五、 材料力学切应力分析

（ dA ）
A

A
G
d dA M x dx
Mx d dx GI P
得：
M x IP
圆形截面：IP
d 4
32
4、最大切应力 圆轴扭转时横截面上最大切应力在横截面的边缘上。
max
M x max Mx IP WP
max
max
薄壁截面梁弯曲时横截面上的切应力 1、切应力流 承受弯曲的薄壁截面杆件，与剪
力相对应的切应力有下列显著特征：
杆件表面无切应力作用，由切应 力互等定理，薄壁截面上的切应力必 定平行于截面周边的切线方向，并且 形成切应力流。 切应力沿壁厚方向均匀分布。
薄壁截面梁弯曲时横截面上的切应力
以如图壁厚为 δ 的悬臂梁槽钢为例， 考察x方向平衡

My W ;
Mz ; W Fqz S * y
Fqz
y My
x x
讨论：矩形截面杆扭转切应力
变形特征 －翘曲、平面假设不成立； 切应力分布 角点切应力等于零; 边缘各点切应力沿切线方向; 最大切应力发生在长边中点.
角点切应力等于零 边缘各点切应力沿切线方向 长边中点处： 短边中点处 ：
max

dz
x
切应力互等定理：在两个相互垂直的平
面上，切应力成对存在，两应力垂直于
两个平面的交线，共同指向或者背离该 交线：
τ = τˊ
切应力互等定理、剪切虎克定律
剪切胡克定律： 弹性范围内，切应力与切应变成正比


G
A B
C D
´

´

式中 G 为材料的剪切弹性材料的模量， γ 为剪切应变。 弹性模量、泊松比、剪切弹性模量三个 常数存在如下关系，只有两个是独立的。
c
1
z
c
s
由积分求作用在翼缘上的合力FT ：
FT
M

b
0
2 ds ;
薄壁截面梁弯曲时横截面上的切应力与弯曲中心
作用在腹板上的剪力为FQ ;将FT 和 FQ 向截面形心 C 简化，可以得到主 矢FQ 和主矩M ； 其中M=FT ×h+FQ×e’； 将FT 、FQ 向O点简化使M=0；点O即 为弯曲中心。
* * * F 0 ; F ( F dF x N N N ) (dx ) 0; ( a ) * 其中：FN x dA; A* * * FN dFN ( x d x ) dA; A* * 将 x M z y * / I z 带入上式得：（注意到S z y * dA; ) A * * M zSz ( M z dM z ) S z * * F ; FN dFN ; Iz Iz FQ S * 带入（a）式得： z I z * N
Mx C 1 hb 2
x C 1' ma x ma
小结：不同变形情形下切应力不同特点
1、扭转切应力与弯曲切应力布及其分析方法的差异；对于 实心截面杆，扭转与弯曲切应力量级上的差异。 2、圆截面杆与非圆截面杆扭转切应力的差异。
3、实心截面杆与开口薄壁截面杆弯曲切应力的差异。
4、实心截面梁弯曲切应力一般不计算；扭转切应力必须计算。
圆轴扭转时横截面上的切应力分析
2、切应力分布特征
由剪切虎克定律得：
G G
d dx
圆轴扭转时，切应力沿半径方向线性分布。


由切应力互等定理，与横截面相垂直的平面上 也存在着切应力。
圆轴扭转时横截面上的切应力分析
3、切应力公式 切应力在圆轴横截面上的和就是该横截面上的扭矩。
本章作业
5- 4 ，5 - 5，5 – 16，5-17
切应力互等定理、剪切虎克定律
请判断轴受哪些力 将发生什么变形 请判断哪些截面 将发生剪切变形
Mn
z x
两类切应力：扭转切应力、弯曲切应力；
切应力互等定理、剪切虎克定律
考察承受切应力作用的微元体
y
dydz dx ( dxdz)dy 0;

z
M 0；

A dy B dx D C
圆轴扭转时横截面上的切应力分析
解：1、计算轴的扭矩
M x 9549 7 .5 716 . 2 ( N m ); 100
2、计算轴的直径
实心轴： max d1 3 M x 16 M x 40 MPa; 2 WP d1
16 716.2 0.045m 45mm; 40 10 6 M 16 M x 空心轴： max x 40 MPa; 3 4 WP πD2 1 D2 3 16 716.2 0.046m 46mm; 4 6 (1 0.4 )40 10
G E 2 (1 )
圆轴扭转时横截面上的切应力分析
观察圆轴表面平行轴线的直线和垂直这
请注意圆轴受扭转后表面 的矩形将发生什么变形？
些直线的环线在扭矩作用下的变化。
圆轴变形后表面的直线变成螺旋线；环 线没有变化，小矩形ABCD变形为平行 四边形A’B’C’D’。
A B C D A’
Mx
´
e e FT h ; FQ
M y y
2
y
z
c
z
c
1
z
c
s
常见薄壁截面弯曲中心位置可以查表 5-1。 为了避免型钢的这类问题发生，工程 中薄壁截面梁一般采取复合梁，如图 示。
薄壁截面梁弯曲切应力公式推广应用到实心截面梁
薄壁截面梁弯曲切应力公式可以推广应 用到实心截面梁。
1、宽度和高度分别为b和h的矩形截面 （如图）
max
3 FQ 2 A
* FQ S z
h
实心截面梁的弯曲切应力误差分析:

h/b
I z
1/1 1.12
；
1/2
1.57 1/4 2.30
A
b

1.0
2/1 1.04

在常用尺寸范围有较好精度。
薄壁截面梁弯曲切应力公式推广应用到实心截面梁
2、直径为 d 的圆截面(如图)
max
M x 2 16 557 W P 2 π 50 3 10 - 9
P a 2 2 .69M P a
max C
M x 3 16 185 . 7 P a 2 1 .98M P a W P 3 π 3 5 3 10 - 9
梁是细长杆（如L=10d），则弯曲正应力 为60倍切应力值，切应力是次要因素。
基于最大切应力的强度计算
弯曲构件横截面上最大切应力作用点一般没有正应力作 用。为了保证构件安全可靠，必须将最大切应力限制在一定 数值以内，即
max
对于静载荷作用，扭转许用切应力与拉伸许用正应力存在如 下关系：

C’

Mx
B’

´
D’
平面假设：圆轴扭转时，横截面 保持平面，并且只能发生刚性转动。
横截面是刚性转动，直 径始终是直线。
圆轴扭转时横截面上的切应力分析
1、应变特征 两轴向间距为dx的截面相对转角为 dφ ,考察 微元 ABCD 的变形得：
d dx

圆轴扭转时，切应变沿半径方向线性分布。
z Mn
x x
z 轴的内力对应的应力：
FN ; A Mn ; 扭矩Mn引起的切应力： W * Fqy S Z 剪力Fqy引起的切应力： y I ; z
Fqy

轴力FN引起的正应力：
z
Mz
x x
z
y
弯矩Mz引起的正应力:

剪力Fqz引起的切应力： z I ; y
弯矩My引起的正应力:
3
圆轴扭转时横截面上的切应力分析
解：1、计算扭矩 P1=14kW,
n 3＝ n1
P2= P3= P1/2=7 kW
3
n1=n2= 120r/min
z1 36 ＝ 120 r/min ＝ 360r/min ； z3 12
Mx1=9549×14/120=1114 N.m
薄壁截面梁弯曲时横截面上的切应力
FQ S * z

I z
FQ 横截面上的剪力； I z 横截面对中性轴的惯性矩；
薄壁截面的壁厚；
* Sz 过所要求切应力点，沿薄壁
横截面厚度方向将横截面分为两部 分，其中一部分对中性轴的静矩；
薄壁截面梁弯曲时横截面上的切应力与弯曲中心
Mx2=9549×7/120=557 N.m Mx3=9549×7/360=185.7 N.m 2、计算各轴的最大切应力
max E
M x 1 16 1114 W P 1 π 70 3 10 - 9 P a 16.54M P a
max H
max
FQ S z max
I z
;
5、弯曲实心截面正应力与切应力的量级比 较，如图 FQ l F Q S max max max W I l 对 应 直 径 为 d 的 圆 截 面 ： max （ 6 ） ; max d
max l 对 于 宽 为 b、 高 为 h的 矩 形 截 面 ： （ 4 ） ; max h
4 FQ 3 A
注意切应力方向，在横截面边界上各点的 切应力沿着边界切线方向。（如图所示） 3、外径为D、内径为d的空心圆截面(如图)
A
max
(D 2 d 2 ) ；其中A ; A 4
2 FQ
薄壁截面梁弯曲切应力公式推广应用到实心截面梁
4、工字形截面 工字形截面由上下翼缘和之间的腹板组 成，竖直方向的切应力主要分布在腹板上。 *
第5章
弹性杆件横截面上的 切应力分析
第五章 弹性杆件横截面上的切应力分析
1、切应力互等定理、剪切虎克定律 2、圆轴扭转时横截面上的切应力分析
3、薄壁截面梁弯曲时横截面上的切应力流与弯曲中心
4、基于最大切应力的强度计算 5、结论与讨论
切应力互等定理、剪切虎克定律
请判断哪些零件 将发生扭转变形
传动轴
薄壁截面梁弯曲时横截面上的切应力与弯曲中心
弯曲中心： 以图示薄壁槽钢为例，
y y
2
y
先分别确定腹板和翼缘上的切应力：
z
c
z
2 2 6 F（ bh h / 4 y ） Q 腹板： 1 ； 2 h ( h 6b ) 6 FQ s 翼缘： 2 2 ; h ( h 6b )
2
d 2 0.5 D2 23mm;
A1 d 12 1 45 10 3 3、二轴的横截面面积之比： A2 D 22 1 2 46 10 3 1 0 .5 2 ＝1 .28
讨论：弹性杆件横截面上的各种内力与应力
Fn
轴的受力图
2、弯曲中心 对于薄壁截面，由于切应力方向必须
平行于截面周边的切线方向，故切应力相
对应的分布力系向横截面所在平面内不同 点简化，将得到不同的结果。如果向某一 点简化结果所得的主矢不为零而主矩为零， 则这一点称为弯曲中心。图示薄壁截面梁
的弯曲中心并不在形心上，因此外力作用
在形心上时主矢不为零而主矩也不为零， 梁就会发生弯曲和扭转变形。
低碳钢： （0.5 — 0.6） 铸铁： （0.8 — 1）
圆轴扭转时横截面上Fra Baidu bibliotek切应力分析
例5-2、如图联轴器已知：最大功率 P＝7.5kW, 转速n=100r/min, 轴的最大切应力不得超 过 40MPa ,空心圆轴的内外直径 之比 = 0.5。 求: 实心轴的直径 d1 和空心轴的外直径 D2 。
WP
max
IP
Wp 扭转截面系数
π D 4 1－ 4 圆环：IP , 32
πd 4 πd 3 圆：IP ； WP 32 16


π D 3 1－ 4 WP 16


圆轴扭转时横截面上的切应力分析
例题5-1、图示传动机构，由B轮输入功率，通过锥型齿轮将
其一半功率传递给C轴，另一半传递给H轴。已知：P1＝14kW, n1= n2= 120 r/min, z1=36,z3=12;d1=70mm, d 2 =50mm, d3=35mm. 求: 各轴横截面上的最大切应力。