柯西不等式的最大值问题 文本内容

柯西不等式的问题（2）——最大值

内容概述

柯西不等式的最大值问题，高考时通常出现在不等式选讲部分. 用到的公式是柯西不等式二维形式的变形.

先来看柯西不等式的二维形式：

()()()22222a b c d ac bd ++≥+当且仅当a b c d

=时取等号。 该不等式的证明方法有很多，此处以作差法为例.

()()()2

2222a b c d ac bd ++-+ ()

2222222222222()(2)

0a c a d b c b d a c abcd b d ad bc =+++-++=-≥

并从向量的角度对柯西不等式的二维形式作出解释.

设向量(,)u a b = ，向量(,)v c d = ，向量u 与v 的夹角为θ， 则根据cos u v u v θ⋅= ，有u v u v u v -≤⋅≤ ，所以()

222u v u v ≥⋅ ，

又u v ⋅

故有()()()22222a b c d ac bd ++≥+，当且仅当a b

=时取等号. 体现的方法：公式法或配凑法，要充分关注柯西不等式的结构特征以及注意等号成立的条件，类似于基本不等式的“一正二定三相等”.

柯西不等式，有时可用于求函数的最值。而构造柯西不等式求最值，有利于培养学生的数学建模能力。当然，与此同时，也提高了逻辑思维和分析解决问题的能力。

关注其结构特征，注意等号成立条件。接下来通过具体的例题来看柯西不等式的应用。

例题示范

（柯西不等式二维形式的变形，求证最大值）

【例1】（2017年江苏高考题第21（D ）题）

已知,,

,a b c d 为实数，且22224,16a b c d +=+=，证明：8ac bd +≤

. 证明：由柯西不等式得ac bd +≤

即ac bd +≤

故8ac bd +≤.

（柯西不等式二维形式的变形，求解最大值）

【例2】求函数y =的最大值.

解：函数y =的定义域为[]5,9.

由柯西不等式二维形式的变形ac bd +≤

2=10y =≤⨯当且仅当

5=即16125

x =时取等号. 解析：本题考查基本不等式的应用，难度中等.根据所求问题的结构特点，判断

出可用柯西不等式二维形式的变形公式解决.发现

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+为常数，从而采用配凑法，凑出相应形式.

【例3】已知关于x 的不等式x a b +<的解集为{}24x x <<.

（I ）求实数a ，b 的值；

（II 的最大值.

解：（I ）由x a b +<得b a x b a -<<+，

有24b a b a -=⎧⎨+=⎩

， 所以1,3a b ==.

（II

1t =时取等号.

的最大值为