江苏省南京外国语学校2020-2021学年度第一学期期中高一数学试题(PDF版含解析)
江苏省南京外国语学校仙林分校高一数学上学期期中测试试题苏教版
高一年级期中测试数试题命题人 审题人 第一部分（满分100分）一、填空题 (本大题共8小题，每小题5分，共40分.请把答案填写在答卷纸相应位置．．．．．．．上) 1． 若[)2,5A =，集合(]3,7B =，A B 则= ．2． 函数1()f x x=，{1,2,3}x ∈的值域为 ． 3． 函数()(1)3f x k x =-+在R 上是减函数，则k 的范围是 ． 4． 函数3()2,f x x x n x R =-+∈为奇函数，则n 的值为 ．5． 已知)(x f y =在),(+∞-∞上是减函数，且),13()1(-<-a f a f 则a 的范围是_ 6． 若函数(),(3)5,(5)9f x px q f f =+==，则(1)f 的值为 ．7． 函数23(0)()5(0)x x f x x x +<⎧=⎨-≥⎩的最大值为 ．8． 关于x 的方程26xm -=有实根，则m 的取值范围是二、解答题 (本大题共4小题，共计60分.请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)9． 用函数单调性的定义证明函数22y x x =+在[0,)x ∈+∞是单调递增函数．10．求值或估算：（1）333212log 2log 92-+； （2）若7782.06lg ≈，求 2.778210．11．AOB ∆是边长为2的正三角形，这个三角形在直线t x =左侧部分的面积为y,求函数)(t f y =的解析式.12．已知函数2()log 3,[1,4]f x x x =+∈ （1）求函数()f x 的值域；（2）若22()()[()]g x f x f x =-，求()g x 的最小值以及相应的x 的值．第二部分（满分60分）三、填空题 (本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把答案填写在答卷纸相应位置．．．．．．．上) 13．集合{}2|420A x kx x =++=是只含一个元素的集合，则实数_________k =． 14．已知lg lg 2lg(2)x y x y +=-，则yx2log= ． 15．若函数2x b y x -=+在(,4)(2)a b b +>-上的值域为1(3,)2-，则ba = ．16．定义在R 上的偶函数)(x f 满足(2)()f x f x +=，且在[-1，0]上单调递增，设)3(f a =，)2(f b =，(2.1)c f =，则c b a ,,按从小到大的顺序排列为___________17．在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，若函数图象恰经过n 个格点，则称函数()x f 为n 阶格点函数.下列函数：①2x y =；②x y ln =；③12-=xy ；④xx y 1+=．其中为一阶格点函数的序号为18．设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0≥x 时，2)(x x f =，若对任意的]2,[+∈t t x ，不等式)(2)(x f t x f ≥+恒成立，则实数t 的取值范围是 ．四、解答题 (本大题共2小题，共计30分.请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)19．已知函数1222)(+-+⋅=xx a a x f （1）当a 为何值时，)(x f 为奇函数；（2）求证：)(x f 为R 上的增函数．20．对于定义域为D 的函数)(x f y =，若同时满足下列条件：①)(x f 在D 内单调递增或单调递减；②存在区间[b a ,]D ⊆，使)(x f 在[b a ,]上的值域为[b a ,]；那么把)(x f y =（D x ∈）叫闭函数． （1）求闭函数3x y -=符合条件②的区间[b a ,]；（2）判断函数)0(143)(>+=x xx x f 是否为闭函数？并说明理由； （3）若2++=x k y 是闭函数，求实数k 的取值范围．中学部2012—2013学年第一学期高一年级期中测试数学学科答卷纸第一部分（满分100分）一、填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. _____2. __3. ___4. ___5. 6. 7. 8.二、解答题：本大题共4小题，共60分.9.（本小题满分14分）姓名____________________ ———————————线————————————————――――10．（本小题满分16分）11（本小题满分14分）12（本小题满分16分）第二部分（满分60分）三、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.13. _______ 14. _____ 15. ___16. 17. 18.四、解答题：本大题共2小题，共30分.19.（本小题满分14分）20.（本小题满分16分）——密——————————封—————————————线————————————————――――――――南外仙林分校中学部2012—2013学年度第一学期高一年级期中测试 数 学 学 科 试 题命题人： 审题人： 第一部分（满分100分）一、填空题 (本大题共8小题，每小题5分，共40分.请把答案填写在答卷纸相应位置．．．．．．．上) 1． 若[)2,5A =，集合(]3,7B =，A B 则= （3，5） ．2． 函数1()f x x =，{1,2,3}x ∈的值域为11{1,,}23． 3． 函数()(1)3f x k x =-+在R 上是减函数，则k 的范围是1k <． 4． 函数3()2,f x x x n x R =-+∈为奇函数，则n 的值为 0 ．5． 已知)(x f y =在),(+∞-∞上是减函数，且),13()1(-<-a f a f 则a 的范围是_ a<1 6． 若函数(),(3)5,(5)9f x px q f f =+==，则(1)f 的值为 -1 ．7． 函数23(0)()5(0)x x f x x x +<⎧=⎨-≥⎩的最大值为 5 ． 8． 关于x 的方程26xm -=有实根，则m 的取值范围是(6,)-+∞二、解答题 (本大题共4小题，共计60分.请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)9．用函数单调性的定义证明函数22y x x =+在[0,)x ∈+∞是单调递增函数． 证明略10．求值或估算：（1）333212log 2log 92-+； （2）若7782.06lg ≈，求 2.778210． 答案：（1）2； （2）令 2.778210m =，则lg 2.7782lg6lg600m =≈+=，故 2.778210约为600．11．AOB ∆是边长为2的正三角形，这个三角形在直线t x =左侧部分的面积为y,求函数)(t f y =的解析式.答案：22,012t y t ≤≤=⎨⎪+<≤⎪⎩12．已知函数2()log 3,[1,4]f x x x =+∈（1）求函数()f x 的值域；（2）若22()()[()]g x f x f x =-，求()g x 的最小值以及相应的x 的值． 答案：（1）[3,5]；（2）最小值-19，2x =．第二部分（满分60分）三、填空题 (本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把答案填写在答卷纸相应位置．．．．．．．上) 13．集合{}2|420A x kx x =++=是只含一个元素的集合，则实数k = 0或2 ． 14．已知lg lg 2lg(2)x y x y +=-，则yx2log= -4 ． 15．若函数2x b y x -=+在(,4)(2)a b b +>-上的值域为1(3,)2-，则ba = 1 . 16．定义在R 上的偶函数)(x f 满足(2)()f x f x +=，且在[-1，0]上单调递增，设)3(f a =，)2(f b =，(2.1)c f =，则c b a ,,按从小到大的顺序排列为___a,b,c___17．在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，若函数图象恰经过n 个格点，则称函数()x f 为n 阶格点函数.下列函数：①2x y =；②x y ln =；③12-=xy ；④xx y 1+=．其中为一阶格点函数的序号为 ② 18． 设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0≥x 时，2)(x x f =，若对任意的]2,[+∈t t x ，不等式)(2)(x f t x f ≥+恒成立，则实数t 的取值范围是 ．略解：由题意得22,0(),0x x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩， 且)2()(2x f x f =，由)(x f是单增，())f x t f +≥在]2,[+∈t t x 恒成立，得x t x 2≥+在]2,[+∈t t x 恒成立，得2≥t ．四、解答题 (本大题共2小题，共计30分.请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)19．已知函数1222)(+-+⋅=xx a a x f（1）当a 为何值时，)(x f 为奇函数；（2）求证：)(x f 为R 上的增函数． 略解：（1）法一：由(0)0f =得1a =，再由定义域为R ，()()f x f x -=-证明． 法二：直接令()()f x f x -=-求出1a =，以上各步可逆，故1a =． （2）化函数为2()21x f x a =-+，再由单调性定义证明．20．对于定义域为D 的函数)(x f y =，若同时满足下列条件：①)(x f 在D 内单调递增或单调递减；②存在区间[b a ,]D ⊆，使)(x f 在[b a ,]上的值域为[b a ,]；那么把)(x f y =（D x ∈）叫闭函数． （1）求闭函数3x y -=符合条件②的区间[b a ,]；（2）判断函数)0(143)(>+=x xx x f 是否为闭函数？并说明理由； （3）若2++=x k y 是闭函数，求实数k 的取值范围．解：（1）3x y -=在[b a ,]上递减，则⎪⎩⎪⎨⎧>-=-=ab b a a b 33解得⎩⎨⎧=-=11b a ，所求的区间为[-1，1]（2）取,10,121==x x 则)(107647)(21x f x f =<=，即)(x f 不是),0(+∞上的减函数．取,1001,10121==x x )(100400310403)(21x f x f =+<+=，即)(x f 不是),0(+∞上的增函数，所以，函数在定义域内不单调递增或单调递减，从而该函数不是闭函数． （3）若2++=x k y 是闭函数，则存在区间[b a ,]，在区间[b a ,]上，函数)(x f 的值域为[b a ,]，即⎪⎩⎪⎨⎧++=++=22b k b a k a ，b a ,∴为方程2++=x k x 的两个实数根，即方程22(21)20(2,)x k x k x x k -++-=≥-≥有两个不等的实根．当2-≤k 时，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧->+≥->∆22120)2(0k f ，解得249-≤<-k ．当2->k 时，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+≥>∆k k k f 2120)(0，无解．故k 的范围是：249-≤<-k ．。
2020-2021南京秦淮外国语学校高一数学上期中第一次模拟试卷(带答案)
2020-2021南京秦淮外国语学校高一数学上期中第一次模拟试卷(带答案)一、选择题1．函数()2312x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点所在的区间为（ ）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,42．若集合{}|1,A x x x R =≤∈，{}2|,B y y x x R ==∈，则A B =I A ．{}|11x x -≤≤B ．{}|0x x ≥C ．{}|01x x ≤≤D ．∅3．在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（ ）A ．1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭4．已知函数f (x )＝23,0{log ,0x x x x ≤>那么f 1(())8f 的值为( )A ．27B ．127C ．－27D ．－1275．设函数()2010x x f x x -⎧≤=⎨>⎩，，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（ ）A ．(]1-∞-，B ．()0+∞，C ．()10-，D ．()0-∞，6．已知函数()245fx x x +=++，则()f x 的解析式为( )A ．()21f x x =+ B ．()()212f x x x =+≥C ．()2f x x =D ．()()22f x xx =≥7．函数()1ln f x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．8．已知函数21(1)()2(1)a x x f x x x x x ⎧++>⎪=⎨⎪-+≤⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是 A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[]1,1-D ．(]1,1- 9．函数f(x)=23x x +的零点所在的一个区间是 A ．（-2，-1）B ．（-1,0）C ．（0,1）D ．（1,2）10．设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,∞+单调递减，则（ ）A ．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．23332122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11．已知奇函数()f x 在R 上是增函数，若21log 5a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2log 4.1b f =，()0.82c f =，则,,a b c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b <<12．方程 4log 7x x += 的解所在区间是（ ） A ．(1,2)B ．(3,4)C ．(5,6)D ．(6,7)二、填空题13．设函数()212log ,0log (),0x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩ ，若()()f a f a >-，则实数a 的取值范围是__________．14．函数的定义域是 .15．己知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，01x <<时，()4xf x =，5()(2019)2f f -+的值是____.16．已知偶函数()f x 满足3()8(0)f x x x =-≥，则(2)0f x ->的解集为___ ___17．用max{,,}a b c 表示,,a b c 三个数中的最大值，设{}2()max ln ,1,4(0)f x x x x x x =--->，则()f x 的最小值为_______.18．有15人进家电超市，其中有9人买了电视，有7人买了电脑，两种均买了的有3人，则这两种都没买的有 人. 19．已知()2x a x af x ++-=，g(x)=ax+1 ，其中0a >，若()f x 与()g x 的图象有两个不同的交点，则a 的取值范围是______________.20．若函数()22xf x b =--有两个零点，则实数b 的取值范围是_____.三、解答题21．已知函数f (x )＝4x －2·2x ＋1－6，其中x ∈[0,3]． (1)求函数f (x )的最大值和最小值；(2)若实数a 满足f (x )－a ≥0恒成立，求a 的取值范围． 22．已知函数()()()3 01a f x log ax a a -≠＝＞且 ．（1）当[]02x ∈，时，函数()f x 恒有意义，求实数a 的取值范围； （2）是否存在这样的实数a ，使得函数f （x ）在区间[]12，上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由． 23．已知3a ≥，函数F （x ）=min{2|x−1|，x 2−2ax+4a−2}，其中min{p ，q}={,.p p q q p q ，，≤> （Ⅰ）求使得等式F （x ）=x 2−2ax+4a−2成立的x 的取值范围； （Ⅱ）（ⅰ）求F （x ）的最小值m （a ）； （ⅱ）求F （x ）在区间[0,6]上的最大值M （a ）.24．已知函数()f x 是定义R 的奇函数，当0x >时，2()2f x x x =-.（1）求函数()f x 的解析式；（2）画出函数()f x 的简图(不需要作图步骤)，并求其单调递增区间（3）当[]1,1x ∈-时，求关于m 的不等式2(1)(1)0f m f m -+-< 的解集．25．已知函数21()(,,)ax f x a b c Z bx c+=∈+是奇函数，且(1)2,(2)3f f =<（1）求a ，b ，c 的值；（2）判断函数()f x 在[1,)+∞上的单调性，并用定义证明你的结论； （3）解关于t 的不等式：2(1)(3)0f t f t --++>．26．已知函数()f x 的定义域是(0,)+∞，且满足()()()f xy f x f y =+，1()12f =，如果对于0x y <<，都有()()f x f y >． （1）求()1f 的值；（2）解不等式()(3)2f x f x -+-≥-.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】判断函数()2312x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，求出f （0）=-4，f （1）=-1，f （2）=3＞0，即可判断． 【详解】∵函数()2312x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，∴f（0）=-4，f （1）=-1，f （2）=7＞0，根据零点的存在性定理可得出零点所在的区间是()1,2， 故选B ． 【点睛】本题考查了函数的单调性，零点的存在性定理的运用，属于容易题．2．C解析：C 【解析】【分析】求出集合B 后可得A B I . 【详解】因为集合{}|1,{|11}A x x x R x x =≤∈=-≤≤，{}2|,{|0}B y y x x R y y ==∈=≥则A B =I {}|01x x ≤≤，选C【点睛】本题考查集合的交，注意集合意义的理解，如(){}|,x y f x x D =∈表示函数的定义域，而(){}|,y y f x x D =∈表示函数的值域，()(){},|,x y y f x x D =∈表示函数的图像.3．C解析：C 【解析】 【分析】先判断函数()f x 在R 上单调递增，由104102f f ⎧⎛⎫< ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩,利用零点存在定理可得结果. 【详解】因为函数()43xf x e x =+-在R 上连续单调递增，且114411221143204411431022f e e f e e ⎧⎛⎫=+⨯-=-<⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+⨯-=-> ⎪⎪⎝⎭⎩, 所以函数的零点在区间11,42⎛⎫⎪⎝⎭内，故选C.【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.4．B解析：B 【解析】 【分析】利用分段函数先求f （1)8）的值，然后在求出f 1(())8f 的值． 【详解】 f＝log 2＝log 22－3＝－3，f＝f (－3)＝3－3＝.【点睛】本题主要考查分段函数求值以及指数函数、对数函数的基本运算，属基础题．5．D解析：D 【解析】分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有()()12f x f x +<成立，一定会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，从而求得结果.详解：将函数()f x 的图像画出来，观察图像可知会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，解得0x <，所以满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是()0-∞，，故选D .点睛：该题考查的是有关通过函数值的大小来推断自变量的大小关系，从而求得相关的参数的值的问题，在求解的过程中，需要利用函数解析式画出函数图像，从而得到要出现函数值的大小，绝对不是常函数，从而确定出自变量的所处的位置，结合函数值的大小，确定出自变量的大小，从而得到其等价的不等式组，从而求得结果.6．B解析：B 【解析】 【分析】利用换元法求函数解析式，注意换元后自变量范围变化. 【详解】 2x t =,则2t ≥，所以()()()()2224t 251,2,f t t t t =-+-+=+≥即()21f x x =+ ()2x ≥.【点睛】本题考查函数解析式，考查基本求解能力.注意换元后自变量范围变化.7．B解析：B 【解析】 【分析】通过函数在2x =处函数有意义，在2x =-处函数无意义，可排除A 、D ；通过判断当1x >时，函数的单调性可排除C ，即可得结果. 【详解】当2x =时，110x x-=>，函数有意义，可排除A ； 当2x =-时，1302x x -=-<，函数无意义，可排除D ； 又∵当1x >时，函数1y x x=-单调递增， 结合对数函数的单调性可得函数()1ln f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，可排除C ； 故选：B. 【点睛】本题主要考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合与分类讨论的思维能力，属于中档题.8．C解析：C 【解析】x ⩽1时,f (x )=−(x −1)2+1⩽1，x >1时,()()21,10a a f x x f x x x=++'=-…在(1,+∞)恒成立， 故a ⩽x 2在(1,+∞)恒成立， 故a ⩽1，而1+a +1⩾1，即a ⩾−1， 综上,a ∈[−1,1]， 本题选择C 选项.点睛：利用单调性求参数的一般方法：一是求出函数的单调区间，然后使所给区间是这个单调区间的子区间，建立关于参数的不等式组即可求得参数范围；二是直接利用函数单调性的定义：作差、变形，由f (x 1)－f (x 2)的符号确定参数的范围，另外也可分离参数转化为不等式恒成立问题．9．B解析：B 【解析】试题分析：因为函数f(x)=2x +3x 在其定义域内是递增的，那么根据f(-1)=153022-=-<,f （0）=1+0=1>0,那么函数的零点存在性定理可知，函数的零点的区间为（-1,0），选B ． 考点：本试题主要考查了函数零点的问题的运用．点评：解决该试题的关键是利用零点存在性定理，根据区间端点值的乘积小于零，得到函数的零点的区间．10．C【解析】 【分析】由已知函数为偶函数，把233231log ,2,24f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，转化为同一个单调区间上，再比较大小． 【详解】()f x Q 是R 的偶函数，()331log log 44f f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭．223303322333log 4log 31,1222,log 422---->==>>∴>>Q ，又()f x 在(0，+∞)单调递减，∴()23323log 422f f f --⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选C ．【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，解题关键在于利用中间量大小比较同一区间的取值．11．C解析：C 【解析】由题意：()221log log 55a f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 且：0.822log 5log 4.12,122>><<，据此：0.822log 5log 4.12>>，结合函数的单调性有：()()()0.822log 5log 4.12f f f >>，即,a b c c b a >><<. 本题选择C 选项.【考点】 指数、对数、函数的单调性【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.12．C解析：C 【解析】令函数4()log 7xf x x =+-，则函数()f x 是()0,∞+上的单调增函数，且是连续函数，根据(5)(6)0f f ⋅<，可得函数4()log 7xf x x =+-的零点所在的区间为()5,6，由此可得方程4log 7x x +=的解所在区间． 【详解】令函数4()log 7xf x x =+-，则函数()f x 是()0,∞+上的单调增函数，且是连续函数.∵(5)0f <，(6)0>f ∴(5)(6)0f f ⋅<∴故函数4()log 7xf x x =+-的零点所在的区间为()5,6∴方程4log 7x x +=的解所在区间是()5,6 故选C. 【点睛】零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[,]a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点.二、填空题13．【解析】【分析】【详解】由题意或或或则实数的取值范围是故答案为 解析：(1,0)(1,)-??【解析】 【分析】 【详解】由题意()()f a f a >-⇒2120 log log a a a >⎧⎪⎨>⎪⎩或()()1220log log a a a <⎧⎪⎨->-⎪⎩01a a a >⎧⎪⇒⎨>⎪⎩或11a a a a<⎧⎪⇒>⎨->-⎪⎩或10a -<<，则实数a 的取值范围是()()1,01,-⋃+∞，故答案为()()1,01,-⋃+∞.14．【解析】试题分析：要使函数有意义需满足函数定义域为考点：函数定义域解析：[]3,1-【解析】试题分析：要使函数有意义，需满足2232023031x x x x x --≥∴+-≤∴-≤≤，函数定义域为[]3,1- 考点：函数定义域15．【解析】【分析】根据题意由函数的奇偶性与周期性分析可得f （﹣）＝f （﹣）＝﹣f （）结合解析式求出f （）的值又因为f （2019）＝f （1+2×1009）＝f （1）＝0；据此分析可得答案【详解】解：根据 解析：2-【解析】 【分析】根据题意，由函数的奇偶性与周期性分析可得f （﹣52）＝f （﹣12）＝﹣f （12），结合解析式求出f （12）的值，又因为f （2019）＝f （1+2×1009）＝f （1）＝0；据此分析可得答案． 【详解】解：根据题意，函数f （x ）是定义在R 上的周期为2的奇函数，则f （﹣52）＝f （﹣12）＝﹣f （12），f （2019）＝f （1+2×1009）＝f （1），又由函数f （x ）是定义在R 上的周期为2的奇函数，则有f （1）＝f （﹣1）且f （1）＝﹣f （﹣1），故f （1）＝0，则f （2019）＝0 ，又由0＜x ＜l 时，f （x ）＝4x ，则f （12）＝124＝2，则f （﹣52）＝﹣f （12）＝﹣2； 则5f f (2019)2⎛⎫-+ ⎪⎝⎭＝﹣2； 故答案为：﹣2 【点睛】本题考查函数的周期性与函数值的计算，属于基础题．16．【解析】【分析】通过判断函数的奇偶性增减性就可以解不等式【详解】根据题意可知令则转化为由于偶函数在上为增函数则即即或即或【点睛】本题主要考查利用函数的性质（奇偶性增减性）解不等式意在考查学生的转化能 解析：{|40}x x x ><或【解析】 【分析】通过判断函数的奇偶性，增减性就可以解不等式. 【详解】根据题意可知(2)0f =，令2x t -=，则转化为()(2)f t f >，由于偶函数()f x 在()0,∞+上为增函数，则()(2)f t f >，即2t>，即22x -<-或22x ->，即0x <或4x >.【点睛】本题主要考查利用函数的性质（奇偶性，增减性）解不等式，意在考查学生的转化能力，分析能力及计算能力.17．0【解析】【分析】将中三个函数的图像均画出来再分析取最大值的函数图像从而求得最小值【详解】分别画出的图象取它们中的最大部分得出的图象如图所示故最小值为0故答案为0【点睛】本题主要考查数形结合的思想与解析：0 【解析】 【分析】将{}2()max ln ,1,4(0)f x x x x x x =--->中三个函数的图像均画出来,再分析取最大值的函数图像,从而求得最小值. 【详解】分别画出ln y x =-,1y x =-,24y x x =-的图象,取它们中的最大部分,得出()f x 的图象如图所示,故最小值为0.故答案为0 【点睛】本题主要考查数形结合的思想与常见函数的图像等,需要注意的是在画图过程中需要求解函数之间的交点坐标从而画出准确的图像,属于中等题型.18．【解析】【分析】【详解】试题分析：两种都买的有人所以两种家电至少买一种有人所以两种都没买的有人或根据条件画出韦恩图：(人)考点：元素与集合的关系 解析：【解析】 【分析】 【详解】试题分析：两种都买的有人，所以两种家电至少买一种有人.所以两种都没买的有人.或根据条件画出韦恩图：(人).考点：元素与集合的关系.19．(01)【解析】结合与的图象可得点睛：数形结合是数学解题中常用的思想方法数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化生动化能够变抽象思维为形象思维有助于把握数学问题的本质在运用数形结合思想分析和解决解析：(0,1), 【解析】(),,2x x a x a x af x a x a ≥++-⎧==⎨<⎩， 结合()f x 与()g x 的图象可得()0,1.a ∈点睛：数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质. 在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念及其几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围20．【解析】【分析】【详解】函数有两个零点和的图象有两个交点画出和的图象如图要有两个交点那么 解析：02b <<【解析】 【分析】 【详解】函数()22xf x b =--有两个零点，和的图象有两个交点，画出和的图象，如图，要有两个交点，那么三、解答题21．（1）f (x )min ＝－10，f (x )max ＝26；（2）(－∞，－10].【解析】试题分析：（1）由题意可得，f (x )＝4x －2·2x ＋1－6，令t=2x ，从而可转化为二次函数在区间[1，8]上的最值的求解（2）由题意可得，a≤f （x ）恒成立⇔a ≤f （x ）min 恒成立，结合（1）可求 试题解析：(1)f (x )＝(2x )2－4·2x －6(0≤x ≤3)． 令t ＝2x ，∵0≤x ≤3，∴1≤t ≤8.则h (t )＝t 2－4t －6＝(t －2)2－10(1≤t ≤8)．当t ∈[1,2]时，h (t )是减函数；当t ∈(2,8]时，h (t )是增函数． ∴f (x )min ＝h (2)＝－10，f (x )max ＝h (8)＝26. (2)∵f (x )－a ≥0恒成立，即a ≤f (x )恒成立， ∴a ≤f (x )min 恒成立．由(1)知f (x )min ＝－10，∴a ≤－10. 故a 的取值范围为(－∞，－10]． 22．（1）3(0,1)(1,)2U ； （2）不存在. 【解析】 【分析】（1）结合题意得到关于实数a 的不等式组，求解不等式，即可求解，得到答案； （2）由题意结合对数函数的图象与性质，即可求得是否存在满足题意的实数a 的值，得到答案． 【详解】（1）由题意，函数()()log 3 (0a f x ax a =->且1)a ≠，设()3g x ax =-，因为当[]0,2x ∈时，函数()f x 恒有意义，即30ax ->对任意[]0,2x ∈时恒成立， 又由0a >，可得函数()3g x ax =-在[]0,2上为单调递减函数， 则满足()2320g a =->，解得32a <， 所以实数a 的取值范围是3(0,1)(1,)2U ． （2）不存在，理由如下：假设存在这样的实数a ，使得函数f （x ）在区间[]12，上为减函数，并且最大值为1， 可得()11f =，即log (3)1a a -=，即3a a -=，解得32a =，即()323log (3) 2f x x =-， 又由当2x =时，33332022x -=-⨯=，此时函数()f x 为意义， 所以这样的实数a 不存在． 【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质的应用，以及复数函数的单调性的判定及应用，其中解答中熟记对数函数的图象与性质，合理求解函数的最值，列出方程求解是解答的关键，着重考查了对基础概念的理解和计算能力，属于中档试题．23．（Ⅰ）[]2,2a ．（Ⅱ）（ⅰ）()20,32{42,2a m a a a a ≤≤=-+->．（ⅱ）()348,34{2,4a a a a -≤<M =≥．【解析】试题分析：（Ⅰ）分别对1x ≤和1x >两种情况讨论()F x ，进而可得使得等式()2242F x x ax a =-+-成立的x 的取值范围；（Ⅱ）（Ⅰ）先求函数()21f x x =-，()2242g x x ax a =-+-的最小值，再根据()F x 的定义可得()F x 的最小值()m a ；（Ⅱ）分别对02x ≤≤和26x ≤≤两种情况讨论()F x 的最大值，进而可得()F x 在区间[]0,6上的最大值()M a ．试题解析：（Ⅰ）由于3a ≥，故当1x ≤时，()()()22242212120x ax a x x a x -+---=+-->，当1x >时，()()()22422122xax a x x x a -+---=--．所以，使得等式()2242F x x ax a =-+-成立的x 的取值范围为[]2,2a ． （Ⅱ）（ⅰ）设函数()21f x x =-，()2242g x x ax a =-+-， 则()()min 10f x f ==，()()2min 42g x g a a a ==-+-，所以，由()F x 的定义知()()(){}min 1,m a f g a =，即()20,32{42,2a m a a a a ≤≤+=-+-> （ⅱ）当02x ≤≤时，()()()(){}()max 0,222F x f x f f F ≤≤==，当26x ≤≤时，()()()(){}{}()(){}max 2,6max 2,348max 2,6F x g x g g a F F ≤≤=-=． 所以，()348,34{2,4a a M a a -≤<=≥．【考点】函数的单调性与最值，分段函数，不等式．【思路点睛】（Ⅰ）根据x 的取值范围化简()F x ，即可得使得等式()2242F x x ax a =-+-成立的x 的取值范围；（Ⅱ）（Ⅰ）先求函数()f x 和()g x 的最小值，再根据()F x 的定义可得()m a ；（Ⅱ）根据x 的取值范围求出()F x 的最大值，进而可得()M a ．24．（1）222,0()2,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩；（2）图象见解析，(],1-∞-和 [)1,+∞；（3）[)0,1.【解析】 【分析】（1）由函数的奇偶性可求得函数()f x 的解析式；（2）利用二次函数图像可作法可得函数()f x 的图像及单调增区间；（3）利用函数在[]1,1-为减函数且为奇函数，可得22111111(1)(1)0m m m m -≤-≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪-+->⎩，再求解即可.【详解】解：（1）由函数()f x 是定义R 的奇函数，则(0)0f =， 设0x >，则0x ->，因为函数()f x 是定义R 的奇函数， 所以22()()()2)2(f x f x x x x x ⎡⎤=--=---=-⎦--⎣，综上可得：222,0()2,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩；（2）函数()f x 的图像如图所示，由图可得函数()f x 单调递增区间为(],1-∞-和[)1,+∞；（3）由（2）可知，函数()f x 在[]1,1-为减函数且为奇函数，当[]1,1x ∈-时，关于m 的不等式2(1)(1)0f m f m -+-<，即2(1)(1)f m f m -<-，则22111111(1)(1)0m m m m -≤-≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪-+->⎩，即20202(2)(1)0m m m m ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪+-<⎩， 解得01m ≤<，故关于m 的不等式的解集为[)0,1.【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求函数解析式及利用函数的性质求解不等式，重点考查了数形结合的数学思想方法，属中档题. 25．⑴1,0a b c ===⑵增函数⑶22t -<< 【解析】 【分析】 【详解】（1）()f x Q 为奇函数，()()f x f x ∴-=-即2211ax ax bx c bx c++=--++得bx c bx c -+=--解得0c =又1(1)221a f b a b+==⇒=+Q 412(2)32021a a fb a +-=<⇒<+Q 解得1201a a Z a a -<<∈∴==Q 或 当0a =时12b =与b Z ∈矛盾舍，当1a =时1b =综上1,0a b c === ⑵函数()f x 在[1,)+∞上为增函数任取1212,[1,),x x x x ∈+∞<且则2212121212121211()(1)()()x x x x x x f x f x x x x x ++---=-= 1212,[1,),x x x x ∈+∞<Q 且1212(1,),0x x x x ∴⋅∈+∞-<且1212()()0()()f x f x f x f x ∴-<<即得证函数()f x 在[1,)+∞上为增函数⑶222(1)(3)0(3)(1)(1)f t f t f t f t f t --++>∴+>---=+Q211,31t t +≥+>Q ，函数()f x 在[1,)+∞上为增函数 213(1)(2)0t t t t ∴+<+⇒+-<解得222t t <⇒-<<考点：函数奇偶性的性质；函数单调性的判断与证明 26．（1）()10f = （2）{|10}x x -≤<． 【解析】 【分析】（1）根据()()()f xy f x f y =+，令1x y ==，即可得出()1f 的值；（2）由0x y <<，都有()()f x f y >知()f x 为()0,+∞上的减函数，根据()f x 的单调性，结合函数的定义域，列出不等式解出x 的范围即可. 【详解】（1）令1x y ==，则()()()111f f f =+，()10f =.（2）解法一：由x y <<，都有()()f x f y >知()f x 为()0,+∞上的减函数，且30x x ->⎧⎨->⎩，即0x <. ∵()()()f xy f x f y =+，(),0,x y ∈+∞且112f ⎛⎫=⎪⎝⎭， ∴()()32f x f x -+-≥-可化为()()1322f x f x f ⎛⎫-+-≥-⎪⎝⎭，即()()113022f x f f x f ⎛⎫⎛⎫-++-+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝()()()331112222x x x x f f f f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⇔-+≥⇔-⋅≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 则03122x x x <⎧⎪⎨--⋅≤⎪⎩，解得10x -≤<.∴不等式()()32f x f x -+-≥-的解集为{|10}x x -≤<． 【点睛】本题主要考查抽象函数的定义域、不等式的解法，属于中档题.定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数()f x 的定义域为[],a b ，则函数()()f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤求出.。
【100所名校】江苏省南京外国语学校2019-2020学年高一上学期期中考试数学试卷Word版含解析
江苏省南京外国语学校2019-2020学年上学期期中考试高一数学试卷、填空题（本大题共14小题，每小题3分，共42分.请把答案写在答.卷.纸.相.应.位.置.上.）的线段的中点在y 轴上，那=9 .若关于x 的方程= 0在区间 1,4 内有解，则实数 a 的取值范围是 . 2X- a i'（X ）一 "f （x ） > 110 .若函数 ?一1是奇函数，则使 3成立的x 的取值范围为 .11 .某商品在近30天内每件的销售价格P （单位：元）与销售时间 t （单位：天）的函数关系为p=i t + 20 0< 25i-t +1。
.2建I 三3Q , t N ,且该商品的日销售量Q （单位：件）与销售时间t （单位：天）的函数关系为Q t 400 t 30, t N ,则这种商品的日销售量金额最大的一天是301.已知集合 A 1, 2, 3, 6x| 2 x 3 ，则 A B B8.函数f x3x 7 ln x 的零点位于区间 n, n 1 n N 内，则 n=（填序号）.4.偶函数y f x 的图象关于直线 x 2对称，f 3 3 ,则 f 1天中的第 天.的=(3'x<012 .已知函数 gXAO 且关于x 的方程E(x)十X 十日=0有且只有一个实根，且实数a 的取值范围是t(2-a)x+ l,x<l1 r13 .已知f(x) =i /器三1满足对任意X1WX2都有 xi -x2 >0成立，那么a 的取值范围是14 .已知函数f(x)=x' + bx,若f f x的最小值与f x 的最小值相等，则实数 b 的取值范围是 .二、解答题(本大题共 6小题，共计58分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答 案写在答题纸的指定区域内)2 15.已知哥函数f(x) =x ]11fLi 时W N")的图象经过点|⑴试确定m 的值；⑵ 求满足条件f(2-a) >f(a-1)的实数a 的取值范围.A = {x|(-) >2},B = {y|y =lg(x 4 a)) = [0, + w) 集合 2⑴求C U AUB ； ⑵求实数a 的值.18 .已知函数 屋：七;”、；） （油）。
2020-2021南京育英外国语学校高一数学上期中模拟试卷(带答案)
2020-2021南京育英外国语学校高一数学上期中模拟试卷(带答案)一、选择题1．已知集合{}{}2|320,,|05,A x x x x R B x x x N =-+=∈=<<∈，则满足条件A CB ⊆⊆的集合C 的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．已知函数f (x )＝23,0{log ,0x x x x ≤>那么f 1(())8f 的值为( )A ．27B ．127C ．－27D ．－1273．如图，点O 为坐标原点，点(1,1)A ，若函数xy a =及log b y x =的图象与线段OA 分别交于点M ，N ，且M ，N 恰好是线段OA 的两个三等分点，则a ，b 满足．A ．1a b <<B ．1b a <<C ．1b a >>D ．1a b >>4．1()xf x e x=-的零点所在的区间是（ ） A ．1(0,)2B ．1(,1)2C ．3(1,)2D ．3(,2)25．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数,满足(1)(1)f x f x -=+.若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=L （ ）A ．50-B ．0C ．2D ．506．设log 3a π=，0.32b =，21log 3c =，则（ ） A ．a c b >>B ．c a b >>C ．b a c >>D ．a b c >>7．函数()sin lg f x x x =-的零点个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．38．已知函数)245fx x x =+，则()f x 的解析式为( )A ．()21f x x =+ B ．()()212f x x x =+≥C ．()2f x x =D ．()()22f x xx =≥9．已知函数21(1)()2(1)a x x f x x x x x ⎧++>⎪=⎨⎪-+≤⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是 A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[]1,1-D ．(]1,1-10．已知()lg(10)lg(10)f x x x =++-，则()f x 是（ ） A ．偶函数，且在(0,10)是增函数 B ．奇函数，且在(0,10)是增函数 C ．偶函数，且在(0,10)是减函数D ．奇函数，且在(0,10)是减函数11．设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B =I （ ） A ．3(3,)2--B ．3(3,)2-C ．3(1,)2D ．3(,3)212．已知函数()f x =2log (1),(1,3)4,[3,)1x x x x ⎧+∈-⎪⎨∈+∞⎪-⎩，则函数[]()()1g x f f x =-的零点个数为（ ） A ．1B ．3C ．4D ．6二、填空题13．函数()22()log 23f x x x =+-的单调递减区间是______． 14．若函数()y f x =的定义域是[0,2]，则函数()g x =的定义域是__________．15．函数()f x 的定义域是__________．16．若函数()f x 满足()3298f x x +=+，则()f x 的解析式是_________. 17．若42x ππ<<，则函数3tan 2tan y x x =的最大值为 ．18．已知函数()2()lg 2f x x ax =-+在区间(2,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是______.19．某企业去年的年产量为a ，计划从今年起，每年的年产量比上年增加b ﹪，则第x ()x N *∈年的年产量为y =______.20．已知()2x a x af x ++-=，g(x)=ax+1 ，其中0a >，若()f x 与()g x 的图象有两个不同的交点，则a 的取值范围是______________.三、解答题21．2019年某开发区一家汽车生产企业计划引进一批新能源汽车制造设备，通过市场分析，全年需投入固定成本3000万元，每生产x （百辆），需另投入成本()f x 万元，且210200,050()100006019000,50x x x f x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩，由市场调研知，每辆车售价6万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.（1）求出2019年的利润()L x （万元）关于年产量x （百辆）的函数关系式；（利润=销售额-成本）（2）2019年产量为多少（百辆）时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 22．已知函数())2log f x x =是R 上的奇函数，()2g x t x a =--.（1）求a 的值；（2）记()f x 在3,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为M ，若对任意的3,24x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()M g x ≤恒成立，求t 的取值范围.23．已知集合A={x|x ＜-1，或x ＞2}，B={x|2p-1≤x≤p+3}． （1）若p=12，求A∩B； （2）若A∩B=B，求实数p 的取值范围．24．设()()()log 1log (30,1)a a f x x x a a =++->≠,且()12f =. （1）求a 的值及()f x 的定义域； （2）求()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值．25．已知()y f x =是定义域为R 的奇函数，当[)0,x ∈+∞时，()22f x x x =-.(1)写出函数()y f x =的解析式；(2)若方程()f x a =恰3有个不同的解，求a 的取值范围.26．已知集合{|3A x x =≤-或2}x ≥，{|15}B x x =<<，{|12}C x m x m =-≤≤ （1）求A B I ，()R C A B ⋃；（2）若B C C ⋂=，求实数m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】【详解】求解一元二次方程，得{}()(){}2|320,|120,A x x x x x x x x =-+=∈=--=∈R R {}1,2=，易知{}{}|05,1,2,3,4B x x x =<<∈=N .因为A C B ⊆⊆，所以根据子集的定义， 集合C 必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4， 原题即求集合{}3,4的子集个数，即有224=个，故选D. 【点评】本题考查子集的概念，不等式，解一元二次方程.本题在求集合个数时，也可采用列举法.列出集合C 的所有可能情况，再数个数即可.来年要注意集合的交集运算，考查频度极高.2．B解析：B 【解析】 【分析】利用分段函数先求f （1)8）的值，然后在求出f 1(())8f 的值． 【详解】 f＝log 2＝log 22－3＝－3，f＝f (－3)＝3－3＝.【点睛】本题主要考查分段函数求值以及指数函数、对数函数的基本运算，属基础题．3．A解析：A 【解析】 【分析】由,M N 恰好是线段OA 的两个三等分点，求得,M N 的坐标，分别代入指数函数和对数函数的解析式，求得,a b 的值，即可求解. 【详解】由题意知(1,1)A ，且,M N 恰好是线段OA 的两个三等分点，所以11,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，22,33N ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 把11,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入函数xy a =，即1313a =，解得127a =，把22,33N ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入函数log b y x =，即22log 33b =，即得3222639b ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以1a b <<.【点睛】本题主要考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用，其中解答熟练应用指数函数和对数函数的解析式求得,a b 的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4．B解析：B 【解析】函数f （x ）=e x ﹣1x 是（0，+∞）上的增函数，再根据f （12）2＜0，f （1）=e ﹣1＞0，可得f （12）f （1）＜0，∴函数f （x ）=e x ﹣1x 的零点所在的区间是（12，1），故选B ．点睛：判定函数的零点所在区间，只需计算区间端点处的函数值，并判断是否异号，只要异号，则区间内至少有一个零点存在.5．C解析：C 【解析】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果. 详解：因为()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，且(1)(1)f x f x -=+， 所以(1)(1)(3)(1)(1)4f x f x f x f x f x T +=--∴+=-+=-∴=,因此(1)(2)(3)(50)12[(1)(2)(3)(4)](1)(2)f f f f f f f f f f ++++=+++++L ， 因为(3)(1)(4)(2)f f f f =-=-，，所以(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=，(2)(2)(2)(2)0f f f f =-=-∴=Q ，从而(1)(2)(3)(50)(1)2f f f f f ++++==L ，选C.点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．6．C解析：C 【解析】 【分析】先证明c<0,a>0,b>0,再证明b>1,a<1，即得解. 【详解】 由题得21log 3c =2log 10<=，a>0,b>0. 0.30log 3log 1,22 1.a b πππ====所以b a c >>.故答案为C 【点睛】(1)本题主要考查指数函数对数函数的单调性，考查实数大小的比较，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.（2）实数比较大小，一般先和“0”比，再和“±1”比.7．D解析：D 【解析】 【分析】画出函数图像，根据函数图像得到答案. 【详解】如图所示：画出函数sin y x =和lg y x =的图像，共有3个交点. 当10x >时，lg 1sin x x >≥，故不存在交点. 故选：D .【点睛】本题考查了函数的零点问题，画出函数图像是解题的关键.8．B解析：B 【解析】 【分析】利用换元法求函数解析式，注意换元后自变量范围变化. 【详解】 2x t =,则2t ≥，所以()()()()2224t 251,2,f t t t t =-+-+=+≥即()21f x x =+ ()2x ≥.【点睛】本题考查函数解析式，考查基本求解能力.注意换元后自变量范围变化.9．C解析：C 【解析】x ⩽1时,f (x )=−(x −1)2+1⩽1， x >1时,()()21,10a a f x x f x x x=++'=-…在(1,+∞)恒成立， 故a ⩽x 2在(1,+∞)恒成立， 故a ⩽1，而1+a +1⩾1，即a ⩾−1， 综上,a ∈[−1,1]， 本题选择C 选项.点睛：利用单调性求参数的一般方法：一是求出函数的单调区间，然后使所给区间是这个单调区间的子区间，建立关于参数的不等式组即可求得参数范围；二是直接利用函数单调性的定义：作差、变形，由f (x 1)－f (x 2)的符号确定参数的范围，另外也可分离参数转化为不等式恒成立问题．10．C解析：C 【解析】 【分析】先判断函数的定义域关于原点对称，再由奇偶性的定义判断奇偶性，根据复合函数的单调判断其单调性，从而可得结论. 【详解】由100100x x +>⎧⎨->⎩，得(10,10)x ∈-， 故函数()f x 的定义域为()10,10-，关于原点对称，又()()lg 10lg(10)()f x x x f x -=-++=，故函数()f x 为偶函数， 而()()2lg(10)lg(10)lg 100f x x x x=++-=-，因为函数2100y x =-在()0,10上单调递减，lg y x =在()0,∞+上单调递增， 故函数()f x 在()0,10上单调递减，故选C. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性，属于中档题. 判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法有：（1）直接法， ()()f x f x -=±(正为偶函数，负为减函数)；（2）和差法，()()0f x f x -±=（和为零奇函数，差为零偶函数）；（3）作商法，()()1f x f x -=±（1 为偶函数，1- 为奇函数） .11．D解析：D 【解析】试题分析：集合()(){}{}|130|13A x x x x x =--<=<<，集合，所以3|32A B x x ⎧⎫⋂=<<⎨⎬⎩⎭,故选D.考点：1、一元二次不等式；2、集合的运算.12．C解析：C 【解析】 【分析】令[]()()10g x f f x =-=,可得[]()1f f x =,解方程()1f x =,结合函数()f x 的图象,可求出答案. 【详解】令[]()()10g x f f x =-=,则[]()1f f x =,令()1f x =,若2log (1)1x +=,解得1x =或12x =-,符合(1,3)x ∈-;若411x =-,解得5x =,符合[3,)x ∈+∞.作出函数()f x 的图象,如下图,(]1,0x ∈-时,[)()0,f x ∈+∞;()0,3x ∈时,()()0,2f x ∈;[3,)x ∈+∞时,(]()0,2f x ∈. 结合图象,若()1f x =,有3个解;若1()2f x =-,无解;若()5f x =,有1个解. 所以函数[]()()1g x f f x =-的零点个数为4个. 故选:C.【点睛】本题考查分段函数的性质,考查了函数的零点,考查了学生的推理能力,属于中档题.二、填空题13．【解析】设（）因为是增函数要求原函数的递减区间只需求（）的递减区间由二次函数知故填解析：()-3∞-，【解析】设2log y t =，223t x x =+-，（0t >）因为2log y t =是增函数，要求原函数的递减区间，只需求223t x x =+-（0t >）的递减区间，由二次函数知(,3)x ∈-∞-，故填(,3)x ∈-∞-．14．【解析】首先要使有意义则其次∴解得综上点睛：对于抽象函数定义域的求解(1)若已知函数f(x)的定义域为ab 则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b 求出；(2)若已知函数f(g(x))解析：3,14⎛⎫⎪⎝⎭【解析】首先要使(2)f x 有意义，则2[0,2]x ∈， 其次0.5log 430x ->，∴0220431x x ≤≤⎧⎨<-<⎩，解得01314x x ≤≤⎧⎪⎨<<⎪⎩，综上3,14x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． 点睛：对于抽象函数定义域的求解(1)若已知函数f(x)的定义域为[a ，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b 求出；(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a ，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域．15．【解析】由得所以所以原函数定义域为故答案为 解析：(],0-∞【解析】由120x -≥，得21x ≤，所以0x ≤，所以原函数定义域为(],0-∞，故答案为(],0-∞.16．【解析】【分析】设带入化简得到得到答案【详解】设代入得到故的解析式是故答案为：【点睛】本题考查了利用换元法求函数解析式属于常用方法需要学生熟练掌握解析：()32f x x =+ 【解析】 【分析】设32t x =+，带入化简得到()32f t t =+得到答案. 【详解】()3298f x x +=+，设32t x =+ 代入得到()32f t t =+故()f x 的解析式是() 32f x x =+ 故答案为：()32f x x =+【点睛】本题考查了利用换元法求函数解析式，属于常用方法，需要学生熟练掌握.17．-8【解析】试题分析：设当且仅当时成立考点：函数单调性与最值解析：-8 【解析】 试题分析：2tan 1tan 1,42xx x ππ∴∴Q设2tan t x =()()()2221412222142248111t t t y t t t t -+-+∴==-=----≤-⨯-=----当且仅当2t =时成立考点：函数单调性与最值18．【解析】【分析】根据复合函数单调性同增异减以及二次函数对称轴列不等式组解不等式组求得实数的取值范围【详解】要使在上递增根据复合函数单调性需二次函数对称轴在的左边并且在时二次函数的函数值为非负数即解得 解析：(],3-∞【解析】 【分析】根据复合函数单调性同增异减，以及二次函数对称轴列不等式组，解不等式组求得实数a 的取值范围. 【详解】要使()f x 在()2,+∞上递增，根据复合函数单调性，需二次函数22y x ax =-+对称轴在2x =的左边，并且在2x =时，二次函数的函数值为非负数，即2222220a a ⎧≤⎪⎨⎪-+≥⎩，解得3a ≤.即实数a 的取值范围是(],3-∞.【点睛】本小题主要考查复合函数的单调性，考查二次函数的性质，属于中档题.19．y ＝a （1+b ）x （x ∈N*）【解析】【分析】根据条件计算第一年产量第二年产量…根据规律得到答案【详解】设年产量经过x 年增加到y 件第一年为y ＝a （1+b ）第二年为y ＝a （1+b ）（1+b ）＝a （1+解析：y ＝a （1+b %）x （x ∈N *）【解析】 【分析】根据条件计算第一年产量，第二年产量…根据规律得到答案. 【详解】设年产量经过x 年增加到y 件，第一年为 y ＝a （1+b %）第二年为 y ＝a （1+b %）（1+b %）＝a （1+b %）2，第三年为 y ＝a （1+b %）（1+b %）（1+b %）＝a （1+b %）3，…∴y ＝a （1+b %）x （x ∈N *）．故答案为：y ＝a （1+b %）x （x ∈N *）【点睛】本题考查了指数型函数的应用，意在考查学生的应用能力.20．(01)【解析】结合与的图象可得点睛：数形结合是数学解题中常用的思想方法数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化生动化能够变抽象思维为形象思维有助于把握数学问题的本质在运用数形结合思想分析和解决 解析：(0,1),【解析】(),,2x x a x a x af x a x a ≥++-⎧==⎨<⎩， 结合()f x 与()g x 的图象可得()0,1.a ∈点睛：数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质.在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念及其几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围三、解答题21．（1）()2104003000,050100006000,50x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨--+≥⎪⎩；（2）2019年年产量为100百辆时，企业所获利润最大，最大利润为5800万元.【解析】【分析】（1）先阅读题意，再分当050x <<时，当50x ≥时，求函数解析式即可；（2）当050x <<时，利用配方法求二次函数的最大值，当50x ≥时，利用均值不等式求函数的最大值，一定要注意取等的条件，再综合求分段函数的最大值即可.【详解】解：（1）由已知有当050x <<时，()22600(10200)3000104003000L x x x x x x =-+-=-+-当50x ≥时，()1000010000600(6019000)30006000L x x x x x x=-+--=--+， 即()2104003000,050100006000,50x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨--+≥⎪⎩， （2）当050x <<时，()2210400300010(20)1000L x x x x =-+-=--+， 当20x =时，()L x 取最大值1000，当50x ≥时，()10000600060005800L x x x =--+≤-+=， 当且仅当10000x x=，即100x =时取等号， 又58001000>故2019年年产量为100百辆时，企业所获利润最大，最大利润为5800万元.【点睛】本题考查了函数的综合应用，重点考查了分段函数最值的求法，属中档题.22．(1) 1a = (2) [)4,+∞【解析】【分析】（1）根据函数()f x 是R 上的奇函数，得到()00f = ，即可求得a 的值；（2）由（1）可得函数()g x 的解析式，分别求得函数()f x 和()g x 的单调性与最值，进而得出关于t 的不等式，即可求解.【详解】（1）因为())2log f x x =是R 上的奇函数，所以()00f = ，即log 0=，解得1a =.（2）由（1）可得())2log f x x =，()212121x t g x t x x t -++⎧=--=⎨+-⎩ 1,21,2x x ≥< . 因为奇函数()()2222log 1log 1f x x x x x =+-=++，所以()f x 在3,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数，则()f x 在3,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为22333log 11444M f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=-=-+--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 因为()2121x t g x x t -++⎧=⎨+-⎩ 1,21,2x x ≥<，所以()g x 在31,42⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上是增函数，在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，则()g x 的最小值为34g ⎛⎫- ⎪⎝⎭和()2g 中的较小的一个. 因为33521442g t t ⎛⎫⎛⎫-=⨯-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()22213g t t =-⨯++=-， 所以()()min 23g x g t ==-，因为对任意的3,24x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()M g x ≤恒成立，所以13t ≤-， 解得4t ≥.故t 的取值范围为[)4,+∞.【点睛】本题主要考查了函数的基本性质的综合应用，以及恒成立问题的求解，其中解答中熟记函数的基本性质，合理应用奇偶性、单调性和最值列出相应的方程或不等式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.23．（1）722x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭；（2）3 4.2p p ><-或 【解析】【分析】(1)根据集合的交集得到结果即可；（2）当A∩B=B 时，可得B ⊆A ，分B 为空集和不为空集两种情况即可.【详解】（1）当时，B={x |0≤x ≤}， ∴A∩B={x |2＜x ≤}；（2）当A∩B=B 时，可得B ⊆A ； 当时，令2p -1＞p +3，解得p ＞4，满足题意； 当时，应满足 解得； 即综上，实数p 的取值范围．【点睛】 与集合元素有关问题的思路：（1）确定集合的元素是什么，即确定这个集合是数集还是点集;（2）看这些元素满足什么限制条件;（3）根据限制条件列式求参数的值或确定集合元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．24．（1）2a =，定义域为()1,3-；（2）2【解析】【分析】（1）由()12f =,可求得a 的值,结合对数的性质,可求出()f x 的定义域;（2）先求得()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性,进而可求得函数的最大值. 【详解】（1）()1log 2log l 242og a a a f =+==,解得2a =.故()()22log 1)g 3(lo f x x x =++-, 则1030x x +>⎧⎨->⎩,解得13x -<<, 故()f x 的定义域为()1,3-.（2）函数()()()()()222log 1log 3log 31f x x x x x =++-=-+,定义域为()1,3-,()130,2,3⎡⎤⊆⎥-⎢⎣⎦, 由函数2log y x =在()0,∞+上单调递增,函数()()31y x x =-+在[)0,1上单调递增,在31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,可得函数()f x 在[)0,1上单调递增,在31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减. 故()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()21log 42f ==. 【点睛】本题考查了函数的定义域,考查了函数的单调性与最值,考查了学生的计算求解能力,属于基础题.25．(1) ()222,02,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩ (2) ()1,1- 【解析】【分析】（1）由奇函数的定义求解析式，即设0x <，则有x -＞0，利用()f x -可求得()f x ，然后写出完整的函数式；（2）作出函数()f x 的图象，确定()f x 的极值和单调性，由图象与直线y a =有三个交点可得a 的范围．【详解】解：(1)当(),0x ∈-∞时，()0,x -∈+∞，()f x Q 是奇函数，()()f x f x ∴=--=-()()2222x x x x ⎡⎤---=--⎣⎦()222,02,0x x x f x x x x ⎧-≥∴=⎨--<⎩. (2)当[)0,x ∈+∞时，()()22211f x x x =-=--，最小值为1-； 当(),0x ∈-∞，()()22211f x x x x =--=-+，最大值为1. 据此可作出函数的图象，如图所示，根据图象得，若方程()f x a =恰有3个不同的解，则a 的取值范围是()1,1-.【点睛】本题考查函数奇偶性，考查函数零点与方程根的关系．在求函数零点个数（或方程解的个数）时，可把问题转化为一个的函数图象和一条直线的交点个数问题，这里函数通常是确定的函数，直线是动直线，由动直线的运动可得参数取值范围．26．(1) {|25}A B x x =≤<I (){|35}R C A B x x ⋃=-<< (2) 5(,1)(2,)2-∞-U【解析】试题分析：（1）根据集合的交集的概念得到{|25}A B x x ⋂=≤<，{|32}R C A x x =-<<，进而得到结果；（2）∵B C C ⋂= ∴C B ⊆，分情况列出表达式即可.解析：（1）{|25}A B x x ⋂=≤< {|32}R C A x x =-<< (){|35}R C A B x x ⋃=-<< （2）∵B C C ⋂= ∴C B ⊆ Ⅰ）当C =∅时，∴12m m ->即1m <-Ⅱ）当C ≠∅时，∴121125m m m m -≤⎧⎪->⎨⎪<⎩∴522m << 综上所述：m 的取值范围是()5,12,2⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭。
2022-2023学年江苏省南京外国语学校高一(上)期中数学试卷【答案版】
2022-2023学年江苏省南京外国语学校高一（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知A ＝{﹣1，0，1，3，5}，B ＝{x |2x ﹣3＜0}，A ∩∁R B ＝（ ） A ．{0，1}B ．{﹣1，1，3}C ．{﹣1，0，1}D ．{3，5}2．已知集合A ＝{x |x 2﹣4x ＜0}，B ＝{2，m }，且A ∩B 有4个子集，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（0，4） B ．（0，2）∪（2，4） C ．（0，2）D ．（﹣∞，2）∪（4，+∞）3．荀子曰：“故不积硅步，无以至千里：不积小流，无以成江海”，此名言中的“不积硅步”一定是“至千里”的（ ） A ．充分条件 B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．下列四组函数中，f （x ）与g （x ）不是同一函数的是（ ） A ．f （x ）＝|x |与g(x)=√x 2 B ．f （x ）＝x 2+1与g （t ）＝t 2+1 C ．f(x)=|x|x 与g （x ）={1，x ＞0−1，x ＜0D ．f(x)=√(x −1)(x +1)与g(x)=√(x −1)⋅√(x +1) 5．若x ＞0，y ＞0，且x +y ＝18，则√xy 的最大值为（ ） A ．9B ．18C ．36D ．816．高德纳箭头表示法是一种用来表示很大的整数的方法，它的意义来自乘法是重复的加法，幂是重复的乘法．定义：a ↑b =a ⋅a ⋯⋯a ︸b 个a=a b ，a ↑↑b =a ↑a ↑a ↑⋯↑a ︸b 个a（从右往左计算）．已知可观测宇宙中普通物质的原子总数T 约为1082，则下列各数中与4↑↑3T最接近的是（ ）（参考数据：lg 2≈0.3）A ．1061B ．1064C ．1071D ．10747．已知a ＞1，b ＞1，且lga ＝1﹣2lgb ，则log a 2+log b 4的最小值为（ ） A ．10B ．9C ．9lg 2D ．8lg 28．已知函数y 1＝m （x ﹣2m ）（x +m +3），y 2＝x ﹣1，若它们同时满足：①∀x ∈R ，y 1与y 2中至少有一个小于0；②∃x ∈{x |x ＜﹣4}，y 1•y 2＜0，则m 的取值范围是（ ） A ．（﹣4，0）B ．（﹣∞，0）C ．（﹣∞，﹣2）D ．（﹣4，﹣2）二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020-2021学年江苏省南京市外国语学校高一上学期第一次月考数学试题解析版
2020-2021学年江苏省南京市外国语学校高一上学期第一次月考数学试题一、单选题1．下列命题为真命题的是（ ） A ．x Z ∃∈，143x << B ．x Z ∃∈，1510x += C ．x R ∀∈，210x -= D ．x R ∀∈，220x x ++>【答案】D【解析】求解不等式判断A ；方程的解判断B ；反例判断C ；二次函数的性质判断D ； 【详解】解：143x <<，可得1344x <<，所以不存在x ∈Z ，143x <<，所以A 不正确； 1510x +=，解得115x =-，所以不存在x ∈Z ，1510x +=，所以B 不正确； 0x =，210x -≠，所以x R ∀∈，210x -=不正确，所以C 不正确；x ∈R ，2217720244y x x x ⎛⎫=++=++≥> ⎪⎝⎭，所以D 正确；故选：D ． 【点睛】本题主要考查命题的真假的判断，考查不等式的解法以及方程的解，属于基础题． 2．集合{}*421A x x N =--∈，则A 的非空真子集的个数是（ ）A ．62B ．126C ．254D ．510【答案】B【解析】由条件{}*421A x x N =--∈计算出集合A ,再求出A 的非空真子集的个数． 【详解】 解：{}*421A x x N =--∈∴2x =,或32x =,或1x =,或12x =, 或0x =,或12x =-,或1x =-,3112,,1,,0,,1222A --⎧⎫=⎨⎬⎩⎭,A ∴的非空真子集的个数是722126-=.故选B 【点睛】当集合中的元素个数为n ,该集合的子集个数为2n ;真子集个数为21n -;非空真子集个数为22n -.3．已知,,a b c ∈R ，则下列四个命题正确的个数是（ ）①若22ac bc >，则a b >；②若22a b ->-，则()()2222a b ->-； ③若0a b c >>>，则a a cb b c+>+；④若0a >，0b >，4a b +>，4ab >，则2a >，2b >.A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】利用不等式的性质，逐一分析选项，得到正确结论. 【详解】①当22ac bc >时，20c >，两边同时除以2c ，得到a b >，正确；②220a b ->-≥，那么2222a b ->-，即()()2222a b ->-，正确；③()()()()()a b c b a c c a b a a c b b c b b c b b c +-+-+-==++- ，0a b c >>> 0,0a b b c ∴->->a a cb b c+∴>+，正确； ④令110,2a b == 同样能满足4,4a b ab +>> ，2,2a b ∴>>不正确.共有3个正确. 故选C. 【点睛】本题考查不等式比较大小，一般不等式比较大小的方法：1.做差法，2.利用不等式的性质，3.利用函数单调性比较大小，4.特殊值比较大小.4．若实数a ，b 满足a≥0，b≥0，且ab=0，则称a 与b 互补，记φ（a ，b ）=﹣a ﹣b 那么φ（a ，b ）=0是a 与b 互补的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要的条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】试题分析：由φ（a ，b ）＝0得22a b +－a －b ＝０且0,0a b ≥≥；所以φ（a ，b ）＝0是a 与b 互补的充分条件；再由a 与b 互补得到：0,0a b ≥≥，且ab ＝0；从而有，所以φ（a ，b ）＝0是a 与b 互补的必要条件；故得φ（a ，b ）＝0是a 与b 互补的充要条件；故选Ｃ．【考点】充要条件的判定．5．集合A ={x ∈N |x 2-3x -4≤0}，B ={x |x 2-3x +2=0}，若B ⊆C ⊆A ，则满足条件的集合C 的个数是（ ） A ．8 B ．7C ．4D ．3【答案】C【解析】化简A ，B ，再利用B ⊆C ⊆A ，即可求出满足条件的集合C 的个数． 【详解】解：A ={x ∈N |x 2-3x -4≤0}={1，2，3，4}，B ={x |x 2-3x +2=0}={1，2}， 又B ⊆C ⊆A ，所以满足条件的集合C 为{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}，共4个， 故选：C ． 【点睛】本题考查集合的包含关系及应用，解答的关键是理解B ⊆C ⊆A ，比较基础．6．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( ) A ．80元 B ．120元 C ．160元 D ．240元【答案】C 【解析】【详解】设长方体底面边长分别为,x y ，则4y x=， 所以容器总造价为42()102020()80z x y xy x x=+⨯+=++，由基本不等式得，420()80160z x x=++≥，当且仅当底面为边长为2的正方形时，总造价最低，选C. 【考点】函数的应用，基本不等式的应用.7．已知0a >，0b >，8ab =，则22log log a b ⋅的最大值为（ ） A ．32B ．94C ．4D ．8【答案】B【解析】利用对数的运算法则以及二次函数的最值化简求解即可． 【详解】解：0a >，0b >，8ab =， 则22log log a b 222(log 8log )log b b =- 22(3log )log b b =-2223log (log )b b =- 22939log 424b ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．当且仅当322b =时，函数取得最大值94． 故选：B ． 【点睛】本题考查对数运算法则以及函数的最值的求法，考查计算能力，属于中档题．8．已知11224m m -+=，则33221122m m m m----的值是（ ）A ．15B ．12C ．16D ．25【答案】A【解析】推导出111222()214m m m m --+=+-=，再由立方差公式得3322111221m m m m m m----=++-，从而求出结果．【详解】解：∵11224m m -+=，111222()214m m m m --∴+=+-=，∴由立方差公式得332211122115m m m m m m----=++=-，故选：A ． 【点睛】本题主要考查根式的化简、求值，考查有理数指数幂、根式的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．二、多选题9．某公司一年购买某种货物900吨，现分次购买，若每次购买x 吨，运费为9万元/次，一年的总储存费用为4x 万元，要使一年的总运费与总储存费用之和最小，则下列说法正确的是（ ）A ．10x =时费用之和有最小值B ．45x =时费用之和有最小值C ．最小值为850万元D ．最小值为360万元【答案】BD【解析】利用函数的思想列出一年的总费用与总存储费用之和，再结合基本不等式得到一个不等关系即可求最值. 【详解】一年购买某种货物900吨，若每次购买x 吨，则需要购买900x次，运费是9万元/次， 一年的总储存费用为4x 万元， 所以一年的总运费与总储存费用之和为90094x x⨯+，因为900942180360x x ⨯+≥=⨯=， 当且仅当81004x x=，即45x =时，等号成立， 所以当45x =时，一年的总运费与总储存费用之和最小为360万元， 故选：BD 【点睛】本题主要考查了函数最值的应用，以及函数模型的选择，和基本不等式的应用，属于中档题.10．有限集合S 中元素的个数记做card (S )，设A ，B 都为有限集合，下列命题中是真命题的是（ ）A ．AB ＝∅的充要条件是card (A B )＝card (A )＋card (B )B ．A ⊆B 的必要条件是card (A )≤card (B )C ．A ⊄B 的充分不必要条件是card (A )≤card (B )﹣1D ．A ＝B 的充要条件是card (A )＝card (B ) 【答案】AB【解析】根据集合之间的关系以及充分条件、必要条件的定义逐一判断即可. 【详解】对于A ，A B ＝∅，即集合A 与集合B 没有公共元素，故A 正确； 对于B ，A ⊆B ，集合A 中的元素都是集合B 中的元素，故B 正确； 对于C ，A ⊄B ，集合A 中至少有一个元素不是集合B 中的元素， 因此，A 中元素的个数有可能多于B 中元素的个数，故C 错误； 对于D ，A ＝B ，集合A 中的元素与集合B 中元素完全相同， 两个集合的元素的个数相同，并不意味着它们的元素相同. 故选：AB 【点睛】本题考查了集合的基本运算、集合的包含关系、充分条件、必要条件的定义，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.11．设a ，b ，c 都是正数，且469a b c ==，那么（ ） A ．2ab bc ac += B ．ab bc ac +=C ．221c a b=+ D ．121c b a=- 【答案】AD【解析】利用与对数定义求出a ，b ，c ，再根据对数的运算性质可得log 4log 92log 6M M M +=，然后进行化简变形即可得到.【详解】由于a ，b ，c 都是正数，故可设469a b c M ===，∴4log a M =，6log b M =，9log c M =，则1log 4M a =，1log 6M b =，1log 9M c=. log 4log 92log 6M M M +=，∴112a c b +=，即121c b a=-，去分母整理得，2ab bc ac +=.故选AD. 【点睛】本题考查对数的定义及运算性质，属于基础题.12．对任意A ，B ⊆R ，记A ⊕B ＝{x |x ∈A ∪B ，x ∉A ∩B }，并称A ⊕B 为集合A ，B 的对称差.例如，若A ＝{1，2，3}，B ＝{2，3，4}，则A ⊕B ＝{1，4}，下列命题中，为真命题的是（ ）A ．若A ，B ⊆R 且A ⊕B ＝B ，则A ＝∅ B ．若A ，B ⊆R 且A ⊕B ＝∅，则A ＝BC ．若A ，B ⊆R 且A ⊕B ⊆A ，则A ⊆BD ．存在A ，B ⊆R ，使得A ⊕B ＝A R⊕B RE.存在A ，B ⊆R ，使得A B ⊕B A ≠⊕ 【答案】ABD【解析】根据新定义判断． 【详解】根据定义[()][()]R R A B A B A B ⊕=，A.若A B B ⊕=，则RAB B =，R A B ⋂=∅，RA B B =RB A ⇒⊆，R A B ⋂=∅A B ⇒⊆，∴A =∅，A 正确；B.若A B ⊕=∅，则RA B =∅，R A B ⋂=∅，A B A B ==，B 正确； C. 若A B A ⊕⊆，则RAB =∅，RAB A ⊆，则B A ⊆，C 错；D.A B =时，A B ⊕=∅，()()R R A B A B ⊕=∅=⊕，D 正确；E.由定义，[()][()]R R A B A B A B ⊕=B A =⊕，E 错．故选：ABD ． 【点睛】本题考查新定义，解题关键是新定义的理解，把新定义转化为集合的交并补运算．三、填空题13．命题“2,220x R x x ∀∈-+>”的否定是 【答案】【解析】试题分析：命题“2,220x R x x ∀∈-+>”的否定是.【考点】全称命题的否定.14．设集合{}14A x x =<<，{}13B x x =-≤≤，则RA B ⋂＝_______．【答案】()3,4 【解析】先求RB ，再与集合A 求交集即可.【详解】因为{}13B x x =-≤≤， 所以{R|1B x x =<-或}3x >，所以{}R|34A B x x ⋂=<<，故答案为：()3,4 【点睛】本题主要考查了集合的交集和补集运算，属于基础题.15．若,a b 是方程242(lg )lg 10x x -+=的两个实根，则 lg()(log log )a b ab b a +的值为______． 【答案】12【解析】原方程可化为22()410lgx lgx -+=，设t lgx =，则原方程可化为22410t t -+=，利用换元法令1t lga =，2t lgb =，再根据对数的运算法则，即可得答案； 【详解】原方程可化为22()410lgx lgx -+=，设t lgx =，则原方程可化为22410t t -+=．设方程22410t t -+=的两根为1t ，2t ，则122t t +=，1212t t =． 由已知a ，b 是原方程的两个根．可令1t lga =，2t lgb =，则2lga lgb +=，12lga lgb ⋅=， ()()·a b lg ab log b log a ∴+ lg lg (lg lg )lg lg ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭b a a b a b 22(lg lg )(lg )(lg )lg lg ⎡⎤++⎣⎦=a b b a a b2(lg lg )2lg lg (lg lg )lg lg b a a ba b a b+-=+⋅2122221212-⨯=⨯=．故答案为：12.【点睛】本题考查对数方程的求解及对数运算法则求值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.16．若对任意x ∈R ，不等式22(1)(1)10a x a x ----<恒成立，则实数a 值范围是____________. 【答案】3,15⎛⎤- ⎥⎝⎦【解析】根据题意，分两种情况讨论：1若210a -=，则1a =±，分别验证1a =或1-时，是否能保证该不等式满足对任意的实数x 都成立；2若210a -≠，不等式22(1)(1)10a x a x ----<为二次不等式，结合二次函数的性质，可解得此时a 值范围. 【详解】由题意，分两种情况讨论：1若210a -=，则1a =±，当1a =时，不等式22(1)(1)10a x a x ----<为：10-<， 满足对任意的实数x 都成立，则1a =满足题意，当1a =-时，不等式22(1)(1)10a x a x ----<为：20x -<， 不满足对任意的实数x 都成立，则1a =-满足题意，2若210a -≠，不等式22(1)(1)10a x a x ----<为二次不等式，要保证22(1)(1)10a x a x ----<实数x 都成立，必须有()()222101410a a a ⎧-<⎪⎨∆=-+-<⎪⎩ 可解得315a -<<， 综上可得3,15⎛⎤- ⎥⎝⎦.故答案为：3,15⎛⎤- ⎥⎝⎦【点睛】本题主要考查不等式恒成立求参数的取值范围，考查了分类讨论思想的应用，属于基础题.四、解答题17．（1）化简：11144064342()()()a b a a b ab -⨯-÷+a ＞0，b ＞0）；（2）先化简，再求值．已知a =b =6646353b a b -+的值．【答案】（1）a ；（2）3b -；-【解析】（1）将根式转化为分数指数幂，利用指数的运算法则即可化简；（2）先将所求代数式利用平方差公式和完全平方式化简，再代入a =b =可求解. 【详解】（1）11144064342()()()a b a a b ab -⨯-÷+1234ab a b ab a -=-÷+-11ab ab a a --=-+=；（2）()266314332693a b a b b a b b ----+=-，因为a b ==3323a b b -<，则原式=()()3323326233353333a b b a b b b b a b a b ----+⋅-+ ()()3326353335353333a bb b a b b b a b a b -++=-=-=-++，因为b ==-【点睛】本题主要考查了指数式的化简，考查了指数的运算法则涉及完全平方公式，平方差公式，属于基础题.18．已知关于x 的不等式250ax x a-<-的解集为M ． （1）当4a =时，求集合M ；（2）若3M ∈且5M ∉，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）()5,2,24⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭；（2）(]51,9,253⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【解析】（1）代入4a =后将分式不等式转化为高次不等式，求解后可得M .（2）根据3M ∈且5M ∉可得关于a 的不等式组，其解为实数a 的取值范围. 【详解】（1）因为4a =，故24504x x -<-即()()()45220x x x --+<， 所以2x <-或524x <<，故M 为()5,2,24⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭. （2）因为3M ∈且5M ∉，故350955025a aa a -⎧<⎪⎪-⎨-⎪≥⎪-⎩或250a -=，故()()()()35901250a a a a ⎧-->⎪⎨--≤⎪⎩，解得513a ≤<或925a <≤，故a 的取值范围为(]51,9,253⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【点睛】一般地，()()0f x g x >等价于()()0f x g x >，而()()0f x g x ≥则等价于()()()00f x g x g x ⎧≥⎪⎨≠⎪⎩，注意分式不等式转化为整式不等式时分母不为零.解本题时还应注意5M ∉对应的a 满足的条件中容易遗漏250a -=这个情况.19．已知命题p ：x 2﹣4x ﹣5≤0，命题q ：x 2﹣2x ＋1﹣m 2≤0(m ＞0)． （1）若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围；（2）若m ＝5，命题p 和q 中有且只有一个真命题，求实数x 的取值范围． 【答案】（1）[4，+∞)；（2[4-，1)(5-⋃，6].【解析】（1）求出命题p ，q 成立时的x 的范围，利用充分条件，根据包含关系列出不等式求解即可．（2）讨论p 真q 假或p 假q 真，分别利用命题的真假关系列出不等式组，求解即可． 【详解】(1)对于:[1p A =-，5]，对于:[1q B m =-，1]m +，p 是q 的充分条件， 可得A B ⊆，∴1115m m --⎧⎨+⎩，[4m ∴∈，)+∞．(2)若m ＝5，命题p 和q 中有且只有一个真命题，此时命题q 对应得集合为B =[]4,6-， 则p 真q 假或p 假q 真，所以①当p 真q 假时，x ∈[]1,5-，且x (),4-∞-∪(6，+∞)，则此时无解； ②当p 假q 真时，x ∈(),1-∞-∪(5，+∞)，且x ∈[]4,6-， [4x ∴∈-，1)(5-⋃，6]．综上所述，x 的取值范围为[4-，1)(5-⋃，6]． 【点睛】本题考查命题的真假的判断与应用，充要条件的应用，集合的关系，考查转化思想以及计算能力．20．已知0x >，0y >，24xy x y a =++ （1）当6a =时，求xy 的最小值； （2）当0a =时，求212x y x y+++的最小值． 【答案】（1）9;（2）112【解析】试题分析：（1）由0x >，0y >可利用均值不等式a b +≥可知4x y +≥=，从而得到xy 的不等式，求得其最小值；（2）将24xy x y =+变形为1212y x+=，与所求式子求乘积即可利用均值不等式求得其最小值试题解析：（1）当6a =时，2466xy x y =++≥，即230-≥，3)0∴≥，3≥，9xy ∴≥，当且仅当46x y ==时，等号成立．xy ∴的最小值为9．（2）当0a =时，可得24xy x y =+， 两边都除以2xy ，得1212y x+=，2112727111()()1()222222x y x y x y x y x y y x y x ∴+++=++=+++=++≥+=， 当且仅当212x y y x ==，即3x =，32y =时取等号． 212x y x y ∴+++的最值为112【考点】均值不等式求最值21．（1）已知0m >，0n >，4816log log log (2)m n m n ==+．求24log log n 的值；（2）若18log 9a =，185b =，用a ，b 表示36log 45． 【答案】（1）12-；（2）36log 452a ba +=-. 【解析】（1）设4816log log log (2)m n m n k ==+=，将m n 、、 2m n +用k 表示出来， （2）化指数式为对数式求得b ，把要表示的式字换成以18为底的对数，即可求解. 【详解】（1）设4816log log log (2)m n m n k ==+=， 所以4k m =，8k n =，216k m n +=，所以22816k k k ⨯+=，即112142k k⎛⎫⎛⎫⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即2112122kk⎛⎫⎛⎫⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令102kt ⎛⎫=> ⎪⎝⎭， 则2210t t +-=，解得：12t =或1t =-（舍），所以24222log log log log log n == 222log lo 111111222222g log km n ⎛⎫====- ⎪⎝⎭， （2）由题意185b =，所以18log 5b =，则181818361818log 45log 9log 5log 45log 361log 22a ba++===+-.本题主要考查了指对函数互化，以及对数的运算，换底公式，属于中档题 22．已知关于x 的不等式220ax x ++<(a ∈R )．（1）若220ax x ++<的解集为{|1x x >或}x b <，求实数a ，b 的值； （2）求关于x 的不等式223ax x ax ++<+的解集． 【答案】（1）3a =-，23b =-；（2）答案见解析. 【解析】（1）根据不等式解集与对应方程根的关系列等量关系，解得结果； （2）先因式分解，再根据根的大小关系分类讨论，即可确定不等式解集. 【详解】(1)由题意可知方程220ax x ++=的一个根为1，且a <0， ∴a +3=0，解得3a =-，此时不等式可化为2320x x -++<， 其解集为{|1x x >或2}3x <-，对比可得23b =-. (2)由题意可将不等式223ax x ax ++<+化简为()2110ax a x +--<， 因式分解，得()()110ax x +-<，则①当a =0时，不等式可化简为()10x -<，解得x <1； ②当a>0时，不等式可化简为()110x x a ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭，解得11x a -<<； ③当-1<a<0时，不等式可化简为()110x x a ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭，解得1x <或1x a>-； ④当a =-1时，不等式可化简为()210x --<，解得x ≠1； ⑤当a<-1时，不等式可化简为()110x x a ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭，此时1x >或1x a<-. 综上所述，当a =0时，不等式的解集为{x |x <1}； 当a>0时，不等式的解集为1{|1}x x a-<<； 当-1<a<0时，不等式的解集为{|1x x <或1}x a>-； 当a =-1时，不等式的解集为{x |x ≠1}；当a<-1时，不等式的解集为{|1x x >或1}x a<-.本题考查解含参数不等式、根据不等式解集求参数，考查基本分析求解能力，属中档题.。
江苏省外国语学校第一学期期中考试高一数学试题
江苏省外国语学校-第一学期期中考试高一数学试题本试卷满分150分，考试时间1．一．选择题：本大题共有12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．由实数x , x -, x , ()(A) 2(B) 3(C) 4(D) 52．已知集合{}(,)2M x y x y |=+=，{}(,)4N x y x y |=-=，那么集合M N 为 ( )(A) 3,1x y ==-(B) (3,1)-(C) {}3,1-(D) {}(3,1)-3．已知函数(21)1()2a x y -=是定义域上的增函数，则实数a 的取值范围为( )(A) ()0,+∞(B) (),1-∞(C) 1(,)2-∞(D) 1(,)2+∞4．在以下四个命题：①A B A =；②A B B =；③U A B =∅ð；④()U A B U =ð（其中U 为全集）中，与命题A B ⊆等价的为 ()(A) ①②(B) ①②③(C) ②③④(D) ①②③④5．幂函数223()(1)mm f x m m x +-=--在()0,+∞时是减函数，则实数m 的值为()(A) 2或1-(B) 1-(C) 2(D) 2-或16．已知3()5f x ax =+，且(3f =，则f = ( )(A) 3-(B) 10(C) 7(D) 137．使式子(21)log (5)x x --有意义的x 的取值范围为 ( )(A) (),5-∞(B) 1(,1)(1,)2+∞(C) 1(,5)2(D) 1(,1)(1,5)28．定义在[]1,2a +上的偶函数2()2f x ax bx =+-在区间[]1,2上是 ()(A) 增函数(B) 减函数 (C) 先增后减函数 (D)先减后增函数9．下列函数中，在区间(0,)+∞上是单调减函数的是 ()(A) 12()y x =-(B) 2log y x =(C) 2(1)y x =-(D) 1()2x y =10．下列函数：①1y x =-；②2log (1)y x =-；③y =；④12x y -=．其中定义域与值域都不是R 的有 ()(A) 1个(B) 2个(C) 3个(D) 4个11．已知()f x 是偶函数，当0x >时，2()log f x x x =，则当0x <时，()f x =() (A) 2log x x(B) 2log ()x x -(C) 2log x x -(D) 21log ()x x-12．某工厂现有现金元，由于技术创新使得每年资金比上一年增加10%，经过n 年后该厂资金比现在至少翻一番，则n 至少为 ( ) （参考数据：lg20.301,lg1.10.041==）(A) 6(B) 7(C) 8(D) 9二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填写在答题卡相应位置上． 13．某地区对200户农民的生活水平进行调查，统计结果是：有彩电的128户，有电冰箱的162户，二者都有的105户，则彩电、电冰箱至少有一样的有 户．14．实数22log 3a =，132()3b -=，22log 32c =从小到大排列为 ．15．若()()1133132a a +<-，则实数a 的取值范围为 ．16．已知函数()f x 的定义域为(]0,1，且1()()3x g x =，则函数[]()f g x 的定义域为 ．17．函数()f x 在区间(2,3)-上是增函数，那么(5)1f x -+的单调递增区间是 ．18．下列五个命题：①log 2log 51a a +=(0a >且1)a ≠；②()2f x x =-与()f x =表示相同函数；③若()f x 是奇函数，则(0)0f =；④y =R ；⑤函数1()4x f x a -=+的图象恒过定点()1,4． 其中···不正确命题的序号是 ．三．解答题：本大题共5小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19．(本小题满分14)(1)化简：()()312123321()40.1a b ---⋅，(0,0)a b >>．(2) 已知()2lg 2lg lg x y x y -=+，求的值．20．(本小题满分12分)已知定义在R 上的函数()22x x af x =+，a 为常数． (1) 如果()f x 满足()()f x f x -=，求a 的值；(2) 当()f x 满足 (1) 时，用单调性定义判断()f x 在[)0,+∞上的单调性．并猜想()f x 在(),0-∞上的单调性（不必证明）．21．(本小题满分12分)设集合212|log (56)1A x x x ⎧⎫=-+=-⎨⎬⎩⎭，2271|(),01x x B x a a a a --⎧⎫=<>≠⎨⎬⎩⎭且，求AB ．22．(本小题满分12分)国家征收个人工资、薪金所得税是分段计算的，总收入不超过800元的，免征个人工资、薪金所得税；超过800元部分需征税，设全月应纳税的收入额为x ，x =全月收入-800元，税率见下表：(1) 若应纳税额为()f x ，试用分段函数表示1~3级纳税额()f x 的计算公式；(2) 某人2003年3月份工资总收入3000元，试计算这人3月份应缴纳个人所得税多少元？23．(本小题满分16分)已知函数1()()3x f x =．(1) 若12(21)f mx x -++的定义域为R ，求实数m 的取值范围； (2) 当[]1,1x ∈-时，求函数2()2()3y f x af x =-+的最小值()g a ；(3) 是否存在实数3m n >>，使得()g x 的定义域为[],n m ，值域为22,n m ⎡⎤⎣⎦，若存在，求出m 、n 的值；若不存在，则说明理由．江苏省外国语学校-第一学期期中考试高一数学试题参考答案一．选择题：每小题5分，共60分．二．填空题：每小题4分，共24分．13．185 14．a c b << 15．2(,)3-∞16．[)0,+∞17．()3,818．①③⑤三．解答题：本大题共5小题，共66分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19．（1）425；（2）4． 1）由()()f x f x -=得112222x x x x --+=+，∴1(1)(2)02xxa --=对x ∈R 恒成立，∴ 10a -=，1a = （2）1()22x x f x =+，设120x x ≤<，则 1212121212121121()()(2)(2)(22)222x x x x x x x x x x f x f x ++--=+-+=- ∵120x x ≤<，∴1212210,220x x x x +->-<，∴12()()0f x f x -<，即12()()f x f x < ∴()f x 在[)0,+∞上是增函数.猜想：()f x 在(),0-∞上是减函数.21． 由212log (56)1x x -+=-得，2562x x -+=，即2540x x -+=，1x =或4x =，∴{}1,4A =．∵2271()x x a a--<，∴272x x a a --<，当01a <<时，272x x ->-，3x >，即{}|3B x x =>，这时{}4A B =；当1a >时，272x x -<-，3x <，即{}|3B x x =<，这时{}1A B =．22．(1)0.05,(0500)()0.1(500)25,(5002000)0.15(2000)175,(20005000)x x f x x x x x <≤⎧⎪=⨯-+<≤⎨⎪⨯-+<≤⎩, 即0.05,(0500)()0.125,(5002000)0.15125,(20005000)x x f x x x x x <≤⎧⎪=-<≤⎨⎪-<≤⎩(2) ∵ 30002200x =-∴(2200)0.15(22002000)175f =⨯-+ 205()=元∴这人三月份应纳个人所得税205元．23．(1) ∵113()log f x x -=，∴12213(21)log (21)f mx x mx x -++=++，由题知，2210mx x ++>恒成立，∴00m m >⎧⎨<⎩Δ=4-4，1m >．(2) ∵ []1,1x ∈-，∴11(),333x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，2()2()3y f x a f x =-+222111[()]2()3[()]3333x x xa a a =-+=-+-，当13a <时，min 282()93ay g a ==-； 当133a ≤≤时，2min ()3y g a a ==-；当3a >时，min ()126y g a a ==-． ∴ 22821()9331()3(3)3126(3)aa g a a a a a ⎧-<⎪⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩． (3) ∵3m n >>，∴()126g x x =-，在()3,+∞上是减函数．∵()g x 的定义域为[],n m ，值域为22,n m ⎡⎤⎣⎦，∴ 22126126m nn m ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩， ①② ②－①得：6()()()m n m n m n -=+-，∵3m n >>，∴6m n +=．但这与“3m n >>”矛盾．∴满足题意的m 、n 不存在．。
江苏省南京市外国语学校2020-2021学年高一上学期阶段性调研数学试题
江苏省南京市外国语学校【最新】高一上学期阶段性调研数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．已知集合 {}{}0,1,2,3,2,3,4,5A B ==，则 A B 中元素的个数为_______．2．函数y =的定义域为_____．3．已知函数f （x ）=x 2+mx+1是偶函数，则m=_____．4．指数函数f （x ）=（a ﹣1）x 在R 上是增函数，则a 的取值范围是_____． 5．设集合2{|2,},{|10},x A y y x B x x ==∈=-<R 则AB =____．6．已知集合A={x|2x+a ＞0}，若1∉A ，则实数a 的取值范围是_____．7．已知函数24()x f a n x -=+（0a >且1a ≠）的图象恒过定点(,2)P m ，则m n +=________.8．已知二次函数f （x ）满足f （2+x ）=f （2﹣x ），且f （x ）在[0，2]上是增函数，若f （a ）≥f （0）则实数a 的取值范围是_____．9．已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于________．10．已知函数224,4()log ,4x x x f x x x ⎧-+≤=⎨>⎩，若函数()y f x =在区间(,1)a a +上单调递增，则实数a 的取值范围是________．11．若函数f(x)＝x 2－ax －a 在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a 等于________． 12．设P （x 0，y 0）是函数f （x ）图象上任意一点，且y 02≥x 02，则f （x ）的解析式可以是_____．（填序号） ①f （x ）=x ﹣1x ②f （x ）=e x ﹣1（e≈2.718，是一个重要常数）③f （x ）=x+4x④y=x 2 13．已知函数f(x)＝e x －1，g(x)＝－x 2＋4x －3，若有f(a)＝g(b)，则b 的取值范围为________．二、解答题14．已知f （x ）=2x ，g （x ）是一次函数，并且点（2，2）在函数f[（g （x ）]的图象上，点（2，5）在函数g[f （x ）]的图象上，则g （x ）的解析式为_____．15．设函数(),02,0xax b x f x x +<⎧=⎨≥⎩，且f （﹣2）=3，f （﹣1）=f （1）． （1）求f （x ）的解析式；（2）画出f （x ）的图象，写出函数的单调增区间． 16．已知f （x ）=xx a-（x≠a ）． （1）若a=﹣2，试证明f （x ）在（﹣∞，﹣2）内单调递增； （2）若a ＞0，且x ∈（﹣∞，0），请直接写出f （x ）的值域．17．已知函数f (x )＝222,00,0,0x x x x x mx x ⎧-+>⎪=⎨⎪+<⎩是奇函数.（1）求实数m 的值；（2）若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围. 18．已知函数f （x ）=ax 2+bx+c （a ＞0，b ∈R ，c ∈R ）．（1）若函数f （x ）的最小值是f （﹣1）=0，且c=1，求f （2）的值； （2）若a=1，c=0，且|f （x ）|≤1在区间（0，1]上恒成立，试求b 的取值范围．19．已知定义域为R 的函数()122x x b f x a+-+=+是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)解关于t 的不等式f(t 2－2t)＋f(2t 2－1)<0.参考答案1．6 【解析】试题分析：{}0,1,2,3,4,5A B ⋃=,共6个元素． 考点：集合并集 2．5[,)3-+∞ 【分析】根式下面的值要大于等于0，故3x+5≥0，得解 【详解】要使y =3x+5≥0，∴53x ≥-，∴该函数的定义域为5,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭．【点睛】求函数的定义域是基本考点，根式下面的值要大于等于0． 3．0 【分析】根据偶函数的定义()()f x f x =-，列方程，求解参数m ． 【详解】根据题意，函数f （x ）=x 2+mx+1是偶函数， 则f （﹣x ）=f （x ），即（x 2+mx+1）=（x 2﹣mx+1）， 变形可得：2mx=0， 分析可得m=0， 【点睛】已知函数的奇偶性求参数，根据奇偶性的定义求解 4．（2，+∞） 【分析】指数函数y a x=递增，底数a 1>，故a ﹣1＞1，得解． 【详解】∵指数函数f （x ）=（a ﹣1）x 在R 上是增函数，∴a ﹣1＞1， 即a ＞2，故a 的取值范围是（2，+∞）， 故答案为（2，+∞）． 【点睛】指数函数的单调性只与底数的大小有关，1a 0>>时单减，a 1>时单增． 5．(1,)-+∞ 【详解】因为{}0,{|11}A y y B x x ==-<<，所以{|1}A B x x =>-，应填答案(1,)-+∞．6．（﹣∞，﹣2] 【分析】先求集合A 的解集为{x|x ＞﹣2a }，又∵1∉A ，由此﹣2a≥1得解 【详解】由题意可得 集合A 的解集为{x|x ＞﹣2a }，又∵1∉A ，由此解得﹣2a≥1，解得a≤﹣2， 故答案为（﹣∞，﹣2]． 【点睛】元素和集合的关系有属于和不属于，属于表示在其内，不属于表示不在其内而属于其补集． 7．3 【分析】根据指数函数图像过定点的知识，求得,m n 的值，进而求得m n +的值. 【详解】根据指数函数过定点的知识可知24012m n -=⎧⎨+=⎩，解得2,1m n ==，所以3m n +=.故答案为：3 【点睛】本小题主要考查指数型函数过定点问题，属于基础题. 8．[0，4] 【分析】由题意，对称轴为x=2，开口向下，若()()f a f 0≥，则a 2|2-≤得解 【详解】根据题意，二次函数f （x ）满足f （2+x ）=f （2﹣x ），则函数f （x ）的对称轴为x=2， 又由f （x ）在[0，2]上是增函数，则f （x ）开口向下， 若f （a ）≥f （0），则有|a ﹣2|≤2， 解可得：0≤a≤4，即a 的取值范围为[0，4]； 故答案为[0，4]． 【点睛】二次函数为轴对称图形，对称轴为x 2ba=-，开口与a 值有关，a 0>开口向上，a 0<开口向下，函数与x 的交点为函数的零点，对称轴的左右两侧的单调性相反，最低点的坐标为24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 9．3 【解析】由已知可得，－f(1)＋g(1)＝2， f(1)＋g(1)＝4，两式相加解得，g(1)＝3. 10．(,1][4,)-∞⋃+∞ 【分析】通过二次函数的图象及性质和对数函数的图象及性质容易得出单调区间，然后取并集即可. 【详解】解：当4x ≤时，22()4(2)4f x x x x =-+=--+，∵2()(2)4f x x =--+开口向下，对称轴2x =，在对称轴的左边单调递增， ∴12a +≤，解得：1a ≤；当4x >时，()f x 是以2为底的对数函数，是增函数，故4a ≥； 综上所述，实数a 的取值范围是：(,1][4,)-∞⋃+∞； 故答案为：(,1][4,)-∞⋃+∞.【点睛】本题考察了函数单调性的性质，主要还是熟记性质结合图形很容易答出.11．1【详解】函数f(x)＝x2－ax－a的图像为开口向上的抛物线，∴函数的最大值在区间的端点取得，∵f(0)＝－a，f(2)＝4－3a，∴43{1a aa->--=或43{431a aa-≤--=解得a＝1.12．③【分析】可取x0=1，可判断①；取x0=﹣1，可判断②；运用作差法，结合平方差公式可判断③；由作差法即可判断④．【详解】①f（x）=x﹣1x，当x0=1，即有y0=1﹣1=0，显然y02≥x02不成立，故①不可以；②f（x）=e x﹣1，当x0=﹣1，即有y0=1e﹣1，显然y02≥x02不成立，故②不可以；③f（x）=x+4x，由y02﹣x02=（x0+4x）2﹣x02=8+216x＞8，故③可以；④y=x2，由y02﹣x02=x02（x02﹣1），取x0=12，y02≥x02不成立，故④不可以．故答案为③．【点睛】对于新定义的题型，考查学生分析问题、解决问题和转化问题的能力，将未知转化为已知．13．(2，2)【解析】易知f(a)＝e a －1>－1，由f(a)＝g(b)，得g(b)＝－b 2＋4b －3>－1，解得2<b<2. 14．g （x ）=2x ﹣3 【解析】试题分析：待定系数法：设g （x ）=kx+b ，根据点（2，2）在函数f[g （x ）]的图象上，点（2，5）在函数g[f （x ）]的图象上，列出方程组解得即可． 解：设g （x ）=kx+b ，则f[（g （x ）]=f （kx+b ）=2kx+b ， 因为点（2，2）在函数f[g （x ）]的图象上， 所以f[g （2）]=f （2k+b ）=22k+b =2， 所以2k+b=1（1）； g[f （x ）]=k•2x +b ，因为点（2，5）在函数g[f （x ）]的图象上， 所以g[f （2）]=4k+b=5（2）， 由（1）（2）得：．所以g （x ）=2x ﹣3．考点：函数解析式的求解及常用方法． 15．（1）()1,02,0xx x f x x -+<⎧=⎨≥⎩； （2）[0，+∞）． 【分析】（1）根据条件列方程组可解得a ，b ； （2）画图后，根据图象可写出递增区间．【详解】（1）依题意得：232a b a b -+=⎧⎨-+=⎩，解得：a=﹣1，b=1，∴()1,02,0xx x f x x -+<⎧=⎨≥⎩． （2）函数f （x ）的图象如下：函数的单调递增区间为：[0，+∞） 【点睛】研究分段函数的基本方法是图像法，分段函数往往是几个简单基本函数组合而成，研究分段函数的单调性，分段研究，且保证分隔处有也具有单调性． 16．（1）见解析； （2）（0，+∞）. 【分析】（1）求导，利用导函数恒大于0证明；（2）根据函数f （x ）在（﹣∞，0）上递减，得值域．【详解】（1）证明：a=﹣2时，f （x ）2122x x x ==-++，f′（x ）=()222x +，∵x ＜﹣2，∴f′（x ）＞0恒成立， ∴f （x ）在（﹣∞，﹣2）上单调递增． （2）若a ＞0，且x ∈（﹣∞，0），则f （x ）1x x a a ax a x a x a-+===+---为递减函数， ∴f （x ）＞f （0）=0，所以f （x ）的值域为（0，+∞）． 【点睛】已知函数的单调性求参数，利用导数研究建立不等式恒成立的条件，转化为恒成立问题处理．17．（1）2；（2）(1，3]. 【分析】（1）根据函数是奇函数求得0x <的解析式，比照系数，即可求得参数m 的值； （2）根据分段函数的单调性，即可列出不等式，即可求得参数a 的范围.【详解】（1）设x ＜0，则－x ＞0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x ). 于是当x ＜0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ， 所以m ＝2.（2）要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象知2121a a ->-⎧⎨-⎩所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1，3]. 【点睛】本题考查利用奇偶性求参数值，以及利用函数单调性求参数范围，属综合基础题.18．（1）9 ； （2）[﹣2，3]. 【分析】（1）根据函数f （x ）的最小值是f （﹣1）=0，且c=1，求解得a ，b ，即可求解f （2）的值；（2）将a=1，c=0代入，|f （x ）|≤1在区间（0，1]上恒成立，转化为不等式问题求解即可． 【详解】函数f （x ）=ax 2+bx+c （a ＞0，b ∈R ，c ∈R ）． （1）由题意，可得12ba-=-，a ﹣b+1=0， 解得：a=1，b=2； ∴函数f （x ）=x 2+2x+1． 那么f （2）=4+4+1=9；（2）由a=1，c=0，可得f （x ）=x 2+bx ； ∵|f （x ）|≤1在区间（0，1]上恒成立， 即|x 2+bx|≤1令g （x ）=|x 2+bx|=|x （x+b ）|，显然图象过原点，（b ，0）．当b ＜0，g （x ）在区间（0，1]上单调递增，可得g （x ）的图象，（如图） g （x ）max =g （1）=|b+1|≤1 ∴﹣2≤b ＜0当b=0时，可得|x 2|≤1在区间（0，1]上恒成立， 可得：﹣2≤b≤0；当b ＞0，显然g （x ）max =221242b b bg ⎛⎫=+≤ ⎪⎝⎭≥b ＞0综上可得b 的取值范围是[﹣2，3]．【点睛】二次函数为轴对称图形，对称轴为，开口与值有关，开口向上，开口向下，函数与的交点为函数的零点，对称轴的左右两侧的单调性相反，最低点的坐标为.二次函数含参问题，要弄清参数影响的是什么，抓住关键．19．（1）2a =，1b =；（2）1{1}3t t t <-或.本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
2020-2021学年江苏省南京外国语学校高一(上)期中数学试卷及答案
2020-2021学年江苏省南京外国语学校高一（上）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题,每小题3分，共24分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1．（3分）已知集合M＝{x|1＜x＜4}，N＝{1，2，3，4，5}，则M∩N＝（）A．{2，3}B．{1，2，3}C．{1，2，3，4}D．{2，3，6} 2．（3分）“x＞0”是“x2+x＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（3分）下列命题中正确的是（）A．若a＞b，则ac＞bc B．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣dC．若ab＞0，a＞b，则D．若a＞b，c＞d，则4．（3分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）单调递增的函数是（）A．y＝x3B．y＝|x|+1C．y＝|x﹣1|2D．y＝2﹣|x|5．（3分）已知a＝，b＝，c＝，则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b6．（3分）已知函数f（x）的定义域是[﹣2，3]，则f（2x﹣3）的定义域是（）A．[﹣7，3]B．[﹣3，7]C．[，3]D．[﹣，3] 7．（3分）若log5•log36•log6x＝2，则x等于（）A．9B．C．25D．8．（3分）设偶函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，且f（2）＝0，则不等式＞0的解集为（）A．（﹣2，0）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣2，0）∪（0，2）二、多项选择题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）9．（4分）若a＞0，a≠1，则下列说法不正确的是（）A．若log a M＝log a N，则M＝NB．若M＝N，则log a M＝log a NC．若log a M2＝log a N2，则M＝ND．若M＝N，则log a M2＝log a N210．（4分）下列四个命题是真命题的是（）A．函数y＝|x|与函数y＝（）2表示同一个函数B．奇函数的图象一定通过直角坐标系的原点C．函数y＝3（x﹣1）2的图象可由y＝3x2的图象向右平移1个单位得到D．若函数f（+1）＝x+2，则f（x）＝x2﹣1（x≥1）11．（4分）下列说法正确的是（）A．若x＞0，则函数y＝x+有最小值2B．若x，y＞0，x+y＝2，则2x+2y的最大值为4C．若x，y＞0，x+y+xy＝3，则xy的最大值为1D．若a＞0，b＞0，a+b＝1，则+的最小值为412．（4分）对于定义域为D的函数y＝f（x），若f（x）同时满足下列条件：①在D内单调递增或单调递减；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]．那把y＝f（x）（x∈D）称为闭函数．下列函数是闭函数的是（）A．y＝x2+1B．y＝﹣x3C．y＝﹣2D．y＝3x三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.13．（5分）已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x2+，则f（﹣1）＝．14．（5分）已知函数f（x）＝3+2a x﹣1的图象恒过定点P，则点P的坐标是．15．（5分）函数y＝的递减区间是，递增区间是．16．（5分）已知函数f（x）＝2x，x∈R．①若方程|f（x）﹣2|＝m有两个解，则m的取值范围为；②若不等式[f（x）]2+f（x）﹣m＞0在R上恒成立，则m的取值范围为．三、解答题：本大题共5小题，共48分，请把答案填写在答题卡相应位置上17．（8分）计算：（1）（）﹣（）0.5+（0.2）﹣2×﹣（0.081）0；（2）（lg2）3+（1g5）3+3lg2•lg5．18．（10分）设命题p：实数满足（x﹣a）（x﹣3a）＜0，其中a＞0．命题q：实数x满足≤0．（1）当a＝1时，命题p，q都为真，求实数x的取值范围；（2）若p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．19．（10分）某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C （x），当年产量不足80千件时，C（x）＝（万元）．当年产量不小于80千件时，C（x）＝51x+（万元）．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．（Ⅰ）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（Ⅱ）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？20．（10分）已知定义在（﹣1，1）上的奇函数f（x），且当x∈（0，1）时，f（x）＝．（1）求函数f（x）在（﹣1，1）上的解析式；（2）判断并用定义证明f（x）在（0，1）上的单调性；（3）解不等式f（x﹣1）+f（x）＜0．21．（10分）已知函数f（x）＝ax2﹣（a+2）x+2，（a∈R）．（1）f（x）＜3﹣2x恒成立，求实数a的取值范围；（2）当a＞0时，求不等式f（x）≥0的解集；（3）若存在m＞0使关于x的方程f（|x|）＝m++1有四个不同的实根，求实数a的取值范围．2020-2021学年江苏省南京外国语学校高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题,每小题3分，共24分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1．（3分）已知集合M＝{x|1＜x＜4}，N＝{1，2，3，4，5}，则M∩N＝（）A．{2，3}B．{1，2，3}C．{1，2，3，4}D．{2，3，6}【分析】由集合M与N，找出两集合的交集即可．【解答】解：∵集合M＝{x|1＜x＜4}，N＝{1，2，3，4，5}，∴M∩N＝{2，3}．故选：A．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（3分）“x＞0”是“x2+x＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】由x2+x＞0，解得x范围．即可判断出结论．【解答】解：由x2+x＞0，解得x＞0，或x＜﹣1．∴“x＞0”是“x2+x＞0”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（3分）下列命题中正确的是（）A．若a＞b，则ac＞bc B．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣dC．若ab＞0，a＞b，则D．若a＞b，c＞d，则【分析】利用不等式的性质即可判断出结论．【解答】解：A．c＜0时不成立；B．a＞b，c＞d，则a+c＞b+d，因此不正确；C．ab＞0，a＞b，则，正确．D．取a＝2，b＝﹣3，c＝3，d＝﹣3，满足条件a＞b，c＞d，但是不成立．故选：C．【点评】本题主要不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．（3分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）单调递增的函数是（）A．y＝x3B．y＝|x|+1C．y＝|x﹣1|2D．y＝2﹣|x|【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．【解答】解：y＝x3为奇函数，不符合题意；y＝|x|+1为偶函数，当x＞0时y＝x+1单调递增，符合题意；y＝|x﹣1|2＝（x﹣1）2，非奇非偶函数，不符合题意；y＝2﹣|x|＝为偶函数，不符合题意．故选：B．【点评】本题考查函数奇偶性与单调性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．5．（3分）已知a＝，b＝，c＝，则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b【分析】a＝＝，b＝，c＝＝，结合幂函数的单调性，可比较a，b，c，进而得到答案．【解答】解：∵a＝＝，b＝＝（22）＝＜＜a，c＝＝＞＝＝a，综上可得：b＜a＜c，故选：A．【点评】本题考查的知识点是指数函数的单调性，幂函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．6．（3分）已知函数f（x）的定义域是[﹣2，3]，则f（2x﹣3）的定义域是（）A．[﹣7，3]B．[﹣3，7]C．[，3]D．[﹣，3]【分析】根据函数f（x）的定义域得出2x﹣3的取值范围，由此求出f（2x﹣3）的定义域．【解答】解：函数f（x）的定义域是[﹣2，3]，令﹣2≤2x﹣3≤3，解得≤x≤3，所以f（2x﹣3）的定义域是[，3]．故选：C．【点评】本题考查了抽象函数的定义域求法问题，解题时应理解函数定义域的概念，是基础题．7．（3分）若log5•log36•log6x＝2，则x等于（）A．9B．C．25D．【分析】利用对数的换底公式、对数运算性质及其单调性即可得出．【解答】解：∵log5•log36•log6x＝2，∴＝2，化为lgx＝﹣2lg5＝，解得x＝．故选：D．【点评】本题考查了对数的换底公式、对数运算性质及其单调性，属于基础题．8．（3分）设偶函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，且f（2）＝0，则不等式＞0的解集为（）A．（﹣2，0）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣2，0）∪（0，2）【分析】根据函数为偶函数，可将原不等式变形为xf（x）＞0，然后分两种情况讨论：当x＞0时有f（x）＞0，根据函数在（0，+∞）上为减函数，且f（2）＝0，得到0＜x ＜2；当x＜0时有f（x）＜0，结合函数为偶函数的性质与（0，+∞）上的单调性，得x ＜﹣2．【解答】解：∵f（x）是偶函数∴f（﹣x）＝f（x）不等式，即也就是xf（x）＞0①当x＞0时，有f（x）＞0∵f（x）在（0，+∞）上为减函数，且f（2）＝0∴f（x）＞0即f（x）＞f（2），得0＜x＜2；②当x＜0时，有f（x）＜0∵﹣x＞0，f（x）＝f（﹣x）＜f（2），∴﹣x＞2⇒x＜﹣2综上所述，原不等式的解集为：（﹣∞，﹣2）∪（0，2）故选：B．【点评】本题以函数的单调性和奇偶性为载体，考查了抽象不等式的解法，属于基础题．二、多项选择题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）9．（4分）若a＞0，a≠1，则下列说法不正确的是（）A．若log a M＝log a N，则M＝NB．若M＝N，则log a M＝log a NC．若log a M2＝log a N2，则M＝ND．若M＝N，则log a M2＝log a N2【分析】分别根据对数的定义和运算性质即可判断．【解答】解：对于A：若log a M＝log a N，则M＝N，故A正确；对于B：若M＝N＜0，则log a M＝log a N不成立，故B不正确；对于C：若log a M2＝log a N2，则M2＝N2，得不到M＝±N，故C不正确；对于D：若M＝N＝0，则不成立，故D不正确；故选：BCD．【点评】本题考查了对数的定义和对数的运算性质，属于基础题．10．（4分）下列四个命题是真命题的是（）A．函数y＝|x|与函数y＝（）2表示同一个函数B．奇函数的图象一定通过直角坐标系的原点C．函数y＝3（x﹣1）2的图象可由y＝3x2的图象向右平移1个单位得到D．若函数f（+1）＝x+2，则f（x）＝x2﹣1（x≥1）【分析】直接利用函数的定义，函数的值域判定A的结论；利用奇函数的图象判定B的结论，利用函数的图象的平移变换判断C的结论；利用恒等变换的应用求出函数的解析式，主要对定义域进行确定．【解答】解：对于A：函数y＝|x|的定义域为R，函数y＝（）2的定义域为{x|x≥0}，故这两个函数不为示同一个函数，故该命题为假命题；对于B：函数f（x）＝为奇函数，但是函数的图象不经过原点，故B假命题；对于C：函数y＝3（x﹣1）2的图象可由y＝3x2的图象向右平移1个单位得到，符合左加右减的性质，故C为真命题；对于D：函数f（+1）＝x+2＝，所以f（x）＝x2﹣1（x≥1），故D 为真命题．故选：CD．【点评】本题考查的知识要点：函数的解析式，函数的定义，函数的图象的平移变换，奇函数的性质，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．11．（4分）下列说法正确的是（）A．若x＞0，则函数y＝x+有最小值2B．若x，y＞0，x+y＝2，则2x+2y的最大值为4C．若x，y＞0，x+y+xy＝3，则xy的最大值为1D．若a＞0，b＞0，a+b＝1，则+的最小值为4【分析】利用基本不等式逐个选项验证其正误即可．【解答】解：∵x＞0，∴y＝x+≥2，当且仅当x＝时取“＝“，故选项A正确；∵x，y＞0，x+y＝2，∴2x+2y≥2＝2＝4，当且仅当x＝y＝1时取“＝“，故选项B错误；∵x，y＞0，∴x+y+xy＝3≥2+xy，解得：0＜xy≤1，当且仅当x＝y＝1时取“＝“，故选项C正确；∵a＞0，b＞0，a+b＝1，∴+＝（+）（a+b）＝2++≥2+2＝4，当且仅当a ＝b＝时取“＝“，故选项D正确，【点评】本题主要考查基本不等式的应用及解不等式，属于中档题．12．（4分）对于定义域为D的函数y＝f（x），若f（x）同时满足下列条件：①在D内单调递增或单调递减；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]．那把y＝f（x）（x∈D）称为闭函数．下列函数是闭函数的是（）A．y＝x2+1B．y＝﹣x3C．y＝﹣2D．y＝3x【分析】结合选项分别判断函数的单调性，然后结合单调性分别求解满足条件的m，n 是否存在，进行检验即可判断．【解答】解：A：若y＝x2+1在[a，b]上单调递减，则，此时a，b不存在，若y＝x2+1在[a，b]上单调递增，则，此时a，b不存在，A不符合题意；B：若f（x）＝﹣x3在[a，b]上单调递减，根据题意可得，且a＜b，解得，a＝﹣1，b＝1，即存在区间[﹣1，1]满足题意，B符合题意；若f（x）＝，，解得，a＝﹣2，b＝﹣1，故此时存在区间[﹣2，﹣1]满足题意；y＝3x在[a，b]上单调递增，则f（a）＝3a＝a，f（n）＝3b＝b，令g（x）＝3x﹣x，则g′（x）＝3x ln3﹣1，当x＞﹣log3ln3，g′（x）＞0，函数单调递增，当x＜﹣log3ln3，g′（x）＜0，函数单调递减，故当x＝﹣log3ln3时，函数取得最小值f（﹣log3ln3）＝+log3ln3＞0，故函数g（x）没有零点，此时a，b不存在，满足题意．【点评】本题以新定义为载体，综合考查了函数单调性的应用，属于综合性试题．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.13．（5分）已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x2+，则f（﹣1）＝﹣2．【分析】当x＞0时，f（x）＝x2+，可得f（1）．由于函数f（x）为奇函数，可得f（﹣1）＝﹣f（1），即可得出．【解答】解：∵当x＞0时，f（x）＝x2+，∴f（1）＝1+1＝2．∵函数f（x）为奇函数，∴f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查了函数奇偶性，属于基础题．14．（5分）已知函数f（x）＝3+2a x﹣1的图象恒过定点P，则点P的坐标是（1，5）．【分析】令x﹣1＝0求出x的值和此时y的值，从而求出点P的坐标．【解答】解：令x﹣1＝0得：x＝1，此时y＝3+2a0＝3+2＝5，∴函数f（x）的图象恒过定点（1，5），即点P（1，5），故答案为：（1，5）．【点评】本题主要考查了指数型函数过定点问题，令a的指数整体等于0是本题的解题关键，是基础题．15．（5分）函数y＝的递减区间是（﹣∞，﹣1]，递增区间是[3，+∞）．【分析】先求出该函数定义域为{x|x≤﹣1，或x≥3}，可以看出该函数的单调区间和函数y＝x2﹣2x﹣3在定义域上的单调区间一致，根据二次函数单调区间的求法即可得出该函数的单调区间．【解答】解：解x2﹣2x﹣3≥0得，x≤﹣1，或x≥3；函数y＝x2﹣2x﹣3在（﹣∞，﹣1]上单调递减，在[3，+∞）上单调递增；∴该函数的递减区间为（﹣∞，﹣1]，递增区间为[3，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣1]，[3，+∞）．【点评】考查解一元二次不等式，复合函数单调区间的求法，以及二次函数单调区间的求法．16．（5分）已知函数f（x）＝2x，x∈R．①若方程|f（x）﹣2|＝m有两个解，则m的取值范围为（0，2）；②若不等式[f（x）]2+f（x）﹣m＞0在R上恒成立，则m的取值范围为（﹣∞，0]．【分析】①转化为y＝|2x﹣2|的图象与直线y＝m有两个交点，通过图象可得所求范围；②由题意可得m＜（2x）2+2x恒成立，由指数函数的值域和恒成立思想可得m的范围．【解答】解：①若方程|f（x）﹣2|＝m有两个解，即为y＝|2x﹣2|的图象与直线y＝m有两个交点，可得m的范围是（0，2）；②若不等式[f（x）]2+f（x）﹣m＞0在R上恒成立，即为m＜（2x）2+2x恒成立，由2x＞0，（2x）2+2x＝（2x+）2﹣＞0，可得m≤0，即m的取值范围是（﹣∞，0]．故答案为：（0，2）；（﹣∞，0]．【点评】本题考查指数函数的图象和性质，以及不等式恒成立问题解法，考查数形结合思想和转化思想，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共48分，请把答案填写在答题卡相应位置上17．（8分）计算：（1）（）﹣（）0.5+（0.2）﹣2×﹣（0.081）0；（2）（lg2）3+（1g5）3+3lg2•lg5．【分析】（1）根据指数的运算性质即可求出．（2）根据对数的运算性质即可求出．【解答】解：（1）原式＝﹣+25×﹣1＝﹣+2﹣1＝﹣；（2）原式＝（lg2+lg5）（lg22﹣lg2lg5+lg25）+3lg2lg5，＝lg22﹣lg2lg5+lg25+3lg2lg5，＝lg22+lg25+2lg2lg5，＝（lg2+lg5）2，＝1．【点评】本题考查了对数的运算性质和指数的运算性质，属于基础题．18．（10分）设命题p：实数满足（x﹣a）（x﹣3a）＜0，其中a＞0．命题q：实数x满足≤0．（1）当a＝1时，命题p，q都为真，求实数x的取值范围；（2）若p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【分析】（1）p，q均为真命题，把a＝1代入，分别计算范围得到答案．（2）p是￢q的充分不必要条件，根据表示范围关系解得答案．【解答】解：p：实数x满足（x﹣a）（x﹣3a）＜0，其中a＞0，解得a＜x＜3a．命题q：实数x满足≤0，解得2＜x≤3．（1）a＝1时，p：1＜x＜3．命题p，q都为真，则，解得2＜x＜3．故实数x的取值范围是（2，3）．（2）∵p是￢q的充分不必要条件，￢q：（﹣∞，2]∪（3，+∞），则3a≤2，或a≥3，解得0＜a≤或a≥3．故实数a的取值范围是（0，]∪[3，+∞）．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件，同时考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．19．（10分）某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C（x），当年产量不足80千件时，C（x）＝（万元）．当年产量不小于80千件时，C（x）＝51x+（万元）．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．（Ⅰ）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（Ⅱ）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？【分析】（Ⅰ）分两种情况进行研究，当0＜x＜80时，投入成本为C（x）＝（万元），根据年利润＝销售收入﹣成本，列出函数关系式，当x≥80时，投入成本为C（x）＝51x+，根据年利润＝销售收入﹣成本，列出函数关系式，最后写成分段函数的形式，从而得到答案；（Ⅱ）根据年利润的解析式，分段研究函数的最值，当0＜x＜80时，利用二次函数求最值，当x≥80时，利用基本不等式求最值，最后比较两个最值，即可得到答案．【解答】解：（Ⅰ）∵每件商品售价为0.05万元，∴x千件商品销售额为0.05×1000x万元，①当0＜x＜80时，根据年利润＝销售收入﹣成本，∴L（x）＝（0.05×1000x）﹣﹣10x﹣250＝﹣+40x﹣250；②当x≥80时，根据年利润＝销售收入﹣成本，∴L（x）＝（0.05×1000x）﹣51x﹣+1450﹣250＝1200﹣（x+）．综合①②可得，L（x）＝．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，①当0＜x＜80时，L（x）＝﹣+40x﹣250＝﹣，∴当x＝60时，L（x）取得最大值L（60）＝950万元；②当x≥80时，L（x）＝1200﹣（x+）≤1200﹣2＝1200﹣200＝1000，当且仅当x＝，即x＝100时，L（x）取得最大值L（100）＝1000万元．综合①②，由于950＜1000，∴当产量为100千件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为1000万元．【点评】考查学生根据实际问题选择合适的函数类型的能力，以及运用基本不等式求最值的能力．20．（10分）已知定义在（﹣1，1）上的奇函数f（x），且当x∈（0，1）时，f（x）＝．（1）求函数f（x）在（﹣1，1）上的解析式；（2）判断并用定义证明f（x）在（0，1）上的单调性；（3）解不等式f（x﹣1）+f（x）＜0．【分析】】（1）设x∈（﹣1，0），则﹣x∈（0，1），由函数为奇函数，可求函数的解析式；（2）f（x）在（0，1）上单调递增，利用增函数的定义证明即可；（3）由函数的奇偶性和单调性将不等式转化为﹣1＜x﹣1＜﹣x＜1，解之即可得结论．【解答】解：（1）设x∈（﹣1，0），则﹣x∈（0，1），∵f（x）是奇函数，∴f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣＝﹣，∵f（0）＝0，∴f（x）＝．（2）f（x）在（0，1）上单调递增，证明如下：任取﹣1＜x1＜x2＜1，f（x1）﹣f（x2）＝2﹣＝，∵0＜x1＜x2＜1，∴0＜＜，则，f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），故f（x）在（﹣1，1）上单调递增，则f（x）在（0，1）单调递增．（3）由f（x）为奇函数可得f（x）＝﹣f（x），则f（x﹣1）＜f（﹣x），由f（x）在（﹣1，1）上单调递增，可得﹣1＜x﹣1＜﹣x＜1，解得0＜x＜，即不等式的解集为（0，）．【点评】本题考查函数的单调性证明以及利用函数的奇偶性求函数的解析式，属于中档题．21．（10分）已知函数f（x）＝ax2﹣（a+2）x+2，（a∈R）．（1）f（x）＜3﹣2x恒成立，求实数a的取值范围；（2）当a＞0时，求不等式f（x）≥0的解集；（3）若存在m＞0使关于x的方程f（|x|）＝m++1有四个不同的实根，求实数a的取值范围．【分析】（1）由f（x）＜3﹣2x恒成立，即ax2﹣（a+2）x+2＜3﹣2x恒成立，转化为二次不等式问题，对a进行讨论可得实数a的取值范围；（2）将f（x）因式分解，对a进行讨论，可得不等式f（x）≥0的解集；（3）令t＝m++1，求解t的最小值，有四个不同的实根，即y＝t与f（|x|）有4个交点，即可求解实数a的取值范围．【解答】解：（1）由f（x）＜3﹣2x恒成立，即ax2﹣（a+2）x+2＜3﹣2x恒成立，可得ax2﹣ax﹣1＜0恒成立，当a＝0时，﹣1＜0恒成立，满足题意；当a≠0时，要使ax2﹣ax﹣1＜0恒成立，则，即，解得﹣4＜a＜0．综上，可得实数a的取值范围是（﹣4，0]．（2）函数f（x）＝ax2﹣（a+2）x+2≥0即（ax﹣2）（x﹣1）≥0当a＝2时，可得（x﹣1）2≥0，不等式的解集为R；当0＜a＜2时，原不等式的解集为（﹣∞，1]∪[，+∞）；当a＞2时，原不等式的解集为（﹣∞，]∪[1，+∞）；（3）令t＝m++1，则t≥3，由方程f（|x|）＝m++1有四个不同的实根，即y＝t与f（|x|）有4个不同的交点，当a＝0，显然y＝t与f（|x|）不能有4个不同的交点，当a＞0，作出f（|x|）的图象（如图），从图象，显然y＝t与f（|x|）不能有4个不同的交点，当a＜0，作出f（|x|）的图象（如图），从图象可得：当x＝±时，f（|x|）取得最大值为，要使y＝t与f（|x|）能有4个不同的交点，则＞3．即（a+2）2＞﹣4a，解得a或，∴综上，可知实数a的取值范围（﹣∞，﹣）∪（2，0）．【点评】本题考查了函数的零点，不等式的解法，讨论思想，同时考查了学生的作图能力，属于中档题．。
2020-2021南京外国语中学高中必修一数学上期中第一次模拟试卷(附答案)
2020-2021南京外国语中学高中必修一数学上期中第一次模拟试卷(附答案)一、选择题1．函数()2312x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点所在的区间为（ ）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,42．函数()log a x x f x x=（01a <<）的图象大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．3．如图，点O 为坐标原点，点(1,1)A ，若函数xy a =及log b y x =的图象与线段OA 分别交于点M ，N ，且M ，N 恰好是线段OA 的两个三等分点，则a ，b 满足．A ．1a b <<B ．1b a <<C ．1b a >>D ．1a b >>4．设0.13592,ln ,log 210a b c ===，则,,a b c 的大小关系是 A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>5．对于实数x ，规定[]x 表示不大于x 的最大整数，那么不等式[][]2436450x x -+<成立的x 的取值范围是（ ） A ．315,22⎛⎫⎪⎝⎭ B ．[]28, C ．[)2,8 D ．[]2,76．函数()sin lg f x x x =-的零点个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．37．设集合{1,2,3},{2,3,4}A B ==，则A B =UA ．{}123,4，，B ．{}123，，C ．{}234，，D ．{}134，， 8．若函数2()sin ln(14f x x ax x =⋅+的图象关于y 轴对称，则实数a 的值为（ ） A ．2B ．2±C ．4D ．4±9．函数3222x xx y -=+在[]6,6-的图像大致为 A ． B ．C ．D ．10．函数()2log ,0,2,0,xx x f x x ⎧>=⎨≤⎩则函数()()()2384g x fx f x =-+的零点个数是（ ）A ．5B ．4C ．3D ．611．函数()245f x x x =-+在区间[]0,m 上的最大值为5，最小值为1，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[)2,+∞B ．[]2,4C ．[]0,4D ．(]2,412．已知函数21,0,()|log ,0,x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪⎩若函数()y f x a =-有四个零点1x ，2x ，3x ，4x ，且12x x <3x <4x <，则312342()x x x x x ++的取值范围是（ ） A ．(0,1)B ．(1,0)-C ．(0,1]D ．[1,0)-二、填空题13．若不等式|3|4x b -<的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b 的取值范围是14．设函数10()20xx x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是____________.15．若函数()f x 满足()3298f x x +=+，则()f x 的解析式是_________. 16．若42x ππ<<，则函数3tan 2tan y x x =的最大值为 ．17．函数的定义域为______________．18．如果函数221xx y a a =+-（0a >，且1a ≠）在[]1,1-上的最大值是14，那么a 的值为__________.19．已知函数()log (4)a f x ax =-（0a >，且1a ≠）在[0,1]上是减函数，则a 取值范围是_________．20．定义在[3,3]-上的奇函数()f x ，已知当[0,3]x ∈时，()34()x x f x a a R =+⋅∈，则()f x 在[3,0]-上的解析式为______．三、解答题21．已知函数()()()3 01a f x log ax a a -≠＝＞且 ．（1）当[]02x ∈，时，函数()f x 恒有意义，求实数a 的取值范围； （2）是否存在这样的实数a ，使得函数f （x ）在区间[]12，上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由． 22．已知3a ≥，函数F （x ）=min{2|x−1|，x 2−2ax+4a−2}，其中min{p ，q}={,.p p q q p q ，，≤> （Ⅰ）求使得等式F （x ）=x 2−2ax+4a−2成立的x 的取值范围； （Ⅱ）（ⅰ）求F （x ）的最小值m （a ）； （ⅱ）求F （x ）在区间[0,6]上的最大值M （a ）.23．某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W （单位：千克）与施用肥料x （单位：千克）满足如下关系：()253,02()50,251x x W x x x x⎧+≤≤⎪=⎨<≤⎪+⎩，肥料成本投入为10x 元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）20x 元．已知这种水果的市场售价大约为15元／千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为()f x （单位：元）． （Ⅰ）求()f x 的函数关系式；（Ⅱ）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大?最大利润是多少?24．设集合222{|40},{|2(1)10}A x x x B x x a x a =+==+++-=，若A ∩B=B ，求a 的取值范围．25．已知函数()2(0,)af x x x a R x=+≠∈.（1）判断()f x 的奇偶性；（2）若()f x 在[)2,+∞是增函数，求实数a 的范围. 26．已知集合A={x|x ＜-1，或x ＞2}，B={x|2p-1≤x≤p+3}． （1）若p=12，求A∩B； （2）若A∩B=B，求实数p 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】判断函数()2312x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，求出f （0）=-4，f （1）=-1，f （2）=3＞0，即可判断． 【详解】∵函数()2312x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，∴f（0）=-4，f （1）=-1，f （2）=7＞0，根据零点的存在性定理可得出零点所在的区间是()1,2， 故选B ． 【点睛】本题考查了函数的单调性，零点的存在性定理的运用，属于容易题．2．C解析：C 【解析】 【分析】确定函数是奇函数，图象关于原点对称，x ＞0时，f （x ）＝log a x （0＜a ＜1）是单调减函数，即可得出结论． 【详解】由题意，f （﹣x ）＝﹣f （x ），所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B 、D ； x ＞0时，f （x ）＝log a x （0＜a ＜1）是单调减函数，排除A ．故选C ． 【点睛】本题考查函数的图象，考查函数的奇偶性、单调性，正确分析函数的性质是关键．3．A解析：A 【解析】 【分析】由,M N 恰好是线段OA 的两个三等分点，求得,M N 的坐标，分别代入指数函数和对数函数的解析式，求得,a b 的值，即可求解. 【详解】由题意知(1,1)A ，且,M N 恰好是线段OA 的两个三等分点，所以11,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，22,33N ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 把11,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入函数xy a =，即1313a =，解得127a =，把22,33N ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入函数log b y x =，即22log 33b =，即得3222639b ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以1a b <<. 故选A. 【点睛】本题主要考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用，其中解答熟练应用指数函数和对数函数的解析式求得,a b 的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4．A解析：A 【解析】 试题分析：，，即，，．考点：函数的比较大小．5．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】分析：先解一元二次不等式得315[]22x <<，再根据[]x 定义求结果. 详解：因为[][]2436450x x -+<，所以315[]22x << 因为[][]2436450x x -+<，所以28x ≤<, 选C.点睛：本题考查一元二次不等式解法以及取整定义的理解，考查基本求解能力.6．D解析：D 【解析】 【分析】画出函数图像，根据函数图像得到答案. 【详解】如图所示：画出函数sin y x =和lg y x =的图像，共有3个交点. 当10x >时，lg 1sin x x >≥，故不存在交点. 故选：D .【点睛】本题考查了函数的零点问题，画出函数图像是解题的关键.7．A解析：A 【解析】由题意{1,2,3,4}A B =U ，故选A. 点睛:集合的基本运算的关注点：(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图．8．B解析：B【分析】根据图象对称关系可知函数为偶函数，得到()()f x f x =-，进而得到ax +=.【详解】()f x Q 图象关于y 轴对称，即()f x 为偶函数 ()()f x f x ∴=-即：()sin ln sin lnsin lnx ax x ax x ⋅+=-⋅=⋅ax ∴+=恒成立，即：222141x a x +-=24a ∴=，解得：2a =± 本题正确选项：B 【点睛】本题考查根据函数的奇偶性求解参数值的问题，关键是能够明确恒成立时，对应项的系数相同，属于常考题型.9．B解析：B 【解析】 【分析】由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由(4)f 的近似值即可得出结果． 【详解】设32()22x x x y f x -==+，则332()2()()2222x x x xx x f x f x ----==-=-++，所以()f x 是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C ．又34424(4)0,22f -⨯=>+排除选项D ；36626(6)722f -⨯=≈+，排除选项A ，故选B ． 【点睛】本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．10．A解析：A 【解析】 【分析】通过对()g x 式子的分析，把求零点个数转化成求方程的根，结合图象，数形结合得到根的个数，即可得到零点个数．函数()()()2384g x f x f x =-+=()()322f x f x --⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的零点即方程()23f x =和()2f x =的根， 函数()2log ,0,2,0x x x f x x ⎧>=⎨≤⎩的图象如图所示：由图可得方程()23f x =和()2f x =共有5个根， 即函数()()()2384g x f x f x =-+有5个零点,故选：A . 【点睛】本题考查函数的零点与方程的根的个数的关系，注意结合图象，利用数形结合求得结果时作图很关键，要标准．11．B解析：B 【解析】 【分析】由函数的解析式可得函数f （x ）＝x 2﹣4x +5＝（x ﹣2）2+1的对称轴为x ＝2，此时，函数取得最小值为1，当x ＝0或x ＝4时，函数值等于5，结合题意求得m 的范围． 【详解】∵函数f （x ）＝x 2﹣4x +5＝（x ﹣2）2+1的对称轴为x ＝2，此时，函数取得最小值为1， 当x ＝0或x ＝4时，函数值等于5．且f （x ）＝x 2﹣4x +5在区间[0，m ]上的最大值为5，最小值为1， ∴实数m 的取值范围是[2，4]， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质应用，利用函数图像解题是关键，属于中档题．12．C解析：C 【解析】作出函数函数()21,0,|log ,0,x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪⎩的图象如图所示，由图象可知，123442,1,12x x x x x +=-=<≤， ∴ ()312334422222x x x x x x x ++=-+=-+， ∵422y x =-+在412x <≤上单调递增， ∴41021x <-+≤，即所求范围为(]0,1。
江苏省2020-2021学年高一上学期数学期中试题汇编04：函数的概念与性质【填选题】(答案版)
8.（江苏省南京市第十二中学2020-2021学年上学期期中4）下面各组函数中表示同个函数的是（）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】B
【解析】对于A， 的定义域为 ，而 的定义域为 ，两函数的定义域不相同，所以不是同一函数；
对于B，两个函数的定义域都为 ，定义域相同， ，所以这两个函数是同一函数；
A.0B.2
C.4D.-2
【答案】B
【解析】取 ，则 ，
因为函数为奇函数，则 ， 即 ，
整理可得 ，即 .故选：B
10.（江苏省南通市西亭高级中学2020-2021学年上学期期中4）已知函数 ，若 ＝10，则实数a的值为（）
A 5B.9C.10D.11
【答案】B
【解析】由 ，令 ，则 .
因为 ，所以a=9.故选：B
A．－4 B．5 C．14 D．23
【答案】C
【解析】由题意可设 ，则当 时， 单调，且 ≥0恒成立，因为 的对称轴方程为 ，则 或 ，解得6≤a≤17或－3≤a≤－2，即 ，则只有14满足题意，故答案选C.
23.（江苏省南通市西亭高级中学2020-2021学年上学期期中6）已知 是偶函数，且其定义域为 ，则 的值是（）
【答案】C
【解析】满足条件的函数的定义域为 、 、 、 、 、 、 、 、 ，共 个.故选：C.
18.（江苏省南京市南师附中2020-2021学年上学期期中5）函数 的值域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
19.（江苏省南通市西亭高级中学2020-2021学年上学期期中5）已知函数 的值域是（）
C.[－4，－1]∪[0，2]D.(－∞，－1]∪[0，2]
2021年南京南外高一上数学期中考试真题和答案
2021-2022学年度第一学期期中高一年级数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题,每小题3分，共24分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上 1. 已知集合{}25A x x =−≤≤，{}1B x x =≥，则A B =（ ）．A. []1,5B. []2,1−C. [)2,1−D. ()2,1−2. 若,,a b c ∈R ，则下列说法正确的是（ ）A. 若a b >，则22a b >B. 若c a <，则cb ab <C. 若0ab ≠且a b <，则11a b> D. 若a b >，则a c b c +>+3. 已知0a >=（ ）A. aB. 52aC. 54aD. 38a4. 已知正数,a b 满足4a b +=，则ab 的最大值为（ ）．A.B. 1C. 2D. 45. 设:p x a <，:01q x <<，若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是（ ）．A. 0a ≤B. 0a >C. 12a ≥D. 1a ≥6. 下列函数是奇函数且在()0,+∞上是增函数的是（ ）．A. 13y x = B. 1y x x=+C. y x =D. 3y x −=7. 已知偶函数()f x ，当0x ≥时，()22f x x x =−，则不等式()0f x x<的解集是（ ）． A. ()2,2−B. ()(),20,2−∞−C. ()()2,02,−+∞D. ()(),22,−∞−+∞8. 二次函数26y x x m =−+的两个零点都在区间()2,+∞内，则m 的取值范围为（ ）．A. 9m <B. 89m <<C. 09m <<D. 8m ≥二、多项选择题：（本大题共4小题,每小题4分，共16分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分） 9. 下图表示赵红的体重与年龄的关系，下列说法正确的是（ ）．A. 赵红出生时的体重为4kgB. 赵红的体重随年龄的增长而增加C. 赵红25岁之后，体重不变D. 赵红体重增加最快的时期是0-15岁10. 下列说法正确的是（ ）．A. 0y x =与1y =是同一函数B. 若0,0x y >>，则()lg lg lg x y x y +=+C. 当0x <时，12x x+≤− D. 正数,x y 满足1x y +=，则14x y+的最小值为911. 已知函数()[]()22412,2f x x x =+∈−，下列说法正确的是（ ）．A. ()15f =B. ()f x 为偶函数C. ()1f x −的图像关于1x =对称D. ()f x 的定义域为[]1,1−12. 已知函数()f x =，()g x ，下列说法正确的是（ ）．A. ()()f x g x 的最大值为1B. ()()2f x g x −的值域为⎡⎣C. ()()f x g x +的最大值为2D.()()f xg x 在()1,3上单调递减三、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上 13. 若函数()f x 满足()()(),,x y f xy f x f y ∀∈=R ，写出一个符合要求的解析式()f x = ．14. 设m 为实数，若函数()()22f x x mx m x =−++∈R 是偶函数，则m 的值为 ．15. 已知,a b 是方程()2110lg log 60x x −−=的两个实数根，则log log a b b a += ．16. 函数()33f x x x =+−−是R 上的 函数（用“奇”、“偶”、“非奇非偶”填空），若()()2145f a f a >−，则实数a 的取值范围是 ．年龄/岁40三、解答题：本大题共5小题，共48分，请把答案填写在答题卡相应位置上 17. （本题8分）计算：⑴()2ln 230.125e −++⑵ ()22lg5lg 2lg50lg 2lg 0.1+++．18. （本题10分）已知集合01x a A x x ⎧−⎫=<⎨⎬+⎩⎭，()(){}10B x x t x t =−−−>．⑴ 若集合(),3A b =，求a b +的值； ⑵ 若1a =且A B =R ，求t 的取值范围．19. （本题10分）某兴趣小组开展关于市区道路上车流速度v （单位：千米/小时）与车流密度x （单位：辆/千米）关系的研究，研究表明：当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，当20170x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数，当车流密度为170辆/千米时，车流速度为10千米/小时． ⑴ 当0170x ≤≤时，求函数()v x 的解析式：⑵ 已知车流量()f x vx =（单位时间内通过路上某观察点的车辆数，单位：辆/小时），当车流密度[]()20,170x x ∈为多少时，车流量最小并求出最小值．20. （本题10分）已知函数()f x =A . ⑴当4a =时，写出()f x 单调增区间； ⑵若A =R ，求a 的取值范围； ⑶若[]1,4A ⊆，求a 的取值范围．21. （本题10分）已知函数()1xf x x =+． ⑴ 判断()f x 在[)0,+∞上的单调性并用定义证明；⑵ 判断下列说法的正误：（正确的在括号里打√，错误的在括号里打×）； ① ()f x 是奇函数（ ）； ② ()f x 在R 上单调递增（ ）； ③ ()f x 的值域为R （ ）； ④ 不等式()12f x >的解集为()1,+∞（ ）； ⑤ x ∀∈R ，()()10f x f x +−>（ ）； ⑥ x ∃∈R ，()()32112f x f x x +−−+=（ ）；⑦ 不等式()0f x ax −>有解的充要条件是11a −<<（ ）； ⑧ 关于x 的方程()af x x=在[)1,+∞上有解的充要条件是0a >（ ）．2021-2022数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题,每小题3分，共24分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上 1. 已知集合{}25A x x =−≤≤，{}1B x x =≥，则A B =（ ）．A. []1,5B. []2,1−C. [)2,1−D. ()2,1−【答案】A ；【解析】[]1,5A B =，故选A ．2. 若,,a b c ∈R ，则下列说法正确的是（ ）A. 若a b >，则22a b >B. 若c a <，则cb ab <C. 若0ab ≠且a b <，则11a b> D. 若a b >，则a c b c +>+【答案】D ；【解析】根据不等式性质可知只有D 正确．3. 已知0a >=（ ）A. aB. 52aC. 54aD. 38a【答案】C ；135244a a a ⨯=，故选C ．4. 已知正数,a b 满足4a b +=，则ab 的最大值为（ ）．A.B. 1C. 2D. 4【答案】D ； 【解析】()244a b ab +≤=，当且仅当2a b ==时取等，故选D ．5. 设:p x a <，:01q x <<，若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是（ ）．A. 0a ≤B. 0a >C. 12a ≥D. 1a ≥【答案】D ；【解析】由题意得:p a x a −<<，且()()0,1,a a ⊆−，故选D ．6. 下列函数是奇函数且在()0,+∞上是增函数的是（ ）．A. 13y x = B. 1y x x=+C. y x =D. 3y x −=【答案】A ；【解析】ABD 为奇函数，AC 在()0,+∞增，故选A ．7. 已知偶函数()f x ，当0x ≥时，()22f x x x =−，则不等式()0f x x<的解集是（ ）． A. ()2,2−B. ()(),20,2−∞−C. ()()2,02,−+∞D. ()(),22,−∞−+∞【答案】B ；【解析】由题意可知，0x <时，()22f x x x =+，()0f x x<，得()(),20,2x ∈−∞−，故选B ．8. 二次函数26y x x m =−+的两个零点都在区间()2,+∞内，则m 的取值范围为（ ）．A. 9m <B. 89m <<C. 09m <<D. 8m ≥【答案】B ；【解析】依题意可知，023640322120m x m ⎧∆=−>⎪=>⎨⎪−+>⎩，解得89m <<，故选B ．二、多项选择题：（本大题共4小题,每小题4分，共16分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分） 9. 下图表示赵红的体重与年龄的关系，下列说法正确的是（ ）．A. 赵红出生时的体重为4kgB. 赵红的体重随年龄的增长而增加C. 赵红25岁之后，体重不变年龄/岁40D. 赵红体重增加最快的时期是0-15岁 【答案】AD ；【解析】由图可知BC 错误明显，故选AD ．10. 下列说法正确的是（ ）．A. 0y x =与1y =是同一函数B. 若0,0x y >>，则()lg lg lg x y x y +=+C. 当0x <时，12x x+≤− D. 正数,x y 满足1x y +=，则14x y+的最小值为9 【答案】CD ；【解析】A 选项，定义域不同，故A 错误；B 选项，()lg lg lg xy x y =+，故B 错误；C 选项，0x <时，()112x x x x ⎡⎤⎛⎫+=−−+−≤− ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，1x =−时取等，故C 正确； D 选项，()14149x y x y x y ⎛⎫+=++≥ ⎪⎝⎭，1323x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时取等，故D 正确， 故选CD ．11. 已知函数()[]()22412,2f x x x =+∈−，下列说法正确的是（ ）．A. ()15f =B. ()f x 为偶函数C. ()1f x −的图像关于1x =对称D. ()f x 的定义域为[]1,1−【答案】BC ；【解析】由题意可知，()[]()214,4f x x x =+∈−，A 选项，()12f =，故A 错误；B 选项，()()f x f x −=，故B 正确；C 选项，()1f x −由偶函数()f x 向右平移1个单位所得，故C 正确；D 选项，()f x 定义域为[]4,4−，故D 错误； 故选BC ．12. 已知函数()1f x x =−，()g x ，下列说法正确的是（ ）．A. ()()f x g x 的最大值为1B. ()()2f x g x −的值域为⎡⎣C. ()()f x g x +的最大值为2D.()()f xg x 在()1,3上单调递减【答案】ABC ；【解析】A 选项，()()[]1,3f x g x x ==∈，故A 正确；B 选项，()()[]21,3f x g x x −=∈，递增，值域⎡⎣，故B 正确；C 选项，()()2f x g x +==，当且仅当2x =时取等，故C 正确；D 选项，()()f xg x ==()1,3递增，故D 错误； 故选ABC ．三、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上 13. 若函数()f x 满足()()(),,x y f xy f x f y ∀∈=R ，写出一个符合要求的解析式()f x = ． 【答案】x ；【解析】任意R 上幂函数均符合要求．14. 设m 为实数，若函数()()22f x x mx m x =−++∈R 是偶函数，则m 的值为 ． 【答案】0；【解析】偶函数，有()()f x f x −=，即0mx =恒成立，得0m =．15. 已知,a b 是方程()2110lg log 60x x −−=的两个实数根，则log log a b b a += ．【答案】136−； 【解析】()2lg lg 60x x +−=，韦达定理得lg lg 1lg lg 6a b a b +=−⎧⎨=−⎩，则有()2lg lg 2lg lg lg lg 13log log lg lg lg lg 6a b a b a b b a b a a b a b +−+=+==−．16. 函数()33f x x x =+−−是R 上的 函数（用“奇”、“偶”、“非奇非偶”填空），若()()2145f a f a >−，则实数a 的取值范围是 ．【答案】奇函数；115a >； 【解析】由()()3333f x x x x x f x −=−+−−−=−−+=−，可知为奇函数，且()6,3332,336,3x f x x x x x x −<−⎧⎪=+−−=−≤≤⎨⎪>⎩，由()()2145f a f a >−，可知需21451453a a a ⎧−<⎨−<⎩，解得115a >．三、解答题：本大题共5小题，共48分，请把答案填写在答题卡相应位置上 17. （本题8分）计算： ⑴()2ln 230.125e −++⑵ ()22lg5lg 2lg50lg 2lg 0.1+++． 【答案】⑴ 1−；⑵ 1．【解析】⑴ 原式24251=−++−=−；⑵ 原式2lg52lg 211=+−=．18. （本题10分）已知集合01x a A x x ⎧−⎫=<⎨⎬+⎩⎭，()(){}10B x x t x t =−−−>．⑴ 若集合(),3A b =，求a b +的值； ⑵ 若1a =且A B =R ，求t 的取值范围． 【答案】⑴ 2a b +=；⑵ 10t −<<．【解析】⑴ 由()(){}()10,3A x x a x b =−+<=，可知31a b =⎧⎨=−⎩，则有2a b +=；⑵ 由1a =，可知()101,11x A x x ⎧−⎫=<=−⎨⎬+⎩⎭，且()(),1,B t t =−∞++∞，AB =R ，则有111tt −<⎧⎨+<⎩，解得10t −<<．19. （本题10分）某兴趣小组开展关于市区道路上车流速度v （单位：千米/小时）与车流密度x （单位：辆/千米）关系的研究，研究表明：当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，当20170x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数，当车流密度为170辆/千米时，车流速度为10千米/小时． ⑴ 当0170x ≤≤时，求函数()v x 的解析式：⑵ 已知车流量()f x vx =（单位时间内通过路上某观察点的车辆数，单位：辆/小时），当车流密度[]()20,170x x ∈为多少时，车流量最小并求出最小值． 【答案】⑴ ()60,020200,2017033x v x x x ≤<⎧⎪=⎨−+≤≤⎪⎩；⑵ 车流密度20辆/千米时，最小车流量为1200辆/小时．【解析】⑴ 设20170x ≤≤时，()v x kx b =+，由()()20206017017010v k b v k b ⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩，解得132003k b ⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故()60,020200,2017033x v x x x ≤<⎧⎪=⎨−+≤≤⎪⎩；⑵ 当[]20,170x ∈时，()220033x xf x vx ==−+，()()min 201200f x f ==，故车流密度20辆/千米时，最小车流量为1200辆/小时．20. （本题10分）已知函数()f x =A.⑴当4a =时，写出()f x 单调增区间；⑵若A =R ，求a 的取值范围；⑶若[]1,4A ⊆，求a 的取值范围．【答案】⑴ 1,2⎛⎫−+∞ ⎪⎝⎭；⑵ 04a ≤≤；⑶ 120a ≥−；【解析】⑴ 4a =，()f x ==，函数在1,2⎛⎫−+∞ ⎪⎝⎭单调递增； ⑵ 依题意可知，210ax ax ++≥对x ∀∈R 恒成立，可知：当0a =时，不等式恒成立，当0a ≠时，有2040a a a >⎧⎨∆=−≤⎩，解得04a <≤， 综上所述，04a ≤≤；⑶ 依题意可知，210ax ax ++≥对[]1,4x ∀∈恒成立，分参得21a x x ≥−+对[]1,4x ∀∈恒成立， 设()21g x x x=−+，函数在[]1,4x ∈递增， 故()()max 1420g x g ==−，可知120a ≥−．21. （本题10分）已知函数()1x f x x =+． ⑴ 判断()f x 在[)0,+∞上的单调性并用定义证明；⑵ 判断下列说法的正误：（正确的在括号里打√，错误的在括号里打×）； ① ()f x 是奇函数（ ）；② ()f x 在R 上单调递增（ ）；③ ()f x 的值域为R （ ）；④ 不等式()12f x >的解集为()1,+∞（ ）；⑤ x ∀∈R ，()()10f x f x +−>（ ）；⑥ x ∃∈R ，()()32112f x f x x +−−+=（ ）；⑦ 不等式()0f x ax −>有解的充要条件是11a −<<（ ）；⑧ 关于x 的方程()a f x x=在[)1,+∞上有解的充要条件是0a >（ ）． 【答案】⑴ 单调递增；⑵ 详见解析；【解析】⑴ 依题意可知()()1x f x f x x −−==−−+，可知函数为奇函数， 考虑0x ≥的单调性，()1111x f x x x ==−++，设120x x ≤<， 则有()()()()212112*********x x f x f x x x x x −−=−=>++++， 可知其在[)0,+∞单调递增；⑵ 函数为奇函数，①正确；R 上单调增，②正确；由0x ≥时()1111f x x =−<+，可知值域为()1,1−，③错误； 由11112x −>+，解得1x >，④正确； 由单调增，可知()()()11f x f x f x >−=−−，⑤正确；值域()1,1−，⑥错误；显然0a <时不等式均有解，⑦错误；13a =时方程在[)1,+∞无解（充要条件为12a ≥），⑧错误； 综上，①②④⑤正确，其余错误．。
2020-2021南京河西外国语学校高中必修一数学上期中试卷附答案
2020-2021南京河西外国语学校高中必修一数学上期中试卷附答案一、选择题1．设集合{1,2,3,4}A =，{}1,0,2,3B =-，{|12}C x R x =∈-≤<，则()A B C =U IA ．{1,1}-B ．{0,1}C ．{1,0,1}-D ．{2,3,4}2．在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，则“cos cos a A b B =”是“ABC ∆是以A 、B 为底角的等腰三角形”的（ ）. A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件3．1()xf x e x=-的零点所在的区间是（ ） A ．1(0,)2B ．1(,1)2C ．3(1,)2D ．3(,2)24．设log 3a π=，0.32b =，21log 3c =，则（ ） A ．a c b >>B ．c a b >>C ．b a c >>D ．a b c >>5．函数223()2xx xf x e +=的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知函数(),1log ,1x a a x f x x x ⎧≤=⎨>⎩（1a >且1a ≠），若()12f =，则12f f⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ）A ．1-B ．12- C ．12 D 27．函数3222x xx y -=+在[]6,6-的图像大致为A ．B ．C ．D ．8．三个数0.377,0.3,ln 0.3a b c ===大小的顺序是（ ） A ．a c b >> B ．a b c >> C ．b a c >> D ．c a b >>9．已知集合{|20}A x x =-<，{|}B x x a =<，若A B A =I ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(,2]-∞-B ．[2,)+∞C ．(,2]-∞D ．[2,)-+∞10．函数()245f x x x =-+在区间[]0,m 上的最大值为5，最小值为1，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[)2,+∞B ．[]2,4C ．[]0,4D ．(]2,411．设a ＝2535⎛⎫ ⎪⎝⎭，b ＝3525⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，c ＝2525⎛⎫ ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a>c>bB ．a>b>cC ．c>a>bD ．b>c>a12．若函数2()sin ln(14)f x x ax x =⋅+的图象关于y 轴对称，则实数a 的值为（ ） A ．2B ．2±C ．4D ．4±二、填空题13．某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：如果顾客选购物品的总金额不超过600元，则不享受任何折扣优惠；如果顾客选购物品的总金额超过600元，则超过600元部分享受一定的折扣优惠，折扣优惠按下表累计计算.某人在此商场购物获得的折扣优惠金额为30元，则他实际所付金额为____元． 14．已知函数()(0,1)x f x a b a a =+>≠的定义域和值域都是[]1,0-，则a b += . 15．若函数()f x 满足()3298f x x +=+，则()f x 的解析式是_________. 16．设，则________17．关于下列命题：①若函数2xy =的定义域是{|0}x x ≤，则它的值域是{|1}y y ≤；② 若函数1y x =的定义域是{|2}x x >，则它的值域是1|2y y ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭；③若函数2y x =的值域是{|04}y y ≤≤，则它的定义域一定是{|22}x x -≤≤；④若函数2log y x =的值域是{|3}y y ≤，则它的定义域是{|08}x x <≤.其中不正确的命题的序号是_____________( 注：把你认为不正确的命题的序号都填上). 18．用{}min ,,a b c 表示,,a b c 三个数中最小值，则函数{}()min 41,4,8f x x x x =++-+的最大值是 ．19．甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程()(1,2,3,4)i f x i =关于时间(0)x x ≥的函数关系式分别为1()21x f x =-，22()f x x =，3()f x x =，42()log (1)f x x =+，有以下结论：①当1x >时，甲走在最前面； ②当1x >时，乙走在最前面；③当01x <<时,丁走在最前面，当1x >时，丁走在最后面； ④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面； ⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲．其中，正确结论的序号为 （把正确结论的序号都填上,多填或少填均不得分）． 20．若点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭）既在()2ax b f x +=图象上，又在其反函数的图象上，则a b +=____三、解答题21．已知函数2()(2)3f x x a x =+--．（1）若函数()f x 在[]2,4-上是单调函数，求实数a 的取值范围；（2）当5a =，[1,1]x ∈-时，不等式()24f x m x >+-恒成立，求实数m 的范围．22．已知函数()2x f x =，1()22xg x =+．（1）求函数()g x 的值域；（2）求满足方程()()0f x g x -=的x 的值．23．设2{|670},{|24},{|}A x x x B x x C x x a =--≤=-≤=≥ （1）求A B I（2）若A C C =U ，求实数a 的取值范围.24．2019年某开发区一家汽车生产企业计划引进一批新能源汽车制造设备，通过市场分析，全年需投入固定成本3000万元，每生产x （百辆），需另投入成本()f x 万元，且210200,050()100006019000,50x x x f x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩，由市场调研知，每辆车售价6万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.（1）求出2019年的利润()L x （万元）关于年产量x （百辆）的函数关系式；（利润=销售额-成本）（2）2019年产量为多少（百辆）时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 25．已知函数()22f x ax ax b =-+()0a >在[]2,3上的值域为[]1,4.（1）求a ，b 的值； （2）设函数()()f xg x x=，若存在[]2,4x ∈，使得不等式()22log 2log 0g x k x -≥成立，求k 的取值范围.26．已知函数f (x )=log a (x+1)-log a (1-x ),a>0且a ≠1. (1)求f (x )的定义域;(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明; (3)当a>1时,求使f (x )>0的解集.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C 解析：C 【解析】分析：由题意首先进行并集运算，然后进行交集运算即可求得最终结果. 详解：由并集的定义可得：{}1,0,1,2,3,4A B ⋃=-， 结合交集的定义可知：(){}1,0,1A B C ⋃⋂=-.本题选择C 选项.点睛：本题主要考查并集运算、交集运算等知识，意在考查学生的计算求解能力.2．B解析：B 【解析】 【分析】化简cos cos a A b B =得到A B =或2A B π+=，再判断充分必要性.【详解】cos cos a A b B =，根据正弦定理得到：sin cos sin cos sin 2sin 2A A B B A B =∴=故22A B A B =∴=或222A B A B ππ=-∴+=，ABC ∆为等腰或者直角三角形.所以“cos cos a A b B =”是“ABC ∆是以A 、B 为底角的等腰三角形”的必要非充分条件 故选B 【点睛】本题考查了必要非充分条件，化简得到A B =或2A B π+=是解题的关键，漏解是容易发生的错误.3．B解析：B 【解析】函数f （x ）=e x ﹣1x 是（0，+∞）上的增函数，再根据f （12）2＜0，f （1）=e ﹣1＞0，可得f （12）f （1）＜0，∴函数f （x ）=e x ﹣1x 的零点所在的区间是（12，1），故选B ．点睛：判定函数的零点所在区间，只需计算区间端点处的函数值，并判断是否异号，只要异号，则区间内至少有一个零点存在.4．C解析：C 【解析】 【分析】先证明c<0,a>0,b>0,再证明b>1,a<1，即得解. 【详解】 由题得21log 3c =2log 10<=，a>0,b>0. 0.30log 3log 1,22 1.a b πππ====所以b a c >>.故答案为C 【点睛】(1)本题主要考查指数函数对数函数的单调性，考查实数大小的比较，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.（2）实数比较大小，一般先和“0”比，再和“±1”比.5．B解析：B 【解析】由()f x 的解析式知仅有两个零点32x =-与0x =，而A 中有三个零点，所以排除A ，又()2232xx x f x e-++'=，由()0f x '=知函数有两个极值点，排除C ，D ，故选B ． 6．C解析：C 【解析】 【分析】由()12f =，求得2a =，得到函数的解析式，进而可求解1(())2f f 的值，得到答案． 【详解】由题意，函数(),1(1log ,1x aa x f x a x x ⎧≤=>⎨>⎩且1)a ≠，()12f =， 所以()12f a ==，所以()22,1(1log ,1x x f x a x x ⎧≤=>⎨>⎩且1)a ≠，所以121()22f ==所以211(())log 22f f f ===，故选C ． 【点睛】本题主要考查了函数解析式的求解，以及函数值的运算问题，其中解答中根据题意准确求得函数的解析式，合理利用解析式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．7．B解析：B 【解析】 【分析】由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由(4)f 的近似值即可得出结果． 【详解】设32()22x x x y f x -==+，则332()2()()2222x x x xx x f x f x ----==-=-++，所以()f x 是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C ．又34424(4)0,22f -⨯=>+排除选项D ；36626(6)722f -⨯=≈+，排除选项A ，故选B ． 【点睛】本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．8．B解析：B 【解析】试题分析：根据指数函数和对数函数的单调性知：0.30771a =>=，即1a >；7000.30.31b <=<=，即01b <<；ln0.3ln10c =<=，即0c <；所以a b c >>，故正确答案为选项B ．考点：指数函数和对数函数的单调性；间接比较法．9．B解析：B 【解析】由题意可得{}|2A x x =<，结合交集的定义可得实数a 的取值范围是[)2,+∞ 本题选择B 选项.10．B解析：B 【解析】 【分析】由函数的解析式可得函数f （x ）＝x 2﹣4x +5＝（x ﹣2）2+1的对称轴为x ＝2，此时，函数取得最小值为1，当x ＝0或x ＝4时，函数值等于5，结合题意求得m 的范围． 【详解】∵函数f （x ）＝x 2﹣4x +5＝（x ﹣2）2+1的对称轴为x ＝2，此时，函数取得最小值为1， 当x ＝0或x ＝4时，函数值等于5．且f （x ）＝x 2﹣4x +5在区间[0，m ]上的最大值为5，最小值为1， ∴实数m 的取值范围是[2，4]， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质应用，利用函数图像解题是关键，属于中档题．11．A解析：A 【解析】试题分析：∵函数2()5xy =是减函数，∴c b >；又函数25y x =在(0,)+∞上是增函数，故a c >.从而选A考点：函数的单调性.12．B解析：B 【解析】 【分析】根据图象对称关系可知函数为偶函数，得到()()f x f x =-，进而得到ax +=.【详解】()f x Q 图象关于y 轴对称，即()f x 为偶函数 ()()f x f x ∴=-即：()sin ln sin lnsin lnx ax x ax x ⋅+=-⋅=⋅ax ∴+=恒成立，即：222141x a x +-=24a ∴=，解得：2a =± 本题正确选项：B 【点睛】本题考查根据函数的奇偶性求解参数值的问题，关键是能够明确恒成立时，对应项的系数相同，属于常考题型.二、填空题13．1120【解析】【分析】明确折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式结合y ＝30＞25代入可得某人在此商场购物总金额减去折扣可得答案【详解】由题可知：折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式y ∵y ＝解析：1120 【解析】 【分析】明确折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式，结合y ＝30＞25，代入可得某人在此商场购物总金额, 减去折扣可得答案． 【详解】由题可知：折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式，y ()()006000.0560060011000.11100251100x x x x x ⎧≤⎪=-≤⎨⎪-+⎩，＜，＜，＞ ∵y ＝30＞25 ∴x ＞1100∴0.1（x ﹣1100）+25＝30 解得，x ＝1150，1150﹣30＝1120，故此人购物实际所付金额为1120元． 【点睛】本题考查的知识点是分段函数，正确理解题意，进而得到满足条件的分段函数解析式是解答的关键．14．【解析】若则在上为增函数所以此方程组无解；若则在上为减函数所以解得所以考点：指数函数的性质解析：32-【解析】若1a >，则()f x 在[]1,0-上为增函数,所以11{10a b b -+=-+=，此方程组无解；若01a <<，则()f x 在[]1,0-上为减函数,所以10{11a b b -+=+=-，解得1{22a b ==-，所以32a b +=-.考点：指数函数的性质.15．【解析】【分析】设带入化简得到得到答案【详解】设代入得到故的解析式是故答案为：【点睛】本题考查了利用换元法求函数解析式属于常用方法需要学生熟练掌握解析：()32f x x =+ 【解析】 【分析】设32t x =+，带入化简得到()32f t t =+得到答案. 【详解】()3298f x x +=+，设32t x =+ 代入得到()32f t t =+故()f x 的解析式是() 32f x x =+ 故答案为：()32f x x =+ 【点睛】本题考查了利用换元法求函数解析式，属于常用方法，需要学生熟练掌握.16．-1【解析】【分析】由分段函数的解析式先求出f(-2)的值并判定符号从而可得f(f(-2))的值【详解】∵fx=1-xx≥0x2x<0-2<0∴f-2=-22=4>0所以f(f(-2))=f4=1-解析：-1 【解析】【分析】由分段函数的解析式先求出的值并判定符号，从而可得的值.【详解】， ，所以，故答案为-1. 【点睛】本题主要考查分段函数的解析式，属于简单题. 求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值．17．①②③【解析】【分析】通过定义域和值域的相关定义及函数的增减性即可判断①②③④的正误【详解】对于①当时故①不正确；对于②当时则故②不正确；对于③当时也可能故③不正确；对于④即则故④正确【点睛】本题主解析：①②③ 【解析】 【分析】通过定义域和值域的相关定义，及函数的增减性即可判断①②③④的正误. 【详解】对于①，当0x ≤时，01y <≤，故①不正确；对于②，当2x >时，则1102x <<，故②不正确；对于③，当04y ≤≤时，也可能02x ≤≤，故③不正确；对于④，即2log 3x ≤，则08x <≤，故④正确.【点睛】本题主要考查定义域和值域的相关计算，利用函数的性质解不等式是解决本题的关键，意在考查学生的计算能力.18．6【解析】试题分析：由分别解得则函数则可知当时函数取得最大值为6考点：分段函数的最值问题解析：6 【解析】试题分析：由414,418,48x x x x x x +>++>-++>-+分别解得1, 1.4,2x x x >>>，则函数()8,2{4,1241,1x x f x x x x x -+≥=+<<+≤则可知当2x =时，函数{}()min 41,4,8f x x x x =++-+取得最大值为6 考点：分段函数的最值问题19．③④⑤【解析】试题分析：分别取特值验证命题①②；对数型函数的变化是先快后慢当x=1时甲乙丙丁四个物体又重合从而判断命题③正确；指数函数变化是先慢后快当运动的时间足够长最前面的动物一定是按照指数型函数解析：③④⑤【解析】试题分析：分别取特值验证命题①②；对数型函数的变化是先快后慢，当x=1时甲、乙、丙、丁四个物体又重合，从而判断命题③正确；指数函数变化是先慢后快，当运动的时间足够长，最前面的动物一定是按照指数型函数运动的物体，即一定是甲物体；结合对数型和指数型函数的图象变化情况，可知命题④正确．解：路程f i（x）（i=1，2，3，4）关于时间x（x≥0）的函数关系是：，，f3（x）=x，f4（x）=log2（x+1），它们相应的函数模型分别是指数型函数，二次函数，一次函数，和对数型函数模型．当x=2时，f1（2）=3，f2（2）=4，∴命题①不正确；当x=4时，f1（5）=31，f2（5）=25，∴命题②不正确；根据四种函数的变化特点，对数型函数的变化是先快后慢，当x=1时甲、乙、丙、丁四个物体又重合，从而可知当0＜x＜1时，丁走在最前面，当x＞1时，丁走在最后面，命题③正确；指数函数变化是先慢后快，当运动的时间足够长，最前面的动物一定是按照指数型函数运动的物体，即一定是甲物体，∴命题⑤正确．结合对数型和指数型函数的图象变化情况，可知丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面，命题④正确．故答案为③④⑤．考点：对数函数、指数函数与幂函数的增长差异．20．【解析】【分析】由点在函数的反函数的图象上可得点在函数的图象上把点与分别代入函数可得关于的方程组从而可得结果【详解】点在函数的反函数的图象上根据反函数与原函数的对称关系点在函数的图象上把点与分别代入解析：1 3【解析】【分析】由点12,2⎛⎫⎪⎝⎭在函数2ax by+=的反函数的图象上，可得点1,22⎛⎫⎪⎝⎭在函数2ax by+=的图象上，把点12,2⎛⎫⎪⎝⎭与1,22⎛⎫⎪⎝⎭分别代入函数2ax by+=，可得关于,a b的方程组，从而可得结果.【详解】Q点12,2⎛⎫⎪⎝⎭在函数2ax by+=的反函数的图象上，根据反函数与原函数的对称关系，∴点1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭在函数2ax b y +=的图象上， 把点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭与1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭分别代入函数2ax b y +=可得， 21a b +=-，①112a b +=，② 解得45,33a b =-=，13a b +=，故答案为13. 【点睛】本题主要考查反函数的定义与性质，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题. 三、解答题21．（1）(,6][6,+)∞∞--U ；（2）3(,)4∞-． 【解析】【分析】（1）首先求函数的对称轴22a x -=-，令242a --≥或 222a --≤-，求实数a 的取值范围；（2）不等式等价于21x x m ++>恒成立，令()21g x x x =++，转化为()min g x m >，[]1,1x ∈-恒成立，求m 的取值范围.【详解】解：（1）函数()f x 的对称轴为22a x -=-， 又函数()f x 在[]2,4-上是单调函数，242a -∴-≥或 222a --≤-， 解得6a ≤-或6a ≥．∴实数a 的取值范围为(,6][6,)-∞-+∞U ； （2）当5a =，[]1,1x ∈-时，()24f x m x >+-恒成立，即21x x m ++>恒成立， 令()21g x x x =++，()min g x m >恒成立， 函数()g x 的对称轴[]11,12x =-∈-，∴()min 1324g x g ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，即34m >， m ∴的范围为3(,)4-∞．【点睛】本题考查二次函数单调性，恒成立的的综合问题，属于基础题型.22．（1）(2,3]；（2）2log (1x =．【解析】试题分析：（1）化简函数的解析为||||11()2()222x x g x =+=+，根据||10()12x <≤，即可求解函数的值域；（2）由()()0f x g x -=，得||12202x x --=，整理得到2(2)2210x x -⋅-=，即可求解方程的解．试题解析：（1）||||11()2()222x x g x =+=+， 因为||0x ≥，所以||10()12x <≤，即2()3g x <≤，故()g x 的值域是(2,3]．（2）由()()0f x g x -=，得||12202x x --=， 当0x ≤时，显然不满足方程，即只有0x >时满足12202x x--=，整理得2(2)2210x x -⋅-=，2(21)2x -=，故21x =±因为20x >，所以21x =2log (1x =．考点：指数函数的图象与性质．23．（1）[1,6]-（2）1a ≤-【解析】【分析】（1）化简集合，根据集合的交集运算即可求解（2）由A C C =U 可知A C ⊆，结合数轴求解即可.【详解】（1）由2670x x --≤解得17x -≤≤，故[1,7]A =-， 因为24x -≤，所以26x -≤≤，即[2,6]B =-,所以[1,7][2,6][1,6]A B =--=-I I .（2） 因为A C C =U ，所以A C ⊆，故1a ≤-.【点睛】本题主要考查了集合的交集，并集，子集，涉及一元二次不等式及绝对值不等式，属于中档题.24．（1）()2104003000,050100006000,50x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨--+≥⎪⎩；（2）2019年年产量为100百辆时，企业所获利润最大，最大利润为5800万元.【解析】【分析】（1）先阅读题意，再分当050x <<时，当50x ≥时，求函数解析式即可；（2）当050x <<时，利用配方法求二次函数的最大值，当50x ≥时，利用均值不等式求函数的最大值，一定要注意取等的条件，再综合求分段函数的最大值即可.【详解】解：（1）由已知有当050x <<时，()22600(10200)3000104003000L x x x x x x =-+-=-+-当50x ≥时，()1000010000600(6019000)30006000L x x x x x x=-+--=--+， 即()2104003000,050100006000,50x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨--+≥⎪⎩， （2）当050x <<时，()2210400300010(20)1000L x x x x =-+-=--+， 当20x =时，()L x 取最大值1000，当50x ≥时，()10000600060005800L x x x =--+≤-+=， 当且仅当10000x x=，即100x =时取等号， 又58001000>故2019年年产量为100百辆时，企业所获利润最大，最大利润为5800万元.【点睛】本题考查了函数的综合应用，重点考查了分段函数最值的求法，属中档题.25．(1)1,1a b == (2) 1,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）先求得函数()f x 的对称轴，然后根据函数()f x 在[]2,3上的单调性列方程组，解方程组求得,a b 的值.（2）由（1）求得函数()f x 的解析式，进而求得()g x 的解析式，将不等式()22log 2log 0g x k x -≥分离常数2k ，利用换元法，结合二次函数的性质，求得k 的取值范围.【详解】（1）由已知可得()()21f x a x b a =-+-，对称轴为1x =.因为0a >，所以()f x 在[]2,3上单调递增， 所以()()21,34,f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩即1,44,a b a a b a +-=⎧⎨+-=⎩解得1,1,a b =⎧⎨=⎩ （2）由（1）可得()221f x x x =-+，则()()12f x g x x x x==+-. 因为()22log 2log 0g x k x -≥，所以2221log 22log log x k x x +-≥. 又[]2,4x ∈，所以()2221221log log k x x ≤-+. 令21log t x=，则2221k t t ≤-+. 因为[]2,4x ∈，所以1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.记()221h t t t =-+，1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以当12t =时，()max 14h t =， 所以124k ≤，解得18k ≤，故k 的取值范围是1,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 【点睛】 本小题主要考查根据二次函数的对称轴、单调性和值域求解析式，考查存在性问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.26．（1）{}11x x -<<（2）函数()f x 为奇函数，证明见解析（3）{}01x x <<【解析】【分析】（1）根据题意，求函数定义域结合对数函数真数大于零得到关于x 的不等式组，求解即可得出答案。
2020-2021南京育英二外外国语学校高中必修一数学上期中一模试题附答案
2020-2021南京育英二外外国语学校高中必修一数学上期中一模试题附答案一、选择题1．设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=．若{}1A B ⋂=，则B =( ) A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,52．已知集合{}{}2|320,,|05,A x x x x R B x x x N =-+=∈=<<∈，则满足条件A CB ⊆⊆的集合C 的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．函数()ln f x x x =的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．4．若35225a b ==，则11a b +=（ ） A ．12B ．14C ．1D ．25．在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，则“cos cos a A b B =”是“ABC ∆是以A 、B 为底角的等腰三角形”的（ ）. A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件6．关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间（2π,π）单调递增 ③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是 A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③7．函数()sin lg f x x x =-的零点个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．38．已知定义域为R 的函数()f x 在[1,)+∞单调递增，且(1)f x +为偶函数，若(3)1f =，则不等式(21)1f x +<的解集为（ ） A ．(1,1)-B ．(1,)-+∞C ．(,1)-∞D ．(,1)(1,)-∞-+∞U9．函数()111f x x =--的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．10．若01a b <<<，则b a ， a b ， log b a ，1log ab 的大小关系为（ ）A ．1log log b a b aa b a b >>> B ．1log log a b b ab a b a >>> C ．1log log b a b aa ab b >>> D ．1log log a b b aa b a b >>> 11．已知函数(),1log ,1x aa x f x x x ⎧≤=⎨>⎩（1a >且1a ≠），若()12f =，则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ）A ．1-B ．12- C ．12 D ．212．已知集合{}22(,)1A x y x y =+=，{}(,)B x y y x ==，则A B I 中元素的个数为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．0二、填空题13．设25a b m ==,且112a b+=,则m =______. 14．某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：如果顾客选购物品的总金额不超过600元，则不享受任何折扣优惠；如果顾客选购物品的总金额超过600元，则超过600元部分享受一定的折扣优惠，折扣优惠按下表累计计算.某人在此商场购物获得的折扣优惠金额为30元，则他实际所付金额为____元．15．已知函数2()121()f x ax x ax a R =+++-∈的最小值为0，则实数a =_________. 16．函数()12x f x =-的定义域是__________． 17．已知()21f x x -=，则()f x = ____.18．如果函数221xx y a a =+-（0a >，且1a ≠）在[]1,1-上的最大值是14，那么a 的值为__________.19．已知函数()log ,03,40a x x f x x x >⎧=⎨+-≤<⎩，其中0a >且1a ≠，若函数()f x 的图象上有且只有一对点关于y 轴对称，则a 的取值范围是__________．20．若关于 x 的方程2420x x a ---= 在区间 (1, 4) 内有解，则实数 a 的取值范围是_____．三、解答题21．围建一个面积为360m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180元/m ，设利用的旧墙的长度为x （单位：元）．（Ⅰ）将y 表示为x 的函数；（Ⅱ）试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．22．设集合222{|40},{|2(1)10}A x x x B x x a x a =+==+++-=，若A ∩B=B ，求a 的取值范围．23．已知函数()2(0,)af x x x a R x=+≠∈. （1）判断()f x 的奇偶性；（2）若()f x 在[)2,+∞是增函数，求实数a 的范围. 24．已知定义域为R 的函数()1221x a f x =-++是奇函数. (1)求a 的值；(2)判断函数()f x 的单调性并证明；(2)若关于m 的不等式()()222120f m m f m mt -+++-≤在()1,2m ∈有解，求实数t 的取值范围.25．已知函数2()log (0,1)2axf x a a x-=>≠+. （Ⅰ）当a=3时，求函数()f x 在[1,1]x ∈-上的最大值和最小值；（Ⅱ）求函数()f x 的定义域，并求函数2()()(24)4f x g x ax x a=--++的值域．（用a 表示）26．设集合2{|40,}A x x x x R =+=∈，22{|2(1)10,}B x x a x a x R =+++-=∈. (1)若A B B ⋃=，求实数a 的值; (2)若A B B =I ，求实数a 的范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】∵ 集合{}124A ，，=，{}2|40B x x x m =-+=，{}1A B ⋂= ∴1x =是方程240x x m -+=的解，即140m -+= ∴3m =∴{}{}{}22|40|43013B x x x m x x x =-+==-+==，，故选C2．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】求解一元二次方程，得{}()(){}2|320,|120,A x x x x x x x x =-+=∈=--=∈R R {}1,2=，易知{}{}|05,1,2,3,4B x x x =<<∈=N .因为A C B ⊆⊆，所以根据子集的定义， 集合C 必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4， 原题即求集合{}3,4的子集个数，即有224=个，故选D. 【点评】本题考查子集的概念，不等式，解一元二次方程.本题在求集合个数时，也可采用列举法.列出集合C 的所有可能情况，再数个数即可.来年要注意集合的交集运算，考查频度极高.3．A解析：A 【解析】 【分析】从图象来看图象关于原点对称或y 轴对称，所以分析奇偶性，然后再用特殊值确定. 【详解】因为函数()ln f x x x =是奇函数，排除C ，D 又因为2x = 时()0f x >，排除B 故选：A 【点睛】本题主要考查了函数的图象的判断，还考查了数形结合的思想，属于基础题.4．A解析：A 【解析】 【分析】由指数式与对数式的转化,结合换底公式和对数的运算,即可求解. 【详解】由题意3225,5225a b==根据指数式与对数式的转化可得35log 225,log 225a b == 由换底公式可得lg 2252lg15lg 2252lg15,lg 3lg 3lg 5lg 5a b ==== 由对数运算化简可得11lg 3lg 52lg152lg15a b +=+ lg3lg52lg15+=lg1512lg152== 故选:A 【点睛】本题考查了指数式与对数式的转化,对数的运算及换底公式的应用,属于中档题.5．B解析：B 【解析】 【分析】化简cos cos a A b B =得到A B =或2A B π+=，再判断充分必要性.【详解】cos cos a A b B =，根据正弦定理得到：sin cos sin cos sin 2sin 2A A B B A B =∴=故22A B A B =∴=或222A B A B ππ=-∴+=，ABC ∆为等腰或者直角三角形.所以“cos cos a A b B =”是“ABC ∆是以A 、B 为底角的等腰三角形”的必要非充分条件 故选B 【点睛】本题考查了必要非充分条件，化简得到A B =或2A B π+=是解题的关键，漏解是容易发生的错误.6．C解析：C 【解析】 【分析】化简函数()sin sin f x x x =+，研究它的性质从而得出正确答案． 【详解】()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴Q 为偶函数，故①正确．当2x ππ<<时，()2sin f x x =，它在区间,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减，故②错误．当0x π≤≤时，()2sin f x x =，它有两个零点：0,π；当0x π-≤<时，()()sin sin 2sin f x x x x =--=-，它有一个零点：π-，故()f x 在[],-ππ有3个零点：0-π,,π，故③错误．当[]()2,2x k k k *∈ππ+π∈N时，()2sin f x x =；当[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈N 时，()sin sin 0f x x x =-=，又()f x 为偶函数，()f x ∴的最大值为2，故④正确．综上所述，①④ 正确，故选C ．【点睛】画出函数()sin sin f x x x =+的图象，由图象可得①④正确，故选C ．7．D解析：D 【解析】 【分析】画出函数图像，根据函数图像得到答案. 【详解】如图所示：画出函数sin y x =和lg y x =的图像，共有3个交点. 当10x >时，lg 1sin x x >≥，故不存在交点. 故选：D .【点睛】本题考查了函数的零点问题，画出函数图像是解题的关键.8．A解析：A 【解析】 【分析】由函数y ＝f （x +1）是定义域为R 的偶函数，可知f （x ）的对称轴x ＝1，再利用函数的单调性，即可求出不等式的解集． 【详解】由函数y ＝f （x +1）是定义域为R 的偶函数，可知f （x ）的对称轴x ＝1，且在[1，+∞）上单调递增，所以不等式f （2x+1）＜1=f （3）⇔ |2x+1﹣1|）＜|3﹣1|， 即|2x |＜2⇔|x |＜1，解得-11x ＜＜ 所以所求不等式的解集为：()1,1-. 故选A ． 【点睛】本题考查了函数的平移及函数的奇偶性与单调性的应用，考查了含绝对值的不等式的求解，属于综合题．9．B解析：B 【解析】 【分析】 把函数1y x=先向右平移一个单位，再关于x 轴对称，再向上平移一个单位即可. 【详解】 把1y x =的图象向右平移一个单位得到11y x =-的图象，把11y x =-的图象关于x 轴对称得到11y x =--的图象， 把11y x =--的图象向上平移一个单位得到()111f x x =--的图象， 故选：B . 【点睛】本题主要考查函数图象的平移，对称，以及学生的作图能力，属于中档题.10．D解析：D 【解析】因为01a b <<<，所以10a a b b a a >>>>， 因为log log 1b b a b >>，01a <<，所以11a>,1log 0a b <.综上1log log abb aa b a b >>>；故选D.11．C解析：C 【解析】 【分析】由()12f =，求得2a =，得到函数的解析式，进而可求解1(())2f f 的值，得到答案． 【详解】由题意，函数(),1(1log ,1x a a x f x a x x ⎧≤=>⎨>⎩且1)a ≠，()12f =， 所以()12f a ==，所以()22,1(1log ,1x x f x a x x ⎧≤=>⎨>⎩且1)a ≠，所以121()22f ==所以211(())log 22f f f ===，故选C ． 【点睛】本题主要考查了函数解析式的求解，以及函数值的运算问题，其中解答中根据题意准确求得函数的解析式，合理利用解析式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．12．B解析：B 【解析】试题分析：集合中的元素为点集，由题意，可知集合A 表示以()0,0为圆心，1为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B 表示直线y x =上所有的点组成的集合，又圆221x y +=与直线y x =相交于两点,22⎛ ⎝⎭，22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，则A B I 中有2个元素.故选B.【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.二、填空题13．【解析】【分析】变换得到代入化简得到得到答案【详解】则故故答案为：【点睛】本题考查了指数对数变换换底公式意在考查学生的计算能力【解析】 【分析】变换得到2log a m =，5log b m =，代入化简得到11log 102m a b+==，得到答案. 【详解】25a b m ==，则2log a m =，5log b m =，故11log 2log 5log 102,m m m m a b+=+==∴=【点睛】本题考查了指数对数变换，换底公式，意在考查学生的计算能力.14．1120【解析】【分析】明确折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式结合y ＝30＞25代入可得某人在此商场购物总金额减去折扣可得答案【详解】由题可知：折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式y ∵y ＝解析：1120 【解析】 【分析】明确折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式，结合y ＝30＞25，代入可得某人在此商场购物总金额, 减去折扣可得答案． 【详解】由题可知：折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式，y ()()006000.0560060011000.11100251100x x x x x ⎧≤⎪=-≤⎨⎪-+⎩，＜，＜，＞∵y ＝30＞25 ∴x ＞1100∴0.1（x ﹣1100）+25＝30 解得，x ＝1150， 1150﹣30＝1120，故此人购物实际所付金额为1120元． 【点睛】本题考查的知识点是分段函数，正确理解题意，进而得到满足条件的分段函数解析式是解答的关键．15．【解析】【分析】设计算可得再结合图象即可求出答案【详解】解：设则则由于函数的最小值为0作出函数的大致图象结合图象得所以故答案为：【点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质考查转化思想考查数形结合思想属解析：±1. 【解析】 【分析】设2()()1()()21g x h x ax g x h x x ax +=+⎧⎨-=+-⎩，计算可得2(),()()()2(),()()g x g x h x f x h x g x h x ≥⎧=⎨<⎩，再结合图象即可求出答案． 【详解】解：设2()()1()()21g x h x ax g x h x x ax +=+⎧⎨-=+-⎩，则22()()1g x x ax h x x ⎧=+⎨=-⎩， 则()()()()()f x g x h x g x h x =++-2(),()()2(),()()g x g x h x h x g x h x ≥⎧=⎨<⎩，由于函数()f x 的最小值为0，作出函数()g x ，()h x 的大致图象，结合图象，210x -=，得1x =±， 所以1a =±， 故答案为：±1． 【点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质，考查转化思想，考查数形结合思想，属于中档题．16．【解析】由得所以所以原函数定义域为故答案为解析：(],0-∞【解析】由120x -≥，得21x ≤，所以0x ≤，所以原函数定义域为(],0-∞，故答案为(],0-∞.17．【解析】【分析】利用换元法求函数解析式【详解】令则代入可得到即【点睛】本题考查利用换元法求函数解析式考查基本代换求解能力 解析：()21?x + 【解析】 【分析】利用换元法求函数解析式. 【详解】 令 1t x -=则 t 1,x =+代入 ()21f x x -=可得到()()21f t t =+ ,即()()21f x x =+. 【点睛】本题考查利用换元法求函数解析式，考查基本代换求解能力.18．3或【解析】【分析】令换元后函数转化为二次函数由二次函数的性质求得最大值后可得但是要先分类讨论分和求出的取值范围【详解】设则对称轴方程为若则∴当时解得或（舍去）若则∴当时解得或（舍去）答案：3或【点解析：3或13【解析】 【分析】令x t a =，换元后函数转化为二次函数，由二次函数的性质求得最大值后可得a ．但是要先分类讨论，分1a >和01a <<求出t 的取值范围． 【详解】设0x t a =>，则221y t t =+-，对称轴方程为1t =-. 若1,[1,1]a x >∈-，则1,xt a a a ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，∴当t a =时，2max 2114y a a =+-=，解得3a =或5a =-（舍去）.若01a <<，[1,1]x ∈-，则1,xt a a a⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦∴当1t a =时，2max 112114y a a ⎛⎫=+⨯-= ⎪⎝⎭解得13a =或15a =-（舍去）答案：3或13【点睛】本题考查指数型复合函数的最值，本题函数类型的解题方法是用换元法把函数转化为二次函数求解．注意分类讨论．19．【解析】将在轴左侧的图象关于轴对称到右边与在轴右侧的图象有且只有一个交点当时一定满足当时必须解得综上的取值范围是点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关解析：(0,1)1,4⋃（） 【解析】将()f x 在y 轴左侧的图象关于y 轴对称到右边，与()f x 在y 轴右侧的图象有且只有一个交点.当01a <<时一定满足，当1a >时必须log 41a >，解得4a <.综上a 的取值范围是()0,11,4⋃（）.点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．20．-6-2)【解析】【分析】转化成f(x)=与有交点再利用二次函数的图像求解【详解】由题得令f(x)=所以所以故答案为-6-2)【点睛】本题主要考查二次方程的有解问题考查二次函数的图像和性质意在考查学解析：[-6,-2) 【解析】 【分析】转化成f(x)=242x x --与y a =有交点, 再利用二次函数的图像求解. 【详解】由题得242x x a --=，令f(x)=()242,1,4x x x --∈,所以()()[)2242266,2f x x x x =--=--∈--， 所以[)6,2a ∈-- 故答案为[-6,-2)【点睛】本题主要考查二次方程的有解问题，考查二次函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.三、解答题21．（Ⅰ）y=225x+2360360(0)xx-〉n（Ⅱ）当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．【解析】试题分析：（1）设矩形的另一边长为am，则根据围建的矩形场地的面积为360m2，易得360ax=，此时再根据旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，我们即可得到修建围墙的总费用y表示成x的函数的解析式；（2）根据（1）中所得函数的解析式，利用基本不等式，我们易求出修建此矩形场地围墙的总费用最小值，及相应的x值试题解析：（1）如图，设矩形的另一边长为a m则45x+180（x-2）+180·2a=225x+360a-360由已知xa=360,得a=,所以y=225x+（2）．当且仅当225x=时，等号成立．即当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．考点：函数模型的选择与应用22．a=1或a≤﹣1【解析】试题分析：先由题设条件求出集合A，再由A∩B=B，导出集合B的可能结果，然后结合根的判别式确定实数a的取值范围．试题解析：根据题意，集合A={x|x2+4x=0}={0，﹣4}，若A∩B=B，则B是A的子集，且B={x|x2+2（a+1）x+a2﹣1=0}，为方程x2+2（a+1）x+a2﹣1=0的解集，分4种情况讨论：①B=∅，△=[2（a+1）]2﹣4（a2﹣1）=8a+8＜0，即a＜﹣1时，方程无解，满足题意；②B={0}，即x2+2（a+1）x+a2﹣1=0有两个相等的实根0，则有a+1=0且a2﹣1=0，解可得a=﹣1，③B={﹣4}，即x2+2（a+1）x+a2﹣1=0有两个相等的实根﹣4，则有a+1=4且a2﹣1=16，此时无解，④B={0、﹣4}，即x 2+2（a+1）x+a 2﹣1=0有两个的实根0或﹣4， 则有a+1=2且a 2﹣1=0，解可得a=1， 综合可得：a=1或a≤﹣1．点睛：A ∩B=B 则B 是A={0，﹣4}的子集，而B={x|x 2+2（a+1）x+a 2﹣1=0}为方程x 2+2（a+1）x+a 2﹣1=0的解集，所以分四种情况进行讨论①B=∅，②B={0}，③B={﹣4}，④B={0、﹣4}，其中①B=∅不要忘记. 23．（1）当时，为偶函数，当时，既不是奇函数，也不是偶函数,；（2）(16]-∞，.【解析】 【分析】 【详解】 （1）当时，，对任意(0)(0)x ∈-∞+∞U ，，，，为偶函数．当时，2()(00)af x x a x x=+≠≠，， 取，得(1)(1)20(1)(1)20f f f f a -+=≠--=-≠，，(1)(1)(1)(1)f f f f ∴-≠--≠，，函数既不是奇函数，也不是偶函数．（2）设122x x ≤<，，要使函数在[2)x ∈+∞，上为增函数，必须恒成立．121204x x x x -<>Q，，即恒成立． 又，．的取值范围是(16]-∞，． 24．（1）1a =（2）见解析（3）1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【解析】试题分析：（1）由()f x 为奇函数可知，()()f x f x -=--，即可得解；（2）由21xy =+递增可知()11221x f x =-++在R 上为减函数，对于任意实数12,x x ，不妨设12x x <，化简()()12f x f x -判断正负即可证得； （3）不等式()()222120f m m f m mt -+++-≤，等价于()()22212f m m f m mt -++≤-+，即22212m m mmt -++≥-+，原问题转化为121t m m ≤-++在()1,2m ∈上有解，求解11y m m=-++的最大值即可. 试题解析解：(1)由()f x 为奇函数可知，()()f x f x -=--，解得1a =.(2)由21xy =+递增可知()11221x f x =-++在R 上为减函数， 证明：对于任意实数12,x x ，不妨设12x x <，()()()()21121212112221212121x x x x x x f x f x --=-=++++∵2xy =递增，且12x x <，∴1222x x <，∴()()120f x f x ->，∴()()12f x f x >，故()f x 在R 上为减函数.(3)关于m 的不等式()()222120f m m f m mt -+++-≤， 等价于()()22212f m m f m mt -++≤-+，即22212m m mmt -++≥-+，因为()1,2m ∈，所以121t m m≤-++， 原问题转化为121t m m≤-++在()1,2m ∈上有解， ∵11y m m=-++在区间()1,2上为减函数， ∴11y m m =-++，()1,2m ∈的值域为1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴21t <，解得12t <， ∴t 的取值范围是1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. 点晴:本题属于对函数单调性应用的考察，若函数()f x 在区间上单调递增，则()()1212,,x x D f x f x ∈>且时，有12x x >，事实上，若12x x ≤,则()()12f x f x ≤，这与()()12f x f x >矛盾，类似地，若()f x 在区间上单调递减，则当()()1212,,x x D f x f x ∈>且时有12x x <；据此可以解不等式，由函数值的大小，根据单调性就可以得自变量的大小关系.本题中可以利用对称性数形结合即可.25．（Ⅰ）max ()1f x =，min ()1f x =-；（Ⅱ）()f x 的定义域为(2,2)-，()g x 的值域为(4(1),4(1))a a -+-．【解析】 【分析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）当3a =时，求函数()f x 在[1,1]x ∈-上的最大值和最小值，令()22xu x x-=+，变形得到该函数的单调性，求出其值域，再由()()log a f x u x =为增函数，从而求得函数()f x 在[1,1]x ∈-上的最大值和最小值；（Ⅱ）求函数()f x 的定义域，由对数函数的真数大于0求出函数()f x 的定义域，求函数()g x 的值域，函数()f x 的定义域，即()g x 的定义域，把()f x 的解析式代入()g x 后整理，化为关于x 的二次函数，对a 分类讨论，由二次函数的单调性求最值，从而得函数()g x 的值域． 试题解析：（Ⅰ）令24122x u x x -==-++，显然u 在[1,1]x ∈-上单调递减，故u ∈1[,3]3，故3log [1,1]y u =∈-，即当[1,1]x ∈-时，max ()1f x =，（在3u =即1x =-时取得）min ()1f x =-，（在13u =即1x =时取得） (II)由20()2xf x x->⇒+的定义域为(2,2)-，由题易得：2()2,(2,2)g x ax x x =-+∈-， 因为0,1a a >≠，故()g x 的开口向下，且对称轴10x a=>，于是： 1o 当1(0,2)a ∈即1(,1)(1,)2a ∈+∞U 时，()g x 的值域为（11((2),()](4(1),]g g a a a-=-+；2o 当12a ≥即1(0,]2a ∈时，()g x 的值域为((2),(2))(4(1),4(1))g g a a -=-+- 考点：复合函数的单调性；函数的值域．26．（1）1a =；(2)1a ≤-或1a = 【解析】 【分析】（1）∵A B B ⋃=，∴A ⊆B ，又B 中最多有两个元素，∴A=B ，从而得到实数a 的值；（2）求出集合A 、B 的元素，利用B 是A 的子集，即可求出实数a 的范围. 【详解】（1）∵A B B ⋃=，∴A ⊆B ，又B 中最多有两个元素， ∴A=B ，∴x=0，﹣4是方程x 2+2（a+1）x+a 2﹣1=0的两个根， 故a=1；（2）∵A={x|x 2+4x=0，x ∈R} ∴A={0，﹣4}，∵B={x|x 2+2（a+1）x+a 2﹣1=0}，且B ⊆A ．故①B=∅时，△=4（a+1）2﹣4（a 2﹣1）＜0，即a ＜﹣1，满足B ⊆A ；②B≠∅时，当a=﹣1，此时B={0}，满足B⊆A；当a＞﹣1时，x=0，﹣4是方程x2+2（a+1）x+a2﹣1=0的两个根，故a=1；综上所述a=1或a≤﹣1；【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题．要正确判断两个集合间的关系，必须对集合的相关概念有深刻的理解，善于抓住代表元素，认清集合的特征．。
2020-2021学年江苏省南京外国语学校高一第一学期期中数学试题
南京外国语学校2020-2021学年度第一学期期中高一数学一､单项选择题:本大题共8小题,每小题3分,共24分,请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1.已知集合A={x|1<x<4},B={1,2,3,4,5},则A ∩B=().A.{1,2,3}B.{2,3}C.{1,2,3,4}D.{2,3,4} 2.“x>0”是“20x x +>”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.下列命题中正确的是().A.若a>b,则ac>bcB.若,,a b c d >>则a-c>b-dC.若ab>0,a>b,则11a b <D.若a>b,c>d,则a b c d> 4.下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)单调递增的函数是().3.A y x =B.y=|x|+1 2.|1|C y x =- .2x D y -= 5.已知4213532,4,25,a b c ===则()A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b6.已知函数f(x)的定义域是[-2,3],则f(2x-3)的定义域是()A.[-7,3]B.[-3,7] 1.[,3]2C 1.[,3]2D - 7.若5361log log 6log 2,3x ⋅⋅=,则x 等于() A.9 1.9B C.25 1.25D 8.设偶函数f(x)在(0,+∞)上为减函数,且f(2)=0,则不等式()()0f x f x x+->的解集为().A.(-2,0)∪(2,+∞)B.(-∞,-2)∪(0,2)C.(-∞,-2)U(2,+∞)D.(-2,0)∪(0,2)二､多项选择题:(本大题共4小题,每小题4分,共16分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)9.若a>0,a ≠1,则下列说法不正确的是().A.若log log ,a a M N =则M=NB.若M=N,则log log a a M N =C.若22log log ,a a M N =则M=ND.若M=N 则22log log a a M N =10.下列四个命题是真命题的是()A.函数y=|x|与函数2()y x =表示同一个函数B.奇函数的图像一定通过直角坐标系的原点C.函数23(1)y x =-的图像可由23y x =的图像向右平移1个单位得到D.若函数(1)2,f x x x +=+则2()1(1)f x x x =-≥11.下列说法正确的是().A.若x>0,则函数2y x x =+有最小值22 B.若,0,2,x y x y >+=则22x y +的最大值为4C.若x,y>0,x+y+xy=3,则xy 的最大值为1D.若a>0,b>0,a+b=1,则11a b+的最小值为4 12.对于定义域为D 的函数y=f(x),若f(x)同时满足下列条件:①在D 内单调递增或单调递减;②存在区间[a,b]⊆D,使f(x)在[a,b]上的值域为[a,b].那么把y=f(x)(x ∈D)称为闭函数.下列函数是闭函数的是().2.1A y x =+3.B y x =- .22C y x =+- .3x D y =三､填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,请把答案直接填写在答题卡相应位置上.13.已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时,21(),f x x x=+则f(-1)=______. 14.已知函数1()32x f x a -=+的图象恒过定点P ,则点P 的坐标是______.15.已知函数()f x =则该函数的单调增区间为______.16.已知函数()2,.x f x x =∈R ①若方程|f(x)-2|=m 有两个解,则的取值范围为_______.②若不等式2[()]()0f x f x m +->在R 上恒成立,则m 的取值范围为______.(第一空1分,第二空2分) 三､解答题:本大题共5小题,共48分,请把答案填写在答题卡相应位置上.17.(本小题满分8分)计算: 20.520327492(1)()()(0.2)(0.081).8925---+⨯-33(2)(lg 2)(lg 5)3lg 2lg 5++⋅.18.(本小题满分10分)设命题p:实数满足(x-a)(x-3a)<0,其中a>0.命题q:实数x 满足30.2x x -≤- (1)当a=1时,命题p,q 都为真,求实数x 的取值范围;(2)若p 是¬q 的充分不必要条件,求实数a 的取值范围.19.(本小题满分10分)某工厂某种产品的年固定成本为250万元,每生产x 千件,需另投入成本为C(x),当年产量不足80千件时,21()103C x x x =+(万元).当年产量不小于80千件时,10000()511450C x x x=+-(万元),每千件商品售价为50万元.通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式;(2)当年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?20.(本小题满分10分)已知定义在(-1,1)上的奇函数f(x),且当x ∈(0,1)时,2().21xx f x =+ (1)求函数f(x)在(-1,1)上的解析式;(2)判断并用定义证明f(x)在(0,1)上的单调性;(3)解不等式f(x-1)+f(x)<0.21.(本小题满分10分)已知函数2()(22,())f x ax a x a =-++∈R .(1)f(x)<3-2x 恒成立,求实数a 的取值范围;(2)当a>0时,求不等式f(x)≥0的解集;(3)若存在m>0使关于x 的方程1(||)1f x m m=++有四个不同的实根,求实数a 的取值范围.。
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南京外国语学校高一数学
一、单项选择题：本大题共8小题,每小题3分，共24分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上
1. 已知集合{}|14A x x =<<，{}1,2,3,4,5B =，则A
B =（ ）． A. {}1,2,3 B. {}2,3 C. {}1,2,3,4
D. {}2,3,4 2. “0x >”是“20x x +>”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
3. 下列命题中正确的是（ ）．
A. 若a b >，则ac bc >
B. 若,a b c d >>，则a c b d −>−
C. 若0ab >，a b >，则11a b <
D. 若,a b c d >>，则a b c d
> 4. 下列函数中，既是偶函数又在()0,+∞单调递增的函数是（ ）．
A. 3y x =
B. 1y x =+
C. 21y x =−
D. 2x y −= 5. 已知4
213532,4,25a b c ===，则（ ）
A. b a c <<
B. a b c <<
C. b c a <<
D. c a b <<
6. 已知函数()f x 的定义域是[]2,3−，则()23f x −的定义域是（ ）
A. []7,3−
B. []3,7−
C. 1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D. 1,32⎡⎤−⎢⎥⎣⎦ 7. 若5
361log log 6log 23x ⋅⋅=，则x 等于（ ）． A. 9 B. 19 C. 25 D. 125
8. 设偶函数()f x 在()0,+∞上为减函数，且()20f =，则不等式
()()0f x f x x +−>的解集为（ ）．
A. ()
()2,02,−+∞ B. ()(),20,2−∞− C. ()(),22,−∞−+∞ D. ()()2,00,2−。