福建省高考数学 第20题优美解

2012年高考数学（福建）第20题（理）试题优美解

试题（福建、 理20）

已知函数R a ex ax e x f x ∈-+=,)(2

（Ⅰ）若曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线平行于x 轴，求函数)(x f 的单调区间； （Ⅱ）试确定a 的取值范围，使得曲线)(x f y =上存在唯一的点P ，曲线在该点处的 切线与曲线只有一个公共点P 。

解析：

（Ⅰ）2()()2x x f x e ax ex f x e ax e '=+-⇒=+-

由题意得：(1)200f e a e a '=+-=⇔=

()01,()01x

f x e e x f x x ''=->⇔><⇔<

得：函数()f x 的单调递增区间为(1,)+∞，单调递减区间为(,1)-∞

（Ⅱ）设00(,())P x f x ； 则过切点P 的切线方程为000()()()y f x x x f x '=-+ 令000()()()()()g x f x f x x x f x '=---；则0()0g x =

切线与曲线只有一个公共点P ()0g x ⇔=只有一个根0x

000()()()2()x x g x f x f x e e a x x '''=-=-+-，且0()0g x '= （1）当0a ≥时，00()0,()0g x x x g x x x ''>⇔><⇔<

得：当且仅当0x x =时，min 0()()0g x g x ==

由0x 的任意性，0a ≥不符合条件（lby lfx ）

（2）当0a <时，令

00()2()()20ln(2)x x x h x e e a x x h x e a x x a ''=-+-⇒=+=⇔==-

①当0x x '=时，00()0,()0h x x x h x x x ''>⇔><⇔<

当且仅当0x x =时，0()()0()g x g x g x ''≥=⇒在x R ∈上单调递增

()0g x ⇔=只有一个根0x

②当0x x '>时，()0,()0h x x x h x x x ''''>⇔><⇔<

得：0()()0g x g x '''<=，又,(),,()x g x x g x ''→+∞→+∞→-∞→+∞

存在两个数0x x ''<使，0()()0g x g x ''''==

得：00()0()()0g x x x x g x g x '''''<⇔<<⇒<=又,()x g x '→+∞→+∞ 存在1x x ''>使()0g x ''=，与条件不符。

③当0x x '<时，同理可证，与条件不符

从上得：当0a <时，存在唯一的点(ln(2),(ln(2))P a f a --使该点处的切线与曲线只有一个公共点P

试题或解法赏析.

本题考查的知识点为导数的理解， 较难的一道好题。