二次函数与定点定值问题(学生版)
期中期末复习专题6 二次函数(四)定点、定值
期中期末复习专题 6 二次函数（四）定点、定值1．抛物线y ＝mx 2＋（1＋2m ）x ＋ 1－3m 经过非坐标轴上的定点P ， 求出点P 的坐标． 解: （x 2－2x －3）m ＋x ＋1，令 x 2－2x －3＝0 得x 1＝－1，x 2＝3， ∴抛物线过定点（－1，0），（3，4）．∴定点P 的 坐标 为（3，4）2．如图，点M 为第一象限内的抛物线y ＝x 2上一点，点F 的坐标为（0，14），过M 作MN ⊥x 轴于 N ， 求证：MF MN OF +为定值 ， 并求这个值．解：设M （n ，n 2），n ＞0，则N （n ，0），F （0，14），∴MF ＝22214n n ⎛⎫+- ⎪⎝⎭＝2214n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝214n +． MN ＋OF ＝214n +，∴MF MN OF +＝221414n n ++＝1．3 （2017武汉中考模拟题改）抛物线y ＝x 2－4x ＋3与x 轴的交点为 A ， B ， 与y 轴交于点C 、M 为抛物线在点B 右侧上的点，M 与N 两点关于抛物线的对称轴对称，AN ， AM 分别交y 轴于E ， D 两点，求OE －OD 的值．解：设AM 解析式为y ＝k （x －1）＝kx －k ， ∴D （0，－k ）， ∴OD ＝k ，设AE 解析式为y ＝n （x －1）＝nx －n ，∴E （0，－n ）， ∴OE ＝－n ，联立243y kx k y x x =-⎧⎨=-+⎩，得x 2－（k ＋4）x ＋k ＋3＝0．∴x M·x A＝k＋3，又x A＝1，∴x M＝k＋3，同理x N＝n＋3又∵MN关于x＝2对称，∴2–x N ＝x M＝－2，∴x M＋x N＝4，∴k＋3＋n＋3＝4，∴k＋n＝－2，∴OE－OD＝－n－k＝－（n＋k）＝24（2016武汉））抛物线y＝ax2＋c与x轴交于A，B两点，顶点为C，点P在抛物线上，且位于x轴下方如图，直线P A、PB与y轴交于E、F两点，当点P运动时，OE OFOC+的值是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．解：设BP：y＝kx＋b，AP:y＝mx＋n，联立kx＋b＝ax2＋c，mx＋n＝ax2＋c，得ax2－kx＋c－b＝0，ax2－nx＋c－n＝0，∴x B·x P＝c ba-，x A·x P＝c na-，∵x A＋x B＝0，∴x B·x P＋x A·x P＝0，∴c ba-＋c na-＝0，∴2c＝b＋n，∴OE OFOC+＝n bc---＝2．。
2020年中考数学压轴解答题10 二次函数与线段关系及最值定值问题(学生版)
备战2020中考数学之解密压轴解答题命题规律专题10 二次函数与线段关系及最值定值问题【类型综述】图形运动的过程中,求两条线段之间的函数关系,是中考数学的热点问题．产生两条线段间的函数关系,常见的情况有两种,一是勾股定理,二是比例关系．还有一种不常见的,就是线段全长等于部分线段之和．由比例线段产生的函数关系问题,在两种类型的题目中比较常用． 一是由平行线产生的对于线段成比例,二是相似三角形的对应边成比例．一般步骤是先说理产生比例关系,再代入数值或表示数的字母,最后整理、变形,根据要求写出定义域．关键是寻找比例关系,难点是有的整理、变形比较繁琐,容易出错．【方法揭秘】由勾股定理产生的函数关系,在两种类型的题目中比较常用．类型一,已知“边角边”,至少一边是动态的,求角的对边．如图1,已知点A 的坐标为(3, 4),点B 是x 轴正半轴上的一个动点,设OB ＝x ,AB ＝y ,那么我们在直角三角形ABH 中用勾股定理,就可以得到y 关于x 的函数关系式．类型二,图形的翻折．已知矩形OABC 在坐标平面内如图2所示,AB ＝5,点O 沿直线EF 翻折后,点O 的对应点D 落在AB 边上,设AD ＝x ,OE ＝y ,那么在直角三角形AED 中用勾股定理就可以得到y 关于x 的函数关系式．图1 图2【典例分析】【例1】如图①,矩形ABCD 中,2,5,1AB BC BP ===,090MPN ∠=,将MPN ∠绕点P 从PB 处开始按顺时针方向旋转,PM 交边AB （或AD ）于点E ,PN 交边AD （或CD ）于点F .当PN 旋转至PC 处时,MPN ∠的旋转随即停止.（1）特殊情形：如图②,发现当PM 过点A 时,PN 也恰好过点D ,此时ABP ∆是否与PCD ∆相似？并说明理由；（2）类比探究：如图③,在旋转过程中,PEPF的值是否为定值？若是,请求出该定值；若不是,请说明理由； （3）拓展延伸：设AE t =时,EPF ∆的面积为S ,试用含t 的代数式表示S ；①在旋转过程中,若1t =时,求对应的EPF ∆的面积； ②在旋转过程中,当EPF ∆的面积为4.2时,求对应的t 的值.【例2】如图1,在矩形ABCD 中,AB ＝8,AD ＝10,E 是CD 边上一点,连接AE ,将矩形ABCD 沿AE 折叠,顶点D 恰好落在BC 边上点F 处,延长AE 交BC 的延长线于点G ． （1）求线段CE 的长；（2）如图2,M ,N 分别是线段AG ,DG 上的动点（与端点不重合）,且∠DMN ＝∠DAM ,设AM ＝x ,DN ＝y ． ①写出y 关于x 的函数解析式,并求出y 的最小值；②是否存在这样的点M ,使△DMN 是等腰三角形？若存在,请求出x 的值；若不存在,请说明理由．【例3】抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于,A B 两点（点A 在点B 的左侧）,与y 轴交于点(0,4)C -.已知(2,0)A -,抛物线的对称轴l 交x 轴于点(1,0)D . （1）求出,,a b c 的值；（2）如图1,连接BC ,点P 是线段BC 下方抛物线上的动点,连接,PB PC .点,M N 分别在y 轴,对称轴l 上,且MN y ⊥轴.连接,AM PN .当PBC ∆的面积最大时,请求出点P 的坐标及此时AM MN NP ++的最小值；（3）如图2,连接AC ,把AOC ∆按照直线y x =对折,对折后的三角形记为A OC ∆'',把A OC ∆''沿着直线BC 的方向平行移动,移动后三角形的记为A O C ∆''''',连接DA '',DC '',在移动过程中,是否存在DA C ∆''''为等腰三角形的情形？若存在,直接写出点C ''的坐标；若不存在,请说明理由.【例4】如图在锐角△ABC 中,BC ＝6,高AD ＝4,两动点M 、N 分别在AB 、AC 上滑动(不包含端点),且MN ∥BC,以MN 为边长向下作正方形MPQN,设MN ＝x,正方形MPQN 与△ABC 公共部分的面积为y ． (1)如图(1),当正方形MPQN 的边P 恰好落在BC 边上时,求x 的值；(2)如图(2),当PQ 落△ABC 外部时,求出y 与x 的函数关系式(写出x 的取值范围)并求出x 为何值时y 最大,最大是多少？【例5】如图,抛物线y＝12-x2+mx+m（m＞0）的顶点为A,交y轴于点C．（1）求出点A的坐标（用含m的式子表示）；（2）若直线y＝﹣x＋n经过点A,与抛物线交于另一点B,证明：AB的长是定值；（3）连接AC,延长AC交x轴于点D,作直线AD关于x轴对称的直线,与抛物线分别交于E、F两点．若∠ECF＝90°,求m的值．【例6】如图,在平面直角坐标系中,二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点,A点在原点的左侧,B 点的坐标为（3,0）,与y轴交于点C（0,﹣3）．（1）求二次函数解析式；（2）若点Q为抛物线上一点,且S△ABQ＝12S△ACQ,求点Q的坐标；（3）若直线l：y＝mx+n与抛物线有两个交点M,N（M在N的左边）,P为抛物线上一动点（不与M,N重合）．过P作PH平行于y轴交直线l于点H,若HM HNHP⋅＝5,求m的值．【变式训练】1．如图,抛物线y ＝ax 2+4x +c （a ≠0）与反比例函数y ＝5x的图象相交于点B ,且点B 的横坐标为5,抛物线与y 轴交于点C （0,6）,A 是抛物线的顶点,P 和Q 分别是x 轴和y 轴上的两个动点,则AQ +QP +PB 的最小值为_____．2．如图,在平面直角坐标系中,菱形OABC 的顶点 A 在 x 轴正半轴上,顶点 C 的坐标为（4,3）,D 是抛物线 y =﹣x 2+6x 上一点,且在x 轴上方,则△BCD 面积的最大值为__________3．己知抛物线2114y x =+具有如下性质:该抛物线上任意一点到定点F(0,2)的距离与到x 轴的距离始终相等,如图,点M 的坐标为(3,3),P 是抛物线2114y x =+上一个动点,则△PMF 周长的最小值是__________.4．如图,在Rt △ABC 中,∠BAC =90°,AB =AC =16cm ,AD 为BC 边上的高,动点P 从点A 出发,沿A →D 方向以2/s 的速度向点D 运动,过P 点作PE ∥BC 交AC 于点E ,过E 点作EF ⊥BC 于点F ,设△ABP 的面积为S 1,四边形PDFE 的面积为S 2,则点P 在运动过程中,S 1+S 2的最大值为______．5．在平面直角坐标系中,已知()A 2,4、()P 1,0,B 为y 轴上的动点,以AB 为边构造ABC V ,使点C 在x 轴上,BAC 90.M ∠=o 为BC 的中点,则PM 的最小值为______．6．如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x 2+4x 与x 轴交于点A,点M 是x 轴上方抛物线上一点,过点M 作MP ⊥x 轴于点P,以MP 为对角线作矩形MNPQ,连结NQ,则对角线NQ 的最大值为_________．7．如图,在平面直角坐标系中,过A （－1,0）、B （3,0）两点的抛物线交y 轴于点C,其顶点为点D,设△ACD 的面积为S 1,△ABC 的面积为S 2．小芳经探究发现：S 1︰S 2是一个定值．这个定值为________．8．如图,在平面直角坐标系中,有二次函数23333y x x =--+,顶点为H ,与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 左侧）,易证点H 、B 关于直线3:33l y x =+对称,且A 在直线l 上．过点B 作直线//BK AH 交直线l 于K 点,M 、N 分别为直线AH 和直线l 上的两个动点,连接HN 、NM 、MK ,则HN NM MK ++的最小值为________9．如图,抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与直线1y x =+相交于(1,0)A -,(4,)B m 两点,且抛物线经过点(5,0)C（1）求抛物线的解析式．（2）点P 是抛物线上的一个动点（不与点A 点B 重合）,过点P 作直线PD x ⊥轴于点D ,交直线AB 于点E ．当2PE ED =时,求P 点坐标；（3）如图所示,设抛物线与y 轴交于点F ,在抛物线的第一象限内,是否存在一点Q ,使得四边形OFQC 的面积最大？若存在,请求出点Q 的坐标；若不存在,说明理由．10．如图,在矩形ABCD 中,AB=18,AD=12,点M 是边AB 的中点,连结DM,DM 与AC 交于点G ,点E,F 分别是CD 与DG 上的点,连结EF,(1)求证：CG=2AG .(2)若DE=6,当以E,F,D 为顶点的三角形与△CDG 相似时,求EF 的长.(3)若点E 从点D 出发,以每秒2个单位的速度向点C 运动,点F 从点G 出发,以每秒1个单位的速度向点D 运动.当一个点到达,另一个随即停止运动.在整个运动过程中,求四边形CEFG 的面积的最小值.11．如图①,抛物线y=a(x 2+2x-3)(a≠0)与x 轴交于点A 和点B,与y 轴交于点C,且OC=OB.(1)直接写出点B 的坐标是( , ),并求抛物线的解析式；(2)设点D 是抛物线的顶点,抛物线的对称轴是直线l,连接BD,线段OC 上的点E 关于直线l 的对称点E'恰好在线段BD 上,求点E 的坐标；(3)若点F 为抛物线第二象限图象上的一个动点,连接BF,CF,当△BCF 的面积是△ABC 面积的一半时,求此时点F 的坐标.12．如图,抛物线y ＝﹣x 2+mx +2与x 轴交于点A ,B ,与y 轴交于点C ,点A 的坐标为（1,0） （1）求抛物线的解析式（2）在抛物线的对称轴l 上找一点P ,使PA +PC 的值最小,求出点P 的坐标 （3）在第二象限内的抛物线上,是否存在点M ,使△MBC 的面积是△ABC 面积的12？若存在,求出点M 的坐标,若不存在,请说明理由．13．如图,抛物线212y x mx n =++交x 轴于A 、B 两点,直线y=kx+b 经过点A,与这条抛物线的对称轴交于点M （1,2）,且点M 与抛物线的顶点N 关于x 轴对称．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设题中的抛物线与直线的另一交点为C,已知P（x,y）为线段AC上一点,过点P作PQ⊥x轴,交抛物线于点Q．求线段PQ的最大值及此时P坐标；（3）在（2）的条件下,求△AQC面积的最大值．14．如图,抛物线y＝﹣12x2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,且OA＝2,OC＝3．（1）求抛物线的解析式；（2）点D（2,2）是抛物线上一点,那么在抛物线的对称轴上,是否存在一点P,使得△BDP的周长最小,若存在,请求出点P的坐标；若不存在,请说明理由．（3）连接AD并延长,过抛物线上一点Q（Q不与A重合）作QN⊥x轴,垂足为N,与射线交于点M,使得QM＝3MN,若存在,请直接写出点Q的坐标；若不存在,请说明理由．15．如图,在平面直角坐标系中,点A在抛物线y=- x2 + 4x上,且横坐标为1,点B与点A关于抛物线的对称轴对称,直线AB与y轴交于点C,点D为抛物线的顶点,点E的坐标为(1,1).(1)求线段AB 的长.(2)点P 为线段AB ．上方抛物线上的任意一点,过点P 作AB 的垂线交AB 于点H,点F 为y 轴上一点,当∆PBE 的面积最大时,求PH + HF + 12FO 的最小值. (3)在(2)中,PH+HF+12方FO 取得最小值时,将∆CFH 绕点C 顺时针旋转60°后得到∆CF'H',过点F'作CF'的垂线与直线AB 交于点Q,点R 为抛物线对称轴上的一点,在平面直角坐标系中是否存在点S,使以点D,Q,R,S 为顶点的四边形为菱形,若存在,请直接写出点S 的坐标,若不存在,请说明理由.16．已知,二次函数24y x x c =-+的图像与x 轴的一个交点为O(0,0),点P （m,0）是x 轴正半轴上的一个动点.（1）如图1,求二次函数的图像与x 轴另一个交点的坐标； （2）如图2,过点P 作x 轴的垂线交直线33y x =与点C,交二次函数图像于点D, ①当PD=2PC 时,求m 的值；如图3,已知A （3,-3）在二次函数图像上,连结AP,求12AP OP +的最小值；(3如图4,在第（2）小题的基础上,作直线OD,作点C关于直线OD的对称点C’,当C’落在坐标轴上时,请直接写出m的值.17．如图1,已知抛物线y =ax2+bx +c 经过A(-3,0),B (1,0 ),C (0,3 )三点,其顶点为D,对称轴是直线l , l 与x 轴交于点H .（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P 是该抛物线对称轴l 上的一个动点,求∆PBC 周长的最小值；（3）如图2,若 E 是线段AD 上的一个动点（E 与A, D 不重合）,过 E 点作平行于y 轴的直线交抛物线于点 F ,交x 轴于点G ,设点 E 的横坐标为m ,四边形AODF 的面积为S 。
方法必备07二次函数中定值、定点问题(8类题型)原卷版
方法必备07二次函数中定值、定点问题（8类题型）题型一面积（面积比）定值题型二线段（线段比）定值题型三线段和差倍定值题型四线段乘积为定值题型五横（纵）坐标定值题型六其它定值问题题型七结合韦达定理求定点题型八直线过定点题型一面积（面积比）定值1．（2023•花都区二模）已知，抛物线22(22)2y x m x m m =-+++与x 轴交于A ，B 两点(A 在B 的左侧）．（1）当0m =时，求点A ，B 坐标；（2）若直线y x b =-+经过点A ，且与抛物线交于另一点C ，连接AC ，BC ，试判断ABC ∆的面积是否发生变化？若不变，请求出ABC ∆的面积；若发生变化，请说明理由；（3）当5221m x m --时，若抛物线在该范围内的最高点为M ，最低点为N ，直线MN 与x 轴交于点D ，且3MD ND=，求此时抛物线的解析式．2．（2023•兴化市一模）已知抛物线2(0)y ax a =>经过第二象限的点A ，过点A 作//AB x 轴交抛物线于点B ，第一象限的点C 为直线AB 上方抛物线上的一个动点．过点C 作CE AB ⊥于E ，连接AC 、BC ．（1）如图1，若点(1,1)A -，1CE =．①求a 的值；②求证：ACE CBE ∆∆∽．（2）如图2，点D 在线段AB 下方的抛物线上运动（不与A 、B 重合），过点D 作AB 的垂线，分别交AB 、AC 于点F 、G ，连接AD 、BD ．若90ADB ∠=︒，求DF 的值（用含有a 的代数式表示）．（3）在（2）的条件下，连接BG 、DE ，试判断BGF DBES S ∆∆的值是否随点D 的变化而变化？如果不变，求出S BGF S DBE ∆∆的值，如果变化，请说明理由．题型二线段（线段比）定值3．（2023•绵阳）如图，抛物线经过AOD ∆的三个顶点，其中O 为原点，(2,4)A ，(6,0)D ，点F 在线段AD 上运动，点G 在直线AD 上方的抛物线上，//GF AO ，GE DO ⊥于点E ，交AD 于点I ，AH 平分OAD ∠，(2,4)C --，AH CH ⊥于点H ，连接FH ．（1）求抛物线的解析式及AOD ∆的面积；（2）当点F 运动至抛物线的对称轴上时，求AFH ∆的面积；（3）试探究FG GI 的值是否为定值？如果为定值，求出该定值；不为定值，请说明理由．4．（2023•金东区三模）如图，一次函数(0,0)b y x b a b a=-+>>与坐标轴交于A ，B 两点，以A 为顶点的抛物线过点B ，过点B 作y 轴的垂线交该抛物线于另一点D ，以AB ，AD 为边构造ABCD ，延长BC 交抛物线于点E ．（1）若2a b ==，如图1．①求该抛物线的表达式．②求点E 的坐标．（2）如图2，请问BE AB是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．5．（2023•黑龙江一模）已知，抛物线2y ax bx c =++经过(1,0)A -、(3,0)B 、(0,3)C 三点，点P 是抛物线上一点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P 位于第四象限时，连接AC ，BC ，PC ，若PCB ACO ∠=∠，求直线PC 的解析式；（3）如图2，当点P 位于第二象限时，过P 点作直线AP ，BP 分别交y 轴于E ，F 两点，请问CE CF的值是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．题型三线段和差倍定值6．（2023•红桥区三模）已知抛物线22(y ax bx a =++，b 为常数，0)a ≠经过点(1,0)A -，(3,0)B ，与y 轴相交于点C ，其对称轴与x 轴相交于点E ．（1）求该抛物线的解析式；（2）连接BC ，在该抛物线上是否存在点P ，使PCB ABC ∠=∠？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）Q 为x 轴上方抛物线上的动点，过点Q 作直线AQ ，BQ ，分别交抛物线的对称轴于点M ，N ，点Q 在运动过程中，EM EN +的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．7．（2023•呼和浩特）探究函数22||4||y x x =-+的图象和性质，探究过程如下：（1）自变量x 的取值范围是全体实数，x 与y 的几组对应值列表如下：x ⋯52-2-32-1-12-012132252⋯y ⋯52-032m 32032232052-⋯其中，m =.根据如表数据，在图1所示的平面直角坐标系中，通过描点画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．观察图象，写出该函数的一条性质；（2）点F 是函数22||4||y x x =-+图象上的一动点，点(2,0)A ，点(2,0)B -，当3FAB S ∆=时，请直接写出所有满足条件的点F 的坐标；（3）在图2中，当x 在一切实数范围内时，抛物线224y x x =-+交x 轴于O ，A 两点（点O 在点A 的左边），点P 是点(1,0)Q 关于抛物线顶点的对称点，不平行y 轴的直线l 分别交线段OP ，AP （不含端点）于M ，N 两点．当直线l 与抛物线只有一个公共点时，PM 与PN 的和是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．8．（2023•平遥县一模）综合与探究．如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数224233y x x =-++的图象与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，连接BC ．（1）求A ，B ，C 三点的坐标，并直接写出直线BC 的函数表达式；（2）点P 是二次函数图象上的一个动点，请问是否存在点P 使PCB ABC ∠=∠？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，作出该二次函数图象的对称轴直线l ，交x 轴于点D ．若点M 是二次函数图象上一动点，且点M 始终位于x 轴上方，作直线AM ，BM ，分别交l 于点E ，F ，在点M 的运动过程中，DE DF +的值是否为定值？若是，请直接写出该定值；若不是，请说明理由．9．（2023•广元）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数24y ax bx =++的图象与x 轴交于点(2,0)A -，(4,0)B ，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）已知E 为抛物线上一点，F 为抛物线对称轴l 上一点，以B ，E ，F 为顶点的三角形是等腰直角三角形，且90BFE ∠=︒，求出点F 的坐标；（3）如图2，P 为第一象限内抛物线上一点，连接AP 交y 轴于点M ，连接BP 并延长交y 轴于点N ，在点P 运动过程中，12OM ON +是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．10.（2023•扬州）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 在y 轴正半轴上．（1）如果四个点(0,0)、(0,2)、(1,1)、(1,1)-中恰有三个点在二次函数2(y ax a =为常数，且0)a ≠的图象上．①a =；②如图1，已知菱形ABCD 的顶点B 、C 、D 在该二次函数的图象上，且AD y ⊥轴，求菱形的边长；③如图2，已知正方形ABCD 的顶点B 、D 在该二次函数的图象上，点B 、D 在y 轴的同侧，且点B 在点D 的左侧，设点B 、D 的横坐标分别为m 、n ，试探究n m -是否为定值．如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由．（2）已知正方形ABCD 的顶点B 、D 在二次函数2(y ax a =为常数，且0)a >的图象上，点B 在点D 的左侧，设点B 、D 的横坐标分别为m 、n ，直接写出m 、n 满足的等量关系式．11．（2023•长汀县模拟）在平面直角坐标系中，抛物线2(0)y ax bx c a =++>经过(2,0)A -，(0,2)B -两点．（1）用含a 的式子表示b ；（2）当2a =时，如图1，点C 是直线AB 下方抛物线上的一个动点，求点C 到直线AB 距离的最大值．（3）当1a =时，如图2，过点1(2P -，2)-的直线交抛物线2(0)y ax bx c a =++>于M ，N ．①若//MN x 轴，计算11PM PN +=．②若MN 与x 轴不平行，请你探索11PM PN+是否定值？请说明理由．12．（2023•宿豫区三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数15544y x =+的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，对称轴为直线2x =的抛物线22(0)y ax bx c a =++≠也经过点A 、点C ，并与x 轴正半轴交于点B ．（1）求抛物线22(0)y ax bx c a =++≠的函数表达式；（2）设点25(0,)12E ，点F 在抛物线22(0)y ax bx c a =++≠对称轴上，并使得AEF ∆的周长最小，过点F 任意作一条与y 轴不平行的直线交此抛物线于1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y 两点，试探究11FP FQ +的值是否为定值？说明理由；（3）将抛物线22(0)y ax bx c a =++≠适当平移后，得到抛物线23()(1)y a x h h =->，若当1x m <时，3y x -恒成立，求m的最大值．13．（2023•武侯区校级模拟）如图，抛物线2y x bx c =++与x 轴分别交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，若(1,0)A -且3OC OA =．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）如图1，点P 是第四象限内抛物线上的一个点且位于对称轴右侧，分别连接BC 、AP 相交于点G ，当12PBG ABG S S ∆∆=时，求点P 的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，AP 交y 轴于点M ，过M 点的直线l 与线段AB ，AC 分别交于E ，F ，当直线l 绕点M 旋转时，m n AE AF+为定值3，请求出m 和n 的值．14．（2023•丹阳市二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴相交于点A 、B ，与y 轴相交于点C ，其中B 点的坐标为(3,0)，点M 为抛物线上的一个动点．（1）二次函数图象的对称轴为直线1x =．①求二次函数的表达式；②若点M 与点C 关于对称轴对称，则点M 的坐标是；③在②的条件下，连接OM ，在OM 上任意取一点P ，过点P 作x 轴的平行线，与抛物线对称轴左侧的图象交于点Q ，求线段PQ 的最大值．（2）过点M 作BC 的平行线，交抛物线于点N ，设点M 、N 的横坐标为m 、n ，在点M 运动的过程中，试问m n +的值是否会发生改变？若改变，请说明理由；若不变，请求出m n +的值．题型四线段乘积为定值15．（2023•南充）如图1，抛物线23(0)y ax bx a =++≠与x 轴交于(1,0)A -，(3,0)B 两点，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 在抛物线上，点Q 在x 轴上，以B ，C ，P ，Q 为顶点的四边形为平行四边形，求点P 的坐标；（3）如图2，抛物线顶点为D ，对称轴与x 轴交于点E ，过点(1,3)K 的直线（直线KD 除外）与抛物线交于G ，H 两点，直线DG ，DH 分别交x 轴于点M ，N ．试探究EM EN ⋅是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由．题型五横（纵）坐标（坐标和）定值16．（2023•湖北）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线26(0)y ax bx a =+-≠与x 轴交于点(2,0)A -，(6,0)B ，与y 轴交于点C ，顶点为D ，连接BC ．（1）抛物线的解析式为；（直接写出结果）（2）在图1中，连接AC 并延长交BD 的延长线于点E ，求CEB ∠的度数；（3）如图2，若动直线l 与抛物线交于M ，N 两点（直线l 与BC 不重合），连接CN ，BM ，直线CN 与BM 交于点P ．当//MN BC 时，点P 的横坐标是否为定值，请说明理由．17．（2023•清江浦区校级三模）如图，已知抛物线2:23(0)T y ax ax a a =-->与y 轴交于点C ，交x 轴于点A ，B ，且OB OC =．（1）求抛物线T 的解析式；（2）如图1，直线1:(0)2l y x b b =+<交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，将MON ∆沿直线l 翻折，得到MPN ∆，点O 的对应点为点P 若点O 的对应点P 恰好落在抛物线上，求b 的值；（3）如图2，点D 是抛物线T 上一动点，连接AD ，并将直线AD 沿x 轴翻折交抛物线T 于点E ．设点D 的横坐标为D x ，点E 的横坐标为E x ，试问：D E x x +是否为定值？若为定值，请求出定值；若不是定值，请说明理由．题型六其它定值问题18．（2023•宿豫区二模）阅读下列材料：在九年级下册“5.2二次函数的图象和性质”课时学习中，我们发现，函数：2()y a x k h =-+中a 的符号决定图象的开口方向，||a 决定图象的开口大小，为了进一步研究函数的图象和性质，我们作如下规定：如图1，抛物线上任意一点（A ）（异于顶点)O 到对称轴的垂线段的长度(AB 的长度）叫做这个点的“勾距”，记作m ；垂足（B ）到抛物线的顶点()O 的距离()BO 叫这个点的“股高”，记作h ；点（A ）到顶点()O 的距离(AO 的长度）叫这个点的“弦长”，记作l ；过这个点（A ）和顶点()O 的直线()AO 与对称轴()BO 相交所成的锐角叫做这个点的“偏角”，记作α．由图1可得，对于函数2(0)y ax a =≠．（1）当勾距m 为定值时，①2||h am =、22(1)l m a m =+；股高和弦长均随a 增大而增大；②1tan ||amα=；偏角随||a 增大而减小；（如：函数23y =中，当1m =时，2||3h am ==22(1)2l m a m =+=、13tan ||30)3am αα===︒（2）当偏角α为定值时，③1||tan m a α=、21||(tan )h a α=、2cos ||(sin )l a αα=，勾距、股高和弦长均随||a 增大而减小；（如：函数2y x =中，当45α=︒时，1||1tan m a α==、21||1(tan )h a α==、2cos ||2)(sin )l a αα==利用以上结论，完成下列任务：如图2：已知以A 为顶点的抛物线211(2)2y x =-与y 轴相交于点B ，若抛物线22()y a x b =-的顶点也是A ，并与直线AB 相交于点C ，与y 轴相交于点D ．（1）函数22y x =中，①当1m =时，h =，②当60α=︒时，l =；（2）如图2：以(2,0)A 为顶点作抛物线：211(2)2y x =-和22()y a x b =-，1y 与y 轴相交于点B ，2y 与直线AB 相交于点C ，与y 轴相交于点D ；①当12a >时，设S AC OD =⋅，随a 的取值不同，S 的值是否发生改变，如果不变，请求出S 的值，如果发生改变，请直接写出S 的取值范围；②若点M 在抛物线1y 上，直线AM 与2y 的另一个交点为N ，记BAM ∆的面积为1S ，CAN ∆的面积为2S ，若1249S S =，请求出a 的值．19．（2023•宜都市二模）抛物线234(0)y ax ax ac a =--<与x 轴交于点(1,0)A -和点B ，与y 轴交于点C ．（1）写出抛物线的对称轴，并求c 的值；（2）如图1，90ACB ∠=︒，点1(D x ，11)(0)y x <是抛物线上234y ax ax ac =--的动点，直线DO 与抛物线的另一个交点为E ；①若D ，E 关于点O 对称，求D 点坐标；②若点(0,)P m 是y 轴上一点，直线DP 的表达式为11y k x b =+，直线EP 的表达式为22y k x b =+，当12k k +的值是一个定值时，求m 的值．20．（2023•长沙）我们约定：若关于x 的二次函数21111y a x b x c =++与22222y a x b x c =++同时满足22121()||0b b c a +++-=，202312()0b b -≠，则称函数1y 与函数2y 互为“美美与共”函数．根据该约定，解答下列问题：（1）若关于x 的二次函数2123y x kx =++与22y mx x n =++互为“美美与共”函数，求k ，m ，n 的值；（2）对于任意非零实数r ，s ，点(,)P r t 与点(Q s ，)()t r s ≠始终在关于x 的函数212y x rx s =++的图象上运动，函数2y 与1y 互为“美美与共”函数．①求函数2y 的图象的对称轴；②函数2y 的图象是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由；（3）在同一平面直角坐标系中，若关于x 的二次函数21y ax bx c =++与它的“美美与共”函数2y 的图象顶点分别为点A ，点B ，函数1y 的图象与x 轴交于不同两点C ，D ，函数2y 的图象与x 轴交于不同两点E ，F ．当CD EF =时，以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形能否为正方形？若能，求出该正方形面积的取值范围；若不请说明理由．题型七结合韦达定理求定点21．（2023•汉阳区校级模拟）抛物线2222y x mx m m =-+-+，(0)m >交x 轴于A ，B 两点(A 在B 的左边），C 是抛物线的顶点．（1）当2m =时，直接写出A ，B ，C 三点的坐标；（2）如图1，点D 是对称轴右侧抛物线上一点，COB OCD ∠=∠，求线段CD 长度；（3）如图2，将抛物线平移使其顶点为(0,1)，点P 为直线3y x =+上的一点，过点P 的直线PE ，PF 与抛物线只有一个公共点，问直线EF 是否过定点，请说明理由．题型八直线过定点22．（2023•锦江区校级模拟）已知抛物线22y ax ax c =-+与x 轴交于(1,0)A -、B 两点，顶点为P ，与y 轴交于C 点，且ABC ∆的面积为6．（1）求抛物线的对称轴和解析式；（2）平移这条抛物线，平移后的抛物线交y 轴于E ，顶点Q 在原抛物线上，当四边形APQE 是平行四边形时，求平移后抛物线的表达式；（3）若过定点(2,1)K 的直线交抛物线于M 、N 两点(N 在M 点右侧），过N 点的直线2y x b =-+与抛物线交于点G ，求证：直线MG 必过定点．2123．（2023•洪山区校级模拟）如图，已知抛物线21:3C y ax bx =++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，3OB OC OA ==．（1）求抛物线1C 的解析式；（2）如图2，已知点P 为第一象限内抛物线1C 上的一点，点Q 的坐标为(1,0)，45POC OCQ ∠+∠=︒，求点P 的坐标；（3）如图3，将抛物线1C 平移到以坐标原点为顶点，记为2C ，点(1,1)T -在抛物线2C 上，过点T 作TM TN ⊥分别交抛物线2C 于M ，N 两点，求证：直线MN过定点，并求出该定点的坐标．。
专题09 二次函数中的定值与定点压轴题全梳理(解析版)(人教版)
专题09二次函数中的定值与定点压轴题全梳理类型一、定值问题(1)求该抛物线的解析式；(2)如图1，当EFD △是以FD 为底边的等腰三角形时，求点E (3)如图2，连接CD ，过点E 作直线l CD ∥，交y 轴于点H ，连接动的过程中，是否存在点E ，使得FD BH =，若存在，请求出点说明理由．【答案】(1)213442y x x =--+(1)求抛物线1C的解析式；⊥轴于F点，交直线AC于D，点(2)如图1，过顶点E作EF x上，若Q为(),0t，且以E、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，求(3)如图2，将抛物线1C向右平移一个单位得到抛物线2C，直线与抛物线2C交于M、N两个不同点，分别过M、N两点作y∵点(),0Q t ，∴点()2,23P t t t --+，∴223PQ t t =--+，()214y x =-++，令0y =，∴()2140x -++=，设()2,23P x x x --+，而(),0Q t ，∴22236x t x x +=-⎧⎨--+=⎩，∴22x x ++∴方程无解，则原方程组无解．综上：（3）如图，∵6y kx =+，∴当x 抛物线1C 向右平移一个单位得到抛物线F∴到BD的距离为：22,过F作BD的平行线，交抛物线于,P联立：2,1y t y x =⎧⎨=-⎩解得：11,,x t x t y t y t ⎧⎧=-+=+⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩()()1,,1,,M t t N t t ∴-++(1)求抛物线的表达式；(2)点P 是线段BE 上的动点（除B 、E 外），过点P 作x ①当点P 的横坐标为2时，求四边形ACFD 的面积；②如图2，直线AD BD ，分别与抛物线对称轴交于M 、值？如果是，请求出这个定值：如果不是，请说明理由．【答案】(1)223y x x =-++；(2)①4；②是，定值为8，理由见解析．【分析】（1）由当0y ≥时，13x -≤≤，可知11x =-，例．如图，抛物线()21y x c x c =-+-+与x 轴的交点为A ，B 两点，与y 轴的交于点C ，3OC OA =．(1)求抛物线的解析式；(2)P 为抛物线在第四象限上的一点，直线CP 与抛物线的对称轴相交于点M ，若ACM △是∵直线NQ 是1x =，()0,3C ，1CN ∴=，2AQ =，3QN =．2222CN MN QM AQ +=+ ，()22134MQ MQ ∴+-=+．解得：1MQ =．()1,1M ∴．设直线CP 的解析式为y kx b =+，()0,3C ，()1,1M 在直线上，∴直线PC 的解析式为23y x =-+．联立223y x x =-++，得，22233x x x --=+++，解得：10x =，24x =．当4x =时，5y =-．()4,5P ∴-．（3）解：设()2,23P t t t -++，设直线PQ 解析式为：y px q =+，联立2,23y px q y x x =+⎧⎨=-++⎩，()2230x p x q ∴+-+-=．唯一交点，12x x t ∴==．22t p ∴=-，23t q =-，22p t ∴=-，23q t =+，∴直线PQ 解析式为：()2223y t x t -++=．()21,25Q t t ∴-+．过点P 作PM QN ⊥于点M ，则()21,t 23M t -++．设()1,N n ，22PN PM =+1PM t =-，(MN n =--()()22123t n t t ∴-++--令()21t m -=，则(m n +()282m m n ∴=-，116=154n ∴=．(1)直接写出点C 的坐标；(2)如图（1），若点D 的横坐标是2-，点E 在第二象限，平行四边形①求直线CD 的解析式；②求点F 的坐标；(3)如图（2），若点F 在抛物线上，连接DF ，求证：直线设点(2,2E a a a -++∴(226EG a a =-++ 平行四边形CDEF ∴132CDE S =△，【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．【变式训练2】已知二次函数B 两点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，若直线AB 的解析式为43kx k =--，且PAB 的面积为(3)如图2，若90APB ∠=︒，则直线AB 必经过一个定点C ，求点C 【答案】(1)2164y x =-+(2)2922k =-+或2922k =--【点睛】本题是二次函数与一次函数的综合题，掌握待定系数法，把函数问题化为一元二次方程问题是关键.【变式训练3】已知抛物线y ax ax c =+与x 轴交于(1,0)A -、B 两点，与(2,0)D ，且ABC 的面积为6，(1)求抛物线的对称轴和解析式；设直线MP 解析式为y k x b ''=+，则()2246523n k b n n mk b m m ⎧-+=-+-⎨+=-'++'''⎩，解得243k n m b m mn =--⎧⎨=-+''⎩，∴直线MP 解析式为()432y m n m x mn =+---+，即()()292y x n m m n -+-=-+，当2x =时，()()29522y m n n m =⨯+-+-=-，∴直线MP 必过定点()2,5．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式，平行四边形的性质、中点坐标公式、抛物线与一次函数的交点问题，直线恒过定点问题、解一元二次方程等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用待定系数法、数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键．课后训练1．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线223y ax ax a =--与x 轴交于点A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，且OC OB =．(1)求抛物线的解析式；(2)如图①，若点P 为第一象限的抛物线上一点，直线CP 交x 轴于点D ，且CP 平分OCB ∠，求点P 的坐标；(3)如图②，点Q 为第四象限的抛物线上一点，直线BQ 交y 轴于点M ，过点B 作直线NB AQ ∥，∠平分OCBCP∠，BOC ∴=，OD DE=，又OC OB∴∠=∠=︒，45CBO BCO∴∠=︒=∠，BDE DBE45∴=，DE BE∴==，22BD DE ODOB=，又323∴+=，OD ODOD=-，解得323（3）解：设2(,23)Q q q q --，()3,0B ，设直线BQ 的解析式为y kx b =+，∴23023k b qk b q q +=⎧⎨+=--⎩，解得()131k q b q =+⎧⎨=-+⎩，∴直线BQ 的解析式为()()131y q x q =+-+，当0x =时，()1333y q q +-==--()0,33M q ∴--，同理得：直线AQ 的解析式为()()33y q x q =-+-，∵NB AQ ∥，设BN 的解析式为()3y q x b '=-+，()3,0B ，()033q b '∴=-+，解得39b q '=-+，BN ∴的解析式为()339y q x q =--+，当0x =是，39y q =-+，()0,39N q ∴-+，∴线段MN 的长度为()393312q q -+---=，∴线段MN 的长度不会改变，线段MN 的长度为12．【点睛】本题是二次函数综合题．考查了运用待定系数法求直线及抛物线的解析式、角平分线的性质、勾股定理、求直线与抛物线的交点坐标等知识，掌握数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度是解题的关键．2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y x bx c =++的图像与x 轴相交于点A 、B ，与y 轴相交于点C ，其中B 点的坐标为(3,0)，点M 为抛物线上的一个动点．∵()0,0O ，()2,3M -∴OM 的表达式为32y x=-设()2,23Q t t t --，∵PQ x ∥轴∴点P 的纵坐标为223t t --∴将223y t t =--代入32y x =-得，将(3,0)代入二次函数解析式中，得930b c ++=(1)求抛物线的解析式；⊥轴于点(2)点P为直线AB上方抛物线上一点，过点P作PF xPE EF=时，求点P的坐标；2(3)抛物线与x轴的另一个交点为K，过点()()-<的任意直线T t t,10与抛物线交于点M、N，直线KM、KN分别交y轴于点GOH的积为定值？若存在，求t的值，若不存在，请说明理由．在2142y x x =--+中，令y =解得4x =-或2x =，(2,0)K ∴，设21(,4)2N e e e --+，(,M f -设直线KN 的解析式为y k =(1)如图1，已知OB OC =，且点A 的坐标为()10-，①求抛物线的解析式；②P 为第四象限抛物线上一点，BQ CP ∥交y 轴于点Q ，求CPQ ∆面积的最大值及此时点的坐标．(2)如图2，F 为y 轴正半轴上一点，过点F 作DE BC ∥交抛物线于左边），直线AD ，AE 分别交y 轴于N ，M 两点，求ON OM -的值．【答案】(1)①2=23y x x --；②315,24P ⎛⎫- ⎪⎝⎭；(2)=3ON OM -【分析】（1）①根据题意得出()0,3C -，()3,0B 待定系数法求解析式即可求解；(1)如图2，当3m =时，求此时抛物线2y x bx c =-++的函数表达式；(2)求当m 为何值时，点C 的纵坐标最大；(3)如图3，当0m =时，此时的抛物线2y x bx c =-++与直线y kx =连接AD ，AE 并延长，分别与x 轴交于P ，Q 两点．试探究OP OQ ⋅。
专题3-1 二次函数中的10类定值、定点问题(原卷版)
专题3-1 二次函数中的10类定值、定点问题二次函数背景下的定值与定点问题，解析法类似于高中，但并不超纲！因为解题方法比较特殊，同学们要专门学习和练习，才能在考场上应对自如，这些方法包括联立、转化等，对同学们的代数功底与几何功底都有较高的要求.知识点梳理一、定值问题二、定点问题题型一 面积定值2022·山东淄博·中考真题2023·福建厦门三模题型二 线段长为定值2024届湖北天门市九年级月考2024届福建龙岩市统考期中2020·西藏·中考真题题型二 线段和定值2023广州市二中月考2022·四川巴中·中考真题2024届湖北黄石市·九年级统考2023·四川乐山·统考二模2023·海口华侨中学考模2023·江苏徐州·4月模拟2022·湖南张家界·中考真题题型三 加权线段和定值2023·四川广元·中考真题2020·四川德阳·中考真题题型四 线段乘积为定值2023·四川南充·中考真题2024届·武汉市东湖高新区统考2024届福建省福州屏东中学月考2024届福州市晋安区统考2023·福建福州·校考三模题型五 比值为定值2023年广西钦州市一模2023福建厦门一中模拟2023年福州市屏东中学中考模拟武汉·中考真题题型六 横（纵）坐标定值2023·湖北潜江、天门、仙桃、江汉油田·中考真题2024届湖北潜江市初12校联考题型七 角度为定值2023·成都武侯区西川中学三模四川乐山·统考中考真题题型八 其它定值问题2023·浙江湖州·统考一模2024届福建省南平市统考2023年湖北省武汉市新观察中考四调题型九 结合韦达定理求定点2023年湖北省武汉市外国语学校中考模拟2024届武汉市青山区九年级统考2024届武汉市新洲区12月统考2024届·福建厦门市第九中学期中2023·武汉光谷实验中学中考模拟2023广东省梅州市九年级下期中2024届福州市九校联盟期中2023年湖北省武汉市新观察中考四调题型十 已知定值求定点2024届武汉市洪山区九年级统考2024届湖北省武汉市新洲区九年级上期中2023年广州市天河外国语学校中考三模知识点梳理一、定值问题一般来说，二次函数求解几何线段代数式定值问题属于定量问题，方法采用:1.参数计算法：即在图形运动中，选取其中的变量(如线段长，点坐标)作为参数,将要求的定值用参数表示出，然后消去参数即得定值。
二次函数中线段周长最值及定值问题(八大题型)学生版
二次函数中线段周长最值及定值问题(八大题型)通用的解题思路：一、二次函数中的线段最值问题有三种形式:1.平行于坐标轴的线段的最值问题:常通过线段两端点的坐标差表示线段长的函数关系式,运用二次函数性质求解，求最值时应注意:①当线段平行于y轴时,用上端点的纵坐标减去下端点的纵坐标;②当线段平行于x轴时,用右端点的横坐标减去左端点的横坐标.在确定最值时,函数自变量的取值范围应确定正确。
2.两条线段和的最值问题:解决这类问题最基本的定理就是“两点之间线段最短”,解决这类问题的方法是:作其中一个定点关于已知直线的对称点,连接对称点与另一个定点,它们与已知直线的交点即为所求的点,其变形问题有三角形周长最小或四边形周长最小等.【常见模型一】(两点在河的异侧)：在直线L上找一点M，使PA+PB的值最小.方法：如右图，连接AB，与直线L交于点M,在M处渡河距离最短，最短距离为线段AB的长。
【常见模型二】(两点在河的同侧)：在直线L上找一点M，使PA+PB的值最小.方法：如右图，作点B关于直线L的对称点B'，连接AB',与直线L的交点即为所求的渡河点，最短距离为线段AB'的长。
3. 两条线段差的最值问题：解决这类问题最基本的定理就是“三角形任何两边之差小于第三边”，解决这类问题的方法是：求解时,先根据原理确定线段差取最值时的图形,再根据已知条件求解。
【常见模型一】(两点在同侧)：在直线L上求一点P,求|PA-PB|的最大值方法：如右图，延长射线AB，与直线L交于点P，|PA-PB|最大值为AB【常见模型二】(两点在异侧)：在直线L上求一点P,求|PA-PB|的最大值。
方法：如右图，作点B关于直线L的对称点B'，延长射线AB'，与直线L交于点P，|PA-PB|最大值为AB'二、二次函数中的定值问题一般来说，二次函数求解几何线段代数式定值问题属于定量问题，方法采用:1.参数计算法:即在图形运动中，选取其中的变量(如线段长，点坐标)作为参数,将要求的定值用参数表示出，然后消去参数即得定值。
专题09 二次函数中的面积定值与等值问题(学生版)
专题09 二次函数中的面积定值与等值问题【典型例题】母题：如图，已知抛物线过A （4,0）、B （0,4）、C （-2，0）三点，P 是抛物线上一点（1）若S △PAB =S △BCO ，求P 点坐标（2）（☆）若△PAB 面积为4，求P 点坐标（3）点D 坐标为（-1,1），P在第一象限，若△PCD 面积为4，求P 点坐标54x【模型解读】二次函数中的等值问题或定值问题【问题描述】如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接BC，抛物线在线段BC上方部分取一点P，连接PB、PC，若△PBC面积为3，求点P坐标．思路1：铅垂法列方程解．根据B、C两点坐标得直线BC解析式：y=-x+3，设点P坐标为，过点P作PQ⊥x轴交BC于点Q，则点Q坐标为（m，-m+3），，，分类讨论去绝对值解方程即可得m的值．思路2：构造等积变形同底等高三角形面积相等．取BC作水平宽可知水平宽为3，根据△PBC面积为3，可知铅垂高为2，在y轴上取点Q使得CQ=2，过点Q作BC的平行线，交点即为满足条件的P点．当点Q坐标为（0,5）时，PQ解析式为：y=-x+5，联立方程：，解之即可．当点Q坐标为（0,1）时，PQ解析式为：y=-x+1，联立方程：，解之即可．P QA B C223y x x=-++()2,23m m m-++()()222333PQ m m m m m=-++--+=-+213332PBCS m m=⨯⨯-+=V2235x x x-++=-+2231x x x-++=-+【模型实例】1．定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点（1，1）是函数y＝x+的图象的“等值点”．（1）分别判断函数y＝x+2，y＝x2﹣x的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；（2）设函数y＝（x＞0），y＝﹣x+b的图象的“等值点”分别为点A，B，过点B作BC⊥x轴，垂足为C．当△ABC的面积为3时，求b的值；2．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝x2+bx+c经过坐标原点和点A，顶点为点M．（1）求抛物线的关系式及点M的坐标；（2）点E是直线AB下方的抛物线上一动点，连接EB，EA，当△EAB的面积等于时，求E点的坐标；3．抛物线y＝x2﹣1交x轴于A，B两点（A在B的左边）．▱ACDE的顶点C在y轴的正半轴上，顶点E在y轴右侧的抛物线上；如图，若点D在抛物线上，且▱ACDE的面积是12，求点E的坐标．4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知B（3，0），C （0，﹣3），连接BC，点P是抛物线上的一个动点，点N是对称轴上的一个动点．（1）求该抛物线的函数解析式．（2）当△PAB的面积为8时，求点P的坐标．5．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（4，0），与y轴交于点C，连接BC，点P是线段BC上的动点（与点B，C不重合），连接AP并延长AP交抛物线于点Q，连接CQ，BQ，设点Q的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；（2）当△BCQ的面积等于2时，求m的值；6．二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于A（2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，顶点为E．．（1）求这个二次函数的表达式，并写出点E的坐标；（2）如图，P是该二次函数图象上的一个动点，连接OP，取OP中点Q，连接QC，QE，CE，当△CEQ的面积为12时，求点P的坐标．7．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣6与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，OA＝2，OB＝4，直线l是抛物线的对称轴，在直线l右侧的抛物线上有一动点D，连接AD，BD，BC，CD．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点D在x轴的下方，当△BCD的面积是时，求△ABD的面积；8．如图，已知二次函数y＝﹣x2+（a+1）x﹣a与x轴交于A、B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，已知△BAC的面积是6．（1）求a的值；（2）在抛物线上是否存在一点P，使S△ABP＝S△ABC．若存在请求出P坐标，若不存在请说明理由．9．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，过A、B两点的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于另一点C（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在一点P，使S△PAB＝S△OAB？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，2）三点，点D（x，y）为抛物线上第一象限内的一个动点．（1）求抛物线所对应的函数表达式；（2）当△BCD的面积为3时，求点D的坐标；11．如图，在直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，经过A（﹣2，0），B，C三点的抛物线y＝ax2+bx+（a＜0）与x轴的另一个交点为D，其顶点为M，对称轴与x轴交于点E．（1）求这条抛物线对应的函数表达式；（2）已知R是抛物线上的点，使得△ADR的面积是▱OABC的面积的，求点R的坐标；。
二次函数与定点定值问题(学生版)
二次函数与定点、定值问题【方法归纳】已知抛物线和满足一定条件的直线在平面直角坐标系中，直线上的线段满足一定几何条件，图中可能产生一些定点，定量关系．通常要运用几何量的关系转换成线段关系和坐标关系求解．思路：结合二次函数，将几何向代数转化，构建方程或方程组，并归纳解题一致性．例1．已知抛物线：y＝ax2＋bx＋c，顶点坐标为原点，且过（4，8），如图，若A、B两点在抛物线上，且OA⊥OB，AB交y轴于H点，求H点的坐标．【练1】抛物线y ＝21(x －1)2，顶点为M ，直线AB 交抛物线于A 、B 两点，且MA ⊥MB ，求证：直线AB 过定点．例2．已知抛物线y ＝41x 2，以M (－2，1)为直角顶点作该抛物线的内接直角三角形MAB （即M ，A ，B 均在抛物线上），求证：直线AB 过定点，并求出该定点坐标．【练2】（2014武汉中考）如图，已知直线AB ：y ＝kx ＋2k ＋4于抛物线y ＝21x 2交于A 、B 两点． （1）直线AB 总经过一个定点C ，请直接写出点C 坐标； （2）若在抛物线上存在定点D 使∠ADB ＝90°，求点D 到直线AB 的最大距离．例3．如图，抛物线y ＝x 2＋3顶点为P ，直线l 交抛物线于A 、B 两点，交y 轴于C 点，∠AOC ＝∠BOC ，求证：直线AB 过定点．【练3】抛物线y＝x2－4x＋5，对称轴交x轴于P点，直线EF交抛物线于E、F，交对称轴于H，且∠EPH ＝∠FPH，求证：EF恒过定点．例4．如图，抛物线y＝x2－1交x轴于A、B两点，直线y＝a（a＞0）交抛物线于M、N，点C在抛物线上，且∠MCN＝90°，点C到MN的距离是否为定值？若是，求出这个定值．【练4】（2015永州改）如图，抛物线：y ＝41(x －1)2，R (1，1)是对称轴l 上一点，点P 为抛物线上一个动点，PM 垂直于直线y ＝－1于M ，求PRPM的值．【课后反馈】1．如图，抛物线y ＝x 2－1交x 轴正半轴于A (1，0)，M 、N 在抛物线上，且MA ⊥NA ，试说明MN 恒过一定点，求此定点的坐标．2．如图，抛物线y ＝41(x －4)2－4的顶点为P ，M ，N 均在对称轴上，且PM ＝PN ，延长OM 交抛物线于点A ．求证：∠ANM ＝∠ONM ．3．（2016六初九下2月考T24）已知抛物线y ＝41x 2＋m 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且OA ＝2OC ，直线y ＝kx －2k ＋4（k ≠0）与抛物线交于D 、E 两点． （1）求m 值及A 点坐标；（2）当k 取何值时，△ADE 的面积最小，并求面积的最小值；（3）若M 、N 为抛物线上两点，其以MN 为直径的圆始终经过A 点，求直线MN 经过的定点P 的坐标．。
中考复习压轴题之二次函数压轴之定值问题与定点问题-含详细参考答案
二次函数压轴之定值、定点问题1．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB＝OC＝3OA．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）如图2，∠BAC的角平分线交y轴于点M，过M点的直线l与射线AB，AC分别于E，F，已知当直线l绕点M旋转时，11AF AE为定值，请直接写出该定值．2．如图，平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+nx+4过点A（﹣4，0），与y轴交于点N，与x轴正半轴交于点B．直线l过定点A．（1）求抛物线解析式；（2）过点T（t，﹣1）的任意直线EF（不与y轴平行）与抛物线交于点E、F，直线BE、BF分别交y轴于点P、Q，是否存在t的值使得OP与OQ的积为定值？若存在，求t的值，若不存在，请说明理由．3.如图1，已知二次函数y ＝x 2+bx +c 的图象与x 轴交于点A （﹣1，0）和点B （3，0），与y 轴的负半轴交于点C ．（1）求这个函数的解析式；（2）如图2，点T 是抛物线上一点，且点T 与点C 关于抛物线的对称轴对称，过点T 的直线TS 与抛物线有唯一的公共点，直线MN ∥TS 交抛物线于M ，N 两点，连AM 交y 轴正半轴于G ，连AN 交y 轴负半轴于H ，求OH ﹣OG4．如图1，已知抛物线的解析式为21362y x =--，直线y ＝kx ﹣4k 与x 轴交于M ，与抛物线相交于点A ，B （A 在B 的左侧）．（1）当k ＝1时，直接写出A ，B ，M 三点的横坐标：x A ＝，x B ＝，x M ＝；（2）作AP ⊥x 轴于P ，BQ ⊥x 轴于Q ，当k 变化时，MP •MQ 的值是否发生变化？若变化，求出其变化范围；若不变，求出其值；5．如图，在正方形OABC中，AB＝4，点E是线段OA（不含端点）边上一动点，作△ABE 的外接圆交AC于点D．抛物线y＝ax2﹣x+c过点O，E．（1）如图1，若抛物线恰好经过点B，求此时点D的坐标；（2）如图2，AC与BE交于点F．请问点E在运动的过程中，CF•AD是定值吗？如果是，请求出这个值，如果不是，请说明理由；6.已知顶点为A的抛物线y＝a（x﹣2）2（a≠0）交y轴于点B（0，2），且与直线l交于不同的两点M、N（M、N不与点A重合）．（1）求抛物线的解析式；（2）若∠MAN＝90°，试说明：直线l必过定点；7.如图，在直角坐标系中有Rt△AOB，O为坐标原点，OB＝1，tan∠ABO＝3，将此三角形绕原点O顺时针旋转90°，得到Rt△COD，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象刚好经过A，B，C三点．（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；（2）过定点Q（1，3）的直线l：y＝kx﹣k+3与二次函数的图象相交于M，N两点．证明：无论k为何值，△PMN恒为直角三角形．8.已知，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，点P是抛物线上一点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，当点P位于第二象限时，过P点作直线AP，BP分别交y轴于E，F两点，请问CECF的值是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．9.已知点P（0，﹣4）为平面直角坐标系内一点，直线l绕原点O旋转，交经过点（0，﹣2）的抛物线y＝14x2+c于M、N两点．（1）请求出该抛物线的解析式；（2）在直线l绕原点O旋转的过程中，请你研究一下（PM+MO）（PN﹣NO）是否定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．10.如图，抛物线C：y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣12，且抛物线经过A、B两点，交x轴于另一点C,A（﹣2，0），B（0，2）；(1)求抛物线的解析式；(2)在（1）的条件下，设对称轴直线x＝﹣12与x轴交于M，点P为抛物线上对称轴左侧一点，直线PM交抛物线于另一点Q，点P关于抛物线对称轴对称点H，直线HQ交抛物线对称轴于G点，在点P运动过程中GM长是否为一定值，若为定值，请求出其值，若不为定值，请求出其变化范围．11．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点D为（1，﹣1），且经过点B（3，3）．（1）求这个抛物线相应的函数表达式；（2）如图1，过点D且平行于x轴的直线l，与直线OB相交于点A，过点B作直线l 的垂线，垂足为C．若点Q是抛物线上BD之间的动点（不与B、D重合），连接DQ并延长交BC于点E．如图2，连接BQ并延长交CD于点F，在点Q运动的过程中，FC（AC+EC）的值是否发生变化？若不变求出该定值，若变化说明理由．12.如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）与坐标轴分别交于点A（﹣3，0），B（1，0）和点C．（1）求出a与c的数量关系式；（2）如图，若抛物线y=-x2-2x+3与直线y＝（2k1﹣2）x交于E，F两点，与直线y＝（2k2﹣2）x交于M，N两点，且k1k2＝﹣1，点P，Q分别是EF、MN的中点，求证：直线PQ必定经过一个定点，并求出该定点坐标．13.已知抛物线y＝ax2+bx+5（a≠0）经过点（4，5）．（1）若a+b＝﹣3，求抛物线y＝ax2+bx+5的解析式；（2）在（1）的条件下，经过点A(2,54)的任意直线y＝mx+n（m≠0）与（1）中的抛物线交于B，C两点，那么11AB AC的值是定值吗？如果是定值，请求出这个定值，如果不是定值，请说明理由．14.如图1，抛物线C：y＝ax2+bx﹣3与x轴的正半轴交于点B，与y轴交于点C，OB＝OC，其对称轴为直线x＝1．（1）直接写出抛物线C的解析式；（2）如图2，将抛物线C平移得到抛物线C1，使C1的顶点在原点，过点P（t，﹣1）的两条直线PM，PN，它们与y轴不平行，都与抛物线C1只有一个公共点分别为点M和点N，求证：直线MN必过定点．参考答案1.解：(1)OB=OC,C(0,c)则B(-c,0)，代入抛物线解析式得c 2-bc+c=0，c-b+1=0，即当x=-1时，y =1-b+c=0，故抛物线过点(-1，0)，故A(-1，0)，B(3，0)，C(0,-3)抛物线的解析式为y =x 2-2x -3(2)过点M 作MG||x 轴交AC 于点G ，作FP||x 轴交AM 于点P ，作CQ||x 轴，易知∆COA~∆CMG ，∆ACQ~∆AGM ，GM CG OA AC =GM AG CQ AC =，GM GM CG AG 1OA CQ AC AC+=+=即得111OA CQ GM+=，而AM 平分∠BAC ，故AC=CQ ，故111OA AC GM +=；同时CG AC GM AE =，AF GM AC CQ=即可得111AE AF GM +=，OA=1，AC=10，故11101AE AF 10+=+2.解：(1)y =-x 2-3x +4(2)存在t 的值使得OP 与OQ 的积为定值,t=-4设E(m ,-m 2-3m+4)，F(n,-n 2-3n+4)，设BE 的解析式为y =k (x -1)，将E 点坐标代入得k =-m -4，同理k =-n -4,则OP=m+4，OQ=-n-4，故OP ∙OQ=(m+4)(-n-4)=-mn-4(m+n)-16，直线CE 的解析式为y =k 1(x-t )-1，与抛物线y =-x 2-3x +4联立得x 2+(k 1+3)x-k 1t -5=0，m+n=-k 1-3,mn =-k 1t -5,OP ∙OQ=k 1t+4k 1+1=4k 1(t+4)+1，当t=-4时，OP ∙OQ 为定值，故当t=-4时,OP ∙OQ=13.解：(1)y =x 2-2x-3(3)易知T(2，-3),设直线TS 的解析式为y=m(x-2)-3，与抛物线y =x 2-2x-3联立得x 2-(m +2)x +2m =0，有两个相等实根，m 2+4m+4-8m=0，故m=2，即TS 解析式为y =2x -7,设MN 的解析式为y =2x+h ,与抛物线联立得x 17+h ，x 27+h 故7+h ，7+h )，N(2-7+h 7+h )，直线AM 解析式为y 1=k 1x+b 1，得b 1737hh +++737hh +++，同理可得773hh ++-，OH-OG=24.解：6，6,4；(2)MP ∙MQ 的值不变.y =21362x -与y =kx -4k 联立得x 2+6kx +9-24k =0,x A +x B =6k ，x A ∙x B =9-24k ,M(4，0)，MP ∙MQ=(4-x P )(4-x Q )=16-4(x A +x B )+x A x B =16+24k+9-24k=255.解：(1)易得抛物线的解析式为y =12x 2-x ，圆的直径为BE ，故∠BDE=90°，且∠BED=∠BAD=45°，作MN ⟂OA 交BC 、OA 于点M 、N ，易知∆BDM ≅∆DEN ，设DM=NE=m ，则CM=ON=m ，而OE=2，故m=1，此时D(1，3)(2)不变，CF ∙AD=16，∠DBF=∠BAD=45°，故∆ADB~∆CBF ，故CF ∙AD=AB ∙CB=166.解：(1)y =12(x -2)2(2)设直线MN 的解析式为y=kx+b ，与抛物线联立得x 2-(4+2k )x +4-2b=0，x M +x N =4+2k,x M ∙x N =4-2b ，作ME 、NF 垂直于x 轴，易知∆AME~∆NAF ，AE ME NF AF =，即有AE ∙AF=ME ∙NF ，ME=kx 1+b ，NF=kx 2+b ，AE=2-x 1,AF=x 2-2，(2-x 1)(x 2-2)=(kx 1+b)(kx 2+b)，即有4+2(x 1+x 2)-x 1x 2=k 2x 1x 2+kb (x 1+x 2)+b 2，整理得2k+b =0或2k +b -2=0,即当x =2时，y =2,所以直线l 必过定点(2,2)7.解：(1)y =-x 2+2x +3，P(1,4)(2)联立y=kx-k +3和抛物线y =-x 2+2x +3得x 2+(k-2)x-k=0,x 1+x 2=k-2,x 1x 2=-k,过点M 、N 作对称轴的垂线ME 、NF ，tan ∠PME=PE ME =221111114(23)(1)111x x x x x x --++-==---，同理tan ∠PFN=211x -，(1-x)(x2-1)=1，故tan ∠PME=tan ∠FPN,∠PME=∠FPN ，故∠MPN=90°，所以无论k 为何值，∆PMN 恒为直角三角形.8.解:(1)y =-x 2+2x +3(2)CE CF 的值为定值13，设P(t,-t 2+2t+3)，直线AP 的解析式为y =(3-t)x +3-t ，直线BP 的解析式为y =(-t-1)x +3t+3,故CE=-t ，CF=-3t ，故CE CF =139.(1)y =2124x -(2)(PM+MO)(PN-ON)为定值，设直线l 的解析式为y=kx ，与抛物线联立得x 2-4kx -8=0，设M(x 1，y 1)，N(x 2,y 2)则有x 1x 2=-8，，y 1=kx 1，故PM=|x 1OM=|x 1，同理PN=|x 2,ON=|x 2，故+|x 1)(|x 2-|x 2)=16，故(PM+MO)(PN-ON)为定值16.10.解：(1)y=-x 2-x +2(2)连接MH ，易知AMP=CMH ，设PQ 的解析式为y=kx+b 1，MH 的解析式为y=-kx+b 2,分别代入(-12，0)得b 1=12k ，b 2=12-k ，故PM 的解析式为y=kx+12k ，MH 的解析式为y=-kx-12k 与抛物线联立得x=(1)92k -+±,所以Q((1)92k -++,292k -±),同理可得H(192k -,292k --)，易知QH 的解析式为y=-x +992-当x=-12时，y=92，所以G(-12,92)，所以点P 运动过程中GM 长为定值9211.解：(1)y =x 2-2x(2)FC(AC+EC)为定值，设Q(m ,m 2-2m )，易得BF 的解析式为y=(m -1)x -3m ，故点F(311m m -+，-1)，D(1，-1)，DE 的解析式为y=(m-1)x-m ，E(3，2m-3)，FC=3-311m m -+=41m +，AC+EC=4+2m-3+1=2m+2，所以FC(AC+EC)=41m +(2m+2)=812.解：(1)c =-3a (2)联立y =-x 2-2x +3与y ＝(2k 1﹣2)x 得x 2+2k 1x -3=0所以x 1+x 2=-2k 1，y 1+y 2=-4k 12+4k 1，故P(-k 1，-2k 12+2k 1)，同理可得Q(-k 2，-2k 22+2k 2)，设直线PQ 的解析式为y=kx+b,将P 、Q 两点代入得y =(2k 1+2k 2-2)x -2,所以直线PQ 过定点(0,-2)13.解：(1)y=x 2-4x +5(3)将坐标系向右平移2个单位，向上平移1个单位，此时抛物线的解析式为y=x2，点A(0，14),设B(m,m 2),C(n,n 2)，则AB=m 2+14,AC=n 2+14，故11AB AC +=AB AC AB AC +⋅=22221211()()416m n mn m n +++++，同时BC 的解析式y=kx +14，与抛物线联立得x 2-kx -14=0，m+n=k,mn =-14，故11AB AC +=414.解：(1)y =x 2-2x -3(2)平移后的抛物线的解析式为y =x 2,设M(m,m 2),N(n,n 2)，直线PM 的解析式设为y=k 1(x-m)+m 2，PN 的解析式为y=k 2(x-n)+n 2，与抛物线联立得x2-k1x+k1m-m2=0，此时∆=0，即有k 1=2m ，PM 的解析式为y=2m(x-m)+m 2=2mx-m 2同理可得PN 的解析式为y=2n(x-n)+n 2=2nx-n 2，可得P(2m n +，mn ),mn =-1,MN 的解析式为y=(m+n)x +1,故MN 过定点(0，1)。
中考数学几何图形复习专题13 二次函数区间及最值问题(学生版)
专题13 二次函数区间及最值问题1．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（–3，5），B（0，5）．抛物线y=-x2+bx+c交x轴于C（1，0），D（-3，0）两点，交y轴于点E．(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；(2)当-4≤x≤0时，求y的最大值与最小值的积；(3)连接AB，若二次函数y=-x2+bx+c的图象向上平移m(m>0)个单位时，与线段AB有一个公共点，结合函数图象，直接写出m的取值范围．本号资料皆*来源于微信公众号：数学第@@六感对于整个函数图像来说，最值在顶点处取到，而对于函数图像的一部分来说，则未必。
常见的两种类型分别为：一是给定区间，对称轴不确定；二是给定对称轴，区间不确定。
一般步骤是根据已知，画出函数图像，再根据给定的区间或对称轴进行分类讨论，根据题意建立方程求解。
难点是有时分类讨论次数较多，计算比较繁琐，容易出错。
2．已知抛物线2y x bx c =++的对称轴为直线1x =，图象与x 轴交于点()1,0-．（1）求抛物线的函数表达式．（2）若把抛物线的图象沿x 轴平移m 个单位，在自变量x 的值满足23x ≤≤的情况下，与其对应的函数值y 的最小值为-2，求m 的值．3．如图，抛物线22y x x c =-++与x 轴正半轴，y 轴正半轴分别交于点,A B ，且,OA OB =点G 为抛物线的顶点． 本号资料皆*来源于微信公众#号：数学第六感()1求抛物线的解析式及点G 的坐标；()2点,M N 为抛物线上两点(点M 在点N 的左侧) ，且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，点Q 为抛物线上点,M N 之间(含点,M N )的一个动点，求点Q 的纵坐标Q y 的取值范围．4．如图，已知二次函数y ＝ax 2＋3x ＋12的图像经过点A （－1，－3）．(1)求a 的值和图像的顶点坐标．(2)若横坐标为m 的点B 在该二次函数的图像上．①当点B 向右平移4个单位长度后所得点B ′也落在该二次函数图像上时，求m 的值； ②若点B 到x 轴的距离不大于3，请根据图像直接写出m 的取值范围．5．如图，抛物线()230y ax bx a =+-≠与x 轴交于点()1,0A -，点()3,0B ，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的表达式；(2)在对称轴上找一点Q ，使ACQ 的周长最小，求点Q 的坐标；(3)P 是第四象限内抛物线上的动点，求BPC △面积S 的最大值及此时P 点的坐标．6．如图，抛物线2y x mx =+与直线y x b =-+交于点A (2，0)和点B ．。
2024年福建中考数学专题复习：二次函数综合题(含答案)
2024年福建中考数学专题复习：二次函数综合题一．定点问题（共3小题）1．已知抛物线y＝x2﹣2mx﹣3（m为常数）．（1）求抛物线的顶点坐标（用含m的代数式表示）；（2）当m≥1时，求抛物线顶点到x轴的最小距离；（3）当m＝0时，点A，B为该抛物线上的两点，顶点为D，直线AD的解析式为y1＝k1x+b1，直线BD的解析式为y2＝k2x+b2，若k1k2＝﹣，求证：直线AB过定点．2．已知抛物线y＝x2+bx+c关于直线x＝1对称，且过点（2，1）．（1）求抛物线的解析式；（2）过D（m，﹣1）的直线DE：y＝k1x+b1（k＞0）和直线DF：y＝k2x+b2（k2＜0）均与抛物线有且只有一个交点．①求k1k2的值；②平移直线DE，DF，使平移后的两条直线都经过点R（1，0），且分别与抛物线相交于G、H和P、Q两点，若M、N分别为GH，PQ的中点，求证：直线MN必过某一定点．3．在平面直角坐标系中，抛物线l：y＝x2﹣2mx﹣2﹣m（m＞0）与x轴分别相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，设抛物线l的对称轴与x轴相交于点N，且OC＝3ON（1）求m的值；（2）设点G是抛物线在第三象限内的动点，若∠GBC＝∠ACO，求点G的坐标；（3）将抛物线y＝x2﹣2mx﹣2﹣m向上平移3个单位，得到抛物线l′，设点P、Q是抛物线l′上在第一象限内不同的两点，射线PO、QO分别交直线y＝﹣2于点P′、Q′，设P′、Q′的横坐标分别为x P′、x Q′，且x P′⋅x Q′＝4，求证：直线PQ经过定点．二．定值问题（共2小题）4．过原点的抛物线与x轴的另一个交点为A，且抛物线的对称轴为直线x＝2，顶点为B．（1）求抛物线的解析式；（2）如图（1），点E是直线AB上方抛物线上一点，连接AB，BE，AE，若△ABE的面积为4，求点E的坐标；（3）如图（2），设直线y＝kx﹣2k（k≠0）与抛物线交于C，D两点，点D关于直线x＝2的对称点为D'，直线CD'与直线x＝2交于点P，求证：BP的长为定值．5．已知抛物线C1：y＝mx2+n与x轴于A，B两点，与y轴交于点C，△ABC为等腰直角三角形，且n＝﹣1．（1）求抛物线C1的解析式；（2）将C1向上平移一个单位得到C2，点M、N为抛物线C2上的两个动点，O为坐标原点，且∠MON＝90°，连接点M、N，过点O作OE⊥MN于点E．求点E到y轴距离的最大值；（3）如图，若点F的坐标为（0，﹣2），直线l分别交线段AF，BF（不含端点）于G，H两点．若直线l与抛物线C1有且只有一个公共点，设点G的横坐标为b，点H的横坐标为a，则a﹣b是定值吗？若是，请求出其定值，若不是，请说明理由．三．线段之积（共2小题）6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c，交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧，其中A点坐标（﹣1，0）；交y轴负半轴于点C，C点坐标（0，﹣3）．（1）求出抛物线的解析式；（2）如图1，若抛物线上有一点D，∠ACD＝45°，求点D的坐标．（3）如图2，点P是第一象限抛物线上一点，过点P的直线y＝mx+n（n＜0）与抛物线交于另外一点Q，连接AP、AQ，分别交y轴于M、N两点．若OM•ON＝2，试探究m、n之间的数量关系，并说明理由．7．已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（2，0），C（0，﹣1）．（1）求抛物线的解析式；（2）D为抛物线y＝ax2+bx+c上不与抛物线的顶点和点A，B重合的动点．①设抛物线的对称轴与直线AD交于点F，与直线BD交于点G，点F关于x轴的对称点为F′，求证：GF′的长度为定值；②当∠BAD＝45°时，过线段AD上的点H（不含端点A，D）作AD的垂线，交抛物线于P，Q两点，求PH•QH的最大值．四．线段数量关系（共5小题）8．抛物线C：y＝x2﹣2x﹣3交x轴于A，B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C．（1）直接写出点A，B的坐标；（2）如图1，直线y＝x+1经过点A，交抛物线于另一点N，点D在抛物线上，满足△DAN的面积与△CAN的面积相等，求点D的横坐标；（3）如图2，将抛物线C向上平移，使其顶点M在x轴上，得到抛物线C1，P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线C1上两点（P点在Q点左侧），直线PQ交抛物线C1对称轴于点E，过点Q作y轴的平行线分别交x轴，直线PM于F，H两点，EH交x轴于点G，求证：EG＝GH．9．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）．（1）若抛物线经过点（﹣1，1）且对称轴为直线x＝1，求a，c所满足的数量关系；（2）抛物线与y轴交于点，顶点为Q（2，0），过点的直线与抛物线交于E，F两点（点E在点F的左侧）．①求△EQF面积的最小值；②过点E作x轴的垂线，垂足为M，直线EM与直线FQ交于点N，连接PM，求证：PM∥QN．10．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（4，0），C（﹣1，0）两点，与y轴交于点B，点P为抛物线上的一个动点，连接AB，BC，PA，PC，PC与AB相交于点Q．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为第一象限内抛物线上的一个动点．设△APQ的面积为S1，△BCQ的面积为S2．求S1﹣S2的最大值，并求此时点P的坐标；（3）过点P作PD垂直于x轴于点D，与线段AB交于点N．设点D的横坐标为m，且2＜m＜4，PD中点为点M，AB中点为点E，若，求m的值．11．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（4，0），与y轴交于点B，对称轴为，点P是x轴上一点，过点P作垂直于x轴的直线分别交抛物线和直线AB于点E和点F．（1）求二次函数的表达式；（2）若E、F、P三个点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外）时，求点P的坐标；（3）分别过点E、F向抛物线的对称轴作垂线，交对称轴于点M、N，矩形EMNF与此抛物线相交，抛物线被截得的部分图象记作G，G的最高点的纵坐标为m，最低点纵坐标为n，当m﹣n＝2OP时，求点P的坐标．12．已知抛物线y＝﹣﹣2x+3n（n＞0）与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧）；与y轴交于点C，顶点为D．（1）如图1，若n＝1．①则D的坐标为；②当m≤x≤0时，抛物线的最小值为3，最大值为4，则m的取值范围为．（2）如图2，P是抛物线上一点，Q为射线CA上一点，且P、Q两点均在第三象限内，Q、A是位于直线PB 同侧的不同两点，若点P到x轴的距离为d，△QPB的面积为2nd．①求证：AC∥PB．②连接AP、OD、OQ、DQ，若AP＝QB，PQ＝4n，试判断△DOQ的形状是否随着n的变化而变化？并说明理由．五．面积问题（共5小题）13．已知抛物线C1：y＝﹣x2﹣2x﹣1，抛物线C2经过点A（﹣1，0），B（m+1，0）（m＞0），E为抛物线C2的顶点，M（x M，0）是x轴正半轴上的点．（1）若E在抛物线C1上，求点E的坐标；（用含m的式子表示）（2）若抛物线C2：y＝x2﹣mx+n，与y轴交于点C．①点D（m，y D）在抛物线C2上，当AM＝AD，x M＝5时，求m的值；②若m＝2，F是线段OB上的动点，过F作GF⊥CF交线段BC于点G，连接CE，GE，求△CGE面积的最小值．14．如图，在直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A的坐标为（﹣2，0）和原点O，将线段OA绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB．（1）求抛物线解析式，判断点B是否在抛物线上；（2）连接AB，作点O关于AB的对称点O′，求四边形AOBO′的面积；（3）点P（n，0）是x轴上一个动点，过P点作x轴的垂线交直线AB于点M，交抛物线于点N，将△ANB的面积记为S，若≤S≤，求n的取值范围．15．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）连接AC，BC，点D是直线BC下方抛物线上的一个的动点（不与B，C重合），①求△BCD面积的最大值；②若∠ACO+∠BCD＝∠ABC，求点D的坐标．16．在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点B（4，0），与y轴交于点C，点P 抛物线上一点．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点P为第一象限内抛物线上的点，过点P作PH⊥AB，垂足为H，作PE⊥x轴，垂足为E，交AB于点F，设△PHF的面积为S1，△BEF的面积为S2，当时，求点P的坐标；（3）点N为抛物线对称轴上的动点，是否存在点N，使得直线BC垂直平分线段PN？若存在，请直接写出点N 坐标，若不存在，请说明理由．17．抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0）两点，C是第一象限抛物线上一点，直线AC交y轴于点P．（1）求抛物线解析式；（2）如图1，当OP＝OA时，D是点C关于抛物线对称轴的对称点，M是抛物线上的动点，它的横坐标为m（﹣1＜m＜4），连接DM，CM，DM与直线AC交于点N．设△CMN和△CDN的面积分别为S1和S2，求的最大值．（3）如图2，直线BP交抛物线于另一点E，连接CE交y轴于点F，点C的横坐标为n．求的值．2024年福建中考数学专题复习：二次函数综合题（答案）一．定点问题（共3小题）1．已知抛物线y＝x2﹣2mx﹣3（m为常数）．（1）求抛物线的顶点坐标（用含m的代数式表示）；（2）当m≥1时，求抛物线顶点到x轴的最小距离；（3）当m＝0时，点A，B为该抛物线上的两点，顶点为D，直线AD的解析式为y1＝k1x+b1，直线BD的解析式为y2＝k2x+b2，若k1k2＝﹣，求证：直线AB过定点．【答案】（1）（m，﹣m2﹣3）；（2）抛物线顶点到x轴的最小距离为4；（3）直线AB过定点（0，﹣）．2．已知抛物线y＝x2+bx+c关于直线x＝1对称，且过点（2，1）．（1）求抛物线的解析式；（2）过D（m，﹣1）的直线DE：y＝k1x+b1（k＞0）和直线DF：y＝k2x+b2（k2＜0）均与抛物线有且只有一个交点．①求k1k2的值；②平移直线DE，DF，使平移后的两条直线都经过点R（1，0），且分别与抛物线相交于G、H和P、Q两点，若M、N分别为GH，PQ的中点，求证：直线MN必过某一定点．【答案】（1）y＝x2﹣2x+1；（2）①k1k2＝﹣4；②证明见解答过程．3．在平面直角坐标系中，抛物线l：y＝x2﹣2mx﹣2﹣m（m＞0）与x轴分别相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，设抛物线l的对称轴与x轴相交于点N，且OC＝3ON（1）求m的值；（2）设点G是抛物线在第三象限内的动点，若∠GBC＝∠ACO，求点G的坐标；（3）将抛物线y＝x2﹣2mx﹣2﹣m向上平移3个单位，得到抛物线l′，设点P、Q是抛物线l′上在第一象限内不同的两点，射线PO、QO分别交直线y＝﹣2于点P′、Q′，设P′、Q′的横坐标分别为x P′、x Q′，且x P′⋅x Q′＝4，求证：直线PQ经过定点．【答案】（1）m＝1；（2）点G的坐标为；（3）见解析．二．定值问题（共2小题）4．过原点的抛物线与x轴的另一个交点为A，且抛物线的对称轴为直线x＝2，顶点为B．（1）求抛物线的解析式；（2）如图（1），点E是直线AB上方抛物线上一点，连接AB，BE，AE，若△ABE的面积为4，求点E的坐标；（3）如图（2），设直线y＝kx﹣2k（k≠0）与抛物线交于C，D两点，点D关于直线x＝2的对称点为D'，直线CD'与直线x＝2交于点P，求证：BP的长为定值．【答案】（1）解析式为：y＝x2﹣2x；（2）E1（0，0），E2（6，6）；（3）证明见解答过程．5．已知抛物线C1：y＝mx2+n与x轴于A，B两点，与y轴交于点C，△ABC为等腰直角三角形，且n＝﹣1．（1）求抛物线C1的解析式；（2）将C1向上平移一个单位得到C2，点M、N为抛物线C2上的两个动点，O为坐标原点，且∠MON＝90°，连接点M、N，过点O作OE⊥MN于点E．求点E到y轴距离的最大值；（3）如图，若点F的坐标为（0，﹣2），直线l分别交线段AF，BF（不含端点）于G，H两点．若直线l与抛物线C1有且只有一个公共点，设点G的横坐标为b，点H的横坐标为a，则a﹣b是定值吗？若是，请求出其定值，若不是，请说明理由．【答案】（1）y＝x2﹣1；（2）；（3）定值1．三．线段之积（共2小题）6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c，交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧，其中A点坐标（﹣1，0）；交y轴负半轴于点C，C点坐标（0，﹣3）．（1）求出抛物线的解析式；（2）如图1，若抛物线上有一点D，∠ACD＝45°，求点D的坐标．（3）如图2，点P是第一象限抛物线上一点，过点P的直线y＝mx+n（n＜0）与抛物线交于另外一点Q，连接AP、AQ，分别交y轴于M、N两点．若OM•ON＝2，试探究m、n之间的数量关系，并说明理由．【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）D（4，5）；（3）m、n之间的数量关系为n+3m＝2．理由间接性．7．已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（2，0），C（0，﹣1）．（1）求抛物线的解析式；（2）D为抛物线y＝ax2+bx+c上不与抛物线的顶点和点A，B重合的动点．①设抛物线的对称轴与直线AD交于点F，与直线BD交于点G，点F关于x轴的对称点为F′，求证：GF′的长度为定值；②当∠BAD＝45°时，过线段AD上的点H（不含端点A，D）作AD的垂线，交抛物线于P，Q两点，求PH•QH的最大值．【答案】（1）y＝x2﹣x﹣1；（2）①F′G＝为定值；②PH•QH的最大值为：．四．线段数量关系（共5小题）8．抛物线C：y＝x2﹣2x﹣3交x轴于A，B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C．（1）直接写出点A，B的坐标；（2）如图1，直线y＝x+1经过点A，交抛物线于另一点N，点D在抛物线上，满足△DAN的面积与△CAN的面积相等，求点D的横坐标；（3）如图2，将抛物线C向上平移，使其顶点M在x轴上，得到抛物线C1，P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线C1上两点（P点在Q点左侧），直线PQ交抛物线C1对称轴于点E，过点Q作y轴的平行线分别交x轴，直线PM于F，H两点，EH交x轴于点G，求证：EG＝GH．【答案】（1）A（﹣1，0），B（3，0）；（2）3或；（3）见解析．9．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）．（1）若抛物线经过点（﹣1，1）且对称轴为直线x＝1，求a，c所满足的数量关系；（2）抛物线与y轴交于点，顶点为Q（2，0），过点的直线与抛物线交于E，F两点（点E在点F的左侧）．①求△EQF面积的最小值；②过点E作x轴的垂线，垂足为M，直线EM与直线FQ交于点N，连接PM，求证：PM∥QN．【答案】（1）3a+c＝1；（2）①4；②见解答．10．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（4，0），C（﹣1，0）两点，与y轴交于点B，点P为抛物线上的一个动点，连接AB，BC，PA，PC，PC与AB相交于点Q．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为第一象限内抛物线上的一个动点．设△APQ的面积为S1，△BCQ的面积为S2．求S1﹣S2的最大值，并求此时点P的坐标；（3）过点P作PD垂直于x轴于点D，与线段AB交于点N．设点D的横坐标为m，且2＜m＜4，PD中点为点M，AB中点为点E，若，求m的值．【答案】（1）y＝﹣x2+3x+4；（2）S1﹣S2的最大值为，点P的坐标为：（，）；（3）m＝．11．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（4，0），与y轴交于点B，对称轴为，点P是x轴上一点，过点P作垂直于x轴的直线分别交抛物线和直线AB于点E和点F．（1）求二次函数的表达式；（2）若E、F、P三个点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外）时，求点P的坐标；（3）分别过点E、F向抛物线的对称轴作垂线，交对称轴于点M、N，矩形EMNF与此抛物线相交，抛物线被截得的部分图象记作G，G的最高点的纵坐标为m，最低点纵坐标为n，当m﹣n＝2OP时，求点P的坐标．【答案】（1）；（2）（﹣1，0），，；（3）P（6，0）．12．已知抛物线y＝﹣﹣2x+3n（n＞0）与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧）；与y轴交于点C，顶点为D．（1）如图1，若n＝1．①则D的坐标为（﹣1，4）；②当m≤x≤0时，抛物线的最小值为3，最大值为4，则m的取值范围为﹣2≤m≤﹣1 ．（2）如图2，P是抛物线上一点，Q为射线CA上一点，且P、Q两点均在第三象限内，Q、A是位于直线PB 同侧的不同两点，若点P到x轴的距离为d，△QPB的面积为2nd．①求证：AC∥PB．②连接AP、OD、OQ、DQ，若AP＝QB，PQ＝4n，试判断△DOQ的形状是否随着n的变化而变化？并说明理由．【答案】（1）①（﹣1，4）；②﹣2≤m≤﹣1；（2）①证明见解析过程；②△DOQ的形状不会随着n的变化而变化，理由见解析过程．五．面积问题（共5小题）13．已知抛物线C1：y＝﹣x2﹣2x﹣1，抛物线C2经过点A（﹣1，0），B（m+1，0）（m＞0），E为抛物线C2的顶点，M（x M，0）是x轴正半轴上的点．（1）若E在抛物线C1上，求点E的坐标；（用含m的式子表示）（2）若抛物线C2：y＝x2﹣mx+n，与y轴交于点C．①点D（m，y D）在抛物线C2上，当AM＝AD，x M＝5时，求m的值；②若m＝2，F是线段OB上的动点，过F作GF⊥CF交线段BC于点G，连接CE，GE，求△CGE面积的最小值．【答案】（1）E（m，﹣m2﹣m﹣1）；（2）①m＝3﹣1；②6﹣6．14．如图，在直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A的坐标为（﹣2，0）和原点O，将线段OA绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB．（1）求抛物线解析式，判断点B是否在抛物线上；（2）连接AB，作点O关于AB的对称点O′，求四边形AOBO′的面积；（3）点P（n，0）是x轴上一个动点，过P点作x轴的垂线交直线AB于点M，交抛物线于点N，将△ANB的面积记为S，若≤S≤，求n的取值范围．【答案】（1）y＝x2+x；点B在抛物线上，理由见解答过程；（2）2；（3）≤n≤﹣或≤n≤或≤n≤．15．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）连接AC，BC，点D是直线BC下方抛物线上的一个的动点（不与B，C重合），①求△BCD面积的最大值；②若∠ACO+∠BCD＝∠ABC，求点D的坐标．【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）①△BCD面积的最大值为；②D（，﹣）．16．在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点B（4，0），与y轴交于点C，点P抛物线上一点．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点P为第一象限内抛物线上的点，过点P作PH⊥AB，垂足为H，作PE⊥x轴，垂足为E，交AB于点F，设△PHF的面积为S1，△BEF的面积为S2，当时，求点P的坐标；（3）点N为抛物线对称轴上的动点，是否存在点N，使得直线BC垂直平分线段PN？若存在，请直接写出点N 坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝﹣x2+x+4；（2）；（3）存在点N，使得直线BC垂直平分线段PN；N的坐标是或．17．抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0）两点，C是第一象限抛物线上一点，直线AC交y轴于点P．（1）求抛物线解析式；（2）如图1，当OP＝OA时，D是点C关于抛物线对称轴的对称点，M是抛物线上的动点，它的横坐标为m（﹣1＜m＜4），连接DM，CM，DM与直线AC交于点N．设△CMN和△CDN的面积分别为S1和S2，求的最大值．（3）如图2，直线BP交抛物线于另一点E，连接CE交y轴于点F，点C的横坐标为n．求的值．【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）；（3）．。
二次函数与线段最值定值问题(八大类型)-2023年中考数学压轴题专项训练(学生版)
二次函数与线段最值定值问题(八大类型)考向分析题型一二次函数与单线段最值问题1.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(5，0)，B(-1，0)两点，与．y轴交于点C0，52(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线上是否存在点P，使得△ACP是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)点G为抛物线上的一动点，过点G作GE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为点F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点G的坐标．题型二二次函数与将军饮马型问题2.如图1，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A(-4，0)，B(1，0)两点，过点B的直线y=kx+23分别与y轴及抛物线交于点C，D．(1)求直线和抛物线的表达式；(2)动点P从点O出发，在x轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t 秒，当t为何值时，△PDC为直角三角形？请直接写出所有满足条件的t的值；(3)如图2，将直线BD沿y轴向下平移4个单位后，与x轴，y轴分别交于E，F两点，在抛物线的对称轴上是否存在点M，在直线EF上是否存在点N，使DM+MN的值最小？若存在，求出其最小值及点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．题型三二次函数与胡不归型线段最值问题3.已知抛物线y=-1x2+bx+c(b，c为常数)的图象与x轴交于A(1，0)，B两点(点A在点B左2侧)．与y轴相交于点C，顶点为D．(Ⅰ)当b=2时，求抛物线的顶点坐标；(Ⅱ)若点P是y轴上一点，连接BP，当PB=PC，OP=2时，求b的值；(Ⅲ)若抛物线与x轴另一个交点B的坐标为(4，0)，对称轴交x轴于点E，点Q是线段DE上一点，点NQ的最小值．N为线段AB上一点，且AN=2BN，连接NQ，求DQ+54二次函数与三线段和最值问题4.如图1，已知一次函数y=x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=-x2+bx+c 过A、B两点，且与x轴交于另一点C．(1)求b、c的值；(2)如图1，点D为AC的中点，点E在线段BD上，且BE=2ED，连接CE并延长交抛物线于点M，求点M的坐标；(3)将直线AB绕点A按逆时针方向旋转15°后交y轴于点G，连接CG，如图2，P为△ACG内一点，连接PA、PC、PG，分别以AP、AG为边，在他们的左侧作等边△APR，等边△AGQ，连接QR①求证：PG=RQ；②求PA+PC+PG的最小值，并求出当PA+PC+PG取得最小值时点P的坐标．二次函数与线段倍分关系最值问题5.抛物线y=-x2+4ax+b(a>0)与x轴相交于O、A两点(其中O为坐标原点)，过点P(2，2a)作直线PM⊥x轴于点M，交抛物线于点B，点B关于抛物线对称轴的对称点为C(其中B、C不重合)，连接AP交y轴于点N，连接BC和PC．(1)a=32时，求抛物线的解析式和BC的长；(2)如图a>1时，若AP⊥PC，求a的值；(3)是否存在实数a，使APPN =12若存在，求出a的值，如不存在，请说明理由．题型六二次函数与线段乘积问题6.已知直线y=12x+2分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y=12x2+mx-2经过点A，和x轴的另一个交点为C．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点D是抛物线上的动点，且在第三象限，求△ABD面积的最大值；(3)如图2，经过点M(-4，1)的直线交抛物线于点P、Q，连接CP、CQ分别交y轴于点E、F，求OE•OF的值．备注：抛物线顶点坐标公式-b2a，4ac-b24a7.抛物线y=ax2+c与x轴交于A，B两点，顶点为C，点P为抛物线上一点，且位于x轴下方．(1)如图1，若P(1，-3)，B(4，0)．①求该抛物线的解析式；②若D是抛物线上一点，满足∠DPO=∠POB，求点D的坐标；(2)如图2，已知直线PA，PB与y轴分别交于E、F两点．当点P运动时，OE+OFOC是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．8.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴分别交于A(-1，0)、B(3，0)两点，与y轴交于点C，且OB=OC．(1)求抛物线的函数表达式；(2)如图1，点D是抛物线顶点，点P(m，n)是在第二象限抛物线上的一点，分别连接BD、BC、BP，若∠CBD=∠ABP，求m的值；(3)如图1，过B、C、O三点的圆上有一点Q，并且点Q在第四象限，连接QO、QB、QC，试猜想线段QO、QB、QC之间的数量关系，并证明你的猜想；(4)如图2，若∠BAC的角平分线交y轴于点G，过点G的直线分别交射线AB、AC于点E、F(不与点A重合)，则1AE+1AF的值是否变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出它的值．压轴题速练一、解答题1.如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，D为顶点，其中点B的坐标为(5，0)，点D的坐标为(1，3)．(1)求该二次函数的表达式；(2)试问在该二次函数图象上是否存在点G，使得△ADG的面积是△BDG的面积的35若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．2.在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2-4x+c与x轴交于点A，B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，且点A的坐标为(-5,0)．(1)求点C的坐标；(2)如图1，若点P是第二象限内抛物线上一动点，求点P到直线AC距离的最大值；(3)如图2，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．3.如图，已知抛物线y=ax2-32x+c与x轴交于点点A(-4,0)，B(1,0)，与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q使QB+QC最小？若存在，请求出Q点坐标；若不存在，请说明理由；(3)点P为AC上方抛物线上的动点，过点P作PD⊥AC，垂足为点D，连接PC，当△PCD与△ACO相似时，求点P的坐标．4.如图，抛物线y=-12x2+bx+c过点A3,2，且与直线y=-x+72交于B、C两点，点B的坐标为4,m．(1)求抛物线的解析式；(2)点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，点P为对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+PA的最小值．5.抛物线y=ax2+bx-3(a，b为常数，a≠0)交x轴于A-3,0两点．，B4,0(1)求该抛物线的解析式；(2)点C0,4，D是线段AC上的动点(点D不与点A，C重合)．①点D关于x轴的对称点为D ，当点D 在该抛物线上时，求点D的坐标；②E是线段AB上的动点(点E不与点A，B重合)，且CD=AE，连接CE，BD，当CE+BD取得最小值时，求点D的坐标．6.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y =ax 2+bx +2a ≠0 与x 轴交于A -1,0 ，B 3,0 两点，与y 轴交于点C ，连接BC ．(1)求该抛物线的解析式；(2)点P 为直线BC 上方的抛物线上一点，过点P 作y 轴的垂线交线段BC 于M ，过点P 作x 轴的垂线交线段BC 于N ，求△PMN 的周长的最大值．(3)若点N 为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M ，使得以B ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．7.如图，二次函数y=-14x2+12m-1x+m(m是常数，且m>0)的图象与x轴相交于点A、B(点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C，动点P在对称轴l上，连接AC、BC、PA、PC．(1)求点A、B、C的坐标(用数字或含m的式子表示)；(2)当PA+PC的最小值等于45时，求m的值及此时点P的坐标；(3)当m取(2)中的值时，若∠APC=2∠ABC，请直接写出点P的坐标．8.已知抛物线y=x+1(m为常数，m>1)的顶点为P．x-m(1)当m=5时，求该抛物线顶点P的坐标；(2)若该抛物线与x轴交于点A，C(点A在点C左侧)，与y轴交于点B．①点Q是该抛物线对称轴上一个动点，当AQ+BQ的最小值为22时，求该抛物线的解析式和点Q 的坐标．②连接BC，与抛物线的对称轴交于点H，过点P作PD⊥BC，垂足为D，若BC=8PD，求该抛物线的解析式．9.已知抛物线y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a>0)的顶点为P，与x轴相交于点A-1,0和点B．(1)若b=-2，c=-3，①求点P的坐标；②直线x=m(m是常数，1<m<3)与抛物线相交于点M，与BP相交于点G，当MG取得最大值时，求点M，G的坐标；(2)若3b=2c，直线x=2与抛物线相交于点N，E是x轴的正半轴上的动点，F是y轴的负半轴上的动点，当PF+FE+EN的最小值为5时，直接写出顶点P的坐标．10.如图，抛物线y=-x2+bx+c交x轴于A、B两点(点A在点B的左侧)坐标分别为-2,0，4,0，交y轴于点C．(1)求出抛物线解析式：5时，请求(2)如图1，过y轴上点D做BC的垂线，交线段BC于点E，交抛物线于点F，当EF=35出点F的坐标；(3)如图2，点H的坐标是0,2在抛物线上，把△PHQ沿HQ翻折，，点Q为x轴上一动点，点P2,8使点P刚好落在x轴上，请直接写出点Q的坐标．11.抛物线y =ax 2+bx +c 与坐标轴交于A -1,0 、B 4,0 、C 0,2 三点．点P 为抛物线上位于BC 上方的一动点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，过点P 作PF ⊥x 轴于点F ，交BC 于点E ，连结CP 、CF ．当S ΔPCE =2S ΔCEF 时，求点P 的坐标；(3)过点P 作PG ⊥BC 于点G ，是否存在点P ，使线段PG 、CG 的长度是2倍关系？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．12.已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A-4，0．、B1，0、C0，4(1)求抛物线解析式和直线AC的解析式；(2)如图(1)，若点P是第四象限抛物线上的一点，若S△PAC=20，求点P的坐标；(3)如图(2)，点M是直线AC上方抛物线上的一个动点(不与A、C重合)，过点M作MH垂直AC于点H，求MH的最大值．13.如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与一直线相交于A-1,0两点，与y轴交于点N，其顶，C2,3点为D．(1)求抛物线及直线AC的解析式．(2)设点M3,m，求使MN+MD的值最小时m的值．(3)若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求出点E，F的坐标；若不能，请说明理由．14.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有且只有一个交点A2,0，且与y轴于交于点B．(1)求a与c的关系式；(2)若a=1时，点P2,1c在抛物线的对称轴上；①若过B点的直线l：y=kx+m(k≠0)与抛物线只有一个交点；证明：直线l平分∠OBP；②设过P点的直线与抛物线交于M，N点，则1PM+1PN是否为定值，若为定值请求出定值，若不是定值请说明理由．15.如图1，抛物线y=ax2+2x+c，交x轴于A、B两点，交y轴于点C，F为抛物线顶点，直线EF垂直于x轴于点E，当y≥0时，-1≤x≤3．(1)求抛物线的表达式；(2)点P是线段BE上的动点(除B、E外)，过点P作x轴的垂线交抛物线于点D．①当点P的横坐标为2时，求四边形ACFD的面积；②如图2，直线AD，BD分别与抛物线对称轴交于M、N两点．试问，EM+EN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．16.已知抛物线y=-x2+2kx-k2+4的顶点为H，与y轴交点为A，点P a,b是抛物线上异于点H的一个动点．(1)若抛物线的对称轴为直线x=1，请用含a的式子表示b；(2)若a=1，作直线HP交y轴于点B，当点A在x轴上方且在线段OB上时，直接写出k的取值范围；(3)在(1)的条件下，记抛物线与x轴的右交点为C，OA的中点为D，作直线CD，过点P作PF⊥CD 于点E并交x轴于点F，若a<3，PE=3EF，求a的值．17.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴只有一个公共点A2,0．且经过点3,1(1)求抛物线的函数解析式；(2)直线l：y=-x+m与抛物线y=ax2+bx+c相交于B、C两点(C点在B点的左侧)，与对称轴相交于点P，且B、C分布在对称轴的两侧．若B点到抛物线对称轴的距离为n，且CP=t·BP(2≤t≤3)．①试探求n与t的数量关系；②求线段BC的最大值，以及当BC取得最大值时对应m的值．18.如图1，二次函数y =ax 2+bx +3的图像与x 轴交于点A -1,0 ，B 3,0 ，与y 轴交于点C ．(1)求二次函数的解析式；(2)点P 为抛物线上一动点．①如图2，过点C 作x 轴的平行线与抛物线交于另一点D ，连接BC ，BD ．当S △PBC =2S △DBC 时，求点P 的坐标；②如图3，若点P 在直线BC 上方的抛物线上，连接OP 与BC 交于点E ，求PE OE的最大值．19.抛物线y=ax2-4经过A、B两点，且OA=OB，直线EC过点E4，-1，点D是线段，C0，-3OA(不含端点)上的动点，过D作PD⊥x轴交抛物线于点P，连接PC、PE．(1)求抛物线与直线CE的解析式；(2)求证：PC+PD为定值；(3)在第四象限内是否存在一点Q，使得以C、P、E、Q为顶点的平行四边形面积最大，若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．20.如图1．在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A-2,0，，点B4,0与y轴交于点C0,2．(1)求抛物线的解析式；(2)点P是第一象限内的抛物线上一点．过点P作PH⊥x轴于点H，交直线BC于点Q，求PQ+5CQ的最大值，并求出此时点P的坐标；5(3)如图2．将地物线沿射线BC的方向平移5个单位长度．得到新抛物线y1=a1x2+b1x+c1a1≠0，新抛物线与原抛物线交于点G，点M是x轴上一点，点N是新抛物线上一点，若以点C、G、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点N的坐标．。
中考数学知识点方法必备07二次函数中定值、定点问题(8类题型)解析版
方法必备07二次函数中定值、定点问题（8类题型）1．（2023•花都区二模）已知，抛物线22(22)2y x m x m m =-+++与x 轴交于A ，B 两点(A 在B 的左侧）．（1）当0m =时，求点A ，B 坐标；（2）若直线y x b =-+经过点A ，且与抛物线交于另一点C ，连接AC ，BC ，试判断ABC D 的面积是否发生变化？若不变，请求出ABC D 的面积；若发生变化，请说明理由；（3）当5221m x m --……时，若抛物线在该范围内的最高点为M ，最低点为N ，直线MN 与x 轴交于点D ，且3MDND=，求此时抛物线的解析式．【分析】（1）将0m =代入可得22y x x =-，令0y =，解方程即可求解．（2）令0y =，有22(22)20x m x m m -+++=，解方程得出A 点，B 点坐标，则2AB =，由直线y x b =-+经过点(,0)A m ，可得y x m =-+，联立求解方程组得到C 点坐标，即可求解．（3）求出32m >，由题可知对称轴为1x m =+，则对称轴512x m =+…，求得5122x m =+>…，即抛物线的对称轴在直线2x =的右侧，分情况讨论：①若211m m -+…，2m …，即322m <…时，证明MDH NDG D D ∽，利用相似三角形的性质即可求解；②若2121m m <+<-，即2m >，由||3||M N y y =，得2924153m m -+=，求解即可．【解答】解：（1）当0m =时，22y x x =-，当0y =时，有220x x -=，解得10x =，22x =，A Q 在B 的左侧，\点A 坐标为(0,0)，点B 坐标为(2,0)．（2）ABC D 的面积不变．对于抛物线22(22)2y x m x m m =-+++，当0y =时，有22(22)20x m x m m -+++=，解得：1x m =，22x m =+．A Q 在B 的左侧，\点A 坐标为(,0)m ，点B 坐标为(2,0)m +，2AB \=，Q 直线y x b =-+经过点(,0)A m ，0m b \=-+，b m \=，y x m \=-+，联立22(22)2y x m y x m x m m =-+ìí=-+++î解得1x m =，21x m =+，Q 点C 在y x m =-+上，当21x m =+时，1C y =-，C \点坐标为(1,1)m +-．11||21122ABC C S AB y D \=´´=´´=，ABC \D 的面积不发生变化，1ABC S D =．（3）5221m x m --Q ……，5221m m \-<-，32m \>．由题可知对称轴为1x m =+，则对称轴512x m =+…，Q522122m m -+-=，即范围5221m x m --……的中点为2x =，\5122x m =+>…，即抛物线的对称轴在直线2x =的右侧．①若211m m -+…，2m …，即322m <…时，Q 抛物线开口向上，当5221m x m --……时，y 随x 的增大而减小，如图，当52x m =-时，取最高点2(52,92415)M m m m --+，当21x m =-时，取最低点2(21,43)N m m m --+，分别过点M ，N 作x 轴的垂线交于点H ，G ，则MDH NDG D D ∽，\3MH MDNG ND ==，即||3||M N y y =，\22|92415|3|43|m m m m -+=-+，解得1m =（舍)或2m =，\当2m =时，抛物线的解析式为268y x x =-+．②若2121m m <+<-，即2m >，\最低点在顶点处取得，(1,1)N m \+-，当52x m =-时，取最高点2(52,92415)M m m m --+，由||3||M N y y =，得2924153m m -+=，解得1222,3m m ==，2m >Q ，1m \与2m 不符合题意，舍去，综上所述，抛物线的解析式为268y x x =-+．【点评】本题考查了二次函数综合，二次函数的图象与性质，相似三角形的性质与判定等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．2．（2023•兴化市一模）已知抛物线2(0)y ax a =>经过第二象限的点A ，过点A 作//AB x 轴交抛物线于点B ，第一象限的点C 为直线AB 上方抛物线上的一个动点．过点C 作CE AB ^于E ，连接AC 、BC ．（1）如图1，若点(1,1)A -，1CE =．①求a 的值；②求证：ACE CBE D D ∽．（2）如图2，点D 在线段AB 下方的抛物线上运动（不与A 、B 重合），过点D 作AB 的垂线，分别交AB 、AC 于点F 、G ，连接AD 、BD ．若90ADB Ð=°，求DF 的值（用含有a 的代数式表示）．（3）在（2）的条件下，连接BG 、DE ，试判断BGF DBE S S D D 的值是否随点D 的变化而变化？如果不变，求出S BGFS DBED D 的值，如果变化，请说明理由．【分析】（1）①待定系数法求a 值，②用两边对应成比例夹角相等判定相似．（2）（3）先设点坐标，依题意代数运算，分别用所设值表示DF 长，BGF D 与DBE D 面积，即可．【解答】（1）①(1,1)A -Q 在抛物线上，2(1)1a \-=，解得：1a =．②B Q 在抛物线上，且//AB x 轴，B \与A 关于2y x =的对称轴y 轴对称．(1,1)B \．1CE =Q ，C \的纵坐标2．令2y =，即：22x =，解得：x =)，x =．C \，2)，又CE AB ^Q ，E \，1)，1AE \=+，1BE =-，\AE CECE BE=，又90AEC CEB Ð=Ð=°Q ，ACE CBE \D D ∽．（2）设：2(,)A n an -，2(,)B n an ，2(,)D m am ，则22DF an am =-．若90ADB Ð=°，则ABD D 为Rt △，根据勾股定理可得：222AD DB AB +=．即：222222222()()()()(2)m n an am an am n m n ++-+-+-=．整理得：221an am a -=，即：1DF a=．（3）依题意设：2(,)A n an -，2(,)B n an ，2(,)C p ap ，2(,)D m am ，2(,)E p an ．DG AB ^Q ，CE AB ^，//FG EC \，AFG AEC \D D ∽，\FG AF m n CE AE p n+==+，\22()()()m nFG ap an a m n p n p n+=-=+-+．\22111()()()()()222BGF S BF FG n m a m n p n a p n n m D =××=-×+-=--．2211()()22DBE S BE DF a p n n m D =××=--．\1BGFDBES S D D =．即：BGFDBES S D D 的值不随D 的变化而变化，其值为1．【点评】本题考查了二次函数的性质，相似三角形的判定等知识，先设后求再验证的思路体系，在本题中有充分体现；同时对运算能力要求较高．3．（2023•绵阳）如图，抛物线经过AOD D 的三个顶点，其中O 为原点，(2,4)A ，(6,0)D ，点F 在线段AD 上运动，点G 在直线AD 上方的抛物线上，//GF AO ，GE DO ^于点E ，交AD 于点I ，AH 平分OAD Ð，(2,4)C --，AH CH ^于点H ，连接FH ．（1）求抛物线的解析式及AOD D 的面积；（2）当点F 运动至抛物线的对称轴上时，求AFH D 的面积；（3）试探究FGGI的值是否为定值？如果为定值，求出该定值；不为定值，请说明理由．【分析】（1）运用待定系数法可得2132y x x =-+．设点O 到AD 的距离为d ，点A 的纵坐标为A y ，根据三角形面积公式即可求得12AOD S D =；（2）当点F 运动至对称轴上时，点F 的横坐标为3，可得14AF AD =．连接OC 、OH ，由点A 与点C 关于原点O 对称，可得点A 、O 、C 三点共线，且O 为AC 的中点．推出//HO AD ，可得点H 到AD 的距离为d ．再根据三角形面积公式即可求得答案；（3）过点A 作AL OD ^于点L ，过点F作FK GE ^于点K．运用勾股定理可得OA ==FIK D 为等腰直角三角形．设FK m =，则KI m=，再运用解直角三角形可求得2GK m =，FG =，即可求得答案．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为2(0)y ax bx a =+¹．将(2,4)A ，(6,0)D 代入，得4243660a b a b +=ìí+=î，解得：123a b ì=-ïíï=î，2132y x x \=-+．设点O 到AD 的距离为d ，点A 的纵坐标为A y ，1116412222AOD A S AD d OD y D \=×=×=´´=．（2）221193(3)222y x x x =-+=--+Q ，\抛物线的对称轴为直线3x =．当点F 运动至对称轴上时，点F 的横坐标为3，则321624AF AD -==-，即14AF AD =．如图，连接OC 、OH ，由点(2,4)C -，得点A 与点C 关于原点O 对称，\点A 、O 、C 三点共线，且O 为AC 的中点．AH CH ^Q ，12OH AC OA \==，OAH AHO \Ð=Ð．AH Q 平分CAD Ð，OAH DAH \Ð=Ð，AHO DAH \Ð=Ð，//HO AD \，HO \与AD 间的距离为d ，\点H 到AD 的距离为d ．12AFH S AF d D =´´Q ，1122AOD S AD d D =´´=，111111()123224424AFH S AF d AD d AD d D \=´´=´´=´´´=´=．\当点F 运动至抛物线的对称轴上时，AFH D 的面积为3；（3）如图，过点A 作AL OD ^于点L ，过点F 作FK GE ^于点K ．由题意得4AL =，2OL =，OA \===．624DL OD OL \=-=-=，在Rt ADL D 中，AL DL =，45ADL \Ð=°，GE DO ^Q ，45FIK \Ð=°，即FIK D 为等腰直角三角形．设FK m =，则KI m =，在Rt AOL D 和Rt GFK D 中，//GF AO Q ，AOL GFK \Ð=Ð，tan tan AOL GFK \Ð=Ð，\AL GKOL FK =，即42GKm=，2GK m \=，23GI GK KI m m m \=+=+=．又sin sin AOL GFK Ð=ÐQ ，\AL GKAO FG =，2m FG =，FG \=，\FG GI ==．\FGGI【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，等腰直角三角形的判定和性质，图形的面积计算，相似三角形判定和性质，解直角三角形等，添加辅助线构造直角三角形是解题关键．4．（2023•金东区三模）如图，一次函数(0,0)by x b a b a=-+>>与坐标轴交于A ，B 两点，以A 为顶点的抛物线过点B ，过点B 作y 轴的垂线交该抛物线于另一点D ，以AB ，AD 为边构造ABCD Y ，延长BC 交抛物线于点E ．（1）若2a b ==，如图1．①求该抛物线的表达式．②求点E 的坐标．（2）如图2，请问BEAB是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【分析】（1）①将a ，b 的值代入一次函数解析式，可求出点A ，B 的坐标，利用待定系数法可得出结论；②由抛物线的对称性可得点D 的坐标，根据平行四边形的性质可求出点C 的坐标，进而求出直线BE 的表达式，联立直线和抛物线的解析式即可得出结论；（2）根据待定系数法可求出A ，B 的坐标，进而可表达AB 的根据对称性可得出点D 的坐标，根据菱形的性质可得出点C 的坐标，进而求出直线BE 的解析式，联立可求出点E 的坐标，进而求出BE 的长度，求比值即可得出结论．【解答】解：（1）当2a b ==时，一次函数为2y x =-+，令0x =，则2y =；令0y =，则2x =，(2,0)A \，(0,2)B ，\设抛物线的表达式为：2(2)y m x =-，将(0,2)B 代入可得，42m =，解得12m =；\抛物线的解析式为：21(2)2y x =-；②由抛物线的对称性可得，(4,2)D ，由平行四边形的性质可知，(2,4)C ，\直线BE 的解析式为：2y x =+，令21(2)22y x x =-=+，解得0x =（舍)或6x =，(6,8)E \；（2）是定值，理由如下：对于(0,0)by x b a b a=-+>>，令0x =，则y b =；令0y =，则x a =，(,0)A a \，(0,)B b ，\设抛物线的表达式为：2()y m x a =-，AB =将(0,)B b 代入可得，2a m b =，解得2b m a =；\抛物线的解析式为：22()by x a a=-；由抛物线的对称性可得，(2,)D a b ，由平行四边形的性质可知，(,2)C a b ，\直线BE 的解析式为：by x b a=+，令22()b b y x a x b a a=-=+，解得0x =（舍)或3x a =，(3,4)E a b \；BE \==，\3BE AB ==．【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，抛物线的对称性，二次函数图象与一次函数图象交点问题等相关知识，表达出点C 的坐标是解题关键．5．（2023•黑龙江一模）已知，抛物线2y ax bx c =++经过(1,0)A -、(3,0)B 、(0,3)C 三点，点P 是抛物线上一点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P 位于第四象限时，连接AC ，BC ，PC ，若PCB ACO Ð=Ð，求直线PC 的解析式；（3）如图2，当点P 位于第二象限时，过P 点作直线AP ，BP 分别交y 轴于E ，F 两点，请问CECF的值是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．【分析】（1）将(1,0)A -、(3,0)B 、(0,3)C 代入2y ax bx c =++，即可求解；（2）过点B 作MB CB ^交于点M ，过点M 作MN x ^轴交于点N ，由题意可得1tan 3BMBCM BCÐ==，求出BM =，再由45NBM Ð=°，求出点(2,1)M -，求直线CM 的解析式即为所求；（3）设2(,23)P t t t -++，分别由待定系数法求出直线AP 的解析式，直线BP 的解析式，就能求出CE 和CF 的长，即可求解．【解答】解：（1）将(1,0)A -、(3,0)B 、(0,3)C 代入2y ax bx c =++，\09303a b c a b c c -+=ìï++=íï=î，\123a b c =-ìï=íï=î，223y x x \=-++；（2）过点B 作MB CB ^交于点M ，过点M 作MN x ^轴交于点N ，(1,0)A -Q 、(0,3)C ，(3,0)B ，1OA \=，3OC =，BC =，1tan 3ACO \Ð=，PCB ACO Ð=ÐQ ，1tan 3BMBCM BC\Ð==，BM \=OB OC =Q ，45CBO \Ð=°，45NBM \Ð=°，1MN NB \==，(2,1)M \-，设直线CM 的解析式为y kx b =+，\321b k b =ìí+=-î，\23k b =-ìí=î，\直线PC 的解析式为23y x =-+；（3）CE CF 的值是为定值13．，理由如下：设2(,23)P t t t -++，设直线AP 的解析式为11y k x b =+，\2111123tk b t t k b ì+=-++ïí-+=ïî，\1133k tb t =-ìí=-î，(3)(3)y t x t \=-+-，(0,3)E t \-，CE t \=-，设直线BP 的解析式为22y k x b =+，\222222330k t b t t k b ì+=-++ïí+=ïî，\22133k t b t =--ìí=+î，(1)33y t x t \=--++，(0,33)F t \+，3CF t \=-，\13CE CF =，\CE CF 的值是为定值13．【点评】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，用待定系数法求函数解析式的方法是解题的关键．6．（2023•红桥区三模）已知抛物线22(y ax bx a =++，b 为常数，0)a ¹经过点(1,0)A -，(3,0)B ，与y 轴相交于点C ，其对称轴与x 轴相交于点E ．（1）求该抛物线的解析式；（2）连接BC ，在该抛物线上是否存在点P ，使PCB ABC Ð=Ð？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）Q 为x 轴上方抛物线上的动点，过点Q 作直线AQ ，BQ ，分别交抛物线的对称轴于点M ，N ，点Q 在运动过程中，EM EN +的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【分析】（1）把A 、B 两点坐标代入22y ax bx =++，求出a ，b 的值即可．（2）点P 的位置要分类讨论，P 在BC 上方时，P 和C 是对称点，已知C 的坐标，可求P ．P 在BC 下方时，利用等边对等角，勾股定理求出D 的坐标，求出CD 的表达式，再求直线CD 和抛物线的交点坐标，可得P 的坐标．（3）添加辅助线QF x ^轴，得平行线，找出成比例线段，用坐标表示线段，求出EM EN +的值．【解答】解：（1）抛物线22(y ax bx a =++，b 为常数，0)a ¹经过点(1,0)A -，(3,0)B ，209320a b a b -+=ìí++=î，解得2343a b ì=-ïïíï=ïî．224233y x x \=-++．，（2）224233y x x =-++．\点C 坐标(0,2)，①P 点在BC 的上方，PCB ABC Ð=Ð，//PC x \轴，\点C 、P 是一对对称点，对称轴是直线12bx a=-=．P \点坐标为(2,2)．②P 在BC 下方，PCB ABC Ð=Ð，DC DB \=，设D 的坐标为(,0)d ，3BD CD d \==-，根据勾股定理得，224(3)d d +=-，56d \=，D \的坐标5(6，0)．设直线CD 的表达式为y kx b =+，5062k bb ì=+ïíï=î，解得：1252k b ì=-ïíï=î，1225y x \=-+．当2241222335x x x -++=-+时，解得10x =（不合题意，舍去），2285x =．285x \=，122828625525y =-´+=-．P \的坐标28(5，286)25-．，（3）作QM x ^轴于F ．MN x ^Q 轴于E ，//MN QF \，\,AE EM EN EBAF FQ FQ FB ==，\EM EN AE EBFQ AF FB+=+，设Q 点坐标为(,)x y，2AE \=，1AF x =+，2BE =，3BF x =-，224233FQ y x x ==-++．22224((2)1333EM EN x x x x \+=+´-+++-2222()()(23)133x x x x =+´-´--+-222()((3)(1)313x x x x =-+´-++-4(31)3x x =-´--+163=．EM EN \+的值为定值，163EM EN +=．【点评】此题考查了待定系数法，二次函数的性质，等角对等边，勾股定理，比例线段等知识点，以及数形结合的数学思想，难度较大，得分率较低．7．（2023•呼和浩特）探究函数22||4||y x x =-+的图象和性质，探究过程如下：（1）自变量x 的取值范围是全体实数，x 与y 的几组对应值列表如下：x¼52-2-32-1-12-012132252¼y¼52-32m323223252-¼其中，m =2.根据如表数据，在图1所示的平面直角坐标系中，通过描点画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．观察图象，写出该函数的一条性质；（2）点F 是函数22||4||y x x =-+图象上的一动点，点(2,0)A ，点(2,0)B -，当3FAB S D =时，请直接写出所有满足条件的点F 的坐标；（3）在图2中，当x 在一切实数范围内时，抛物线224y x x =-+交x 轴于O ，A 两点（点O 在点A 的左边），点P 是点(1,0)Q 关于抛物线顶点的对称点，不平行y 轴的直线l 分别交线段OP ，AP （不含端点）于M ，N 两点．当直线l 与抛物线只有一个公共点时，PM 与PN 的和是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．【分析】（1）把1x =-代入22||4||y x x =-+即可求得2m =，运用描点法画出22||4||(0)y x x x =-+<部分的图象，观察图象描述性质即可；（2）当0x <时，224y x x =--，当0x …时，224y x x =-+，根据3FAB S D =，可求得点F 的纵坐标，代入解析式解方程即可；（3）利用待定系数法可得：直线OP 的表达式为4y x =①，直线AP 的表达式为48y x =-+②，由直线l 与抛物线只有一个公共点，可得直线l 的表达式为21(4)8y tx t =+-③，联立方程组可求得：1(4)8M x t =--，1(12)8N x t =--，再运用解直角三角形即可求得答案．【解答】解：（1）当1x =-时，22(1)4|1|2y =-´-+´-=，2m \=，函数图象如图所示：由图象可得该函数的性质：该函数关于y 轴对称；当1x <-或01x <…时，y 随x 的增大而增大；当10x -<…或1x …时，y 随x 的增大而减小；故答案为：2；（2）当0x <时，224y x x =--，当0x …时，224y x x =-+，(2,0)A Q ，(2,0)B -，4AB \=，3FAB S D =Q ，\14||32F y ´=，32F y \=±，当32F y =时，若0x <，则23242x x --=，解得：32x =-或12-，若0x …，则23242x x -+=，解得：32x =或12，3(2F \-，32或1(2-，3)2或3(2，3)2或1(2，3)2；当32F y =-时，若0x <，则23242x x --=-，解得：1x =-或1x =-+（舍去），若0x …，则23242x x -+=-，解得：12x =-（舍去）或12x =+，(1F \-+，32-或(1--32-或(1-3)2-或(1+3)2-；综上所述，所有满足条件的点F 的坐标为3(2-，32或1(2-，3)2或3(2，32或1(2，3)2或(1--32-或(1+3)2-；（3）PM 与PN 的和是定值；如图2，连接直线PQ ，Q 抛物线224y x x =-+交x 轴于O ，A 两点，(0,0)O \，(2,0)A ，22242(1)2y x x x =-+=--+Q ，\抛物线224y x x =-+的顶点为(1,2)，Q 点P 是点(1,0)Q 关于抛物线顶点(1,2)的对称点，故点P 的坐标为(1,4)，由点P 、O 的坐标得，直线OP 的表达式为4y x =①，同理可得，直线AP 的表达式为48y x =-+②，设直线l 的表达式为y tx n =+，联立y tx n =+和224y x x =-+并整理得：22(4)0x t x n +-+=，Q 直线l 与抛物线只有一个公共点，故△2(4)80t n =--=，解得21(4)8n t =-，故直线l 的表达式为21(4)8y tx t =+-③，联立①③并解得1(4)8M x t =--，同理可得，1(12)8N x t =--，Q 射线PO 、PA 关于直线:1PQ x =对称，则APQ OPQ Ð=Ð，设APQ OPQ a Ð=Ð=，则sin sin sin OQ APQ OPQ OP a Ð=Ð====，11)sin sin N M N M x x PM PN x x a a--\+=+=-=【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，抛物线上的点的坐标的特征，一次函数图象上点的坐标的特征，待定系数法确定函数的解析式，抛物线的平移的性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．8．（2023•平遥县一模）综合与探究．如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数224233y x x =-++的图象与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，连接BC ．（1）求A ，B ，C 三点的坐标，并直接写出直线BC 的函数表达式；（2）点P 是二次函数图象上的一个动点，请问是否存在点P 使PCB ABC Ð=Ð？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，作出该二次函数图象的对称轴直线l ，交x 轴于点D ．若点M 是二次函数图象上一动点，且点M 始终位于x 轴上方，作直线AM ，BM ，分别交l 于点E ，F ，在点M 的运动过程中，DE DF +的值是否为定值？若是，请直接写出该定值；若不是，请说明理由．【分析】（1）先根据二次函数的性质求出A ，B ，C 的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式；（2）分两种情况讨论，当点P 在BC 上方时，当点P 在BC 下方时，再利用勾股定理和待定系数法进行求解即可；（3）由（2）得抛物线的对称轴为直线1x =，求出点D 的坐标，设224(,2)33M t t t -++且13t -<<，分别求出直线AM 的解析式和直线BM 的解析式，进而表示出4444,333DE t DF t =-+=+，即可求解．【解答】解：（1）当0y =时，即2242033x x -++=，解得：11x =-，23x =．\图象与x 轴交于点(1,0)A -，(3,0)B ，当0x =时，2y =，\图象与y 轴交于点(0,2)C ，\直线BC 的函数表达式为223BC y x =-+；（2）存在，理由如下：当点P 在BC 上方时，PCB ABC Ð=ÐQ ，//CP AB \，即//CP x 轴，\点P 与点C 关于抛物线的对称轴对称，Q 224233y x x =-++，\抛物线的对称轴为直线43122()3x =-=´-；(0,2)C Q ，(2,2)P \；当点P 在BC 下方时，设CP 交x 轴于点(,0)K m ，则OK m =，3KB m =-．PCB ABC Ð=ÐQ ，3CK BK m \==-．在Rt COK D 中，222OC OK CK +=，2222(3)m m \+=-，解得：56m =，\5(,0)6K ，设直线CK 的解析式为y kx d =+，562k d d ì+=ïíï=î，解得：1252k d ì=-ïíï=î，\直线CK 的解析式为1225y x =-+，联立，得2122524233y x y x x ì=-+ïïíï=-++ïî，解得：1102x y =ìí=î（舍去），2228528625x y ì=ïïíï=-ïî，\28286(,525P -．综上所述，点P 的坐标为(2,2)或28286(,)525-；（3）存在，DE DF +的值为定值163，理由如下：由（2）得抛物线的对称轴为直线1x =，(1,0)D \，设224(,2)33M t t t -++且13t -<<，设直线AM 的解析式为11y k x b =+，将(1,0)A -和点M 的坐标代入得：11211024233k b tk b t t -+ìïí+=-++ïî，解得：11223223k t b t ì=-+ïïíï=-+ïî，\直线AM 的解析式为22(2)233y t x t =-+-+，当1x =时，443y t =-+，\4(1,4)3E t -+，同理，直线BM 的解析式为：22(2233y t x t =--++，当1x =时，4433y t =+，\44(1,33F t +，\4444,333DE t DF t =-+=+，\44416(4)3333DE DF t t +=++-+=，DE DF \+的值是定值，163DE DF +=．【点评】本题考查了二次函数的综合题目，涉及待定系数法求一次函数解析式，二次函数解析式，二次函数的图象和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．9．（2023•广元）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数24y ax bx =++的图象与x 轴交于点(2,0)A -，(4,0)B ，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）已知E 为抛物线上一点，F 为抛物线对称轴l 上一点，以B ，E ，F 为顶点的三角形是等腰直角三角形，且90BFE Ð=°，求出点F 的坐标；（3）如图2，P 为第一象限内抛物线上一点，连接AP 交y 轴于点M ，连接BP 并延长交y 轴于点N ，在点P 运动过程中，12OM ON +是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．【分析】（1）待定系数法求解析式即可；（2）求出抛物线的对称轴为直线1x =，设对称轴l 与x 轴交于点G ，过点E 作ED l ^于点D ，证明DFG GBF D @D ，设(1,)F m ，进而得出E 点的坐标，代入抛物线解析式，求得m 的值，当E 点与A 点重合时，可得(1,3)F -或(1,3)F ；（3）设(,)P s t ，直线AP 的解析式为y dx f =+，BP 的解析式为y gx h =+，求得解析式，可得OM ，ON ，即可求解．【解答】解：（1）将点(2,0)A -，(4,0)B ，代入24y ax bx =++得：424016440a b a b -+=ìí++=î，解得：121a b ì=-ïíï=î，\抛物线解析式为2142y x x =-++；（2）Q 点(2,0)A -，(4,0)B ，\抛物线的对称轴为直线2412l x -+==，设直线l 与x 轴交于点G ，过点E 作ED l ^于点D ，当F 在x 轴上方时，如图：Q 以B ，E ，F 为顶点的三角形是等腰直角三角形，且90BFE Ð=°，EF BF \=，90DFE BFG GBF Ð=°-Ð=ÐQ ，90EDF BGF Ð=Ð=°，()DFE GBF AAS \D @D ，GF DE \=，GB FD =，设(1,)F m ，则DE m =，3DG DF FG GB FG m =+=+=+，(1,3)E m m \++，E Q 点在抛物线2142y x x =-++上，\213(1)(1)42m m m +=-++++，解得：3m =-（舍去）或1m =，(1,1)F \；当F 在x 轴下方时，如图：同理可得()DFE GBF AAS D @D ，GF DE =，GB FD =，设(1,)F n ，则(1,3)E n n --，把(1,3)E n n --代入2142y x x =-++得：213(1)(1)42n n n -=--+-+，解得3n =（舍去）或5n =-，(1,5)F \-；当E 点与A 点重合时，如图所示，6AB =Q ，ABF D 是等腰直角三角形，且90BFE Ð=°，\132GF AB ==，此时(1,3)F -，由对称性可得，点(1,3)F ¢也满足条件，综上所述，(1,1)F 或(1,5)-或(1,3)-或(1,3)；（3）12OM ON +为定值6，理由如下：设(,)P s t ，直线AP 的解析式为y dx f =+，BP 的解析式为y gx h =+，Q 点(2,0)A -，(4,0)B ，(,)P s t ，\20d f s d f t -+=ìí+=î，40g h s g h t +=ìí+=î，解得：222t d s t f s ì=ïï+íï=ï+î，444t g s t h s ì=ïï-íï=ï-î，\直线AP 的解析式为222t t y x s s =+++，BP 的解析式为444t ty x s s =+--，在222t t y x s s =+++中，令0x =得22ty s =+，\2(0,)2tM s +，在444t t y x s s =+--中，令0x =得44ty s =-，4(0,)4tN s\-，(,)P s t Q 在抛物线上，2114(4)(2)22t s s s s \=-++=--+，21214126(4)(2)6222428(4)(2)t t t s s OM ON s s s s s s --+\+=+´===+--++--+，12OM ON \+为定值6．【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，等腰直角三角形等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．10.（2023•扬州）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 在y 轴正半轴上．（1）如果四个点(0,0)、(0,2)、(1,1)、(1,1)-中恰有三个点在二次函数2(y ax a =为常数，且0)a ¹的图象上．①a = ；②如图1，已知菱形ABCD 的顶点B 、C 、D 在该二次函数的图象上，且AD y ^轴，求菱形的边长；③如图2，已知正方形ABCD 的顶点B 、D 在该二次函数的图象上，点B 、D 在y 轴的同侧，且点B 在点D 的左侧，设点B 、D 的横坐标分别为m 、n ，试探究n m -是否为定值．如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由．（2）已知正方形ABCD 的顶点B 、D 在二次函数2(y ax a =为常数，且0)a >的图象上，点B 在点D 的左侧，设点B 、D 的横坐标分别为m 、n ，直接写出m 、n 满足的等量关系式．【分析】（1）①在2y ax =中，令0x =得0y =，即知(0,2)不在二次函数2(y ax a =为常数，且0)a ¹的图象上，用待定系数法可得1a =；②设BC 交y 轴于E ，设菱形的边长为2t ，可得2(,)B t t -，故AE ==，2(2,)C t t +，代入2y x =得224t t +=，可解得t =③过B 作BF y ^轴于F ，过D 作DE y ^轴于E ，由点B 、D 的横坐标分别为m 、n ，可得BF m =，2OF m =，DE n =，2OE n =，证明()ABF DAE AAS D @D ，有BF AE =，AF DE =，故22m n AF m =--，AF n =，即可得1n m -=；（2）过B 作BF y ^轴于F ，过D 作DE y ^轴于E ，由点B 、D 的横坐标分别为m 、n ，知2(,)B m am ，2(,)D n an ，分三种情况：①当B ，D 在y 轴左侧时，由()ABF DAE AAS D @D ，可得22m am AF an -=--，AF n =-，故1n m a-=；②当B 在y 轴左侧，D 在y 轴右侧时，由()ABF DAE AAS D @D ，有22m am AF an -=+-，AF n =，知0m n +=或1n m a -=；③当B ，D 在y 轴右侧时，22m an AF am =--，AF n =，可得1n m a-=．【解答】解：（1）①在2y ax =中，令0x =得0y =，(0,0)\在二次函数2(y ax a =为常数，且0)a ¹的图象上，(0,2)不在二次函数2(y ax a =为常数，且0)a ¹的图象上，Q 四个点(0,0)、(0,2)、(1,1)、(1,1)-中恰有三个点在二次函数2(y ax a =为常数，且0)a ¹的图象上，\二次函数2(y ax a =为常数，且0)a ¹的图象上的三个点是(0,0)，(1,1)，(1,1)-，把(1,1)代入2y ax =得：1a =，故答案为：1；②设BC 交y 轴于E ，如图：设菱形的边长为2t ，则2AB BC CD AD t ====，B Q ，C 关于y 轴对称，BE CE t \==，2(,)B t t \-，2OE t \=，AE ==Q ，2OA OE AE t \=+=，2(2,)D t t \+，把2(2,)D t t +代入2y x =得：224t t =，解得t =或0t =（舍去），\③n m -是为定值，理由如下：过B 作BF y ^轴于F ，过D 作DE y ^轴于E ，如图：Q 点B 、D 的横坐标分别为m 、n ，2(,)B m m \，2(,)D n n ，BF m \=，2OF m =，DE n =，2OE n =，Q 四边形ABCD 是正方形，90DAB \Ð=°，AD AB =，90FAB EAD EDA \Ð=°-Ð=Ð，90AFB DEA Ð=Ð=°Q ，()ABF DAE AAS \D @D ，BF AE \=，AF DE =，22m n AF m \=--，AF n =，22m n n m \=--，()()m n n m n m \+=-+，Q 点B 、D 在y 轴的同侧，0m n \+¹，1n m \-=；（2）过B 作BF y ^轴于F ，过D 作DE y ^轴于E ，Q 点B 、D 的横坐标分别为m 、n ，2(,)B m am \，2(,)D n an ，①当B ，D 在y 轴左侧时，如图：BF m \=-，2OF am =，DE n =-，2OE an =，同理可得()ABF DAE AAS D @D ，BF AE \=，AF DE =，22m am AF an \-=--，AF n =-，22m am n an \-=+-，()()m n a n m n m \+=-+，n m a\-=；②当B 在y 轴左侧，D 在y 轴右侧时，如图：BF m \=-，2OF am =，DE n =，2OE an =，同理可得()ABF DAE AAS D @D ，BF AE \=，AF DE =，22m am AF an \-=+-，AF n =，22m am n an \-=+-，()()m n a n m n m \+=+-，0m n \+=或1n m a-=；③当B ，D 在y 轴右侧时，如图：BF m \=，2OF am =，DE n =，2OE an =，同理可得()ABF DAE AAS D @D ，BF AE \=，AF DE =，22m an AF am \=--，AF n =，22m an n am \=--，()()m n a n m n m \+=+-，n m a\-=；综上所述，m 、n 满足的等量关系式为0m n +=或1n m a-=．【点评】本题考查二次函数的应用，涉及待定系数法，三角形全等的判定与性质，解题的关键是分类讨论思想的应用．11．（2023•长汀县模拟）在平面直角坐标系中，抛物线2(0)y ax bx c a =++>经过(2,0)A -，(0,2)B -两点．（1）用含a 的式子表示b ；（2）当2a =时，如图1，点C 是直线AB 下方抛物线上的一个动点，求点C 到直线AB 距离的最大值．（3）当1a =时，如图2，过点1(2P -，2)-的直线交抛物线2(0)y ax bx c a =++>于M ，N ．①若//MN x 轴，计算11PM PN+=4 ．②若MN 与x 轴不平行，请你探索11PM PN+是否定值？请说明理由．【分析】（1）将(2,0)A -，(0,2)B -代入抛物线解析式，利用待定系数法求解即可；（2）求出抛物线的解析式，进而求出点A ，B 的坐标，可得AOB D 是等腰直角三角形；过点C 作CF x ^轴于F ，交AB 于E ，则ECD D 是等腰直角三角形，设点C 的横坐标为m ，则2(,232)C m m m +-，则(,2)E m m --，可得22(1)2CE m =-++，所以21)CD m ==+，利用二次函数的性质可得结论；（3）①令2y =-，求出x 的值可得出M ，N 的坐标，分别表达PM ，PN 的长度，代入可得结论；②设直线MN 的解析式为22k y kx =+-，1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，令2222kkx x x +-=+-，整理得2(1)02kx k x +--=，所以121x x k +=-，122k x x =-，分别表达PM ，PN 和MN 的长度，代入可得结论．【解答】解：（1）将(2,0)A -，(0,2)B -代入抛物线2y ax bx c =++，得4202a b c c -+=ìí=-î，21b a \=-；（2）当2a =时，212213b a =-=´-=，2232y x x \=+-，(2,0)A -Q ，(0,2)B -，OA OB \=，AOB \D 是等腰直角三角形，45OAB \Ð=°，如图1，过点C 作CF x ^轴于F ，交AB 于E ，则ECD D 是等腰直角三角形，\直线AB 的解析式为2y x =--，设2(,232)C m m m +-，则(,2)E m m --，2(2)(232)CE m m m \=---+-224m m=--22(1)2m =-++，21)2CD m \==++，0<Q ，20m -<<，\当1m =-时，CD 当1m =-时，2323y =--=-，综上，点C 的坐标为(1,3)--时，CD\点C 到直线AB ；（3）①当1a =时，抛物线的解析式为22y x x =+-，令2y =-，即222x x +-=-，解得0x =或1x =-，(1,2)M \--，(0,2)N -，12PM PN \==，\111141122PM PN +=+=，故答案为：4；②11PM PN+是定值．理由如下：Q 过点1(2P -，2)-的直线交抛物线22y x x =+-于M ，N ，设直线MN 的解析式为22ky kx =+-，1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，令2222k kx x x +-=+-，整理得2(1)02kx k x +--=，121x x k \+=-，122kx x =-，1122ky kx =+-Q ，2222k y kx =+-，1212()y y k x x \-=-，2221212()()MN x x y y \=-+-2212(1)()k x x =+-221212(1)[()4]k x x x x =++-22(1)[(1)4()]2kk k =+--´-22(1)k =+，21MN k \=+，1(2P -Q ，2)-，======21(1)4k =+14MN =，\11414PM PN MN PM PN PM PN MN ++===×，\11PM PN+是定值．【点评】本题主要考查二次函数与一次函数的综合运用，掌握二次函数图象的性质，函数图象平移的性质，一次函数与二次函数交点的计算方法是解题的关键．12．（2023•宿豫区三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数15544y x =+的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，对称轴为直线2x =的抛物线22(0)yax bx c a =++¹也经过点A 、点C ，并与x 轴正半轴交于点B ．（1）求抛物线22(0)y ax bx c a =++¹的函数表达式；（2）设点25(0,)12E ，点F 在抛物线22(0)y ax bx c a =++¹对称轴上，并使得AEF D 的周长最小，过点F 任意作一条与y 轴不平行的直线交此抛物线于1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y 两点，试探究11FP FQ+的值是否为定值？说明理由；（3）将抛物线22(0)y ax bx c a =++¹适当平移后，得到抛物线23()(1)y a x h h =->，若当1x m <…时，3y x -…恒成立，求m 的最大值．【分析】（1）根据一次函数图象与坐标轴的交点分别解出点A ，C 的坐标，根据抛物线的对称轴解出点C 的坐标，根据待定系数法即可求解抛物线的解析式；（2）根据轴对称求线段的最小值，图形结合分析，计算出点BE 的解析式，再解出点F 的坐标，用点P ，Q 分别表示出直线PQ 的解析式，根据勾股定理分别PQ ，PF ，QF 的值，由此即可求解；（3）根据抛物线的平移确定平移为左右平移，由此确定3y 的二次项系数，画出图形，根据二次函数与直线4y x =-的交点的情况判断34y y >的取值，由此即可求解．【解答】解：（1）一次函数15544y x =+的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，令0x =，则154y =，令10y =，则1x =-，(1,0)A \-，5(0,4C ，Q 抛物线22(0)y ax bx c a =++¹的对称轴为直线2x =，且抛物线过点(1,0)A -，5(0,)4C ，且抛物线与x 轴正半轴交于点B ，(5,0)B \，设函数表达式为2(1)(5)y a x x =+-，将点5(0,4C 代入解析式得，5(01)(05)4a +-=，解得14a =-，\抛物线的解析式为22115(1)(5)444y x x x x =-+-=-++；（2）11FP FQ+的值是定值，理由如下：AEF D Q 的周长为AE AF EF ++，由AEF D 的周长最小，AE 的长是定值，AF EF \+最小，连接BE 交对称轴于点F ，设BE 所在直线的解析式为BE y mx n =+，且(5,0)B ，25(0,12E ，\502512m n n +=ìïí=ïî，解得，5122512m n ì=-ïïíï=ïî，\直线BE 的解析式为5251212BE y x =-+，Q 点F 在抛物线的对称轴2x =的直线上，\点5(2,)4F ；Q 过点5(2,)4F 任意作一条与y 轴不平行的直线交此抛物线于1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y 两点，如图所示，过点P 作y 的平行线，过点Q 作x 轴的平行线，交于点K ，\设PQ y px q =+，把点5(2,)4F 代入得，\524p q =+，524q p \=-，\直线PQ 的解析为524PQ y px p =+-，令25152444px p x x +-=-++，整理得：2(44)80x p x p ---=，\根据韦达定理得，1244x x p +=-，128x x p =-，Q 点1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y 在直线PQ 上，在Rt PQK D 中，12PK y y =-，12QK x x =-，11524y px p \=+-，22524y px p =+-，1212()y y p x x \-=-，222PQ QK PK \=+221212()()x x y y =-+-2212(1)()p x x =+-221212(1)[()4]p x x x x =++-22(1)[(44)4(8)]p p p =+---2216(1)p =+，24(1)PQ p \=+，同理：PF =，QF =，\11FP FQ FP FQ FP FQ ++=×PQ FP FQ=×=224(1)4(1)p p +=+1=，\11FP FQ+的值是定值．（3）3y x -Q …，设4y x =-，34y y \…，设新的抛物线与直线3y x =-的相交的横坐标分别设为3x ，4x ，如图所示，Q 将抛物线221544y x x =-++适当平移后，得到抛物线23()(1)y a x h h =->，\抛物线是左右平移，则14a =-，231()4y x h \=--，由抛物线221544y x x =-++左右平移得到，观察图象，随着图象向右平移，3x ，4x 的值不断增大，若当1x m <…时，3y x -…恒成立，即231()4y x h x =---…，则m 的最大值在4x 处，\当31x =时，对应的4x 为最大值，21(1)14h \--=-，13h \=，21h =-（舍)，231(4)4y x \=--，令21(3)4x x --=-，解得，31x =，49x =，m \的最大值为9．【点评】本题主要考查二次函数与一次函数的综合运用，掌握二次函数图象的性质，函数图象平移的性质，一次函数与二次函数交点的计算方法，数形结合分析是解题的关键．13 ．（2023•武侯区校级模拟）如图，抛物线2y x bx c =++与x 轴分别交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，若(1,0)A -且3OC OA =．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）如图1，点P 是第四象限内抛物线上的一个点且位于对称轴右侧，分别连接BC 、AP 相交于点G ，当12PBG ABG S S D D =时，求点P 的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，AP 交y 轴于点M ，过M 点的直线l 与线段AB ，AC 分别交于E ，F ，当直线l 绕点M 旋转时，m nAE AF+为定值3，请求出m 和n 的值．【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；（2）过P 点作//PD y 轴交BC 于点D ，过点A 作//AK y 轴交BC 于点K ，则PD PG AK AG =，由12PBG ABG S S D D =，可得12PD AK =，设2(,23)P t t t --，(13)t <<，分别求出(,3)D t t -，(1,4)K --，根据12PD AK =，建立方程求出t 的值即可求P 点坐标；（3）过M 点作//MH x 轴交AC 于点H ，过点F 作//FT x 轴交AP 于点T ，连接CP ，则////HM FT CP ，根据平行线的性质可得HM CH AO AC =，HM AH CP AC =，HM HF AE AF =，HM AHFT AF=，化简得1HM HM AO CP +=，1HM HM AE FT +=，再由1HM HM AO CP +=，求出23HM =，再由1HM HM AE FT +=，得到1132AE FT +=，根据平行得到FT AFCP AC =，求出5FT AF =，则1132AE AF +=，因为3m n AE AF +=，则112()3AE AF=，即可求2m =，n =．【解答】解：（1）(1,0)A -Q ，1OA \=，3OC OA =Q ，3OC \=，(0,3)C \-，将(1,0)A -、(0,3)C -代入2y x bx c =++，\103b c c -+=ìí=-î，解得23b c =-ìí=-î，\抛物线的解析式为223y x x =--；（2）2223(1)4y x x x =--=--Q ，\抛物线的对称轴为直线1x =，设2(,23)P t t t --，(13)t <<，当0y =时，2230x x --=，解得3x =或1x =-，(3,0)B \，设直线BC 的解析式为3y kx =-，330k \-=，解得1k =，\直线BC 的解析式为3y x =-，过P 点作//PD y 轴交BC 于点D ，过点A 作//AK y 轴交BC 于点K ，//PD AK \，\PD PGAK AG =，Q 12PBG ABG S S D D =，\12PD AK =，(,3)D t t -Q ，(1,4)K --，223(23)3PD t t t t t \=----=-+，4AK =，232t t \-+=，解得1t =（舍)或2t =，(2,3)P \-；（3）过M 点作//MH x 轴交AC 于点H ，过点F 作//FT x 轴交AP 于点T ，连接CP ，(0,3)C -Q ，(2,3)P -，//CP x \轴，////HM FT CP \，\HM CH AO AC =，HM AH CP AC =，HM HF AE AF =，HM AHFT AF =，\1HM HM AO CP +=，1HM HMAE FT+=，设直线AP 的解析式为y k x b ¢¢=+，\023k b k b ¢¢-+=ìí¢¢+=-î，解得11k b ¢=-ìí¢=-î，\直线AP 的解析式为1y x =--，(0,1)M \-，1OA =Q ，3OC =，AC \=，Q1HM HM AO CP+=，112HM HM \+=，23HM \=，Q 1HM HMAE FT +=，\1132AE FT +=，QFT AFCP AC=，FT AF \=，\1132AE AF =，Q3m nAE AF +=，112()3AE AF \+=，\=，n=．m2【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行线的性质，灵活的对分式进行变形处理是解题的关键．14．（2023•丹阳市二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数2=++的图象与x轴相交于点A、B，与yy x bx c轴相交于点C，其中B点的坐标为(3,0)，点M为抛物线上的一个动点．（1）二次函数图象的对称轴为直线1x=．①求二次函数的表达式；②若点M与点C关于对称轴对称，则点M的坐标是 ；③在②的条件下，连接OM，在OM上任意取一点P，过点P作x轴的平行线，与抛物线对称轴左侧的图象交于点Q，求线段PQ的最大值．+（2）过点M作BC的平行线，交抛物线于点N，设点M、N的横坐标为m、n，在点M运动的过程中，试问m n+的值．的值是否会发生改变？若改变，请说明理由；若不变，请求出m n【分析】（1）①利用对称轴公式求出2b=-，再将点B代入函数解析式确定c的值即可；。
2025高考数学必刷题 第77讲、定点、定值问题 (学生版)
第77讲定点、定值问题知识梳理1、定值问题解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决．证明过程可总结为“变量—函数—定值”，具体操作程序如下：（1）变量----选择适当的量为变量．（2）函数----把要证明为定值的量表示成变量的函数．（3）定值----化简得到的函数解析式，消去变量得到定值．2、求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊情况入手，求出定值，再证明该定值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值．常用消参方法：①等式带用消参：找到两个参数之间的等式关系(,)0F k m =，用一个参数表示另外一个参数()k f m =，即可带用其他式子，消去参数k ．②分式相除消参：两个含参数的式子相除，消掉分子和分母所含参数，从而得到定值．③因式相减消参：两个含参数的因式相减，把两个因式所含参数消掉．④参数无关消参：当与参数相关的因式为0时，此时与参数的取值没什么关系，比如：2()0y kg x -+=，只要因式()0g x =，就和参数k 没什么关系了，或者说参数k 不起作用．3、求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明．一般解题步骤：①斜截式设直线方程：y kx m =+，此时引入了两个参数，需要消掉一个．②找关系：找到k 和m 的关系：m =()f k ，等式带入消参，消掉m ．③参数无关找定点：找到和k 没有关系的点．必考题型全归纳题型一：面积定值例1．（2024·安徽安庆·安庆一中校考三模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点()(),0,0,A a B b --O 为坐标原点，且1OAB S = .(1)求椭圆C 的方程；(2)设P 为椭圆C 上第一象限内任意一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值.例2．（2024·陕西汉中·高三统考阶段练习）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的焦距为1.(1)求双曲线C 的标准方程；(2)若动直线l 与双曲线C 恰有1个公共点，且与双曲线C 的两条渐近线分别交于,P Q 两点，O 为坐标原点，证明：OPQ △的面积为定值.例3．（2024·广东广州·高三广州市真光中学校考阶段练习）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，渐近线方程为02x y ±=，点()2,0A 在C 上；(1)求双曲线C 的方程；(2)过点A 的两条直线AP ，AQ 分别与双曲线C 交于P ，Q 两点（不与A 点重合），且两条直线的斜率1k ，2k 满足121k k +=，直线PQ 与直线2x =，y 轴分别交于M ，N 两点，求证：AMN 的面积为定值.变式1．（2024·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考三模）设椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>过点)M ，且左焦点为()1F ．(1)求椭圆E 的方程；(2)ABC 内接于椭圆E ，过点()4,1P 和点A 的直线l 与椭圆E 的另一个交点为点D ，与BC 交于点Q ，满足AP QD AQ PD = ，证明：PBC 面积为定值，并求出该定值．变式2．（2024·全国·高二专题练习）已知1l ，2l 既是双曲线1C ：2214yx -=的两条渐近线，也是双曲线2C ：22221x ya b-=的渐近线，且双曲线2C 的焦距是双曲线1C .(1)任作一条平行于1l 的直线l 依次与直线2l 以及双曲线1C ，2C 交于点L ，M ，N ，求MNNL的值；(2)如图，P 为双曲线2C 上任意一点，过点P 分别作1l ，2l 的平行线交1C 于A ，B 两点，证明：PAB 的面积为定值，并求出该定值.变式3．（2024·四川成都·高二树德中学校考阶段练习）已知椭圆22:14x C y +=，,A B 是椭圆上的两个不同的点，O 为坐标原点，,,A O B 三点不共线，记AOB 的面积为AOB S .(1)若()()1122,,,OA O x y x y B == ，求证：122112AOB S x y x y =- ；(2)记直线,OA OB 的斜率为12,k k ，当1214k k =-时，试探究2AOB S 是否为定值并说明理由.题型二：向量数量积定值例4．（2024·新疆昌吉·高二统考期中）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，1F ，2F 是C 的左、右焦点，过1F 的动直线l 与C 交于不同的两点A ，B 两点，且2ABF △的周长为椭圆C 的其中一个焦点在抛物线24y x =准线上，(1)求椭圆C 的方程；(2)已知点5,04M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，证明:MA MB ⋅ 为定值.例5．（2024·江西萍乡·高二萍乡市安源中学校考期末）已知()4,M m 是抛物线()2:20C y px p =>上一点，且M 到C 的焦点的距离为5.(1)求抛物线C 的方程及点M 的坐标；(2)如图所示，过点()2,0P 的直线l 与C 交于A ，B 两点，与y 轴交于点Q ，设QA PA λ= ，QB PB μ=，求证：λμ+是定值.例6．（2024·四川南充·高二四川省南充高级中学校考开学考试）已知点P 到(2,0)A -的距离是点P 到()10B ,的距离的2倍.(1)求点P 的轨迹方程；(2)若点P 与点Q 关于点B 对称，过B 的直线与点Q 的轨迹Γ交于E ，F 两点，探索BE BF ⋅是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.变式4．（2024·全国·高二校联考阶段练习）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的右焦点为()1,0F ，点31,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭在E 上．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)过点F 的直线l 与椭圆E 交于A ，B 两点，点Q 为椭圆E 的左顶点，直线QA ，QB 分别交4x =于M ，N 两点，O 为坐标原点，求证：OM ON ⋅为定值．变式5．（2024·上海宝山·高三上海交大附中校考期中）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为2，椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形面积为2.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线()()10y k x k =->与椭圆C 交于A ，B 两点，且与x 轴，y 轴交于M ，N 两点.①若MB AN = ，求k 的值；②若点Q 的坐标为7,04⎛⎫⎪⎝⎭，求证：QA QB ⋅ 为定值.题型三：斜率和定值例7．（2024·四川成都·高三成都七中校考开学考试）已知()221:1044x y C a a a+=<<-，()222:144x y C b b b+=>-．(1)证明：2y x =-总与1C 和2C 相切；(2)在（1）的条件下，若2y x =-与1C 在y 轴右侧相切于A 点，与2C 在y 轴右侧相切于B 点．直线l 与1C 和2C 分别交于P ，Q ，M ，N 四点.是否存在定直线l 使得对任意题干所给a ，b ，总有AP AQ BP BQ k k k k +++为定值？若存在，求出l 的方程；若不存在，请说明理由．例8．（2024·河南洛阳·高三伊川县第一高中校联考开学考试）已知抛物线2111:2(0)C y p x p =>与抛物线2222:2(0)C x p y p =>在第一象限交于点P .(1)已知F 为抛物线1C 的焦点，若PF 的中点坐标为()1,1，求1p ；(2)设O 为坐标原点，直线OP 的斜率为1k .若斜率为2k 的直线l 与抛物线1C 和2C 均相切，证明12k k +为定值，并求出该定值.例9．（2024·河南许昌·高二统考期末）已知PAB 的两个顶点A ，B 的坐标分别是(0,3),(0,3),-且直线PA ，PB 的斜率之积是3-，设点P 的轨迹为曲线H .(1)求曲线H 的方程；(2)经过点(1,3)且斜率为k 的直线与曲线H 交于不同的两点E ，F （均异于A ，B ），证明：直线BE 与BF 的斜率之和为定值.变式6．（2024·河南商丘·高二校考阶段练习）已知12A A B ，，是椭圆()222210x y a b a b+=>>的顶点（如图），直线l 与椭圆交于异于顶点的P Q ，两点，且2//l A B ，且2A B =，(1)求此椭圆的方程；(2)设直线1A P 和直线BQ 的斜率分别为12k k ，，证明12k k +为定值.变式7．（2024·云南昆明·高二云南师范大学实验中学校考阶段练习）过点()1,0M 的直线为,l N 为圆22:(2)4C x y +-=与y 轴正半轴的交点.(1)若直线l 与圆C 相切，求直线l 的方程：(2)证明：若直线l 与圆C 交于,A B 两点，直线,AN BN 的斜率之和为定值.题型四：斜率积定值例10．（2024·河南郑州·高三郑州外国语学校校考阶段练习）已知椭圆()222210+=>>x y C a b a b：的离心率为2，以C 的短轴为直径的圆与直线6y ax =+相切．(1)求C 的方程；(2)直线()():10l y k x k =-≥与C 相交于A ，B 两点，过C 上的点P 作x 轴的平行线交线段AB 于点Q ，且PQ 平分APB ∠，设直线OP 的斜率为k '（O 为坐标原点），判断k k '⋅是否为定值？并说明理由．例11．（2024·内蒙古包头·高三统考开学考试）已知点()()3,0,3,0M N -，动点(),P x y 满足直线PM 与PN 的斜率之积为13-，记点P 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程，并说明C 是什么曲线；(2)过坐标原点的直线交曲线C 于A ，B 两点，点A 在第一象限，AD ⊥x 轴，垂足为D ，连接BD 并延长交曲线C 于点H ．证明：直线AB 与AH 的斜率之积为定值．例12．（2024·江苏南通·高三统考开学考试）在直角坐标系xOy 中，点P 到点)F 的距离与到直线l ：x =P 的轨迹为W .(1)求W 的方程；(2)过W 上两点A ，B 作斜率均为12-的两条直线，与W 的另两个交点分别为C ，D .若直线AB ，CD 的斜率分别为1k ，2k ，证明：12k k 为定值.变式8．（2024·全国·高二随堂练习）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，点(在C 上，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB的中点为M .证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.题型五：斜率比定值例13．（2024·福建厦门·高二厦门一中校考期中）已知双曲线Γ：22221x y a b-=实轴AB 长为4（A 在B 的左侧），双曲线Γ上第一象限内的一点P 到两渐近线的距离之积为45.(1)求双曲线Γ的标准方程；(2)设过()4,0T 的直线与双曲线交于C ，D 两点，记直线AC ，BD 的斜率为1k ，2k ，请从下列的结论中选择一个正确的结论，并予以证明.①12k k +为定值；②12k k ⋅为定值；③12k k 为定值例14．（2024·四川成都·高二校考期中）已知椭C ：22221(0)x y a b a b+=>>，12,F F 为其左右焦1F ()(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设点P ()0000,(0)x y x y ≠，点P 在椭圆C 上，过点P 作椭圆C 的切线l ，斜率为0k ，1PF ，2PF 的斜率分别为1k ，2k ，则11201k k k k k +是否是定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.例15．（2024·湖北荆州·高三沙市中学校考阶段练习）已知双曲线()2222:1,0,0x y C a b a b-=>>的实轴长为4，左右两个顶点分别为12,A A ，经过点()4,0B 的直线l 交双曲线的右支于,M N两点，且M 在x 轴上方，当l x ⊥轴时，MN =(1)求双曲线方程.(2)求证：直线12,MA NA 的斜率之比为定值.题型六：线段定值例16．（2024·浙江·高二校联考期中）已知圆1C ：22x y m +=与圆2C ：2240x y x +-=.(1)若圆1C 与圆2C 内切，求实数m 的值；(2)设()3,0A ，在x 轴正半轴上是否存在异于A 的点(),0B b ，使得对于圆2C 上任意一点P ，PAPB为定值？若存在，求b 的值；若不存在，请说明理由.例17．（2024·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知P 为平面上的动点，记其轨迹为Γ.(1)请从以下三个条件中选择一个，求对应的Γ的方程；①以点P 为圆心的动圆经过点()1,0F -，且内切于圆()22:116K x y -+=；②已知点()1,0T -，直线4l x =-：，动点P 到点T 的距离与到直线l 的距离之比为12；③设E 是圆22:4O x y +=上的动点，过E 作直线EG 垂直于x轴，垂足为G ，且2GP GE = .(2)在（1）的条件下，设曲线Γ的左、右两个顶点分别为A ，B ，若过点()1,0K 的直线m 的斜率存在且不为0，设直线m 交曲线Γ于点M ，N ，直线n 过点()1,0T -且与x 轴垂直，直线AM 交直线n 于点P ，直线BN 交直线n 于点Q ，则线段的比值TP TQ是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由.例18．（2024·江西九江·统考一模）如图，已知椭圆22122:1x y C a b+=(0a b >>)的左右焦点分别为1F ，2F ，点A 为1C 上的一个动点(非左右顶点)，连接1AF 并延长交1C 于点B ，且2ABF △的周长为8，12AF F △面积的最大值为2．(1)求椭圆1C 的标准方程；(2)若椭圆2C 的长轴端点为12,F F ，且2C 与1C 的离心率相等，P 为AB 与2C 异于1F 的交点，直线2PF 交1C 于,M N 两点，证明：||||AB MN +为定值．变式9．（2024·湖南·高三临澧县第一中学校联考开学考试）已知抛物线()21:0C y px p =>的焦点为1F ，抛物线22:2C y px =的焦点为2F ，且1212F F =．(1)求p 的值；(2)若直线l 与1C 交于M ，N 两点，与2C 交于P ，Q 两点，M ，P 在第一象限，N ，Q 在第四象限，且2MP NQ =，证明：MN PQ为定值．变式10．（2024·安徽合肥·高三合肥一中校联考开学考试）已知抛物线2:2E x py =（p 为常数，0p >）.点()00,M x y 是抛物线E 上不同于原点的任意一点.(1)若直线00:2x l y x y =-与E 只有一个公共点，求p ；(2)设P 为E 的准线上一点，过P 作E 的两条切线，切点为,A B ，且直线PA ，PB 与x 轴分别交于C ，D 两点.①证明：PA PB ⊥②试问PC AB PB CD⋅⋅是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.变式11．（2024·山东淄博·高二校联考阶段练习）已知圆O ：222x y r +=与直线0x y -+=相切.(1)若直线:25l y x =-+与圆O 交于M ，N 两点，求MN ；(2)已知()9,0C -，()1,0D -，设P 为圆O 上任意一点，证明：PDPC为定值.变式12．（2024·福建厦门·厦门一中校考模拟预测）已知A ，B 分别是椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的右顶点和上顶点，AB =AB 的斜率为12-.(1)求椭圆的方程；(2)直线//l AB ，与x ，y 轴分别交于点M ，N ，与椭圆相交于点C ，D .（i ）求OCM 的面积与ODN △的面积之比；（ⅱ）证明：22CM MD +为定值.变式13．（2024·四川巴中·高二四川省通江中学校考期中）已知圆C 过点()1,2A ，()2,1B ，且圆心C 在直线y x =-上.P 是圆C 外的点，过点P 的直线l 交圆C 于M ，N 两点.(1)求圆C 的方程；(2)若点P 的坐标为()0,3-，求证：无论l 的位置如何变化PM PN ⋅恒为定值；(3)对于（2）中的定值，使PM PN ⋅恒为该定值的点P 是否唯一？若唯一，请给予证明；若不唯一，写出满足条件的点P 的集合.变式14．（2024·云南·校联考模拟预测）已知点M 到定点()3,0F 的距离和它到直线l ：253x =的距离的比是常数35．(1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)若直线l ：y kx m =+与圆2216x y +=相切，切点N 在第四象限，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求证：FAB 的周长为定值．题型七：直线过定点例19．（2024·全国·高三专题练习）已知12,F F 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，过点1(1,0)F -且与x 轴不重合的直线与椭圆C 交于,A B 两点，2ABF 的周长为8.(1)若2ABF 的面积为7，求直线AB 的方程；(2)过,A B 两点分别作直线4x =-的垂线，垂足分别是,E F ，证明：直线EB 与AF 交于定点.例20．（2024·江西南昌·高三校联考阶段练习）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为2，左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 为椭圆C 上任意一点，12PF F △(1)求椭圆C 的方程；(2)过x 轴上一点()1,0F 的直线与椭圆交于,A B 两点，过,A B 分别作直线2:l x a =的垂线，垂足为M ，N 两点，证明：直线AN ，BM 交于一定点，并求出该定点坐标.例21．（2024·江西南昌·高二南昌市外国语学校校考期中）在平面直角坐标系中，椭圆C ：22221x y a b +=(a >b >0)过点⎝⎭.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点K (2，0)作与x 轴不重合的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，过A ，B 点作直线l ：x＝2a c的垂线，其中c 为椭圆C 的半焦距，垂足分别为A 1，B 1，试问直线AB 1与A 1B 的交点是否为定点，若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由.变式15．（2024·甘肃天水·高二统考期末）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，离心率e =2P ⎛ ⎝⎭在E 上．(1)求E 的方程；(2)过点2F 作互相垂直且与x 轴均不重合的两条直线分别交E 于点A ，B 和C ，D ，若M ，N 分别是弦AB ，CD 的中点，证明：直线MN 过定点．变式16．（2024·黑龙江鹤岗·高二鹤岗一中校考期中）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左，右顶点分别为A 、B ，点F 是椭圆的右焦点，3AF FB= ，3AF FB ⋅=．(1)求椭圆C 的方程；(2)不过点A 的直线l 交椭圆C 于M 、N 两点，记直线l 、AM 、AN 的斜率分别为k 、1k 、2k .若()121k k k +=，证明直线l 过定点，并求出定点的坐标．变式17．（2024·全国·高三专题练习）已知A ､B 分别为椭圆E ∶22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点和上顶点､椭圆的离心率为3，F 1､F 2为椭圆的左､右焦点，点P 是线段AB 上任意一点，且12PF PF ⋅的最小值为7110-.（1）求椭圆E 的方程；（2）若直线l 是圆C ∶x 2+y 2=9上的点处的切线，点M 是直线l 上任一点，过点M 作椭圆C 的切线MG ，MH ，切点分别为G ，H ，设切线的斜率都存在.试问∶直线GH 是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.变式18．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右顶点是M （2，0），离心率为12．(1)求椭圆C 的标准方程．(2)过点T （4，0）作直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，点B 关于x 轴的对称点为D ，问直线AD 是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．题型八：动点在定直线上例22．（2024·江苏南通·高二校考阶段练习）已知()()1,0,1,0B C -为ABC 的两个顶点，P 为ABC 的重心，边,AC AB 上的两条中线长度之和为6.(1)求点P 的轨迹T 的方程.(2)已知点()()()3,0,2,0,2,0N E F --，直线PN 与曲线T 的另一个公共点为Q ，直线EP 与FQ 交于点M ，试问：当点P 变化时，点M 是否恒在一条定直线上？若是，请证明；若不是，请说明理由.例23．（2024·上海·高二专题练习）已知双曲线2212x y -=的两焦点为12,F F ，P 为动点，若124PF PF +=.（1）求动点P 的轨迹E 方程；（2）若12(2,0),(2,0)(1,0)A A M -，设直线l 过点M ，且与轨迹E 交于R Q 、两点，直线1A R 与2A Q 交于S 点.试问：当直线l 在变化时，点S 是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条定直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由.例24．（2024·全国·高二专题练习）已知椭圆C 的离心率2e =，长轴的左、右端点分别为()()122,02,0A A -，(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线1x my =+与椭圆C 交于P Q ，两点，直线1A P 与2A Q 交于点S ，试问：当m 变化时，点S 是否恒在一条直线上？若是，请写出这条直线的方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由.变式19．（2024·全国·高三专题练习）已知曲线22:163x y E +=，直线:l y x m =+与曲线E 交于y 轴右侧不同的两点,A B ．(1)求m 的取值范围；(2)已知点P 的坐标为()2,1，试问：APB △的内心是否恒在一条定直线上？若是，请求出该直线方程；若不是，请说明理由．变式20．（2024·浙江台州·高二校联考期中）已知直线l ：1x my =+与圆C ：2240x y x +-=交于A ､B 两点.(1)若1m =时，求弦AB 的长度；(2)设圆C 在点A 处的切线为1l ，在点B 处的切线为2l ，1l 与2l 的交点为Q .试探究：当m 变化时，点Q 是否恒在一条定直线上？若是，请求出这条直线的方程；若不是，说明理由.变式21．（2024·全国·高二专题练习）已知直线:1l x my =-，圆22:40C x y x ++=.(1)证明：直线l 与圆C 相交；(2)设直线l 与C 的两个交点分别为A 、B ，弦AB 的中点为M ，求点M 的轨迹方程；(3)在（2）的条件下，设圆C 在点A 处的切线为1l ，在点B 处的切线为2l ，1l 与2l 的交点为Q .证明：Q ，A ，B ，C 四点共圆，并探究当m 变化时，点Q 是否恒在一条定直线上?若是，请求出这条直线的方程；若不是，说明理由.变式22．（2024·吉林四平·高二校考阶段练习）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右顶点分别为1M 、2M ，短轴长为C 上的点P 满足直线1PM 、2PM 的斜率之积为34-．(1)求C 的方程；(2)若过点()1,0且不与y 轴垂直的直线l 与C 交于A 、B 两点，记直线1M A 、2M B 交于点Q ．探究：点Q 是否在定直线上，若是，求出该定直线的方程；若不是，请说明理由．变式23．（2024·高二课时练习）已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）过点(P ，且离心率为2．(1)求椭圆C 的方程；(2)记椭圆C 的上下顶点分别为,A B ，过点()0,4斜率为k 的直线与椭圆C 交于,M N 两点，证明：直线BM 与AN 的交点G 在定直线上，并求出该定直线的方程．题型九：圆过定点例25．（2024·陕西西安·高二西安市铁一中学校考期末）已知椭圆2222=1(>>0)x y C a b a b+：的离心率2=e ，左、右焦点分别为12,F F ，抛物线2y =的焦点F 恰好是该椭圆的一个顶点.（1）求椭圆C 的方程；（2）已知圆M ：2223x y +=的切线l (直线l 的斜率存在且不为零)与椭圆相交于,A B 两点，求证：以AB 为直径的圆是否经过坐标原点.例26．（2024·四川宜宾·校考模拟预测）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率2e =，左、右焦点分别为1F 、2F ，抛物线2y =的焦点F 恰好是该椭圆的一个顶点.（1）求椭圆C 的方程；（2）已知圆222:3M x y +=的切线l （直线l 的斜率存在且不为零）与椭圆相交于A 、B 两点，那么以AB 为直径的圆是否经过定点？如果是，求出定点的坐标；如果不是，请说明理由.例27．（2024·辽宁葫芦岛·统考二模）已知直线l 1:10x y -+=过椭圆C :2221(0)4x y b b +=>的左焦点，且与抛物线M :22(0)y px p =>相切.(1)求椭圆C 及抛物线M 的标准方程;(2)直线l 2过抛物线M 的焦点且与抛物线M 交于A ，B 两点，直线OA ，OB 与椭圆的过右顶点的切线交于M ，N 两点.判断以MN 为直径的圆与椭圆C 是否恒交于定点P ，若存在，求出定点P 的坐标；若不存在，请说明理由.变式24．（2024·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，动点M 到直线4x =的距离等于点M 到点(1,0)D 的距离的2倍，记动点M 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)已知斜率为12的直线l 与曲线C 交于A 、B 两个不同点，若直线l 不过点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设直线PA PB 、的斜率分别为PA PB k k 、，求PA PB k k +的值；(3)设点Q 为曲线C 的上顶点，点E 、F 是C 上异于点Q 的任意两点，以EF 为直径的圆恰过Q 点，试判断直线EF 是否经过定点？若经过定点，请求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由．变式25．（2024·广西·高三象州县中学校考阶段练习）在直角坐标系xOy 中，动点M 到定点(1,0)F 的距离比到y 轴的距离大1．(1)求动点M 的轨迹方程；(2)当0x ≥时，记动点M 的轨迹为曲线C ，过F 的直线与曲线C 交于P ，Q 两点，直线OP ，OQ 与直线1x =分别交于A ，B 两点，试判断以AB 为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．变式26．（2024·江西宜春·高二江西省丰城中学校考期末）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>经过点A ()2,0，且点A 到C 的渐近线的距离为7．(1)求双曲线C 的方程；(2)过点()4,0作斜率不为0的直线l 与双曲线C 交于M ，N 两点，直线4x =分别交直线AM ，AN 于点E ，F ．试判断以EF 为直径的圆是否经过定点，若经过定点，请求出定点坐标；反之，请说明理由．题型十：角度定值例28．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>上的点到它的两个焦点的距离之和为4，以椭圆C 的短轴为直径的圆O 经过这两个焦点，点A ，B 分别是椭圆C 的左、右顶点.(1)求圆O 和椭圆C 的方程；(2)已知P ，Q 分别是椭圆C 和圆O 上的动点（P ，Q 位于y 轴两侧），且直线PQ 与x 轴平行，直线AP ，BP 分别与y 轴交于点M ，N .求证：MQN ∠为定值.例29．（2024·北京·高三北京八中校考期中）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上的点到它的两个焦点的距离之和为4，以椭圆C 的短轴为直径的圆O 经过这两个焦点，点A ，B 分别是椭圆C 的左、右顶点．（1）求圆O 和椭圆C 的方程．（2）已知P ，Q 分别是椭圆C 和圆O 上的动点（P ，Q 位于y 轴两侧），且直线PQ 与x 轴平行，直线AP ，BP 分别与y 轴交于点M ，N ．求证：MQN ∠为定值．例30．（2024·全国·高三专题练习）已知点()20F -，是椭圆22221(0)x y E a b a b+=>>：的左焦点，过F 且垂直x 轴的直线l 交E 于P ，Q ，且10||=3PQ .(1)求椭圆E 的方程；(2)四边形ABCD (A ，D 在x 轴上方)的四个顶点都在椭圆E 上，对角线AC ，BD 恰好交于点F ，若直线AD ，BC 分别与直线l 交于M ，N ，且O 为坐标原点，求证：MOF NOF ∠=∠．变式27．（2024·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）如图3所示，点1F ，A 分别为椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左焦点和右顶点，点F 为抛物线2:16C y x =的焦点，且124OF OA OF ==（O 为坐标原点）.(1)求椭圆E 的方程；(2)过点1F 作直线l 交椭圆E 于B ，D 两点，连接AB ，AD 并延长交抛物线的准线于点M ，N ，求证：1MF N ∠为定值.变式28．（2024·四川绵阳·高二盐亭中学校考期中）已知圆222:(64F x y -+=，N 为圆上一动点，1(F -，若线段1NF 的垂直平分线交2NF 于点M .(1)求动点M 的轨迹方程E ;(2)如图，点(2,P Q 在曲线E 上，,A B是曲线E 上位于直线PQ 两侧的动点，当,A B 运动时，满足APQ BPQ ∠=∠，试问直线AB 的斜率是否为定值，请说明理由.变式29．（2024·广东阳江·高三统考开学考试）已知()2,0A ，()2,0B -分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>长轴的两个端点，C 的焦距为2．()3,0M ，4,03N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，P 是椭圆C 上异于A ，B 的动点，直线PM 与C 的另一交点为D ，直线PN 与C 的另一交点为E ．(1)求椭圆C 的方程；(2)证明：直线DE 的倾斜角为定值．变式30．（2024·陕西榆林·高二校考阶段练习）已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y 轴，且过()2,1A -，2B ⎛ ⎝⎭两点.(1)求E 的方程；(2)若直线l 与圆O ：2285x y +=相切，且直线l 交E 于M ，N 两点，试判断MON ∠是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由。
中考数学二次函数压轴题题型归纳(学生版)
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中考二次函数综合压轴题型归类一、常考点汇总1、两点间的距离公式：2、中点坐标：线段的中点的坐标为： 直线(）与（）的位置关系： （1)两直线平行且 （2)两直线相交（3）两直线重合且 （4)两直线垂直 3、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下:① 用和参数的其他要求确定参数的取值范围；② 解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式)③ 分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式. 例：关于的一元二次方程有两个整数根,且为整数,求的值。
4、二次函数与轴的交点为整数点问题.（方法同上)例：若抛物线与轴交于两个不同的整数点，且为正整数,试确定此抛物线的解析式。
5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。
举例如下:已知关于的方程（为实数），求证:无论为何值，方程总有一个固定的根。
6、函数过固定点问题,举例如下：已知抛物线（是常数），求证：不论为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。
7、路径最值问题（待定的点所在的直线就是对称轴）（1)如图,直线、,点在上，分别在、上确定两点、，使得之和最小.()()22B A B A x x y y AB-+-=AB C ⎪⎭⎫⎝⎛++22B A B A y y x x ，11b x k y +=01≠k 22b x k y +=02≠k ⇔21k k =21b b ≠⇔21k k ≠⇔21k k =21b b =⇔121-=k k∆x()01222＝－m x m x++5＜m m m x ()3132+++=x m mx yx m x 23(1)230mx m xm --+-=m m 22-+-=m mx x y m m 1l 2l A 2l 1l 2l M N MN AM+(2）如图，直线、相交，两个固定点、，分别在、上确定两点、，使得之和最小.（3）如图，是直线同旁的两个定点，线段,在直线上确定两点、（在的左侧 ），使得四边形的周长最小。
二次函数中的定值、定点问题(原卷版)(北师大版)
专题07二次函数中的定值、定点问题类型一、定值问题(1)求抛物线的解析式(2)P是直线BC下方抛物线上的一点，连接PB、PC、坐标．(3)如图2，若动直线l与抛物线交于M，N两点（直线∥时，点Q的横坐标是否为定值，请说明理由．于点Q．当MN BC(1)求抛物线的解析式．(2)P是抛物线上一个动点（不与A重合），PO与抛物线的另一个交点为∥轴．接DE，求证：DE yMB NB(3)过点C的动直线交抛物线于M、N两点，,【变式训练2】．已知抛物线23y mx mx n =-+与x 轴交于A 、B 两点，点A 在点B 的左边，与y 轴交于点()0,2C ，且5AB =．(1)求二次函数的解析式；(2)若抛物线上B 、C 两点之间有一点N ，且BCN △的面积为4，求N 点坐标；(3)抛物线的对称轴交x 轴于M ，P 为抛物线上一动点，直线PM 交抛物线于另一点Q ，点P 关于抛物线对称轴的对称点为P '，直线QP '交对称轴于G 点，试探究：在P 点运动的过程中，线段GM 的长度会发生变化吗？若不变，请求其长度．【变式训练3】．如图，已知抛物线22y x mx m =-++-的顶点为A ，且经过点()33B -，．(1)求顶点A 的坐标；(2)在对称轴左侧的抛物线上存在一点P ，使得PAB 45∠=︒，求点P 坐标；(3)如图（2），将原抛物线沿射线OA 方向进行平移得到新的抛物线，新抛物线与射线OA 交于C ，D 两点，请问：在抛物线平移的过程中，线段CD 的长度是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．(1)①求该抛物线所对应的函数解析式；②求四边形ACFQ 的面积；(2)如图2，直线EF 垂直于x 轴于点E ，点P 是线段BE 上的动点（除物线于点D ，连接DA 、DQ ．①当AQD 是直角三角形时，求出所有满足条件的D 点的横坐标．②如图3，直线AD ，BD 分别与抛物线对称轴交于M 、N 两点．试问：(1)求抛物线的解析式；(2)如图（1），点E 是直线AB 上方抛物线上一点，连接标；(3)如图（2），设直线2y kx k =-（0k ≠线CD '与直线2x =交于点P ，求证：类型二、定点问题例．已知抛物线21:2C y ax ax c =-+经过点(2,3)C ，与x 轴交于(1,0)A -，B 两点，与y 轴交于D 点(1)求抛物线1C 的解析式；(2)如图1，P 为直线AC 上方抛物线1C 上的动点，过P 点作PE AC ⊥于点E ，若3AE PE =，求P 点坐标；(3)如图2，将抛物线1C 沿x 轴平移得2C ，使2C 的顶点落在y 轴上，若过定点(0.5,1)F 的直线交抛物线于M 、N 两点，过M 点的直线y x b =-+与抛物线交于点P ，求证：直线NP 必过定点【变式训练1】．如图（1）所示，抛物线2y ax bx c =++，经过()1,0A ，()4,0B ，()0,2C 三点．(1)求该抛物线的解析式；(2)在抛物线上是否一点D ，使得以A ，C ，D 的顶点的三角形与OAC 相似，如有请求出满足要求的所有点，如果没有，请说明理由．(3)如图（2）所示，点P ，Q 为抛物线上的动点，满足PC QC ⊥，请证明直线PQ 必定通过一个定点，并求出这个定点的坐标．【变式训练2】．如图1，抛物线2:3C y ax bx =+-与x 轴的正半轴交于点B ，与y 轴交于点C ，OB OC =，其对称轴为直线1x =．(1)直接写出抛物线C 的解析式；(2)已知点(1,2)D ，点E ，F 均在抛物线上（点E 在点F 右侧），若以C ，D ，E ，F 为顶点的四边形是平行四边形，求点E 的坐标；(3)如图2，将抛物线C 平移得到抛物线1C ，使1C 的顶点在原点，过点(,1)P t -的两条直线PM ，PN ，它们与y 轴不平行，都与抛物线1C 只有一个公共点分别为点M 和点N ，求证：直线MN 必过定点．【变式训练3】．如图1，抛物线1L ：23y ax bx =+-与x 轴的正半轴交点B ，与y 轴交于点C ，OB OC =，其对称轴为直线1x =．(1)直接写出抛物线1L 的解析式；(2)若点D 是抛物线对称轴上的动点，点G 是抛物线上的动点，是否存在以点B 、C 、D 、G 为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点G 的坐标；若不存在，试说明理由．(3)如图2，作抛物线1L 关于原点O 中心对称的抛物线2L ，若抛物线2L 与直线()122y k x =-交于E ，F 两点，与直线()222y k x =-交于M ，N 两点，且121k k =-，点P ，Q 分别是EF 、MN 的中点，求证：直线PQ 必定经过一个定点，并求出该定点坐标．【变式训练4】．如图1，已知抛物线224424y x mx m m =-++-（m 是常数）的顶点为P ，直线:4l y x =-．(1)求证：点P 在直线l 上；(2)已知直线l 与抛物线的另一个交点为Q ，当以O 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形时，求m 的值；(3)如图2，当0m =时，抛物线交x 轴于A 、B 两点，M 、N 在抛物线上，满足MA NA ⊥，判断MN 是否恒过一定点，如果过定点，求出定点坐标；如果不过定点，说明理由．。
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二次函数与定点、定值问题
【方法归纳】
已知抛物线和满足一定条件的直线在平面直角坐标系中，直线上的线段满足一定几何条件，图中可能产生一些定点，定量关系．通常要运用几何量的关系转换成线段关系和坐标关系求解．
思路：结合二次函数，将几何向代数转化，构建方程或方程组，并归纳解题一致性．
例1．已知抛物线：y＝ax2＋bx＋c，顶点坐标为原点，且过（4，8），如图，若A、B两点在抛物线上，且OA⊥OB，AB交y轴于H点，求H点的坐标．
【练1】抛物线y ＝2
1
(x －1)2，顶点为M ，直线AB 交抛物线于A 、B 两点，且MA ⊥MB ，求证：直线AB 过定点．
例2．已知抛物线y ＝
4
1x 2
，以M (－2，1)为直角顶点作该抛物线的内接直角三角形MAB （即M ，A ，B 均在抛物线上），求证：直线AB 过定点，并求出该定点坐标．
【练2】（2014武汉中考）如图，已知直线AB ：y ＝kx ＋2k ＋4于抛物线y ＝
2
1x 2
交于A 、B 两点． （1）直线AB 总经过一个定点C ，请直接写出点C 坐标； （2）若在抛物线上存在定点D 使∠ADB ＝90°，求点D 到直线AB 的最大距离．
例3．如图，抛物线y ＝x 2＋3顶点为P ，直线l 交抛物线于A 、B 两点，交y 轴于C 点，∠AOC ＝∠BOC ，求证：直线AB 过定点．
【练3】抛物线y＝x2－4x＋5，对称轴交x轴于P点，直线EF交抛物线于E、F，交对称轴于H，且∠EPH ＝∠FPH，求证：EF恒过定点．
例4．如图，抛物线y＝x2－1交x轴于A、B两点，直线y＝a（a＞0）交抛物线于M、N，点C在抛物线上，且∠MCN＝90°，点C到MN的距离是否为定值？若是，求出这个定值．
【练4】（2015永州改）如图，抛物线：y ＝4
1
(x －1)2，R (1，1)是对称轴l 上一点，点P 为抛物线上一个动点，PM 垂直于直线y ＝－1于M ，求
PR
PM
的值．
【课后反馈】
1．如图，抛物线y ＝x 2－1交x 轴正半轴于A (1，0)，M 、N 在抛物线上，且MA ⊥NA ，试说明MN 恒过一定点，求此定点的坐标．
2．如图，抛物线y ＝
4
1
(x －4)2－4的顶点为P ，M ，N 均在对称轴上，且PM ＝PN ，延长OM 交抛物线于点A ．求证：∠ANM ＝∠ONM ．
3．（2016六初九下2月考T24）已知抛物线y ＝
4
1x 2
＋m 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且OA ＝2OC ，直线y ＝kx －2k ＋4（k ≠0）与抛物线交于D 、E 两点． （1）求m 值及A 点坐标；
（2）当k 取何值时，△ADE 的面积最小，并求面积的最小值；
（3）若M 、N 为抛物线上两点，其以MN 为直径的圆始终经过A 点，求直线MN 经过的定点P 的坐标．。