空间向量在立体几何中的应用知识点大全经典高考题带解析练习题带答案

空间向量在立体几何中的应用

【考纲说明】

1.能够利用共线向量、共面向量、空间向量基本定理证明共线、共面、平行及垂直问题；

2.会利用空间向量的坐标运算、两点间的距离公式、夹角公式等解决平行、垂直、长度、角、距离等问题；

3.培养用向量的相关知识思考问题和解决问题的能力；

【知识梳理】

一、空间向量的运算 1、向量的几何运算 （1）向量的数量积：

已知向量 ，则 叫做 的数量积，记作 ，即 空间向量数量积的性质：① ；

② ；

③

．

（2）向量共线定理：向量()

0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=． 2、向量的坐标运算 （1）若

，

，则

．

一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。

（2）若 ， ，则 ，

，

，

；

，

．

（3）夹角公式：

（4）两点间的距离公式：若，，则

二、空间向量在立体几何中的应用

2.利用空间向量证明平行问题

对于平行问题，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明．

3.利用空间向量证明垂直问题

对于垂直问题，一般是利用进行证明；

4.利用空间向量求角度

（1）线线角的求法：

设直线AB、CD对应的方向向量分别为a、b，则直线AB与CD所成的角为（线线角的范围[00,900]）（2）线面角的求法：

设n是平面的法向量，是直线的方向向量，则直线与平面所成的角为

（3）二面角的求法：

设n1，n2分别是二面角的两个面，的法向量，则就是二面角的平面角或其补角的大小（如图）

5.利用空间向量求距离

（1）平面的法向量的求法：

设n=(x,y,z)，利用n与平面内的两个不共线的向a，b垂直，其数量积为零，列出两个三元一次方程，联立后取其一组解，即得到平面的一个法向量（如图）。

（2）利用法向量求空间距离 （a ） 点A 到平面的距离： ，其中

，是平面

的法向量。

（b ） 直线与平面之间的距离： ，其中

，是平面

的法向量。

（c ） 两平行平面之间的距离： ，其中

， 是平面

的法向量。

【经典例题】

【例1】（2010全国卷1理）正方体ABCD-1111A B C D 中，B 1B 与平面AC 1D 所成角的余弦值为（ ）

（A ） 23

（B ）33 （C ）23 （D ）

6

3 【解析】D

【例2】（2010全国卷2文）已知三棱锥S ABC -中，底面ABC 为边长等于2的等边三角形，SA 垂直于底面ABC ，

SA =3，那么直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值为（ ）

（A ）

34 (B) 5

4

(C) 74 (D) 34

【解析】D

【例3】（2012全国卷）三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都相等，

1160BAA CAA ∠=∠=，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为____________。

【解析】

6

6 A

B

C S

E

F

【例4】（2012重庆）如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB=4，AC=BC=3，D 为AB 的中点。

（Ⅰ）求异面直线CC 1和AB 的距离；

（Ⅱ）若AB 1⊥A 1C ，求二面角A 1—CD —B 1的平面角的余弦值。

【解析】5 3

1

【例5】（2012江苏）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111A B AC =，D E ，

分别是棱1BC CC ，上的点（点D 不同于点C ），且AD DE F ⊥，为11B C 的中点． 1B 求证：（1）平面ADE ⊥平面11BCC B ；

（2）直线1//A F 平面ADE ．

【例6】（2012山东）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，∠DAB=60°，FC ⊥平面ABCD ，AE ⊥BD ，CB=CD=CF ．

（Ⅰ）求证：BD ⊥平面AED ；

（Ⅱ）求二面角F-BD-C 的余弦值． 1

【解析】二面角F-BD-C 的余弦值为5

5．

【例7】（2012江西）在三棱柱111ABC A B C -中，已知15AB AC AA ===，4BC =，点1A 在底面ABC 的投

影是线段BC 的中点O 。

（1）证明在侧棱1AA 上存在一点E ，使得OE ⊥平面11BB C C ，并求出AE 的长； （2）求平面11A B C 与平面11BB C C 夹角的余弦值。

【解析】55，10

30

B 1

C 1

O A

C

B

A 1

1A

1C

F

E

C

D A

B

P

A

B

C

E

D

【例8】（2012湖南）四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E 是CD 的中点. （Ⅰ）证明：CD ⊥平面PAE ；

（Ⅱ）若直线PB 与平面PAE 所成的角和PB 与平面ABCD 所成的角相等，求四棱锥P-ABCD 的体积.

【解析】11851285

1633515V S PA =⨯⨯=⨯⨯=

【例9】（2012广东）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，AB ⊥平面PAD ，//,AB CD PD AD =，E 是PB 中点，F 是DC 上的点，且1

2

DF AB =

，PH 为PAD ∆中AD 边上的高。 （1）证明：PH ⊥平面ABCD ；

（2）若1,2,1PH AD FC ===，求三棱锥E BCF -的体积； （3）证明：EF ⊥平面PAB ．

【解析】三棱锥E BCF -的体积111112123326212

BCF V S h FC AD h ∆=

⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯= 【例10】（2012新课标）如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC=BC=2

1

AA 1，D 是棱AA 1的中点，DC 1⊥BD ． （1）证明：DC 1⊥BC ；

（2）求二面角A 1－BD －C 1的大小．

【解析】二面角11C BD A --的大小为30︒

【例11】如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD 点E 在线段PC 上，PC ⊥平面BDE ．

（1）证明：BD ⊥平面PAC ；

（2）若1PA =，2AD =，求二面角B PC A --的正切值．

【解析】二面角B PC A --的平面角的正切值为3

【例12】（2012天津）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA 丄平面ABCD ，AC 丄AD ，AB 丄BC ，0

=45ABC ∠，D

A 1

C

A

C 1