第6章 数理统计的基本概念1内容框图

第6章 数理统计的基本概念6.1 内容框图6.2 基本要求（1） 理解总体、样本及统计量的概念，并熟练掌握常用统计量的公式.（2） 掌握矩法估计和极大似然估计的求法，以及估计无偏性、有效性的判断. （3） 掌握三大抽样分布定义，并记住其概率密度的形状.（4） 理解并掌握有关正态总体统计量分布的几个结论，如定理6.4~6.9及定理6.11.6.3 内容概要1) 总体与样本在数理统计中，我们把作为统计研究对象的随机变量称为总体，记为 ξ，η，… 。

对总体进行 n 次试验后所得到的结果，称为样本，记为（n X X X ,,,21Λ），（n Y Y Y ,,,21Λ），……，其中，试验次数 n 称为样本容量。

样本（n X X X ,,,21Λ）中的每一个 i X 都是随机变量。

样本所取的一组具体的数值，称为样本观测值，记为（n x x x ,,,21Λ） 。

具有性质：（1）独立性，即 n X X X ,,,21Λ 相互独立。

（2）同分布性，即每一个 i X 都与总体 ξ 服从相同的分布。

称为简单随机样本 。

如果总体 ξ 是离散型随机变量，概率分布为 }{k P =ξ，那么样本（n X X X ,,,21Λ）的联合概率分布为∏∏=========ni i ni i in n x P x XP x X x X x X P 112211}{}{},,,{ξΛ。

如果总体 ξ 是连续型随机变量，概率密度为 )(x ϕ，那么样本（n X X X ,,,21Λ）的联合概率密度为 ∏∏====ni i ni i X n x x x x x i1121)()(),,,(*ϕϕϕΛ 。

如果总体 ξ 的分布函数为 )(x F ，那么样本（n X X X ,,,21Λ）的联合分布函数为∏∏====ni i n i i X n x F x F x x x F i 1121)()(),,,(*Λ 。

2)用样本估计总体的分布数理统计的一个主要任务，就是要用样本估计总体的分布。

参数估计又可以分为两种，一种是点估计，另一种是区间估计。

3) 矩法估计求矩法估计的步骤为：（1）计算总体分布的矩),,,()(21m k kf E θθθξΛ=，m k ,,2,1Λ=，计算到m 阶矩为止（m 是总体分布中未知参数的个数）。

（2）列方程⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧======∧∧∧m m m m m m XE f X E f X E f )()ˆ,,ˆ,ˆ()()ˆ,,ˆ,ˆ()ˆ,,ˆ,ˆ(2122212211ξθθθξθθθξθθθΛΛΛΛΛ 从方程中解出mθθθˆ,,ˆ,ˆ21Λ，它们就是未知参数m θθθ,,,21Λ的矩法估计。

4) 极大似然估计求极大似然估计的步骤为：（1）写出似然函数L 的表达式。

如果总体ξ是离散型随机变量，概率分布为 }{k P =ξ，那么 ∏===ni ix P L 1}{ξ；如果总体ξ是连续型随机变量，概率密度为 )(x ϕ，那么 ∏==ni ix L 1)(ϕ。

（2）在m θθθ,,,21Λ的取值范围Θ内，求出使得似然函数L 达到最大的参数估计值m θθθˆ,,ˆ,ˆ21Λ，它们就是未知参数的极大似然估计。

通常的做法是，先取对数 L ln （因为当 L ln 达到最大时，L 也达到最大）。

然后令 L ln 关于m θθθ,,,21Λ的偏导数等于0，得到方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂0ln 0ln 1mLLθθΛΛ 由此可见，如果上面这个方程组在 Θ 内有唯一解 mθθθˆ,,ˆ,ˆ21Λ，所以，按照极大似然估计的定义，mθθθˆ,,ˆ,ˆ21Λ 就是未知参数 m θθθ,,,21Λ 的极大似然估计。

5) 衡量点估计好坏的标准定理 设总体 ξ 的数学期望 ξE 和方差 ξD 都存在，（n X X X ,...,,21）是 ξ 的样本，X 是样本均值，2S 是样本方差，则有（1）ξE X E = ； （2）n D X D ξ=； （3）ξD nn S E 1)(2-=。

衡量点估计的好坏标准：(1) 无偏性定义6.1 设θˆ是参数θ的估计，如果有 θθ=ˆE ，则称θˆ是θ的无偏估计。

（2） 有效性定义6.2 设1ˆθ ，2ˆθ都是参数θ的无偏估计，如果有 )ˆ()ˆ(21θθD D ≤ ，则称 1ˆθ 比2ˆθ 有效。

（3）相合性（一致性）定义6.3 设θˆ是参数θ的估计，n 是样本容量，如果任何0>ε，都有 1}ˆ{lim =<-∞→εθθP n ， 则称θˆ是θ的相合估计（一致估计）。

可以证明，矩法估计都是相合估计。

除了极个别的例外，极大似然估计也都是相合估计。

6) 数理统计中几个常用的分布2χ 分布定义6.4 若有n X X X ,...,,21相互独立，i X ～)1,0(N ，n i ,,2,1Λ=，则称 ∑=ni iX12所服从的分布为自由度是 n 的 2χ 分布，记为 )(2n χ 。

2χ 分布的概率密度为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>Γ=--000)2(21)(2122x x e x n x x n nϕ2χ 分布的图象见图6-2 。

定理 如果有 ξ～)(2m χ，η～)(2n χ，相互独立，则 ηξ+～)(2n m +χ。

即2χ分布具有可加性。

图6-2 2χ布的概率密度t 分布定义 若有ξ～)1,0(N ，η～)(2n χ，相互独立，则称nηξ所服从的分布为自由度是 n 的 t 分布，记为)(n t 。

t 分布的概率密度为212)1()2()21()(+-+Γ+Γ=n n x n n n x πϕ 。

t 分布的图象见图6-3 。

F 分布定义 若有 ξ～)(2m χ，η～)(2n χ，相互独立，则称nmηξ 所服从的分布为自由度是 ),(n m 的 F 分布，记为 ),(n m F 。

F 分布的概率密度为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤>+ΓΓ+Γ=+-000)()2()2()2()(21222x x n mx x n m n mn m x nm m n m ϕF 分布概率密度的图象见图6-4 。

定理 如果 F ～),(n m F ，则必有F1～),(m n F 。

三大抽样分布三大抽样分布的严格定义见定义6.4, 6.5，6.6，构造性定义可简示如下：()()()2220,1...0,1~N N n χ++()~t n()()()22/~,/m m F m n n nχχ其中F 代表分布F 对应的随机变量.7) 正态总体统计量的分布定理 设（n X X X ,,,21Λ）是总体ξ～),(2σμN 的样本，X 是样本均值，则有X ～),(2nN σμ ，即有n X σμ-～)1,0(N 。

定理 设（n X X X ,,,21Λ）是总体 ξ～),(2σμN 的样本，X 是样本均值，2S 是样本方差，则有 （1）X 与2S 相互独立 ； （2）22σnS ～)1(2-n χ 。

定理 设（n X X X ,,,21Λ）是总体 ξ～),(2σμN 的样本，X 是样本均值，*S 是修正样本标准差，则有n S X *μ-～)1(-n t 。

定理 设 （m X X X ,,,21Λ）是总体 ξ～),(211σμN 的样本，（n Y Y Y ,,,21Λ）是总体 η～),(222σμN 的样本，两个样本相互独立，X ，Y 是 ξ，η 的样本均值，则有nmY X 222121)()(σσμμ+---～)1,0(N 。

定理 设 （m X X X ,,,21Λ）是总体 ξ～),(211σμN 的样本，（n Y Y Y ,,,21Λ）是总体 η～),(222σμN 的样本，其中 21σσ= ，两个样本相互独立，X ，Y 是 ξ，η 的样本均值，2x S ，2y S 是 ξ，η 的样本方差，则有nm S Y X w11)()(21+---μμ～)2(-+n m t ，其中，222-++=n m nS mS S yx w 。

总体,ξη为正态分布，()1,...,m X X 与()1,...,n Y Y 分别为其样本时，几个重要结论及关系：6.4 自测题六一、 判断题（正确用“+”，错误用“-”）1. 无论总体ξ服从什么分布，只要总体的期望和方差存在，当样本容量很大时，样本均值X 都近似服从正态分布.（ ）2. 参数θ的矩法估计一定是θ的无偏估计.（ ）3. 从一批零件中有放回地取5个，结果发现前2个是次品，后3个为正品，则这批零件的次品率p 的矩法估计值为25.（ ）4. 设总体ξ服从参数为λ普阿松分布，()12,,...,n X X X 为取自总体的样本，则参数λ的极大似然估计是无偏的.（ ）5. 设ξ()2~,N μσ,则2ξμσ-⎛⎫ ⎪⎝⎭服从2χ分布.（ ） 6. 设总体ξ()2~,Nμσ,()12,X X 为取自总体的样本，则()12~1,1||X F X μμ--.（ ）7. 设()12,,...,n X X X 为取自总体ξ()2~,Nμσ的样本，X 为样本均值，*S为样本修正标准差，则()2*~1,X n F n S μ⎛⎫- ⎪⎝⎭.( ) 8. 设总体ξ()2~,Nμσ,X 和*2S 分别为其样本的均值与修正方差，则对任意常数α,()2*ˆ1aX a S μ=+-都是μ的无偏估计.（ ） 9. 设总体ξ()~0,1N ,X 为样本()12,,...,n X X X 的均值，则()()212~1,1X F .( )10. 设总体ξ服从参数为λ的指数分布，X 为样本均值，则λ的矩法估计和极大似然估计都是1X.（ ）二、 选择题1. 设()12,,...,n X X X 是总体ξ的样本，ξ()2~,N μσ,其中2,μσ均未知，下列表达式中只有（ ）是统计量.（A ）11n i i X n μ=-∑ （B ）11nii Xσ=∑（C ）211n i i X n =∑ （D ）()2211ni i Xμσ=-∑2. 设()12,,...,n X X X 是取自总体ξ()2~0,N σ的样本，可以作为2σ的无偏估计的统计量是（ ）.（A ）211n i i X n =∑ （B ）2111n i i X n =-∑ （C ）11n i i X n =∑ （D ）111ni i X n =-∑3. 设总体ξ()2~,Nμσ,()12,X X 是其样本，下列4个μ的无偏估计中，最有效的是（ ）.（A ）112ˆ0.20.8X X μ=+ (B) 212ˆ0.40.6X X μ=+ (C) 312ˆ0.70.3X X μ=+ (D) 412ˆ0.90.1X X μ=+ 4. 设随机变量1X 和2X 都服从标准正态分布，则（ ）.（A) 2212X X +服从2χ分布 （B ）2212X X -服从2χ分布 （C ）2212/X X 服从F 分布 （D ）21X 和22X 都服从2χ分布5. 设总体ξ()2~0,N σ,()1234,,,X X X X 为ξ的样本，则下式中服从t(2)分布的统计量是（ ）. （A（B（C(D)X X +6. 设随机变量ξ()211~,Nμσ,()222~,N ημσ,且ξ与η相互独立，而()12,,...,mX X X ，()12,,...,n Y Y Y 分别为ξ和η的样本，则有（ ）.（A) ()221212~,X Y N μμσσ-++ (B) 221212~,X Y N m n σσμμ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭(C) 221212~,X Y N m n σσμμ⎛⎫--- ⎪⎝⎭(D) 12~X Y N μμ⎛-- ⎝ 7. 设()12345,,,,X X X X X 为取自正态总体()04N ,的样本，则服从()23F ,分布的统计量是（ ）. （A ）()()221222234523X X X X X +++ （B ）()()222123224523X X X X X +++（C ）()()221222212332X X X X X +++ （D ）()()221222234532X X X X X +++8. 设()12,,...,m X X X ，()12,,...,n Y Y Y 为分别取自相互独立的正态总体ξ()211~,N μσ,()212~,N ημσ的样本，22*,,x x X S S 和22*,,y y Y S S 分别为总体ξ，η的样本均值，样本方差和修正样本方差，则下列四个选项中不正确的是（ ）. (A) 22,,,x y X Y S S 相互独立 （B ()~1xX t m - (C) ()*21*22/~1,1/x y S F m n S σσ-- (D)()()12~2X Y t m n μμ---+-其中wS =9. 设()x Φ为标准正态分布的分布函数，0＜p ＜1.下述关于临界值的四个选项，正确的是（ ）.（A ）11p p u u -+= (B) ()p u p Φ= (C)()()221p p n n χχ-=- (D) ()()11,,p p F m n F m n -=10. 设()1216,,...,X X X 为取自正态总体ξ()2~,Nμσ的样本，X 为样本均值，若有()162210.95i i P X X ασ=⎧⎫-≥=⎨⎬⎩⎭∑,则α等于（ ）.(A)()20.9516χ (B) ()20.9515χ (C) ()20.0515χ (D) ()20.0516χ三、 填空题1. 设总体ξ服从参数为λ的普阿松分布，把对总体进行的n 次观测结果记为()12,,...,n X X X ,()12,,...,n X X X 可以称为样本必须满足的两个条件是_______________和______________，此时()12,,...,n X X X 的联合概率分布为_______________,1P X n ⎧⎫>=⎨⎬⎩⎭_______________. 2. 设()129,,...,X X X 为取自均匀分布U （2，4）的样本，X 为样本均值，2S 为样本方差，则max()129,,...,X X X 的分布函数为___________，E X =_____________；DX =______________；2ES =______________.3. 设总体ξ 概率密度为1xθθ+ 1x ≥()x ϕ=0 x <1其中，θ＞1为未知参数，()12,,...,n X X X 是ξ的样本，这时θ的矩法估计为 _______________；θ的极大似然估计为________________ . 4. 设总体ξ 服从对数正态分布，概率密度为()22ln 2x μσ⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 0x >()x ϕ=0 0x ≤其中，,μσ＞0是未知参数，()12,,...,n X X X 是ξ的样本，这时μ的极大似然估计为 _______；σ的极大似然估计为_________ ；当σ=1时，μ的矩法估计为_____________. 5. 已知总体ξ 的概率密度为 ()22x eθ-- 0x ≥()x ϕ=0 0x <其中，θ是未知参数，()12,,...,n X X X 是ξ的样本，这时θ的矩法估计为______________ ；θ的极大似然估计为 ________________.6. 设()12,,...,n X X X 是总体ξ的样本，ξ～(),4N μ，样本均值11ni i X X n ==∑.当n ≥______________时，才能使2||0.1E X μ-≤ 7. 设总体ξ()211~,Nμσ，()222~,N ημσ，()12,,...,m X X X 是ξ的样本，()12,,...,nY Y Y 是η的样本，两组样本相互独立，1111,m ni j i j X X Y Y m n ====∑∑，则()D X Y -=_______________.8. 设()126,,...,X X X 是来自总体ξ的样本，ξ～N （0，1），随机变量()()22123456Y X X X X X X =+++++，当常数 c=_____时，cY 服从2χ分布，其自由度是____ .9. 已知总体ξ()21~0,N σ，()123,,X X X 为ξ的样本，23～_____________10. 设总体ξ服从正态分布N （0，4），()1215,,...,X X X 为ξ的样本，则()22110221115...2...X X Y X X ++=++服从____________分布，其自由度是_____________.6.5 自测题六答案一、 1. +;2. -;3. +;4. +;5. +;6. -;7. -;8. -;9. -;10. +二、 1. C;2. A;3. B;4. D;5. A;6. B;7. D;8. D;9. B;10. C 三、 1. ()~i X P λ（i =1,2,…,n ）, 12,,...,n X X X 相互独立1!ixni ie x λλ-=∏,()11n n eλλ--+;2.0 2x <()max F x = 922x -⎛⎫⎪⎝⎭24x ≤<, 3，127，827;1 4x ≥3. 1X X +，1ln nii nX=∑;4. 11ln ln ni i X X n ==∑，1ln 2X -； 5. 12X -，()min 1i X i n ≤≤；6. 40;7. 2212m n σσ+;8. 13,2;9. t(1); 10. F,(10,5)6.6 典型例题例1 设总体 ξ～),(2σμN ，0,>σμ 是未知参数，),,,(21n X X X Λ 是 ξ 的样本，求σμ,的矩法估计。