导数的几何意义-教案(详案)

教 学 过 程设 计 意 图一、创设情境、导入新课1.回顾旧知、引出研究的问题：前面我们初步了解了一些微积分背景知识，对有“微积分之父”之称的牛顿和莱布尼慈，也相识了（幽默：同时知道当爹的不易），之后重点学习了函数在0x x =处的导数0()f x '就是函数在该点处的瞬时变化．．．．率．。

那么： 提问：(1) 求导数0()f x '的步骤有哪几步? 生：总共分三步（拉音，模仿赵本山）： 第一步：求增量y ∆第二步：求平均变化率()00()f x x f x y xx+∆-∆=∆∆；第三步：求瞬时变化率()0000()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆.（即0x ∆→，平均变化率趋近．．于的确定常数．．．．就是该点导数．．） (2)观察函数()y f x =的图象，平均变化率()00()f x x f x y xx+∆-∆=∆∆在图形中表示什么？生：平均变化率表示的是割线n PP 的斜率.师：这就是平均变化率．．．．．(．y x ∆∆)．的几何意义．．．．．，那么瞬时变化率(0lim x yx∆→∆∆)在图中又表示什么呢？今天我们就来探究导数的几何意义。

板书老师引导学生回忆联系本节课的旧知识，下面探究导数的几何意义也是依据导数概念的形成，寻求解决问题的途径。

教师板书，便于学生数形结合探究导数的几何意义。

突破平均变化率的几何意义，后面在表示割线斜率时能直接联系此知识。

同时引出本节课的研究问题——导数几何意义是什么？（复习引入 用时约3分钟）二、引导探究、获得新知1.动画类比，得到切线的新定义要研究导数的几何意义，结合导数的概念，即要探究0x ∆→，割线的变化趋势．．．．．．．，看下面的动画。

◆多媒体显示【动画1】：圆上点P 处的切线PT 和割线PPn ，演示点Pn 从右边沿着圆逼近点P ,然后再从左边沿着圆逼近点P ，即0x ∆→，割线PPn 的变化趋势。

教师引导学生观察割线与切线是否有某种内在联系呢？生：先感知后发现，当0x ∆→，随着点Pn 沿着圆逼近点P ，割线PPn 无限趋近于点P 处的切线。

◆把割线逼近切线的结论从圆推广到一般曲线，可得：多媒体显示【动画2】：动态演示教材上点00(,())n P x x f x x +∆+∆沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时，割线n PP 的变化趋势图。

师：类比【动画1】，当点00(,())n P x x f x x +∆+∆沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时，即0x ∆→，研究割线n PP 的变化趋势。

学生观察【动画2】，类比得出一般曲线的切线定义：当点00(,())n P x x f x x +∆+∆沿着曲线()f x 逼近点00(,())P x f x 时，以求导数的两个步．．．．．．．骤为依据．．．．，从平均变化率的几何意义入手探索导数的几何意义，抓住0x ∆→的联系，在图形上从割线入手来研究问题。

带着问题观察动画，借助熟悉的圆中的某点处的割线和切线，学生更易感知当0x ∆→，割线的变化趋势。

用逼近的方法体会割线逼近切线，消除学生对极限的神秘感。

肯定学生的研究结果，并引导学生把这种由割线逼近的方法得到切线推广到一般曲线，并由此得出割线的变化趋势，为研究几何意义做好铺垫。

两个动画，探索一般曲线中的切线定义，让不同程度的学生都能借助直观的图象感知和发现，得出：0x ∆→，割线逼近该点处的切线即 0000()()lim ()x f x x f x k f x x∆→+∆-'==∆切线PT 的斜率k 即为函数在0x x =处的导数。

导数的几何意义：00000()()()lim x f x x f x f x x x k x∆→+∆-'===∆曲线在处的切线的斜率师：由导数的几何意义，我们可以解决哪些问题？生：已知某点处的导数或者切线的斜率可以求另外一个量。

2l 1l xyABC2.了解以直代曲思想把点P 附近函数的图象放大，引导学生理解以直代曲思想是指某点附近一个很小的研究区域内，曲线与切线的变化趋势基本一致，故可由曲线上某点处的切线近似代替这一点附近的曲线。

师：在某点附近一个很小的研究区域内，曲线与切线的变化趋势有何关系？如果切线的斜率为正，则该点附近曲线的增减情况怎样？ 生：点P 附近，曲线和该点处的切线的增减变化情况一致。

如果切线的斜率为正，则该点附近曲线呈上升趋势。

建构知识。

突破导数的几何意义这个学习重点。

通过将曲线一点处的局部“放大、放大、再放大”的直观方法，形象而逼真地再现“以直代曲”思想。

渗透用导数的几何意义研究函数的增减性至此突破学习重点和难点，用时约15分钟初中平面几何中，圆的切线的的定义：直线和圆有惟一公共点时，叫做直线和圆相切。

这时，直线叫做圆的切线，惟一的公共点叫做切点。

圆是一种特殊的曲线。

这种定义并不适用于一般曲线的切线。

例如上图中，直线1l 虽然与曲线有惟一的公共点，但我们不能认为它与曲线相切；而另一条直线1l 虽然与曲线有不只一个公共点，我们还是认为它是曲线的切线。

因此，以上圆的切线定义并不适用于一般的曲线。

通过逼近的方法，将割线趋于确定位置的直线定义为切线（交点可能不惟一），适用于各种曲线。

所以，这种定义才真正反映了切线的直观本质。

PPP四、知识应用、巩固理解1.导数几何意义的应用例题1：简单小题例题2：如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数105.69.4)(2++-=t t t h 的图象。

(1)(2)【探究二】1．用图形体现3.3)1(/-=h ，6.1)5.0(/=h 的几何意义。

2．导数值的正负，反应该点附近的曲线有何变化趋势？ 3．请描述、比较曲线)(t h 在210,,t t t 附近增（减）以及增（减）快慢的情况。

在43,t t 附近呢？分析：附近：瞬时．．，增减：变化率．．．，即研究函数在该点处的瞬时变化率，也就是导数。

可借助切线的变化趋势得到导数的情况。

生：作出曲线在这些点处的切线，在0t 处切线平行于x 轴，即见学案“学生活动”要求学生动脑(审题),动手(画切线)，动口(讨论)，体会利用导数的几何意义及运用导数来研究函数在某点附近的单调性，渗透“数形结合”的思想方法，运用以直代曲的思想方法。

问题1由具体的导数入手，熟悉导数的几何意义，帮助学生感知导数与函数单调性之间的联系。

问题2引导学生感知导数反映变化率的本质。

问题3运用导数的几何意义，借由切线的变化趋势，得出切线的斜率即该点处的导数的情况，进而判断函数的单调性。

tO5.0 0.1hhtO3t 4t 0t1t 2t0()0h t '=，说明在0t 时刻附近变化率为0，函数几乎没有增减；在12,t t 作出切线，切线呈下降趋势，即12()0,()0h t h t ''<<，函数在点附近单调递减。

曲线在2t 附近比在1t 附近下降得更快，则是因为12|()||()|h t h t ''<。

小结：附近：瞬时．．，增减：变化率．．．，即研究函数在该点处的瞬时变化率，也就是导数。

导数的正负即对应函数的增减。

作出该点处的切线，可由切线的升降趋势，得切线斜率的正负即导数的正负，就可以判断函数的增减性，体会导数是研究函数增减、变化快慢的有效工具。

同时，结合以直代曲的思想，在某点附近的切线的变化情况与曲线的变化情况一样，也可以判断函数的增减性。

都反应了导数是研究函数增减、变化快慢的有效工具。

例3 如图表示人体血管中的药物浓度)(t f c =（单位：mL mg /）随时间t （单位：min ）变化的函数图像，根据图像，估计8.0,6.0,4.0,2.0=t （min ）时，血管中药物浓度的瞬时变化率，把数据用表格的形式列出。

(精确到0.1)t0.20.40.60.8药物浓度的瞬时变化率（注记：要求学生动脑（审题），动手（画切线），动口（说出如何估计切线斜率），进一步体会利用导数的几何意义解释实际问题，渗透“数形结合”、“以直代曲”的思想方法。

） 抽象概括，（先由学生小结）抽象概括出导函数（简称导数）的概念：给出曲线上各点的切线的变化图，体会导数就是反映函数变化率的，借助曲线可以得出切线斜率的情况即该点处导数的情况。

体会导数在研究函数增减和变化快慢的应用。

3．请给出求函数)(x f y =在0x x =处的切线方程的一个算法，并小组自编四个求切线的题目。

（探索：若把3 ．“在点))(,(00x f x 处”改为“过点))(,(00x f x ”，算法有何不同？并小组自编四个求切线的题目。

）（八）板书设计我们学校的黑板是由四部分组成，上下可以拉动的，以往老师们用汇报课上课板书非常少，甚至没有，其实多媒体只是辅助教学的手段，绝不能象放电影一样，从头放到尾，尤其是学习数学的，老师用课件放一遍和老师用粉笔在黑板上写一遍是完全不同的，说多了！1．1．3导数的几何意义 1、曲线的切线新定义 2、导数的几何意义 3、“以曲代直”的思想 4、导函数的定义画框图（本节课的网络图形） （在最下面）例1 （找学生上黑板来做） 例2 （电脑演示） 例3 （电脑演示）刚开始的时候画图象（引出几何意义）()5043)(3≤≤=V VV r πrV O。