五、 材料力学切应力分析
切应力应变问题回答
切应力应变一、引言切应力应变是材料力学中的重要概念，它描述了材料在受到切力作用下产生的变形情况。
本文将从以下几个方面对切应力应变进行详细阐述。
二、切应力的定义和计算方法切应力是指垂直于物体表面方向的剪切力，通常用符号τ表示。
在材料力学中，切应力可以通过以下公式计算：τ = F/A其中F为作用在物体表面上的剪切力，A为物体表面积。
单位为帕斯卡（Pa）或牛顿/平方米（N/m²）。
三、切应变的定义和计算方法当物体受到外部剪切力时，会发生形变，这种形变被称为切应变。
通常用符号γ表示。
在材料力学中，切应变可以通过以下公式计算：γ = Δx/x其中Δx为物体沿着剪切方向移动的距离，x为物体原始长度。
单位为无量纲。
四、材料的剪切模量剪切模量是描述材料抵抗剪切形变能力的一个重要参数。
它通常用符号G表示，在国际单位制中单位为帕斯卡（Pa）。
剪切模量可以通过以下公式计算：G = τ/γ其中τ为切应力，γ为切应变。
五、材料的切变强度切变强度是指材料在受到最大切应力时的抵抗能力。
它通常用符号τmax表示，在国际单位制中单位为帕斯卡（Pa）。
材料的切变强度可以通过以下公式计算：τmax = Fmax/A其中Fmax为作用在物体表面上的最大剪切力，A为物体表面积。
六、影响切应力应变的因素1.材料性质：不同材料的剪切模量和切变强度不同，因此受到相同剪切力时产生的形变也不同。
2.温度：温度对材料性质有很大影响，高温下材料容易发生塑性变形。
3.载荷速率：载荷速率越快，产生的形变就越小。
4.试样几何形状：试样几何形状对产生的形变有很大影响。
七、结论本文详细阐述了切应力应变及其相关概念和计算方法，并介绍了影响其产生的因素。
在实际应用中，我们需要根据具体情况选择合适的试验方法和分析手段，以获得准确的材料力学参数。
材料力学第五章 弯曲应力分析
B
D
1m
1m
1m
y2
20
120
FRA
F1=9kN FRB F2=4kN
A C
BD
1m
1m
1m
2.5 Fs
+
+
4 kN
-
6.5 2.5
M
kNm
-
+
4
解： FRA 2.5kN FRB 10.5kN
88
52
-
+
C 2.5
4 B 80
z
20
120
20
B截面
σ t max
M B y1 Iz
4 • 52 763
20
+
-
+
10
Fs
kN
10
20
30
30
25
25
M
kNm
max
M max W
[ ]
W Mmax 30 187.5cm3
[ ] 160
1)圆 W d 3 187.5
32
d 12.4cm
A d 2 121cm2
4
2）正方形
a3 W 187.5
6
3）矩形
a 10.4cm
A a2 108cm2
压，只受单向拉压. （c）同一层纤维的变形相同。 （d）不同层纤维的变形不相同。
推论：必有一层变形前后长度不变的纤维—中性层
中性轴
中性轴⊥横截面对称轴
中性层
横截面对称轴
二、变形几何关系
dx
dx
图（a）
O
O
zb
O yx b
y
图（b）
主平面、主切应力平面及其面上的正应力和切应力
主平面、主切应力平面及其面上的正应力和切应力主平面和主应力是弹性力学中的概念，是用来描述材料在受力作用下的应力状态的一个重要工具。
主平面指的是材料内部受力作用下应力最大或最小的方向，而主应力则是这个方向上的应力值。
而主切应力平面和其面上的正应力和切应力，则是描述材料内部的变形状态的一个概念。
首先我们来看主平面和主应力的概念。
当材料受到外力的作用时，材料内部会产生各种应力。
这些应力是多方向的，如果我们希望找到一个方向，使得在这个方向上的应力是最大或者最小的，那么就会得到主平面和主应力的概念。
主平面是这个方向，而主应力则是在这个方向上的应力值。
对于一个给定的点，它的主平面是由该点的应力张量的特征向量所决定的。
其实，主平面、主切应力平面以及其面上的正应力和切应力这个概念是从材料的变形过程中提出来的。
在一个点上，由于材料受到外力的作用，会引起这个点周围的变形，而这个变形不仅仅与物体在这个点上的材料性质有关，还与外力和材料在这个点处的应力状态有关。
在材料受到外力的作用时，内部会产生应力，而这个应力不是均匀分布的，而是沿各个方向都存在的。
当材料内部的应力不再增大时，即为主应力。
通常会有三个主应力，分别对应于三个不同的主平面。
在这三个主平面上，会有相应的正应力和切应力。
主平面和主应力是弹性力学中很重要的概念，研究它们可以帮助工程师更好地分析和设计材料的性能和工程结构的安全性。
主平面和主应力的概念是非常重要的，因为它们可以帮助我们更好地理解材料在受力作用下的应力状态，这对于材料力学的研究和工程设计具有非常重要的意义。
主平面和主应力的概念对于工程领域有很多应用。
在工程设计中，我们经常需要了解材料在受力作用下的应力状态，从而确定材料的强度和结构的稳定性。
主平面和主应力可以帮助我们更好地理解和分析材料的应力状态，从而指导工程设计和优化。
同样，主切应力平面和其面上的正应力和切应力也是非常重要的。
它们描述了材料内部的变形状态，这对于材料的强度和耐久性有着重要作用。
五材料力学切应力分析资料讲解
五材料力学切应力分析资料讲解材料力学中的切应力分析是研究材料在受到切剪力作用下的应变和应力分布的一门学科。
切应力是物体内部各部分之间相对运动时产生的应力，常见于剪切变形过程中。
在进行切应力分析时，我们需要考虑以下几个关键因素：材料力学性质、应力方向、应变状态和材料结构。
首先，材料力学性质是进行切应力分析的基础。
不同材料在受到力作用时会发生不同的变形和断裂行为。
常见的材料力学性质包括弹性模量、屈服强度、断裂强度等。
这些性质决定了材料在受到力作用时的应变和应力分布规律。
其次，应力方向是进行切应力分析时需要考虑的因素之一、应力方向决定了材料内部产生的应力大小和分布情况。
常见的应力方向有横向应力、纵向应力和切向应力。
切向应力是材料在受到切剪力作用下产生的应力，它导致材料内部的断裂和形变。
应变状态是进行切应力分析时的另一个重要因素。
应变状态描述了材料在受到外力作用时的形变程度和方向。
常见的应变状态有线性应变、剪切应变和体积应变。
线性应变描述了材料在受到拉伸或压缩力作用下的变形情况，剪切应变描述了材料在受到切剪力作用下的变形情况，而体积应变描述了材料在受到体积力作用下的变形情况。
最后，材料的结构对切应力分析也有重要影响。
材料的结构决定了其内部微观结构和组织特征，从而影响了材料的力学性能和切应力分布。
常见的材料结构有晶体结构、非晶结构和多晶结构等。
不同的结构会导致材料在受到力作用时产生不同的应变和应力分布。
综上所述，材料力学切应力分析是研究材料在受到切剪力作用下的应变和应力分布的一门学科。
在进行切应力分析时，需要考虑材料力学性质、应力方向、应变状态和材料结构等因素。
通过深入研究材料在受到切剪力作用下的响应行为，可以有效提高材料的使用寿命和性能。
材料力学切应力
材料力学切应力材料力学是研究材料在外力作用下的力学性能和变形规律的学科，其中切应力是材料力学中的重要概念之一。
切应力是指材料内部受到的切削力，是材料在受到外力作用时发生形变的一种力学性质。
在材料力学中，切应力的研究对于材料的强度、塑性变形和破坏等方面具有重要的意义。
首先，我们来了解一下切应力的概念。
切应力是指材料内部受到的切削力，它是由于外力作用而引起的材料内部相对位移所产生的应力。
在材料受到外力作用时，内部各层之间会产生相对位移，从而产生切应力。
切应力的大小与外力的大小、材料的形状和材料的性质有关。
其次，我们来探讨一下切应力的计算方法。
在材料力学中，切应力的计算通常采用横截面上的切应力公式，τ=F/A，其中τ表示切应力，F表示作用力，A表示横截面积。
通过这个公式，我们可以计算出材料在外力作用下所受到的切应力大小。
除了切应力的计算方法，我们还需要了解切应力的影响因素。
切应力的大小受到多种因素的影响，包括外力的大小、作用角度、材料的性质、形状等。
在实际工程中，我们需要综合考虑这些因素，合理地选择材料和设计结构，以减小切应力对材料的影响，保证材料的强度和稳定性。
另外，切应力还与材料的塑性变形和破坏有着密切的关系。
在材料受到外力作用时，如果切应力超过了材料的极限强度，就会导致材料的塑性变形和最终的破坏。
因此，对于切应力的研究对于材料的强度和稳定性具有重要的意义。
在工程实践中，我们需要根据不同材料的特性和外力的作用情况，合理地计算和分析切应力，以保证材料的安全可靠性。
同时，我们还需要通过实验和模拟等手段，深入研究切应力对材料性能的影响规律，为材料的设计和应用提供科学依据。
总之，切应力是材料力学中的重要概念，它对于材料的强度、塑性变形和破坏等方面具有重要的影响。
通过对切应力的研究和分析，我们可以更好地理解材料的力学性能，为工程实践提供科学依据。
因此，我们需要深入研究切应力的计算方法、影响因素和对材料性能的影响规律，以提高材料的使用效率和安全可靠性。
材料力学中正应力和切应力方向
材料力学中正应力和切应力方向In materials mechanics, stress is a fundamental concept that helps us understand how materials deform and fail under various conditions. Stress can be divided into two main components: normal stress (or normal force) and shear stress (or tangential force). Normal stress acts perpendicular to the surface of a material, while shear stress acts parallel to the surface. Understanding the direction of normal and shear stresses is crucial for predicting the behavior of materials in different situations.在材料力学中，应力是一个基本的概念，帮助我们了解材料在不同条件下是如何变形和破坏的。
应力可以分为两个主要组成部分：正应力（或法向力）和切应力（或切向力）。
正应力作用垂直于材料表面，而切应力作用平行于表面。
了解正应力和切应力的方向对于预测材料在不同情况下的行为至关重要。
Normal stress, also known as tensile or compressive stress, is caused by forces acting perpendicular to the surface of a material. When a force is applied in a direction parallel to the surface, it results in shear stress. Normal stress causes a material to elongate or compressalong the direction of the applied force, while shear stress leads to deformation in the form of slipping or sliding between layers of material. The direction of normal and shear stresses can have a significant impact on how materials behave under different loadsand environmental conditions.正应力，也称为拉伸或压缩应力，是由作用在材料表面垂直方向的力引起的。
材料力学(第五版)扭转切应力
(
)
d 2 = 0.8D2=43 mm π 2 d1 A1 452 4 = = =1.95 2 2 A2 π D2 1 α2 53.7 1 0.8 2 4
(
)
(
)
空心圆轴能比实心圆轴更充分的使用材料。 空心圆轴能比实心圆轴更充分的使用材料。
理由？ 理由？
空心圆轴能比实心圆轴更充分的使用材料的原因： 空心圆轴能比实心圆轴更充分的使用材料的原因：
(
)
五、圆轴扭转时的强度条件 圆轴扭转时的最大切应力不能超过 材料的许用切应力
τmax
T ax m = ≤ [τ] W p
例题 d2
A
B
C
d1 mA mB mC
已知： 已知：阶梯轴尺寸如图 mA = 22 kN m, mB = 36 kN m, mC =14 kN m
[τ]= 80 MPa
d1 =120 m , d2 =100m m m
对于钢材: 对于钢材:
200 G= = 80GPa 2(1+ 0.25)
§3-4 圆轴扭转时的应力
一、变形几何条件 1、变形观察： 变形观察：
圆周线不变（大小、 圆周线不变（大小、 间距都不变） 间距都不变） 纵向线倾斜， 纵向线倾斜， 倾斜角相同 表面矩形变成 平行四边形
薄壁圆筒由于壁很薄， 薄壁圆筒由于壁很薄，表 面变形即为内部变形。 面变形即为内部变形。
圆轴内部任意一点的切应力 圆轴内部任意一点的切应力 τ ρ 与该点到圆心的距离ρ 与该点到圆心的距离ρ成正比
d τ ρ = Gρ dx
(c)
ρ =0
τρ = 0
ρ=R
τ ρ =τ max
d = GR dx
三、静力关系
材料力学考试知识点
材料力学考试知识点材料力学是一门研究材料在各种外力作用下产生的应变、应力、强度、刚度和稳定性的学科。
对于工科学生来说，这是一门非常重要的基础课程。
以下是材料力学考试中常见的知识点。
一、拉伸与压缩1、内力与轴力图在拉伸或压缩杆件时，杆件内部产生的相互作用力称为内力。
通过截面法可以求得内力，将杆件沿某一截面假想地切开，取其中一部分为研究对象，根据平衡条件求出内力。
用轴力图可以直观地表示轴力沿杆件轴线的变化情况。
2、应力正应力是垂直于截面的应力，计算公式为σ ＝ N/A ，其中 N 为轴力，A 为横截面面积。
切应力是平行于截面的应力。
3、胡克定律在弹性范围内，杆件的变形与所受外力成正比，与杆件的长度成正比，与杆件的横截面面积成反比，与材料的弹性模量成反比。
表达式为Δl ＝ FNl/EA ，其中Δl 为伸长量， FN 为轴力，l 为杆件长度，E 为弹性模量，A 为横截面面积。
4、材料的拉伸与压缩力学性能通过拉伸试验可以得到材料的力学性能，如屈服极限、强度极限、延伸率和断面收缩率等。
二、剪切与挤压1、剪切的实用计算假设剪切面上的切应力均匀分布，根据平衡条件计算剪切面上的剪力和切应力。
2、挤压的实用计算考虑挤压面上的挤压应力，通常假定挤压应力在挤压面上均匀分布。
三、扭转1、扭矩与扭矩图扭矩是杆件受扭时横截面上的内力偶矩。
扭矩图用于表示扭矩沿杆件轴线的变化情况。
2、圆轴扭转时的应力与变形横截面上的切应力沿半径呈线性分布，最大切应力在圆轴表面。
扭转角的计算公式为φ ＝ Tl/GIp ，其中 T 为扭矩，l 为杆件长度，G 为剪切模量，Ip 为极惯性矩。
四、弯曲内力1、剪力和弯矩剪力是横截面切向分布内力的合力，弯矩是横截面法向分布内力的合力偶矩。
通过截面法可以求出剪力和弯矩。
2、剪力图和弯矩图用图形表示剪力和弯矩沿杆件轴线的变化规律，有助于分析杆件的受力情况。
五、弯曲应力1、纯弯曲时的正应力推导得出纯弯曲时横截面上正应力的计算公式σ ＝ My/Iz ，其中 M 为弯矩，y 为所求应力点到中性轴的距离，Iz 为惯性矩。
工程力学-材料力学之应力应变状态分析
求：（1）A点处的主应变 1， 2 ， 3
（2）A点处的线应变 x ， y ， z
F1 b A F2 z b=50mm h=100mm
Hale Waihona Puke 19F2al
解：梁为拉伸与弯曲的组合变形. A点有拉伸引起的正应力
和弯曲引起的切应力.
铜块横截面上的压应力mpa3010300analysiessst155mpa铜块的主应力为mpampa30最大切应力mpa2510951010034analysiessst例题11一直径d20mm的实心圆轴在轴的的两端加力矩m126n45方向的应变analysiessstanalysiessst外径d60mm的薄壁圆筒在表面上k点与其轴线成45y两方向分别贴上应变片然后在圆筒两端作用矩为的扭转力偶如图所示已知圆筒材料的弹性常数为若该圆筒的变形在弹性范围内且analysiessst从圆筒表面k点处取出单元体其各面上的应力分量如图所示可求得mpa80maxmpa80maxanalysiessstmaxmaxmax10拉应变圆筒表面上k点处沿径向z轴的应变和圆筒中任一点该点到圆筒横截面中心的距离为maxmax因此该圆筒变形后的厚度并无变化仍然为t10mmanalysiessstb50mmh100mm例题13已知矩形外伸梁受力f作用
在任意形式的应力状态下, 各向同性材料内一点处的体
积应变与通过该点的任意三个相互垂直的平面上的正应力之
和成正比, 而与切应力无关.
11
例题10 边长 a = 0.1m 的铜立方块，无间隙地放入体积较大， 变形可略去
不计的钢凹槽中, 如图所示. 已知铜的弹性模量 E=100GPa，泊松比 =0.34， 当受到F=300kN 的均布压力作用时，求该铜块的主应力、体积应变以及最
受切结构件剪切面上的切应力大小
受切结构件剪切面上的切应力大小随着现代工程技术的发展，结构件的设计和制造已经成为工程领域不可或缺的重要部分。
在工程结构中，受切结构件的剪切面上所受的切应力是一个至关重要的参数。
了解和计算剪切面上的切应力大小，对于结构件的强度分析和设计优化具有重要意义。
本文将从以下几个方面对受切结构件剪切面上的切应力大小进行深入探讨。
一、切应力的定义切应力是指垂直于物体表面的内部应力，它是物体在受力作用下产生的。
在材料内部，由于不同部位受到的力的不同，材料中会产生各向应力。
当物体受到外力作用时，材料内部会产生剪切变形，而这种剪切变形所产生的内部应力即为切应力。
二、受切结构件剪切面上的切应力分析1. 切应力的各向性在受切结构件的剪切面上，切应力是具有各向性的，也就是说在任意一个剪切面上，切应力的大小和方向都是不规则的。
这为切应力的计算带来了一定的难度，需要通过理论分析或者数值模拟进行精确计算。
2. 切应力的计算方法根据材料力学理论，可以通过计算得到受切结构件剪切面上的切应力大小。
一般来说，可以采用横截面法、平均切应力法、最大和最小主应力法以及梁式剪切法等不同的方法进行计算。
这些方法各有其适用的范围和优缺点，在实际工程中需要根据具体情况进行选择。
三、切应力的影响因素1. 外力作用情况受切结构件剪切面上的切应力大小受外力作用情况的影响较大。
外力的大小、方向、作用点以及作用形式都会对切应力产生一定程度的影响，因此在计算切应力时需要考虑外力的作用情况。
2. 结构件的几何形状结构件的几何形状也是影响切应力大小的重要因素。
通常情况下，结构件的截面形状和尺寸都会对切应力的分布和大小产生一定的影响，在进行切应力计算时需要考虑这一因素。
3. 材料的性能参数材料的性能参数是影响切应力大小的另一个重要因素。
不同材料的弹性模量、剪切模量以及材料的强度参数都会对切应力产生影响，因此在进行切应力计算时需要充分考虑材料的性能参数。
四、切应力的优化设计在工程实践中，如何优化设计以减小受切结构件剪切面上的切应力是工程师们需要认真思考和研究的课题。
材料力学知识点总结
材料力学知识点总结材料力学是研究材料在各种外力作用下产生的应变、应力、强度、刚度和稳定性等问题的一门学科。
它是工程力学的重要组成部分，对于机械、土木、航空航天等工程领域都有着至关重要的作用。
以下是对材料力学主要知识点的总结。
一、拉伸与压缩在拉伸和压缩的情况下，我们主要关注杆件的内力、应力和变形。
内力是指杆件在外力作用下，其内部各部分之间相互作用的力。
通过截面法可以求出内力。
应力则是单位面积上的内力。
正应力计算公式为σ ＝ N ／ A ，其中 N 为轴力，A 为横截面面积。
对于拉伸和压缩变形，其变形量Δl 可以通过公式Δl ＝ Nl ／ EA 计算，其中 E 为材料的弹性模量，l 为杆件长度。
二、剪切与挤压剪切是指在一对相距很近、大小相同、指向相反的横向外力作用下，杆件的横截面发生相对错动的变形。
剪切应力τ ＝ Q ／ A ，其中 Q 为剪力，A 为剪切面面积。
挤压是连接件在接触面上相互压紧的现象，挤压应力σbs ＝ Fbs ／Abs ，Fbs 为挤压力，Abs 为挤压面面积。
三、扭转当杆件受到绕轴线的外力偶作用时，会发生扭转。
扭矩 T 可以通过外力偶矩计算得到。
圆轴扭转时的切应力分布规律是沿半径线性分布，最大切应力在圆轴表面。
扭转角φ 可以通过公式φ ＝ Tl ／ GIp 计算，G 为材料的切变模量，Ip 为极惯性矩。
四、弯曲弯曲是指杆件在垂直于轴线的横向力或作用于轴线平面内的力偶作用下，轴线由直线变为曲线的变形。
弯矩是弯曲内力的一种，通过截面法可以求出。
弯曲应力的分布与截面形状有关，对于矩形截面，最大正应力在截面边缘。
挠度和转角是弯曲变形的两个重要参数，可以通过积分等方法求解。
五、应力状态与强度理论一点的应力状态可以用应力单元体来表示。
常用的强度理论有第一强度理论（最大拉应力理论）、第二强度理论（最大伸长线应变理论）、第三强度理论（最大切应力理论）和第四强度理论（形状改变比能理论）。
强度理论用于判断材料在复杂应力状态下是否发生破坏。
切应变和切应力
切应变和切应力
切应变和切应力是材料力学中非常重要的概念，在材料的力学性能表征和工程设计中都起着关键作用。
切应变是指材料在受到外力作用下发生形变时，单位长度内的相对位移；而切应力则是指单位面积内受到的切应力。
理解和掌握这两个概念对于材料的应用和研究至关重要。
让我们来看一下切应变。
当外力作用于材料时，材料内部会发生相对位移，这种相对位移在材料中引起内部结构的变形，从而导致材料产生变形。
而切应变就是用来描述这种变形程度的物理量。
通常情况下，切应变可以分为剪切应变和旋转应变两种。
剪切应变是指材料内部不同点之间相对位移引起的变形，而旋转应变则是指材料内部的微观结构发生旋转而引起的变形。
通过对材料内部的切应变进行分析，可以更好地了解材料的变形特性和性能。
接着，让我们来看一下切应力。
切应力是指单位面积内受到的切应力。
在材料受到外力作用时，材料内部会产生应力，这种应力是与外力方向垂直的应力，也就是切应力。
切应力的大小和方向决定了材料的变形方式和强度。
在材料的设计和使用过程中，对切应力的控制和分析至关重要。
通过调整材料的结构和性质，可以有效地控制切应力的大小和分布，从而提高材料的强度和稳定性。
总的来说，切应变和切应力是材料力学中不可或缺的概念，它们直接影响着材料的性能和应用。
通过对这两个概念的深入理解和研究，
可以更好地设计和选择材料，提高材料的性能和可靠性。
希望通过本文的介绍，读者能对切应变和切应力有更深入的了解，为材料科学和工程技术的发展做出贡献。
材料力学
50 100 50 100 cos60 70sin 60
2
2
73.1MPa
30
x
y 2
sin 2
xy cos2
50 100 sin 60 70cos60 2
30MPa
（2）主应力及主平面的方位
max m in
0
tan 21
x 2 xy
y
上式可求出相差900的两个角a 1，对应两个互相垂直的极值切应力截 面。
m
ax
min
x
2
y
2
2 xy
比较公式 可见 所以有
tan 20
2 xy x
y
tan
21
x xy
y
max min
x
y
2
x
2
y
2
2 xy
三、最大切应力及其作用平面的位置
x
y
2
sin 2
xy cos 2
令 1 时
即
d 0 d
d d
( x
y ) cos21 2 xy sin 21
tan 2 0
1
tan 21
2a1
2a0
π 2
,
a1
a0
π 4
例 图a所示为受力构件内单元体各面上的应力，试用
材料力学应力状态知识点总结
材料力学应力状态知识点总结材料力学是研究物体在外力作用下的力学性质和变形规律的学科。
而材料的应力状态是材料力学中的重要概念，它描述了材料内部的力学状态和应力分布情况。
本文将对材料力学应力状态的相关知识点进行总结和讨论。
一、概述材料力学中的应力状态描述了材料受到力的情况，主要包括应力的类型、作用面以及应力的大小和方向等。
常见的应力类型有正应力、剪应力和法向应力等。
二、正应力正应力是指材料内部单位截面上的内力除以该截面的面积所得到的值。
正应力的作用面垂直于该面，并且指向该面。
根据正应力的作用面，可以将正应力分为法向应力和切应力。
1. 法向应力法向应力是指与作用面垂直的应力，主要包括拉应力和压应力两种类型。
拉应力是指作用面上的拉力对单位面积的分布情况，用正值表示；压应力则是指作用面上的压力对单位面积的分布情况，用负值表示。
2. 切应力切应力是指作用面上的切力对单位面积的分布情况。
切应力的方向沿着作用面的切向，它可以使物体出现剪切变形。
切应力常常与正应力相互作用，共同影响材料的力学行为。
三、剪应力剪应力是指作用在材料内部引起切变形的内力作用于单位面积的横截面积。
在材料内部的应力矢量图中，剪应力是与作用面方向垂直的应力分量。
四、应力的大小和方向应力的大小和方向对材料的力学性质和变形规律具有重要影响。
在材料受到外力作用时，应力的大小会决定材料的强度和变形能力；应力的方向则会影响材料的断裂方向和裂纹扩展方向。
根据材料力学的原理和实际应用，可以通过引入应力变换理论和应力变形关系来具体分析和计算材料内部的应力状态。
应力变换理论可以将复杂的应力状态转化为简单的应力状态，并通过研究力的平衡条件和变形规律，求解出具体的应力分布情况。
总结：材料力学应力状态是研究材料受力情况的重要内容。
正应力包括法向应力和切应力，它们分别描述了材料受到的拉应力、压应力和剪应力；而剪应力则是引起切变形的内力作用于单位面积的横截面积。
应力大小和方向对材料力学性质和变形规律具有重要影响。
材料力学(第五版)扭转切应力 PPT课件
pq
da
Me
cb
pq
pq
d’ a’
Me
c’
b’
pq
切应力互等定理
切应力互等定理
d
a
d
a
c
b
c
b
在相互垂直的两个截面上，切应力 必然成对出现，且大小相等，方向为共 同指向或共同背离两个截面的交线。
二、剪切胡克定律
d
a
Me
c
b
d’
γ
a’
pq
da
Me
cb
pq pq
T3 158.7 N m
Wp1
d13 16
703 109 16
67.34 106 m3
Wp 2
d32 16
503 109 16
24.54 106 m3
Wp3
d33 16
353 109 16
8.418106 m3
(max )E
D4 d 4 32
D
I p
πD4
1 α4 32
d
O
式中: d
D
D
圆轴扭转最大切应力
max
|R
TR IP
令:
Wp
IP R
抗扭截面系数
圆轴扭转最大切应力为:
max
T Wp
实心圆轴的抗扭截面系数为:
D3 Wp 16
空心圆轴的抗扭截面系数为:
Wp
A1
4
d12
A2
4
切应力的分解
切应力的分解切应力是材料力学中的一个重要概念，用来描述材料在受到切割力作用时的应力状态。
切应力的分解是将切应力分解为正应力和剪应力两个分量，通过分解可以更好地理解和分析材料在切割过程中的应力分布和变化规律。
一、正应力的分解正应力是指垂直于截面的应力分量，分解为法向应力和切向应力两个分量。
法向应力是指垂直于截面的应力，也称为压应力或拉应力。
切向应力是指平行于截面的应力，也称为剪应力。
在切应力的分解中，我们可以将正应力分解为垂直于切割方向的法向应力和平行于切割方向的切向应力。
这样的分解有助于我们研究材料在不同方向上的应力分布和变化规律。
二、剪应力的分解剪应力是指平行于截面的应力分量，分解为剪切应力和剪压应力两个分量。
剪切应力是指平行于切割方向的应力，剪压应力是指垂直于切割方向的应力。
在切应力的分解中，我们可以将剪应力分解为平行于切割方向的剪切应力和垂直于切割方向的剪压应力。
这样的分解有助于我们理解材料在切割过程中的应力分布和变化规律。
三、切应力的分解原理切应力的分解原理基于力学原理和应力平衡条件。
根据力学原理，切应力可以分解为正应力和剪应力。
根据应力平衡条件，正应力和剪应力之和在各个方向上都为零。
通过切应力的分解，我们可以更好地理解材料在切割过程中的应力状态。
正应力描述了材料在垂直于切割方向上的应力分布，剪应力描述了材料在平行于切割方向上的应力分布。
分解后的应力分量有助于我们分析材料的强度和变形特性，进而指导材料的设计和加工。
四、切应力的影响因素切应力的大小和分布受到多种因素的影响，包括切割力的大小、切割速度、材料的性质和几何形状等。
切割力的大小和方向决定了切应力的大小和分布。
切割速度越大，切应力越大。
材料的性质和几何形状也会影响切应力的大小和分布。
五、切应力的应用切应力的分解是材料力学中的基本概念，广泛应用于工程设计和材料加工。
在工程设计中，切应力的分解可以帮助我们评估材料的强度和稳定性，指导结构的设计和优化。
材料力学之应力状态知识讲解
1
m main =xx 2y
(x 2y)2x2y=
26MPa 96MPa
1=26 MP , a2=0, 3=96 MPa
26
例题 5 图示单元体。
已知: x =-40MPa ，y =60MPa ，xy=-50MPa 。 试求: ef 截面上的应力情况及主应力和主单元体的方位。
(1) 求 ef 截面上的应力
P A
B
C
A A
A
B B C
C
C C
从A、B、C三点截取 7
例题 1 画出如图所示梁 S 截面的应力状态单元体.
F
S平面
l/2 l/2
5 4 3 2
1
8
5
S平面
5
4
4
3
3
2
2
1
1
x1
1
x1 x2
2
x2
2
2
3
3
3
9
例题2 画出如图所示梁的危险截面上, 危险点的应力状态
yy
单元体。
1
4
FS
2
z
3
z2 xT 3
45°
所以 0= -45°与 max 对应
1
（2）求主应力
m m= a in x x 2y(x 2y)2x 2= y
1 = ， 2 = 0 ， 3 = - 30
§8-3 平面应力状态分析-图解法
一.莫尔圆
将斜截面应力计算公式改写为
= xx 2 2yys=i2n x 2yxcycoo22 s sxysi2n
把上面两式等号两边平方, 然后相加便可消去 , 得
(x 2y)2 2=( x 2y)2x 2y
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本章作业
5- 4 ，5 - 5，5 – 16，5-17
dz
x
切应力互等定理：在两个相互垂直的平
面上，切应力成对存在，两应力垂直于
两个平面的交线，共同指向或者背离该 交线：
τ = τˊ
切应力互等定理、剪切虎克定律
剪切胡克定律： 弹性范围内，切应力与切应变成正比
G
A B
C D
´
´
式中 G 为材料的剪切弹性材料的模量， γ 为剪切应变。 弹性模量、泊松比、剪切弹性模量三个 常数存在如下关系，只有两个是独立的。
4 FQ 3 A
注意切应力方向，在横截面边界上各点的 切应力沿着边界切线方向。（如图所示） 3、外径为D、内径为d的空心圆截面(如图)
A
max
(D 2 d 2 ) ；其中A ; A 4
2 FQ
薄壁截面梁弯曲切应力公式推广应用到实心截面梁
4、工字形截面 工字形截面由上下翼缘和之间的腹板组 成，竖直方向的切应力主要分布在腹板上。 *
第5章
弹性杆件横截面上的 切应力分析
第五章 弹性杆件横截面上的切应力分析
1、切应力互等定理、剪切虎克定律 2、圆轴扭转时横截面上的切应力分析
3、薄壁截面梁弯曲时横截面上的切应力流与弯曲中心
4、基于最大切应力的强度计算 5、结论与讨论
切应力互等定理、剪切虎克定律
请判断哪些零件 将发生扭转变形
传动轴
max
FQ S z max
I z
;
5、弯曲实心截面正应力与切应力的量级比 较，如图 FQ l F Q S max max max W I l 对 应 直 径 为 d 的 圆 截 面 ： max （ 6 ） ; max d
max l 对 于 宽 为 b、 高 为 h的 矩 形 截 面 ： （ 4 ） ; max h
圆轴扭转时横截面上的切应力分析
解：1、计算轴的扭矩
M x 9549 7 .5 716 . 2 ( N m ); 100
2、计算轴的直径
实心轴： max d1 3 M x 16 M x 40 MPa; 2 WP d1
16 716.2 0.045m 45mm; 40 10 6 M 16 M x 空心轴： max x 40 MPa; 3 4 WP πD2 1 D2 3 16 716.2 0.046m 46mm; 4 6 (1 0.4 )40 10
3
圆轴扭转时横截面上的切应力分析
解：1、计算扭矩 P1=14kW,
n 3＝ n1
P2= P3= P1/2=7 kW
3
n1=n2= 120r/min
z1 36 ＝ 120 r/min ＝ 360r/min ； z3 12
Mx1=9549×14/120=1114 N.m
C’
Mx
B’
´
D’
平面假设：圆轴扭转时，横截面 保持平面，并且只能发生刚性转动。
横截面是刚性转动，直 径始终是直线。
圆轴扭转时横截面上的切应力分析
1、应变特征 两轴向间距为dx的截面相对转角为 dφ ,考察 微元 ABCD 的变形得：
d dx
圆轴扭转时，切应变沿半径方向线性分布。
WP
max
IP
Wp 扭转截面系数
π D 4 1－ 4 圆环：IP , 32
πd 4 πd 3 圆：IP ； WP 32 16
π D 3 1－ 4 WP 16
圆轴扭转时横截面上的切应力分析
例题5-1、图示传动机构，由B轮输入功率，通过锥型齿轮将
其一半功率传递给C轴，另一半传递给H轴。已知：P1＝14kW, n1= n2= 120 r/min, z1=36,z3=12;d1=70mm, d 2 =50mm, d3=35mm. 求: 各轴横截面上的最大切应力。
梁是细长杆（如L=10d），则弯曲正应力 为60倍切应力值，切应力是次要因素。
基于最大切应力的强度计算
弯曲构件横截面上最大切应力作用点一般没有正应力作 用。为了保证构件安全可靠，必须将最大切应力限制在一定 数值以内，即
max
对于静载荷作用，扭转许用切应力与拉伸许用正应力存在如 下关系：
G E 2 (1 )
圆轴扭转时横截面上的切应力分析
观察圆轴表面平行轴线的直线和垂直这
请注意圆轴受扭转后表面 的矩形将发生什么变形？
些直线的环线在扭矩作用下的变化。
圆轴变形后表面的直线变成螺旋线；环 线没有变化，小矩形ABCD变形为平行 四边形A’B’C’D’。
A B C D A’
Mx
´
2、弯曲中心 对于薄壁截面，由于切应力方向必须
平行于截面周边的切线方向，故切应力相
对应的分布力系向横截面所在平面内不同 点简化，将得到不同的结果。如果向某一 点简化结果所得的主矢不为零而主矩为零， 则这一点称为弯曲中心。图示薄壁截面梁
的弯曲中心并不在形心上，因此外力作用
在形心上时主矢不为零而主矩也不为零， 梁就会发生弯曲和扭转变形。
薄壁截面梁弯曲时横截面上的切应力与弯曲中心
弯曲中心： 以图示薄壁槽钢为例，
y y
2
y
先分别确定腹板和翼缘上的切应力：
z
c
z
2 2 6 F（ bh h / 4 y ） Q 腹板： 1 ； 2 h ( h 6b ) 6 FQ s 翼缘： 2 2 ; h ( h 6b )
z Mn
x x
z 轴的内力对应的应力：
FN ; A Mn ; 扭矩Mn引起的切应力： W * Fqy S Z 剪力Fqy引起的切应力： y I ; z
Fqy
轴力FN引起的正应力：
z
Mz
x x
z
y
弯矩Mz引起的正应力:
剪力Fqz引起的切应力： z I ; y
弯矩My引起的正应力:
My W ;
Mz ; W Fqz S * y
Fqz
y My
x x
讨论：矩形截面杆扭转切应力
变形特征 －翘曲、平面假设不成立； 切应力分布 角点切应力等于零; 边缘各点切应力沿切线方向; 最大切应力发生在长边中点.
角点切应力等于零 边缘各点切应力沿切线方向 长边中点处： 短边中点处 ：
max
（ dA ）
A
A
G
d dA M x dx
Mx d dx GI P
得：
M x IP
圆形截面：IP
d 4
32
4、最大切应力 圆轴扭转时横截面上最大切应力在横截面的边缘上。
max
M x max Mx IP WP
max
max
Mx C 1 hb 2
x C 1' ma x ma
小结：不同变形情形下切应力不同特点
1、扭转切应力与弯曲切应力布及其分析方法的差异；对于 实心截面杆，扭转与弯曲切应力量级上的差异。 2、圆截面杆与非圆截面杆扭转切应力的差异。
3、实心截面杆与开口薄壁截面杆弯曲切应力的差异。
4、实心截面梁弯曲切应力一般不计算；扭转切应力必须计算。
薄壁截面梁弯曲时横截面上的切应力
FQ S * z
I z
FQ 横截面上的剪力； I z 横截面对中性轴的惯性矩；
薄壁截面的壁厚；
* Sz 过所要求切应力点，沿薄壁
横截面厚度方向将横截面分为ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ部 分，其中一部分对中性轴的静矩；
薄壁截面梁弯曲时横截面上的切应力与弯曲中心
2
d 2 0.5 D2 23mm;
A1 d 12 1 45 10 3 3、二轴的横截面面积之比： A2 D 22 1 2 46 10 3 1 0 .5 2 ＝1 .28
讨论：弹性杆件横截面上的各种内力与应力
Fn
轴的受力图
低碳钢： （0.5 — 0.6） 铸铁： （0.8 — 1）
圆轴扭转时横截面上的切应力分析
例5-2、如图联轴器已知：最大功率 P＝7.5kW, 转速n=100r/min, 轴的最大切应力不得超 过 40MPa ,空心圆轴的内外直径 之比 = 0.5。 求: 实心轴的直径 d1 和空心轴的外直径 D2 。
max
3 FQ 2 A
* FQ S z
h
实心截面梁的弯曲切应力误差分析:
h/b
I z
1/1 1.12
；
1/2
1.57 1/4 2.30
A
b
1.0
2/1 1.04
在常用尺寸范围有较好精度。
薄壁截面梁弯曲切应力公式推广应用到实心截面梁
2、直径为 d 的圆截面(如图)
max
Mx2=9549×7/120=557 N.m Mx3=9549×7/360=185.7 N.m 2、计算各轴的最大切应力
max E
M x 1 16 1114 W P 1 π 70 3 10 - 9 P a 16.54M P a
max H
薄壁截面梁弯曲时横截面上的切应力 1、切应力流 承受弯曲的薄壁截面杆件，与剪
力相对应的切应力有下列显著特征：
杆件表面无切应力作用，由切应 力互等定理，薄壁截面上的切应力必 定平行于截面周边的切线方向，并且 形成切应力流。 切应力沿壁厚方向均匀分布。
薄壁截面梁弯曲时横截面上的切应力