离散系统的系统函数PPT课件
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1
第 页
第五节 离散系统的系统函数
单位响应与系统函数 系统函数的零极点分布对系统特性的影响 稳定性和因果性
X
2
一．系统函数与单位响应
第 页
1.系统函数
线性时不变离散系统由线性常系 数差分方程描述，一般形式为
N
M
ajykjbixki
j0
i0
上式两边取z变换得
N
M
Yz ajzj Xz bizi
j0
pj
h kA 0δk NA jpjkk X j1
10
第
根据极点分布或收敛域判断系统的稳定性 页
对因果系统： 1.H(z)极点全部在单位园内,h(k)衰减,系统稳定 2.H(z)极点只要有一个在单位园外,或单位园上有二重极 点(包括z=±1),h(k)增幅,系统不稳定. 3.H(z) 在单位园上有单极点(包括z=±1), h(k)等幅或等 幅振荡,系统处于临界稳定.
z域复变量域s域复变量关系：z esT z rej
s j
rej ＝e( j)T eT e jT
r eT T
X
12
第
因果系统函数极点与h(t)，h(k)响应的关系
页
s平面
z平面
极点位置 h(t)特点 极点位置 h(k)特点
虚轴上
等幅
单位圆上 等幅
原点s=0
左半平面
收敛域含虚轴
右半平面
hk H z
3.系统的零状态响应
y z k s h k x k Y z z s H z X z
X
4
第
4.系统函数的求解（重点）
页
1 ) 由 h k 求 H z :h k H z
2)由系统差分方H程 z 求
3)由 系 统 框H图 z求
hk
X
例1（自学） 已知离散系统的差分方程为：
y k 3 y k 1 2 y k 2 x k x k 1 ， 激励
x k 2 kk ,求系 H 统 z及函 零数 状 y zs k 。
解：
在零状态条件下，对差分方程两边取单边z变换
Y z 3 z 1 Y z 2 z 2 Y z X z 1 z 1
H(z)的全部极点应落在单位圆之内。即收敛域应包括单 位圆在内。 收敛z域 a,： 。a1
X
14
第
3.因果连续系统和离散系统稳定性的比较 页
系统稳定的充 要条件
连续系统
wk.baidu.com
离散系统
htdt
hk
n
因果序列： 极点
收敛域
临界稳定的极 点
H(s)的极点全 H(z)的极点全部 部在左半平面 在单位圆内
则
Hz
Yz Xz
1z 1
zz 1 z
13 z 12 z 2z 1 z2 z2
求系统的零状态响应
Y zH zX zz
z
z
2
z2z2 z2
所 y zk 以 s k 1 2 kk
X
6
二．系统函数的零极点分布对系统特性的影响第页 因h为 kHz， 所 以H可 z的 以零 从极 点 分 确 定 单h位 k的响 特应 性
1.由零极点分布确定单位响应 2.离散系统的稳定性 3.系统的因果性
X
7
1．由零极点分布确定单位响应
第 页
M
bizi
H
z
i0 N
a jzj
j0
M
z zi
k i1
N
z
pj
j1
z i : 零点 p j : 极点
展成部分分式：（假设无重根）
N
1)H(z)为单极点Hz
Ajz
j0zpj
A0jN 1zA jzpj
含虚轴的右半 含单位圆的圆
平面
外
虚轴上有单极 单位园上有单
点
极点
对任何线性系统稳定判据：收敛域含单位园
X
15
第
4．系统的因果性 页 输出不超前于输入的系统
系统因果性的判断方法：
时 ： h k h 域 k k 即 k 0 h ( k ) 0
z域：系统函数的收敛域在以极点模值最大为 收敛半径的园外。
t 1
s
衰减(稳定)
增幅
z 1
单位圆内
收敛域含单位园
单位圆外
k z
z 1
减幅(稳定)
增幅
X
13
第
2．离散系统的稳定性 页
(1)定义：对于稳定系统，只要输入是有界的，输出必 定是有界的。
(2)稳定性判据 判据1：（时域判断） 离散系统稳定的充要条件：单位序列响应绝对可和。
hk
判据2：（z域判断）k 对于因果系统，其稳定的充要条件为：
X
第
16
例
LT系 I 统 hkk，判断因果性 。 页
解：从时域判断
hkk 10,,
hk
k
k0 因果系统 k0
不稳定系统
从z域判断
Hz z ， RO: C z1
z1
h(k)为右边序列，收敛域为圆外，为因果系统。
极点在单位圆上，收敛域不包括单位圆→不稳定（临 界稳定）。
X
17
第
例2 页
LTI系统，h k0.5，k判k 断因果性、稳定性。
i0
激励为因果序列
x 1 x 2 0
系统处于零状态
y 1 y 2 0
X
3
M
H
z
Yzs z X z
bi z i
i0
N
a jz j
j0
2．单位响应
第
H只z与系统的差分方 页
程的系数、结构有关， 描述了系统的固有特 性。
(k)
系统
h(k)
若 x k δ k ， X z 则 1 Y zs z H zX z
因为 h k H z
所以 hkZ1A0jN 1zA jp zj
N
A0k Aj
j1
pj
kk
X
8
第
2)H(z)为共轭单极点时:
页
H(z) K1 K2 z zcjd zc jd
K2
K1
H(z)
K1ejz
zej
K1ejz
zej
共轭单极点 h k 2 K 1kco k s )( ( k )
①从时域判断：k10,,
不k是0因果系统
k0
h k 0 .5 1 0 .5 2 0 .5 3 01.50.1520.153 所以hk 不稳定
实数单极点 hkA0δk NAjpjkk j1
H极z点的性质，决定了 的hk特 性。其规律可能是指数衰
减、上升，或为减幅、增幅、等幅振荡。
系统函数的零点只影响h(k)的幅度和相位.
X
9
极点位置与h(k)形状的关系(因果序列）
第
j Im z
页
1
O
1
Re z
h k 2 K 1kco k s )( ( k )
注意:1）对于低阶系统根据系统函数的极点分布判断系 统的稳定较易实现,但对于高阶系统求特征根（极点）不 容易，可采用朱里准则（根据特征方程系数）判断.
2）对一般系统稳定判断原则是：
H(z)收敛域是否包含单位园，如包含则系统稳定
H(s)收敛域是否包含虚轴，如包含则系统稳定
X
11
第
z～s平面的映射关系（自学） 页
第 页
第五节 离散系统的系统函数
单位响应与系统函数 系统函数的零极点分布对系统特性的影响 稳定性和因果性
X
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一．系统函数与单位响应
第 页
1.系统函数
线性时不变离散系统由线性常系 数差分方程描述，一般形式为
N
M
ajykjbixki
j0
i0
上式两边取z变换得
N
M
Yz ajzj Xz bizi
j0
pj
h kA 0δk NA jpjkk X j1
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第
根据极点分布或收敛域判断系统的稳定性 页
对因果系统： 1.H(z)极点全部在单位园内,h(k)衰减,系统稳定 2.H(z)极点只要有一个在单位园外,或单位园上有二重极 点(包括z=±1),h(k)增幅,系统不稳定. 3.H(z) 在单位园上有单极点(包括z=±1), h(k)等幅或等 幅振荡,系统处于临界稳定.
z域复变量域s域复变量关系：z esT z rej
s j
rej ＝e( j)T eT e jT
r eT T
X
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第
因果系统函数极点与h(t)，h(k)响应的关系
页
s平面
z平面
极点位置 h(t)特点 极点位置 h(k)特点
虚轴上
等幅
单位圆上 等幅
原点s=0
左半平面
收敛域含虚轴
右半平面
hk H z
3.系统的零状态响应
y z k s h k x k Y z z s H z X z
X
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第
4.系统函数的求解（重点）
页
1 ) 由 h k 求 H z :h k H z
2)由系统差分方H程 z 求
3)由 系 统 框H图 z求
hk
X
例1（自学） 已知离散系统的差分方程为：
y k 3 y k 1 2 y k 2 x k x k 1 ， 激励
x k 2 kk ,求系 H 统 z及函 零数 状 y zs k 。
解：
在零状态条件下，对差分方程两边取单边z变换
Y z 3 z 1 Y z 2 z 2 Y z X z 1 z 1
H(z)的全部极点应落在单位圆之内。即收敛域应包括单 位圆在内。 收敛z域 a,： 。a1
X
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第
3.因果连续系统和离散系统稳定性的比较 页
系统稳定的充 要条件
连续系统
wk.baidu.com
离散系统
htdt
hk
n
因果序列： 极点
收敛域
临界稳定的极 点
H(s)的极点全 H(z)的极点全部 部在左半平面 在单位圆内
则
Hz
Yz Xz
1z 1
zz 1 z
13 z 12 z 2z 1 z2 z2
求系统的零状态响应
Y zH zX zz
z
z
2
z2z2 z2
所 y zk 以 s k 1 2 kk
X
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二．系统函数的零极点分布对系统特性的影响第页 因h为 kHz， 所 以H可 z的 以零 从极 点 分 确 定 单h位 k的响 特应 性
1.由零极点分布确定单位响应 2.离散系统的稳定性 3.系统的因果性
X
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1．由零极点分布确定单位响应
第 页
M
bizi
H
z
i0 N
a jzj
j0
M
z zi
k i1
N
z
pj
j1
z i : 零点 p j : 极点
展成部分分式：（假设无重根）
N
1)H(z)为单极点Hz
Ajz
j0zpj
A0jN 1zA jzpj
含虚轴的右半 含单位圆的圆
平面
外
虚轴上有单极 单位园上有单
点
极点
对任何线性系统稳定判据：收敛域含单位园
X
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第
4．系统的因果性 页 输出不超前于输入的系统
系统因果性的判断方法：
时 ： h k h 域 k k 即 k 0 h ( k ) 0
z域：系统函数的收敛域在以极点模值最大为 收敛半径的园外。
t 1
s
衰减(稳定)
增幅
z 1
单位圆内
收敛域含单位园
单位圆外
k z
z 1
减幅(稳定)
增幅
X
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第
2．离散系统的稳定性 页
(1)定义：对于稳定系统，只要输入是有界的，输出必 定是有界的。
(2)稳定性判据 判据1：（时域判断） 离散系统稳定的充要条件：单位序列响应绝对可和。
hk
判据2：（z域判断）k 对于因果系统，其稳定的充要条件为：
X
第
16
例
LT系 I 统 hkk，判断因果性 。 页
解：从时域判断
hkk 10,,
hk
k
k0 因果系统 k0
不稳定系统
从z域判断
Hz z ， RO: C z1
z1
h(k)为右边序列，收敛域为圆外，为因果系统。
极点在单位圆上，收敛域不包括单位圆→不稳定（临 界稳定）。
X
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第
例2 页
LTI系统，h k0.5，k判k 断因果性、稳定性。
i0
激励为因果序列
x 1 x 2 0
系统处于零状态
y 1 y 2 0
X
3
M
H
z
Yzs z X z
bi z i
i0
N
a jz j
j0
2．单位响应
第
H只z与系统的差分方 页
程的系数、结构有关， 描述了系统的固有特 性。
(k)
系统
h(k)
若 x k δ k ， X z 则 1 Y zs z H zX z
因为 h k H z
所以 hkZ1A0jN 1zA jp zj
N
A0k Aj
j1
pj
kk
X
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第
2)H(z)为共轭单极点时:
页
H(z) K1 K2 z zcjd zc jd
K2
K1
H(z)
K1ejz
zej
K1ejz
zej
共轭单极点 h k 2 K 1kco k s )( ( k )
①从时域判断：k10,,
不k是0因果系统
k0
h k 0 .5 1 0 .5 2 0 .5 3 01.50.1520.153 所以hk 不稳定
实数单极点 hkA0δk NAjpjkk j1
H极z点的性质，决定了 的hk特 性。其规律可能是指数衰
减、上升，或为减幅、增幅、等幅振荡。
系统函数的零点只影响h(k)的幅度和相位.
X
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极点位置与h(k)形状的关系(因果序列）
第
j Im z
页
1
O
1
Re z
h k 2 K 1kco k s )( ( k )
注意:1）对于低阶系统根据系统函数的极点分布判断系 统的稳定较易实现,但对于高阶系统求特征根（极点）不 容易，可采用朱里准则（根据特征方程系数）判断.
2）对一般系统稳定判断原则是：
H(z)收敛域是否包含单位园，如包含则系统稳定
H(s)收敛域是否包含虚轴，如包含则系统稳定
X
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第
z～s平面的映射关系（自学） 页