高中《立体几何》大题(附答案解析)

《立体几何》大题及答案解析

1.（2009全国卷Ⅰ）如图，四棱锥S ABCD −中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD

，AD =

，

2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，

∠ABM=60。

（I ）证明：M 是侧棱SC 的中点；

()ΙΙ求二面角S AM B −−的大小。

2.（2009全国卷Ⅱ）如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ⊥AC,D 、E 分别为AA 1、B 1C 的中点，DE ⊥平面BCC 1（Ⅰ）证明：AB=AC

（Ⅱ）设二面角A-BD-C 为60°,求B 1C 与平面BCD 所成的角的大小

A

C

B

A 1

B 1

C 1

D

E

3.（2009浙江卷）如图，DC ⊥平面ABC ，//EB DC ，22AC BC EB DC ====，120ACB ∠=

，,P Q 分别为,AE AB 的中点．（I ）证明：//PQ 平面ACD ；（II ）求AD 与平面ABE 所成角的正弦值．

4.（2009北京卷）如图，四棱锥P ABCD −的底面是正方形，PD ABCD ⊥底面，点E 在棱PB 上.（Ⅰ）求证：

平面AEC PDB ⊥平面；（Ⅱ）当PD =

且E 为PB 的中点时，求AE 与平面PDB 所成的角的大小.

5.（2009江西卷）如图，在四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，4PA AD ==，2AB =．以BD 的中点O 为球心、BD 为直径的球面交PD 于点M ． （1）求证：平面ABM ⊥平面PCD ； （2）求直线PC 与平面ABM 所成的角； （3）求点O 到平面ABM 的距离．

6.（2009四川卷）如图，正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直，△ABE 是等腰直角三角形，,,45AB AE FA FE AEF °

==∠= （I ）求证：EF BCE ⊥平面；

（II ）设线段CD 、AE 的中点分别为P 、M ，求证： PM ∥BCE 平面 （III ）求二面角F BD A −−的大小。

B

7.（2009湖北卷文）如图，四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD,SD ＝AD ＝a,点E 是SD 上的点，且DE ＝λa(0<λ≦1).

(Ⅰ)求证：对任意的λ∈（0、1）

，都有AC ⊥BE: (Ⅱ)若二面角C-AE-D 的大小为600

C ，求λ的值。

8.（2009湖南卷）如图3，在正三棱柱111ABC A B C −中，AB =4, 1AA =

点D 是BC 的中点，点E 在AC 上，

且DE ⊥1A E.（Ⅰ）证明：平面1A DE ⊥平面11ACC A ;

（Ⅱ）求直线AD 和平面1A DE 所成角的正弦值。

9.（2009四川卷）如图，正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直，△ABE 是等腰直角三角形，,,45AB AE FA FE AEF °

==∠= （I ）求证：EF BCE ⊥平面；

（II ）设线段CD 、AE 的中点分别为P 、M ，

求证： PM ∥BCE 平面

（III ）求二面角F BD A −−的大小。

10.（2009重庆卷文）如题（18）图，在五面体ABCDEF 中，AB ∥DC ，2

BAD π

∠=

，2CD AD ==，四边形ABFE 为平行四边形，FA ⊥平面ABCD

，

3,FC ED ==．求：

（Ⅰ）直线AB 到平面EFCD 的距离；

（Ⅱ）二面角F AD E −−的平面角的正切值．

11．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD．

(1)证明：P A⊥BD；

(2)设PD＝AD，求二面角A－PB－C的余弦值．

12（本小题满分12分）如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形，AB CD,AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD中点

（1）证明：PE⊥BC

（2）若∠APB=∠ADB=60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值

F

G

k

H

J 参考答案

1、【解析】（I ）解法一：作MN ∥SD 交CD 于N ，作NE AB ⊥交AB 于E ，

连ME 、NB ，则MN ⊥面ABCD ，ME AB ⊥,NE AD ==

设MN x =，则NC

EB x ==,

在RT MEB ∆中， 60MBE ∠=°ME ∴。 在RT MNE ∆中由2

2

2

ME NE MN =+2

2

32x x ∴=+ 解得1x =，从而1

2

MN SD =

∴ M 为侧棱SC 的中点M. 解法二:过M 作CD 的平行线.

N

E

（II ）分析一:利用三垂线定理求解。在新教材中弱化了三垂线定理。这两年高考中求二面角也基本上不用三垂线定理的方法求作二面角。

过M 作MJ ∥CD 交SD 于J ,作SH AJ ⊥交AJ 于H ,作HK AM ⊥交AM 于K ,则JM ∥CD ,JM ⊥面SAD ,面SAD ⊥面MBA ,SH ⊥面AMB ∴SKH ∠即为所求二面角的补角.

法二：利用二面角的定义。在等边三角形ABM 中过点B 作BF AM ⊥交AM 于点F ，则点F 为AM 的中点，取SA 的中点G ，连GF ，易证GF AM ⊥，则GFB ∠即为所求二面角.

解法二、分别以DA 、DC 、DS 为x 、y 、z 轴如图建立空间直角坐标系D —xyz ，则

)2,0,0(),2,0,0(),0,2,2(),0,0,2(S C

B A 。