离散系统的系统函数PPT课件
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DSP-3.8 离散系统的系统函数和频率响应
n =−∞
对比其z变换的收敛域定义：∑ h ( n ) z − n < ∞ 结论2：稳定 系统的系统函数H(z)的Roc须包含单位圆，即 须包含单位圆， 结论 ：稳定(LSI)系统的系统函数 系统的系统函数 的 须包含单位圆 频率响应存在且连续。 频率响应存在且连续。
n =−∞
∞
（3）因果稳定系统： ）因果稳定系统： 综合上述两条件： 综合上述两条件： 一个LSI系统是因果稳定系统至少应满足： 系统是因果稳定系统至少应满足： 一个 系统是因果稳定系统至少应满足
3.8 离散系统的系统函数、系统频率响应
LSI系统的系统函数H(z)： 系统的系统函数 单位抽样响应h(n)的z变换 系统的系统函数 ： ∞ Y ( z) −n H ( z ) = ZT [h ( n )] = ∑ h ( n ) z = X ( z) n =−∞ 其中：y(n)=x(n)*h(n) Y(z)=X(z)H(z)
1 y (n ) = 2π
∫π
−
π
H ( e jω ) X ( e jω )e jω n d ω
1 π X (e jω )e jωndω 其中：x(n) = 2π ∫−π
，可看出序列x(n)可表示成
1 jω jω n 复指数微分分量： X ( e )e dω 的叠加。 2π
又系统对复指数微分分量的响应为：
系统函数：
2）由于系统为因果稳定系统， 1 故收敛域： z > 2
−1/ 3
0
0.5 Re[ z ] 1 0.25
3) 对H(z)求z反变换即得单位抽样响应h(n)，用部分分式法
的负幂， ①消去z的负幂，便于求解： 消去 的负幂 便于求解：
1 1 −1 1+ z z + z 3 3 H (z) = = 1 1 1 −1 1 −1 1 − z 1 − z z − z − 2 4 2 4 1 z+ H (z) A1 A2 3 = = + 1 1 1 1 z z− z− z − z − 2 4 2 4
对比其z变换的收敛域定义：∑ h ( n ) z − n < ∞ 结论2：稳定 系统的系统函数H(z)的Roc须包含单位圆，即 须包含单位圆， 结论 ：稳定(LSI)系统的系统函数 系统的系统函数 的 须包含单位圆 频率响应存在且连续。 频率响应存在且连续。
n =−∞
∞
（3）因果稳定系统： ）因果稳定系统： 综合上述两条件： 综合上述两条件： 一个LSI系统是因果稳定系统至少应满足： 系统是因果稳定系统至少应满足： 一个 系统是因果稳定系统至少应满足
3.8 离散系统的系统函数、系统频率响应
LSI系统的系统函数H(z)： 系统的系统函数 单位抽样响应h(n)的z变换 系统的系统函数 ： ∞ Y ( z) −n H ( z ) = ZT [h ( n )] = ∑ h ( n ) z = X ( z) n =−∞ 其中：y(n)=x(n)*h(n) Y(z)=X(z)H(z)
1 y (n ) = 2π
∫π
−
π
H ( e jω ) X ( e jω )e jω n d ω
1 π X (e jω )e jωndω 其中：x(n) = 2π ∫−π
，可看出序列x(n)可表示成
1 jω jω n 复指数微分分量： X ( e )e dω 的叠加。 2π
又系统对复指数微分分量的响应为：
系统函数：
2）由于系统为因果稳定系统， 1 故收敛域： z > 2
−1/ 3
0
0.5 Re[ z ] 1 0.25
3) 对H(z)求z反变换即得单位抽样响应h(n)，用部分分式法
的负幂， ①消去z的负幂，便于求解： 消去 的负幂 便于求解：
1 1 −1 1+ z z + z 3 3 H (z) = = 1 1 1 −1 1 −1 1 − z 1 − z z − z − 2 4 2 4 1 z+ H (z) A1 A2 3 = = + 1 1 1 1 z z− z− z − z − 2 4 2 4
信号与系统 系统函数完美版PPT
m
j
j1
H(s) H(z) 当t -> ∞ 时，对应的响应函数趋近于零。 n
n
A(s) A(z) 4) H(z)在单位圆上的二阶及二阶以上的极点,
(s p ) (z p ) 全通函数：如果系统的幅频响应|H(jω)|对所有的ω均为常数，i 则称该系统为全通系统，相应的系统函数称为全通函数。 i
极点pi 和零点ζj 的值可能是实数或复数。若A(·)和 B(·)的系数
都是实数，则零、极点若为复数，必共轭成对。
二、系统函数与时域响应
系统的冲激响应或单位序列响应的函数形式由A(·)的根确定， 即由H(·)的极点确定；而自由响应的形式也由H(·)极点确定。
t
jω
t
t σ
t
t
t
H(s)的极点与所对应的响应函数
ห้องสมุดไป่ตู้
2π
1
H| jω | Φ(ω)
一律平等地传输，因而被称为全通系统，其系统函
数称为全通函数。
()121222arc2 t2a 2n 2)ω(
最小相移函数:
如有一系统函数Ha(s),
有两个极点-s1和-s1*, 两个零点-s2和-s2*, 都在左半开平面：
H 系统a函(s数)Ha(s)(可(ss以写为ss：12))((ssjωss1*2*))
Hi(1j)bmB1B2Bm
A1A2An
幅频响应
() (1 2 m ) (1 2 n )相频响应
全通函数：如果系统的幅频响应|H(jω)|对所有的ω均为常
数，则称该系统为全通系统，相应的系统函数称为全通函数。
如有二阶系统，
其系统函数在左半平面有一对共轭极点：p1,2 =－α±jβ，
(完整版)离散系统的系统函数
第
4.系统函数的求解（重点）
4 页
1)由hk求Hz: hk Hz
2)由系统差分方程求H z
3)由系统框图求H z
hk
X
例1（自学） 已知离散系统的差分方程为：
y k 3 y k 1 2 y k 2 x k x k 1 ，激励
K2
K
1
H(z)
K1 e j z
z e j
K1 e j z
z e j
共轭单极点 hk 2 K1 k cos(k ) (k)
实数单极点
hk
A0δk
N
Aj
p
j
k
k
j 1
H极z点的性质，决定了 的hk特 性。其规律可能是指数
X
第
1．由零极点分布确定单位响应
7
页
M
bi zi
H
z
i0 N
ajzj
j0
M
z zi
k i1
N
z
pj
j 1
展成部分分式：（假设无重根）
zi : 零点 p j : 极点
1)H(z)为单极点Hபைடு நூலகம்z
N j0
Aj z z pj
A0
N Aj z j1 z p j
因为
hk Hz
所以
hk
Z 1 A0
N j 1
Aj z z pj
N
A0 k Aj
j 1
p j k k
离散系统的系统函数
Y z 3 z 1Y z 2 z 2Y z X z 1 z 1
y k 3 y k 1 2 y k 2 x k x k 1 ， 激励
已知离散系统的差分方程为：
Y z 1 z 1 z z 1 z H z 1 2 X z 1 3 z 2 z z 1z 2 z 2 求系统的零状态响应 2 z z z Y z H z X z z 2 z 2 z 2
列差分方程
wk 1
x( k ) 0.3w( k 1) w( k ) w( k ) 4w( k 1) y( k )
分别取z变换 X ( z ) 0.3 z 1W ( z ) W ( z ) 1 W ( z ) 4 z W (z) Y (z)
i
h(i ) z
i
y (k ) z k H ( z )
f (t ) e
0
y (t ) H ( s0 )e
0
系统响应是一个是常数（可能是复数）乘以输入，则： k 系统的特征函数 f ( k ) z0
H ( z0 )
系统的特征值
X
例题7
f (k ) z
k 0
y (k ) H ( z 0 ) z
z域复变量域s域复变量关系： z e sT z re j s j re j ＝e ( j )T eT e jT r eT T
第
11 页
X
第
因果系统函数极点与h(t)，h(k)响应的关系 s平面 极点位置
虚轴上 原点s=0 左半平面
收敛域含虚轴
12 页
z平面 极点位置
y k 3 y k 1 2 y k 2 x k x k 1 ， 激励
已知离散系统的差分方程为：
Y z 1 z 1 z z 1 z H z 1 2 X z 1 3 z 2 z z 1z 2 z 2 求系统的零状态响应 2 z z z Y z H z X z z 2 z 2 z 2
列差分方程
wk 1
x( k ) 0.3w( k 1) w( k ) w( k ) 4w( k 1) y( k )
分别取z变换 X ( z ) 0.3 z 1W ( z ) W ( z ) 1 W ( z ) 4 z W (z) Y (z)
i
h(i ) z
i
y (k ) z k H ( z )
f (t ) e
0
y (t ) H ( s0 )e
0
系统响应是一个是常数（可能是复数）乘以输入，则： k 系统的特征函数 f ( k ) z0
H ( z0 )
系统的特征值
X
例题7
f (k ) z
k 0
y (k ) H ( z 0 ) z
z域复变量域s域复变量关系： z e sT z re j s j re j ＝e ( j )T eT e jT r eT T
第
11 页
X
第
因果系统函数极点与h(t)，h(k)响应的关系 s平面 极点位置
虚轴上 原点s=0 左半平面
收敛域含虚轴
12 页
z平面 极点位置
离散系统的系统函数
设带通滤波器的3dB截频分别为c1、c2, 且c2 > c1，可证带通滤波器的3dB带宽为
Δ 3 dB c 2 c 1 arccos(
系统函数
2 1 2
)
简单数字滤波器
(5) 二阶IIR带通数字滤波器
1 0.8
0.309
二阶IIR带通数字 滤波器的幅度响应
系统函数
简单数字滤波器
(1) 一阶FIR低通数字滤波器
H LP1 (e
j
H LP1 ( z ) 0.5(1 z 1 )
Im(z)
z ( 1) ) 0.5 z
z e j
H LP1 (e ) 1
j0
|
-1
| 1 + z
z=e j
H LP1 (e jπ ) 0
H LP1 (e jπ / 2 ) 2 / 2
ze j z
z e j
H LP2 (e j 0 ) 1
H LP2 ( e j )
cos c 2 1
2
H LP2 (e jπ ) 0
(1 ) 2 (1 cos ) 2(1 2 2 cos )
3dB截频
系统函数
-1
Re(z)
系统函数
a21 a22 a2 L
例： 试求下面系统函数的零极点形式二阶因子形式。 z 3 0.04z H ( z) 3 z 0.8 z 2 0.16z 0.128
%Determination of the factored form and %the second order section form of a % rational z-transform b =[1 0 0.04 0]; a =[1 -0.8 0.16 -0.128]; [z,p,k]=tf2zp(b,a); disp('Zeros are at'); disp(z); disp('Poles are at'); disp(p); disp('Gain constant');disp(k); sos=zp2sos(z,p,k); disp('Second-order sections'); disp(real(sos));
Δ 3 dB c 2 c 1 arccos(
系统函数
2 1 2
)
简单数字滤波器
(5) 二阶IIR带通数字滤波器
1 0.8
0.309
二阶IIR带通数字 滤波器的幅度响应
系统函数
简单数字滤波器
(1) 一阶FIR低通数字滤波器
H LP1 (e
j
H LP1 ( z ) 0.5(1 z 1 )
Im(z)
z ( 1) ) 0.5 z
z e j
H LP1 (e ) 1
j0
|
-1
| 1 + z
z=e j
H LP1 (e jπ ) 0
H LP1 (e jπ / 2 ) 2 / 2
ze j z
z e j
H LP2 (e j 0 ) 1
H LP2 ( e j )
cos c 2 1
2
H LP2 (e jπ ) 0
(1 ) 2 (1 cos ) 2(1 2 2 cos )
3dB截频
系统函数
-1
Re(z)
系统函数
a21 a22 a2 L
例： 试求下面系统函数的零极点形式二阶因子形式。 z 3 0.04z H ( z) 3 z 0.8 z 2 0.16z 0.128
%Determination of the factored form and %the second order section form of a % rational z-transform b =[1 0 0.04 0]; a =[1 -0.8 0.16 -0.128]; [z,p,k]=tf2zp(b,a); disp('Zeros are at'); disp(z); disp('Poles are at'); disp(p); disp('Gain constant');disp(k); sos=zp2sos(z,p,k); disp('Second-order sections'); disp(real(sos));
ch1_5离散系统的系统函数
系统函数
系统函数H(z)的表示方式
b0 b1 z 1 bM z M (1) z1的有理函数表示 H ( z ) a0 a1 z 1 a N z N
b0 z M b1 z M 1 bM (2) z的有理函数表示 H ( z ) z ( N M ) a0 z N a1 z N 1 a N
b01 b02 sos b0 L
b11 b12 b1 L
b21 a 01 b22 a 02 b系统函数 0 L a 2L
a11 a12 a1 L
a 21 a 22 a2 L
例： 试求下面系统函数的零极点形式二阶因子形式。
z 3 0.04z H (z) 3 z 0.8 z 2 0.16z 0.128
b =[1 0 0.04 0 ]; a =[1 -0.8 0.16 -0.128]; [z,p,k]=tf2zp(b,a) sos=zp2sos(z,p,k)
z= 0 p= 0.8000 k =1 sos = 1.0000ห้องสมุดไป่ตู้1.0000
0 - 0.2000i 0 + 0.2000i -0.0000 - 0.4000i -0.0000 + 0.4000i
1
2
利用MATLAB求解不同表示形式的系统函数
[z,p,k]=tf2zp(b,a) 将z的有理函数表示转换为零点、极点和增益常数表示。 [b,a]=zp2tf(z,p,k) 将零点、极点和增益常数表示转换为有理函数表示。
sos=zp2sos(z,p,k) %(sos：second-order section) 将零点、极点和增益常数表示转换为二阶因子表示。
系统函数H(z)的表示方式
b0 b1 z 1 bM z M (1) z1的有理函数表示 H ( z ) a0 a1 z 1 a N z N
b0 z M b1 z M 1 bM (2) z的有理函数表示 H ( z ) z ( N M ) a0 z N a1 z N 1 a N
b01 b02 sos b0 L
b11 b12 b1 L
b21 a 01 b22 a 02 b系统函数 0 L a 2L
a11 a12 a1 L
a 21 a 22 a2 L
例： 试求下面系统函数的零极点形式二阶因子形式。
z 3 0.04z H (z) 3 z 0.8 z 2 0.16z 0.128
b =[1 0 0.04 0 ]; a =[1 -0.8 0.16 -0.128]; [z,p,k]=tf2zp(b,a) sos=zp2sos(z,p,k)
z= 0 p= 0.8000 k =1 sos = 1.0000ห้องสมุดไป่ตู้1.0000
0 - 0.2000i 0 + 0.2000i -0.0000 - 0.4000i -0.0000 + 0.4000i
1
2
利用MATLAB求解不同表示形式的系统函数
[z,p,k]=tf2zp(b,a) 将z的有理函数表示转换为零点、极点和增益常数表示。 [b,a]=zp2tf(z,p,k) 将零点、极点和增益常数表示转换为有理函数表示。
sos=zp2sos(z,p,k) %(sos：second-order section) 将零点、极点和增益常数表示转换为二阶因子表示。
1.6离散系统的系统函数因果系统
如果 zk 为系统函数的一个极点，则有
zk* 也是系统函数的一个极点, 1/zk和1/zk*必为系统函数的零点。
m阶实系数全通系统可分解为m个一阶全通系统的积 由于 : Am (e j0 ) 1 所以： (0) 0 由于一阶全通系统相位是递减的，所以 m阶实系数全通系统的相位非正递减的。
1.7.2 最小相位系统
j ( )
0 2
1.7.1 全通数字滤波器
1.一阶全通数字滤波器
一阶因果稳定的全通滤波器的系统函数 定义为： 1
z d A1 ( z ) 1 dz 1
e j d 1 de j
d 1 d re j
(a) 一阶全通数字滤波器的幅度响应
一阶全通数字滤波器的相位响应是单调递减的。
1.7.1 全通数字滤波器 2. m阶实系数全通数字滤波器
d m d m 1 z 1 d1 z ( m 1) z m z m Dm ( z 1 ) Am ( z ) 1 ( m 1) m 1 d1 z d m 1 z dm z Dm ( z )
与H(z)具有相同幅度响应的最小相位系统为
1
1
1 bz1 H min ( z ) 1 az1
1.7.3 最小相位系统
在具有相同幅频特性的同阶系统中，最小相 位系统具有最大的相位，最小的延时。
1.6 离散时间系统函数H(z)
对于离散LTI系统:
n 0
N
an y[k n] bn x[k n]
n 0 M
M
Y ( z) H ( z) X ( z)
n 0
n 0 N
bn z an z
zk* 也是系统函数的一个极点, 1/zk和1/zk*必为系统函数的零点。
m阶实系数全通系统可分解为m个一阶全通系统的积 由于 : Am (e j0 ) 1 所以： (0) 0 由于一阶全通系统相位是递减的，所以 m阶实系数全通系统的相位非正递减的。
1.7.2 最小相位系统
j ( )
0 2
1.7.1 全通数字滤波器
1.一阶全通数字滤波器
一阶因果稳定的全通滤波器的系统函数 定义为： 1
z d A1 ( z ) 1 dz 1
e j d 1 de j
d 1 d re j
(a) 一阶全通数字滤波器的幅度响应
一阶全通数字滤波器的相位响应是单调递减的。
1.7.1 全通数字滤波器 2. m阶实系数全通数字滤波器
d m d m 1 z 1 d1 z ( m 1) z m z m Dm ( z 1 ) Am ( z ) 1 ( m 1) m 1 d1 z d m 1 z dm z Dm ( z )
与H(z)具有相同幅度响应的最小相位系统为
1
1
1 bz1 H min ( z ) 1 az1
1.7.3 最小相位系统
在具有相同幅频特性的同阶系统中，最小相 位系统具有最大的相位，最小的延时。
1.6 离散时间系统函数H(z)
对于离散LTI系统:
n 0
N
an y[k n] bn x[k n]
n 0 M
M
Y ( z) H ( z) X ( z)
n 0
n 0 N
bn z an z
§2.8 离散系统的系统函数
z域： 域 收敛域在圆外
X
第
２．稳定系统
对于稳定系统，只要输入是有界的， (1)定义： 定义： 定义 对于稳定系统，只要输入是有界的，输出必 定是有界的（ 定是有界的（BIBO)。 。
20 页
(2)稳定性判据（ LSI系统而言 系统而言) (2)稳定性判据（对LSI系统而言) 稳定性判据 判据1 离散系统稳定的充要条件： 判据1：离散系统稳定的充要条件：单位样值响应绝对 可和。 可和。 ∞ ∑ h(n) < ∞
X
四．IIR（Infinite Impulse Response）系统和 IIR（ ） FIR （Finite Impulse Response）系统 ）
1．无限长单位冲激响应(IIR)系统 无限长单位冲激响应(IIR)系统 (IIR) 如果一个离散时间系统的单位抽样响应h(n) 如果一个离散时间系统的单位抽样响应h(n) 延伸到无穷长, n→∞时,h(n)仍有值 仍有值, 延伸到无穷长,即n→∞时,h(n)仍有值,这样的系 统称作IIR系统。 IIR系统 统称作IIR系统
10 页
H(z) = K
∏(1− c
m=1 N k=1
M
m
z ) = Kz
−1
−1
∏(1− d z
k j( N −M)
N −M m=1 N k=1
∏(z − c
M
m
)
)
jω
∏(z − d )
k jω jarg[H(e jω )]
H(e ) = Ke
jω
∏(e ω
m=1 N k=1
M
− cm ) − dk )
= H(z) = mN0
第 26 页
bmz−m ∑ ak z−k ∑
X
第
２．稳定系统
对于稳定系统，只要输入是有界的， (1)定义： 定义： 定义 对于稳定系统，只要输入是有界的，输出必 定是有界的（ 定是有界的（BIBO)。 。
20 页
(2)稳定性判据（ LSI系统而言 系统而言) (2)稳定性判据（对LSI系统而言) 稳定性判据 判据1 离散系统稳定的充要条件： 判据1：离散系统稳定的充要条件：单位样值响应绝对 可和。 可和。 ∞ ∑ h(n) < ∞
X
四．IIR（Infinite Impulse Response）系统和 IIR（ ） FIR （Finite Impulse Response）系统 ）
1．无限长单位冲激响应(IIR)系统 无限长单位冲激响应(IIR)系统 (IIR) 如果一个离散时间系统的单位抽样响应h(n) 如果一个离散时间系统的单位抽样响应h(n) 延伸到无穷长, n→∞时,h(n)仍有值 仍有值, 延伸到无穷长,即n→∞时,h(n)仍有值,这样的系 统称作IIR系统。 IIR系统 统称作IIR系统
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H(z) = K
∏(1− c
m=1 N k=1
M
m
z ) = Kz
−1
−1
∏(1− d z
k j( N −M)
N −M m=1 N k=1
∏(z − c
M
m
)
)
jω
∏(z − d )
k jω jarg[H(e jω )]
H(e ) = Ke
jω
∏(e ω
m=1 N k=1
M
− cm ) − dk )
= H(z) = mN0
第 26 页
bmz−m ∑ ak z−k ∑
离散系统的系统函数和频率响应
| z |> m | pi | ax
i
p2
p1 p3 Re[z]
⇔ cau sality
p2
Im[z]
p1
| z |< m | pi | ⇔anti - causality in
i
p3
因果、稳定系统： 因果、稳定系统：
H（z）的收敛域为： （ ）的收敛域为：
ρ ≤| z |≤ ∞
包含单位圆且 （ROC包含单位圆且极点均在单位圆内） 包含单位圆 极点均在单位圆内）
离散系统的系统函数和频率响应 系统函数： 系统函数： H(z) = FT[h(n)] = Y(z) X (z)
频率响应： 频率响应： H(e ) 单位圆上的系统函数(传输函数 传输函数) 单位圆上的系统函数 传输函数
jω
H(e ) = H(z) |z=e jω
jω
1、零极点分布对系统因果、稳定性的影响： 、零极点分布对系统因果、稳定性的影响： 稳定性： 稳定性：
G = (1− R) 1− 2Rcos(2ω0) + R
2
Resonator----谐振器
3-dB width----3 分贝带宽
|H(e jω)|²
1 1/2
∆ω
ω
0
ω0
π/2
陷波器
梳状滤波器
• Notch and Comb Filters
e
pole
jω
1
|H(ω)|²
unit circle
zero
2、利用零极点分布确定系统的频率特性： 、利用零极点分布确定系统的频率特性：
Y(z) H(z) = = X (z)
M
bi z−i ∑ ai z−i ∑
i
p2
p1 p3 Re[z]
⇔ cau sality
p2
Im[z]
p1
| z |< m | pi | ⇔anti - causality in
i
p3
因果、稳定系统： 因果、稳定系统：
H（z）的收敛域为： （ ）的收敛域为：
ρ ≤| z |≤ ∞
包含单位圆且 （ROC包含单位圆且极点均在单位圆内） 包含单位圆 极点均在单位圆内）
离散系统的系统函数和频率响应 系统函数： 系统函数： H(z) = FT[h(n)] = Y(z) X (z)
频率响应： 频率响应： H(e ) 单位圆上的系统函数(传输函数 传输函数) 单位圆上的系统函数 传输函数
jω
H(e ) = H(z) |z=e jω
jω
1、零极点分布对系统因果、稳定性的影响： 、零极点分布对系统因果、稳定性的影响： 稳定性： 稳定性：
G = (1− R) 1− 2Rcos(2ω0) + R
2
Resonator----谐振器
3-dB width----3 分贝带宽
|H(e jω)|²
1 1/2
∆ω
ω
0
ω0
π/2
陷波器
梳状滤波器
• Notch and Comb Filters
e
pole
jω
1
|H(ω)|²
unit circle
zero
2、利用零极点分布确定系统的频率特性： 、利用零极点分布确定系统的频率特性：
Y(z) H(z) = = X (z)
M
bi z−i ∑ ai z−i ∑
§8.8 离散系统的系统函数
X
第
极点位置与h(n)形状的关系
j Im z
9 页
−1
O
+1
Re z
X
第
利用z～s平面的映射关系
s平面 平面 极点位置 虚轴上 原点时 左半平面 右半平面 h(t)特点 特点 等幅 极点位置 单位圆上 z平面 平面 h(n)特点 特点 等幅
10 页
1 u(t ) ↔ s 衰减
增幅
θ =0 z =1 单位圆内
信号与系统
8.7
8.9
§8.8 离散系统的系统函数
•单位样值响应与系统函数 单位样值响应与系统函数 •系统函数的零极点分布对系统特性的影响 系统函数的零极点分布对系统特性的影响 确定单位样值响应 稳定性 因果性
烟台大学光电学院
第
一．单位样值响应与系统函数
1.定义 1.定义
Y ( z) H(z) = = X ( z) br z−r ∑ ak z−k ∑
−1 −2 −3
∞
所以
2z −z 域判断： = ③从z域判断：H ( z) = ∑ ( 0.5) z = ∑( 2z) = 域判断 1− 2z z − 1 n=−∞ n=1 1 1 2
−1 n −n ∞ n
n=−∞Байду номын сангаас
∑ h( n) = ∞
1 1 1 +⋯ = + 2 + 3 +⋯+∞ 0.5 0.5 0.5
π 4
(3) p = be
±j
(b > 1)
nπ 2b cos u(n) 4
n
增幅振荡
X
第 22 页
π ω= , 2 p=e
π ±j 4
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i0
激励为因果序列
x 1 x 2 0
系统处于零状态
y 1 y 2 0
X
3
M
H
z
Yzs z X z
bi z i
i0
N
a jz j
j0
2．单位响应
第
H只z与系统的差分方 页
程的系数、结构有关， 描述了系统的固有特 性。
(k)
系统
h(k)
若 x k δ k ， X z 则 1 Y zs z H zX z
hk H z
3.系统的零状态响应
y z k s h k x k Y z z s H z X z
X
4
第
4.系统函数的求解（重点）
页
1 ) 由 h k 求 H z :h k H z
2)由系统差分方H程 z 求
3)由 系 统 框H图 z求
hk
X
例1（自学） 已知离散系统的差分方程为：
1
第 页
第五节 离散系统的系统函数
单位响应与系统函数 系统函数的零极点分布对系统特性的影响 稳定性和因果性
X
2
一．系统函数与单位响应
第 页
1.系统函数
线性时不变离散系统由线性常系 数差分方程描述，一般形式为
N
M
ajykjbixki
j0
i0
上式两边取z变换得
N
M
Yz ajzj Xz bizi
j0
y k 3 y k 1 2 y k 2 x k x k 1 ， 激励
x k 2 kk ,求系 H 统 z及函 零数 状 y zs k 。
解：
在零状态条件下，对差分方程两边取单边z变换
Y z 3 z 1 Y z 2 z 2 Y z X z 1 z 1
则
Hz
Yz Xz
1z 1
zz 1 z
13 z 12 z 2z 1 z2 z2
求系统的零状态响应
Y zH zX zz
z
z
2
z2z2 z2
所 y zk 以 s k 1 2 kk
X
6
二．系统函数的零极点分布对系统特性的影响第页 因h为 kHz， 所 以H可 z的 以零 从极 点 分 确 定 单h位 k的响 特应 性
X
第
16
例
LT系 I 统 hkk，判断因果性 。 页
解：从时域判断
hkk 10,,
hk
k
k0 因果系统 k0
不稳定系统
从z域判断
Hz z ， RO: C z1
z1
h(k)为右边序列，收敛域为圆外，为因果系统。
极点在单位圆上，收敛域不包括单位圆→不稳定（临 界稳定）。
X
17
第
例2 页
LTI系统，h k0.5，k判k 断因果性、稳定性。
t 1
s
衰减(稳定)
增幅
z 1
单位圆内
收敛域含单位园
单位圆外
k z
z 1
减幅(稳定)
增幅
X
13
第
2．离散系统的稳定性 页
(1)定义：对于稳定系统，只要输入是有界的，输出必 定是有界的。
(2)稳定性判据 判据1：（时域判断） 离散系统稳定的充要条件：单位序列响应绝对可和。
hk
判据2：（z域判断）k 对于因果系统，其稳定的充要条件为：
pj
h kA 0δk NA jpjkk X j1
10
第
根据极点分布或收敛域判断系统的稳定性 页
对因果系统： 1.H(z)极点全部在单位园内,h(k)衰减,系统稳定 2.H(z)极点只要有一个在单位园外,或单位园上有二重极 点(包括z=±1),h(k)增幅,系统不稳定. 3.H(z) 在单位园上有单极点(包括z=±1), h(k)等幅或等 幅振荡,系统处于临界稳定.
因为 h k H z
所以 hkZ1A0jN 1zA jp zj
N
A0k Aj
j1
pj
kk
X
8
第
2)H(z)为共轭单极点时:
页
H(z) K1 K2 z zcjd zc jd
K2
K1
H(z)
K1ejz
zej
K1ejz
zej
共轭单极点 h k 2 K 1kco k s )( ( k )
注意:1）对于低阶系统根据系统函数的极点分布判断系 统的稳定较易实现,但对于高阶系统求特征根（极点）不 容易，可采用朱里准则（根据特征方程系数）判断.
2）对一般系统稳定判断原则是：
H(z)收敛域是否包含单位园，如包含则系统稳定
H(s)收敛域是否包含虚轴，如包含则系统稳定
X
11
第
z～s平面的映射关系（自学） 页
含虚轴的右半 含单位圆的圆
平面
外
虚轴上有单极 单位园上有单
点
极点
对任何线性系统稳定判据：收敛域含单位园
X
15
第
4．系统的因果性 页 输出不超前于输入的系统
系统因果性的判断方法：
时 ： h k h 域 k k 即 k 0 h ( k ) 0
z域：系统函数的收敛域在以极点模值最大为 收敛半径的园外。
1.由零极点分布确定单位响应 2.离散系统的稳定性 3.系统的因果性
X
7
1．由零极点分布确定单位响应
第 页
M
bizi
H
z
i0 N
a jzj
j0
M
z zi
k i1
N
z
pj
j1
z i : 零点 p j : 极点
展成部分分式：（假设无重根）
N
1)H(z)为单极点Hz
Ajz
j0zpj
A0jN 1zA jzpj
z域复变量域s域复变量关系：z esT z rej
s j
rej ＝e( j)T eT e jT
r eT T
X
12
第
因果系统函数极点与h(t)，h(k)响应的关系
页
s平面
z平面
极点位置 h(t)特点 极点位置 h(k)特点
虚轴上
等幅
单位圆上 等幅
原点s=0
左半平面
收敛域含虚轴
右半平面
①从时域判断：k10,,
不k是0因果系统
k0
h k 0 .5 1 0 .5 2 0 .5 3 01.50.1520.153 所以hk 不稳定
实数单极点 hkA0δk NAjpjkk j1
H极z点的性质，决定了 的hk特 性。其规律可能是指数衰
减、上升，或为减幅、增幅、等幅振荡。
系统函数的零点只影响h(k)的幅度和相位.
X
9
极点位置与h(k)形状的关系(因果序列）
第
j Im z
页
1
O
1
Re z
h k 2 K 1kco k s )( ( k )
H(z)的全部极点应落在单位圆之内。即收敛域应包括单 位圆在内。 收敛z域 a,： 。a1
X
14Biblioteka 第3.因果连续系统和离散系统稳定性的比较 页
系统稳定的充 要条件
连续系统
离散系统
htdt
hk
n
因果序列： 极点
收敛域
临界稳定的极 点
H(s)的极点全 H(z)的极点全部 部在左半平面 在单位圆内