实变函数第二章复习题及解答

第二章 复习题

一、判断题

1、对任意n E R ⊆，*m E 都存在。（√ ）

2、对任意n E R ⊆，mE 都存在。（× ）

3、设n E R ⊆，则*

m E 可能小于零。（× ）

4、设A B ⊆，则**m A m B ≤。（√ ）

5、设A B ⊆，则**m A m B <。（× ）

6、**1

1()n n n n m S m S ∞∞===∑ 。（× ）

7、**1

1()n n n n m S m S ∞∞==≤∑ 。（√ ） 8、设E 为n R 中的可数集，则*0m E =。（√ ）

9、设Q 为有理数集，则*0m Q =。（√ ）

10、设I 为n R 中的区间，则*m I mI I ==。（√ ）

11、设I 为n R 中的无穷区间，则*m I =+∞。（√ ）

12、设E 为n R 中的有界集，则*m E <+∞。（√ ）

13、设E 为n R 中的无界集，则*m E =+∞。（× ）

14、E 是可测集⇔c

E 是可测集。（√ ）

15、设{n S }是可测集列，则1n n S ∞= ，1n n S ∞= 都是可测集。（√ ） 16、零测集、区间、开集、闭集和Borel 集都是可测集。（√ ）

17、任何可测集总可表示成某个Borel 集与零测集的差集。（√ ）

18、任何可测集总可表示成某个Borel 集与零测集的并集。（√ ）

19、若E =∅，则*0m E >。（× ）

20、若E 是无限集，且*

0m E =，则E 是可数集。（× ）

21、若mE =+∞，则E 必为无界集。（√ ）

22、在n R 中必存在测度为零的无界集。（√ ）

23、若A ，B 都是可测集，A B ⊆且mA mB =，则()0m B A -=。（× ）

24、∅和n R 都是可测集，且0m ∅=，n

mR =+∞。（√ ）

25、设12,E E 为可测集，则12()m E E -≥12mE mE -。（× ）

26、设12,E E 为可测集，且12E E ⊇，则12()m E E -=12mE mE -。（× ）

二、填空题

1、若E 是可数集，则*m E = 0 ；E 为 可测 集；mE = 0 。

2、若12,,,n S S S 为可测集，则1

n i i m S = 小于或等于 1

n i i mS =∑；若12,,,n S S S 为两两不相交的可测集，则1n i i m S = 等于 1n

i

i mS =∑。 3、设12,E E 为可测集，则122()m E E mE -+ 大于或等于 1mE ；若还有2mE <+∞，则 12()m E E - 大于或等于 12mE mE -。

4、设12,E E 为可测集，且12E E ⊇，2mE <+∞，则12()m E E - 等于 12mE mE -。

5、设0x 为E 的内点，则*m E 大于 0。

6、设P 为康托三分集，则P 为 可测 集，且mP = 0 。

7、m ∅= 0 ，n

mR = +∞ 。

8、叙述可测集与G δ型集的关系 可测集必可表示成一个G δ型集与零测集的差集 。

9、叙述可测集与F σ型集的关系 可测集必可表示成一个F σ型集与零测集的并集 。 三、证明题

1、证明：若E 有界，则*

m E <+∞。

证明：因为E 有界，所以，存在一个有限区间I ，使得E I ⊂，从而m E m I I **≤=<+∞。

2、证明：若*

0m E =，则E 为可测集。

证明：对任意A E ⊂，c B E ⊂，因为*0m E =，可得*0m A =，所以，

*****()m B m A B m A m B m B ≤⋃≤+=，

从而***()m A B m A m B ⋃=+，所以，E 为可测集。

3、证明：有理数集Q 为可测集，且0mQ =。

证明：因为有理数集Q 可数集，从而0m Q *=，所以，Q 为可测集，且0mQ m Q *==。

4、证明：若E ，F 都是可测集，且mE <+∞，E F ⊆，则()m F E mF mE -=-；若mE =+∞，则上面的结论还是否成立。

证明：因为()F F E E =-⋃，且()F E E -⋂=∅，所以，()mF m F E mE =-+。又mE <+∞，所以，()m F E mF mE -=-。

若mE =+∞，则上面的结论不一定成立。

5、若1R 中的区间为可测集，则1

R 中的开集为可测集。

证明：由1R 中开集的结构得，1R 中的开集或为空集，显然是可测集；或为至多可数个互不相交的开区间的并集，而区间是可测集，至多可数个可测集的并集还是可测集，所以，它还是可测集。综上所述，结论成立。