、最佳逼近
0 2 最佳一致逼近
四、最佳逼近
0 3 最佳平方逼近
四、最佳逼近
0 3 最佳平方逼近
四、最佳逼近
0 4 正交多项式
四、最佳逼近
0 4 正交多项式
二、多项式插值
0 2 Lagrange插值
图1-1给出了7次Lagrange插值曲线，该曲线较好地通过了给定的样本数 据(图中的○表示样本数据，曲线为插值曲线).
二、多项式插值
0 3 Newton插值
当我们需要扩充试探空间的时候，之前所有的基函数都没有被保留，这非 常不利于大规模数值计算.克服这一缺陷的有效方法之一是Newton插值.选择 如下形式的试探空间
函数逼近中的插值和逼近理论
函数逼近是数学中的一个重要分支，旨在通过已知的数据点构造一个逼近目标函数的函数，并用于预测未知数据值。
在函数逼近中，插值和逼近理论是两种常见方法。
插值是通过已知数据点在特定区间内构造一个函数，使该函数通过所有已知数据点。
插值函数在已知数据点上完全匹配原函数，但在其他位置可能会有较大误差。
常用的插值方法有拉格朗日插值和牛顿插值。
拉格朗日插值是一种通过拉格朗日多项式将函数逼近到已知数据点的方法。
该方法利用了拉格朗日多项式具有唯一性的性质，可以通过已知数据点构造一个唯一的函数。
这个唯一函数将准确地经过已知数据点，但在其他位置的逼近可能不够理想。
牛顿插值是一种利用差商和牛顿插值多项式来逼近函数的方法。
差商的定义是通过已知数据点的函数值来定义的，可以递归地计算出牛顿插值多项式的系数。
牛顿插值在构造插值函数时比拉格朗日插值更方便，并且在处理带噪声的数据时表现更好。
插值方法的优点是对已知数据点完全匹配，但缺点是在其他位置可能存在较大误差。
插值方法适用于已知数据点密集的情况，对于数据点较少或有噪声的情况可能不够适用。
逼近理论是另一种函数逼近的方法，它通过在整个区间内构造一个函数，使该函数与目标函数在整个区间上的误差最小。
逼近方法的目标是尽可能通过已知数据点，同时在整个区间上的误差最小。
常用的逼近方法有最小二乘逼近和Chebyshev逼近。
最小二乘逼近是一种通过最小化目标函数和逼近函数之间的二乘误差来逼近函数的方法。
该方法通过求解线性方程组来确定逼近函数的系数，使得目标函数和逼近函数之间的二乘误差最小。
最小二乘逼近在处理带噪声的数据时表现良好，同时对于数据点较少的情况也适用。
Chebyshev逼近是一种通过构造一系列Chebyshev多项式来逼近函数的方法。
这些多项式在某些特定点上取值最大，因此在逼近函数时能够在整个区间上准确逼近目标函数。
Chebyshev逼近在逼近理论中具有广泛的应用，能够以较高的精度逼近各种函数。
数值方法中的插值与逼近-教案
数值方法中的插值与逼近-教案一、引言1.1数值方法的重要性1.1.1数值方法在现代科学和工程中的应用1.1.2数值方法在解决复杂问题中的优势1.1.3数值方法的基本概念和分类1.1.4数值方法的发展历程和未来趋势1.2插值与逼近的基本概念1.2.1插值的定义和意义1.2.2逼近的定义和意义1.2.3插值与逼近的关系1.2.4插值与逼近在数值方法中的应用1.3教学目标和内容安排1.3.1教学目标1.3.2教学内容安排1.3.3教学方法和手段1.3.4教学评价和考核方式二、知识点讲解2.1插值方法2.1.1拉格朗日插值法2.1.2牛顿插值法2.1.3埃尔米特插值法2.1.4克朗插值法2.2逼近方法2.2.1最小二乘法2.2.2最佳逼近法2.2.3样条逼近法2.2.4神经网络逼近法2.3插值与逼近的应用2.3.1数值积分和微分2.3.2函数逼近和曲线拟合2.3.3工程优化和设计2.3.4信号处理和图像重建三、教学内容3.1插值方法的教学内容3.1.1拉格朗日插值法的原理和步骤3.1.2牛顿插值法的原理和步骤3.1.3埃尔米特插值法的原理和步骤3.1.4克朗插值法的原理和步骤3.2逼近方法的教学内容3.2.1最小二乘法的原理和步骤3.2.2最佳逼近法的原理和步骤3.2.3样条逼近法的原理和步骤3.2.4神经网络逼近法的原理和步骤3.3插值与逼近的应用实例3.3.1数值积分和微分的实例3.3.2函数逼近和曲线拟合的实例3.3.3工程优化和设计的实例3.3.4信号处理和图像重建的实例四、教学目标4.1知识与技能目标4.1.1掌握拉格朗日插值法、牛顿插值法、埃尔米特插值法和克朗插值法的原理和步骤4.1.2理解最小二乘法、最佳逼近法、样条逼近法和神经网络逼近法的原理和步骤4.1.3能够运用插值与逼近方法解决实际问题，如数值积分、微分、函数逼近、曲线拟合等4.1.4能够运用MATLAB等软件实现插值与逼近算法，并进行结果分析和验证4.2过程与方法目标4.2.1培养学生的数学建模能力和数值计算能力4.2.2培养学生运用数学软件进行问题分析和求解的能力4.2.3培养学生的团队合作和沟通交流能力4.2.4培养学生的创新思维和解决实际问题的能力4.3情感态度与价值观目标4.3.1培养学生对数学学科的兴趣和热爱4.3.2培养学生的科学精神和求真务实的工作态度4.3.3培养学生的团队合作精神和责任感4.3.4培养学生的创新意识和勇于探索的精神五、教学难点与重点5.1教学难点5.1.1插值多项式的构造方法和原理5.1.2逼近方法的数学原理和求解过程5.1.3插值与逼近方法在实际问题中的应用5.1.4数学软件在插值与逼近问题中的应用5.2教学重点5.2.1插值与逼近方法的基本原理和步骤5.2.2插值与逼近方法在数值计算中的应用5.2.3数学软件在插值与逼近问题中的实现5.2.4插值与逼近方法在实际问题中的应用实例六、教具与学具准备6.1教具准备6.1.1多媒体教学设备6.1.2白板和记号笔6.1.3教学PPT和讲义6.1.4MATLAB等数学软件6.2学具准备6.2.1笔记本电脑和MATLAB软件6.2.2教材和参考书籍6.2.3计算器和草稿纸6.2.4小组讨论和合作学习的材料七、教学过程7.1课堂导入7.1.1引入实际问题，激发学生学习兴趣7.1.2回顾相关知识点，为新课做好铺垫7.1.3提出本节课的教学目标和内容7.1.4引导学生积极参与课堂讨论和互动7.2知识讲解与示范7.2.1讲解插值与逼近方法的基本原理和步骤7.2.2示范MATLAB等数学软件在插值与逼近问题中的应用7.2.3通过实例演示插值与逼近方法在实际问题中的应用7.2.4引导学生进行课堂练习和讨论，巩固所学知识7.3课堂练习与讨论7.3.1布置课堂练习题，让学生独立完成7.3.2分组讨论，促进学生之间的交流和合作7.3.3针对学生的疑问和问题进行解答和指导7.4课堂小结与作业布置7.4.2强调插值与逼近方法在实际问题中的应用7.4.3布置课后作业，巩固所学知识7.4.4鼓励学生进行拓展学习和探索八、板书设计8.1插值方法板书设计8.1.1拉格朗日插值法的原理和步骤8.1.2牛顿插值法的原理和步骤8.1.3埃尔米特插值法的原理和步骤8.1.4克朗插值法的原理和步骤8.2逼近方法板书设计8.2.1最小二乘法的原理和步骤8.2.2最佳逼近法的原理和步骤8.2.3样条逼近法的原理和步骤8.2.4神经网络逼近法的原理和步骤8.3插值与逼近应用实例板书设计8.3.1数值积分和微分的实例8.3.2函数逼近和曲线拟合的实例8.3.3工程优化和设计的实例8.3.4信号处理和图像重建的实例九、作业设计9.1基础练习题9.1.1拉格朗日插值法的基础练习9.1.2牛顿插值法的基础练习9.1.3埃尔米特插值法的基础练习9.1.4克朗插值法的基础练习9.2综合应用题9.2.1最小二乘法的综合应用9.2.2最佳逼近法的综合应用9.2.3样条逼近法的综合应用9.2.4神经网络逼近法的综合应用9.3拓展阅读与思考题9.3.1插值与逼近方法的发展历程和研究前沿9.3.2插值与逼近方法在各个领域的应用案例9.3.3插值与逼近方法与其他数值方法的联系和区别9.3.4插值与逼近方法在实际问题中的创新应用十、课后反思及拓展延伸10.1课后反思10.1.1教学目标是否达成10.1.2教学难点和重点是否解决10.1.3教学方法和手段是否有效10.1.4学生的参与度和学习效果如何10.2拓展延伸10.2.1引导学生进行拓展学习和探索10.2.2鼓励学生参加数学建模和科研活动10.2.3提供相关的学习资源和资料10.2.4组织学生进行小组讨论和合作学习在教学难点与重点环节，需要针对学生的实际情况进行讲解和示范，确保学生能够理解和掌握插值与逼近方法的基本原理和步骤。
数学中的函数逼近与插值理论
曲线拟合是通过一系列已知的数据点，找 到一条曲线来近似地表示这些数据点。曲 线拟合方法包括线性拟合、非线性拟合等， 用于分析数据的规律和预测未知数据点的 取值。
线性回归分析
优势 效果
应用
简单易懂 数据关系
预测与决策
非线性拟合方法
01 多项式拟合
适应性广泛
02 指数函数拟合
复杂数据
多项式逼近方法比较
多项式逼近
简单易懂 计算速度快 适用范围广泛 效果依赖于阶数
误差分析
评估逼近准确性 控制误差范围 提高逼近稳定性 确定逼近条件
01 04
插值方法
实现数据点完全一致
容易出现过拟合
适用于离散数据
02
插值误差较小
最佳逼近
误差最小化
03
适用于实际应用
更高的逼近效果
需要确定逼近范围
总结
多项式逼近与插值在数学中起着 重要作用，通过多项式逼近方法， 可以用简单的多项式函数近似表 示复杂的非线性函数，插值方法 可以通过已知数据点实现精确逼 近。在实际应用中，选择合适的 逼近方法和误差分析是十分重要 的。
03
曲线拟合的评价指标
均方误差
衡量模型与真实数据的拟合程度
01
决定系数
反映模型对数据变异的解释能力
02
04 03
总结
曲线拟合是数学中重要的理论之 一，通过逼近与插值方法，能够 更好地理解数据背后的规律，为 预测与决策提供依据。线性回归 和非线性拟合方法各有优势，评 价指标能够帮助我们选择合适的 拟合模型。
常见
通过数值积分逼近函数积分 数值积分、概率统计
评估逼近的精度和稳定性 梯形法则、辛普森法则
第六章插值与逼近
y=f(x)
p(x)=ax+b
A(x.0,f(x.0)) B(x.1,f(x.1))
p(x)y0yx1 1 xy00(xx0)
p(x)xx0 xx11y0xx1 xx00 y1
为了便于推广,记
l0(x)xx0 xx11, l1(x)xx1 xx00
这是一次函 数,且有性质
l0(x0)1, l0(x1)0 l1(x0)0, l1(x1)1
使满足二次插值条件:
P (xi)yi (i0 ,1 ,2 )
这就是二次插值问题。其几何意义是用经过3个点
(x0,y0)(,x1,y1)(,x2,y2)的抛物线 yP(x) 近似代替曲线
y f(x) ,如下图所示。因此也称之为抛物插值。
P(x)的参数 a0,a1,a2 y
直接由插值条件决定,
即 a0,a1,a2满足下面
第六章 插值与逼近
问题的提出
– 函数解析式未知,通过实验观测得到的一组数据, 即在 某个区间[a, b]上给出一系列点的函数值 yi= f(xi)
– 或者给出函数表
x
x0
x1
x2
…… xn
y
y0
y1
y2
…… yn
y=p(x)
y=f(x)
插值法的基本概念
设函数y=f(x)定义在区间[a, b]上, x0,x1,,xn 是
的问题就归结为求它的系数 a i (i=0,1,2,…,n )。
由插值条件: p(xi)f(xi) (i=0,1,2,…,n),可得
anx0n an1x0n1 a1x0 a0 f (x0) anx1n an1x1n1 a1x1 a0 f (x1) anxnn an1xnn1 a1xn a0 f (xn)
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即,(t)在[a,b]至少有n+2个零点. 由Rolle定理可知(t)
Pn ,则pn(x)=a0+a1x+…+anxn是由n+1个系数唯一确定的.若
xn
x
pn(x)满足插值条件(6.2),则有
2 n a n x0 y0 a 0 a1 x 0 a 2 x 0 2 n a 0 a1 x1 a 2 x1 a n x1 y1 a a x a x 2 a x n y 0 1 n 2 n n n n
(
证
由于Rn(xi)=(xi)-Ln(xi)=0(i=0,1,…,n),所以
Rn(x)=C(x)n+1(x) 对于任一x[a,b],xxi(i=0,1,2,…,n),构造函数 (t)=(t)-Ln(t)-C(x)n+1(t)
则有
(xi)=0 (i=0,1,2,…,n), (x)=0
于是有
( x x 0 )( x x 2 ) ( x x1 )( x x 2 ) L2 ( x ) f ( x0 ) f ( x1 ) ( x 0 x1 )( x 0 x 2 ) ( x1 x 0 )( x1 x 2 ) ( x x 0 )( x x1 ) f ( x2 ) ( x 2 x 0 )( x 2 x1 )
L2(x)是过点(x0,(x0)),(x1,(x1))和(x2,(x2))的抛物线.
Lagrange插值多项式简单而优雅, 只要取定节点就可
写出基函数,进而得到插值多项式.易于计算机上实现.
为了研究插值多项式的近似程度,记
Rn(x)=(x)-Ln(x)
称为n次Lagrange插值余项.
定理6.2
L1 ( x)
x x0 x x1 f ( x0 ) f ( x1 ) x 0 x1 x1 x 0
易见,L1(x)就是过点(x0,(x0))和点(x1,(x1))的直线. 例2 求(x)关于节点x0,x1,x2的二次Lagrange插值多 项式.
解
对节点x0,x1,x2的Lagrange插值基函数为
其系数行列式为
D 1 x0 1 x1 1 xn
n x0 x1n
1 x0
n x0
1 x1 x1n
1
n xn
xn ( x j xi ) 0 0i j n
n xn
定理6.1
给定n+1个互异节点x0,x1,…,xn上的函数值
y0,y1,…,yn ,则满足插值条件(6.2)的n次插值多项式pn(x)
是存在且唯一的.
§2 Lagrange插值多项式
对n+1个节点x0,x1,…,xn ,构造n+1个n次多项式l0(x), l1(x),…,ln(x),使满足 li(xj)=ij ,i,j=0,1,…,n (6.3)
那么
Ln(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+…+ln(x)yn l k ( x) y k
n x x j ( x x 0 )( x x1 ) ( x x k 1 )( x x k 1 ) ( x x n ) l k ( x) 0 x x ( x k x 0 )( x k x1 ) ( x k x k 1 )( x k x k 1 ) ( x k x n ) jj j k k
k 0
n
(6.4)
就是函数(x)满足插值条件(6.2)的n次插值多项式.
称lk(x)(k=0,1,…,n)是关于节点xk (k=0,1,…,n)的n
次Lagrange插值基函数,(6.4)式确定的n次多项式Ln(x)称 为n次Lagrange插值多项式. 由于lk(x)满足:lk(xj)=0,(j=0,1,…,k-1,k+1,…,n), 所以可设 lk(x)=c(x-x0)(x-x1)…(x-xk-1)(x-xk+1)…(x-xn) 再由lk(xk)=1确定c,从而有
插值方法,这里主要讨论函数类
y
y=(x) y=pn(x)
P是代数多项式,即所谓的多项
式插值. 多项式插值,从几何上 看就是要求过n+1个点(xk ,yk) (k=0,1,…,n)的n次代数曲线 o x0 x1 ……
y=pn(x)作为(x)的近似. 用Pn表示所有次数不超过n的多项式函数类,若pn(x)
若记n+1(x)=(x-x0)(x-x1)…(x-xn),则lk(x)可写成 n 1 ( x) l k ( x) 1 ( x k ) ( x x k ) n 若取(x)=xk (k=0,1,…,n),由插值多项式的唯一性有
i 0 k k l i ( x) xi x n
, k 0,1, , n
特别当k=0时,有
i 0
l i ( x) 1
n
例1 求(x)关于节点x0,x1的线性Lagrange插值多项式
解 于是有
对节点x0,x1,Lagrange插值基函数为
x x1 l 0 ( x) x 0 x1 , l1 ( x) x x0 x1 x 0
设(n)(x)在[a,b]连续, (n+1)(x)在(a,b)内
存在,在节点ax0<x1<…<xnb上, 满足插值条件(6.2)的插 值多项式Ln(x),对任一x[a,b],插值余项为
( x ) R n ( x ) f ( x ) Ln ( x ) n 1 ( x) (n 1)! f
( x x1 )( x x 2 ) l 0 ( x) ( x 0 x1 )( x 0 x 2 ) l 2 ( x) ( x x 0 )( x x1 ) ( x 2 x 0 )( x 2 x1 ) ( x x 0 )( x x 2 ) , l1 ( x) ( x1 x 0 )( x1 x 2 ) ,