正项级数的敛散性
第2节正项级数敛散性的判别
n1
2 3
n
,
由等比级数的敛散性可知：原级数收敛.
例3
1
讨论 P 级数 n1 n p
( p > 0 ) 的敛散性.
解
当 p＝1时,
P
级数为调和级数:
1 n1 n
,
它是发散的.
当 0 < p < 1 时,
有
0
1 n
1 np
,
由比较判别法, P 级数此时是发散的.
故 p 1时, P 级数是发散的.
综上所述:
当 p > 1 时, P 级数收敛. 当 p 1 时, P 级数发散.
4.比较判别法的极限形式
设和为两个正项级数, 且 vn 0 (n 1, 2,;
或从某一项 N0 开始).
若
lim un n vn
,
则
(1) 0 时, un 与 vn 具有相同的敛散性.
n1
n1
(2) 0 时, vn 收敛 un 收敛.
综上所述,当 0 < x < a 时, 原级数收敛; 当 x a 时, 原级数发散.
n
an 1 a2n
lim a n n 1 a2n
a 1,
1 n
当a
1时,
lim n
n
an 1 a2n
lim
n
n
a
1
1 a
2n
1 a
1,
故 a 0 且 a 1时, 原级数收敛.
例8
判别
n1
x a
n
的敛散性.
(
x
>
0,
a
>
0
为常数)
解
关于正项级数敛散性判定方法的总结比较
关于正项级数敛散性判定方法的总结比较正项级数指的是所有项都是正数的级数。
求解正项级数的敛散性是数学分析、高等数学、物理等学科中经常使用的基本问题。
以下是关于正项级数敛散性判定方法的总结。
1. 通项公式法如果正项级数的通项公式可以明确地表示出来，那么可以通过解析判断级数的敛散性。
例如：$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$，该级数的通项公式为$\frac{1}{n^2}$，由于是调和级数的平方，因此它是收敛的。
但如果通项公式不容易明确表示出来，就需要采用其他方法。
2. 比较判别法当正项级数与一个已知收敛或发散的级数的通项公式形式非常类似时，就可以使用比较判别法。
若存在一个收敛级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$，则当正项级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty} b_n$满足$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{b_n}{a_n}=c>0$时，$\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n$与$\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$同时敛散。
其中，$a_n$和$b_n$都是正数。
3. 极限比值法极限比值法也叫作柯西-黎曼判别法。
该方法需要计算正项级数的项数无穷大时的比值$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}$，如果该比值$<1$，则级数收敛；如果$>1$，则级数发散；如果$=1$，则判别不出敛散性。
此外，当无法计算极限时，也可以将比值的极限转化为自然对数的形式再进行计算。
将正项级数转化为积分形式，再判断积分的敛散性。
若存在一个$a>0$，使得函数$f(x)$在$[a,+\infty)$上单调递减且非负，则当正项级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$的通项公式为$a_n=f(n)$时，级数敛散与积分$\int_a^{+\infty} f(x)dx$的敛散性相同。
正项级数敛散性地判别
一、 正项级数敛散性的判别设∑∞=1n n u 是正项级数，假设 0lim ≠∞→n n u ,那么∑∞=1n n u 发散。
若0lim =∞→n n u ,那么∑∞=1n n u 可能收敛也可能发散。
可依照下面的思路判别其敛散性。
(1)若是通项n u 包括有n ！之类的因子，或关于n 的假设干因子连乘形式，那么用比值判别法，即ρ=+→∞n n n u u 1lim ，那么当1<ρ时∑∞=1n n u 收敛，当1>ρ时∑∞=1n n u 发散。
若是nn n u u 1lim +∞→不易计算，或不存在，或存在为1，那么适当放大n u ,使得n n v u ≤，并对∑∞=1n nv 应用比值判别法，若是∑∞=1n n v 收敛，那么∑∞=1n n u 收敛；或适当缩小n u ，使得0>≥n n v u ，并对应用比值判别法，若是∑∞=1n n v 发散，则∑∞=1n n u 发散。
(2)若是通项n u 包括有n 或关于n 的函数为指数的因子，那么用根值判别法，即ρ=∞→n lim n n u ，那么当1<ρ时∑∞=1n nu收敛，当1>ρ时∑∞=1n n u 发散。
若是n lim n n u →∞不易计算，或不存在，或存在为1，那么适当放大n u ,使得n n v u ≤，并对∑∞=1n n v 应用根值判别法，若是∑∞=1n n v 收敛，那么∑∞=1n n u 收敛；或适当缩小n u ，使得0>≥n n v u ，并对应用根值判别法，若是∑∞=1n n v 发散，那么∑∞=1n n u 发散。
(3)当n u 不是以上情形时，寻觅∞→n 时n u 的等价无穷小，可利用等价无穷小的经常使用公式和麦克劳林展开式，取得)0(~>C nCu n α，第八讲 常数项级数敛散性的判别等价的通项，两级数应具有相同的敛散性。
因此当1>α时∑∞=1n n u 收敛；当1≤α时∑∞=1n nu发散。
正项级数敛散性的判别方法
正项级数敛散性的判别方法正项级数是指级数的所有项都是非负数的级数。
判断正项级数的敛散性的方法主要有以下几种：比较判别法、根式判别法、积分判别法、极限判别法和对数判别法。
一、比较判别法：1. 比较判别法之比较大法：如果对于正项级数∑an和∑bn，当n趋向于无穷大时有an≤bn，那么若∑bn收敛，则∑an也收敛；若∑bn发散，则∑an也发散。
2. 比较判别法之比较小法：如果对于正项级数∑an和∑bn，当n趋向于无穷大时有an≥bn，那么若∑bn发散，则∑an也发散；若∑bn收敛，则∑an也收敛。
二、根式判别法：设an≥0，如果存在正常数p使得lim[(an)^1/n]=a，则1. 若a<1，则级数∑an收敛；2. 若a>1，则级数∑an发散；3.若a=1，根式判别法无法确定级数的敛散性。
三、积分判别法：将正项级数∑an转化为函数f(x)的积分，即∫f(x)dx，如果对于函数f(x)，当x趋向于无穷大时有f(x)递减且连续，则1. 若∫f(x)dx收敛，则级数∑an也收敛；2. 若∫f(x)dx发散，则级数∑an也发散。
四、极限判别法：如果存在常数L>0，使得lim(n→∞)n*an=L，则1. 若L<1，则级数∑an收敛；2. 若L>1，则级数∑an发散；3.若L=1，极限判别法无法确定级数的敛散性。
五、对数判别法：设an≥0，如果存在正常数p使得limln(an)/ln(n)=a，则1. 若a<1，则级数∑an收敛；2. 若a>1，则级数∑an发散；3.若a=1，对数判别法无法确定级数的敛散性。
这些判别方法在实际应用中都有其适用范围和局限性，需要根据具体情况选择合适的方法进行判断。
同时，在判断级数的敛散性时，还可以结合其他定理和方法，如柯西收敛准则、阿贝尔定理、绝对收敛等进行综合分析。
7.2-1 正项级数敛散性的判别
n 1
n 1
Sn s 一般级数收敛 lim n
正项级数收敛 S n 有上界 单调有界数列有极限
1 p 在p >1 时收敛， p 1 时发散. 例1. 证明 n 1 n
证：p =1,原级数为调和级数，发散；
1 1 1 1 p < 1时 n p n , n p 的部分和大于 n 的部分和 n 1 n 1
2 n1 un1 [(n 1)! ] ( 2n)! lim 1 / 4 1 lim lim n 2( 2n 1) n u n ( n! ) 2 [ 2( n 1)]! n
x n 例5. 判别 n( ) ( x 0) 的敛散性 n 1 2 n n 1 x x 解： un n , un1 ( n 1) 2 2 un1 n 1 x lim lim x/2 n u n n 2 n 由0 x / 2 1 0 x 2, 此时原级数收敛
由 x / 2 1 x 2, 此时原级数发散 由 x / 2 1 x 2, 原级数为 n 发散
n 1
当 0< x< 2时，收敛 x n 综上 n( ) ( x 0) n 1 2 当 x 2 时，发散
2. 根值判别法 n u r lim n 定理：设 un 为正项级数，若 n 则 r <1 ,级数收敛；r > 1,级数发散；r =1,此法失效.
则当 p > 1时广义p-级数收敛； p 1 时广义p-级数发散.
上述结论的证明有待于下次课的比较判别法 例10. 下列级数的敛散性如何？
1 1) n1 n( n 1)
微积分第二版课件第二节数项级数敛散性判别法
定理 正项级数 un 收敛的充分必要条件为：它的 n1
前n 项部分和所构成的数列 {Sn}有上界.
定理(比较判别法1) 设两个正项级数 un与 vn ,
n1
n1
如果满足 un vn ,(n 1,2,)，那么
(1) 若 vn收敛, 则 un 收敛.（大的收敛小的必收敛）
n1
n1
(2) 若 un 发散, 则 vn 发散. (小的发散大的必发散）
kvn (k
0) ，则正项级数
un
也发散.
n1
例
判定级数
(1)
n1
1 2n
; 1
(2)
n1
n 2n
1
n
的敛散性.
解
(1)因为
un
1 1 0(n 1,2,) 2n 1 2n
而级数
1
发散，由比较法知
1
发散.
n12n
n12n 1
(2)对于正项级数
n1
n n 2n 1
因为
un
n
n
比值的极限 lim un1 ，则
n1
n un
（1）当 1时，级数收敛；
（2）当 1 时，级数发散；
（3）当 1时，级数可能收敛也可能发散.
说明：比值判别法比比较判别法使用方便，它主 要判别一般项由指数幂或阶乘等形式构成的正项级数
的敛散性.但当 1 时，判别法失效.
例
判定 (1)
综合上述有 n1n1p当p 1时收敛，0 p 1时发散.
例 判定 (1)
1
, (2)
1
的敛散性.
n1(n 1)(n 4) n1n n 2
解
(1)因为 0 un
关于正项级数敛散性判定方法的总结比较
关于正项级数敛散性判定方法的总结比较正项级数是指级数中所有的项均为非负数的级数，即对于级数\sum_{n=1}^{\infty}a_n，其中a_n\geq0。
正项级数的收敛性和发散性对于数学分析和实际问题都具有重要意义，在实际应用中，我们经常需要对正项级数的收敛性进行判定。
针对正项级数的收敛性和发散性，数学中有多种方法来进行判定，本文将对这些方法进行总结比较。
一、比较判别法比较判别法是判定正项级数收敛性和发散性的常用方法之一。
该方法的基本思想是通过比较给定级数与一个已知级数的大小关系来判定。
比较判别法分为两种情况，分别是比较判别法和极限比较判别法。
比较判别法是指对于给定级数\sum_{n=1}^{\infty}a_n和另一个级数\sum_{n=1}^{\infty}b_n，如果对于任意n均有a_n\leq b_n，且级数\sum_{n=1}^{\infty}b_n收敛，则级数\sum_{n=1}^{\infty}a_n也收敛；如果级数\sum_{n=1}^{\infty}b_n发散，则级数\sum_{n=1}^{\infty}a_n也发散。
比较判别法的优点是简单易用，只需找到一个已知级数与待判定级数的大小关系即可进行判定；缺点是对于不同的级数，需要选择合适的已知级数进行比较，因此并不是所有情况都适用。
2. 极限比较判别法极限比较判别法的优点是适用范围广，可以处理更多的情况，但缺点是需要计算极限值，有时可能较为复杂。
二、积分判别法积分判别法是判定正项级数收敛性和发散性的另一种重要方法。
对于给定正项级数\sum_{n=1}^{\infty}a_n，如果a_n是连续函数f(x)在[1,+\infty)上的值，且f(x)在[1,+\infty)上单调递减，则级数\sum_{n=1}^{\infty}a_n与函数的积分\int_{1}^{\infty}f(x)dx的收敛性是一致的。
积分判别法的优点是利用了函数积分的性质，简化了级数的判定过程；但缺点是需要对函数进行积分运算，有时可能不太容易求得积分结果。
高等数学(微积分)课件--§7.2正项级数敛散性的判别
N
, 使得当 n N 时 , 有 u n cv n , 则 （1）当
v
n 1 n 1
n
收敛时， u n 收敛 ;
n 1
（ 2）当
u
n
发散时， v n 发散 .
n 1
比较收敛法的前提
要有参考级数. （比较的对象）
6
例 1
P-级数 讨 论 p-级 数
1
p
1
1 3
即部分和数列有上界
(2) 设 sn (n )
n
u n 收敛
n1
.
且 un vn ,
则
sn
是无上界数列 定理证毕.
v n 发散
n1
.
5
比较判别法的推论
推论 设 u n 和 v n 都是正项级数
n 1 n 1
,
且存在常数
c 和自然数
由比较收敛法的推论, 得证.
( 2 ) 由 lim
n
存在 , 若级数
u n 收敛
n1
,
则由结论
( 1 ) 有级数
v n 收敛
n1
, 但级数
v n 发散
n1
,
故级数
u n 不可能收敛
n1
, 即级数发散
.
12
例题讲解
例 解
判定级数
sin
n1
1 n
的收敛性
.
且 un v n ( n 1, 2,) ,若 v n 收敛,则 un 收敛;
n 1 n1
7.2正项级数敛散性的判别基础教学
ln n
lim n2
n 1
limln n
n
而
n1
1 n2
收敛,
n2
n1
lnn2n的敛散性依据该定理无法判别.
ln n
1
lim n2 n 1
3
n2
ln n
lim
n
1
n2
lim ln x x x
lim
x
x 1
lim 2 x
2x
1 0 x
而
1
3
收敛,
n n1 2
n1
lnn2n收敛.
5n1 n2
lim
n
1 5
n n
1
2
1 5
1
5n
级数
n1
n2 5n
收敛
,
从而
n1
n2
sin2 5n
n
5
收敛.
高级教学
26
例 2 (1)n
n1
2n
解：
un
2 (1)n 2n
3 2n
,
而
n1
3 2n
收敛,
2 (1)n
n1
2n
收敛.
1
但
un1 un
2 (1)n1 2[2 (1)n]
-
级数
n1
1 的特例！ np
1
n1 n
1 5
n n1 4
高级教学
8
例 判断级数
1 的敛散性.
n1 n (n2 1)
解：
n
1 (n2
1)
1 n2
且
n1
1 n2
收敛,
所以原级数收敛.
一个正项级数敛散性的判别法
一个正项级数敛散性的判别法
正项级数敛散性是指一个级数能够在某种给定的运算规则下被加起来，表示为一个有穷的值。
它允许积分，求和，数组操作以及定义特定类型的序列的可行性。
鉴于其运算的复杂性，正项级数敛散性广泛应用于计算数学，统计学，机器学习等领域。
正项级数敛散性的判别法是指识别任意可求正项级数敛散性序列是否为有穷数的过程。
换句话说，它检查序列中是否有一项或多项位于极限，以检测序列是否有穷。
正项级数的敛散性表示的是序列的最后一项的特性。
若序列的最后一项是有限的，则该序列敛散；若序列的最后一项是无限的，则该序列不敛散。
例如，以下是一个最基本的级数：a_n=1/n^2。
该序列的最后一项是无限的，因此该序列不敛散。
正项级数敛散性的判别法测试可分为三步：首先，检查有限比，它由西格玛紧缩度度量表示；其次，计算绝对正项级数的和；最后，依据给定的条件来定义是否有限。
与奇偶性判断法相比，正项级数敛散性判断法有更少的变量限制，可使用于更多情况下。
总之，正项级数敛散性的判别法是通过检查有限比、计算绝对正项级数的和，以及依据给定条件来判断序列是否有穷的过程，作为鉴别级数是否有穷的效率高、功能强大的数学工具，可广泛应用于计算数学、统计学和机器学习等领域。
7.2正项级数敛散性的判别
∞
1 lim ln n = ∞ 而∑ 2 收敛, n →∞ n =1 n
∞
∞
ln n ∴ ∑ 2 的敛散性依据该定理无法判别. n =1 n
1 ln n n2 = lim ln n = lim ln x = lim x = lim 2 1 = 0 lim 1 n →∞ x →+∞ x →+∞ n →∞ 1 x x x →+∞ 1 2 n 3 2 x 2 n
3 2
n2 1 = lim 2 = n →∞ 3n − 1 3
而级 数 ∑
n =1 ∞
1 n
3 2
n 收敛 , ∴ 级 数 ∑ 2 收敛. n =1 3n − 1
∞
1 的敛散性 . 例 判定级数 ∑ n n =1 3 − n 1
∞
3 n = lim 1 ∵ lim 3 − n = lim = 1, 解 n n→ ∞ n→ ∞ 1 n n→ ∞ 3 − n 1−
当q < 1时, 收敛 n 1 ∑aq 敛散性 、 当q ≥ 1时, 发散 n=0
∞
1 2、调和级数 、 ∑n发散. n=1
∞
§7.2 正项级数敛散性的判别
• • • • 一、正项级数的概念 二、比较判别法 三、比值判别法 四、*根值判别法 根值判别法
一、正项级数
称为正项级数 正项级数. 定义 如果级数 ∑ un中各项均有 un ≥ 0, 这种级数 称为正项级数.
n=1 n =1 n =1 ∞ n=1 ∞
∞
∞
判 断 ∑ u n的 敛 散 性 .
n=1
∞
对欲求级数进行 缩小应缩小为发 发 散级数. 散级数
c n ≤ un ≤ v n
放大， 放大，缩小的方向
8.2正项级数敛散性的判别
r不存在时, 若 不存在时,比值法也不 . 能 ∞ ∞ un+1 1 1 ( 3)举例 : ∑ , ∑ n2 lim un = 1 n →∞ n =1 n n =1 发散! 收敛! 发散! 收敛! a n 的因子, 一般项中含有 n或 !的因子,宜用比值判别 . 法
例 1 .判定下列级数的敛散性 : ∞ n un+1 ( n + 1) 2n1 1 (1 ) ∑ n 1 lim = <1 = lim n n →∞ n →∞ n =1 2 un 2 n 2
n ∞
∞
π
证明收敛:un < 某一收敛级数. 证明收敛: 某一收敛级数. ∑ 1 n=1 ∞ 收敛. 例3.证明级数 ∑ 收敛. 某一发散级数. 证明发散: 证明发散:un > 某一发散级数. n =1 n! ∑ n=1 ∞ 1 证: 方向: < 某一收敛级数. 方向: 某一收敛级数. ∑ n=1 n ! ∞ ∞ 1 1 1 1 1 1 = < = n1 ∑ n1收敛 ∑ 收敛 n! 1 2 3L n 2 2L 2 2 n =1 2 n =1 n! ∞ 1 的敛散性. 例4.判定级数 ∑ 的敛散性. n=1 n( n + 1) 1 1 1 解: un = > = n( n + 1) ( n + 1)( n + 1) n + 1 ∞ ∞ 1 1 Q∑ 为调和级数少一项, ∴ 发散. 为调和级数少一项, ∑ 发散. n =1 n + 1 n =1 n + 1 ∞ 1 ∴∑ 发散. 发散. n( n + 1) n =1
∞
un+1 2n+1 ( n + 1)! n n 2 2 n! 收敛! ∑ nn lim u = lim ( n + 1)n+1 2n n!= e < 1 收敛! n →∞ n →∞ n=1 n
正项级数敛散性的判别(1)
y
1 xp
(
p
1)
o 1 234
x
当 p 1 时,用积分判别法:
当n1
x
n 时, 1 np
1 xp
,
于是有
1
np
n dx n1 n p
n dx x n1 p
5
1
np
n dx n n1 p
n dx x n1 p
所以
n1 kp
k2
n
k2
k1 k1 x p dx
n1 1 x p dx
即 un vn ,
由比较判别法可知, 当 vn 收敛时, un 也收敛.
n1
n1
(注意：反之不对).
(3) 若 lim un , 则 lim vn 0 ,
v n n
u n n
由(2)即得结论.
11
1
例5
n1 n 1
lim 1
1 1，
n n 1 n
而
1 发散, 所以原级数发散.
n2 n
n
n
1
lim x x
x
e e lim ln x x x
lim 1 x x
e0
1.
28
练习：
P251 习题七
29
例6
1 n2 n2 1
lim
n
1 n2
1
1 n2
1，
收敛
例7
n1 n1 n2 1
n1
lim
n
n2
1
1 1， n
发散
例8
1
n1 ln(1 n2 )
1
lim
n
ln(1
n2
)
正项级数敛散性的比较判别
正项级数敛散性一.正项级数的定义若级数中各项都是非负的( 即01,2,n u n =≥，…)，则称该级数为正项级数。
[1] 由正数和零构成的级数称为正项级数。
二.正项级数收敛性的一般判别原则若级数各项的符号都相同，则称为同号级数。
而对于同号级数，只须研究各项都由正数组成的级数——正项级数。
因负项级数同正项级数仅相差一个负号，而这并不影响其收敛性。
定理1 正项级数∑∞=1n n u 收敛⇔部分和数列{}n S 有界。
证明：由于对n ∀，0>n u ，故{}n S 是递增的，因此，有 ∑∞=1n n u 收敛⇔{}n S 收敛⇔{}n S 有界。
定理2（比较原则） 设∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 均为正项级数，如果存在某个正数N ，使得对N n >∀都有n n v u ≤，则 （1）若级数∑∞=1n n v 收敛，则级数∑∞=1n n u 也收敛；（2）若级数∑∞=1nnu发散，则级数∑∞=1nnv也发散。
证明：由定义及定理1即可得。
[2]比较判别法；比较判别法的极限形式；推论（常用结论）比较判别法是判断正项级数收敛性的一个重要方法。
对一给定的正项级数，如果要用比较判别法来判别其收敛性，则首先要通过观察，找到另一个已知级数与其进行比较，并应用定理2进行判断。
只有知道一些重要级数的收敛性，并加以灵活应用，才能熟练掌握比较判别法。
至今为止，我们熟悉的重要的已知级数包括等比级数、调和级数以及-p级数等。
要应用比较判别法来判别给定级数的收敛性，就必须给定级数的一般项与某一已知级数的一般项之间的不等式。
但有时直接建立这样的不等式相当困难，为应用方便，我们给出比较判别法的极限形式。
使用比较判别法或其极限形式，需要找到一个已知级数作比较，这多少有些困难。
下面介绍的几个判别法，可以利用级数自身的特点，来判断级数的收敛性。
§6.2 正项级数的敛散性判别法
(1)r < 1 , un收敛;(1)r > 1 , un发散; 时 ∑ 收敛; 时 ∑ 发散;
n=1 n=1
∞
∞
注 级数中含有n!,an,nn时一般选用此法较好,运用 级数中含有 , 时一般选用此法较好, 时 若发现极限结果为r=1,则说明不能用此法,需改用其他方法. 若发现极限结果为 ,则说明不能用此法,需改用其他方法.
n=1 n=1 n=1 ∞ n=1 ∞
∞
∞
1 例 证明 < 1 ∑ p 发散. p 时 发散. n=1 n
∞
第六章 离散经济变量的无限求和
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2010年6月26日星期六 年 月 日星期六
4
推论 若∑un, vn为正项级数,且 N > 0 使 n > N, ∑ 为正项级数, ,
∞
1 (3)∑(1 cos ) n n→ 1
∞
3n (4)∑ )! n=1 (2n +1
答案 ⑷收敛
(5)∑
n=1
∞
n + sin n n3 + n 1
⑵发散 ⑶收敛
⑴收敛 ⑸发散
第六章 离散经济变量的无限求和
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�
n=1 n=1
∞
∞
0 ≤ un ≤ Avn,其中 为常数,则 A为常数,
(1)∑vn收敛 ∑un收敛; 收敛; (2)∑un发散 ∑vn发散. 发散.
n=1 n=1 n=1 ∞ n=1 ∞
∞
∞
利用比较判别法, 利用比较判别法,关键是要选择合适的级数与已知级 进行比较.一般需要对已知级数的通项进行放缩; 进行比较.一般需要对已知级数的通项进行放缩;而
名师推荐第二节正项级数敛散性的判别
n2 n
1 n2 n
的敛散性.
解
因
11 nn n2
(n 2)
且 1 n1 n2
收敛,
故 1
n1 nn
收敛.
解
因
n
1
n2 n n
1
n(n 1) n
1 n n
2 n2
2
且 1 n1 n2
收敛,
故
1
收敛.
n2 n n2 n
例2
判断
p
n1
1 2n
1
的敛散性.
解 因 1 11
2n 1 2 n
且 1 发散 n1 n
故
1
n1 2n 1
发散.
例2
判断
p
级数 1 n1 n p
的敛散性.
1
n1 n p
收敛
发散
p1 p1
例3
判断级数
n1
1 nn
11
1 n
n ln
n
1 1
1 的敛散性.
1
ln(1
n1 lim n ln n n 1
n
2
1
)
n nn
limln(n 1)n n n 1
limln(1 2 )n
n
n1
2 0
且
1
收敛,
n1 n n
故 n2
1 ln n 1 收敛.
n1
n1
(2)当c 0 时,
因
lim un 0 v n
n
关于正项级数敛散性判定方法的总结比较
关于正项级数敛散性判定方法的总结比较正项级数是一种特殊的级数，指其中所有的项都是非负数。
在数学和物理等领域中，正项级数被广泛应用。
为了研究正项级数的敛散性，数学家们提出了很多敛散性判别法。
1. 比较判别法比较判别法是判断正项级数敛散性的最基本方法之一。
如果对于级数 $\sum a_n$ 和级数 $\sum b_n$，存在正常数 $C$，使得对于充分大的 $n$，都有 $a_n \leq Cb_n$，那么若级数 $\sum b_n$ 收敛，则级数 $\sum a_n$ 收敛，反之则发散。
比较判别法原理的思路是将待求级数和已知级数比较，将待求级数与已知收敛的级数比较，若待求级数的项小于已知级数的项，则待求级数收敛；若待求级数的项大于已知级数的项，则待求级数发散。
比较判别法需要能选择一个已知级数，使得比较条件能够确定，最好的情况是能选择极大简单（或极小复杂）的已知级数。
例如，在比较判别法的应用中，经常使用常数级数 $\sum C$ 的敛散性，当 $C=0$ 时收敛，当 $C > 0$ 时发散。
因此，只要 $a_n$ 的增长快于常数，就能证明级数 $\suma_n$ 发散。
极限判别法的适用条件为比值必须是存在的，即当 $n$ 充分大时，$\frac{a_n}{b_n}$ 有意义。
比较判别法和极限判别法的区别在于，比较判别法可以比较不同级数之间的项，而极限判别法必须将比值限定在同一个级数内进行比较。
3. Cauchy判别法Cauchy判别法和其他方法不同的地方在于，它并不结合其他级数进行比较，而是对直接对级数的项进行判断。
它的适用条件是需要找到一个不依赖于 $n$ 的实数$\varepsilon$，这也是极度苛刻的。
积分判别法是利用一般函数积分或其他积分的性质来判断正项级数的敛散性。
设$f(x)$ 是定义在 $[1,\infty)$ 上的连续正函数，若 $\int_1^\infty f(x)dx$ 收敛，则正项级数 $\sum_{n=1}^\infty f(n)$ 也收敛。
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u
n 1
n
的通项un= f(n)，则级数
u
n 1
n
与积
a
f ( x)dx 有相同的敛散性
1 讨论 q n (ln n ) n2
例
的敛散性, 其中 q 0
1 的敛散性 例 讨论 2 n 3 n (ln n ) ln ln n
上海交大乐经良
H.W
习题11 7 (2) (3) (4) 9
Chap 11－2 正项级数的敛散性
11.2.1
正项级数
n
若级数
u
n 1
满足 u n 0, 则称之为正项级数
显然正项级数的部分和Sn单调增加，因此有 正项级数
u 收敛
n 1 n
充分必要条件 部分和Sn有界
1 例 讨论 p 级数 p 的敛散性 n 1 n
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un l , 则 若正项级数 un 满足 lim n
n
n 1
1) 当 0 l 1 时, 2) 当 l 1 时,
u
n 1 n
n
收敛
u
n 1
发散
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例
讨论级数的敛散性
n 1) 1 n ( a n 1 n)
2)
n 1
nn (2n 2 3) n
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n 2 cos 2 n 3) 2n n 1
例 若an 0, 且数列{nan}收敛，试证：
2 a 级数 n 收敛 n 1
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H.W 习题11 5 （1）（2）（3）（4）（5）（8） 6 （2）（3）（5）（6）（7） （8）（9） 10 (1) (3) （4）
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11.2.2
正项级数敛散性判别法
一.比较判别法 若级数
u
n 1
n
与 vn 均为正项级数，且
n 1
un vn
则有
v
n 1 n 1
n
收敛 发散
u
n 1
n
收敛； 发散
u
n
v
n 1
n
1 的敛散性 例 讨论 n n n 1 [3 ( 1) ]
n
收敛；
n
3) 当 l 时, vn 发散
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u
发散
例 讨论下列级数的敛散性
1)
n 1
1 n3 n 1
p
2 2) ln(1 ) n n2
4)
3)
sin
n 1
n
a
n 1
ln
1 n
( a 0)
二. 比值判别法
u n 1 l, 则 若正项级数 un 满足 lim n u n 1 n
1) 当 0 l 1 时, 2) 当 l 1 时,
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u
n 1 n
n
收敛
u
n 1
发散
例 讨论下列级数的敛散性
2n 1) n 1 n!
2n 3 2) n n 1 3 2
a n n! 3) n (a 0) n 1 n
三. 根值判别法
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比较判别法(极限形式) 若级数
u
n 1
n
与 vn 均为正项级数，且
n 1
un lim l , n v n
则有
1) 当 0 l 时,
u
n 1
n
与 vn 同敛散；
n 1
2) 当 l 0时,
v
n 1 n 1
n
收敛
u
n 1 n 1
比值和根值判别法实际上可看作是在将级 数与等比级数作比较，当所求极限存在时，可 称级数是拟等比级数 比较判别法是将一般性un，vn 作无穷小比较 通常我们取vn 为1/np，因此这时实际上我们在 分析无穷小的阶
Hale Waihona Puke 上海交大乐经良四. 积分判别法 若非负函数 f(x)在(a,+) 时单调减少 ， 级数 分