第23讲 平面向量综合问题

第二十三讲 平面向量综合问题

A 组

一、选择题

1.在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若123

AD DB CD CA CB λ==+，，则λ=（ ）

A ．23

B ．13

C ．13

- D ．23

-

解析：在∆ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD =2DB ，

CD =CB CA λ+3

1

，则22()

33CD CA AD CA AB CA CB CA =+=+=+-12

33

CA CB +，

∴λ=3

2

，

2. 设，a b 是非零向量，若函数()()()f x x x =+-a b a b 的图象是一条直线，则必有（ ）

A ．⊥a b

B ．∥a b

C ．||||=a b

D ．||||≠a b 解析222()()()(||||)f x x x x x =+-=-+-+a b a b a b a b a b ,若函数()f x 的图象是一条直线，即其二次项系数为0， ∴a b =0 ⇒⊥a b.

3. 已知AB AC ⊥，|t

|1

AB ＝，||AC t ＝，若P 点是ΔABC 所在平面内一点，且4AB AC AP AB

AC

+＝

，PB PC 的最大值等于( )

A ．13

B ．15

C ．19

D ．21

解析：以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，

则B ⎝ ⎛⎭

⎪⎫1t ，0，C ()0，t ，AP →＝(1，0)＋4(0，1)＝(1，4)，即P (1，4)，所以1

-1-4t PB ⎛⎫

⎪⎝⎭

＝，，(14)PC t ＝－，－，因此11·1416174t t PB PC t t ⎛⎫

+ ⎪⎝⎭

＝－－＋＝－，因为11444,t t t t ≥＋＝ 所以·

PB PC 的最

大值等于13，当14t t =，即12

t ＝时取等号．

4. 如图，在四边形ABCD 中，||||||4,0,AB BD DC AB BD BD DC →

→

→

→

→

→

→

++=⋅=⋅=

→

→

→

→

=⋅+⋅4||||||||DC BD BD AB ，则→

→

→

⋅+AC DC AB )(的值为（ ）

A.2

B. 22

C.4

D.24

解析：2()()()(||||).AB DC AC AB DC AB BD DC AB DC →→→→→

+⋅=+⋅++=+

||||||4,

|||| 2.||(||||)4,

AB BD DC AB DC BD AB DC →

→→

→

→→

⎧++=⎪⇒+=⎨⎪+=⎩ () 4.AB DC AC →→→

∴+⋅=

二、填空题

5. 如图，在ABC △中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M N ，，若

AB mAM =，AC nAN =，则m n +的值为

．

解析：由MN 的任意性可用特殊位置法：当MN 与BC 重合时知m=1，n=1，故m+n=2，

6.给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为. 如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧上变动. 若其中,则 的最大值是________. 解析 设

，即 OA OB 120o AB ,OC xOA yOB =+,x y R ∈x y +AOC α∠=,,

OC OA xOA OA yOB OA OC OB xOA OB yOB OB ⎧•=•+•⎪⎨

•=•+•⎪⎩01cos 2

1cos(120)2

x y x y αα⎧

=-⎪⎪⎨⎪-=-+⎪⎩

∴

三、解答题

7. 已知ΔABC 三个顶点的直角坐标分别为A(3，4)、B(0，0)、C(c ，0)．(1)若0AB AC =，求c 的值；(2)若5c =，求sin ∠A 的值 解: (1) (3,4)AB =-- (3,4)AC c =--

由 3(3)162530AB AC c c =--+=-= 得 253

c = (2) (3,4)AB =-- (2,4)AC =-

cos 5

AB AC A AB AC

∠=

=

= sin A ∠==

8.已知向量

32

1,,OP

OP OP 满足条件0321=++OP OP OP 1===，

求证：321P P P ∆是正三角形

解：令O 为坐标原点，可设()()()333222111sin ,cos ,sin ,cos ,sin ,cos θθθθθθP P P 由321OP OP OP -=+，即()()()332211θsin θcos θsin ,θcos θsin ,θcos --=+

⎩⎨

⎧-=+-=+321321θsin θsin θsin θcos θcos θcos 两式平方和为()11θθcos 2121=+-+，()2

1

θθcos 21-=-，

由此可知21θθ-的最小正角为0120，即1OP 与2OP 的夹角为0120， 同理可得1OP 与3OP 的夹角为0120，2OP 与3OP 的夹角为0120， 这说明321,,P P P 三点均匀分部在一个单位圆上， 所以321P P P ∆为等腰三角形.

9..已知两点M (－1，0)，N (1

，0)，且点P 使PM ⋅⋅⋅,,成

02[cos cos(120)]cos 2sin()26

x y π

ααααα+=+-==+≤①

②