第五章 数组,集合和矩阵
高等代数第五章知识点总结
高等代数第五章知识点总结高等代数是数学中的一个重要分支，主要研究代数结构、线性代数、群论等数学领域。
第五章主要涉及线性方程组、矩阵、向量空间、线性变换等知识点。
以下是对这些知识点的总结:1. 线性方程组：线性方程组是一组线性方程的集合，其中每个方程都是一次多项式。
线性方程组的解称为线性方程组的解，可以用矩阵和向量来表示。
2. 矩阵：矩阵是一种特殊的数组，可以表示线性方程组、线性变换和向量空间等数学对象。
矩阵的加法、数乘等运算符合矩阵的定义，并且矩阵具有一些特殊的性质，如行列式、秩等。
3. 向量空间：向量空间是一个线性空间，其中添加了一个标量值域。
向量空间的元素称为向量，向量空间的基和维数是重要概念。
向量空间的加法、数乘等运算符合向量空间的定义。
4. 线性变换：线性变换是一个将一个线性空间映射到另一个线性空间的函数。
线性变换的特征是保持向量空间的加法和数乘运算。
线性变换的矩阵表示是一个方阵，其中每行每列都是一个向量。
5. 特征值和特征向量：特征值和特征向量是两个重要的概念，用于描述矩阵的性质。
矩阵的特征值是指矩阵在乘以某个向量后得到的值，而特征向量是指与特征值相关的向量。
6. 相似矩阵：相似矩阵是指具有相同特征值的矩阵。
相似矩阵之间具有一些相似性质，如行列式、秩等。
相似矩阵可以用来表示线性变换的缩放比例和旋转角度。
7. 克莱默法则：克莱默法则是一个用于求解线性方程组的公式，可以将线性方程组的系数矩阵转换为阶梯形矩阵或行最简矩阵，从而求解线性方程组的解。
8. 特征值分解：特征值分解是将矩阵分解成一组特征向量的乘积，从而求解矩阵的特征值和特征向量。
特征值分解在矩阵的分解和求解中发挥着重要作用。
9. 二次型：二次型是一种特殊的矩阵，其元素是二次多项式。
二次型可以用来表示线性变换的对称矩阵和非对称矩阵，并且具有一些重要的性质，如行列式、秩等。
以上是第五章的主要知识点总结，这些知识点是高等代数中的重要基础，对于理解代数结构、线性代数和群论等数学领域具有重要意义。
《刘大有数据结构》 chapter 5 数组字符串和集合类
再例如三维数组 再例如三维数组D[3][3][4]，可以把它看作一维 ， 数组 B1[3] = { D[0][3][4]，D[1][3][4]，D[2][3][4] } ， ，
下面我们给出一个 下面我们给出一个Array类的应用例子 类的应用例子. 类的应用例子 例5.1 编写一个函数，要求输入一个整数 ， 编写一个函数，要求输入一个整数N， 用动态数组A来存放 来存放2～ 之间所有 之间所有5或 的倍数 的倍数， 用动态数组 来存放 ～N之间所有 或7的倍数， 输出该数组. 输出该数组 说明 ： 因为 由用户给出 ， 编写程序时无法知 说明：因为N由用户给出 由用户给出， 道需要多大的数组来存放数据， 道需要多大的数组来存放数据，因此采用动态 数组（初始时大小为10） 数组（初始时大小为 ），每当数组满时就调 整数组大小，给它增加10个元素 个元素. 整数组大小，给它增加 个元素
数组在内存中一般是以顺序方式存储的 数组在内存中一般是以顺序方式存储的. 设一维数组 设一维数组A[n]存放在 个连续的存储单元中 ， 存放在n个连续的存储单元中 存放在 个连续的存储单元中， 每个数组元素占一个存储单元（不妨设为C个 每个数组元素占一个存储单元 （ 不妨设为 个 连续字节） 如果数组元素A[0]的首地址是 ， 的首地址是L， 连续字节）. 如果数组元素 的首地址是 则 A[1] 的 首 地 址 是 L+C ， A[2] 的 首 地 址 是 L+2C，… …，依次类推，对于 0 ≤ i ≤ n 1 有： ， ，依次类推，
B[i]={ A[i][0]，A[i][1]，…，A[i][n-2]，A[i][n-1] } -
《数据结构与算法》第五章-数组和广义表学习指导材料
《数据结构与算法》第五章数组和广义表本章介绍的数组与广义表可视为线性表的推广，其特点是数据元素仍然是一个表。
本章讨论多维数组的逻辑结构和存储结构、特殊矩阵、矩阵的压缩存储、广义表的逻辑结构和存储结构等。
5.1 多维数组5.1.1 数组的逻辑结构数组是我们很熟悉的一种数据结构，它可以看作线性表的推广。
数组作为一种数据结构其特点是结构中的元素本身可以是具有某种结构的数据，但属于同一数据类型，比如：一维数组可以看作一个线性表，二维数组可以看作“数据元素是一维数组”的一维数组，三维数组可以看作“数据元素是二维数组”的一维数组，依此类推。
图5.1是一个m行n列的二维数组。
5.1.2 数组的内存映象现在来讨论数组在计算机中的存储表示。
通常，数组在内存被映象为向量，即用向量作为数组的一种存储结构，这是因为内存的地址空间是一维的，数组的行列固定后，通过一个映象函数，则可根据数组元素的下标得到它的存储地址。
对于一维数组按下标顺序分配即可。
对多维数组分配时，要把它的元素映象存储在一维存储器中，一般有两种存储方式：一是以行为主序（或先行后列）的顺序存放，如BASIC、PASCAL、COBOL、C等程序设计语言中用的是以行为主的顺序分配，即一行分配完了接着分配下一行。
另一种是以列为主序（先列后行）的顺序存放，如FORTRAN语言中，用的是以列为主序的分配顺序，即一列一列地分配。
以行为主序的分配规律是：最右边的下标先变化，即最右下标从小到大，循环一遍后，右边第二个下标再变，…，从右向左，最后是左下标。
以列为主序分配的规律恰好相反：最左边的下标先变化，即最左下标从小到大，循环一遍后，左边第二个下标再变，…，从左向右，最后是右下标。
例如一个2×3二维数组，逻辑结构可以用图5.2表示。
以行为主序的内存映象如图5.3（a）所示。
分配顺序为：a11 ，a12 ，a13 ，a21 ，a22，a23 ; 以列为主序的分配顺序为：a11 ，a21 ，a12 ，a22，a13 ，a23 ; 它的内存映象如图5.3（b）所示。
第五章矩阵分析
一般地，对于任何不小于1的正数 p , 向量
x x1, x2 ,, xn T 的函数
1
x
p
n i1
xi
p p
也构成向量范数，称为向量的P-范数。
由 p 范数的存在，可知向量的范数有无穷多种，而且，向量的范数并不
仅限于 p 范数.在验证向量的范数定义中，三角不等式的过程中常涉及到两 个著名的不等式，即： 1、Hölder 不等式 设正实数 p, q 满足 1 1 1, 则对任意的 x, y Cn , 有
有了谱半径的概念，可以对矩阵范数作如下的初步估计.
定理 6 设 A C nn ,则对 C nn 上的任一矩阵范数 ，皆有
( A) A
证 设 是 A 的特征值， x 为 A 的属于特征值 的特征向量，故 x 0 ，所 以 x 0 .另设 是 Cn 上与矩阵范数 相容的向量范数，由 Ax x ，应有
则有正实数 C1,C2 , 使对一切矩阵 A 恒有
C1
A
A
C2
A
第二节 向量与矩阵序列的收敛性
定义5：设有向量序列xk : xk x1(k) , x2(k) ,, xn(k) T ,
如果对i 1,2,, n ,
数列
x(k) i
均收敛且有lim k
xi( k
)
xi
则说向量序列xk 收敛，如记 x (x1, x2,...,xn)T ,
k
xi(k
)
xi
i 1,2,...,n
lim
k
xi(k )
xi
0,
i 1,2,...,n
lim
k
max
1in
xi(k
)
xi
第5章 数组和稀疏矩阵
①删除查询：从一个或多个表中删除一批记录。 ②更新查询：更新查询可以更改已存在数据的 表。 ③追加查询：是一种向已有数据的表中添加记 录的查询。 ④生成表查询：是一种通过复制查询结果而生 成新表的查询，生成的表独立于数据源，如同 在数据库中创建的表一样。
例：追加查询。 例：追加查询。
先建立一个新表，包含两个字段，学号(文本型) 先建立一个新表，包含两个字段，学号(文本型)和姓 名(文本型)，命名为“临时表”。 文本型) 命名为“临时表” 进入查询设计视图，显示“学生信息表” 进入查询设计视图，显示“学生信息表”，工具条上 的【查询类型】选择“追加查询”，在弹出的“追加” 查询类型】选择“追加查询” 在弹出的“追加” 对话框中选择上一步建立的“临时表” 单击确定。 对话框中选择上一步建立的“临时表”，单击确定。
“函数”中选择“求和” ，选中“是，包括各行小计”， 函数”中选择“求和” 选中“ 包括各行小计” 单击“下一步” 单击“下一步”。
结果如图所示，结果表的行为学生的姓名， 结果如图所示，结果表的行为学生的姓名，列为各门成 绩以及总成绩。 绩以及总成绩。
第五节 操作查询
［选择、填空］利用操作查询可以对查询数据 源进行各种操作，如删除记录、更新记录、追 加记录，甚至生成一个新表。操作查询不同于 一般选择查询，其特点是在查询的同时，会改 变原来表中的数据，因此执行操作查询时系统 会给出警告信息，用户应做好备份工作。 ［填空］生成表查询可以把选择查询得到的结 果变成一个真正的表，这个表完全独立于数据 源，用户对生成的新表进行任何操作，都不会 影响原来的表。
第一节 查询的类型与查询视图
根据查询方法和对查询结果的处理不 同，可以把Access中的查询划分为“ 同，可以把Access中的查询划分为“选 择查询” 择查询”、“参数查询”、“交叉表查 参数查询” 询”、“操作查询”和“SQL查询”等 操作查询” SQL查询” 五种类型。 ［选择、填空］Access为 查询” ［选择、填空］Access为“查询”提供了 三种视图方式，即“设计”视图、“ 三种视图方式，即“设计”视图、“数 据表”视图和“SQL” 据表”视图和“SQL”视图。
第5章演示
对称矩阵的压缩存储
(2)压缩存储： ③数组Sa中的元素与矩阵元素aij存在着一一对应的 关系。 假设数组元素Sa[k]中存放的是矩阵元素aij,则它们 之间的对应关系实质上就是下标值k和i、j之间的对应 关系。
对称矩阵的压缩存储的下标转换公式为：
i(i-1)/2+(j-1),当i>=j k= j(j-1)/2+(i-1),当i<j
稀疏矩阵
3、稀疏矩阵的存储结构 (2)算法：将矩阵M转置为矩阵T
M.data M.data[1] 1 2 12 M.data[2] 1 3 9 M.data[3] 3 M.data[4] 3 M.data[5] 4 M.data[6] 5 M.data[7] 6 M.data[8] 6 1 6 3 -3 14 24 T.data T.data[1] 1 3 -3 T.data[2] 1 6 15
稀疏矩阵的三元组表表示法节约了存储空间， 实现了压缩存储。
稀疏矩阵
注意：
稀疏矩阵 唯一 三元组表
不唯一
解决办法：在三元表的基础上，再引入总行数、 总列数和非零元素总个数即可。
稀疏矩阵
3、稀疏矩阵的存储结构 (1)三元组顺序表 以顺序存储结构表示的三元组表。 三元组类型定义： typedef struct { int i,j; elemtype e; }Triple;
5.4 广义表的定义
二、表示 (1)用关系定义表示； (2)用图表示。 说明： ①广义表是一个多层次结构； ②广义表之间可以共享； ③广义表可以递归定义； ④表头可以为原子或子表；表尾只能为子表； ⑤( )与( ( ) )不同。
5.4 广义表的定义 A ＝( ) B ＝(e) C ＝(a, (b，c，d)) D ＝(A, B, C) E ＝(a, E) F ＝(( ))
高中信息学奥赛C++ 第5章 数组(C++版)
例5.3 宾馆里有一百个房间，从1100编了号。第一个服务员把所有的房 间门都打开了，第二个服务员把所有编 号是2的倍数的房间“相反处理”，第 三个服务员把所有编号是3的倍数的房 间作“相反处理”…，以后每个服务员 都是如此。当第100个服务员来过后， 哪几扇门是打开的。（所谓“相反处理” ห้องสมุดไป่ตู้：原来开着的门关上，原来关上的门 打开。） 【分析】此题较简单，用 a[1],a[2],…,a[n]表示编号为1，2， 3，…,n的门是否开着。模拟这些操作 即可，参考程序如下： #include<cstdio> #include<cstring> #define MAXN 100+10 int a[MAXN]; int main() { int n,k,first=1; memset(a,0,sizeof(a)); for (int i=1;i<=100;++i) for (int j=1;j<=100;++j) if (j%i==0) a[j]=!a[j];
for (int i=1;i<=100;++i) if (a[i]) { if(first) first=0; else printf(" "); printf("%d",i); } printf("\n"); return 0; } 运行结果： 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 【说明】： memset(a,0,sizeof(a))的作用是把 数组a清零，它在cstring中定义。虽 然也能用for循环完成相同的任务，但 是用memset又方便又快捷。另一个 技巧在输出：为了避免输出多余空格， 设置了一个标志变量first，可以表示 当前要输出是否为第一个。第一个变 量前不应该有空格，但其他都有。
《数据结构》第五章 数组 习题
《数据结构》第五章 数组 习题基本概念题：5-1 分别写出一维数组和二维数组的存储映象公式。
5-2 什么叫二维数组的行序优先存储？什么叫二维数组的列序优先存储？C 语言采用的是行序优先存储还是列序优先存储？5-3 什么叫随机存储结构？为什么说数组是一种随机存储结构？5-4 动态数组和静态数组在使用方法上有什么不同？5-5 什么样的矩阵叫特殊矩阵？特殊矩阵压缩存储的基本思想是什么？5-6 什么样的矩阵叫稀疏矩阵？稀疏矩阵压缩存储的基本思想是什么？5-7 什么叫稀疏矩阵的三元组？什么叫稀疏矩阵的三元组线性表？5-8 稀疏矩阵主要有哪些压缩存储结构？复杂概念题：5-9 设一个系统中二维数组采用以行序为主的存储方式存储，已知二维数组a[n][m]中每个数据元素占k 个存储单元，且第一个数据元素的存储地址是Loc(a[0][0])，求数据元素a[i][j](0≤i≤n -1, 0≤j≤m -1)的存储地址。
5-10 设一个系统中二维数组采用以行序为主的存储方式存储，已知二维数组a[10][8]中每个数据元素占4个存储单元，且第一个数据元素的存储地址是1000，求数据元素a[4][5]的存储地址。
5-11 画出一个3行3列二维动态数组存储结构示意图。
5-12 对于如下所示的稀疏矩阵A（1）写出该稀疏矩阵的三元组线性表；（2）画出稀疏矩阵A 的三元组顺序表结构；（3）画出稀疏矩阵A 的带头结点单链表结构；（4）画出稀疏矩阵A 的行指针数组链表结构；（5）画出稀疏矩阵A 的三元组十字链表结构。
算法设计题：5-13 为节省内存，n 阶对称矩阵采用压缩存储，要求：（1）编写实现C = A + B 操作的函数。
设矩阵A 、矩阵B 和矩阵C 均采用压缩存储方式存储，矩阵元素均为整数类型。
（2）编写一个采用压缩存储的n 阶对称矩阵的输出函数，要求输出显示成矩阵形式，设矩阵元素均为整数类型。
（3）设矩阵A 和矩阵B 为如下所示的矩阵，编写一个用矩阵A 和矩阵B 作为测试例子的测试上述函数的主程序。
Fortran讲义 第五章
数组指针
动态数组
数组的声 明
exam_5_1
用类型声明语句
<类型声明符>[::]<数组声明表> <数组声明表>→<数组名>（<维说明表>）[=<数组初值>] {,<数组名>（<维说明表>）[=<数组初值>]} <维说明表>→<维说明符>{,<维说明符>} <维说明符>→[<下界>:]<上界> 下界缺省为1 <数组初值>→（/<初值1>,…,<初值n>/）| [<初值1>,…,<初值n>] n为数组的大小
数组元素的存储顺序
按列存储(Column major)
的描 述
数组的引用
数组名 数组元素 数组片段
三元下标：a(1:2, -1:3:2) 向量下标：a(2, b) b=(/-1, 1, 3/)
a(1:3, -1:4)
a a(1,3)
数组越界：debug状态检查，release状态不检查
Fortran数 组的种类
显式形状数组（explicit-shape）
静态显式 自动数组（automatic array） 可调数组（adjustable array） 静态数组
假定形状数组（assumed-shape）
假定大小数组（assumed-size）
延迟形状数组（deferred-shape）
用dimension语句：dimension <数组声明表> 用代dimension属性的类型声明语句
vb第五章 数组
5.2 数组的基本操作
VB不允许对数组整体操作，例如： Dim A(2,3) As Integer A=2 不允许！ 只能对数组元素进行操作，例如： A(1,1)=1 A(1,3)=2 A(2,2)=A(1,1)*2+A(1,3)
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一、数组元素的赋值
1、用赋值语句给数组元素赋值 例如：A（1，1）=1 A（1，2）=5 2、通过循环语句给数组元素赋值 例如： For I=1 To 10 A(I)=Int(100*Rnd)+1 Next I 该循环语句产生10个100以内的随机整数，存 入数组A中。
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For Each –Next举例(一维数组的使用) P90例
运行结果： Option base 1 14 21 28 35 42 49 Private Sub Form_Click() 56 63 Dim A(12) As Integer, V As Variant 70 77 84 91 Dim I%, Js% Js = 0 Js = 14 For Each V In A For I = 1 To 12 Js = Js + 1 A(I) = Js Print V; If Js Mod 6 = 0 Then Print Js = Js + 7 输出每行 Next V Next I 6个元素 Print End Sub
数组是具有相同数据类型的多个 值的集合，数组的所有元素按一定顺 序存储在连续的存储单元中。
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一维数组的结构
逻辑结构 内存的存 放次序
StrA(0) StrA(1) StrA(2) StrA(3) StrA(4) StrA(5) StrA(6) StrA(7) StrA(8)
存储结构
矩阵和数组
矩阵和数组矩阵和数组是计算机科学中非常重要的概念。
它们是用于存储和处理数据的基本数据结构。
在本文中，我们将探讨矩阵和数组的定义、特点、应用以及它们之间的区别。
矩阵是一个由数值排列成的矩形阵列。
它由行和列组成，每个元素都有一个唯一的位置。
矩阵可以用于表示线性方程组、图像处理、机器学习等领域。
矩阵的特点是它们可以进行加、减、乘、转置等操作。
矩阵的加法和减法是按元素进行的，而矩阵的乘法是按照矩阵乘法规则进行的。
矩阵的转置是将矩阵的行和列互换。
数组是一组相同类型的数据元素的集合。
数组可以用于存储和处理大量的数据。
数组的特点是它们可以进行索引、遍历、排序等操作。
数组的索引是从0开始的，可以通过索引访问数组中的元素。
数组的遍历是按照顺序访问数组中的元素。
数组的排序是将数组中的元素按照一定的规则进行排序。
矩阵和数组在应用中有很多相似之处。
它们都可以用于存储和处理数据。
例如，矩阵可以用于图像处理，而数组可以用于存储图像数据。
矩阵可以用于机器学习中的矩阵分解，而数组可以用于存储机器学习中的数据集。
矩阵和数组都可以用于科学计算、金融分析、工程设计等领域。
尽管矩阵和数组有很多相似之处，但它们之间也有一些区别。
最明显的区别是它们的形状。
矩阵是一个矩形阵列，而数组可以是一维或多维的。
另一个区别是它们的操作。
矩阵的操作是按照矩阵乘法规则进行的，而数组的操作是按照数组的规则进行的。
此外，矩阵和数组在内存中的存储方式也不同。
矩阵和数组是计算机科学中非常重要的概念。
它们是用于存储和处理数据的基本数据结构。
矩阵和数组在应用中有很多相似之处，但它们之间也有一些区别。
了解矩阵和数组的定义、特点、应用以及它们之间的区别，可以帮助我们更好地理解计算机科学中的数据结构和算法。
《C语言程序设计》课件 第五章 数组
a(5948)
a[2](5964) a[1](5956) a[0](5948) 图 5-10
a[2][1] (5968) a[2][0] (5964) a[1][1] (5960) a[1][0] (5956) a[0][1] (5952) a[0][0](5948)
return 0;
}
5.1.4一维数组程序举例
3.用选择法对输入的n个学生的单科成绩进行 从小到大排序。
编程思路： 直接选择排序的过程是：首先在所有数据中找出值 最小（最大）的数据，把它与第1个数据交换，然后 在其余的数据中找出值最小（最大）的数据，与第2 个数据交换......依次类推，这样，n个数据经过n-1轮 交换后可得到有序结果。
printf("%3d ",a[i]); printf("\n"); return 0; }
5.1.3 一维数组的初始化 5.1.3 一维数组的初始化
数组初始化常见的格式：
1.用大括号括起来的常量表达式列表，常量表达式 之间用逗号进行分隔： int a[10]={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10};
注意：
不要将a[i][j]写成a[i,j]，否则编译系统会将逗号分隔 符作为逗号运算符处理，即将a[i,j]视为a[j]。
5.2.2二维数组元素的引用
可以将二维数组看成是特殊的一维数组。
例如，二维数组a[3][2]可以看成是长度为3的一维数组， 所含的3个数组元素分别为：a[0]、a[1]、a[2]
for(i=0;i<3;i++) for(j=0;j<5;j++)
第5章 数组
表示元素个数 下标从0开始
❖定义方式：
<存储类型> <类型说明符> 数组名[常量表达式]；
例 int a[6];
a
表示数组的 起始地址， 是地址常量
0 a[0] 1 a[1] 2 a[2] 3 a[3] 4 a[4] 5 a[5]
[ ] :数组运算符 单目运算符 优先级(1) 左结合 不能用( )
编译时分配连续内存（顺序存储结构） 内存字节数=数组长度*sizeof(元素数据类型)
程序举例 #include <stdio.h>
例 读10个整#v数doie存dfimn入ea数SinI组(Z)E，1找0 出其中最大值和最小值
步骤:
{ int x[SIZE],i,max,min;
1. 输入:for循环p输rin入tf1(0"个En整te数r 10 integers:\n");
2. 处理:
例例 ininttdia=t1a5[5; ];
dianttad[5a]t=a1[i0];;
(不能用变量定义数组长度)
//C语言对数组不作越界检查,使用时要注意
一维数组元素的引用
❖ 数组必须先定义，后使用
❖ 只能逐个引用数组元素，不能一次引用
整个数组
❖ 数组元素表示形式:数组名[下标表达式]
其中：下标可以是整型常量或整型表达式
第五章 数组
[本章要求] 1.掌握一维数组的定义、内部表示。 2.掌握数组的下标表示、初始化和使用。 3.掌握一维字符数组(字符串)的使用。 4. 了解多维数组的定义，初始化和使用。
什么是数组？
构造数据类型之一
数组:同类有序数据的集合,用数组名标识
数组元素:数组中每个数据都是一个数组 元素，属同一数据类型,用数组名和下标 确定
第五章矩阵分析（改）
第五章矩阵分析（改）第五章矩阵分析本章将介绍矩阵微积分的⼀些内容.包括向量与矩阵序列的收敛性、矩阵的三种导数和矩阵微分与积分的概念，简要介绍向量与矩阵范数的有关知识.§5.1 向量与矩阵的范数从计算数学的⾓度看，在研究计算⽅法的收敛性和稳定性问题时，范数起到了⼗分重要的作⽤.⼀、向量的范数定义1 设V 是数域F 上n 维（数组）向量全体的集合，x 是定义在V 上的⼀个实值函数，如果该函数关系还满⾜如下条件：1）⾮负性对V 中任何向量x ，恒有0x ≥，并且仅当0=x 时，才有x =0；2）齐次性对V 中任意向量x 及F 中任意常数k ，有;x k kx = 3）三⾓不等式对任意V y x ∈,，有y x y x +≤+，则称此函数x （有时为强调函数关系⽽表⽰为?）为V 上的⼀种向量范数.例1 对n C 中向量()T n x x x x ,,,21 =，定义222212nx x x x+++=则2x 为n C 上的⼀种向量范数[i x 表⽰复数i x 的模].证⾸先，2n x C 是上的实值函数，并且满⾜1）⾮负性当0x ≠时，0x >；当0x =时，0x =； 2）齐次性对任意k C ∈及n x C ∈，有22||||||kx k x ==；3）三⾓不等式对任意复向量1212(,,,),(,,,)T T n n x x x x y y y y ==，有222221122||||||||()n n x y x y x y x y +=++++++2221122()()()n n x y x y x y ≤++++++22111||2||||||nnni i i i i i i x x y y ====++∑∑∑（由Cauchy-ВуНЯКОВСКИЙ不等式）222222222||||2||||||||||||(||||||||),x x y y x y ≤++=+因此 222||||||||||||x y x y +≤+所以 2||||x 确为n C 上的⼀种向量范数例2 对n C [或n R ]上向量12(,,,)T n x x x x =定义112||||||||||n x x x x =+++，1max i i nxx ∞≤≤=，则1||||x 及x ∞都是n C [或n R ]上的向量范数，分别称为1-范数和∞-范数.证仅对后者进⾏证明. 1）⾮负性当0x ≠时，max 0i ixx ∞=>，⼜显然有00∞=；2）齐次性对任意向量()T n x x x x ,,,21 =及复数k ，max max ;i i iikxkx k x k x ∞∞===3）三⾓不等式对任意向量1212(,,,),(,,,),T T n n x x x x y y y y ==()i i ii i iy x y x yx +≤+=+∞max maxi ii iy x max max +≤ =∞∞+y x .综上可知∞x 确为向量范数.上两例中的∞x x x ,,21是常⽤的三种向量范数.⼀般地，对于任何不⼩于1的正数p ，向量()T n x x x x ,,,21 =的函数pni p i px x11??=∑= 也构成向量范数，称为向量的p -范数.注（1）当1p =时，1;pxx =（2）当2p =时，2x 为2-范数，它是⾣空间范数；当i x 为实数时，12221()ni i x x ==∑为欧⽒空间范数；由p -范数的存在，可知向量的范数有⽆穷多种，⽽且，向量的范数并不仅限于p -范数.在验证向量的范数定义中，三⾓不等式的过程中常涉及到两个著名的不等式，即：1、H?lder 不等式设正实数,p q 满⾜111,p q+=则对任意的,,n x y C ∈有11111()()nnnpq pqi ii i i i i x yx y ===≤∑∑∑2、Minkowski 不等式对任意实数1p ≥,及,,n x y C ∈有（111111()()()nnnpp ppppi i i i i i i x y x y ===+≤+∑∑∑）.例3 设()T n 1,,1,1 =为n 维向量，则1,,21===∞xn x n x各种范数值差距很⼤.但是，各种范数之间却存在着内在的制约关系，称为范数的等价性.定理1 设βα??,为有限维线性空间V 的任意两种向量范数（它们不限于p -范数），则存在正的常数12,C C ,使对⼀切向量x ，恒有βαβx C x xC 21≤≤ (1)证如果范数x α和x β都与⼀固定范数譬如2-范数2x 满⾜式（1）的关系，则这两种范数之间也存在式（1）的关系，这是因为若存在正常数12,C C ''和12,C C ''''，使 1222122,C x x C x C xx C x αββ''≤≤''''≤≤成⽴，则显然有1122||||||||||||C C x x C C x βαβ''''''≤≤ 令111222,C C C C C C ''''''==，则得式（1），因此只要对2β=证明或（1）成⽴即可.设V 是n 维的，它的⼀个基是12,,,n x x x ，于是V 中的任意向量x 可表⽰为1122n n x x x x ξξξ=+++从⽽，1122n n x x x x ααξξξ=+++可视为n 个变量12,,,n ξξξ的函数，记为12(,,,)n x α?ξξξ=，易证12(,,,)n ?ξξξ是连续函数，事实上，若令1122nn x x x x V ξξξ''''=+++∈,则 12(,,,)nx α?ξξξ''''=. 1212(,,,)(,,,)n n x x x x αααξξξ?ξξξ'''''-=-≤- 11111()()nn n nn n x x x x αααξξξξξξξξ''''=-++-≤-++-. 由于ix α(1,2,,)i n =是常数，因此i ξ'与i ξ充分接近时，12(,,,)nξξξ'''就与12(,,,)n ?ξξξ充分接近，所以12(,,,)n ?ξξξ是连续函数.所以在有界闭集{1212(,,,)1n S ξξξξξξ=+++=上，函数12(,,,)n ?ξξξ可达到最⼤值2C 及最⼩值1C .因此在S 中，i ξ不能全为零，所以10C >.记向量1212222nn y x x x xxxξξξ=+++，则其坐标分量满⾜22212122221nx x xxxξξξ+因此，y S ∈.从⽽有 11122220,,n C yC xx x αξξξ<≤=≤ ? ???. 但2,xy x =故 122x C C x α'≤≤. 即 12222C x x C x ≤≤.⼆、矩阵的范数定义 2 设V 是数域F 上所有n m ?矩阵的集合，A 是定义在V 上的⼀个实值函数，如果该函数关系还满⾜如下条件：对V 中任意矩阵A 、B 及F 中任意常数k 总有1）⾮负性 0≥A 并且仅当0=A 时，才有0=A ； 2）齐次性 A kkA =；3）三⾓不等式 B A B A +≤+；则称()?A是V 上的⼀种矩阵范数.例4 对n m C ?（或n m R ?）上的矩阵A ()ij a =定义∑∑===mi nj ij M a A111，∑∑===m i nj ijM aA1122，11max ij M i m j nA a ∞≤≤≤≤=，则∞M M M ,,21都是n m C ?（或n m R ?）上的矩阵范数.实⽤中涉及较多的是⽅阵的范数，即m n =的情形.定义 3 设F 是数域，?是n n F ?上的⽅阵范数.如果对任意的,n n A B F ?∈，总有AB A B ≤?，则说⽅阵范数?具有乘法相容性.注意：在某些教科书上，往往把乘法相容性直接纳⼊⽅阵范数的定义中作为第4个条件，在读书时，只要注意到各⾃定义的内涵就可以了.例 5 对n n C ?上的矩阵][A ij a =定义ij nj i a n A ≤≤?=,1max ，则?是⼀种矩阵范数，并且具备乘法相容性.证⾮负性与齐次性显然成⽴，另两条证明如下：三⾓不等式ij ij b a n B A +?=+max()max max ij ij n a b ≤+ B A +=；乘法相容性≤?=∑∑==n k kj ik nk kj ik b a n b a n AB 11max max()()B A b n a n ij ij =?≤max max ，证得A 为矩阵范数且具有乘法相容性.并不是所有的⽅阵范数都具有乘法相容性.例如对于22?R 上的⽅阵范数.M ∞就不具备相容性条件.此时ij j i M a A2,1m ax ≤≤=∞.取 1110,0111A B== ? ?????，∞M M BA ，⽽ 2M M M ABA B∞∞∞=>.定义4 如果n 阶矩阵A 的范数A 与n 维向量x 的范数x ，使对任意n 阶矩阵A 及任意n 维向量x 均有x A Ax ≤，则称矩阵范数A 与向量范数x是相容的.定理2 设x 是某种向量范数，对n 阶矩阵A 定义AxxAx A x x 1max max=≠==（2）则A 为⽅阵范数，称为由向量范数x 导出的矩阵范数，⽽且它具有乘法相容性并且与向量范数x 相容.证⾸先可证，由（2）式定义的函数关系||||A 满⾜与向量范数||||x 的相容性.对于任意n 阶矩阵A 及n 维向量x ，当0x ≠时，有0||||||||max ||||||||||||y Ax Ay A x y ≠≤=，即 ||||||||||||;Ax A x ≤（3）⽽当0x =时，||||0||||||||Ax A x ==，于是总有（3）式成⽴.容易验证||||A 满⾜范数定义中的⾮负性、齐次性及三⾓不等式三个条件，因⽽A 是⼀种⽅阵范数.并且，对任意n 阶矩阵,A B ，利⽤（2）式和（3）式可得maxmaxmaxx x x A BxABx Bx AB A A B xxx即说矩阵范数A 具备乘法相容性.⼀般地，把由向量p -范数p x 导出的矩阵范数记作p A .下⾯看常⽤的三种矩阵范数：例6 证明：对n 阶复矩阵[]i j A a =，有 1）11max nij j ni Aa ∞≤≤==∑，称为A 的列和范数.2）11max nij j nj Aa ∞≤≤==∑，称为A 的⾏和范数.证 1）设111max nnijikj ni i w a a≤≤===∑∑.若A 按列分块为12(,,,)n A ααα=则111max k j j nw αα≤≤==.任意n 维向量12(,,)T n x x x x =，有112211221111112111()max .n n n nn jj nAx x x x x x x x x x x w ααααααα≤≤+++≤+++≤+++≤＝于是，对任意⾮零向量x 有11Ax w x ≤. 以下证明存在⾮零向量k e 使11k kAe w e =.事实上，设k e 是第k 个分量为1⽽其余分量全为0的向量，则1k e =1,且1k ik i Ae a w =∑n=1＝,即11k kAe w e =.2）的证明与1）相仿，留给读者去完成. 例7 证明对n 阶复矩阵A ，有21max i i nA σ≤≤=，这⾥()n i i ,,2,1 =σ是A 的奇异值，称此范数为A 的谱范数.证设H A A 的全部特征根为12,,n λλλ不妨设11max i i nλλ≤≤=.于是11max i i nσσ≤≤==.因为H A A 为H -矩阵，故有⾣矩阵U ，使得,,H H U A AV diag λλλ=Λ=12n (,).如设12(,,,)n U u u u =则i u 是H A A 相应于特征根i λ的单位特征向量，即有,H i i i A A u u λ= 21iu =.对任意满⾜2||||1x =的复向量12(,,,)T n x x x x = ，有22||||()()H H Ax Ax Ax x ==H令H y U x =，则222222||||||||||||1H y U x x ===，说明y 亦为单位向量.若设12(,,,)T n y y y y =,则2221||||||1nii y y ===∑于是 22211||||||nHi i i Ax y y y λλ==Λ=≤∑.即有12Ax σ≤.由x 的任意性，便得21221max x A Ax σ==≤特别取1x u =，则有211111112H H H Au u A Au u u λλ==＝，即112Au σ=.这说明2Ax 在单位球⾯{}21,n x x x C =∈上可取到最⼤值1σ，从⽽证明了21221max x A Ax σ===各种矩阵范数之间也具有范数的等价性定理 3 设,a A A β是任意两种矩阵范数则有正实数12,,C C 使对⼀切矩阵A 恒有12a C A A C A ββ≤≤§5.2 向量与矩阵序列的收敛性在这⼀节⾥，我们将把数列极限的概念，扩展到向量序列与矩阵序列上去.可数多个向量（矩阵）按顺序成⼀列，就成为⼀个向量（矩阵）序列，()12(,,,)k k k Tk n x x x x =，1,2,3,k=是⼀个n 维向量序列，记为{}k x ，诸k x 的相应分量则形成数列{}k i x .定义5 设有向量序列()()()12{}:(,,,)k k k Tk k n x x x x x =.如果对1,2,i n =，数列(){}k i x 均收敛且有()lim k i i k x x →∞=，则说向量序列{}k x 收敛.如记12(,,,)T n x x x x =，则称x 为向量序列{}k x 的极限，记为lim k k x x →∞=，或简记为k x x →.如果向量序列{}k x 不收敛，则称为发散.类似于数列的收敛性质，读者不难证明向量序列的收敛性具有如下性质.设{},{}k k x y 是n C 中两个向量序列，,a b 是复常数，n ,m A C ?∈如果lim ,lim k k k k x x y y →∞→∞==，则1lim();2lim .k k k k k ax by ax by Ax Ax →∞→∞>+=+>=定理 4 对向量序列{}k x ，x x k =∞→k lim 的充分必要条件是0lim =-∞→x x k k ，其中?是任意⼀种向量范数.证明1）先对向量范数i ni x x=1max 证明定理成⽴.有i k i k k k x x x x =?=∞→∞→)(lim lim ，n i ,...,2,1=；,0lim )(=-?∞→i k i k x x n i ,...,2,1=；0max lim )(1=-?≤≤∞→i k i ni k x x ；0lim =-?∞∞→xx k k .2）由向量范数等价性，对任⼀种向量范数?，有正实数21,b b ，使∞∞-≤-≤-x x b x x xx b k k k 21.令∞→k 取极限即知lim 0lim 0k k k k x x x x∞→∞→∞-=?-=.于是定理对任⼀种向量范数都成⽴.根据上述定义，向量序列有极限的根本之处在于各分量形成的数列都有极限.由于m n C ?中矩阵可以看作⼀个mn 维向量，其收敛性可以和mn C 中的向量⼀样考虑.因此，我们可以⽤矩阵各个元素序列的同时收敛来规定矩阵序列的收敛性.定义 6 设有矩阵序列{}n m k ij k k a A A ?=][:)(，如果对任何,(1,1)i j i m j n ≤≤≤≤，均有ij k ij k a a =∞→)(lim 则说矩阵序列{}k A 收敛，如令n m ij a A ?=][，⼜称A 为{}k A 的极限.记为,lim A A k k =∞→或A A k →.矩阵序列不收敛时称为发散.→lim ，则()aA A a k k k =∞→lim .特别，当a 为常数时，()k k k k A a aA ∞→∞→=lim lim .2) 若A A k k =∞→lim ，B B k k =∞→lim ，则()B A B A k k k ±=±∞→lim .3) 若A A k k =∞→lim ，B B k k =∞→lim ，则()AB B A k k k =∞→lim .4) 若A A k k =∞→lim 且诸k A 及A 均可逆，则{}1-k A 收敛，并且11lim --∞→=A A k k .。
数据结构期末复习重点知识点总结
第一章绪论一、数据结构包括：逻辑结构、存储结构、运算（操作）三方面内容。
二、线性结构特点是一对一。
树特点是一对多图特点是多对多三、数据结构的四种存储结构：顺序存储、链式存储、索引存储、散列存储顺序存储结构和链式存储结构的区别？线性结构的顺序存储结构是一种随机存取的存储结构。
线性结构的链式存储是一种顺序存取的存储结构。
逻辑结构分类：集合线性树图，各自的特点。
或者分为线性结构和非线性结构。
四、算法的特征P13五、时间复杂度(1) i=1; k=0;while(i<n){ k=k+10*i;i++;}分析：i=1; //1k=0; //1while(i<n) //n{ k=k+10*i; //n-1i++; //n-1}由以上列出的各语句的频度，可得该程序段的时间消耗：T(n)=1+1+n+(n-1)+(n-1)=3n可表示为T(n)=O(n)六、数据项和数据元素的概念。
第二章线性表一、线性表有两种存储结构：顺序存储和链式存储，各自的优、缺点。
二、线性表的特点。
三、顺序表的插入、思想、时间复杂度o(n)、理解算法中每条语句的含义。
（1）插入的条件：不管是静态实现还是动态实现，插入的过程都是从最后一个元素往后挪动，腾位置。
静态是利用数组实现，动态是利用指针实现。
不管静态还是动态，在表中第i个位置插入，移动次数都是n-i+1。
四、顺序表的删除、思想、时间复杂度o(n)、理解算法中每条语句的含义。
（1）删除的条件：不管是静态实现还是动态实现，删除的过程都是从被删元素的下一位置向前挪动。
静态是利用数组实现，动态是利用指针实现。
不管静态还是动态，删除表中第i个元素，移动次数都是n-i。
五、顺序表的优缺点？为什么要引入链表？答：顺序表的优点是可以随机存取，缺点是前提必须开辟连续的存储空间且在第一位置做插入和删除操作时，数据的移动量特别大。
如果有一个作业是100k，但是内存最大的连续存储空间是99K，那么这个作业就不能采用顺序存储方式，必须采用链式存储方式。
第5章 数组(C++版) 第二节 二维数组
例5.10 大部分元素是0的矩阵称为稀疏矩阵，假设有k个非0元素，则可把稀疏矩阵用 K*3的矩阵简记之，其中第一列是行号，第二列是列号，第三列是该行、该列下的非元素 的值。如： 0 0 0 5 写简记成： 1 4 5 //第1行第4列有个数是5 0 2 0 0 2 2 2 //第2行第2列有个数是2 0 1 0 0 3 2 1 //第3行第2列有个数是1 试编程读入一稀疏矩阵，转换成简记形式，并输出。 【分析】 本题中需要解决的主要问题是查找非零元素并记忆位置。将原始矩阵存于数组a。 转换后的矩阵存于数组b，当然b数组的行数可以控制在一个小范围内。
第五章 数组
第一节 一维数组 第二节 二维数组 第三节 字符数组和字符串类型
第二节 二维数组
一、二维数组的定义 当一维数组元素的类型也是一维数组时，便构成了“数组的数组”，即二维数组。二维数 组定义的一般格式： 数据类型 数组名[常量表达式1] [常量表达式2] ； 例如：int a[4][10]; a数组实质上是一个有4行、10列的表格，表格中可储存40个元素。第1行第1列对应a数组 的a[0][0]，第n行第m列对应数组元素a[n-1][m-1]。 说明：当定义的数组下标有多个时，我们称为多维数组，下标的个数并不局限在一个或二 个，可以任意多个，如定义一个三维数组a和四维数组b： int a[100][3][5]; int b[100][100][3][5]; 多维的数组引用赋值等操作与二维数组类似。 二、二维数组元素的引用 二维数组的数组元素引用与一维数组元素引用类似，区别在于二维数组元素的引用必须给 出两个下标。 引用的格式为： <数组名>[下标1][下标2] 说明：显然，每个下标表达式取值不应超出下标所指定的范围，否则会导致致命的越界错 误。 例如,设有定义：int a[3][5]; 则表示a是二维数组（相当于一个3*5的表格），共有3*5=15个元素，它们是： a[0][0] a[0][1] a[0][2] a[0][3] a[0][4] a[1][0] a[1][1] a[1][2] a[1][3] a[1][4] a[2][0] a[2][1] a[2][2] a[2][3] a[2][4] 因此可以看成一个矩阵（表格），a[2][3]即表示第3行第4列的元素。
vb6.0高清教程系列 第05章 数组(共九章)
5.1 概 述
数组的概念：数组并不是一种数据类型，而 是一组相同类型数据的集合。用一个统一的名字 （ 数组名） 代表逻辑上相关的一批数据，每个元 素用下标变量来区分；下标变量代表元素在数组 中的位置。
其表示形式： A(1)，A(10) X(1,1), Y(0,0,0), X1(1,10), Y(1,2,5) X(2,10)
例5.1
5.2.4 一维数组的应用
一、分类统计
例5.2 在 例 5.1中 如 果 还 要 统 计 0~9， 10~19， 20~20， …. 80~89，90~99分数段及100分的学生人。 则可另用数组bn来存各分数段的人数，并用bn(0)存 0~9分的人数，bn(1)存10~19分的人数，…bn(9)存90~99 分的人数，bn(10)存100分的人数。
5.2.3 一维数组的基本操作
1. 可通过循环给数组元素的初值 For i = 1 To 10 A(i)=1 Next i 'A数组的每个元素值为1
2. 数组的输入 For i = 1 To 4 For j = 1 To 5 sc(i, j) = InputBox("输入sc(" &i & "," & j & ") 的值") Next j Next I
1．选择法排序
算法思想： 1）对有n个数的序列（存 放在数组a(n)中），从中选 出最小（升序）或最大（降 序） 的数， 与第1个数交换 位置； 2） 除第1 个数外， 其余 n-1个 数 中 选 最 小 或 最 大的 数，与第2个数交换位置； 3）依次类推，选择了n-1 次后，这个数列已按升序排 列。
3．Split函数 使用格式： Split(<字符串表达式> [,<分隔符>]) 说明： 使用Split函数可从一个字符串中，以某个指定符号为分隔 符，分离若干个子字符串，建立一个下标从零开始的一维数 组。 补充例： 使用文件框，通过编程实现大量数据的输入 输入一系列的数据，存放在数组中。对输入的数据允许 修改和自动识别非数字数据。 分析： 利用文本框实现大量数字串的输入和编辑的功能； 通过编程将输入的数字串以逗号为分界符分离出各项数据； 对非数字： 数组名(下标1，下标2)
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基于向量类的集合类实现方法:
1 MyVector类增加的成员函数
2 集合类MySet 3 集合类MySet的测试
5.4 矩阵类
矩阵是工程设计中经常使用的数学工具。 矩阵用两维数组处理最为方便。 二维数组存储结构
w列
... ... . . .
（a）无序转置；（b）有序转置
5.6.3 三元组链表
稀疏矩阵的所有三元组也可采用链表结构存储。用链
表存储的稀疏矩阵三元组简称三元组链表。在三元组链表 中每个结点的数据域由稀疏矩阵非零元的行号、列号和元 素值组成。
行数 列数 head
6 7 1 3 11 1 5 17 2 2 25 4 1 19 5 4 37 6 7 50
h行
...
5.5 特殊矩阵
特殊矩阵是指这样一类矩阵，其中有许多值相同的元 素或有许多零元素，且值相同的元素或零元素的分布 有一定规律。一般采用二维数组来存储矩阵元素。但 是，对于特殊矩阵，可以通过找出矩阵中所有值相同 元素的数学映射公式，只存储相同元素的一个副本， 从而达到压缩存储数据量的目的。
5.5.1 特殊矩阵的压缩存储
下标 0 1 1 4 7 2 5 8 3 6 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (b) 行优先顺序存储结构 第 3行 第 2行 第 1行
下标 0 1 1 4 7 2 5 8 3 6 9 列优先顺序存储结构 第 3列 第 2列 第 1列
2
3 4 5 6 7 8
2
3 4 5 6 7 8 (c)
(a)
约束条件为：0≤i≤getLength()-1。
5.1.4 Java语言支持的数组功能
1 基本数据类型的数组 由于数组是非常基础的程序设计语言要素，所以 Java语言设计实现了数组功能。Java语言（以及大部 分高级程序设计语言）支持的数组操作有：
（1）分配内存空间
（2）获得数组长度 （3）存数组元素 （4）取数组元素
5.3 集合
5.3.1 集合的概念 集合（Set）是具有某种相似特性的事物的
全体。换一种说法，也可以说，集合是某种具
有相同数据类型的数据元素全体。 如果一个数据元素x在一个集合A中，则说 数据元素x属于集合A；如果一个数据元素x不 在一个集合A中，就说数据元素x不属于集合A。
如果集合A中的所有数据元素都在集合B中，
0 0 11 0 17 0 0 0 25 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 19 0 0 0 0 0 0 0 0 0 37 0 0 0 0 0 0 0 0 0 50
(a)
{{1,3,11},{1,5,17},{2,2,25}, {4,1,19},{5,4,37},{6,7,50}}
value
11 17 25 19 37 50
size=6
6
rows
6 7 6
...
...
...
...
cols dNum
maxSize-1
转置操作的内存示意图
v row
0 1 2 3 4 5 6 3 5 2 1 4 7
v value
11 17 25 19 37 50 0 1 2 3 4 5 6
col
Loc(ai) = Loc(a0) + i × k ( 0≤i＜n ) 5对一个m行n列的二维数组，设a00是行下标和列下标均 为0的数组元素，Loc(a00)是a00的存储地址，k是每个数据
元素所需的字节个数，则数组中任一数据元素aij的内存单
元地址Loc(aij)可由下面公式求出： Loc(aij) = Loc(a00) + (i × n + j) × k ( 0≤i＜m, 0≤j＜n）
∧
头结点
带头结点的三元组链表结构
行指针数组结构的三元组链表
行指针数组 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 行号 头指针 3 2 11 25 列号 5 17
∧
∧
非零元素
∧
1 4 7 19 37 50
∧ ∧ ∧
三元组十字链表
列指针数组
∧
行指针数组
1 3 11 1 5 17
纵向头指针
∧
2 2 25
1 1 2 4 5 6
row
1 2 3 4 5 7
col
4 2 1 5 1 6
value
19 25 11 37 17 50
...
rows
... ... ...
7
rows
... ... ... ...
7 6 6
cols dNum
6 6 maxSize-1
cols dNum
(b)
maxSize-1
(a)
2 稀疏矩阵类
对于稀疏矩阵来说，矩阵的行数、列数和非零
元个数是矩阵操作的基本数据，因此，这些成分要
因此，要把MyVector类的对象设计为成员变量。
设计为成员变量。另外，要用数组保存所有三元组，
数组结构稀疏矩阵三元组的内存示意图
row
0 1 2 3 4 5 1 1 2 4 5 6
v col
3 5 2 1 4 7
则说集合B包含集合A。
集合的运算主要有三种：两个集合的并A∪B、 两个集合的交A∩B、两个集合的差A-B。 没有一个数据元素的集合称做空集合
5.3.2 集合抽象数据类型
数据集合 数据元素集合可以表示为{a0, a1, a2, ..., an-1}，每个数 据元素的数据类型可以是任意压缩存储结构主要有三元组的数组结构存
储和三元组的链表结构存储两大类型。三元组的数组结构
存储就是把稀疏矩阵的所有三元组按某种规则存储在一个 一维数组中。三元组的链表结构存储就是把稀疏矩阵的所
有三元组存储在一个链表中。
5.6.2 数组结构的稀疏矩阵类 1 三元组类 三元组的数组结构存储，就是把所有三元组存储在一 个数组中。
（5）相等eqauls(otherSet)：当前对象集合是否和集合otherSet相等。是 则返回true,否则返回false。
（6）数据元素个数size()：返回集合中的数据元素个数。 （7）集合空否isEmpty()：若集合空返回true，否则返回false。
5.3.3 集合类
集合的特点是数据元素无序且不重复。集合类既可以基
第5章 数组、集合和矩阵
5.1 数组
5.2 向量类
5.3 集合
5.4 矩阵类
5.5 特殊矩阵
5.6 稀疏矩阵
本章主要知识点：
● 数组的定义、实现机制和Java语言支持的数组功能 ● 向量类扩充的数组功能以及这些扩充功能的实现方法 ● 集合的概念和集合类的设计方法 ● 矩阵类的设计方法
● 特殊矩阵的概念和特殊矩阵的压缩存储方法
二维数组的逻辑结构
二维数组的顺序存储结构
5.1.3 数组抽象数据类型
数据集合 数组的数据集合可以表示为a0, a1, a2, ..., an-1， 且限定数组元素必须存储在地址连续的内存单元中。 操作集合： （1）分配内存空间acclocate()：为数组分配用户所需的内存
空间。
（2）取数组长度getLength()：取数组的长度。 （3）存数组元素set(i, x)：把数据元素x存入下标为i的数组中。 其约束条件为：0≤i≤getLength()-1。 （4）取数组元素get(i)：取出数组中下标为i的数据元素。其
2 对象数组
除了可以定义基本数据类型的数组外，Java语言还可以定义
对象数组。 对象数组的存取操作
p1 pos 0 1 2 3 对象实体1 对象实体2 对象实体3 对象实体4 0 1 2 3 对象实体1 对象实体2 对象实体3 对象实体4
p2 (a)
对象实体p2 (b)
5.2 向量类
Java语言只直接支持上述基本的数组操作。如果程序开 始时定义的数组长度为10，且数组中已经存放了若干数据 元素，要在程序运行过程中扩充数组长度为20，且把数组 中原先存放的数据元素原样保存，则系统不提供直接支持， 需要应用程序自己实现。 为了扩充数组功能，Java类库还定义了Vector类。要说 明的是，国内的大部分教材和科技书籍都把Vector类翻译 为向量类，但这里的向量和数学上的向量概念完全不同。 向量类Vector扩充了数组的功能，提供了自动扩充数组 长度、且把数组中原先存放的数据元素原样保存的功能。 Vector类在java.util包中
1 只存储相同矩阵元素的一个副本 此种压缩存储方法是：找出特殊矩阵数据元素的分布 规律，只存储相同矩阵元素的一个副本。 n阶对称矩阵的压缩存储对应关系
2 采用不等长的二维数组
Java语言支持不等长的二维数组，对于n阶对称矩阵，
也可以通过只申请存储下三角（或上三角）矩阵元素 所需的二维数组，来达到压缩存储的目的。 不等长的二维数组结构
0 1 2 3
5.6 稀疏矩阵
对一个m×n的矩阵，设s为矩阵元素个数的总和，有 s=m*n，设t为矩阵中非零元素个数的总和，满足t＜＜ s的矩阵称作稀疏矩阵。符号“＜＜”读作小于小于。 简单说，稀疏矩阵就是非零元素个数远远小于元素个 数的矩阵。相对于稀疏矩阵来说，一个不稀疏的矩阵 也称作稠密矩阵。
（1）添加add(obj)：在集合中添加数据元素obj。 （2）删除remove(obj)：删除集合中的数据元素obj。 （3）属于contain(obj)：数据元素obj是否属于集合。是则返回true,否则 返回false。 （4）包含include(otherSet)：当前对象集合是否包含集合otherSet。是则 返回true,否则返回false。
● 稀疏矩阵的概念和稀疏矩阵的压缩存储方法，主要是 稀疏矩阵的三元组以及三元组的几种典型存储结构