电磁学典型例题
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r R1 , n r0 ,
1 ' P1 r 1
2 π r R1
介质外表面:
r R 2 , n r0 ,
0
2 ' P2
r 1
2 π r R2
0
例8. 两半径为 R 的平行长直导线中心间距为 d，且 d >> R, 求单位长度的电容 (空间充满电介质). A B 解:设两金属线的电荷线密度为±λ
E E E
d R
2π x
2 π (d x)
2R
E
V AB
Edx
R
2π
d R
R
(
1 x
1 d x
d R
d R
)dx
o
P
x dx
E E
x
π
ln
d R R
π
ln
单位长度的电容
C
π ln
V AB
rC 0
A
B
a
d
a
X
这时电场集中在两板之间。 2 QA
V AB
0
d
0S
d
(2) 若用一根导线把A、B板内侧连接起来，求电荷分布.
两板连成一个大导体，电荷将重新分布于大导体外表 面，大导体内电场处处为零，整个大导体为等势体. 重复前面求解步骤：
'1 ' 2
Q'A
Q'B
'3 ' 4
Q'A
Q'B
'3 ' 4
A 板：
B 板：
σ' 1 2ε0 '1
2 0
σ' 2 2ε0 '2
2 0
σ' 3 2ε0 '3
2 0
σ' 4 2ε0 '4
2 0
0
0
E'
A
B
(b)电荷守恒: A板或B板各自电荷不 守恒，整个大导体电荷守恒.
( '1 ' 2 ' 3 ' 4 ) S
2 0
"
1
"
2
2 0
"
2
3
"
2 0
'
"
4
2 0
0
S S Q
A
QA QB 2
B
E '''
"
1
2 0
"
2
2 0
"
3
2 0
'
"
4
2 0
0
联立求解上面四个方程，得
0,
" 1 " 4
'' 2
'' 3
QA S
2 0
4
2 0
0
0
1
2 0
2
2 0
3
2 0
4
2 0
a
A
b
B
(b) 电荷守恒：A板与B板均为孤 立系统，各自电荷守恒。
1S 2 S Q A
3S 4S QB
a
d
a
1 4
联立求解上面四个方程，得
QA QB 2S
2 3
1
"
"
"
3
"
"
"
" 4
1
2 0
"
2
2 0
3
2 0
"
"
4
2 0
0
" '
A
(b) A板电荷守恒 (c) B板电势为零: 由于B板与大地(可视为∞)等电势, B 板右侧电场必须处处为零, 否则, 就会有电势差.
1 2 A
B
S S Q
V B地
地
E ''' d l
2 2
)
例3. 两块可视为无限大的导体平板 A、B，平行放置， 间距为d，板面为S，分别带电QA、QB，且均为正值，求 两板各表面上的电荷面密度及两板间的电势差。 QA 1 2 QB 3 4 设四个表面的电荷面密度分 解： 别为：σ1, σ2, σ3, σ4
（注意: 列方程时, 都是先假定 这些电荷为正, 若求出的结果为 负, 就表示与假设的符号相反)
0
" '
A
B
2 0
2 0
2 0
A板正电荷全部 转移到内侧，在 B板内侧感应出 等量异号电荷.
(b) A板电荷守恒 S S Q
1 2
解得 0 ,
" 1
'' 2
'' 3
QA S
'
QA QB 2S
V
" AB
E d
"
2 0
''
d
QA QB 2 0 S
d
d2 例9 一平行平板电容器充满两层厚度各为 和 的电介质， d1 r1 它们的相对电容率分别为 和 , 极板面积为 r2 求（1）电 . 容器的电容；（2）当极板上的自由电荷面密度的值为 时，求 S 两介质分界面上的极化电荷面密度.
dl dydl
dy
dE
2 0 r
y
dy
r
dE
2
dy
p
dE
y
a y
2
r y a
2
dE
x
dy
2
0
a y
2
x dE
z
不同y处的细长条带在 p 点产生的电场方向不同， 因此，要利用分量式求解：
dE x dE cos , dE
Q' A Q' B Q A Q B
σ' 1 2ε0
σ' 2 2ε0
σ' 3 2ε0
σ' 4 2ε0
σ' 2 ε0
0
a
d
a
联立求解上面四个方程，得
σ' 1 σ' 4 QA QB 2S , σ' 2 σ' 3 0
QA QB 2 Q' B
Q ' A ( '1 ' 2 ) S
a
A
b
B
(a) 静电平衡条件：导体平板 A和B内部的场强应为零.
A 板内 ：
1
2 0 1
2 0
2
2 0 2
2 0
3
2 0 3
2 0
4
2 0 4
2 0
0
0
a
d
a
B 板内 ：
QA 1 2
QB
3 4
A 板：
B 板：
1
2 0
2
2 0
3
2 0
A
B
a
d
a
X
1 4
QA QB 2S
2 3
QA QB 2S
讨论： QA 1 2 3 4 QB
(1) 若QA= −QB 0 (平板电容器)
1 4
QA QB 2S
QA QB 2S QA S
0
2 3
例6.
已知: 导体板 S ,
介质 r , r , d1 , 1 2
D, E
d2
r r n n
1
2
求:各介质内的
S1 S 2
解:设两介质中的 D E 分别为 D1 E1 D2 E 2 由介质中的高斯定理
S1
D1 E1
D2
E2
A
d1
QA QB 2S
1 4
QA QB 2S
2 3
QA QB 2S
两板间的电势差：
QA 1 2
E
QB 3 4
E
1
2 0
2
2 0
B A
3
2 0
4
2 0
2 0
故： V AB
E d l Ed
d QA QB 2 0 S d
r
R2
R1
r
R2
R1
解:（1）电介质中的电场强度、电位移和极化强度
D dS
S
q
0
l
D 2 π rl l
E D
D
2π r
( R1 r R 2 )
0 r
2 π 0 r r
P 0 e E 0 ( r 1) E
Q' A Q' B Q A Q B
a
d
a
(c) 新增条件：整个大导体为等势体
V ' AB
B A
E ' d l E'd 0
E'
σ' 1 2ε0
σ' 2 2ε0
σ' 3 2ε0
σ' 4 2ε0
σ' 2 ε0
0
意义: 静电平衡时, A、B连线上的电场也要处处为零.
2 0
1
2 0
2
2 0
0
(2) 电荷守恒： 1 + 2 = 0 联立以上二方程 , 解得：
1 2 0
2
思考 若上例中导体板接地， 下面结果哪个正确?
0
-0 2
0
0
0
0
2
0
-0
0
（A）
（B）
（C）
答案：C
接地后,导体板上电荷将重新分布,与左边 大平板同号的感应电荷将被大地中和，剩 下的电荷应保证导体板内部场强为零.
R
解: 杆上取电荷元 dq λdx
Q
dq
L
Ex
根据例3结果，圆环在 dq 处 产生的电场
Ex 1
2
O
x
Qx
2 3/ 2
4 0 ( R x )
dF Ex d q Ex λdx
F
L
Qλ xdx 4 0 ( R x )
2 2 3 2
Qλ
0
40 R
(
1
1 R L
(a) 静电平衡条件：导体内场强为 零
A 板内 ： σ' 1 2ε0 σ' 2 2ε0 σ' 3 2ε0 σ' 4 2ε0 0
a
A
b
B
B 板内 ：
'1
2 0
'2
2 0
'3
2 0
'4
2 0
0
a
d
a
以上两个方程与前面A、B没有连 接时相同.
'1 ' 2
r 1
2 π rr
r
R2
E
R1
r 1
2 π rr
( R1 r R 2 )
2 π 0 r r
,
P 0 ( r 1) E
(2)电介质内、外表面的极化电荷面密度. σ' P n n 为介质表面外法线方向的单位矢量.
介质内表面:
y
dE sin , cos
a r
a a y
2 2
dE关于 y 轴对称，故 Ey＝0，E = Ex .
dE
dy
2
0
a y
2
2
, dE
x
dE cos , cos
a r
a a y
2 2
dE
x
dy
2
0
a
2
a y
2
a y
2
2
QA QB 2S
V
" AB
E d
"
2 0
''
d
QA QB 2 0 S
d
例4. 已知面电荷密度为0 的均匀带电大平板旁， 平行放置一大的不带电导体平板。
求：导体板两表面的面电荷密度。
0
1
2
解：设导体电荷密度为 1、 2 ，
(1) 导体内场强为零：
E
E
0
例1. 设真空中有一无限长均匀带电平板，电荷面密度 σ(σ > 0 ), 求 p 点的场强（p 点到平板距离为a）.
y
解：将平板分解成许多平行于 z 轴的无限长均匀带电细条带.
r y a
dy
z
在 y 处取宽为dy的细长条带， 根据例1结果，它在 p 点产生 的场强为， dE p x 2 0 r dE λ为细长条带的电荷线密 度，它与面密度的关系为
d
讨论：在上面求解中，利用了B 板外侧的正电荷被大地 中和的条件σ4″= 0 . 这一结论其实也可以根据B 板接地， 因而电势为零的条件推出。重新列方程如下：
QA
'
" 1
" 2
E '''
" 3
(a) 静电平衡条件
A板 ： 2 4 0 2 0 2 0 2 0 2 0 B板 ：
(3) 若断开导线, B板接地, 求A、B板电荷分布及电势差.
QA
'
B板外侧的正电荷被大地中和， 0 重复本题开始时的求法，确定电荷分布
" 4
" 1
" 2
(a) 静电平衡条件
" 3
E"
A
" 4
A 板：
B板 ：
σ
" 1
2ε0
"
1
σ
" 2
2ε0
"
2
"
σ
" 3
2ε0
"
3
0
a dy
2 0 ( a y )
2 2
Ex
dE
x
a dy
2 0 ( a y )
2 2
2
0
arctg
y a
2 0
方向沿 x 轴，垂直于平板向外。
与例4的结果(无限大圆盘)一致。
例2. 已知圆环半径为R, 带电量为Q ，杆的电荷线密度 为 ，长为L, 求杆对圆环的作用力.
B
E '''
"
1
E''' L B 地 0
2 0
"
2
2 0
"
3
2 0
"
4
2 0
0
Q
' A
1
"
" 2
E '''
" 3
A板 ： 2 4 0 2 0 2 0 2 0 2 0 B板 ：
1
"
"
3
"
"
E"
A
" 4
1
"百度文库
'1 ' 2
Q'A
Q'B
'3 ' 4
A 板：
B 板：
σ' 1 2ε0
'1
2 0
σ' 2 2ε0
'2
2 0
σ' 3 2ε0
'3
2 0
σ' 4 2ε0
'4
2 0
0
0
E'
A
B
E'
( '1 ' 2 ' 3 ' 4 ) S
1
D dS D1 S D2 S 0
d2
B
由
D1 0 r E1
得
S2
D dS D1 S 0 S
D1 D2
D1 D2
E1
0 r1
D1
E2
0 r2
例7. 常用的圆柱形电容器，是由半径为 R1 的长直圆 柱导体和同轴的半径为 R2 的薄导体圆筒组成，并在直 导体与导体圆筒之间充以相对电容率为 εr 的电介质. 设直导体和圆筒单位长度上的电荷分别为 +λ 和 −λ. 求 （1）电介质中的电场强度、电位移和极化强度；(2) 电介质内、外表面的极化电荷面密度．
1 ' P1 r 1
2 π r R1
介质外表面:
r R 2 , n r0 ,
0
2 ' P2
r 1
2 π r R2
0
例8. 两半径为 R 的平行长直导线中心间距为 d，且 d >> R, 求单位长度的电容 (空间充满电介质). A B 解:设两金属线的电荷线密度为±λ
E E E
d R
2π x
2 π (d x)
2R
E
V AB
Edx
R
2π
d R
R
(
1 x
1 d x
d R
d R
)dx
o
P
x dx
E E
x
π
ln
d R R
π
ln
单位长度的电容
C
π ln
V AB
rC 0
A
B
a
d
a
X
这时电场集中在两板之间。 2 QA
V AB
0
d
0S
d
(2) 若用一根导线把A、B板内侧连接起来，求电荷分布.
两板连成一个大导体，电荷将重新分布于大导体外表 面，大导体内电场处处为零，整个大导体为等势体. 重复前面求解步骤：
'1 ' 2
Q'A
Q'B
'3 ' 4
Q'A
Q'B
'3 ' 4
A 板：
B 板：
σ' 1 2ε0 '1
2 0
σ' 2 2ε0 '2
2 0
σ' 3 2ε0 '3
2 0
σ' 4 2ε0 '4
2 0
0
0
E'
A
B
(b)电荷守恒: A板或B板各自电荷不 守恒，整个大导体电荷守恒.
( '1 ' 2 ' 3 ' 4 ) S
2 0
"
1
"
2
2 0
"
2
3
"
2 0
'
"
4
2 0
0
S S Q
A
QA QB 2
B
E '''
"
1
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"
2
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"
3
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'
"
4
2 0
0
联立求解上面四个方程，得
0,
" 1 " 4
'' 2
'' 3
QA S
2 0
4
2 0
0
0
1
2 0
2
2 0
3
2 0
4
2 0
a
A
b
B
(b) 电荷守恒：A板与B板均为孤 立系统，各自电荷守恒。
1S 2 S Q A
3S 4S QB
a
d
a
1 4
联立求解上面四个方程，得
QA QB 2S
2 3
1
"
"
"
3
"
"
"
" 4
1
2 0
"
2
2 0
3
2 0
"
"
4
2 0
0
" '
A
(b) A板电荷守恒 (c) B板电势为零: 由于B板与大地(可视为∞)等电势, B 板右侧电场必须处处为零, 否则, 就会有电势差.
1 2 A
B
S S Q
V B地
地
E ''' d l
2 2
)
例3. 两块可视为无限大的导体平板 A、B，平行放置， 间距为d，板面为S，分别带电QA、QB，且均为正值，求 两板各表面上的电荷面密度及两板间的电势差。 QA 1 2 QB 3 4 设四个表面的电荷面密度分 解： 别为：σ1, σ2, σ3, σ4
（注意: 列方程时, 都是先假定 这些电荷为正, 若求出的结果为 负, 就表示与假设的符号相反)
0
" '
A
B
2 0
2 0
2 0
A板正电荷全部 转移到内侧，在 B板内侧感应出 等量异号电荷.
(b) A板电荷守恒 S S Q
1 2
解得 0 ,
" 1
'' 2
'' 3
QA S
'
QA QB 2S
V
" AB
E d
"
2 0
''
d
QA QB 2 0 S
d
d2 例9 一平行平板电容器充满两层厚度各为 和 的电介质， d1 r1 它们的相对电容率分别为 和 , 极板面积为 r2 求（1）电 . 容器的电容；（2）当极板上的自由电荷面密度的值为 时，求 S 两介质分界面上的极化电荷面密度.
dl dydl
dy
dE
2 0 r
y
dy
r
dE
2
dy
p
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y
a y
2
r y a
2
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x
dy
2
0
a y
2
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z
不同y处的细长条带在 p 点产生的电场方向不同， 因此，要利用分量式求解：
dE x dE cos , dE
Q' A Q' B Q A Q B
σ' 1 2ε0
σ' 2 2ε0
σ' 3 2ε0
σ' 4 2ε0
σ' 2 ε0
0
a
d
a
联立求解上面四个方程，得
σ' 1 σ' 4 QA QB 2S , σ' 2 σ' 3 0
QA QB 2 Q' B
Q ' A ( '1 ' 2 ) S
a
A
b
B
(a) 静电平衡条件：导体平板 A和B内部的场强应为零.
A 板内 ：
1
2 0 1
2 0
2
2 0 2
2 0
3
2 0 3
2 0
4
2 0 4
2 0
0
0
a
d
a
B 板内 ：
QA 1 2
QB
3 4
A 板：
B 板：
1
2 0
2
2 0
3
2 0
A
B
a
d
a
X
1 4
QA QB 2S
2 3
QA QB 2S
讨论： QA 1 2 3 4 QB
(1) 若QA= −QB 0 (平板电容器)
1 4
QA QB 2S
QA QB 2S QA S
0
2 3
例6.
已知: 导体板 S ,
介质 r , r , d1 , 1 2
D, E
d2
r r n n
1
2
求:各介质内的
S1 S 2
解:设两介质中的 D E 分别为 D1 E1 D2 E 2 由介质中的高斯定理
S1
D1 E1
D2
E2
A
d1
QA QB 2S
1 4
QA QB 2S
2 3
QA QB 2S
两板间的电势差：
QA 1 2
E
QB 3 4
E
1
2 0
2
2 0
B A
3
2 0
4
2 0
2 0
故： V AB
E d l Ed
d QA QB 2 0 S d
r
R2
R1
r
R2
R1
解:（1）电介质中的电场强度、电位移和极化强度
D dS
S
q
0
l
D 2 π rl l
E D
D
2π r
( R1 r R 2 )
0 r
2 π 0 r r
P 0 e E 0 ( r 1) E
Q' A Q' B Q A Q B
a
d
a
(c) 新增条件：整个大导体为等势体
V ' AB
B A
E ' d l E'd 0
E'
σ' 1 2ε0
σ' 2 2ε0
σ' 3 2ε0
σ' 4 2ε0
σ' 2 ε0
0
意义: 静电平衡时, A、B连线上的电场也要处处为零.
2 0
1
2 0
2
2 0
0
(2) 电荷守恒： 1 + 2 = 0 联立以上二方程 , 解得：
1 2 0
2
思考 若上例中导体板接地， 下面结果哪个正确?
0
-0 2
0
0
0
0
2
0
-0
0
（A）
（B）
（C）
答案：C
接地后,导体板上电荷将重新分布,与左边 大平板同号的感应电荷将被大地中和，剩 下的电荷应保证导体板内部场强为零.
R
解: 杆上取电荷元 dq λdx
Q
dq
L
Ex
根据例3结果，圆环在 dq 处 产生的电场
Ex 1
2
O
x
Qx
2 3/ 2
4 0 ( R x )
dF Ex d q Ex λdx
F
L
Qλ xdx 4 0 ( R x )
2 2 3 2
Qλ
0
40 R
(
1
1 R L
(a) 静电平衡条件：导体内场强为 零
A 板内 ： σ' 1 2ε0 σ' 2 2ε0 σ' 3 2ε0 σ' 4 2ε0 0
a
A
b
B
B 板内 ：
'1
2 0
'2
2 0
'3
2 0
'4
2 0
0
a
d
a
以上两个方程与前面A、B没有连 接时相同.
'1 ' 2
r 1
2 π rr
r
R2
E
R1
r 1
2 π rr
( R1 r R 2 )
2 π 0 r r
,
P 0 ( r 1) E
(2)电介质内、外表面的极化电荷面密度. σ' P n n 为介质表面外法线方向的单位矢量.
介质内表面:
y
dE sin , cos
a r
a a y
2 2
dE关于 y 轴对称，故 Ey＝0，E = Ex .
dE
dy
2
0
a y
2
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x
dE cos , cos
a r
a a y
2 2
dE
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2
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2
a y
2
2
QA QB 2S
V
" AB
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2 0
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d
QA QB 2 0 S
d
例4. 已知面电荷密度为0 的均匀带电大平板旁， 平行放置一大的不带电导体平板。
求：导体板两表面的面电荷密度。
0
1
2
解：设导体电荷密度为 1、 2 ，
(1) 导体内场强为零：
E
E
0
例1. 设真空中有一无限长均匀带电平板，电荷面密度 σ(σ > 0 ), 求 p 点的场强（p 点到平板距离为a）.
y
解：将平板分解成许多平行于 z 轴的无限长均匀带电细条带.
r y a
dy
z
在 y 处取宽为dy的细长条带， 根据例1结果，它在 p 点产生 的场强为， dE p x 2 0 r dE λ为细长条带的电荷线密 度，它与面密度的关系为
d
讨论：在上面求解中，利用了B 板外侧的正电荷被大地 中和的条件σ4″= 0 . 这一结论其实也可以根据B 板接地， 因而电势为零的条件推出。重新列方程如下：
QA
'
" 1
" 2
E '''
" 3
(a) 静电平衡条件
A板 ： 2 4 0 2 0 2 0 2 0 2 0 B板 ：
(3) 若断开导线, B板接地, 求A、B板电荷分布及电势差.
QA
'
B板外侧的正电荷被大地中和， 0 重复本题开始时的求法，确定电荷分布
" 4
" 1
" 2
(a) 静电平衡条件
" 3
E"
A
" 4
A 板：
B板 ：
σ
" 1
2ε0
"
1
σ
" 2
2ε0
"
2
"
σ
" 3
2ε0
"
3
0
a dy
2 0 ( a y )
2 2
Ex
dE
x
a dy
2 0 ( a y )
2 2
2
0
arctg
y a
2 0
方向沿 x 轴，垂直于平板向外。
与例4的结果(无限大圆盘)一致。
例2. 已知圆环半径为R, 带电量为Q ，杆的电荷线密度 为 ，长为L, 求杆对圆环的作用力.
B
E '''
"
1
E''' L B 地 0
2 0
"
2
2 0
"
3
2 0
"
4
2 0
0
Q
' A
1
"
" 2
E '''
" 3
A板 ： 2 4 0 2 0 2 0 2 0 2 0 B板 ：
1
"
"
3
"
"
E"
A
" 4
1
"百度文库
'1 ' 2
Q'A
Q'B
'3 ' 4
A 板：
B 板：
σ' 1 2ε0
'1
2 0
σ' 2 2ε0
'2
2 0
σ' 3 2ε0
'3
2 0
σ' 4 2ε0
'4
2 0
0
0
E'
A
B
E'
( '1 ' 2 ' 3 ' 4 ) S
1
D dS D1 S D2 S 0
d2
B
由
D1 0 r E1
得
S2
D dS D1 S 0 S
D1 D2
D1 D2
E1
0 r1
D1
E2
0 r2
例7. 常用的圆柱形电容器，是由半径为 R1 的长直圆 柱导体和同轴的半径为 R2 的薄导体圆筒组成，并在直 导体与导体圆筒之间充以相对电容率为 εr 的电介质. 设直导体和圆筒单位长度上的电荷分别为 +λ 和 −λ. 求 （1）电介质中的电场强度、电位移和极化强度；(2) 电介质内、外表面的极化电荷面密度．