蝴蝶定理

蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题，刊载于1815年的一份通俗杂志《男士日记》上。

由于其几何图形形象奇特、貌似蝴蝶，便以此命名，定理内容：圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。

出现过许多优美奇特的解法，其中最早的，应首推霍纳在1815年所给出的证法。

至于初等数学的证法，在国外资料中，一般都认为是由一位中学教师斯特温首先提出的，它给予出的是面积证法，其中应用了面积公式：S=1/2 BCSINA。

1985年，在河南省《数学教师》创刊号上，杜锡录同志以《平面几何中的名题及其妙解》为题，载文向国内介绍蝴蝶定理，从此蝴蝶定理在神州大地到处传开。

这里介绍一种较为简便的初等数学证法。

证明：过圆心O作AD与BC的垂线，垂足为S、T，连接OX，OY，OM，SM，MT。

∵△AMD∽△CMB
∴AM/CM=AD/BC
∵SD=1/2AD，BT=1/2BC
∴AM/CM=AS/CT
又∵∠A=∠C
∴△AMS∽△CMT
∴∠MSX=∠MTY
∵∠OMX=∠OSX=90°
∴∠OMX+∠OSX=180°
∴O，S，X，M四点共圆
同理，O，T，Y，M四点共圆
∴∠MTY=∠MOY，∠MSX=∠MOX
∴∠MOX=∠MOY ，
∵OM⊥PQ
∴XM=YM
这个定理在椭圆中也成立，如图
1，椭圆的长轴A1、A2与x轴平行，短轴B1B2在y轴上，中心为M（o，r）（b＞r＞0）。

（Ⅰ）写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率；
（Ⅱ）直线y=k1x交椭圆于两点C（x1,y1）,D(x2，y2)（y2＞0）；直线y=k2x交椭圆于两点G（x3，y3），H（x4，y4）（y4＞0）。

求证：k1x1x2／(x1+x2)=k2x3x4／(x3+x4)
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的C，D，G，H，设CH交X轴于点P，GD交X轴于点Q。

求证：| OP | = | OQ |。

（证明过程不考虑CH或GD垂直于X轴的情形）
2．解答：北京教育考试院招生考试办公室专家在公布的《2003年全国普通高等学校招生统一考试试题答案汇编》中给出的参考解答如下：
（18）本小题主要考查直线与椭圆的基本知识，考查分析问题和解决问题的能力。

满分15分。

（Ⅰ）解：椭圆方程为x2/a2+(y-r)2/b2=1
焦点坐标为
（Ⅱ）证明：将直线CD的方程y=k x代入椭圆方程，得b2x2+a2(k1x-r)2=a2b2，
(b2+a2k12)x2-2k1a2rx+(a2r2-a2b2)=0
根据韦达定理，得
x1+x2=2k1a2r/(b2+a2k12)，x1·x2=(a2r2-a2b2)/( b2+a2k12)，
所以x1x2/(x1+x2)=( r2-b2)/2k1r ①
将直线GH的方程y=k2x代入椭圆方程，同理可得
x3x4/(x3+x4)=( r2-b2)/2k2r ②
由①，②得k1x1x2/(x1+x2)=(r2-b2/2r=k2x3x4/(x3+x4)
所以结论成立。

（Ⅲ）证明：设点P（p，o），点Q（q，o）。

由C，P，H共线，得
(x1-p)/( x4-p)=k1x1/k2x4
解得P=(k1-k2)x2x4/(k1x1-k2x4)
由D，Q，G共线，同理可得
q=(k1-k2)x2x3/(k1x2-k2x3)
由k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4)，变形得：
x2x3/(k1x2-k2x3)=x1x4/(k1x1-k2x4)
即：(k1-k2)x2x3/(k1x2-k2x3)=(k1-k2)x1x4/(k1x1-k2x4)
所以|p|=|q|，即，|OP|=|OQ|。

3．简评
本小题主要考查直线与椭圆等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力。

试题入门容易，第（Ⅰ）问考查椭圆方程、待定系数法、坐标平移和椭圆性质：焦点坐标、离心率、看图说话即可解决问题，但考查的却都是重点内容。

第（Ⅱ）问是典型的直线与椭圆的位置关系问题。

待证式子中含有x1x2，x1+x2，x3x4，x3+x4这样的对称式，式子结构对称优美，和谐平衡，使人很容易联想起一元二次方程根与系数关系的韦达定理，启示了证明问题的思路。

这里用到了解析几何最根本的思想和最根本的方法。

解两个联立的二元二次方程组，用代入消元法得到一元二次方程，分离系数利用韦达定理给出关于x1x2，x1+x2，x3x4，x3+x4的表达式，再分别代入待证式两边运算即达到证明目的。

证明的过程中，由两个联立方程组结构的相似性运用了“同理可得”，整个证明过程也令人赏心悦目，感受到了逻辑证明与表达的顺畅、简约的美的魅力。

第（Ⅲ）问证明中用到了三点共线的充要条件，用到了过两点的直线的斜率公式，分别解出p，q以后，|OP|=|OQ|等价转化成了p= -q（或p+q=0。

）此时分析前提条件（Ⅱ）及待证结论p= -q，关键在于沟通k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4)与x1x4/(k1x1-k2x4)=-x2x3/(k1x2-k2x3)的联系。

参考解答中的表述略去了一些变形的中间过程，使人不易看出沟通的线索，以及命题人变形的思路，因此读者理解起来感到困难。

如果将两式做如下变形，则思路就显然顺畅自然。

设：k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4)为①式，两边同取倒数，得
1/k1x2+1/k1x1=1/k2x4+1/k2x3 ①’
设：x1x4/(k1x1-k2x4)=-x2x3/(k1x2-k2x3)为②式，两边同取倒数，得k1/x4-k2/x1=k2/x2-k1/x3，移项得k2/x1+k2/x2=k1/x3+k1/x4 ②’
将①’两边同乘以k1·k2，即得
k2/x1+k2/x2=k1/x3+k1/x4
它与②’完全一样。

这里利用两式同时变形的方法可以较容易实现目的，有分析、有综合，有思维，有运算。

思路的选择有赖于对式子特征的观察联想。

综观这道题的题目特征及解答过程，我们看到了用代数方程但方法处理几何问题的作用与威力。

4．赏析：
上面我们看到，试题的结构及其解答都令人感到赏心悦目，至此，我们不禁要追问一句：试题是怎么命制出来的？它的背景是什么？它对我们的数学学习与教学、高三复习与备考有什么启示？
关于圆，有一个有趣的定理：
蝴蝶定理设AB是圆O的弦，M是AB的中点。

过M作圆O的两弦CD、EF，CF、DE 分别交AB于H、G。

则MH=MG。

这个定理画出来的几何图，很像一只翩翩飞舞的蝴蝶，所以叫做蝴蝶定理（图2）。

盯着试题的图1仔细看，它像不像椭圆上翩翩飞舞的蝴蝶？
像，而且像极了。

试题的证明过程及结果告诉我们，椭圆中蝴蝶定理依然成立，而且是用解析方法证明的。

如果令椭圆的长轴，短轴相等，即a=b，则椭圆就变成了圆，椭圆中的蝴蝶定理就变成了圆上的蝴蝶定理，上面的证明一样适用。

由于椭圆也可以看作将一个圆经“压缩变换”而得，故圆上的蝴蝶定理经“压缩变换”也可以变成椭圆上的蝴蝶定理。

“翩翩蝴蝶舞椭圆，飞落高考数学花。

”读者诸君欣赏至此，是否体会到了数学命题几何专家命制高考试题的“高招”及良苦用心？
[关于“椭圆上的蝴蝶”，张景中院士在其献给中学生的礼物一书《数学家的眼光》“巧思妙解”一节中有着精妙的论述，有兴趣的读者请参阅该书P54-59]。

5．启示
椭圆上的蝴蝶翩翩飞舞，飞落到了北京数学高考试题的百花（草）园，令人欣喜异常。

它虽然有着竞赛数学、仿射变换、数学名题的背景，然而这里证明它，却只用到了教科书里反复提到的三点共线问题和斜率公式，用到了解析几何最基本的方法。

高级中学课本《平面解析几何》全一册（必修）数处提到三点共线问题，如P13习题一第14题：已知三点A（1，-1）、B（3，3）、C（4，5）。

求证：三点在一条直线上：P17练习4：证明：已知三点A、B、C，如果直线AB、AC的斜率相等，那么这三点在同一条直线上；P27习题二第9题：证明三点A（1，3）、B（5，7）、C（10，12）在同一条直线上；P47复习参考题一第3题：用两种方法证明：三点A（-2，12）、B（1，3）、C（4，-6）在同一条直线上。

你看，课本上的练习、习题、复习参考题，反复提到了三点共线的证明，并且强调用不同的方法来证明。

为什么？你（老师、学生）关注到了它吗？
实际上，三点共线的不同证明，可以把解析几何第一章的重点基础知识充分调动起来，组织起来。

你可以用基本公式——平面上两点间的距离公式
证明｜AC｜=｜AB∣+∣BC∣；你也可以应用定比分点公式x=（x1+λx2）/（1+λ）,y=（y1+λy2）/（1+λ）去证λ=（x1-x）/（x-x2）=（y1-y）/（y-y2）；你可以用过两点的直线的斜率公式Kp1p2=（y2-y1）/（x2-x1），去证KAB=KAC；你还可以先建立直线AB的方程f(x,y)=0，然后验证点C的坐标适合直线AB的方程即f(x,y)=0；你也可以在建立直线AB 的方程之后，利用点到直线的距离公式
证明dc-AB=0；你还可以计算△ABC的面积，去证S△ABC=0。

你看，有五、六种方法可以解决同一个问题，当然难度有高有低。

一题多解中选择方法、优化方法也是能力（洞察、观察）的体现，从比较中才可以鉴别方法的优劣。

据说考试下来，有一些重点中学的尖子生
对自己没能解答出第（Ⅲ）问很懊悔，一些老师也说这个题目“运算量太大难以完成”！不知读者诸君欣赏至此，能不能发现上述问题的症结究竟发生在哪里？北京市有许多重点中学的师生，对高中数学课本的习题不屑一顾，很少去钻研教材中的例题、习题，去寻求与发现知识之间的内在联系，去总结解题的原则、思路与规律。

各种各样的复习资料，几十套几十套的各地模拟试卷，使高三学生跳进题海做得昏天黑地而难以自拔，这哪里还谈得上素质教育与培养能力？我们应当从欣赏“翩翩飞舞的椭圆蝴蝶”中去用心体会“精选题目充分利用题目的“营养”价值”在数学教学与复习中的重要作用，从而解放思想，勇敢大胆地摒弃“题海战术”。

而要使学生跳出题海，老师就必须首先跳入题海，“题海探珠”，感悟数学教育改革的真谛。

——注重基础、注重理解、注重联系、注重能力。

补充：混沌论中蝴蝶定理
数学的一门分支是混沌论。

混沌论中有一个非常著名的定理——蝴蝶定理。

它是说，一些最轻微的因素，能够在复杂的环境中，引起滔天的巨浪，就好比地球南半球一只蝴蝶轻轻地扇动美丽的翅膀，那微小的气流，已足已引起北半球的飓风和海啸。

而我们怎能跟踪那叶尖的微微一颤呢？所以经济和气象都是不可预测的，正如人生无法预测。

四边形蝴蝶定理
若四边形一条对角线平分另一对角线，则过其交点的两条直线，以四边交点（邻边）的连线，与被平分的对角线的两个交点到对角线焦点距离相等。

证明过程中用到共边比例定理、共角比例定理。

如图：BG=CG,求证：EG=FG
连接CP，BS，BR，CQ
EG/BE*CF/FG=S△PGQ/S△PBQ* S△SCR/S△SGR=S△ABD/S△PBQ *
S△SCR/S△ACD * S△PGQ/S△SGR
=AB*BD/BP*BQ * SC*CR/AC*DC * PG*QG/RG*SG
=S△ABC*S△BCD/S△BCP*BCQ * S△BCS*S△BCR/S△ABC*S△BCD *
S△BCP*S△BCQ/S△BCR*S△BCS
=1
EG/BG=GF/CG
EG=GF
共边比例定理
若P,Q所在直线与A,B所在直线交于M,则PAB面积/QAB面积=PM/QM
共角比例定理
若两个三角形ABC与A1B1C1满足角CAB=角C1A1B1,则ABC面积/A1B1C1面
积=AC*AB/A1C1*A1B11/2
证明可直接由面积公式S(ABC)=1/2*a*b*sinC得到
飞翔的Butterfly “蝴蝶定理”的内容要求CF与ED与弦AB有交点，这就限制了弦CD与EF 的范围，为了让“蝴蝶定理”再放光彩，两个简单的推论产生了：定理1：过圆的AB弦中点M，引任意两条弦CD和EF，直线CF与ED与直线AB交于P，Q两点，则有：MP=MQ(图二)。

定理2：l为圆O外一条直线，OM垂直l于M，，过M引圆的任两条割线MCO与MEF，直线CF和ED与直线l交于P,Q两点则有:MP=MQ（图三）。

这两个推论解除了“蝴蝶”身上的枷锁，使蝴蝶真正地飞上了天空。

定理3：过椭圆的AB弦中点，作任两弦CD和EF,直线CF和ED交直线AB于P,Q两点，则有：PM=MQ（图四）。

这奇妙的蝴蝶在椭圆中安家落户了，好像是一只精心培育的变种蝴蝶，万分妩媚。

在高兴的同时，我还想到了其它一些东西，圆与椭圆本质上是一种二次曲线，而是不是二次曲线都有类似性质呢？经过反复验证，我得到了以下定理：定理4：在二次曲线c中，过弦AB中点M任作两条弦CD和EF，直线CF与ED交直线AB于P，Q，则有：PM=MQ 于是，这只变种蝴蝶又找到两个漂亮的胞妹，与它一起飞翔。

对双曲线和抛物线成立吗
筝形中蝴蝶定理成立
与矩形定义相对应,筝形的定义为:两组邻边分别相等的四边形是筝形.
筝形的第二定义:有一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形是筝形.
显然,菱形是特殊的筝形.
筝形性质:
1.轴对称,对称轴为筝形的一条对角线.
2.有一组对角相等,为方便讨论,不妨把这组对角称为"等角"
3.筝形的面积公式:
S=mn/2,其中m,n是两条对角线长
S=absinA,其中a,b是筝形的一组对边,A是筝形的等角.
S=(a^2sinB+b^2sinC)/2,其中B,C为筝形不相等的一组对角
4.筝形的周长公式:C=2(a+b)
5.筝形有内切圆,内切圆圆心是筝形的对称轴和等角的平分线的交点.
6.筝形有外接圆的充要条件为:
2ab=mn或A=90度或B+C=180度
7.筝形的内切圆和四条边的四个切点的连线是等腰梯形,筝形的内切圆和两条对角线的4个交点的连线仍为筝形
广义蝴蝶定理
沈阳东北育才学校冯伟（学生）
自从学习几何画板以来，我一直在思索着这样一个问题：怎么才能把“蝴蝶定理”推广一下。

我想，能不能把“蝴蝶定理”中的圆由一
个变为两个，相应的，还保持一种美妙
的性质呢？如图I，是“蝴蝶定理”，有结
论EP=PF；如图II，是“蝴蝶定理”的演
变，点P，Q，R，S是否也存在某种关
系呢？
我在课下做了一个比较精确的图，并进行了测
量，进而提出了猜测：QM*PM = MS*MR，
或者QM+PM = MS+MR。

我又做了几个图进
行检验，结果误差都比较小。

上机时，利用几
何画板做了一个动画，发现误差变化范围很
大。

我就开始怀疑这个结论。

但是我并不死心。

我又进行了测算，终于发现等式
：
成立，其误差在千分位之后。

而后给出了一个数学上的证明。

这件事使我感觉到几何画板有以下几个妙处：比手工做图方便、精确、直观、连续。

如图I，取圆O内一条弦的中点P，过P点作AB、CD交圆于A、B、C、D点，连AD、BC交弦于E、F点，则EP=PF。

这就是著名的“蝴蝶定理”。

题目：过圆心O的两个同心圆内弦中点M作两条直线交圆于A、B、C、D、E、F、G、H，连AF、BE、CH、DG分别交弦于点P、Q、
R、S ，则有等式：
成立。

这就是蝴蝶定理的推广。

证明：引理，如右图，有结论
由及正弦定理即可得到：原结论
作OM1AD于M1，OM2EH于M2，于是，MA - MD = MB - MC = 2MM1 =
2Msin；MH - ME = MG - MF = 2MM2= 2Msin且MA*MD = ME*MH，MB*MC = MF*MG，代入上式，又
故原式成立
证毕。