二次函数与定点定值问题(学生版)

二次函数与定点、定值问题

【方法归纳】

已知抛物线和满足一定条件的直线在平面直角坐标系中，直线上的线段满足一定几何条件，图中可能产生一些定点，定量关系．通常要运用几何量的关系转换成线段关系和坐标关系求解．

思路：结合二次函数，将几何向代数转化，构建方程或方程组，并归纳解题一致性．

例1．已知抛物线：y＝ax2＋bx＋c，顶点坐标为原点，且过（4，8），如图，若A、B两点在抛物线上，且OA⊥OB，AB交y轴于H点，求H点的坐标．

【练1】抛物线y ＝2

1

(x －1)2，顶点为M ，直线AB 交抛物线于A 、B 两点，且MA ⊥MB ，求证：直线AB 过定点．

例2．已知抛物线y ＝

4

1x 2

，以M (－2，1)为直角顶点作该抛物线的内接直角三角形MAB （即M ，A ，B 均在抛物线上），求证：直线AB 过定点，并求出该定点坐标．

【练2】（2014武汉中考）如图，已知直线AB ：y ＝kx ＋2k ＋4于抛物线y ＝

2

1x 2

交于A 、B 两点． （1）直线AB 总经过一个定点C ，请直接写出点C 坐标； （2）若在抛物线上存在定点D 使∠ADB ＝90°，求点D 到直线AB 的最大距离．

例3．如图，抛物线y ＝x 2＋3顶点为P ，直线l 交抛物线于A 、B 两点，交y 轴于C 点，∠AOC ＝∠BOC ，求证：直线AB 过定点．

【练3】抛物线y＝x2－4x＋5，对称轴交x轴于P点，直线EF交抛物线于E、F，交对称轴于H，且∠EPH ＝∠FPH，求证：EF恒过定点．

例4．如图，抛物线y＝x2－1交x轴于A、B两点，直线y＝a（a＞0）交抛物线于M、N，点C在抛物线上，且∠MCN＝90°，点C到MN的距离是否为定值？若是，求出这个定值．

【练4】（2015永州改）如图，抛物线：y ＝4

1

(x －1)2，R (1，1)是对称轴l 上一点，点P 为抛物线上一个动点，PM 垂直于直线y ＝－1于M ，求

PR

PM

的值．

【课后反馈】

1．如图，抛物线y ＝x 2－1交x 轴正半轴于A (1，0)，M 、N 在抛物线上，且MA ⊥NA ，试说明MN 恒过一定点，求此定点的坐标．

2．如图，抛物线y ＝

4

1

(x －4)2－4的顶点为P ，M ，N 均在对称轴上，且PM ＝PN ，延长OM 交抛物线于点A ．求证：∠ANM ＝∠ONM ．

3．（2016六初九下2月考T24）已知抛物线y ＝

4

1x 2

＋m 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且OA ＝2OC ，直线y ＝kx －2k ＋4（k ≠0）与抛物线交于D 、E 两点． （1）求m 值及A 点坐标；

（2）当k 取何值时，△ADE 的面积最小，并求面积的最小值；

（3）若M 、N 为抛物线上两点，其以MN 为直径的圆始终经过A 点，求直线MN 经过的定点P 的坐标．