2012年全国高考理科数学试题及答案-湖南卷

5. 已知双曲线 C ：
x2 y2 =1 的焦距为 10 ，点 P （2,1）在 C 的渐近线上，则 C 的方程为 a2 b2 x2 y2 D. =1 20 80
x2 y2 x2 y2 x2 y2 A． =1 B. =1 C. =1 20 5 5 20 80 20
【答案】A 【解析】设双曲线 C ：
(二) 必做题（12~16 题） 12.已知复数 z = (3 + i ) 2 (i 为虚数单位)，则|z|=_____. 【答案】10 【解析】 z = (3 + i ) 2 = 9 + 6i + i 2 = 8 + 6i ， z =
82 + 62 = 10 .
【点评】本题考查复数的运算、复数的模.把复数化成标准的 a + bi (a , b ∈ R ) 形式，利用
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3 3 意知 3 − r = 0, r = 3 ，所以二项展开式中的常数项为 T4 = C3 . 6 2 (− 1) = −160
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【点评】本题主要考察二项式定理，写出二项展开式的通项公式是解决这类问题的常规办法. 14.如果执行如图 3 所示的程序框图，输入 x = − 1 ,n=3,则输出的数 S = .
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【答案】 6 【解析】设 PO 交圆 O 于 C，D，如图，设圆的半径为 R，由割线定理知
PA ⋅ PB = PC ⋅ PD, 即1× (1 + 2) = (3 - r)(3 + r), ∴ r = 6.
D
O
B
i
CP
A
【点评】本题考查切割线定理，考查数形结合思想，由切割线定理知 PA ⋅ PB = PC ⋅ PD ，从 而求得圆的半径.
8 ( m＞0) ， y = log 2 x 图像如下图， 2m + 1
8 − 8 2 m+1 ，得 x3 = 2 2 m +1 , x4 = 2 . 2m + 1
8 8 2 m+1
由 log 2 x = m，得 x1 = 2− m , x2 = 2m ， log 2 x =
依照题意得 a = 2
−m
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2012 年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷） 数学（理工农医类）
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1.设集合 M ={-1,0,1}，N={x| x 2≤x }，则 M ∩N= A.{0} 【答案】B 【解析】∵ N = { 0,1} M={-1,0,1} ∴M ∩N ={0,1}. 【点评】本题考查了集合的基本运算，较简单，易得分. 先求出 N = {0,1} ,再利用交集定义得出 M∩N . 2.命题“若α= B.{0,1} C.{-1,1} D .{-1,0,0}
【点评】本题考查算法流程图，要明白循环结构中的内容，一般解法是逐步执行，一步步将执行 结果写出，特别是程序框图的执行次数不能出错.
15.函数 f（x） =sin ( ω x + ϕ ) 的导函数 y = f ′( x) 的部分图像如图 4 所示，其中，P 为图像与 y 轴的交点，A,C 为图像与 x 轴的两个交点，B 为图像的最低点.
f ( x ) 的值域.
7. 在△ABC 中，AB=2，AC =3， ABi BC = 1 则 BC = ___ . A. 3 【答案】A B. 7 C. 2 2 D . 23
��� � ��� �
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ˆ = bx + a = bx + y − bx (a = 关系，由最小二乘法建立的回归方程得过程知 y
y − bx ) ，所以回归直
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线过样本点的中心（ x ， y ） ，利用回归方程可以预测估计总体，所以 D 不正确. 【点评】本题组要考查两个变量间的相关性、最小二乘法及正相关、负相关的概念，并且是找不 正确的答案，易错.
【解析】曲线 C1 ： ⎨
曲线 C2 ： ⎨
⎧ x = a sin θ , x2 y2 直角坐标方程为 2 + = 1，其与 x 轴交点为 ( −a, 0), ( a, 0) ， a 9 ⎩ y = 3cos θ 3 . 2
由 a > 0 ，曲线 C1 与曲线 C2 有一个公共点在 X 轴上，知 a =
【点评】本题主要考查空间几何体的三视图，考查空间想象能力.是近年高考中的热点题型. 4.设某大学的女生体重 y（单位：kg）与身高 x （单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本 数据（xi，yi ） （i=1， 2， …，n） ，用最小二乘法建立的回归方程为 ̂ y =0.85x-85.71，则下列结论 中不正确的是 A.y 与 x 具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心（ x ， y ） C.若该大学某女生身高增加 1cm，则其体重约增加 0.85 kg D.若该大学某女生身高为 170cm，则可断定其体重比为 58.79 kg 【答案】D 【解析】由回归方程为 ̂ y =0.85x -85.71 知 y 随 x 的增大而增大，所以 y 与 x 具有正的线性相关
−2
−
8 2 m +1
,b = 2 − 2
m
8 2 m+1
b , = a
2 −2 2
−m
m
−2
−
8 2 m +1
= 2m 2
8 2 m+ 1
=2
m+
8 2 m +1 .
8 1 4 1 1 1 b = m+ + − ≥ 4 − = 3 ，∴ ( ) min = 8 2 . 2m +1 2 m+ 1 2 2 2 a 2 8 【点评】在同一坐标系中作出 y=m ，y= ( m＞0) ， y = log 2 x 图像，结合图像可解得. 2m + 1 ∵m +
【点评】本题考查直线的参数方程、椭圆的参数方程，考查等价转化的思想方法等.曲线 C1 与曲 线 C2 的参数方程分别等价转化为直角坐标方程，找出与 x 轴交点，即可求得. 10.不等式|2 x +1|-2|x-1|>0 的解集为_______.
【答案】 ⎨ x x >
⎧ ⎩
1⎫ ⎬ 4⎭
⎧ −3, ( x < − 1 ) ⎪ 2 ⎪ 1 ⎪ 【解析】令 f ( x ) = 2 x + 1 − 2 x −1 ，则由 f (x ) = ⎨4 x − 1, (− ≤ x ≤ 1) 得 f (x ) > 0 的解集为 2 ⎪ ⎪ 3, ( x > 1) ⎪ ⎩ ⎧ 1⎫ ⎨x x > ⎬. 4⎭ ⎩
π ”. 4
【点评】本题考查了“若 p，则 q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，考查分析问题的能 力. 3.某几何体的正视图和侧视图均如图 1 所示，则该几何体的俯视图不可能是
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【答案】D 【解析】本题是组合体的三视图问题，由几何体的正视图和侧视图均如图 1 所示知，原图下面图 为圆柱或直四棱柱，上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，Ａ，Ｂ，Ｃ都可能是该几何 体的俯视图，Ｄ不可能是该几何体的俯视图，因为它的正视图上面应为如图的矩形.
【 解 析 】 f （ x ） =sinx-cos( x +
π 3 1 π ) = sin x − cos x + sin x = 3 sin( x − ) ， 6 2 2 6
∵ sin( x −
π ) ∈ [ −1,1]， ∴ f ( x) 值域为[- 3 , 3 ]. 6
【点评】利用三角恒等变换把 f ( x ) 化成 A sin(ω x + ϕ) 的形式，利用 sin(ω x + ϕ ) ∈ [ −1,1] ，求得
��� � ��� � ��� � ��� � ��� � 【解析】由下图知 ABi BC = AB BC cos(π − B) = 2 × BC × ( − cos B ) = 1. ∴ cos B = 1 AB2 + BC2 − AC2 .又由余弦定理知 cos B = ，解得 BC = 3 . −2BC 2 AB ⋅ BC
【答案】 − 4 【 解 析 】 输 入 x = − 1 ,n=3, ， 执 行 过 程 如 下 ： i = 2 : S = − 6 + 2 + 3 = − 3 ；
i = 1: S = −3(− 1) + 1+ 1 = 5 ； i = 0 : S = 5( −1) + 0 + 1 = − 4，所以输出的是 −4 .
交于点 A ，B ， l2 与函数 y = log 2 x 的图像从左至右相交于 C ,D .记线段 AC 和 BD 在 X 轴上的 投影长度分别为 a ,b ,当 m 变化时， A． 16 2 【答案】B 【解析】在同一坐标系中作出 y=m ，y= B. 8 2 C. 8 4
b 的最小值为 a
D. 4 4
二 、填空题： 本大题共 8 小题，考生作答 7 小题，每小题 5 分 ，共 35 分，把答案填在答题 卡中对应题号后的横线上. （一）选做题（请考生在第 9 、10、 11 三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分 ）
9. 在直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C1 ： ⎨
⎧ x = t + 1, ⎧ x = a sin θ , (t 为参数)与曲线 C2 ： ⎨ ⎩ y = 1 − 2t ⎩ y = 3cos θ
π ，则 tanα=1”的逆否命题是 4 π A.若α≠ ，则 tanα≠1 4 π B. 若α= ，则 tanα≠1 4 π C. 若 tanα≠1，则α≠ 4 π D. 若 tanα≠1，则α= 4 π ，则 tanα=1” 4
【答案】C 【解析】因为“若 p ，则 q ”的逆否命题为“若 ¬p ，则 ¬ q ” ，所以 “若α= 的逆否命题是 “若 tanα≠1，则α≠
【点评】本题考查平面向量的数量积运算、余弦定理等知识.考查运算能力，考查数形结合思想、 等价转化思想等数学思想方法.需要注意 AB, BC 的夹角为 ∠B 的外角.
��� � ��� �
8．已知两条直线 l1 ：y=m 和 l2 ： y=
8 (m ＞0)， l1 与函数 y = log 2 x 的图像从左至右相 2m + 1
【点评】绝对值不等式解法的关键步骤是去绝对值，转化为代数不等式（组）.
11.如图 2 ，过点 P 的直线与圆 O 相交于 A ，B 两点.若 PA =1， AB=2 ，PO=3，则圆 O 的半径等 于_______.
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2 2 2
【点评】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识，考查了数形结合的思想和基 本运算能力，是近年来常考题型. 6. 函数 f（x ）=sinx- cos(x+
π ) 的值域为 6
C.[-1,1 ] D.[-
A． [ -2 ,2] 【答案】B
B .[- 3 , 3 ]
3 3 , ] 2 2
z = a2 + b2 求得.
13.( 2 x -
1 6 ) 的二项展开式中的常数项为 x
.（用数字作答）
【答案】-160 【解析】( 2 x -
1 6 1 r 6 −r 6 −r ) 的展开式项公式是 Tr +1 = Cr (− ) = Cr (− 1)r x 3 −r .由题 6 (2 x ) 62 x x
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( θ 为参数， a > 0 ) 有一个公共点在 X 轴上，则 a 【答案】
= __ .
3 2 ⎧ x = t + 1, 3 直角坐标方程为 y = 3 − 2 x ，与 x 轴交点为 ( , 0) ； 2 ⎩ y = 1 − 2t
x2 y2 =1 的半焦距为 c ，则 2c = 10, c = 5 . a2 b2 b b x ，点 P （2,1）在 C 的渐近线上，∴1 = i2 ，即 a = 2b . a a
又∵C 的渐近线为 y = ±
x2 y2 又 c = a + b ， ∴ a = 2 5,b = 5 ， ∴C 的方程为 =1. 20 5