2018年中国科技大学自主招生数学试题及答案
2018年XXX第二批次自主招生(实验班)考试数学学科试卷和答案
2018年XXX第二批次自主招生(实验班)考试数学学科试卷和答案2018年XXX第二批次自主招生（实验班）数学考试试卷考试时间：90分钟，满分100分一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。
每小题只有一个正确答案）1.化简 (2-m)/(m-2) 的结果是：A。
m-2B。
2-mC。
-m-2D。
-2/(m-2)2.表达式 abc+abc+abc 的所有可能值的个数是：A。
2个B。
3个C。
4个D。
无数个3.某班50名学生可在音乐、美术、体育三门选修课中选择，每位学生至少选择一门。
选择音乐的有21人，选择美术的有28人，选择体育的有16人，既选择音乐又选择美术的有7人，既选择美术又选择体育的有6人，既选择体育又选择音乐的有5人，则三项都参加的人数是：A。
2B。
3C。
4D。
54.已知二次函数 y=x^2-2x-6，当m≤x≤4 时，函数的最大值为2，最小值为-7，则满足条件的 m 的取值范围是：A。
m≤1B。
-2<m<1C。
-2≤m<1D。
-2≤m≤15.适合不等式 2/(3x-y) ≤ 1，且满足方程 3x+y=1 的 x 的取值范围是：A。
x≤1/3B。
-1≤x<1/3C。
x≤1D。
-1≤x≤16.已知 A、B 两点在一次函数 y=x 的图像上，过 A、B 两点分别作 y 轴的平行线交双曲线 y=1/x (x>0) 于 M、N 两点，O 为坐标原点。
若 BN=3AM，则 9OM^2-ON^2 的值为：A。
8B。
16C。
32D。
367.在直角三角形 ABC 中，∠BAC=90°，M、N 是 BC 边上的点，BM=MN=CN/2，如果 AM=8，AN=6，则 MN 的长为：A。
4√3B。
2√3C。
10D。
10/38.将正奇数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对(n,m) 表示第 n 排，从左到右第 m 个数，如 (4,2) 表示奇数 15，则表示奇数 2017 的有序实数对是：A。
2019年中科大创新班笔试数学真题及答案
4.
设
O
是
ABC
的外心，
4
OA
5
OB
6
OC
0
，则
tan
BAC
_____.
5. 设曲线 x 13 y 13 1 关于直线 y kx b 对称，则 k,b _____.
6. 设 x 3 cost , y 4 cost , t 是参数，则 x2 y2 的最大值为_____.
解析： 易知：四面体 ABCD是一个对棱相等的四面 体 置入到长方体即可.假设其边长为a, b, c. a2 b2 16,b2 c2 25, c2 a2 36.
a 3 6 ,b 2
10 2
,c
3
10 2
. VABCD
15 4
6
10 .
解析：令 fn
本试题由天科教育研究院整理。
2019 年中国科学技术大学创新班笔试数学真题答案 【天科教育研究院解答】
本试题由天科教育研究院解答。
1. x 2 y 3x 4 y 5 区域面积
.
1 .答案：25 解析：
画出可行域如图，
S ABCD
4S ABO
4*
25 4
25
。
2. 方程 sin 2x cos 3x 0, x 0,2 的所有根之和
解析：由几何意义注意 z 1与z 1的夹角 ，z 的轨迹为单位圆上对应复数,所以
z2
z3 min
z
z2
z3 min
z 1 3z min
2021新教材人教版高中数学A版必修第一册模块练习题--3.1~3.2综合拔高练
3.1~3.2综合拔高练五年高考练考点1 函数的概念与表示 1.(2019江苏,4,5分,)函数y=√7+6x -x 2的定义域是 . 2.(2016浙江,12,6分,)设函数f(x)=x 3+3x 2+1.已知a ≠0,且f(x)-f(a)=(x-b)(x-a)2,x ∈R,则实数a= ,b= . 考点2 分段函数的应用 3.(2019课标全国Ⅱ,12,5分,)设函数f(x)的定义域为R,满足f(x+1)=2f(x),且当x ∈(0,1]时, f(x)=x(x-1).若对任意x ∈(-∞,m],都有f(x)≥-89,则m 的取值范围是( )A.(-∞,94]B.(-∞,73]C.(-∞,52] D.(-∞,83] 4.(2018天津,14,5分,)已知a ∈R,函数f(x)={x 2+2x +a -2,x ≤0,-x 2+2x -2a,x >0.若对任意x ∈[-3,+∞), f(x)≤|x|恒成立,则a 的取值范围是 .考点3 函数基本性质的综合运用 5.(2018课标全国Ⅱ,11,5分,)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=( ) A.-50 B.0 C .2 D .50 6.(2019浙江,16,5分,)已知a ∈R,函数f(x)=ax 3-x.若存在t ∈R,使得|f(t+2)-f(t)|≤23,则实数a 的最大值是 .强基计划7.(2018中国科技大学自主招生试题,6改编,)已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)是单射(即如果x,y ∈(0,+∞),且x ≠y,都有f(x)≠f(y)),对任意的x>0,有xf(x)>1, f(xf(x)-1)=2,则f(2)= .三年模拟练应用实践1.(2020黑龙江大庆实验中学高一上月考,)设f(x)={√x,0<x <1,2(x -1),x ≥1,若f(a)=f(a+1),则f (1a-1)=( ) A.8 B .6 C.4 D .22.(2020山东德州高一上期中,)已知函数f(x)是定义在R 上的单调函数,A(0,1),B(2,-1)是其图象上的两点,则不等式|f(x-1)|>1的解集为( )A.(-1,1)B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(1,3)D.(-∞,1)∪(3,+∞)3.(2020黑龙江哈三中高一上第一次阶段性验收,)已知函数f(x)={(x +1)2,x ≤-1,2x +2,-1<x <1,1x,x ≥1,若f(a)>1,则实数a 的取值范围是( )A.(-∞,-2)∪(-12,+∞)B.(-12,12)C.(-∞,-2)∪(-12,1) D.(-2,12)∪(1,+∞)4.(多选)(2020山东菏泽高一上期末联考,)下列关于函数f(x)=√x 2-x 4|x -1|-1的性质描述正确的是( 易错 ) A. f(x)的定义域为[-1,0)∪(0,1] B. f(x)的值域为(-1,1) C. f(x)在定义域上是增函数 D. f(x)的图象关于原点对称 5.(多选)(2020山东日照高一上期中,)下列结论正确的有( )A.函数f(x)=(x-1)0+√x +1的定义域为(-1,1)∪(1,+∞)B.函数y=f(x)(x ∈[-1,1])的图象与y 轴有且只有一个交点C.“k>1”是“函数f(x)=(k-1)x+k(k ∈R)为增函数”的充要条件D.若奇函数y=f(x)在x=0处有定义,则f(0)=0 6.(多选)(2020山东淄博高一上期中,)我们把定义域为[0,+∞)且同时满足以下两个条件的函数f(x)称为“Ω函数”: (1)对任意的x ∈[0,+∞),总有f(x)≥0;(2)若x ≥0,y ≥0,则有f(x+y)≥f(x)+f(y)成立,下列判断正确的是( ) A.若f(x)为“Ω函数”,则f(0)=0B.若f(x)为“Ω函数”,则f(x)在[0,+∞)上为增函数C.函数g(x)={0,x ∈Q,1,x ∉Q 在[0,+∞)上是“Ω函数”D.函数g(x)=x 2+x 在[0,+∞)上是“Ω函数”7.(2020河北石家庄二中高一上月考,)已知函数f(x)={-x 24,0<x ≤4,4-2x,x >4,函数h(x)(x ≠0)为偶函数,且当x>0时,h(x)=f(x).若h(t)>h(2),则实数t 的取值范围为 . 8.(2020天津六校高一上期中联考,)已知函数f(x)=x 2-4x+10(x ∈[m,n])的值域为[3m,3n],则2m+n= . 9.(2020黑龙江哈师大附中高一上期中,)下列说法正确的是 .(填序号)(1)函数f(x)=-2x在(0,+∞)上单调递减; (2)函数y=2x(x ∈N)的图象是一条直线;(3)已知函数f(x)={x 2+1(x ≤0),-2x(x >0),若f(x)=10,则x 的值为-3或-5;(4)若函数y=x 2+(2a-1)x+1的减区间是(-∞,2],则a=-32;(5)若函数f(x)满足R 上的任意实数x 1,x 2(x 1≠x 2),(x 1-x 2)[f(x 1)-f(x 2)]<0恒成立,则f(x)在R 上单调递减. 10.(2020河北承德一中高一上月考,)已知函数f(√x +2)=3x+1x+2,函数g(x)=1-2x+√x +2.(1)求函数f(x)的解析式,并写出其定义域; (2)求函数g(x)的值域.11.(2020湖南衡阳一中高一上期中,)已知函数f(x)对任意的实数a,b 都有f(a+b)=f(a)+f(b),且当x>0时,有f(x)>0.(1)求证:f(x)在R上为增函数;(2)求证:f(x)是R上的奇函数;(3)若f(1)=1,解不等式f(x2)-f(x+2)>4.迁移创新12.(2020山东烟台高一上期中,)经过函数性质的学习,我们知道“函数y=f(x)的图象关于y轴成轴对称图形”的充要条件是“y=f(x)为偶函数”.(1)若f(x)为偶函数,且当x≤0时,f(x)=2x-1,求f(x)的解析式,并求不等式f(x)>f(2x-1)的解集;(2)某数学学习小组针对上述结论进行探究,得到一个真命题:“函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称图形”的充要条件是“y=f(x+a)为偶函数”.若函数g(x)的图象关于直线x=1对称,且当x≥1时,g(x)=x2-1.x①求g(x)的解析式;②求不等式g(x)>g(3x-1)的解集.答案全解全析 五年高考练1.答案 [-1,7]解析 由题意可得7+6x-x 2≥0,即x 2-6x-7≤0,解得-1≤x ≤7,故该函数的定义域是[-1,7]. 2.答案 -2;1 解析f(x)-f(a)=x 3-a 3+3(x 2-a 2)=(x-a)[x 2+ax+a 2+3(x+a)]=(x-a)[x 2+(a+3)·x+a 2+3a]=(x-a)(x-a)(x-b),则x 2+(a+3)x+a 2+3a=x 2-(a+b)x+ab,即{a +3=-(a +b),a 2+3a =ab,解得{a =-2,b =1. 3.B 由题可知,当x ∈(0,1]时, f(x)=x(x-1)=x 2-x,则当x=12时, f(x)min =-14,且当x=13时, f(x)=-29.当x ∈(1,2]时,x-1∈(0,1],则f(x)=2f(x-1).当x ∈(-1,0]时,x+1∈(0,1],则 f(x)=12f(x+1).∴若x ∈(1,2],则当x=32时, f(x)min =-12,且x=43时, f(x)=-49.同理,若x ∈(2,3],则当x=52时, f(x)min =-1,且x=73时, f(x)=-89.∴函数f(x)的大致图象如图所示.∵f(x)≥-89对任意x ∈(-∞,m]恒成立,∴当x ∈(-∞,m]时, f(x)min ≥-89,由图可知m ≤73.故选B.4.答案 [18,2]解析 当x>0时, f(x)=-x 2+2x-2a,此时只需-x 2+2x-2a ≤x 恒成立, 即2a ≥-x 2+x 恒成立,因为x>0时,y=-x 2+x 的最大值为14,所以a ≥18;当-3≤x ≤0时, f(x)=x 2+2x+a-2, 此时只需x 2+2x+a-2≤-x 恒成立, 即a ≤-x 2-3x+2恒成立,因为-3≤x ≤0时,y=-x 2-3x+2的最小值为2, 所以a ≤2.故a 的取值范围为[18,2].5.C 因为f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数, 所以f(-x)=-f(x)①,且f(0)=0. 又因为f(1-x)=f(1+x), 所以f(-x)=f(2+x)②. 由①②可得f(x+2)=-f(x), 则有f(x+4)=f(x). 由f(1)=2,得f(-1)=-2,于是有f(2)=f(0)=0, f(3)=f(-1)=-2,f(4)=f(0)=0, f(5)=f(1)=2, f(6)=f(2)=0,……,所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=12×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(49)+f(50)=12×0+f(1)+f(2)=2+0=2. 6.答案 43解析 |f(t+2)-f(t)|=|a(t+2)3-(t+2)-(at 3-t)|=|a(6t 2+12t+8)-2|.令m=6t 2+12t+8=6(t+1)2+2,则m ∈[2,+∞),设g(m)=f(t+2)-f(t)=am-2, |am-2|≤23,当a=0时,g(m)=-2,不符合题意;当a>0时,g(m)∈[2a-2,+∞),∵|g(m)|≤23有解,∴2a-2≤23,得0<a ≤43;当a<0时,g(m)∈(-∞,2a -2],∵|g(m)|≤23有解,∴2a-2≥-23,得a ≥23,与a<0矛盾.综上可知,0<a ≤43,即a 的最大值为43.7.答案 1解析 由函数f(x)是单射,且f(xf(x)-1)=2,得xf(x)-1是常数,令xf(x)-1=t(x>0),则f(x)=t+1x ,且f(t)=2①,因此tf(t)-1=t,所以f(tf(t)-1)=2,由f(t)=2,得f(2t-1)=2②,由①②及函数f(x)是单射得t=2t-1,解得t=1,所以f(x)=2x (x>0),所以f(2)=1.三年模拟练应用实践1.C 由题意知,当a ∈(0,1)时,若f(a)=f(a+1),则√a =2a,解得a=14,则f (1a-1)=f(3)=2×(3-1)=4;当a ∈[1,+∞)时,若f(a)=f(a+1),则2(a-1)=2a,显然无解. 综上可得f (1a -1)=4,故选C.2.D 由题意可知f(0)=1,f(2)=-1, 又知f(x)是定义在R 上的单调函数, 所以f(x)在R 上单调递减.由|f(x-1)|>1得f(x-1)>1或f(x-1)<-1, 即f(x-1)>f(0)或f(x-1)<f(2), 所以x-1<0或x-1>2, 解得x<1或x>3,故选D.3.C 当a ≤-1时,由f(a)=(a+1)2>1,解得a>0或a<-2,故a<-2; 当-1<a<1时,由f(a)=2a+2>1,解得a>-12,故-12<a<1;当a ≥1时,由f(a)=1a>1,解得0<a<1,故无解.综上所述,a 的取值范围是(-∞,-2)∪(-12,1),故选C.4.ABD 由{x 2-x 4≥0,|x -1|-1≠0,得-1≤x ≤1且x ≠0,此时f(x)=√x 2-x 4-(x -1)-1=√x 2-x 4-x=|x|√1-x 2-x,因此A 正确;当0<x ≤1时, f(x)=-√1-x 2∈(-1,0],当-1≤x<0时, f(x)=√1-x 2∈[0,1),故f(x)的值域为(-1,1),B 正确;易知f(x)在定义域上不是增函数,选项C 错误;又f(-x)=|-x|√1-(-x)2-(-x)=|x|√1-x 2x=-f(x),则f(x)是奇函数,其图象关于原点对称,D 正确.故选ABD.易错警示 研究函数的性质时,应先求定义域,再化简解析式.不求定义域就化简解析式可能会导致定义域发生变化,从而导致解题错误;化简解析式有一定的必要性,若不化简解析式,可能会反映不出函数的本质,从而导致问题不能解决.5.BCD 选项A 中,由{x -1≠0,x +1≥0,得x ≥-1且x ≠1,A 错误;选项B 中,由y=f(x)在x=0处有意义,因此f(x)的图象与y 轴有且只有一个公共点,B 正确;选项C 中,若k>1,则k-1>0,f(x)=(k-1)x+k 是增函数,反过来也成立,C 正确;选项D 中,由f(x)是奇函数知f(-x)=-f(x),又x=0处有定义,因此f(-0)=-f(0),即2f(0)=0,f(0)=0,D 正确,故选BCD.6.AD 对于选项A,由条件(1)知,f(x)≥0,则f(0)≥0,由条件(2)知, f(0+0)≥f(0)+f(0),即f(0)≤0,所以f(0)=0,A 正确; 对于选项B,当f(x)=0(x ∈[0,+∞))时,符合条件(1),(2), f(x)是“Ω函数”,但f(x)在[0,+∞)上不是增函数,B 错误; 对于选项C,取x=2-√2,y=2+√2,则g(2-√2)=1,g(2+√2)=1,g((2-√2)+(2+√2))=g(4)=0,不满足g(x+y)≥g(x)+g(y),所以g(x)不是“Ω函数”,C 错误;对于选项D,g(x)=x 2+x 在[0,+∞)上单调递增,所以g(x)≥g(0)=0,满足条件(1),又g(x+y)-g(x)-g(y)=[(x+y)2+(x+y)]-(x 2+x)-(y 2+y)=2xy,当x ≥0,y ≥0时,2xy ≥0,此时g(x+y)≥g(x)+g(y),满足条件(2),D 正确.故选AD.7.答案 (-2,0)∪(0,2)解析 因为当x>0时,h(x)=f(x),所以当x>0时,h(x)={-x 24,0<x ≤4,4-2x,x >4,易知函数h(x)在(0,+∞)上单调递减,又函数h(x)(x ≠0)为偶函数,且h(t)>h(2),所以h(|t|)>h(2),所以0<|t|<2,所以{t ≠0,|t|<2,即{t ≠0,-2<t <2,解得-2<t<0或0<t<2.8.答案 9解析 ∵f(x)=x 2-4x+10=(x-2)2+6≥6,∴3m ≥6,∴m ≥2,又函数f(x)图象的对称轴为x=2,∴函数f(x)在[m,n]上单调递增. ∴f(m)=3m,f(n)=3n,即m 2-4m+10=3m,n 2-4n+10=3n,解得m=2或m=5,n=2或n=5,又m<n,∴m=2,n=5,∴2m+n=4+5=9,故答案为9.9.答案 (4)(5)解析 函数f(x)=-2x 在(0,+∞)上单调递增,故(1)错误;函数y=2x(x ∈N)的图象是间断的点,故(2)错误;函数f(x)={x 2+1(x ≤0),-2x(x >0),若f(x)=10,则x 的值为-3,故(3)错误;若函数y=x 2+(2a-1)x+1的减区间是(-∞,2],则-2a -12=2,即a=-32,故(4)正确;若函数f(x)满足R 上的任意实数x 1,x 2(x 1≠x 2),(x 1-x 2)[f(x 1)-f(x 2)]<0恒成立,则当x 1>x 2时, f(x 1)<f(x 2),当x 1<x 2时,f(x 1)>f(x 2),所以f(x)在R 上单调递减,故(5)正确.故答案为(4)(5).10.解析 (1)令t=√x +2,t>2,则x=(t-2)2,∴f(t)=3(t-2)2+1(t -2)2+2, ∴f(x)=3(x-2)2+1(x -2)2+2,其定义域为(2,+∞). (2)令t=√x +2,t ≥0,则x=t 2-2,∴y=1-2(t 2-2)+t=-2t 2+t+5,t ≥0,当t=14时,y 取得最大值,最大值为418,所以原函数的值域为(-∞,418]. 11.解析 (1)证明:任取x 1,x 2∈R,且x 1<x 2,则f(x 2)-f(x 1)=f(x 2-x 1+x 1)-f(x 1), ∵对任意的实数a,b 都有f(a+b)=f(a)+f(b),∴f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)+f(x1),∴f(x2)-f(x1)=f(x2-x1),∵当x>0时,f(x)>0,且x2-x1>0,∴f(x2-x1)>0,∴f(x2)>f(x1),即y=f(x)在R上为增函数.(2)证明:∵对任意的实数a,b都有f(a+b)=f(a)+f(b),∴令a=b=0,则f(0)=f(0)+f(0)=2f(0),∴f(0)=0,令a=x,b=-x,则f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0)=0,∴f(-x)=-f(x),即函数y=f(x)为R上的奇函数.(3)若f(1)=1,则f(2)=2f(1)=2,f(4)=2f(2)=4,∴不等式f(x2)-f(x+2)>4等价于f(x2)-f(x+2)>f(4),由(2)知f(x)为奇函数,∴-f(x+2)=f(-x-2),∴f(x2)-f(x+2)=f(x2)+f(-x-2),∴f(x2-x-2)>f(4),又由(1)知,f(x)在R上为增函数,∴x2-x-2>4,即x2-x-6>0,∴x>3或x<-2.∴原不等式的解集为(-∞,-2)∪(3,+∞).迁移创新12.解析(1)设x>0,则-x<0,则f(-x)=2·(-x)-1=-2x-1,又f(x)为偶函数,所以f(x)=f(-x)=-2x-1.所以f(x)={2x-1,x≤0, -2x-1,x>0.因为f(x)为偶函数,且f(x)在[0,+∞)上是减函数,所以f(x)>f(2x-1)等价于|x|<|2x-1|,即x2<(2x-1)2,解得x<13或x>1.所以不等式的解集是{x|x<13或x>1}.(2)①因为g(x)的图象关于直线x=1对称,所以y=g(x+1)为偶函数,所以g(1+x)=g(1-x),即g(x)=g(2-x)对任意x∈R恒成立.又当x<1时,2-x>1,所以g(x)=(2-x)2-12-x =x 2-4x+4+1x -2. 所以g(x)={x 2-1x,x ≥1,x 2-4x +4+1x -2,x <1.②任取x 1,x 2∈[1,+∞),且x 1<x 2,则g(x 1)-g(x 2)=x 12-1x 1-(x 22-1x 2)=(x 1-x 2)(x 1+x 2+1x 1x 2), 因为x 1<x 2,所以x 1-x 2<0,又x 1+x 2>0,1x 1x 2>0,所以(x 1-x 2)(x 1+x 2+1x 1x 2)<0,即g(x 1)<g(x 2).所以函数y=g(x)在[1,+∞)上是增函数,又因为函数g(x)的图象关于直线x=1对称, 所以g(x)>g(3x-1)等价于|x-1|>|3x-2|, 即(x-1)2>(3x-2)2,解得12<x<34. 所以不等式的解集为{x |12<x <34}.。
2023年中国科学技术大学强基计划数学试题含解析
2023年中国科学技术大学强基计划数学试题6月11日 考试时长90分钟本次考试一共8道试题，4道填空题，4道解答题，满分100分.一、 填空题（20分）1. 二元函数22(,)(cos )(23sin )f x y x y x y =++++的值域为________.2. 设复数z 满足1z =，且11z z ω+=−，则2214ωω+的最小值为________. 3. 使得2023(12)x +展开式中n x 的系数最大，则正整数n 的值为________.4. 已知四条抛物线2222,,,y x a y x a x y a x y a =+=−=+=−−相邻两条都相切，则它们围成的封闭图形面积为______.二、 解答题（每题20分，共80分）1. 已知实系数函数32()f x x bx cx d =+++，当11x −≤≤时，()1f x x ≤+恒成立，证明：()0f x =的三个根全部为实数。
2. 已知正整数数列{}{},n n a b 满足111a b ==，且{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列。
数列{}n c 满足：nn n c a b =+，若存在正整数k 满足237,307k k c c +==，求数列{}n c 的通项公式，3. 一个箱子里有m 个黑球和n 个白球()m n <，从箱子中不放回的每次抽取一个球，直到取完。
记(,)P m n 为在整个取球过程中，黑球个数始终小于白球个数的概率，求：（1）(2,4)P 的概率值；（2）(,)P m n 的表达式。
4. 证明：22221242ni i n n i n n =+≤++∑2023年中国科学技术大学强基计划数学试题解析一、填空题1. 0 解析：原式可以看作点(,23)P x x +和(cos ,sin )Q y y −−的距离平方，数形结合得到 2max max (,)1(,)0f x y f x y =+= 2.答案为4解析：设(,)z a bi a b =+∈ ，那么由已知可得221a b +=，以及1(1)(1)11(1)(1)z z z b i ti z a z z ω++−====−−−−，其中22;11b b t a a ω ==− −−， 所以222222114441b t a t ωωω =−+=+≥ − ，当且仅当2112b a = −时取等号。
2017中科大自主招生数学试题
2017中科大自主招生数学试题1、要使多项式不含的一次项，则与的关系是（）[单选题] *A. 相等(正确答案)B. 互为相反数C. 互为倒数D. 乘积为12、2．如果规定收入为正，那么支出为负，收入2元记作，支出5元记作（）．[单选题] *A．5元B. -5元(正确答案)C .-3元D. 7元3、6.有15张大小、形状及背面完全相同的卡片，卡片正面分别画有正三角形、正方形、圆，从这15张卡片中任意抽取一张正面的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是1/3?，则正面画有正三角形的卡片张数为（）[单选题] *Ａ.3Ｂ.5Ｃ.10(正确答案)Ｄ.154、32．已知m＝（）﹣2，n＝（﹣2）3，p＝﹣（﹣）0，则m，n，p的大小关系（）[单选题] *A．m＜p＜nB．n＜m＜pC．p＜n＜mD．n＜p＜m(正确答案)5、下列语句中，描述集合的是（）[单选题] *A、比1大很多的实数全体B、比2大很多的实数全体C、不超过5的整数全体(正确答案)D、数轴上位于原点附近的点的全体6、在0°~360°范围中，与645°终边相同的角是（）[单选题] *285°(正确答案)-75°295°75°7、9. 一个事件发生的概率不可能是(? ? ?) [单选题] *A．0B．1/2C．1D．3/2(正确答案)8、若39?27?=321，则m的值是（）[单选题] *A. 3B. 4(正确答案)C. 5D. 69、2.当m=-2时，代数式-2m-5的值是多少（）[单选题] *A.-7B.7C.-1(正确答案)D.110、7．把点平移到点，平移方式正确的为（）[单选题] * A．先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度B．先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度C．先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度D．先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度(正确答案)11、计算(2x－1)(5x＋2)的结果是() [单选题] *A. 10x2－2B. 10x2－5x－2C. 10x2＋4x－2D. 10x2－x－2(正确答案)12、在0°~360°范围中，与-460°终边相同的角是（）[单选题] * 200°(正确答案)560°-160°-320°13、45．下列运算正确的是（）[单选题] *A．（5﹣m）（5+m）＝m2﹣25B．（1﹣3m）（1+3m）＝1﹣3m2C．（﹣4﹣3n）（﹣4+3n）＝﹣9n2+16(正确答案)D．（2ab﹣n）（2ab+n）＝4ab2﹣n214、47、若△ABC≌△DEF，AB＝2，AC＝4，且△DEF的周长为奇数，则EF的值为（）[单选题] *A．3B．4C．1或3D．3或5(正确答案)15、x3??(m为正整数)可写成( ) [单选题] *A. x3＋x?B. x3－x?C. x3·x?(正确答案)D. x3?16、下列计算正确的是( ) [单选题] *A. (－a)·(－a)2·(－a)3＝－a?B. (－a)·(－a)3·(－a)?＝－a?C. (－a)·(－a)2·(－a)?＝a?D. (－a)·(－a)?·a＝－a?(正确答案)17、6．已知集合A={0,1,2}，则集合B={(x，y)|x≥y，x∈A，y∈A}中元素的个数是( ) [单选题] *A．1B．3C．6(正确答案)D．918、北京、南京、上海三个民航站之间的直达航线,共有多少种不同的飞机票?（）[单选题] *A、3B、4C、6(正确答案)D、1219、两个有理数相加，如果和小于每一个加数，那么[单选题] *A.这两个加数同为负数(正确答案)B.这两个加数同为正数C.这两个加数中有一个负数，一个正数D.这两个加数中有一个为零20、29.若（2，a）和（3，b）是直线y=x+k上的两点，那么这两点间的距离为（）[单选题] *A.8B.10C.√2(正确答案)D.221、6．若一个正比例函数的图象经过点(2，－3)，则这个图象一定也经过点( ) [单选题]* A．(－3，2)B．( 3/2，－1)C．(2/3，－1)(正确答案)D．( －2/3，1)22、下列运算正确的是（）[单选题] *A. a2?a3=a?B. （﹣a3）2=﹣a?C. （ab）2=ab2D. 2a3÷a=2a2(正确答案)23、19、如果点M是第三象限内的整数点，那么点M的坐标是（）[单选题] *（-2，-1）（-2，-2）（-3，-1）(正确答案)（-3，-2）24、掷三枚硬币可出现种不同的结果（）[单选题] *A、6B、7C、8(正确答案)D、2725、下列各式中能用平方差公式的是（）[单选题] *A. (x＋y)(y＋x)B. （x＋y)(y－x)(正确答案)C. (x＋y)(－y－x)D. (－x＋y)(y－x)26、-230°是第（）象限角？[单选题] *第一象限第二象限(正确答案)第三象限第四象限27、函数f（x）=-2x+5在（-∞，+∞）上是（）[单选题] *A、增函数B、增函数(正确答案)C、不增不减D、既增又减28、两数之和为负数，则这两个数可能是? [单选题] *A.都是负数B.0和负数(正确答案)C.一个正数与一个负数D.一正一负或同为负数或0和负数29、由数字1、2、3、4、5可以组成多少个不允许有重复数字的三位数?（）[单选题]*A、125B、126C、60(正确答案)D、12030、19．对于实数a、b、c,“a>b”是“ac2(c平方)>bc2(c平方) ; ”的（）[单选题] * A．充分不必要条件B．必要不充分条件(正确答案)C．充要条件D．既不充分也不必要条件。
2018年___自主招生数学试卷(含答案解析)
2018年___自主招生数学试卷(含答案解析)2018年___自主招生数学试卷一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1.√16的平方根是()A.4B.±4C.22.若√(1−x)2=x−1成立，则x满足()A.x≥1B.x≥C.x≤1D.±23.已知x=√5−1，则x2+2x的值是()A.2B.3C.4D.54.如图所示的四条直线a、b、c、d，直线a、b与水平线平行，以其中一条为x轴，d与水平线垂直，取向右为正方向；直线c、以其中一条为y轴，取向上为正方向．某同学在此坐标平面上画了二次函数x=xx2+2xx+2(x≠0)的图象如图，则下面结论正确的是()A.a为x轴，c为y轴B.a为x轴，d为y轴C.b为x轴，c 为y轴D.b为x轴，d为y轴5.如图，已知AB为圆的直径，C为半圆上一点，D为半圆的中点，xx⊥xx，垂足为H，HM平分∠xxx，HM交AB于x.若xx=3，xx=1，则MH长为()A.1B.1.5C.0.5D.0.76.如图，△xxx中，∠x=90°，D是BC边上一点，∠xxx=3∠xxx，xx=8，xx=7.则AB的值为()A.15B.20C.2√2+7D.2√2+√7二、填空题（本大题共10小题，共40.0分）7.已知实数x、y满足x+2x=5，则x−x=3.8.分解因式：x2+4xx+4x2+x+2x−2=(x+2x+1)2−3.9.在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(x,3)，(3x−1,3)，若线段AB与直线x=2x+1相交，则m的取值范围为(0,1)。
10.若一个圆锥的侧面展开图是半径为18cm，圆心角为240°的扇形，则这个圆锥的底面半径长是9cm。
11.如图，已知在矩形ABCD中，点E在边BC上，BE=2CE，将矩形沿着过点E的直线翻折后，点C、D、N处，B在同一直线上，分别落在M、F与BE交于点G.设AB=√3，那么△xxx的周长为4+4√3.12.如图，已知点x1，x2，…，xx均在直线x=x−1上，点x1，x2，…，xx均在双曲线x=−x上，x1x1⊥x并且满足：x1x2⊥x轴，x2x2⊥x轴，…，xx−1xx⊥x轴，xxxx⊥x轴，且x1x2=x2x3=…=xx−1xx，则n的最小值为2.1.由题意可知，点B在x轴负半轴，点A在x轴正半轴，且AB垂直于x轴，因此AB的斜率为0，即AB为x轴，所以B的纵坐标为0.又因为B在x轴负半轴，所以其横坐标为负数，设为-a。
XXX2018-2019年自招真题数学试卷(含答案)
XXX2018-2019年自招真题数学试卷(含答案)1.已知$a$、$b$、$c$是一个三角形的三边，则$a+b+c-2ab-2bc-2ca$的值是（）。
A。
恒正 B。
恒负 C。
可正可负 D。
非负答案：选B根据三角形两边之和大于第三边的性质，可得$a+b-c>0$，$a-b+c>0$，$a+b+c>0$，$-a+b+c>0$。
将其代入原式，得$(a-b+c)(a+b-c)(-a+b+c)(a+b+c-2ab-2bc-2ca)<0$，因此原式恒为负数，选B。
2.设$m$，$n$是正整数，满足$m+n>mn$，给出以下四个结论：①$m$，$n$都不等于1；②$m$，$n$都不等于2；③$m$，$n$都大于1；④$m$，$n$至少有一个等于1，其中正确的结论是（）。
A。
① B。
② C。
③ D。
④答案：选D将$m+n-mn>0$移项得$(m-1)(n-1)<1$。
因为$m$，$n$是正整数，所以只有$m=1$，$n=1$或$m=1$，$n=2$或$m=2$，$n=1$不满足条件，而$m=1$，$n$任意或$m$任意，$n=1$都满足条件，因此选D。
3.已知关于$x$的方程$2x+a=x+a$有一个根为1，则实数$a$的值为（）。
A。
$\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$ B。
$0$ C。
$1$ D。
以上答案都不正确答案：选A将$x=1$代入方程，得$2+a=1+a$，解得$a= \frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$。
当$a=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$时，方程化简后为$2x^2+2x+(1+\sqrt{5})=0$，无实根，舍去；当$a=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$时，方程化简后为$x^2-x-(1+\sqrt{5})=0$，有一个根为1，因此选A。
4.已知$a$，$b$，$c$是不完全相等的任意实数，若$x=a-2b+c$，$y=a+b-2c$，$z=-2a+b+c$，则关于$x$，$y$，$z$的值，下列说法正确的是（）。
2019年中国科学技术大学自主招生数学试题及其详解
１. 满足 ｘ ＋ ２ｙ ＋ ３ｘ ＋ ４ｙ ≤５ ( ｘꎬｙ∈Ｒ) 的点( ｘꎬｙ)
所构成的区域的面积是 .
２. 方程 ｓｉｎ２ｘ ＋ ｃｏｓ３ｘ ＝ ０(０ < ｘ≤２π) 根的和是
.
３. 若△ＡＢＣ 三个顶点的坐标分 别 是 Ａ (０ꎬ１ ) ꎬＢ (１ꎬ
０) ꎬ Ｃ ç ｘꎬ
２０１９ 年中国科学技术大学
自主招生数学试题及其详解
甘志国
( 北京市丰台二中 １０００７１)
摘 要:２０１９ 年中国科学技术大学自主招生数学试题共包含 ８ 道填空题和 ３ 道解答题ꎬ试题难度是中等.
解得由笔者给出.
关键词:２０１９ 年科学技术大学自主招生数学试题ꎻ不定项选择题ꎻ回忆版ꎻ详解
中图分类号:Ｇ６３２ 文献标识码:Ａ 文章编号:１００８ － ０３３３(２０１９)３４ － ００４６ － ０４
４
注 由以ＢꎬＣꎬＤ 的坐标分别是 (５ꎬ － ２. ５ ) ꎬ( － １０ꎬ
７. ５) ꎬ( － ５ꎬ２. ５) ꎬ(１０ꎬ － ７. ５) . 可求得 ＡＢ ＝ ５ １３ ꎬ直
５
线 ＡＢꎬＣＤ 的距离是
ꎬ所以题中的区域的面积是 ５ １３
ï
î － ２ｘ － ２ｙ≤５ꎬ
Ｃ 的坐标分别是( － １０ꎬ７. ５) ꎬ( － ５ꎬ２. ５) ꎬ进而可求得其
１
５
２５
面积是 ５ ２
＝ .
２
２２ ４
ìｘ ＋ ２ｙ≤０ꎬ
ïï
(３) í３ｘ ＋ ４ｙ≤０ꎬ
ï
î － ４ｘ － ６ｙ≤５ꎬ
可得该区域即△ＯＣＤꎬ其中点 Ｃꎬ
１
５
２５
面积是 ５ １３
( ｎ∈Ｎ ∗ ) 有唯一的零
2019年北京大学、清华大学、浙江大学、中国科技大学自主招生数学试题及参考答案
2019年北京大学自主招生数学试题2019年清华大学自主招生数学试题2019年中国科学技术大学自主招生数学试题4．记3cos(),4cos()36x t y t =+-=++，则22x y +的最大值为__________。
5．设点0(1,0)P ，i OP (i =1,2,3…)绕原点按顺时针旋转θ得到向量i OQ ， i Q 关于y 轴对称点记为1 i P +，则2019P 的坐标为__________。
．，且．已知，且9．将△D 1D 2D 3的各中点连线，折成四面体ABCD ，已知12233112,10,8D D D D D D ===，求四面体ABCD 的体积。
10．求证：对于任意的在R 上有仅有一个解0x =11．已知(1)求证：存在多项式()p x ，满足cos (cos )n p θθ=；(2)将()p x 在R [x ]上完全分解。
2019年中国科学技术大学自主招生数学试题参考答案2.B红色曲线为y =sin 2x ,蓝色曲线为y =-cos 3x综上，知：00100110cos sin cos sin 01sin cos sin cos x x x y y y θθθθθθθθ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭那么222(,)P x y 满足：200020002cos sin 10sin cos 01x x x x y y y y θθθθ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭这也就说明了20,P P 重合。
故2019P 坐标为(cos ,sin )θθ--6.首先将递推公式两侧取倒数，则：112(1)11112(1)n n n n nn x n x x x x ++++=⇔-=+累加，即：21122(1)n n n k k x x n n =-=⇒=+∑裂项求和，则：2019112019*********k k x ==-=∑7.如图所示，我们定义a ~b 表示复数a 和b之间的边11z z -+是纯虚数，表明0~(z-1)与0~(z+1)垂直，进而说明|z~(z-1)|=|0~z|=|z~(z+1)|=1故||1z =，进一步，我们设cos sin z i θθ=+则222222222|3|(cos 2cos 3)(sin 2sin )cos 2cos 96cos 6cos 22cos cos 2sin 2sin 2sin 2sin 116cos 2812cos 8cos 53z z cos θθθθθθθθθθθθθθθθθθ++=++++=++++++++=++=++≥等号成立条件为1cos 3θ=-8.9.简解：由题意，易知四面体ABCD为等腰四面体，将其嵌入长方体后割补法即可图示蓝色边框为等腰四面体，黑色为被嵌入的长方体答案：410.首先，我们定义()()n f x 代表函数()f x 的n 阶导数令0()!kn x k x f x e k ==-∑注意到()()1n x f x e =-在R 上单调递增，故其在R 上仅有一根x =0，从而(1)()1n x f x e x -=--在R 上有最小值，即(1)(1)()(0)0n n f x f --≥=进而2(2)()12n x x f x e x -=---在R 上单调递增以此类推，可知：(2)()n k f x -在R 上单调递增，仅有一根x =0(21)()n k f x --在R 先减后增，且恒为非负实数，且仅有一根x =0综上，不论n 取何值，0()!knx k x f x e k ==-∑在R 上仅有一根x =011.本题考察内容十分清晰，旨在考察Chebyshev 多项式（1）采取归纳法证明，若对于不同的n ，存在满足题设的多项式，则记其为()n p x 首先，当1n =时，存在多项式1()p x x=其次，当2n =时，存在多项式22()21p x x =-我们假定命题在2,1n n --的情形下成立，下面考察n 的情形cos cos[(1)]cos(1)cos sin(1)sin 1cos(1)cos [cos cos(2)]2n n n n n n n θθθθθθθθθθθ=-+=-⋅--⋅=-⋅+--进而有cos 2cos cos(1)cos(2)n n n θθθθ=---即12()2()()n n n p x xp x p x --=-因为12(),()n n p x p x --都是多项式，所以()n p x 也是多项式。
2018年XXX自招题-含答案解析
2018年XXX自招题-含答案解析1.已知三角形的三边为a、b、c，求a+b+c-2ab-2bc-2ca的值。
解：使用三角形的面积公式，我们可以得到a²+b²+c²=2ab+2bc+2ca。
将其代入原式可得a+b+c-2ab-2bc-2ca=(a²+b²+c²)-(a+b+c)=-2(a+b+c)+2(ab+bc+ca)=-2(a+b+c-2(ab+bc+ca)/2)=-2(a-b+c)×(a+b-c)/2=-2(a-b+c)(c-a+b)/2.因为a、b、c是一个三角形的三边，所以a-b+c>0，c-a+b>0，a+b-c>0，a-b+c-c+a+b>0，所以(a-b+c)(c-a+b)>0，即a-b+c和c-a+b同号，a+b-c<0，所以(a-b+c)(a+b-c)<0，即a-b+c和a+b-c异号，所以(a-b+c)(c-a+b)(a+b-c)<0，即a+b+c-2ab-2bc-2ca<0，即恒负。
因此选B。
2.已知m、n是正整数，满足m+n>mn，判断以下四个结论的正确性。
解：将m+n-mn>0移项得(m-1)(n-1)<1，因为m、n是正整数，所以m-1≥1，n-1≥1，所以(m-1)(n-1)≥1，与(m-1)(n-1)<1矛盾。
因此(m-1)(n-1)≥1，即m、n至少有一个等于1，故选D。
3.已知方程2x+a=x+a的一个根为1，求实数a的值。
解：将x=1代入方程可得2+a=1+a，整理得a=0.因此选A。
4.已知a、b、c是不完全相等的任意实数，令x=a-2b+c，y=a+b-2c，z=-2a+b+c，判断关于x、y、z的值的说法正确性。
解：将x、y、z相加可得x+y+z=-2a-2b-2c=-2(a+b+c)，因此x+y+z的XXX为负数，故说法B正确，至少有一个大于。