非线性对流扩散方程的隐-显hp-局部间断Galerkin有限元方法
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间断Ｇ ａ ｌ ｅ ｒ ｋ ｉ ｎ 有 限元（ ＤＧ） 方法 具有局部 守恒性， 稳定性及 高精度等特 点， 近年 来受到人们
的广泛重视 ． 关 于ＤＧ方法的综述可参见文献ｆ １ — ４ １ ．
文『 ４ １ 讨 论 了对 流 扩散 方 程， 提 出 了局 部 间断Ｇａ ｌ ｅ ｒ ｋ ｉ ｎ 有 限元（ Ｌ ＤＧ） 方法 并 对 具有 常系 数
设 ： ｆ 是 的正则三 角 形或 四边剖 分， 用 Ｋ 表 示单 元 的直 径， 用 表 示 全 体非
空 内边界的集合， 即对任一ｅ∈８ ｉ ， 存在 中的两个相邻单元 ＋ 及 一 ， 使 得ｅ＝Ｏ Ｋ＋ｎ Ｏ Ｋ一 ； 用￡ Ｄ 表示 的全体非空边 界边 的集合， 即对任 一ｅ∈Ｓ Ｄ ， 存在 中的一个边 界单元Ｋ， 使 得ｅ＝
非线性对流 项的方法， 得 到 了非 线 性 对 流 扩 散 方程 的 全 离散 隐一 显ｈ Ｌ ＤＧ方 法 的 误 差 估计． 对粘－ ｌ ￣ Ｂ ｕ ｒ ｇ ｅ ｒ ｓ 方程 进 行 了数 值 计 算 ， 计 算 结 果 验 证 了文 中得 到 的 理 论 结 果 并表 明 隐一 显ｈ ｐ — Ｌ ＤＧ格 式 可使 用 比显 式ｈ ｐ — Ｌ Ｄ Ｇ格 式更 大的 时 间 步长 ．
Ｓ ｏ ｂ ｌ ｅ ｖ 方程 ， 积． 微 分方 程等） 以及 关于 时间方 向离散 的高阶方法 如隐一 显多 步及隐一 显Ｒ Ｋ方法 等
将 在 今 后讨 论 ．
１ ｆ ＋ Ｖ ． Ｆ （ ） （ （ ） ） ＝ ， ＝Ｕ Ｄ ， ， ｔ ） ∈，×（ ０ ， 】 ，
加 严格 的限制条件． 为 了避 免使用 小的时 间步 长， 本文采用 隐一 显方法离散 时间变量，即对于对
流项采用显格式而对于扩散项采用隐格式离散． 本文使用不同于文［ ４ ］ 方法， 采用文［ １ ， ６ — ７ ］ 对于椭 圆方程提出的提升算子方法以及使用比［ ８ ］ 更简单的方法处理对流项， 得到了非线性对流扩散方 程的全 离散隐一 显ｈ ｐ — Ｌ ＤＧ方法 的误差估计． 关于本文提 出的方法应用到更一般 的微分方程（ 例如：
关键词 ： 对流 占优扩散 方程 ； 隐一 ＿ ， ￣ ＿ ｈ ｐ Ｌ ＤＧ方法； 提升算子； 误差估计 中图分类号 ： Ｏ ２ ４ １ ． ８
文献标识码 ： Ａ
文章编 号： １ ０ ０ ０ — ４ ４ ２ ４ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ４ — ０ ４ ４ ７ － ０ １ ０
§ １ 引 言
【ｕ （ ｘ ， ０ ） ＝ ０ （ ） ，
收稿 日期： ２ ０ １ ３ — ０ ４ — ２ ２ 修 回日期： ２ ０ １ ３ — ０ ９ — １ ６
（ ） × （ ０ ， ］ ，
（ １ ）
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Ｘ ∈ ，
４ ４ ８
高 校 应 用 数 学 学 报
第２ ８ 卷第４ 期
高校 应 用数 学 学报
２ ０ １ ３ ， ２ ８ （ ４ ） ： ４ ４ ７ — ４ ５ ６
非 线性 对流 扩 散 方程 的隐一 显ｈ ｐ 一 局 部 间 断Ｇ ａ ｌ ｅ ｒ ｋ ｉ ｎ 有 限元 方法
由 同顺
（ 南开 大学 数 学科 学学院，天津 ３ ０ ０ ０ ７ １ ）
摘
要 ：使 用Ａ ｒ ｎ ｏ ｌ ｄ 等 人 提 出的 求解 椭 圆 方程 的 间 断 有 限 元 的 一般 框 架及 新 的 处 理
其中 是Ｒ 中的多角形区域，Ｆ（ ｕ ） ＝（ ＾（ ） ， ， ２ （ ） ） Ｔ ． 假设满足下列条件Ｈ １ ． 对（ ， Ｐ ） ∈ ×Ｒ， 存在常数０ ＋ 及ｎ ， 使得０ ＜０ ａ （ ｘ ， Ｐ ） ｎ ， ， ｓ ∈Ｃ （ Ｒ） （ ｓ ＝１ ， ２ ） ２ ． 系数ａ （ ｘ ， ｕ ） 关于ｕ 是一致Ｌ ｉ ｐ ｓ ｃ ｈ ｉ ｔ ｚ ￣续的
记
…㈤ ＝ ｛
。
ｐ 刊＝ ｛
＿
㈤
其 中ｅ Ｋ Ｋ ， ＝ｉ ｎ ｔ （ ０ Ｋ ｎＯ Ｋ， ） １ ｅ Ｋｌ ２＝ｉ ｎ ｔ （ ０ Ｋ ｎｏ ａ） ． 假设单元直径ｈ 及单元多项式次数ｐ Ｋ 满足条件 （ ｂ ｏ ｕ ｎ ｄ ｅ ｄ ｖ ａ ｒ ｉ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ） ：存在正常数 ， 使
线 性 问题给 出了误差 分析． 文ｆ ５ ］ 讨论 了非线性 对流扩 散方 程 的ｈ ｐ － Ｌ ＤＧ方法 ， 得 到 了空 间半 离 散ｈ ｐ － Ｌ ＤＧ方法 的误差估 计． 本文 的 目的就 是讨 论非线性对 流扩 散方程 的全离散ｈ ｐ — Ｌ Ｄ Ｇ方法 ．
众所周知， 用显式 方法 离散时 间变量， 尽 管产生的全离散格式便 于计算 ， 但 是需要对 时间步长施
Ｏ Ｋ ｎ ａ ； 记 ＝ ｕ ． 用ｐ Ｋ １ 表示单元 ∈ 中的多项式的次数． ｉ Ｅ ｐ ＝｛ ｐ Ｋ ） ∈ ． 现
定义ｈ ｐ － 有 限元空间为
旦 （ ） ＝｛ ∈Ｌ （ ）： ｌ Ｋ∈Ｓ （ ） ， Ｖ Ｋ∈ ｝ ， 其中， 当单元 为三角形时， ｓ ｐ ｘ （ Ｋ） ： ￣ Ｋ Ｆ ｐ 次多项式空间Ｐ ｐ ｘ （ Ｋ） ； 当单元Ｋ为四边形时， （ ） 是 上每个变量直多为ｐ 次多项式空 Ｉ ＇ Ｅ Ｑ ｐ （ ） ．设ｅ∈ ｊ 是任一 内部 边且ｅ＝ Ｏ Ｋ＋ｎ Ｏ Ｋ一 ． 对 于（ ， ｒ ） ∈ ×Ｑ ｈ ， 定义Ｖ 土＝ｖ ｌ 。 ｎ Ｋ± ， ｒ 士＝ ｌ ｅ ｎ ± ． 且 Ⅱ ＝ （ ＋ ＋ 一 ） ， ｒ ＝ （ ｒ ＋ ＋ ｒ 一 ） ， ｌ ＝ ＋ ｎ Ｋ ＋ ＋ 一 礼 Ｋ 一 ， ｌ ＝ｒ ＋ ‘ ｎ Ｋ ＋ ＋ 一 ’ ｎ Ｋ一 ・
的广泛重视 ． 关 于ＤＧ方法的综述可参见文献ｆ １ — ４ １ ．
文『 ４ １ 讨 论 了对 流 扩散 方 程， 提 出 了局 部 间断Ｇａ ｌ ｅ ｒ ｋ ｉ ｎ 有 限元（ Ｌ ＤＧ） 方法 并 对 具有 常系 数
设 ： ｆ 是 的正则三 角 形或 四边剖 分， 用 Ｋ 表 示单 元 的直 径， 用 表 示 全 体非
空 内边界的集合， 即对任一ｅ∈８ ｉ ， 存在 中的两个相邻单元 ＋ 及 一 ， 使 得ｅ＝Ｏ Ｋ＋ｎ Ｏ Ｋ一 ； 用￡ Ｄ 表示 的全体非空边 界边 的集合， 即对任 一ｅ∈Ｓ Ｄ ， 存在 中的一个边 界单元Ｋ， 使 得ｅ＝
非线性对流 项的方法， 得 到 了非 线 性 对 流 扩 散 方程 的 全 离散 隐一 显ｈ Ｌ ＤＧ方 法 的 误 差 估计． 对粘－ ｌ ￣ Ｂ ｕ ｒ ｇ ｅ ｒ ｓ 方程 进 行 了数 值 计 算 ， 计 算 结 果 验 证 了文 中得 到 的 理 论 结 果 并表 明 隐一 显ｈ ｐ — Ｌ ＤＧ格 式 可使 用 比显 式ｈ ｐ — Ｌ Ｄ Ｇ格 式更 大的 时 间 步长 ．
Ｓ ｏ ｂ ｌ ｅ ｖ 方程 ， 积． 微 分方 程等） 以及 关于 时间方 向离散 的高阶方法 如隐一 显多 步及隐一 显Ｒ Ｋ方法 等
将 在 今 后讨 论 ．
１ ｆ ＋ Ｖ ． Ｆ （ ） （ （ ） ） ＝ ， ＝Ｕ Ｄ ， ， ｔ ） ∈，×（ ０ ， 】 ，
加 严格 的限制条件． 为 了避 免使用 小的时 间步 长， 本文采用 隐一 显方法离散 时间变量，即对于对
流项采用显格式而对于扩散项采用隐格式离散． 本文使用不同于文［ ４ ］ 方法， 采用文［ １ ， ６ — ７ ］ 对于椭 圆方程提出的提升算子方法以及使用比［ ８ ］ 更简单的方法处理对流项， 得到了非线性对流扩散方 程的全 离散隐一 显ｈ ｐ — Ｌ ＤＧ方法 的误差估计． 关于本文提 出的方法应用到更一般 的微分方程（ 例如：
关键词 ： 对流 占优扩散 方程 ； 隐一 ＿ ， ￣ ＿ ｈ ｐ Ｌ ＤＧ方法； 提升算子； 误差估计 中图分类号 ： Ｏ ２ ４ １ ． ８
文献标识码 ： Ａ
文章编 号： １ ０ ０ ０ — ４ ４ ２ ４ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ４ — ０ ４ ４ ７ － ０ １ ０
§ １ 引 言
【ｕ （ ｘ ， ０ ） ＝ ０ （ ） ，
收稿 日期： ２ ０ １ ３ — ０ ４ — ２ ２ 修 回日期： ２ ０ １ ３ — ０ ９ — １ ６
（ ） × （ ０ ， ］ ，
（ １ ）
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Ｘ ∈ ，
４ ４ ８
高 校 应 用 数 学 学 报
第２ ８ 卷第４ 期
高校 应 用数 学 学报
２ ０ １ ３ ， ２ ８ （ ４ ） ： ４ ４ ７ — ４ ５ ６
非 线性 对流 扩 散 方程 的隐一 显ｈ ｐ 一 局 部 间 断Ｇ ａ ｌ ｅ ｒ ｋ ｉ ｎ 有 限元 方法
由 同顺
（ 南开 大学 数 学科 学学院，天津 ３ ０ ０ ０ ７ １ ）
摘
要 ：使 用Ａ ｒ ｎ ｏ ｌ ｄ 等 人 提 出的 求解 椭 圆 方程 的 间 断 有 限 元 的 一般 框 架及 新 的 处 理
其中 是Ｒ 中的多角形区域，Ｆ（ ｕ ） ＝（ ＾（ ） ， ， ２ （ ） ） Ｔ ． 假设满足下列条件Ｈ １ ． 对（ ， Ｐ ） ∈ ×Ｒ， 存在常数０ ＋ 及ｎ ， 使得０ ＜０ ａ （ ｘ ， Ｐ ） ｎ ， ， ｓ ∈Ｃ （ Ｒ） （ ｓ ＝１ ， ２ ） ２ ． 系数ａ （ ｘ ， ｕ ） 关于ｕ 是一致Ｌ ｉ ｐ ｓ ｃ ｈ ｉ ｔ ｚ ￣续的
记
…㈤ ＝ ｛
。
ｐ 刊＝ ｛
＿
㈤
其 中ｅ Ｋ Ｋ ， ＝ｉ ｎ ｔ （ ０ Ｋ ｎＯ Ｋ， ） １ ｅ Ｋｌ ２＝ｉ ｎ ｔ （ ０ Ｋ ｎｏ ａ） ． 假设单元直径ｈ 及单元多项式次数ｐ Ｋ 满足条件 （ ｂ ｏ ｕ ｎ ｄ ｅ ｄ ｖ ａ ｒ ｉ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ） ：存在正常数 ， 使
线 性 问题给 出了误差 分析． 文ｆ ５ ］ 讨论 了非线性 对流扩 散方 程 的ｈ ｐ － Ｌ ＤＧ方法 ， 得 到 了空 间半 离 散ｈ ｐ － Ｌ ＤＧ方法 的误差估 计． 本文 的 目的就 是讨 论非线性对 流扩 散方程 的全离散ｈ ｐ — Ｌ Ｄ Ｇ方法 ．
众所周知， 用显式 方法 离散时 间变量， 尽 管产生的全离散格式便 于计算 ， 但 是需要对 时间步长施
Ｏ Ｋ ｎ ａ ； 记 ＝ ｕ ． 用ｐ Ｋ １ 表示单元 ∈ 中的多项式的次数． ｉ Ｅ ｐ ＝｛ ｐ Ｋ ） ∈ ． 现
定义ｈ ｐ － 有 限元空间为
旦 （ ） ＝｛ ∈Ｌ （ ）： ｌ Ｋ∈Ｓ （ ） ， Ｖ Ｋ∈ ｝ ， 其中， 当单元 为三角形时， ｓ ｐ ｘ （ Ｋ） ： ￣ Ｋ Ｆ ｐ 次多项式空间Ｐ ｐ ｘ （ Ｋ） ； 当单元Ｋ为四边形时， （ ） 是 上每个变量直多为ｐ 次多项式空 Ｉ ＇ Ｅ Ｑ ｐ （ ） ．设ｅ∈ ｊ 是任一 内部 边且ｅ＝ Ｏ Ｋ＋ｎ Ｏ Ｋ一 ． 对 于（ ， ｒ ） ∈ ×Ｑ ｈ ， 定义Ｖ 土＝ｖ ｌ 。 ｎ Ｋ± ， ｒ 士＝ ｌ ｅ ｎ ± ． 且 Ⅱ ＝ （ ＋ ＋ 一 ） ， ｒ ＝ （ ｒ ＋ ＋ ｒ 一 ） ， ｌ ＝ ＋ ｎ Ｋ ＋ ＋ 一 礼 Ｋ 一 ， ｌ ＝ｒ ＋ ‘ ｎ Ｋ ＋ ＋ 一 ’ ｎ Ｋ一 ・