《高数》下第十一章练习题

第十一章 曲线积分与曲面积分

习题 11-1

1.设在xOy 面内有一分布着质量的曲线弧L ，在点（x,y ）处它的线密度为μ（x,y ）。用对弧长的曲线积分分别表达：

（1）这曲线弧对x 轴,对y 轴的转动惯量x I ,y I

（2）这曲线弧的质心坐标x ,y

2.利用对弧长的曲线积分的定义证明性质3

3.计算下列对弧长的曲线积分：

（1）22(x y )n

L ds +⎰Ñ

，其中L 为圆周x cos t,y sin (0t 2)a a t π==≤≤ （2）

(x y)ds L

+⎰，其中L 为连接（1,0）及（0,1）两点的直线段

（3）x L

ds ⎰Ñ

，其中L 为由直线y=x 及抛物线2

y x =所围成的区域的整个边界

（4）L

⎰Ñ

，其中L 为圆周222x y a +=，直线y=x 及x 轴在第一象限内所围成的扇

形的整个边界

（5）2221ds x y z Γ++⎰，其中Γ为曲线cos ,sin ,t t t

x e t y e t z e ===上相应于t 从0变到2

的这段弧 （6）

2x yzds Γ

⎰，其中Γ为折线ABCD ，这里A,B,C,D 依次为点（0,0,0），（0,0,2），（1,0,2），（1,3,2） （7）

2L

y ds ⎰

，，其中L 为摆线的一拱(t sin ),y (1cos )(0t 2)x a t a t π=-=-≤≤

（8）2

2(x

)ds L y +⎰，其中L 为曲线(cos sin ),y (sin cos )(0t 2)x a t t t a t t t π=+=-≤≤

4.求半径为ａ，中心角为2ϕ的均匀圆弧（线密度1μ=）的质心

5.设螺旋形弹簧一圈的方程为cos ,sin ,x a t y a t z kt ===，其中02t π≤≤，它的线密度

222(x,y,z)x y z ρ=++．求： （１）它关于ｚ轴的转动惯量z I

（２）它的质心。

习题 11-2

1.设L 为xOy 面内直线x a =上的一段，证明：

(x,y)dx 0

L

P =⎰

2.设L 为xOy 面内x 轴上从点（a,0）到点（b,0）的一段直线，证明：

(x,y)dx (x,0)dx

b

L

a

P P =⎰

⎰

3.计算下列对坐标的积分： （1）

22(x y )L

dx

-⎰

，其中L 是抛物线

2y x =上从点（0,0）到点（2,4）的一段弧

（2）L

xydx ⎰Ñ

，其中L 为圆周

222

(x )a a y a -+=（>0）及x 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界（按逆时针方向绕行） （3）

L

ydx xdy

+⎰

，其中L 为圆周

cos ,sin x R t y R t ==上对应t 从0到

2π

的一段弧

（4）22(x y)dx (x y)dy L x y +--+⎰，其中L 为圆周

222

+y x a =（按逆时针方向绕行） （5）2x dx zdy ydz

Γ

+-⎰

，其中

Γ为曲线cos ,sin x k y a z a θ,θθ===上对应θ从0到π

的一段弧 （6）(x y 1)dz

xdx ydy Γ

+++-⎰

，其中

Γ是从点（1,1,1）到点（2,3,4）的一段直线

（7）

+y dx dy dz Γ

-⎰Ñ，其中Γ为有向闭折线

ABCD ，这里的A,B,C 依次为点

(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) （8）

22(x 2xy)dx (y 2xy)dy

L

-+-⎰

，其中L 是抛物线

2y x =上从点（-1,1）到点（1,1）

的一段弧 4.计算

(x y)dx (y x)dy L

++-⎰，其中L 是：

（1）抛物线

2

y x =上从点（1,1）到点（4,2）的一段弧

（2）从点（1,1）到点（4,2）的直线段 （3）先沿直线从点（1,1）到点（1,2），然后再沿直线到点（4,2）的折线

（4）曲线

22

21,1x t t y t =++=+上从点（1,1）到点（4,2）的一段弧 5.一力场由沿横轴正方向的恒力F 所构成，试求当一质量为m 的质点沿圆周222

x y R +=按

逆时针方向移过位于第一象限的那一段弧时场力所做的功

6.设z 轴与动力的方向一致，求质量为m 的质点从位置（x,y,z ）沿直线移到（x,y,z ）时重力

所做的功

7.把对坐标的曲线积分

(x,y)dx Q(x,y)dy

L

P +⎰

化成对弧长的积分曲线，其中L 为：

（1）在xOy 面内沿直线从点（0,0）到点（1,1）

（2）沿抛物线2

y x =从点（0,0）到点（1,1）

（3）沿上半圆周

222x y x +=从点（0,0）到点（1,1） 8.设

Γ为曲线23,,x t y t z t ===上相应于t 从0变到1的曲线弧，把对坐标的曲线积分Pdx Qdy Rdz

Γ

++⎰

化成对弧长的曲线积分

习题 11-3

1.计算下列曲线积分，并验证格林公式的正确性：

（1）2

2(2xy x )dx (x y )dy

L

-++⎰Ñ

，其中L 是由抛物线

2y x =和2y x =所围成的区域的

正向边界曲线

（2）222(x xy )dx (y 2xy)dy L

-+-⎰Ñ

，其中L 是四个顶点分别为（0,0），（2,0），（2,2），（0,2）

的正方形区域的正想边界

2.利用曲线积分，求下列曲线所围成的图形的面积 （1）星形线

33cos ,sin x a t y a t ==

（2）椭圆

229+16y 144x = （3）圆22

2x y ax +=

3.计算曲线积分22ydx 2(x y )L xdy

-+⎰Ñ

，其中L 为圆周

22(x 1)2y -+=，L 的方向为逆时针方向 4.证明下列曲线积分在整个xOy 面内与路径无关，并计算积分值

（1）

(2,3)

(1,1)(x y)dx (x y)dy

++-⎰

（2）

(3,4)

2322(1,2)

(6xy y )dx (63)dy

x y xy -+-⎰