数学分析PPT课件第四版华东师大研制 第4章 函数的连续性
华东师范大学数学系《数学分析》讲义-第四章至第六章【圣才出品】
第4章函数的连续性[视频讲解]4.1本章要点详解本章要点■连续性的定义■间断点的分类■连续函数的性质■一致连续性的定义■一致连续性定理重难点导学一、连续性概念1．函数在一点的连续性（1）定义①设函数f 在某U （x 0）上有定义，若00lim ()()x x f x f x →=则称f 在点x 0连续．用εδ-方式叙述，即：若对任给的0ε>，存在0δ>，使得当0x x δ-<，有0()()f x f x ε-<则称f 在点x 0连续．②设函数f 在某00()(())U x U x +-内有定义，若0000lim ()()(lim ()())x x x x f x f x f x f x +-→→==则称f 在点x 0右（左）连续．（2）定理函数f 在点x 0连续的充要条件是：f 在点x 0既是右连续，又是左连续．2．间断点及其分类（1）定义设函数f 在某00()U x 上有定义，若f 在点x 0无定义，或f 在点x 0有定义而不连续，则称点x 0为函数f 的间断点或不连续点．若x 0为函数f 的间断点，则必出现下列情形之一①f 在点x 0无定义或极限0lim ()x x f x →不存在．②f 在点x 0有定义且极限0lim ()x x f x →存在，但00lim ()()x x f x f x →≠．（2）分类①可去间断点若0lim ()x x f x A →=，而f 在点x 0无定义，或有定义但0()f x A ≠．则称x 0为f 的可去间断点．②跳跃间断点若函数f 在点x 0的左、右极限都存在，但00lim ()lim ()x x x x f x f x +-→→≠，则称点x 0为函数f 的跳跃间断点．可去间断点和跳跃间断点统称为第一类间断点，特点是函数在该点处的左、右极限都存在．③第二类间断点函数的所有其他形式的间断点，即使得函数至少有一侧极限不存在的那些点．3．区间上的连续函数若函数f 在区间I 上的每一点都连续，则称f 为I 上的连续函数．对于闭区间或半开半闭区间的端点，函数在这些点上连续是指左连续或右连续．二、连续函数的性质1．连续函数的局部性质（1）局部有界性若函数f 在点x 0连续，则f 在某0()U x 上有界．（2）局部保号性若函数f 在点x 0连续，且f （x 0）＞0（或＜0），则对任何正数r ＜f （x 0）（或r ＜－f （x 0）），存在某0()U x 使得对一切0()x U x ∈有f （x ）＞r （或f （x ）＜－r ）（3）四则运算若函数f 和g 在点x 0连续，则f ±g ，f g ⋅，f g （g （x 0）≠0）也都在点x 0连续．（4）复合函数的连续性若函数f 在点x 0连续，g 在点u 0连续，u 0＝f （x 0），则复合函数g οf 在点x 0连续．2．闭区间上连续函数的基本性质（1）定义设f 为定义在数集D 上的函数，若存在x 0∈D ，使得对一切x ∈D 有00()()(()())f x f x f x f x ≥≤则称f 在D 上有最大（最小）值，并称f （x 0）为f 在D 上的最大（最小）值．（2）最大、最小值定理若函数f 在闭区间[a ，b ]连续，则f 在[a ，b ]上有最大值与最小值．（3）有界性定理若函数f （x ）在闭区间[a ，b ]上连续，则f （x ）在闭区间[a ，b ]上有界．（4）介值性定理设函数f 在闭区间[a ，b ]上连续，且f （a ）≠f （b ）．若μ为介于f （a ）与f （b ）之间的任何实数（f （a ）＜μ＜f （b ）或f （a ）＞μ＞f （b ））则至少存在一点x 0∈（a ，b ），使得f （x 0）＝μ（5）根的存在定理若函数f 在闭区间[a ，b ]上连续，且f （a ）与f （b ）异号（即f （a ）与f （b ），则至少存在一点0(,)x a b ∈，使得0()0f x =即方程f （x ）＝0在（a ，b ）上至少有一个根．3．反函数的连续性若函数f 在[a ，b ]上严格单调并连续，则反函数1f -在其定义域[](),()f a f b 或[](),()f b f a 上连续．4．一致连续性（1）定义设f 为定义在区间I 上的函数．若对任给的ε＞0，存在()0δδε=>，使得对任何,x x I '''∈，只要x x δ'''-<，就有()()f x f x ε'''-<则称函数f 在区间I 上一致连续．（2）一致连续性定理若函数f 在闭区间[a ，b ]上连续，则f 在[a ，b ]上一致连续．三、初等函数的连续性1．指数函数的连续性（1）设a＞0，α，β为任意两个实数，则有a a a a a;()αβαβαβαβ+⋅==（2）指数函数a x（a＞0）在R上是连续的．2．初等函数的连续性（1）一切基本初等函数都是其定义域上的连续函数．（2）任何初等函数都是在其定义区间上的连续函数．4.2配套考研真题解析一、证明题1．设f（x）为定义在上的函数，且。
《数学分析》第四章 函数的连续性
第四章 函数的连续性(计划课时：1 2 时)§1 函数的连续性( 2时 )一． 函数在一点的连续性：1． 连续的直观图解：由图解引出解析定义.2. 函数在一点连续的定义: 设函数)(x f 在点0x 某邻域有定义. 定义 (用).()(lim 00x f x f x x =→)定义 (“δε-”定义.)定义 (用0lim 0=∆→∆y x ) 先定义x ∆和.y ∆例1 函数12)(+=x x f 在点20=x 连续.例2 函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=.0,0,0,1sin )(x x xx x f 在点00=x 连续. 例3 函数)()(x xD x f =在点00=x 连续.注: 若函数)(x f 在点0x 连续,则)()(lim 00x f x f x x =→,又因00l i mx x x x =→,从而)lim ()(lim 0x f x f x x x x →→=,即在)(x f 的连续点处极限符号与函数符号可交换运算的次序.3. 单侧连续: 定义单侧连续, 并图解.Th1 (单、双侧连续的关系)例4⎪⎩⎪⎨⎧<-=>+=.0 ,2,0,,0 ,2)(x x x A x x x f 讨论函数)(x f 在点00=x 的连续或单侧连续性. 二.间断点及其分类:图解介绍间断点的分类.跳跃间断点和可去间断点统称为第一类间断点, 其他情况(即)0(0+x f 或)0(0-x f 中至少有一个不存在)称为第二类间断点. 例5 讨论函数x x f sgn )(=的间断点类型.例6 延拓函数,sin )(xxx f = 使在点00=x 连续. 例7 讨论函数][)(x x f =的间断点类型.例8讨论函数xx f 1sin )(=的间断点类型.例9讨论Dirichlet 函数)(x D 和Riemann 函数)(x R 的连续性. 三．区间上的连续函数：开区间上连续， 闭区间上连续, 按段连续.Ex [1]P 73 1—5.§2 连续函数的性质一、连续函数的局部性质:叙述为Th 1—4.1. 局部有界性：2. 局部保号性：3. 四则运算性质：4. 复合函数连续性：Th 4 若函数f 在点0x 连续,函数g 在点0u 连续,且)(00x f u =,则复合函数f g 在点0x 连续. ( 证 )注:Th 4 可简写为 ()().)()lim ()(lim )(lim 0000x f g x f g x f g x f g x x x x x x =⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=→→→例1求极限 ).1sin(lim 21x x -→例2求极限:⑴;sin 2lim 0x x x -→⑵.sin 2lim xxx -∞→例3 求极限 .)1ln(lim0xx x +→(x ln 的连续性见后).二、闭区间上连续函数的基本性质:1. 最值性:先定义最值. Th 5 ( 最值性 ) 系 ( 有界性 )2. 介值性: 定义介值. Th 6 ( 介值性 )连续函数的值域, 连续的单调函数的值域. 系 ( 零点定理 )例4 证明: 若,0>r n 为正整数,则存在唯一正数0x ,使得r x n=0(0x 称为r 的n 次正根(即算术根),记作n r x =0).例5 设f 在],[b a 上连续,满足],[]),([b a b a f ⊂,证明:],,[0b a x ∈∃使得00)(x x f =.二. 反函数的连续性:Th 7 若函数f 在],[b a 上严格递增( 或减 )且连续, 则其反函数1-f 在相应的定义域[])(),(b f a f (或[])(),(a f b f )上连续. ( 证 )关于函数αx x x y , , arcsin =等的连续性Ex [1]P 80—81 1—10四． 函数的整体连续性 —— 一致连续： 1． 连续定义中δ对0x 的依赖性 ：例6考查函数xx f 1)(=在区间] 1 , 0 (上的连续性.对], 1 , 0 (0∈∀x 作限制,12≤<x x 就有 . 22 11 20000000x x x x x x x xx x x x x -=-≤-=- 对0>∀ε , 取 }. 2, 2 min{020xx εδ=这里δ与0x 有关, 有时特记为),(0x εδ. 本例中不存在可在区间] 1 , 0 (上通用的δ, 即不存在最小的( 正数 )δ.例6考查函数xx f 1)(=在区间) , [∞+c )0(>c 上的连续性.本例中可取得最小的, 也就是可通用的 }. 2, 2 min{2cc εδ= 该δ却与0x 无关, 可 记为)(εδ.2. 一致连续性:定义 ( 一致连续 ) 顺便介绍一致连续与连续的关系.用定义验证一致连续的方法: 对0>∀ε, 确证)0(>δ存在. 为此, 从不失真地放大 式 )()( x f x f ''-'入手, 使在放大后的式子中, 除因子 x x ''-'之外, 其余部分中不含 有x '和x '', 然后使所得式子ε<, 从中解出.x x ''-'例8 验证函数 )0( )(≠+=a b ax x f 在) , (∞+∞-内一致连续.例9 验证函xx f 1sin )(=在区间 )10( ) 1 , (<<c c 内一致连续. 证 ,c o s 2s i n 2 1s i n 1s i n 22121212121212121c x x x x x x x x x x x x x x x x -≤-≤+-=-例10 若函数)(x f 在有限区间),(b a 内一致连续, 则)(x f 在),(b a 内有界.3. 一致连续的否定: 否定定义.例11 证明函数xx f 1)(=在区间) 1 , 0( 内非一致连续. 证法一 ( 用一致连续的否定定义验证 ) 取),1( ,10<∀=δε 取}, 21, min{δ='x 与,2x x '='' 便有 .22δδ<≤'=''-'x x x 但 .12121 11 0ε=>≥'=''-'=''-'x x x x x 证法二 ( 用例10的结果 ).4. Lipschitz 连续与一致连续: 定义Lipschitz 连续.例12 函数)(x f 在区间I 上-L 连续, )( x f ⇒在I 上一致连续. ( 证 )但函数)(x f 在区间I 上一致连续时, 未必有)(x f 在I 上-L 连续. 例如: 函数x x f =)(在区间) 1 , 0 (内一致连续.(为证明x 在区间) 1 , 0 (内一致连续, 先证明不等式: ,0, 21≥∀x x 有不等式 . 2212121x x x x x x -≤-+ 事实上,21x x ≥时, ,222122212121x x x x x x x x x x -=-+≤-+同理, 21x x ≤时, 有.221211212121x x x x x x x x x x -=-+≤-+利用该不等式, 为使=-221 )()( x f x f ,222121ε<-+x x x x 只要 .221ε<-x x )却不是-L 连续. 事实上, 倘存在L >0, 使对 ), 1 , 0 (, 21∈∀x x 有, )()( 212121x x L x x x f x f -≤-=-则当21x x ≠时，应成立.121L x x ≤+但若取,4 ,12221nx n x ==就有 ). ( ,3121∞→∞→=+n nx x 矛盾. 5. 一致连续的判定:Th 8 ( Cantor ) 若函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续, )( x f ⇒在],[b a 上一致连续. 例13 见[1]P80例10.Ex [1]P 102 8，9，10.§3 初等函数的连续性回顾基本初等函数中, 已证明了连续性的几个函数. 指数函数和对数函数的连续性. ( 证 )一. 初等函数的连续性:Th1 一切基本初等函数都在其定义域上连续. Th2 任何初等函数在其有定义的区间上是连续的.註: 初等函数的连续区间和间断点: 初等函数的间断点是其连续区间的开端点. 闭端点是其单侧连续点. 例1求函数2ln 1)(-+=x x x f 的连续区间和间断点.解). , 3 () 3 , 2 () 2 , 1 () 1 , 1[∞+⋃⋃⋃-=f D∴)(x f 的连续区间为: ) 1 , 1[-、) 2 , 1 (、) 3 , 2 (和) , 3 (∞+. 间断点为: 2 , 1=x 和3. ()( x f 在点1-=x 右连续 ).二. 利用函数的连续性求极限: 例2.cos )1ln(lim20xx x +→例3.1111lim 0⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--++→x x x x x (作倒代换) .1x t = 例4().1lim sec 0xctgxx tgx +→ 解I = ()().)1(lim )1(lim 1sec lim 0sec 0e e tgx tgx xctgxx xctgx x x ==+=+→→→例5().sin 1sinlim x x x -++∞→解=-+x x sin 1sin .21cos 21sin2xx x x ++-+,021lim sin 21sin lim ,121cos=-+=-+≤++∞→+∞→xx x x x x x x∴I = .0Ex [1]P 84 1，2；。
《数学分析华师大》课件
数学分析是一门重要的数学学科，涵盖了诸多内容，从函数性质到微积分应 用等。本课件将带您深入了解数学分析的各个方面。
导言
学科介绍
数学分析是研究数学对象的性质和变化规律的一门学科。
重要性
它为其他数学学科提供了理论基础，并在科学研究和实际应用中发挥着关键作用。
应用领域
数学分析在物理学、工程学、经济学等众多领域有广泛的应用。
了解连续函数的定义和性质，探索连
续函数的局部性质和级数定义。
3
间断点
研究间断点的各种类型，包括可去间
复合函数
4
断和跳跃间断。
学习复合函数的概念和性质，掌握复 合函数的求导和求极限的方法。
导数与应用
1 导数的定义
深入研究导数的定义和 性质，掌握导数的计算 方法和应用。
2 最值与极值
3 曲线的变化
研究函数的最大值和最 小值，探索极值的判定 条件和优化问题的解法。
函数定义、性质和图像， 理解函数的各种特性和变换。
研究二维和三维曲线曲面的性 质，包括弧长、曲率和曲面积 分。
指数函数
探索指数函数的性质和应用， 了解指数增长和衰减的规律。
极限与连续性
1
极限的概念
深入研究极限的定义和性质，掌握极
连续函数
2
限运算和极限存在的条件。
极坐标和指数形式
研究极坐标和指数形式的复数 表示，深入理解复数的乘方和 开方。
微分方程
1 常微分方程
学习常微分方程的基本概念和解法，掌握常微分方程在实际问题中的应用。
2 偏微分方程
了解偏微分方程的基本概念和分类，研究常见偏微分方程的解法。
3 数值方法
探索数值方法在微分方程求解中的应用，包括欧拉方法和龙格-库塔方法。
最新数学分析第4章PPT课件
例 1y f( x ) C ( C 为 常 数 )， 求 y /
解 f(x ) li m y lif( m x x ) f(x ) limCC0.
x 0 x x 0 x
x0 x
即(C )0.
例2 设函 f(x ) s数 ix ,n 求 (sx ) i及 n (sx ) ix n . 4
x0
x
lim (2x x)2x x 0
f'(4)8
例2 讨论f(函 x)x数 在 x0处的.可导
解
f(x)xx
x0 ,
x0
f (0 )x l 0 im f(x )x f(0 )x l 0 i m x x1,
y y x
o
x
f (0)x l i0m f(x)x f(0)x l i0m x x 1 .
所求切线方程为 y12(x1), 即 y2x10. 法线方程为 y11(x1), 即 2yx30.
2
2.物理意义 非均匀变化量的瞬时变化率.
变速直线运动:路程对时间的导数为物体的 瞬时速度.
v(t)lim sds. t0t dt
交流电路:电量对时间的导数为电流强度.
i(t)lim qdq. t0t dt
x l ix0m f(x)f(x0)
函f(数 x )在x 0 连 点 . 续 #
推论：不连续函数一定不可导
如例1 函数 f(x)x在 x0处连 ,但 续 不.可导
4、导数的几何意义与物理意义
1) 几何意义
切线问题
y
f (x0 )表示曲线y f (x) 在点M(x0 , f (x0 ))处的 切线的斜率,即
h 0
h
li[n m n 1 x n (n 1 )x n 2 h h n 1 ]nxn1
数学分析课件华东师大版
数学分析课件华东师大版
汇报人：
目录
• 引言 • 数学分析基础 • 导数与微分 • 积分学 • 无穷级数 • 多元函数微积分
01
引言
课程简介
01
数学分析是数学专业的一门基础 课程，主要研究实数、函数、极 限、连续性、可微性和积分等概 念及其性质。
02
通过学习数学分析，学生可以掌 握数学的基本原理和方法，培养 逻辑思维能力、抽象思维能力和 解决问题的能力。
总结词
理解无穷级数的定义和性质是掌握无穷级数的基础。
详细描述
无穷级数是数学分析中的一个重要概念，它是由无穷多个数按照一定的规则排列组成的数列。无穷级数具有一些 重要的性质，如线性性质、可加性、可乘性和收敛性等。这些性质在无穷级数的运算和证明中有着广泛的应用。
无穷级数的收敛性判别法
总结词
掌握无穷级数的收敛性判别法是判断无穷级数收敛性的关键。
定积分的计算
牛顿-莱布尼兹公式
分部积分法
牛顿-莱布尼兹公式是计算定积分的常 用方法，它通过求不定积分的原函数 （即不定积分），然后利用原函数计 算定积分。
分部积分法是另一种计算定积分的方 法，通过将两个函数的乘积进行求导 ，将定积分转化为容易计算的积分。
换元法
换元法是一种常用的计算定积分的方 法，通过改变定积分的积分变量或积 分区间，将复杂的积分转化为容易计 算的积分。
极限的性质
极限具有唯一性、局部有界 性、局部保序性、迫近性等 性质。
连续函数的性质
连续函数具有局部有界性、 局部保序性、迫近性等性质 。
偏导数与全微分
偏导数的定义
如果一个函数在某个点的某个 自变量的偏导数存在，则称该 函数在该点关于该自变量可偏
高等数学函数连续性教学ppt
一点都连续,称函数y=f(x)在开区间(a,b)内连续. 如果y=f (x) 满足(1)在闭区间[a,b]上有定义;
(2)在开区间(a, b)内连续;
(3)在左端点a处右连续,即
lim
xa
f (x)
f (a) ;
(4)在右端点b处左连续,即
函数在一点连续实质就是:当自变量变化不大时, 函数值变化也不大. 定理1.
0
续的充要条件是函数 y f ( x) 在点 x 处既 是否存在？
推论 若 lim (x) = u0，函数 y= f (u) 在
连续性及间断点内容小结:
0
f (x)±g(x) , f (x)·g(x) , f (x)/g(x)
x
19
推论 若 lim (x) = u0，函数 y= f (u) 在
点 u0 处连续，则有:
lim
f
( x) lim uu0
f (u)=f (u0 )
f [lim( x)].
这表明: 复合函数 y f ( x) 满足推论条件时:
(1) 可作变量代换 u=(x) 求复合函数的极限, 即
令u=(x)
28
说 明：
所谓可去间断点是指：可以通过改变或补
充 f(x0) 的定义使得
f ( x),
从而使函
数 f (x) 在 x0 处连续.
例如：上例中改变定义, 令 f (1) =2, 则
x2 1
f
(x)
x
1
,
2,
x 1, x 1,
则 f (x)在x=1处就连续了.
1.增量
增量：u u2 u1
终值与初值的差
华东师大第四版数学分析上册课件
数学分析的发展历程
总结词
数学分析的发展经历了初创期、经典时期和现代发展阶段。
详细描述
数学分析的初创期可以追溯到17世纪，当时的数学家开始系统地研究微积分。经典时期则是在18世纪 和19世纪，数学分析得到了全面的发展和完善，产生了许多重要的定理和公式。进入20世纪后，数学 分析继续发展并逐渐与其他数学分支相互融合，形成了现代数学分析的体系。
换元积分法的应用
主要用于处理被积函数为复合函数或具有特定形式的情况，通过换元将问题转化为更易 于处理的形式。
06
定积分
Chapter
定积分的定义与性质
定积分的定义
定积分是积分的一种，是函数在某个区间上的积分和的 极限。
定积分的性质
定积分具有线性性质、可加性、区间可加性、积分中值 定理等性质。
定积分的计算方法
华东师大第四版数学分析上册课件
目录
• 绪论 • 极限论 • 连续性 • 导数与微分 • 不定积分 • 定积分
01
绪论
Chapter
数学分析的起源和定义
总结词
数学分析起源于古希腊，是研究实数、极限、连续性和可微 性的科学。
详细描述
数学分析的起源可以追溯到公元前7世纪古希腊的数学家，他 们开始研究连续性和无穷小的问题。经过几个世纪的探索和 发展，数学分析逐渐形成了以实数、极限、连续性和可微性 为核心的理论体系。
数学分析的特性与重要性
总结词
数学分析具有严密性、连续性和广泛应用性的特点，是数学和自然科学的重要基础。
详细描述
数学分析的特性表现在其严密的逻辑推理和证明上，它强调对概念和定理的精确表述。此外，数学分析还具有连 续性的特点，它研究的是实数域上的连续函数。最后，由于数学分析是许多学科的基础，如物理、工程、经济等 ，它具有广泛的应用价值。
数学分析(华东师范版)PPT
这种间断点称为 震荡间断点。
y
1
y sin
1 x
●
x
●
x x
●●
1
●：Hi, 小蓝点，你停不住， 我也停不住啊。还想连上， 你可真逗！
●：Hi, 小红点，你能不能停 住？我怎么也停不住，那可 怎么连上啊？
1 例8 讨论函数 f ( x ) sin 在 x 0处的连续性 . x 解 在x 0处没有定义,
第四章 函数的连续性
4.1 连续性概念
4.2 连续函数的性质
4.3 初等函数的连续性
4.1连续性概念
一、函数在一点的连续性 1.函数的增量
设函数 f ( x )在U ( x0 )内有定义, x U ( x0 ), x x x0 , 称为自变量在点 x0的增量.
y f ( x ) f ( x0 ), 称为函数 f ( x )相应于x的增量.
解 f (0 0) 0,
f (0 0) ,
o x
x 1为函数的第二类间断点.
第一类间断点
•可去间断点 •跳跃间断点
第二类间断点
•无穷间断点 •震荡间断点
第一类间断点
可去间断点 无定义、值太高、值太低 跳跃间断点
第二类间断点
无穷间断点 震荡间断点
情形1.1 ：f ( x)在x0处无定义 .
y sin( x x ) sin x 2 sin
x cos( x ) 1, 2
对任意的, 当 0时,
x 当x 0时, y 0. 故 y 2 sin x , 2 即 函数 y sin x对任意 x ( ,)都是连续的.
连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.
4-2——华东师范大学数学分析课件PPT
x1
x1
0.
数学分析 第四章 函数的连续性
高等教育出版社
| f ( x) | | f ( x0 ) | 1. 注意:我们在证明有界性时,取 1 这个特定的值 ,
而不是用术语“对于任意的 0 ”, 这样可求得
| f (x) | 一个明确的上界.
数学分析 第四章 函数的连续性
高等教育出版社
§1 连续函数的性质
连续函数的局部 性质
闭区间上连续函数的 性质
(3) f ( x) g( x), (4) f ( x) / g( x), g( x0 ) 0 在点x0也是连续的.
定理的证明可以直接从函数极限的四则运算得到, 具体过程请读者自行给出.
数学分析 第四章 函数的连续性
高等教育出版社
§1 连续函数的性质
连续函数的局部 性质
闭区间上连续函数的 性质
数学分析 第四章 函数的连续性
高等教育出版社
§1 连续函数的性质
连续函数的局部 性质
闭区间上连续函数的 性质
反函数的 连续性
一致连续性
证 由于 g(u) 在点 u0 连续 , 因此对于任意的 0 ,
存在 1
0,
当u u 0
时，有 1
| g(u) g(u0 ) | ,
又因为 f ( x) 在点 x0 连续, 故对上述 1 0 , 存在 0, 当 x x0 时, 有
闭区间上连续函数的 性质
连续函数的局部性质
反函数的 连续性
一致连续性
所谓连续函数局部性质就是指: 若函数 f 在点x0 连续(左连续或右连续), 则可推知 f 在点 x0 的某 个局部邻域(左邻域或右邻域)内具有有界性、保 号性、四则运算的保连续性等性质.
华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(上册)(名校考研真题 函数的连续性)【圣才出品】
致连续性．[大连理工大学 2005 研]
解：f(x)在（0， + ）内非一致连续．
构造函数：
f (x) sin 1 x
可知， f (x)连续且有界。但是f在(x时) 非x一致0连续
．
反证法：如果函数 f (x) sin 1 一致连续，则 对 0, x 0, 0, 当 x
| x ' x " | 时，
显然 M 是非空的，下证 f (m) m3 ．
用反证法，假设 f (m) m3 不成立，那么显然 f (m) m3 ，不妨设 f (m) m3 r ，
则对
0 x m, f (x) x3 ， f (x) f (m) r x3 m3 ．由于 y x3 是连续函数，则对于任
意的 r >0 ，存在 x ' ，使得 x '3 m3 r 0, 与单调性矛盾，因此假设不成立．
证明：对任意
，
试证： 在
内
当 x 充分大时，有 在
，
．
由
知在
零点．
，所以由连续函数的零点存在定理知，存
上严格单调递增，所以 在
内有且仅有一个
3．证明 sin(x2 ) 在 0,上不一致连续. [上海交通大学 2004 研]
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于是有
由此可知 在（a，b）内一致连续当且仅当 在（a，b）内一致连续， 在
（a，b）内一致连续当且仅当
结论得证．
10．设 f (x) 在 0,2a上连续，且 f (0) ＝ f (2a) ，证明 x0 0, a，使 f (x0 ) ＝
f (x0 a) ．[上海交通大学 2004 研]
华东师范大学《数学分析(第四)》7-1
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定理7.3 (海涅－博雷尔有限覆盖定理) 设 H是闭区间 [a, b] 的一个开覆盖, 则从 H 中可选 出有限个开区间,构成闭区间 [a, b] 的一个子覆盖.
证明：本定理证明方 法
多种，这里采用 区间套定理。
博雷尔( Borel,E.1871-1956, 法国 )
海涅( Heine,H.E. 1821-1881,德国 )
S [ M , M ] ,且 记 [ a 1 , b 1 ] [ M , M ] . 现将 [a1, b1] 等分为两个子区间 [a1, c1], [c1,b1], 其 中 c 1 a 1 2 b 1.那 么 [a 1 ,c 1 ],[c 1 ,b 1 ]中至少有一 个区间含有 S 的无限多个点. 记该区间为[a2, b2].
b3a31 2(b2a2)M 2.
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无限重复这个过程, 就可得到一列闭区间{[an, bn]}, 满足 ( i ) [ a n , b n ] [ a n 1 , b n 1 ] , n 1 , 2 ,;
M (ii) bnan2n10; (iii) 每个闭区间[an, bn] 均含S 的无限多个点.
例2：用有限覆盖定理证明：闭区间上连续函数的 有界性定理。
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三、实数完备性定理的等价性
我们已经学习了关于实数完备性的六个定理, 它 们是:
确界定理 单调有界定理 区间套定理 聚点定理（致密性定理） 有限覆盖定理 柯西收敛准则
下面证明这六个定理是等价的.
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确界定理 1
单调有界定理 2
这就证明了 是 S 的一个聚点.
定理7.2 有一个非常重要的推论(致密性定理).该 定理在整个数学分析中,显得十分活跃.
§4---具有某些特性的函数数学分析(华师大-四版)课件-高教社ppt-华东师大教材配套课件
*§4具有某些特性的函数 有界函数 单调函数奇函数与偶函数 周期函数定义1有界函数设 f 定义在D 上.R,,(),M x D f x M f D ∃∈∀∈≤若则称在上有上界；R,,(),L x D f x L f D ∃∈∀∈≥若则称在上有下界；R,,(),.M x D f x M f D ∃∈∀∈≤若则称在上有界.上既有上界又有下界在上有界在易证D f D f ⇔00R,,(),M x D f x M f D ∀∈∃∈>若则称在上无上界;00R,,(),L x D f x L f D 若则称在上无下界；∀∈∃∈<00R,,(),.M x D f x M f D ∀∈∃∈>若则称在上无界π:()tan [0,),.2f x x =证明在上无上界有下界例1 π[0,).2上有下界0R,arctan(1),M x M ∀∈=+取π[0,).2上无上界0,L =取证 在因此f 00π[0,),tan 1,2x x M M ∈=+>则且在因此f π[0,),(),2x f x L ∀∈≥则)},(sup{)(x g x g ≤()()sup{()}sup{()},f x g x f x g x ≤因此,sup{()}sup{()}x f x g x 由的任意性可知,)}()({的一个上界是x g x f )}.({sup )}({sup )}()({sup x g x f x g x f Dx Dx Dx ∈∈∈≤因此,()sup{()},x D f x f x ∀∈≤有证 :{()()}{()}{()}.sup sup sup x Dx Dx Df xg x f x g x ∈∈∈≤证明(),().f x g x D 设函数是上的正值有界函数例2例3(),()f x g x D 设在上有界,证明:inf{()()}inf{()}sup{()}.x Dx Dx Df xg x f x g x ∈∈∈+≤+ 证 000,,()inf{()}.x Dx D f x f x εε∈∀>∃∈<+使0()sup{()},x Dg x g x ∈≤又故00()()inf{()}sup{()}.x Dx Df xg x f x g x ε∈∈+<++因此00inf{()()}()()x Df xg x f x g x ∈+≤+inf{()}sup{()}.x Dx Df xg x ∈∈≤+§4具有某些特性的函数 有界函数 奇函数与偶函数 周期函数定义2单调函数∀∈<1212,,,x x D x x 若当时≤12(i)()(),f x f x f D 有则称为上的增函数;<12()(),.f x f x f 特别有时称为严格增函数≥12(ii)()(),f x f x f D 有则称为上的减函数;>12()(),.f x f x f 特别有时称为严格减函数.上的函数是定义在设D f ()()f xg x 不难知道,若和是正值严格增的,则()()f x g x 也是正值严格增的.单调函数证例4 2121N ,R n n n y x-+-∈=任意在上严格增;22+R R nn y x-=在上严格增,在上严格减.上为正值严格增，在由+=R x y 1112y y y =可知.上亦正值严格增在+R +R y n 在由归纳法，若已证,上为正值严格增上亦正值在可知++=R y y y n n 11.严格增12210,0,x x x x <<<-<-若则于是2221212121()(),()(),n n n n x x x x ---<--<-2221212121,nnn n x x x x --<>即.21R n y 上严格减,而在上严格增.--121200,x x x x ≤<<≤若或则21212121121200n n n n xxxx----≤<<≤或，21R n y -这证明了在上严格增.2R n y -这就证明了在[]R,y x=易证函数在上是增函数但非严格例5 增.xyO111-1-222-2-343定理1.211,().f f f D --且在其定义域上也是严格增函数(),,y f x x D f =∈设为严格增函数则必有反函数11,,f f f --类似地严格减函数必有反函数且在其.定义域上也是严格减函数,().x D f x y ∈=使,()f D y f D 设在上严格增则∀∈证 只有一个 1212,()(),x x f x y f x ∃<==事实上,若使f则与.的严格增性质相矛盾,),(,2121y y D f y y <∈∀1212,,y y f x x <<由于及的严格增性必有即111122(),(),x f y x f y --==1112()(),f y f y --<n y 因此的反函+R nn y x =由于在上严格增,例6 +,R rn r y x m==在上亦为严格增.1/+R nn z x =数在上严格增,故对任意有理数1:f 再证必是严格增的-1.f -因此也是严格增函数01,R .a <<时在上严格减121122,,,r r Q x r r x ∃∈<<<使因此11sup{,}x ra a r Q r x =∈<22sup{,}.x ra r Q r x a ≤∈<=1,R xy a a =>证明：当时在上严格增;例7 12121.,,.a x x x x Q >∀<设由的稠密性,证 01,R .xa a <<类似可证当时在上严格减log ,xa y x y a ==由于是的反函数因此+log 1R a y x a =>当时,在上严格增；log a y x =+01,R .a <<当时在上严格减当 12r r a a ≤<§4具有某些特性的函数 有界函数 单调函数周期函数定义1奇函数和偶函数.,:,D x D x D ∈-∈∀必有即关于原点对称设,()(),x D f x f x ∀∈-=-若.f D 称为上的奇函数,()(),x D f x f x ∀∈-=若.f D 称为上的偶函数偶函数的充要条件是:(,)()(,)();x y G f x y G f ∈⇔--∈(,)()(,)().x y G f x y G f 或∈⇔-∈()G f f 显然,若记为的图象,则()f x 是奇函数或奇函数与偶函数§4具有某些特性的函数 有界函数 单调函数周期函数21sin ,tan ,n y x y x y x+===例如 是奇函数,2cos ,ny x y x ==是偶函数.(=++211ln 1(e e )2x xy x x y -是奇函数=-的反函数，从而它也是奇函数.而 奇函数与偶函数§4具有某些特性的函数 有界函数 单调函数奇函数与偶函数 周期定义4周期函数),()(,x f x f D x =±∈±σσ且必有,.f f σ则称为周期函数为的一个周期,f 若周期函数的所有正周期中有一个最小的周期f 则称此最小正周期为的基本周期,简称周期..0,f D x D σ∃>∀∈ 设为上定义的函数若使函数§4具有某些特性的函数 有界函数 单调函数奇函数与偶函数 周期注1 周期函数的定义域不一定是R. 例如：.sin )(x x f =sin 2π,x 的周期为tan π,x 的周期为例8 注2 周期函数不一定有最小周期. 例如狄利克雷函 数以任意正有理数为周期，但没有最小周期. 例9 任意正有理数是狄利克雷函数 的周期. ()D x 证 设+Q ,R.r x ∈∈Q,Q,()1();x x r D x r D x ∈+∈+==若则Q,Q,()0().x x r D x r D x ∉+∉+==若则因此,()r D x 是的一个周期.函数复习思考题1.f (x )在[a ,b ]上定义，是否一定存在某个区间 0000[,][,],()[,]a b a b f x a b ⊂使在上是单调函数?2.构造在[0,1]上定义的函数f (x ),使其在任何 00[,][0,1],().a b f x ⊂上无界3. 用肯定语句叙述下列概念: (1) 非周期函数；(2) 非奇函数； (3) 非单调增函数.。
(完整版)数学分析全套课件(华东师大)
证明
由于x
<
y, 故存在非负整数n，使得x n
< yn.令r
1 2
(xn
yn
)
则r为有理数，且有x xn < r < yn y,即得x < r < y.
例2 设a,b R,证明: 若对任何正数e有a < b e ,则a b.
证明 用反证法.假若结论不成立 ，则根据实数的有序性
有a > b.令e a - b,则e为正数且a b e , 这与假设 a < b e矛盾.从而必有a b.
§3 函数概念
1.函数概念
❖定义
设数集DR, 则称映射f : D R为定义在D上的函数, 通常简记为
yf(x), xD, 其中x称为自变量, y称为因变量, D称为定义域, 记作Df, 即DfD.
说明:
记为函号了数f叙的和述记f(x方号)的便是区可, 常别以用:任前记意者号选表“取示f(的x自), 变除x量了Dx用”和或f因“外变y, 还量f(可xy)之,用x间“D的g””对来 应表、法示“则 定F”义,、而在“后D者”上表等的示,函此与数时自, 函这变数时量就应x对记理应作解的y为函g由(数x它)、值所.y确F定(x的)、函y数f(x.)
的集合, RR常记作R2.
3.实数集 ❖两个实数的大小关系
• 定义1
给定两个非负实数
x a0.a1a2 Lan L, y b0 .b1b2 Lbn L,其中a0 ,b0为非负整数， ak ,bk (k 1,2,L)为整数，0 ak 9,0 bk 9. 若有ak bk , k 1,2,L,则称x与y相等，记为x y；
称有理数xn a0.a1a2 Lan为实数x的n 位不足近似，
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一、函数在一点的连续性 二、间断点的分类 三、区间上的连续函数
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一、函数在一点的连续性
定义1 设函数 f ( x)在点 x0 的某邻域内有定义 , 且
lim
x x0
f (x)
f ( x0 ),
(1)
则称 f ( x)在点 x0 连续.
由定义1知，我们是通过函数的极限来定义连续
对任意的e 0, 存在 0,当 x x0 , 时 f ( x) f ( x0 ) e ,
则称 f ( x) 在点 x0 连续. 为了更好地刻划函数在点x0的连续性, 下面引出 连续性的另外一种表达形式. 设 x x x0,
y y y0 f ( x) f ( x0 ) f ( x0 x) f ( x0 ).
又如：函数
x,
f
(
x
)
a,
x0 (a 0)
x0
在 x 0 处不连续, 这是因为 lim f ( x) 0 f (0). x0 y
a
O
x
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函数 f ( x) sgn x 在点 x 0 处不连续, 这是因为
极限 limsgn x 不存在. x0
由极限的定义,定义1可以叙述为:对于任意正数e ,
x0
1
所以 x 0 是 f ( x) 的
一个可去间断点 .
O
x
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注 1. 对于任意函数 g( x) ,若它在 x x0 处连续 ， 那么函数
g( x),
F(x)
一个可去间断点.
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2. 跳跃间断点：若
lim f ( x) A,
x x0
lim f ( x) B
x x0
都存在, 但 A B, 则称点 x0 为 f 的一个跳跃间断
点.
可去间断点和跳跃间断点统称为第一类间断点. 注 x0 是 f 的跳跃间断点与函数 f 在点 x0 是否有定 义无关.
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二、间断点的分类
定义4 设函数 f 在 x0 的某(空心)邻域 (U ( x0 ))内有 定义.若f 在点 x0 无定义,或者在点 x0有定义但却 在该点不连续,那么称点 x0 为函数的一个间断点 或不连续点. 由此,根据函数极限与连续之间的联系, 如果 f 在 点 x0 不连续, 则必出现下面两种情况之一:
类似于左、右极限，下面引进左、右连续的概念.
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定义3 设函数 f ( x) 在点 x0 的某个右邻域 U ( x0 ) (左邻域U ( x0 )) 有定义，若
lim
x x0
f (x)
f ( x0 )
( lim x x0
f (x)
f ( x0 )),
则称 f ( x) 在点 x0 右(左)连续.
3. 第二类间断点: 若 f 在点 x0 的左、右极限至少 有一个不存在, 则称 x0 是 f 的一个第二类间断点.
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例3
试证函数
f
(x)
1
x0 在 x 0处不连续，
0 x 0
并且 x 0 是 f ( x) 的一个可去间断点.
证 因为
y
lim f ( x) 1 f (0),
很明显, 由左、右极限与极限的关系以及连续函数
的定义可得：
定理4.1 函数 f ( x) 在点 x0 连续的充要条件是：f 在 点 x0 既是左连续，又是右连续.
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例2 讨论函数
x,
f
(
x)
x
a,
x 0 在 x 0 处的连续性. x0
解 因为
y
y xa a0
lim f ( x) lim x 0 f (0),
性的，换句话说连续就是指 f ( x) 在点 x0的极限不 仅存在,而且其值恰为 f ( x)在点 x0的函数值 f (x0) .
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例如：f ( x) x sgn x 在 x 0 处连续， 这是因为 lim xsgn x 0 f (0).
x0
y y x sgn x
O
x
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(i) f 在点 x0 无定义或者在点 x0 的极限不存在; (ii) f 在点 x0 有定义且极限存在, 但极限值却不 等于f (x0).
根据上面的分析, 我们对间断点进行如下分类：
1. 可去间断点: 若 lim x x0
f (x)
A 存在, 而
f
在点 x0
无定义, 或者有定义但 f ( x0 ) A, 则称 x0 D( x) 0 f (0).
x0
x0
故 f ( x) 在 x 0 处连续.
注意:上述极限式绝不能写成
lim xD( x) lim x lim D( x) 0.
x0
x0 x0
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由上面的定义和例题应该可以看出: 函数在点 x0 有极限与在点 x0 连续是有区别的. 首先 f (x) 在点 x0 连续，那么它在点 x0 必须要有极限(这就是说, 极限存在是函数连续的一个必要条件)，而且还 要求这个极限值只能是函数在该点的函数值.
x0
x0
所以 f 在 x 0 处左连续.
又因为
yx o
yxa a0
y xa a0
x
lim f ( x) lim ( x a) a,
x0
x0
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所以, 当 a 0 时, f 在 x 0 处不是右连续的； 当 a 0 时，f 在 x 0 处是右连续的. 综上所述, 当 a 0 时, f 在 x 0 处连续； 当 a 0 时，在 x 0 处不连续.
存在 > 0, 当 0 | x x0 | 时, 有
f ( x) f ( x0 ) e .
(2)
注意到(2)式在 x x0 时恒成立, 因此0 x x0 可改写为 x x0 ，这样就得到函数 f (x) 在点x0 连续的e 定义.
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定义2 设 f ( x) 在点 x0 的某个邻域内有定义 .如果
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则函数在点 x0 连续的充要条件是 :
lim y 0.
(3)
x0
这里我们称 x 是自变量(在 x0 处)的增量, y为相
应的函数(在 y0 处)的增量
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例1 证明 f ( x) xD( x) 在 x 0 处连续 , 其中 D( x)
为狄利克雷函数.
证 因为 f (0) 0, D( x) 1, lim x 0, 所以 x0