正项级数的敛散性

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n 2 cos 2 n 3) 2n n 1

例 若an 0, 且数列{nan}收敛，试证：
2 a 级数 n 收敛 n 1
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Hale Waihona Puke Baidu
H.W 习题11 5 （1）（2）（3）（4）（5）（8） 6 （2）（3）（5）（6）（7） （8）（9） 10 (1) (3) （4）
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n
收敛；
n
3) 当 l 时, vn 发散
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u
发散
例 讨论下列级数的敛散性
1)

n 1

1 n3 n 1
p
2 2) ln(1 ) n n2
4)

3)
sin
n 1


n
a
n 1

ln
1 n
( a 0)
二. 比值判别法
u n 1 l, 则 若正项级数 un 满足 lim n u n 1 n
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比较判别法(极限形式) 若级数
u
n 1

n
与 vn 均为正项级数，且
n 1

un lim l , n v n
则有
1) 当 0 l 时,
u
n 1

n
与 vn 同敛散；
n 1

2) 当 l 0时,
v
n 1 n 1

n
收敛
u
n 1 n 1
比值和根值判别法实际上可看作是在将级 数与等比级数作比较，当所求极限存在时，可 称级数是拟等比级数 比较判别法是将一般性un，vn 作无穷小比较 通常我们取vn 为1/np，因此这时实际上我们在 分析无穷小的阶
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四. 积分判别法 若非负函数 f(x)在(a,+) 时单调减少 ， 级数 分
Chap 11－2 正项级数的敛散性
11.2.1

正项级数
n
若级数
u
n 1
满足 u n 0, 则称之为正项级数
显然正项级数的部分和Sn单调增加，因此有 正项级数
u 收敛
n 1 n

充分必要条件 部分和Sn有界
1 例 讨论 p 级数 p 的敛散性 n 1 n


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11.2.2

正项级数敛散性判别法
一.比较判别法 若级数
u
n 1
n
与 vn 均为正项级数，且
n 1

un vn
则有
v
n 1 n 1

n
收敛 发散

u
n 1

n
收敛； 发散
u
n
v
n 1
n
1 的敛散性 例 讨论 n n n 1 [3 ( 1) ]

u
n 1
n
的通项un= f(n)，则级数
u
n 1
n
与积


a
f ( x)dx 有相同的敛散性
1 讨论 q n (ln n ) n2

例
的敛散性, 其中 q 0
1 的敛散性 例 讨论 2 n 3 n (ln n ) ln ln n
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H.W
习题11 7 (2) (3) (4) 9
un l , 则 若正项级数 un 满足 lim n
n

n 1
1) 当 0 l 1 时, 2) 当 l 1 时,

u
n 1 n

n
收敛
u
n 1
发散
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例
讨论级数的敛散性

n 1) 1 n ( a n 1 n)
2)

n 1

nn (2n 2 3) n
1) 当 0 l 1 时, 2) 当 l 1 时,
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u
n 1 n

n
收敛
u
n 1

发散
例 讨论下列级数的敛散性
2n 1) n 1 n!

2n 3 2) n n 1 3 2

a n n! 3) n (a 0) n 1 n

三. 根值判别法