信号与系统-郑君里第三章

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【信号与系统(郑君里)课后答案】第三章习题解答

3-1 解题过程：（1）三角形式的傅立叶级数（Fourier Series ，以下简称 FS ）f ( t ) = a ++∞cos ( n ω t) + b sin ( n ω t ) a 0 ∑ n 1n 1 n =1式中ω1 =2π，n 为正整数，T 1 为信号周期T 11 t +T（a ）直流分量a 0 = 0 ∫ 1 f ( t ) dtT1 t2 t +T（b ）余弦分量的幅度a n = 0∫ 1f ( t ) cos ( n ω1t ) dtT1 t 02 t +T（c ）正弦分量的幅度b n = 0 ∫ 1f ( t ) sin ( n ω1t ) dtT 1 t（2）指数形式的傅立叶级数+∞f ( t ) = ∑ F ( n ω1 )e jn ω1tn =其中复数频谱F n= F ( n ω1 ) = 1 ∫t 0 +T 1f ( t ) e − jn ω1t dt T 1 t 0F n =1( a n − jb n ) F − n = 1 ( a n + jb n ) 2 2由图 3-1 可知， f ( t ) 为奇函数，因而a 0 = a n = 04 Tb n = T ∫02= 2Eπ n4TE−2EEf (t ) sin ( n ω t ) dt =sin ( n ω t ) dt = cos ( n ω t = 1 − cos ( n π2T 1 ∫0 2 1 n t 1 n ) 1n = 2, 4,n = 1, 3,所以，三角形式的 FS 为2 E1 12π f ( t ) =sin ( ω1t ) +sin ( 3ω1t ) +sin ( 5ω1t ) +ω1 =π 3 5T指数形式的 FS 的系数为1n = 0, ±2, ±4,F n = − jb n jE=2 n = 0,−± 1, ±3,n π1所以，指数形式的 FS 为f ( t ) = − jE π ej ω1t+ πjE e − j ω1t − 3jE π e j 3ω1t + 3jEπ e − j 3ω1t +3-15 分析：半波余弦脉冲的表达式 f ( t ) =πτ E cos t u t+ τ 2求 f ( t ) 的傅立叶变换有如下两种方法。

信号与系统_郑君里_第三版_课件

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6
积分器：
R
C vo ( t )
微分器： C
vi(t)
vi(t)
R
vo ( t )
电视系统：
黑灰白消息变换器发射机信道（空间）接收机变换器
黑灰白消息
（图像）（摄像机）
（显像管）（图像）
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1.2 信号分类和典型信号
1.2.1 信号的分类
对于各种信号，可以从不同角度进行分类。
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5
系统：一组相互有联系的事物并具有特定功能的整体。
系统可分为物理系统和非物理系统。如：电路系统、通信系统、自动控制系统、机械系统、光学系统等属于物理系统；而生物系统、政治体制系统、经济结构系统、交通系统、气象系统等属于非物理系统。每个系统都有各自的数学模型。两个不同的系统可能有相同的数学模型，甚至物理系统与非物理系统也可能有相同的数学模型。将数学模型相同的系统称为相似系统。
(t )

t

( t0 )d u (t t0 )
（1）
0 u(t) 1 0
25
u(t)与 (t ) 的关系：
t

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t

( )d u(t )
d u (t ) (t ) dt
t
( t0 )d u(t t0 )
t
d u (t t0 ) (t t0 ) dt
f (t ) (t ) f (0) (t )

f (t )
f (0)
(1)
(t )
(1)
f (0) (t )

郑君里《信号与系统》(第3版)(上册)(课后习题傅里叶变换)【圣才出品】

第3章　傅里叶变换3-1 求图3-1所示对称周期矩形信号的傅里叶级数（三角形式与指数形式）。

图3-1解：（1）三角形式由图3-1可知，f(t)为奇函数，故有所以三角形式的傅里叶级数为。

（2）指数形式因所以指数形式的傅里叶级数为。

3-2 周期矩形信号如图3-2所示。

若：重复频率f=5kHz脉宽τ=20μs幅度E=10V求直流分量大小以及基波、二次和三次谐波的有效值。

图3-2解：由图3-2可知，f(x)为偶函数，且f=5kHz，得：所以直流分量为1V基波分量为1sin() 1.3910Vπ=≈二次谐波为2sin( 1.325Vπ=≈三次谐波为。

33sin() 1.2110V π=≈3-3 若周期矩形信号f 1（t ）和f 2（t ）波形如图3-2所示，f 1（t ）的参数为τ=0.5μs，T=1μs，E=1V ；f 2（t ）的参数为τ=1.5μs，T=3μs，E=3V ，分别求：（1）f 1（t ）的谱线间隔和带宽（第一零点位置）频率单位以kHz 表示；（2）f 2（t ）的谱线间隔和带宽；（3）f 1（t ）与f 2（t ）的基波幅度之比；（4）f 1（t ）基波与f 2（t ）三次谐波幅度之比。

解：由题3-2的结论可知，f(t)的傅里叶级数可表示为其中，。

（1）f 1（t ）的谱线间隔，则带宽：。

（2）f 2（t ）的谱线间隔带宽：。

（3）由题3-2可知，所以f 1（t ）的基波幅度为：f 2（t ）的基波幅度为：故。

（4）的三次谐波幅度为：故。

3-4 求图3-3所示周期三角信号的傅里叶级数并画出频谱图。

图3-3解：由图3-3可知，f(t)为偶函数，故。

bn所以的傅里叶级数可表示为()f t其幅度谱如图3-4所示。

图3-43-5 求图3-5所示半波余弦信号的傅里叶级数。

若E=10V ，f=10kHz ，大致画出幅度谱。

图3-5解：由图3-5可知，f(t)为偶函数，因而b n =0，（）；所以其傅里叶级数可表示为若E=10V ，，则幅度谱如图3-6所示。

信号与系统(郑君里第二版)讲义第三章傅里叶变换

t0
⎧0 ⎪T cos(mω1t )cos(nω1t )dt = ⎨ 1 ⎪2 ⎩T1
m≠n m=n≠0 m=n=0
∫
∫
t0 +T1
t0
0 ⎧ ⎪T sin (mω1t )sin (nω1t )dt = ⎨ 1 ⎪ ⎩2
m≠n m=n≠0
t0 +T1
t0
sin (mω1t )cos(nω1t )dt = 0 ，对于所有的 m 和 n
n =1
⎧ ⎪d 0 = a 0 ⎪ 2 2 ⎨d n = a n + bn ⎪ an ⎪θ n = arctan bn ⎩
n = 1,2,3,L n = 1,2,3,L
三、虚指数形式的傅里叶级数任何周期信号 f (t ) 可以分解为
f (t ) =
n =−∞
∑ Fe
n
∞
jnω1t
傅里叶系数：
Fn = 1 t0 +T1 f ( t ) e − jnω1t dt ∫ t 0 T1
f (t )
E 2
−
T1 2
0
T1 2
t
奇函数的傅里叶级数展开式的系数为： a0 = an = 0
4 bn = T1
Fn = −
∫ f (t )sin (nω t )dt
1
T1 2 0
1 π jbn ， ϕ n = − 2 2
6
奇函数的 Fn 为虚数。在奇函数的傅里叶级数中不会含有余弦项，只可能含有正弦项。 3、奇谐函数（半波对称函数）若波形沿时间轴平移半个周期并相对于该轴上下反转，此时波形并不发生变化，即满足 ⎛ T ⎞ f (t ) = − f ⎜ t ± 1 ⎟ 2⎠ ⎝ 这样的函数称为半波对称函数或称为奇谐函数。奇谐函数的傅里叶级数展开式的系数为： a0 = 0 an = bn = 0 （ n 为偶数）（ n 为奇数）

【信号与系统（郑君里）课后答案】第三章习题解答

【信号与系统（郑君⾥）课后答案】第三章习题解答3-1 解题过程：（1）三⾓形式的傅⽴叶级数（Fourier Series ，以下简称 FS ）f ( t ) = a ++∞cos ( n ω t) + b sin ( n ω t ) a 0 ∑ n 1n 1 n =1式中ω1 =2π，n 为正整数，T 1 为信号周期T 11 t +T（a ）直流分量a 0 = 0 ∫ 1 f ( t ) dtT1 t2 t +T（b ）余弦分量的幅度a n = 0∫ 1f ( t ) cos ( n ω1t ) dtT1 t 02 t +T（c ）正弦分量的幅度b n = 0 ∫ 1f ( t ) sin ( n ω1t ) dtT 1 t（2）指数形式的傅⽴叶级数+∞f ( t ) = ∑ F ( n ω1 )e jn ω1tn == F ( n ω1 ) = 1 ∫t 0 +T 1f ( t ) e ? jn ω1t dt T 1 t 0F n =1( a n ? jb n ) F ? n = 1 ( a n + jb n ) 2 2由图 3-1 可知， f ( t ) 为奇函数，因⽽a 0 = a n = 0 4 Tb n = T ∫02= 2Eπ n4TE2EEf (t ) sin ( n ω t ) dt =sin ( n ω t ) dt = cos ( n ω t = 1 ? cos ( n π2T 1 ∫0 2 1 n t 1 n ) 1n = 2, 4,n = 1, 3,所以，三⾓形式的 FS 为2 E1 12π f ( t ) =sin ( ω1t ) +sin ( 3ω1t ) +sin ( 5ω1t ) +ω1 =π 3 5Tn = 0, ±2, ±4,F n = ? jb n jE=2 n = 0,± 1, ±3,n π1所以，指数形式的 FS 为f ( t ) = ? jE π ej ω1t+ πjE e ? j ω1t ? 3jE π e j 3ω1t + 3jEπ e ? j 3ω1t +3-15 分析：半波余弦脉冲的表达式 f ( t ) =πτ E cos t u t+ τ 2求 f ( t ) 的傅⽴叶变换有如下两种⽅法。

(完整word版)信号与系统(郑君里)复习要点(良心出品必属精品)

信号与系统复习书中最重要的三大变换几乎都有。

第一章信号与系统1、信号的分类①连续信号和离散信号②周期信号和非周期信号连续周期信号f(t)满足f(t) = f(t + mT)，离散周期信号f(k)满足f(k) = f(k + mN)，m = 0,±1,±2,…两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为T1和T2，若其周期之比T1/T2为有理数，则其和信号x(t)+y(t)仍然是周期信号，其周期为T1和T2的最小公倍数。

③能量信号和功率信号④因果信号和反因果信号2、信号的基本运算（+ - ×÷）2.1信号的（+ - ×÷）2.2信号的时间变换运算（反转、平移和尺度变换）3、奇异信号3.1 单位冲激函数的性质f(t) δ(t) = f(0) δ(t) ， f(t) δ(t –a) = f(a) δ(t –a)例：3.2序列δ(k)和ε(k)f(k)δ(k) = f(0)δ(k) f(k)δ(k –k0) = f(k0)δ(k –k0) 4、系统的分类与性质4.1连续系统和离散系统4.2 动态系统与即时系统 4.3 线性系统与非线性系统 ①线性性质T [af (·)] = a T [ f (·)](齐次性)T [ f 1(·)+ f 2(·)] = T[ f 1(·)]+T[ f 2(·)] （可加性） ②当动态系统满足下列三个条件时该系统为线性系统：y (·) = y f (·) + y x (·) = T[{ f (·) }, {0}]+ T[ {0}，{x(0)}] (可分解性) T[{a f (·) }, {0}] = a T[{ f (·) }, {0}]T[{f 1(t) + f 2(t) }, {0}] = T[{ f 1 (·) }, {0}] + T[{ f 2 (·) }, {0}](零状态线性))0(d )()(f t t t f =⎰∞∞-δ)(d )()(a f t a t t f =-⎰∞∞-δ?d )()4sin(91=-⎰-t t t δπ)0('d )()('f t t f t -=⎰∞∞-δ)0()1(d )()()()(n n n ft t f t -=⎰∞∞-δ4)2(2])2[(d dd )(')2(0022=--=--=-==∞∞-⎰t t t t tt t t δ)(1||1)()()(t aa at n n n δδ⋅=)(||1)(t a at δδ=)(||1)(00at t a t at -=-δδ)0()()(f k k f k =∑∞-∞=δT[{0},{ax 1(0) +bx 2(0)} ]= aT[{0},{x 1(0)}] +bT[{0},{x 2(0)}](零输入线性) 4.4时不变系统与时变系统T[{0}，f(t - t d )] = y f (t - t d )(时不变性质) 直观判断方法：若f (·)前出现变系数，或有反转、展缩变换，则系统为时变系统。

郑君里信号与系统习题答案

第三章傅里叶变换一.周期信号的傅里叶级数二.傅里叶变换例题•例题1：傅里叶级数——频谱图 •例题2：傅里叶变换的性质 •例题3：傅里叶变换的定义 •例题4：傅里叶变换的性质 •例题5：傅里叶变换的性质 •例题6：傅里叶变换的性质•例题7：傅里叶变换的性质、频响特性 •例题8：傅里叶变换的性质 •例题9：抽样定理–例题10：周期信号的傅里叶变换例3-1 周期信号 1. 画出单边幅度谱和相位谱；()⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛++=328cos 265sin cos 3ππt t t t f 形式频谱：离散性、谐波性、收敛性周期矩形脉冲信号的频谱特点定义及傅里叶变换存在的条件典型非周期信号的频谱冲激函数和阶跃信号的傅里叶变换性质→应用：调制和解调→频分复用周期信号的傅里叶变换：由一些冲激函数组成抽样信号的傅里叶变换→抽样定理→应用：时分复用2. 画出双边幅度谱和相位谱。

单边幅度谱和相位谱双边幅度谱和相位谱例3-2 分析：f (t )不满足绝对可积条件，故无法用定义求其傅里叶变换，只能利用已知典型信号的傅里叶变换和性质求解。

下面用三种方法求解此题。

方法一：利用傅里叶变换的微分性质方法二：利用傅里叶变换的积分性质方法三：线性性质方法一：利用傅里叶变换的微分性质要注意直流，设f A(t )为交流分量，f D(t )为直流分量，则其中()⎪⎭⎫⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=ππππ328cos 2265cos cos 3t t t t f ⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=38cos 2315cos cos 3ππt t t()。

的傅里叶变换求信号 )(ωF t f ()()()t f t f t f D A +=()()()ωωωD A F F F +=()()()[]2321=∞+∞-=f f t f D ()()ωπδω3=D F ()()t f t f A'='()⎪⎭⎫ ⎝⎛-='211t G t f A ()ωωωωj Ae F j -⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴2Sa方法二：利用傅里叶变换的积分性质方法三：利用线性性质进行分解此信号也可以利用线性性质进行分解，例如例3-3已知信号f (t )波形如下，其频谱密度为F (j ω)，不必求出F (j ω)的表达式，试计算下列值：()ωωωωj e F j A -⎪⎭⎫⎝⎛=∴2Sa ()()()()ωπδωωωωωω32Sa +⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=∴-j e F F F j DA ())(11t f t f +=的积分为)()(21t f t f ()ωωωj e F -⎪⎭⎫ ⎝⎛=2Sa 2()()()ωωωπωωωπωωωj e e j F j j --⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=∴2Sa 2Sa 11 ()[]()()ωωωπδωωωj e F F F j -⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=∴2Sa 311()[])1(2)1()()1()(-+--++-=t u t u t u t t u t f ()ωωπδj 1-()2121ωωωωωj e e j j j j ---+-()ωωωπδj e j -+22()()()ωπδωωω312+-=∴-j e F j ()()01=ωωF ()()⎰∞∞-ωωd 2F -t tj d ω(()⎰∞-====∴5.1d 00t t f F F ωω令t =0，则则例3-4按反褶－尺度－时移次序求解已知方法二：按反褶－时移－尺度次序求解已知方法三利用傅里叶变换的性质其它方法自己练习。

信号与系统-课件-郑君里

School of Computer Science and Information
1.1 Signals
Signals are functions of independent variables that carry information. The independent variables can be continuous or discrete. The independent variables can be 1-D, 2-D, ••• , n-D. For this course: Focus on a single (1-D) independent variable which we call “time”. Continuous-Time signals: x(t), t-continuous values. Discrete-Time signals: x(n), n-integer values only.
School of Computer Science and Information
Examples
Electrical signals — voltages and currents in a circuit. Acoustic signals — audio or speech signals. Video signals — intensity variations in an image. Biological signals — sequence of bases in a gene.
School of Computer Science and Information
1.3 Types of Signals
1. Certain Signal and Random Signal

信号与系统-郑君里_第三章

第3章
引言
连续信号与系统的频域分析
周期信号的频谱——傅立叶级数非周期信号的频谱——傅立叶变换傅立叶变换的性质傅立叶分析的应用举例
利用MATLAB进行系统的频域分析
引言
3.1 周期信号的频谱——傅立叶级数 3.1.1 三角函数式傅立叶级数若周期函数
f (t ) 满足狄里赫利条件:
式中,
1 t0 T a0 f (t )dt T t0
2 t0 T an f (t ) cos n0tdt T t0 2 t0 T bn f (t ) sin n0tdt T t0
•
式中， ω0=2π/T是基波角频率，有时也简称基波频率。一般取t0=-T/2。
•
•
F (0)

f (t )dt
1 f (0) 2

F ( )d
3.2.2 傅立叶变换的存在性
•
由傅里叶变换的推导过程表明，信号傅里叶变换存在的条件与傅氏级数存在条件基本相同，不同之处是时间范围由一个周期变为无限区间。傅里叶变换存在的充分条件是无限区间内函数绝对可积，即
c0
n 1
c0
n 1
• 令c0=F0代入上式，并将两个和式合并得cn jn0t j n e e F ( n 0 )e jn0t 2 n
n

Fn e jn0t
这样f(t)指数形式为
f (t )
f (t ) e u (t )
at
a0
jt
F ( )

e u (t )e
at
dt

e
( a j )

《信号与系统》郑君里教学课件讲义

（４）１９世纪末，人们研究用电磁波传送无线电信号。赫兹（Ｈ.Hertz）波波夫、马可尼等作出贡献。1901年马可尼成功地实现了横渡大西洋的无线电通信。
（5）光纤通信从此，传输电信号的通信方式得到广泛应用和迅速发展。如今：（１）卫星通信技术为基础“全球定位系统（Global Positioning System, 缩写为GPS）用无线电信号的传输，测定地球表面和周围空间任意目标的位置，其精度可达数十米之内。（２）个人通信技术：无论任何人在任何时候和任何地方都能够和世界上其他人进行通信。（３）“全球通信网”是信息网络技术的发展必然趋势。目前的综合业务数字网（Integrated Services Digital Network,缩写为ISDN),Internet或称因特网，以及其他各种信息网络技术为全球通信网奠定了基础。
信号与系统
郑君里
教学课件
1、教材：信号与系统郑君里杨为理应启珩编 2、信号与系统 Signals & Systems ALAN V.OPPENHEIM ALANS. WILLSKY 清华大学出版社（英文影印版）（中译本）刘树棠西安交通大学出版社 3、信号与系统例题分析及习题乐正友杨为理应启珩编 4、信号与系统习题集西北工业大学
5. 系统的分类
系统可分为物理系统与非物理系统，人工系统以及自然系统。物理系统：包括通信系统、电力系统、机械系统等；非物理系统：政治结构、经济组织、生产管理等；人工系统：计算机网、交通运输网、水利灌溉网以及交响乐队等；自然系统：小至原子核，大如太阳系，可以是无生命的，也可是有生命的（如动物的神经网络）。
4.信号、电路（网络）与系统的关系
离开了信号，电路与系统将失去意义。

信号与系统(郑君里)复习要点

信号与系统复习书中最重要的三大变换几乎都有。

第一章信号与系统 1、信号的分类 ①连续信号和离散信号 ②周期信号和非周期信号连续周期信号f (t )满足f (t ) = f (t + m T )，离散周期信号f(k )满足f (k ) = f (k + m N )，m = 0,±1,±2,…两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为T 1和T 2，若其周期之比T 1/T 2为有理数，则其和信号x(t)+y(t)仍然是周期信号，其周期为T 1和T 2的最小公倍数。

③能量信号和功率信号 ④因果信号和反因果信号 2、信号的基本运算（+ - × ÷） 2.1信号的（+ - × ÷）2.2信号的时间变换运算（反转、平移和尺度变换） 3、奇异信号3.1 单位冲激函数的性质f (t ) δ(t ) = f (0) δ(t ) ， f (t ) δ(t –a) = f (a) δ(t –a)例： 3.2序列δ(k )和ε(k )f (k )δ(k ) = f (0)δ(k ) f (k )δ(k –k 0) = f (k 0)δ(k –k 0)4、系统的分类与性质?d )()4sin(91=-⎰-t t t δπ)0()()(f k k f k =∑∞-∞=δ4.1连续系统和离散系统4.2 动态系统与即时系统4.3 线性系统与非线性系统①线性性质T[a f (·)] = a T[ f (·)](齐次性)T[ f1(·)+ f2(·)] = T[ f1(·)]+T[ f2(·)] （可加性）②当动态系统满足下列三个条件时该系统为线性系统：y(·) = y f(·) + y x(·) = T[{ f(·) }, {0}]+ T[ {0}，{x(0)}] (可分解性)T[{a f(·) }, {0}] = a T[{ f(·) }, {0}]T[{f1(t) + f2(t) }, {0}] = T[{ f1(·) }, {0}] + T[{ f2(·) }, {0}](零状态线性) T[{0},{a x1(0) +b x2(0)} ]= aT[{0},{x1(0)}] +bT[{0},{x2(0)}](零输入线性) 4.4时不变系统与时变系统T[{0}，f(t -t d)] = y f(t -t d)(时不变性质)直观判断方法：若f (·)前出现变系数，或有反转、展缩变换，则系统为时变系统。

信号与系统郑君里第三章连续系统频域分析

编辑状态下，图形演示平移T1/2再翻转。
第3章连续时间信号频域分析
1.三角型傅里叶级数
让· 巴普蒂斯· 约瑟夫· 傅立叶(Jean
Baptiste Joseph Fourier，1768 –1830)，法国著名数学家、物理学家，1817年当选为科学院院士，1822年任该院终身秘书，后又任法兰西学院终身秘书和理工科大学校务委员会主席，主要贡献是在研究热的传播时创立了一套数学理论。小行星10101号傅里叶星、他是名字被刻在埃菲尔铁塔的七十二位法国科学家与工程师其中一位、约瑟夫.傅立叶大学 1807年向巴黎科学院呈交《热的传播》论文，推导出著名的热传导方程，提出任一函数都可以展成三角函数的无穷级数。
��=−1
�� 1 ej��1��
因此得到指数形式的傅里叶级数
∞
��(��) =
��=−∞
��(��1 )ej��1��
第3章连续时间信号频域分析
2.指数型傅里叶级数
��=1
�� = ��0 +
��0 = ��0 = ��0
�� = �� =
2 2 �� + ��
�� = �� cos �� = �� sin ��
第3章连续时间信号频域分析
（1）三角型傅里叶级数系数的计算

信号与系统郑君里复习要点.pdf

①微分特性：
若Hale Waihona Puke f (t) → yf(t) ，则
f ’(t) → y ’ f (t)
②积分特性：
若
f (t) → yf(t)
t
t
，则 f (x) d x yf (x) d x
4.5 因果系统与非因果系统 5、系统的框图描述第二章连续系统的时域分析
1、LTI 连续系统的响应 1.1 微分方程的经典解
信号与系统复习
书中最重要的三大变换几乎都有。
第一章信号与系统 1、信号的分类 ① 连续信号和离散信号 ② 周期信号和非周期信号连续周期信号 f(t)满足
f(t) = f(t + mT)，离散周期信号 f(k)满足
f(k) = f(k + mN)，m = 0,±1,±2,…
当特征根λ为 r 重根时，齐次解 yn(k)形式为： (Cr-1kr-1+ Cr-2kr-2+…+ C1k+C0)λk
当特征根λ为一对共轭复根 1,2 e j 时，齐次解 yn(k)形式为：
k C cos(k) Dsin(k)
1.2.2 特解 yp(k): 特解的形式与激励的形式雷同(r≥1）。 ①所有特征根均不等于 1 时;
(n) (t) f (t) d t
(1)n
f
(n) (0)
(t
2)2
'(t) d t
d dt
[(t
2)2 ]
t 0
2(t
2)
t 0
4
(n)
(at)
|
1 a
|
1 an
(n)
(t)
(at) 1 (t) |a|

信号与系统第三章1郑君里

1
系统的零状态响应
常用的正交函数集 a 三角函数集
由积分可知
1 cos sin sin sin 2
2
1 cos cos cos cos 2 1 sin sin cos cos 2
0 T/2
f (t )的波形满足某种对称关系时，在傅里叶级数中某些 22 项将不出现，利用这些特性可简化傅里叶系数的计算。
三、指数形式的傅里叶级数
上式即是f (t )的指数形式的傅立叶级数展开式
Fn为指数形式的傅立叶级数系数
求Fn的公式
23
四、指数形式的傅里叶系数和三角形式的傅里叶系数之间的关系
f (t)
0
t
f(t)为偶函数时展开成傅里叶级数后不含正弦项
17
2) f (t)为t 的奇函数 f (t ) = f (t ) ~ 波形对称于原点
f (t) t
0
f (t)为奇函数时展开成傅里叶级数后不含余弦项
18
3) 非奇非偶函数f (t)分解为偶函数和奇函数
任意信号 f (t)均可写成 f (t) = f ev(t) + f od(t)
24
指数形式的傅里叶级数的系数为复数
25
3
b
复数函数集
因为
4
第一节
连续时间周期信号的傅里叶级数 f (t)= f (t +mT) , 周期信号f (t)的定义 m =0,1,2,3... T =2p/W W表示f (t)的角频率傅里叶级数周期信号f (t)在区间(t0, t0+T)内可以展开成在完备正交函数空间中的无穷级数。
完备的正交函数集为三角函数集时称三角形傅里叶级数。完备的正交函数集为指数函数集时称指数形傅里叶级数。

郑君里《信号与系统》(第3版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-第3章傅里叶变换【圣才出品】

表 3-1-4 时域及频域抽样
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2．周期信号和抽样信号的特性（见表 3-1-5）表 3-1-5 周期信号和抽样信号的特性对比
五、雷达测距原理，雷达信号的频谱设雷达的射频脉冲的持续时间为 T0，发送信号的周期为 T1，目标与雷达之间的距离为 d（以 m 为单位），光速为 c，τ 代表往返时间，则有 τ＝2d/c。为考察测距精度质量给出以下两个指标数据：
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台
且 f＝5kHz，得：T＝1/f＝200μs
所以
a0
1 T
T
2 T
2
f (t)dt
1 T
2 2
Edt
T
E
20 10 200
1V
an
2 T1
t0 T1 f (t) cos(nt)dt 2
t0
T
2
E
cos(nt)dt
π
π
3π
3π
其中 ω＝2π/T。
3-2 周期矩形信号如图3-2-2所示。若重复频率 f＝5kHz，脉宽 τ＝20μs，幅度 E＝10V，求直流分量大小以及基波、二次和三次谐波的有效值。
图 3-2-2 解：由图 3-2-2 可知，f（t）为偶函数，其傅里叶级数不含正弦项，因此 bn＝0。
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3.2 课后习题详解
3-1 求图 3-2-1 所示对称周期矩形信号的傅里叶级数（三角形式与指数形式）。
图 3-2-1
解：（1）三角形式
由图 3-2-1 可知，f（t）为奇函数且无直流分量，故有 a0＝an＝0。

信号与系统课件(郑君里版)第3章

1，带宽与脉宽成反比。

3．系统的通频带>信号的带宽，才能不失真
语音信号频率大约为 300~3400Hz，
音乐信号
50~15,000Hz，
扩音器与扬声器有效带宽约为 15~20,000Hz。
29
第三章傅里叶变换
§3.4 傅里叶变换
•傅里叶变换 •傅里叶变换的表示 •傅里叶变换的物理意义 •傅里叶变换存在的条件
26
第三章傅里叶变换
4．总结
T1

谱
线
幅度
间隔
1
2π T1

当T1

，时，1

0，E
T1
为无限小，
f t 由周期信号非周期信号。
矩形脉冲的频谱说明了周期信号频谱的特点：离散性、谐波性、收敛性。
27
第三章傅里叶变换
二．频带宽度 1.问题提出
E F (n1 )
18
第三章傅里叶变换
五．周期信号的功率
P 1 T
T 0
f
2(t)d t
a02

1 2
n1
an2
bn2

a02

1 2

cn2
n1

Fn
n
2
这是帕塞瓦尔定理在傅里叶级数情况下的具体体现;
表明：
周期信号平均功率=直流、基波及各次谐波分量
有效值的平方和；
周期信号频谱具有离散性、谐波性、收敛性。
12
第三章傅里叶变换
频谱图
幅度频谱
cn
c1
cn ~
或
c0
c3

郑君里《信号与系统》(第3版)【教材精讲+考研真题解析】讲义第3章傅里叶变换【圣才出品】

第3章傅里叶变换[视频讲解]3.1本章要点详解本章要点■周期信号的傅里叶级数分析■典型周期信号的傅里叶级数■傅里叶变换■典型非周期信号的傅里叶变换■冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换■傅里叶变换的基本性质■卷积特性■周期信号的傅里叶变换■抽样信号的傅里叶变换■抽样定理重难点导学一、引言傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基础上发展而产生的，这方面的问题又称为傅里叶分析（频域分析）。

频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信号内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的密切关系，从而引出了信号的频谱、带宽以及滤波、调制和频分复用等重要概念。

二、周期信号的傅里叶级数分析1．三角函数形式的傅里叶级数（1）三角函数集是一个完备的正交函数集，其中t 在一个周期内，n ＝0，1，···，∞。

（2）级数形式周期函数()f t 可以由三角函数的线性组合来表示。

若()f t 的周期为1T ，角频率为112T πω=，频率为111f T =，则傅里叶级数展开表达式为0111121210111()cos()sin()cos(2)sin(2)...[cos()sin()]n n n f t a a t b t a t b t a a n t b n t ωωωωωω∞==+++++=++∑其中，直流分量为010011()t T t a f t dt T +=⎰余弦分量的幅度为010112()cos()t T n t a f t n t dt T ω+=⎰正弦分量的幅度为010112()sin()t T n t b f t n t dt T ω+=⎰其中。

（3）其他形式余弦形式为正弦形式为满足狄里赫利条件的周期信号才能进行傅里叶级数展开。

任何周期信号只要满足狄里赫利条件就可以分解成直流分量及许多正弦、余弦分量。

2．指数形式的傅里叶级数（1）复指数正交函数集（2）级数形式（3）系数011011()t T jn t n t F f t e dt T ω+-=⎰3．两种系数之间的关系及频谱图（1）系数关系（2）幅频、相频关系幅频关系相频关系（3）频谱图4．总结（1）周期信号f(t)的傅里叶级数形式有两种：①三角函数形式②指数形式（2）两种频谱图的关系（3）三个性质：收敛性、谐波性、唯一性。

郑君里信号与系统课件

0
1 e L e e ed t 0 α s α s 0
α t α t st

α s t

σ α
st L t t e d t 1 全s域平面收敛
L t t t t e d t e 0 0
T 1 2 T 1 1 2
注意！
傅立叶级数与傅立叶系数的联系与区别
指数形式傅立叶级数的傅里叶系数
jn1t 称为指数形式 f ( t ) Fne 的傅立叶级数 n

1 F (n 1) Fn T 1
T1 2 T 1 2
f (t )e
jn1t
dt , n (,)

L t t te d
st 0
1 st t de s 0
1 1 st 1 e 2 s s 0 s n 2 2 21 2 2 L t L t 2 3 s ss s n 3 3 2 32 6 3 L t L t 3 4 s ss s n! n 所以 L t n1 s
Ee
t ( )2
E e
-(
ut
傅立叶变换特性主要内容
对称性质奇偶虚实性时移特性
线性性质尺度变换性质频移特性
微分性质
时域积分性质
第三章
•时域卷积定理
若 f t F , f t F 1 1 2 2

则 f t f t F F 1 2 1 2

定义：
单边拉氏变换、双边、收敛域、常用函数的拉氏变换
拉氏变换的性质

郑君里信号与系统课件2021精选PPT

F T2π F n1n1
1 fTt的频谱由冲激;序列组成
位: 置 n 1 谐波频率
强:度 2πFn1 与 f(t)的傅立叶数级 F(n 数 1)成相正 ,应
❖ 对称性，线性、尺度变换特性、时移性（符号相同），频移性（符号相反பைடு நூலகம் ❖ 奇偶虚实性、微分特性、积分特性
卷积定理周期信号的傅立叶变换——与单脉冲信号的傅立叶级数的系数的关系抽样信号的傅立叶变换——与抽样脉冲序列的傅氏变换及原连续信号的
傅立叶变换的关系
❖ 抽样定理
时域抽样定理、频域抽样定理——注意2倍关系！！
时域卷积对应频域频谱密度函数乘积。
•频域卷积定理若 f 1 t F 1 , f 2 t F 2 则f1tf2t 2 1 πF 1F 2 时间函数的各乘频积谱函1 数 2π倍卷。积
卷积定理揭示了时间域与频率域的运算关系，在通信系统和信号处理研究领域中得到大量应用。
一般周期信号傅立叶变换的几点认识
特解：rp(t)的函数形式与激励形函式数有关
解方
程双零法零零状输态入::利可用利卷用积经积典分法法求求解
变换域法 : Z变换，在 Z域求解微分方程
经典法:前面电路分析课里已经讨论过，但与(t)有关的问
题有待进一步解决—— h(t)；
卷积法: 任意激励下的零状态响应可通过冲激响应来求。 (新方法)：与冲激函数、阶跃函数的卷积
3. 傅立叶变换对
傅立叶正变换 F() = f(t)ejtdt F [f(t)]
傅立叶反变换
f(t)21
Fejtd=
F-1[F(ω)]
简写 f t F
时域信号
f(t)的频谱