基于小波变换的脑电信号特征提取讲解
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A、具有有限的持续时间和突变的频率和振幅； B、在有限时间范围内平均值为0。
10 重庆邮电大学
二、小波变换
小波的“容许”条件：
用一种数学的语言来定义小波，即满足“容许”条件的一种函数，“容许” 条件
非常重要，它限定了小波变换的可逆性。 () 2
(x) ()
C d
7
重庆邮电大学
二、小波变换
小波变换与傅里叶变换的比较：
小波分析是在傅里叶分析的基础上发展起来的，但小波分析与傅里叶分析存 在着极大的不同，与Fourier变换相比，小波变换是空间（时间）和频率的局部变 换，因而能有效地从信号中提取信息。通过伸缩和平移等运算功能可对函数或信 号进行多尺度的细化分析，解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题。小波变 换联系了应用数学、物理学、计算机科学、信号与信息处理、图像处理、地震勘 探等多个学科。
18 重庆邮电大学
二、小波变换
平移因子对小波的作用：
平移因子使得小波能够沿信号的时间轴实现遍历分析，伸缩因子通过收 缩和伸张小波，使得每次遍历分析实现对不同频率信号的逼近。
19 重庆邮电大学
二、小波变换
连续小波变换的实现过程：
20 重庆邮电大学
二、小波变换
连续小波的逆变换： 如果小波函数满足“容许”条件，那么连续小波变换的逆变换是存在的
15 重庆邮电大学
二、小波变换
关于小波变换有两种典型的概念：连续小波变换，离散小波 变换。
连续小波变换（CWT）：
定义为：
CWTf (a,b) x(t), a,b (t)
R
x(t
)
* a,b
(t
)dt
CWTf (a,b) x(t), a,b (t)
R x(t) a,b (t)dt
基于小波变换的EEG（脑电信号）特征提取
姓名: 学号：
来自百度文库
复旦大学
Contents
一、EEG特点及一般处理流程 二、小波变换 三、基于小波变换的EEG特征提取
2
重庆邮电大学
一、脑电信号特点及一般处理流程 脑电信号特点：
Ø 随机性及非平稳性相当强。人脑是一个庞大而复杂的系统，按生理功能可分为
许多基本环节，这些基本环节的生理活动相互影响、相互渗透地交织在一起，而其中 存在的联系、制约关系及活动规律还没有被我们清楚地认识。因而，脑电信号表现出 明显的随机性，一般不能用数学函数来准确表达，它们的规律主要从大量的统计结果 中反映出来。
4
重庆邮电大学
一、脑电信号特点及一般处理流程 一般处理流程：
脑电信号 BBCCII信信号号采采集集
EEG
特征提取 反馈
特征向量 模式识别分类
控制命令 控制装置
外部设备
采集：各种脑电采集的电极帽。
例如有：ECI 公司的 128 通道 Ag/AgCl 电极帽，还有如图所示 的Emotiv SDK Headset采集帽， 常用采样频率为128Hz。
,
2
fs
L 1
,
fs 2L
,
fs 2L
,
fs 2 L 1
23 重庆邮电大学
三、基于小波变换的EEG特征提取
L
x n AL Dj j 1
式中，L为分解层数，AL为低通逼近分量，Dj为不同尺度下的细节分量。设信 号x (n)的采样频率为fs，则（2）式中的AL、DL、DL-1、…、D1各分量所对应的子 频带依次为
0,
fs 2 L 1
1909: Alfred Haar——发现了Haar小波。 1980：Morlet——Morlet小波，并分别与20世纪70年代提出了小波变换的概念，
20世纪80年代开发出了连续小波变换CWT（ continuous wavelet transform ） 1986：Y.Meyer——提出了第一个正交小波Meyer小波 1988： Stephane Mallat——Mallat快速算法（塔式分解和重构算法）
设x (n)表示实验采集的EEG离散信号，则x(n)的离散小波变换定义为：
Cj,k 2 j 2 xn j,k 2 j n k x n, j,k , j, k Z n
其中 为小波基函数，j、k分别代表频率分辨率和时间平移量。采用 Mallat算法，对信号进行有限层分解，即
m
DWTx(m, n) x(t), m,n (t) 2 2
x(t) (2m t n)dt
R
离散小波变换的可逆问题——框架理论
DWT的可逆问题蕴含的是DWT的表达能够完整的表达待分析信号的全部信 息，这就需要数学上的框架理论作为支撑了，如果对于所有的待分析信号满足 框架条件，那么DWT就是可逆的
幅度 尺度
时间
小 波 变 换
时间
12 重庆邮电大学
二、小波变换
小波变换的定义：
小波变换是一种信号的时间——尺度（时间——频率）分析方法，它具有多 分辨分析的特点，而且在时频两域都具有表征信号局部特征的能力，是一种窗口 大小固定不变但其形状可改变，时间窗和频率窗都可以改变的时频局部化分析方 法。即在低频部分具有较低的时间分辨率和较高的频率分辨率，在高频部分具有 较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，很适合于分析非平稳的信号和提取信号 的局部特征，所以小波变换被誉为分析处理信号的显微镜。在处理分析信号时， 小波变换具有对信号的自适应性，也是一种优于傅里叶变换和窗口傅里叶变换的 信号处理方法。
3
重庆邮电大学
一、脑电信号特点及一般处理流程
频率低。脑电信号是低频率的慢变信号，通常频率范围0.5—100Hz。 根据频率可把脑电信号分为以下几个基本节律：
δ波：频率：0.5~4Hz，振幅：20~200μV。 θ波：频率：4~7Hz，振幅：20~150μV。 α 波：频率：8~13Hz，振幅：20~100μV。 β 波：频率：14~30Hz，振幅：5~20μV。 γ波：频率：30~45Hz，振幅：一般不超过30μV。
（2）克服第二个不足：由于小波函数具有紧支撑的性质即某一区间外为零。 这样在求各频率水平不同时刻的小波系数时，只用到该时刻附近的局部信息。从 而克服了上面所述的第二个不足。
（3）克服第三个不足：通过与加窗傅立叶变换的“时间—频率窗”的相似分 析，可得到小波变换的“时间—频率窗”的笛卡儿积。小波变换的“时间--频率
morlet---a=1 1
0
0
-1
-1
0
2
4
6
8
-10 -5
0
5 10
sin(2t)---a=1/2 1
morlet---a=1/2 1
0
0
-1
-1
0
2
4
6
8
-10 -5
0
5 10
sin(4t)---a=1/4 1
morlet---a=1/4 1
0
0
-1
-1
0
2
4
6
8
-10 -5
0
5 10
时间 t
A x(t) 2 x(t), m,n (t) 2 B x(t) 2
m,n
x(t) Cm,n m,n (t) nZ
A, B R
22
重庆邮电大学
三、基于小波变换的EEG特征提取
人在想象单侧手运动时，其对侧相应初级感觉运动皮层区的脑电μ 节律 （8~12Hz）和β 节律（14~30Hz）节律幅值降低，这种现象称为事件相关去同 步（event-related desynchronization, ERD）；而同侧脑电μ 节律和β 节律 幅度升高，称为事件相关同步（event—related synchronization，ERS）。 根据这一特征，可使用μ 节律和β 节律来分析左右手运动想象脑电信号。而小 波变换能把信号的整个频带划分为多个子频带，因此可使用小波变换来分析左 右运动想象脑电信号。为了减少特征向量的维数，本次仅分析β 节律。
13 重庆邮电大学
二、小波变换
小波变换原理：
小波变换的含义是把某一被称为基本小波（mother wavelet）的函数作位移τ再 在不同尺度α下，与待分析信号X(t)左内积，即
WT （a, ）=
1
t t
x(t) ( )dt
x
a
a
式中，α>0，称为尺度因子，其作用是对基本小波Φ（t）函数作伸缩，τ反映 位移，其值可正可负，α和τ都是连续变量，故又称为连续小波变换（continue wavelet transform， 简称CWT）。在不同尺度下小波的持续时间随值的加大而增 宽，幅度则与反比减少，但波的形式保持不变。
傅里叶闭环具有一定的局限性。 用傅立叶变换提取信号的频谱需要利用信号的全部时域信息。 傅立叶变换没有反映出随着时间的变化信号频率成分的变化情况。 傅立叶变换的积分作用平滑了非平稳信号的突变成分。
由于上述原因，必须进一步改进，克服上述不足，这就导致了小波分析。
8
重庆邮电大学
二、小波变换
（1）克服第一个不足：小波系数不仅像傅立叶系数那样，是随频率不同而变 化的，而且对于同一个频率指标j， 在不同时刻 k，小波系数也是不同的。
傅里叶分析是将信号分解成一系列不同频率的正弦波的叠加，同样小波分析 是将信号分解为一系列小波函数的叠加，而这些小波函数都是由一个母小波函数 经过平移和尺度伸缩得来的。
14 重庆邮电大学
二、小波变换
可以这样；理解小波变换的含义：打个比喻，我们用镜头观察目标信 号 f（t），Φ（t）代表镜头所起的变化，b相当于使镜头相对于目标平行移 动（代表时域的变化），a的作用相当于镜头向目标推进或远离（代表频域 的变化）。由此可见，小波变换有以下特点： Ø 多尺度/多分辨率的特点，可以由粗及细地处理信号。 Ø 可以看成用基本频率特性为的带通滤波器在不同尺度a下对信号做滤波。 Ø 适当地选择小波，使ψ（t）在时域上为有限支撑，在频域上也比较集中， 就可以使WT在时、频域都具有表证信号局部特征的能力。
x(t)
a
1
2
(t
b
)dt
R
a
可见，连续小波变换的结果可以表示为平移因子a和伸缩因子b的函数
16 重庆邮电大学
二、小波变换
FT
信号
连续正弦波或余弦波
傅立叶分解过程
CWT
信号
不同尺度和平移因子的小波
小波分解过程
17 重庆邮电大学
二、小波变换
伸缩因子对小波的作用：
幅度 A
sin(t)---a=1 1
x(t) 1
C
0
CWTf
(a,
b)
a,b
(t
)
1 a2
dtda
1
CWTf
(a, b)
a
1
2
(t
b)
1
dtda
C 0
a a2
21 重庆邮电大学
二、小波变换
离散小波变换（DWT）：
定义为：对尺度参数按幂级数进行离散化处理，对时间进行均匀离散取 值（要求采样率满足尼奎斯特采样定理）
5
重庆邮电大学
一、脑电信号特点及一般处理流程
小波变换
CSP AR 特征提取的主要方法（滤波器）： AAR FFT HHT
LDA SVM 模式分类的主要方法（分类器）： BP人工神经网络 贝叶斯分类法
最后，将分类好的EEG信号以指令形式用于控制外部设备。
6
重庆邮电大学
二、小波变换
小波发展史：
小波变换是近十几年新发展起来的一种数学工具,是继一百多年前的傅里叶 (Fourier)分析之后的又一个重大突破,它对无论是古老的自然学科还是新兴的高 新应用技术学科均产生了强烈的冲击。
窗” 的宽度，检测高频信号时变窄，检测低频信号时变宽。这正是时间--频率分析所 希望的。根据小波变换的 “时间—频率窗” 的宽度可变的特点，为了克服上面
所 述的第三个不足，只要不同时检测高频与低频信息，问题就迎刃而解了。
9
重庆邮电大学
二、小波变换
小波是什么？
小波可以简单的描述为一种函数，这种函数在有限时间范围内变化，并且平 均值为0。这种定性的描述意味着小波具有两种性质:
小波本身是紧支撑的，即只有小的局部非零定义域，在窗口之外函数为零； 本身是振荡的，具有波的性质，并且完全不含有直流趋势成分，即满足
(0) (x)dx 0
11 重庆邮电大学
二、小波变换
为什么选择小波：
小波提供了一种非平稳信号的时间-尺度分析手段，不同于FT方法，与STFT方 法比较具有更为明显的优势
Ø 脑电信号具有非线性。脑电信号是大脑中各种神经元之间相互作用的信号的复杂
组合，组合的非线性导致脑电信号具有非线性的特点。
Ø 信噪比低。在维持正常生理活动的条件下，生物体的各个基本系统之间存在着有机
的联系，因而在脑电信号中存在着严重的背景噪声，而且噪声常常超过信号，导致信 噪比很低。
Ø 信号微弱。人体脑电信号的强度很微弱，一般在微、毫伏级。
10 重庆邮电大学
二、小波变换
小波的“容许”条件：
用一种数学的语言来定义小波，即满足“容许”条件的一种函数，“容许” 条件
非常重要，它限定了小波变换的可逆性。 () 2
(x) ()
C d
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二、小波变换
小波变换与傅里叶变换的比较：
小波分析是在傅里叶分析的基础上发展起来的，但小波分析与傅里叶分析存 在着极大的不同，与Fourier变换相比，小波变换是空间（时间）和频率的局部变 换，因而能有效地从信号中提取信息。通过伸缩和平移等运算功能可对函数或信 号进行多尺度的细化分析，解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题。小波变 换联系了应用数学、物理学、计算机科学、信号与信息处理、图像处理、地震勘 探等多个学科。
18 重庆邮电大学
二、小波变换
平移因子对小波的作用：
平移因子使得小波能够沿信号的时间轴实现遍历分析，伸缩因子通过收 缩和伸张小波，使得每次遍历分析实现对不同频率信号的逼近。
19 重庆邮电大学
二、小波变换
连续小波变换的实现过程：
20 重庆邮电大学
二、小波变换
连续小波的逆变换： 如果小波函数满足“容许”条件，那么连续小波变换的逆变换是存在的
15 重庆邮电大学
二、小波变换
关于小波变换有两种典型的概念：连续小波变换，离散小波 变换。
连续小波变换（CWT）：
定义为：
CWTf (a,b) x(t), a,b (t)
R
x(t
)
* a,b
(t
)dt
CWTf (a,b) x(t), a,b (t)
R x(t) a,b (t)dt
基于小波变换的EEG（脑电信号）特征提取
姓名: 学号：
来自百度文库
复旦大学
Contents
一、EEG特点及一般处理流程 二、小波变换 三、基于小波变换的EEG特征提取
2
重庆邮电大学
一、脑电信号特点及一般处理流程 脑电信号特点：
Ø 随机性及非平稳性相当强。人脑是一个庞大而复杂的系统，按生理功能可分为
许多基本环节，这些基本环节的生理活动相互影响、相互渗透地交织在一起，而其中 存在的联系、制约关系及活动规律还没有被我们清楚地认识。因而，脑电信号表现出 明显的随机性，一般不能用数学函数来准确表达，它们的规律主要从大量的统计结果 中反映出来。
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一、脑电信号特点及一般处理流程 一般处理流程：
脑电信号 BBCCII信信号号采采集集
EEG
特征提取 反馈
特征向量 模式识别分类
控制命令 控制装置
外部设备
采集：各种脑电采集的电极帽。
例如有：ECI 公司的 128 通道 Ag/AgCl 电极帽，还有如图所示 的Emotiv SDK Headset采集帽， 常用采样频率为128Hz。
,
2
fs
L 1
,
fs 2L
,
fs 2L
,
fs 2 L 1
23 重庆邮电大学
三、基于小波变换的EEG特征提取
L
x n AL Dj j 1
式中，L为分解层数，AL为低通逼近分量，Dj为不同尺度下的细节分量。设信 号x (n)的采样频率为fs，则（2）式中的AL、DL、DL-1、…、D1各分量所对应的子 频带依次为
0,
fs 2 L 1
1909: Alfred Haar——发现了Haar小波。 1980：Morlet——Morlet小波，并分别与20世纪70年代提出了小波变换的概念，
20世纪80年代开发出了连续小波变换CWT（ continuous wavelet transform ） 1986：Y.Meyer——提出了第一个正交小波Meyer小波 1988： Stephane Mallat——Mallat快速算法（塔式分解和重构算法）
设x (n)表示实验采集的EEG离散信号，则x(n)的离散小波变换定义为：
Cj,k 2 j 2 xn j,k 2 j n k x n, j,k , j, k Z n
其中 为小波基函数，j、k分别代表频率分辨率和时间平移量。采用 Mallat算法，对信号进行有限层分解，即
m
DWTx(m, n) x(t), m,n (t) 2 2
x(t) (2m t n)dt
R
离散小波变换的可逆问题——框架理论
DWT的可逆问题蕴含的是DWT的表达能够完整的表达待分析信号的全部信 息，这就需要数学上的框架理论作为支撑了，如果对于所有的待分析信号满足 框架条件，那么DWT就是可逆的
幅度 尺度
时间
小 波 变 换
时间
12 重庆邮电大学
二、小波变换
小波变换的定义：
小波变换是一种信号的时间——尺度（时间——频率）分析方法，它具有多 分辨分析的特点，而且在时频两域都具有表征信号局部特征的能力，是一种窗口 大小固定不变但其形状可改变，时间窗和频率窗都可以改变的时频局部化分析方 法。即在低频部分具有较低的时间分辨率和较高的频率分辨率，在高频部分具有 较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，很适合于分析非平稳的信号和提取信号 的局部特征，所以小波变换被誉为分析处理信号的显微镜。在处理分析信号时， 小波变换具有对信号的自适应性，也是一种优于傅里叶变换和窗口傅里叶变换的 信号处理方法。
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一、脑电信号特点及一般处理流程
频率低。脑电信号是低频率的慢变信号，通常频率范围0.5—100Hz。 根据频率可把脑电信号分为以下几个基本节律：
δ波：频率：0.5~4Hz，振幅：20~200μV。 θ波：频率：4~7Hz，振幅：20~150μV。 α 波：频率：8~13Hz，振幅：20~100μV。 β 波：频率：14~30Hz，振幅：5~20μV。 γ波：频率：30~45Hz，振幅：一般不超过30μV。
（2）克服第二个不足：由于小波函数具有紧支撑的性质即某一区间外为零。 这样在求各频率水平不同时刻的小波系数时，只用到该时刻附近的局部信息。从 而克服了上面所述的第二个不足。
（3）克服第三个不足：通过与加窗傅立叶变换的“时间—频率窗”的相似分 析，可得到小波变换的“时间—频率窗”的笛卡儿积。小波变换的“时间--频率
morlet---a=1 1
0
0
-1
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0
2
4
6
8
-10 -5
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5 10
sin(2t)---a=1/2 1
morlet---a=1/2 1
0
0
-1
-1
0
2
4
6
8
-10 -5
0
5 10
sin(4t)---a=1/4 1
morlet---a=1/4 1
0
0
-1
-1
0
2
4
6
8
-10 -5
0
5 10
时间 t
A x(t) 2 x(t), m,n (t) 2 B x(t) 2
m,n
x(t) Cm,n m,n (t) nZ
A, B R
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三、基于小波变换的EEG特征提取
人在想象单侧手运动时，其对侧相应初级感觉运动皮层区的脑电μ 节律 （8~12Hz）和β 节律（14~30Hz）节律幅值降低，这种现象称为事件相关去同 步（event-related desynchronization, ERD）；而同侧脑电μ 节律和β 节律 幅度升高，称为事件相关同步（event—related synchronization，ERS）。 根据这一特征，可使用μ 节律和β 节律来分析左右手运动想象脑电信号。而小 波变换能把信号的整个频带划分为多个子频带，因此可使用小波变换来分析左 右运动想象脑电信号。为了减少特征向量的维数，本次仅分析β 节律。
13 重庆邮电大学
二、小波变换
小波变换原理：
小波变换的含义是把某一被称为基本小波（mother wavelet）的函数作位移τ再 在不同尺度α下，与待分析信号X(t)左内积，即
WT （a, ）=
1
t t
x(t) ( )dt
x
a
a
式中，α>0，称为尺度因子，其作用是对基本小波Φ（t）函数作伸缩，τ反映 位移，其值可正可负，α和τ都是连续变量，故又称为连续小波变换（continue wavelet transform， 简称CWT）。在不同尺度下小波的持续时间随值的加大而增 宽，幅度则与反比减少，但波的形式保持不变。
傅里叶闭环具有一定的局限性。 用傅立叶变换提取信号的频谱需要利用信号的全部时域信息。 傅立叶变换没有反映出随着时间的变化信号频率成分的变化情况。 傅立叶变换的积分作用平滑了非平稳信号的突变成分。
由于上述原因，必须进一步改进，克服上述不足，这就导致了小波分析。
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二、小波变换
（1）克服第一个不足：小波系数不仅像傅立叶系数那样，是随频率不同而变 化的，而且对于同一个频率指标j， 在不同时刻 k，小波系数也是不同的。
傅里叶分析是将信号分解成一系列不同频率的正弦波的叠加，同样小波分析 是将信号分解为一系列小波函数的叠加，而这些小波函数都是由一个母小波函数 经过平移和尺度伸缩得来的。
14 重庆邮电大学
二、小波变换
可以这样；理解小波变换的含义：打个比喻，我们用镜头观察目标信 号 f（t），Φ（t）代表镜头所起的变化，b相当于使镜头相对于目标平行移 动（代表时域的变化），a的作用相当于镜头向目标推进或远离（代表频域 的变化）。由此可见，小波变换有以下特点： Ø 多尺度/多分辨率的特点，可以由粗及细地处理信号。 Ø 可以看成用基本频率特性为的带通滤波器在不同尺度a下对信号做滤波。 Ø 适当地选择小波，使ψ（t）在时域上为有限支撑，在频域上也比较集中， 就可以使WT在时、频域都具有表证信号局部特征的能力。
x(t)
a
1
2
(t
b
)dt
R
a
可见，连续小波变换的结果可以表示为平移因子a和伸缩因子b的函数
16 重庆邮电大学
二、小波变换
FT
信号
连续正弦波或余弦波
傅立叶分解过程
CWT
信号
不同尺度和平移因子的小波
小波分解过程
17 重庆邮电大学
二、小波变换
伸缩因子对小波的作用：
幅度 A
sin(t)---a=1 1
x(t) 1
C
0
CWTf
(a,
b)
a,b
(t
)
1 a2
dtda
1
CWTf
(a, b)
a
1
2
(t
b)
1
dtda
C 0
a a2
21 重庆邮电大学
二、小波变换
离散小波变换（DWT）：
定义为：对尺度参数按幂级数进行离散化处理，对时间进行均匀离散取 值（要求采样率满足尼奎斯特采样定理）
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一、脑电信号特点及一般处理流程
小波变换
CSP AR 特征提取的主要方法（滤波器）： AAR FFT HHT
LDA SVM 模式分类的主要方法（分类器）： BP人工神经网络 贝叶斯分类法
最后，将分类好的EEG信号以指令形式用于控制外部设备。
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二、小波变换
小波发展史：
小波变换是近十几年新发展起来的一种数学工具,是继一百多年前的傅里叶 (Fourier)分析之后的又一个重大突破,它对无论是古老的自然学科还是新兴的高 新应用技术学科均产生了强烈的冲击。
窗” 的宽度，检测高频信号时变窄，检测低频信号时变宽。这正是时间--频率分析所 希望的。根据小波变换的 “时间—频率窗” 的宽度可变的特点，为了克服上面
所 述的第三个不足，只要不同时检测高频与低频信息，问题就迎刃而解了。
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二、小波变换
小波是什么？
小波可以简单的描述为一种函数，这种函数在有限时间范围内变化，并且平 均值为0。这种定性的描述意味着小波具有两种性质:
小波本身是紧支撑的，即只有小的局部非零定义域，在窗口之外函数为零； 本身是振荡的，具有波的性质，并且完全不含有直流趋势成分，即满足
(0) (x)dx 0
11 重庆邮电大学
二、小波变换
为什么选择小波：
小波提供了一种非平稳信号的时间-尺度分析手段，不同于FT方法，与STFT方 法比较具有更为明显的优势
Ø 脑电信号具有非线性。脑电信号是大脑中各种神经元之间相互作用的信号的复杂
组合，组合的非线性导致脑电信号具有非线性的特点。
Ø 信噪比低。在维持正常生理活动的条件下，生物体的各个基本系统之间存在着有机
的联系，因而在脑电信号中存在着严重的背景噪声，而且噪声常常超过信号，导致信 噪比很低。
Ø 信号微弱。人体脑电信号的强度很微弱，一般在微、毫伏级。