相似三角形综合练习相似与圆(难)

N A

相似三角形与圆

1．如图，AB是⊙O直径，ED⊥AB于D，交⊙O于G，EA交⊙O于C，CB交ED于F，求证：DG2＝DE•DF 2．如图，弦EF⊥直径MN于H，弦MC延长线交EF的反向延长线于A，求证：MA•MC＝MB•MD

3．(2006年黄冈)如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦ED分别交⊙O于点E，交AB于点H，交AC于点F，过点C的切线交ED的延长线于点P．

(1)若PC=PF，求证：AB⊥ED；

(2)点D在劣弧AC的什么位置时，才能使AD2=DE·DF，为什么？

4．如图(1)，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆直径，则有结论：AB·AC=AE·AD成立，请证明．如果把图(1)中的∠ABC变为钝角，其它条件不变，如图(2)，则上述结论是否仍然成立？

C

5．如图，AD 是△ABC 的角平分线，延长AD 交△ABC 的外接圆O 于点E ，过点C 、D 、E 三点的⊙O 1与AC 的延长线交于点F ，连结EF 、DF ．

(1)求证：△AEF ∽△FED ；

(2)若AD =8，DE =4，求EF 的长．

6．如图，PC 与⊙O 交于B ，点A 在⊙O 上，且∠PCA =∠BAP ．

(1)求证：P A 是⊙O 的切线．

(2)△ABP 和△CAP 相似吗？为什么？

(3)若PB :BC =2:3，且PC =20，求P A 的长．

7．已知：如图， AD 是⊙O 的弦，OB ⊥AD 于点E ，交⊙O 于点C ，OE =1，BE =8，AE :AB =1:3．

(1)求证：AB

是⊙

O 的切线；

(2)点F 是ACD 上的一点，当∠AOF =2∠B 时，求AF 的长．

8．如图，⊿ABC 内接于⊙O ，且BC 是⊙O 的直径，AD ⊥BC 于D ，F 是弧BC 中点，且AF 交BC 于E ，AB ＝6，AC ＝8，求CD ，DE ，及EF 的长．

9． 已知：如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=，4AC =

，BC =，以AC 为直径的O 交AB 于点D ，点E 是BC 的中点，连结OD ，OB 、DE 交于点F ．

(1)求证：DE 是O 的切线；

(2)求EF ：FD 的值．

10．如图，A 是以BC 为直径的O 上一点，AD BC ⊥于点D ，过点B 作O 的切线，与CA 的延长线相交于点E G ，是AD 的中点，连结CG 并延长与BE 相交于点F ，延长AF 与CB 的延长线相交于点P ．

(1)求证：BF EF =；

(2)求证：PA 是O 的切线；

(3)若FG BF =，且O

的半径长为BD 和FG 的长度．

B C E

C

4．答：．连接BE ，证△ABE ∽△ADC 图(2)同理可证，结论仍成立；

5．答：．(1)连接EC ，可证∠DFE =∠DCE ，又

∠DCE =∠BAE =∠CAE ，从而△AEF ∽△FED ；(2)EF

=

6．答：．(1)作直径AC '，连接BC '，证∠P AC '=90即可；(2)△ABP ∽△CAP ，理由略；(3)P A

10．(1)证明：BC ∵是O 的直径，BE 是O 的切线，

EB BC ⊥∴．

又AD BC ⊥∵，AD BE ∴∥．

易证BFC DGC △∽△，FEC GAC △∽△．

BF CF EF CF DG CG AG CG

==∴，． BF EF DG AG

=∴． G ∵是AD 的中点，

DG AG =∴．

BF EF =∴．

(2)证明：连结AO AB ，．

BC ∵是O 的直径，90BAC ∠=∴°．

在Rt BAE △中，由(1)，知F 是斜边BE 的中点，

AF FB EF ==∴．

FBA FAB ∠=∠∴．

又OA OB =∵，ABO BAO ∠=∠∴．

BE ∵是O 的切线，90EBO ∠=∴°．

90EBO FBA ABO FAB BAO FAO ∠=∠+∠=∠+∠=∠=∵°，

PA ∴是O 的切线．

(3)解：过点F 作FH AD ⊥于点H ．

BD AD FH AD ⊥⊥∵，，

FH BC ∴∥．

由(1)，知FBA BAF ∠=∠，BF AF =∴．

由已知，有BF FG =，AF FG =∴，即AFG △是等腰三角形．

FH AD ⊥∵，AH GH =∴．

DG AG =∵，

2DG HG =∴，即12

HG DG =． 90FH BD BF AD FBD ∠=∵∥，∥，°，

∴四边形BDHF 是矩形，BD FH =．

FH BC ∵∥，易证HFG DCG △∽△．

FH FG HG CD CG DG ==∴，即12BD FG HG CD CG DG ===． O ∵

的半径长为

BC =∴

12

BD BD CD BC BD ===-∴

．

C

解得BD =

BD FH ==∴

12FG HG CG DG ==∵，12

FG CG =∴． 3CF FG =∴．

在Rt FBC △中，3CF FG =∵，BF FG =， 由勾股定理，得222

CF BF BC =+．

222(3)FG FG =+∴．

解得3FG =(负值舍去)．

3FG =∴．

［或取CG 的中点H ，连结DH ，则2CG HG =．易证AFC DHC △≌△， FG HG =∴，故2CG FG =，3CF FG =．

由GD FB ∥，易知CDG CBF △∽△，2233

CD CG FG CB CF FG ===∴．

23=

，解得BD = 又在Rt CFB △

中，由勾股定理，得222(3)FG FG =+，

3FG =∴(舍去负值)．］