线性方程组的数值算法C语言实现(附代码)

线性方程组AX=B 的数值计算方法实验

一、 实验描述：

随着科学技术的发展，线性代数作为高等数学的一个重要组成部分，

在科学实践中得到广泛的应用。本实验的通过C 语言的算法设计以及编程，来实现高斯消元法、三角分解法和解线性方程组的迭代法（雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法），对指定方程组进行求解。

二、 实验原理：

1、高斯消去法：

运用高斯消去法解方程组，通常会用到初等变换，以此来得到与原系数矩阵等价的系数矩阵，达到消元的目的。初等变换有三种：(a)、(交换变换)对调方程组两行；(b)、用非零常数乘以方程组的某一行；(c)、将方程组的某一行乘以一个非零常数，再加到另一行。

通常利用(c)，即用一个方程乘以一个常数，再减去另一个方程来置换另一个方程。在方程组的增广矩阵中用类似的变换，可以化简系数矩阵，求出其中一个解，然后利用回代法，就可以解出所有的解。 2、选主元：

若在解方程组过程中，系数矩阵上的对角元素为零的话，会导致解出的结果不正确。所以在解方程组过程中要避免此种情况的出现，这就需要选择行的判定条件。经过行变换，使矩阵对角元素均不为零。这个过程称为选主元。选主元分平凡选主元和偏序选主元两种。平凡选主元：

如果()0p pp a ≠，不交换行；如果()0p pp a =，寻找第p 行下满足()

0p pp a ≠的第一

行，设行数为k ，然后交换第k 行和第p 行。这样新主元就是非零主元。偏序选主元：为了减小误差的传播，偏序选主元策略首先检查位于主对角线或主对角线下方第p 列的所有元素，确定行k ，它的元素绝对值最大。然后如果k p >，则交换第k 行和第p 行。通常用偏序选主元，可以减小计算误差。 3、三角分解法：

由于求解上三角或下三角线性方程组很容易所以在解线性方程组时，可将系数矩阵分解为下三角矩阵和上三角矩阵。其中下三角矩阵的主对角线为1，上三角矩阵的对角线元素非零。有如下定理：

如果非奇异矩阵A 可表示为下三角矩阵L 和上三角矩阵U 的乘积： A LU = (1) 则A 存在一个三角分解。而且，L 的对角线元素为1，U 的对角线元素非零。得到L 和U 后，可通过以下步骤得到X ：

(1)、利用前向替换法对方程组LY B =求解Y 。 (2)、利用回代法对方程组UX Y =求解X 。

4、雅可比迭代：

考察一般形式的线性方程组：

,

1,2,3,N ij j i j

a x

b i N ==∑ (2)

设从(2)中分离变出变量i X 将它改写成：

11

1,2,3,N

i i ij j

j ii

j i x b a x i N a =≠⎛⎫ ⎪

=

-= ⎪ ⎪⎝⎭

∑ (3)

据此建立雅可比迭代公式：

(k 1)

(k)111,2,3

,N i i ij j

j ii j i x b a x i N a +=≠⎛⎫ ⎪=-= ⎪ ⎪⎝⎭

∑ (4)

5、高斯-赛德尔迭代：

通过对雅可比迭代的观察，由于通常1k x +被认为是比k x 更好的x 的

近似值，所以在计算1k y +时用1k x +来替换k x 是合理的。所以对雅可比迭代进行了改进，得到了高斯-赛德尔迭代，其收敛速度更快。它的迭代公式为： (k 1)

(k 1)111,2,3

,N

i i ij j

j ii j i x b a x i N a ++=≠⎛⎫ ⎪=-= ⎪ ⎪⎝⎭

∑ (5)

三、 实验内容：

1、许多科学应用包含的矩阵带有很多零。在实际情况中很重要的三角形线

性方程组有如下形式: 11121

11

22

23222

33343

22

111111

N N N N N N N N N N N

N

d x c x b a x d x c x b a x d x c x b a x d x c x b a x d x b --------+=++=+

+=

+

+=+

=

(6)

构造一个程序求解三角形线性方程组。可假定不需要行变换，而且可用第k 行消去第k+1行的k x 。

2、使用C 语言编写一个程序求解线性方程组AX B =，其中：

1357213500252631A -⎡⎤⎢⎥-⎢

⎥=⎢⎥⎢⎥---⎣⎦ 1234B ⎡⎤⎢⎥

⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

3、使用2中的程序求解线性方程组AX B =，其中=1

j ij N N A a i -⨯⎡⎤==⎣⎦ ；而

且1

ij N B b ⨯⎡⎤=⎣⎦，11b N =当2i ≥时，1(i 1)/(i 1)N i b =--。对3,7,11N =的情

况分别求解。精确解为[]11

11X '=。对得到的结果与精确解的

差异进行解释。

4、修改2中的程序，使得它可以通过重复求解N 个线性方程组

J J AC E = 其中1,2,

,J N = (7)

来得到1A - ，

则

12

12

[C C C ][E E E ]N N A = (8) 而且

112

[C C C ]N A -= (9)

5、设有如下三角线性方程组，而且系数矩阵具有严格的对角优势：

11121

11

22

23222

33343

22

111111

N N N N N N N N N N N

N

d x c x b a x d x c x b a x d x c x b a x d x c x b a x d x b --------+=++=+

+=

+

+=+

=

(10)

（1）、根据解线性方程组的迭代法原理，设计一个算法来求解上述方程

组，算法必须有效利用系数矩阵的稀疏性。

(2)、用（1）中的程序解下列的三角线性方程组：

(a)121232

343

4

548

49

50

49

5043+43+43

+

434343

m m m m m m m m m m m m m m m m +=+=+=+=++

=+= (b)121232

3434

548

49

50

49

50

41+42+41+

424142

m m m m m m m m m m m m m m m m +=+=+=+=++

=+=