_点差法_求双曲线中的中点弦方程为什么要检验_王怀学

点差法求解中点弦问题

点差法求解中点弦问题点差法就是在求解圆锥曲线并且题目代直线与圆锥曲线相交被截的线段中点坐标的时候，利用直线和圆锥曲线的两个交点，并把交点代入圆锥曲线的方程，并作差。

求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程。

用点差法时计算量较少，解决直线与圆锥曲线的位置关系时非常有效，但有一个弊端，不能保证直线与圆锥曲线一定有两个交点，故有时要用到判别式加以检验。

【定理1】在椭圆12222=+by a x 〔a ＞b ＞0〕中，假设直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，那么2200ab x y k MN-=⋅. 证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+)2(.1)1(,1222222221221 b y a x b y a x )2()1(-，得.02222122221=-+-by y a x x .2212121212ab x x y y x x y y -=++⋅--∴又.22,21211212x y x y x x y y x x y y k MN ==++--=.22a b x y k MN -=⋅∴ 【定理2】在双曲线12222=-by a x 〔a ＞0，b ＞0〕中，假设直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，那么2200ab x y k MN=⋅. 证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-)2(.1)1(,1222222221221 b y a x b y a x)2()1(-，得.02222122221=---b y y a x x .2212121212a b x x y y x x y y =++⋅--∴又.22,000021211212x y x y x x y y x x y y k MN==++--= .2200ab x y k MN =⋅∴ 【定理3】在抛物线)0(22≠=m mx y 中，假设直线l 与抛物线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，那么m y k M N=⋅0.证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么有⎪⎪⎨⎧==)2(.2)1(,2222121 m x y m x y)2()1(-，得).(2212221x x m y y -=-.2)(121212m y y x x y y =+⋅--∴又01212122,y y y x x y y k MN =+--=.m y k MN =⋅∴0.注意：能用这个公式的条件：〔1〕直线与抛物线有两个不同的交点；〔2〕直线的斜率存在.一、椭圆1、过椭圆x 216＋y 24＝1一点P (2,1)作一条直线交椭圆于A 、B 两点，使线段AB 被P 点平分，求此直线的方程．【解】法一：如图，设所求直线的方程为y －1＝k (x －2)，代入椭圆方程并整理，得(4k 2＋1)x 2－8(2k 2－k )x ＋4(2k －1)2－16＝0， (*)又设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么x 1、x 2是(*)方程的两个根，∴x 1＋x 2＝82k 2－k4k 2＋1.∵P 为弦AB 的中点，∴2＝x 1＋x 22＝42k 2－k 4k 2＋1.解得k ＝－12，∴所求直线的方程为x ＋2y －4＝0.法二：设直线与椭圆交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∵P 为弦AB 的中点，∴x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2.又∵A 、B 在椭圆上，∴x 21＋4y 21＝16，x 22＋4y 22＝16.两式相减，得(x 21－x 22)＋4(y 21－y 22)＝0，即(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.∴y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 24y 1＋y 2＝－12，即k AB ＝－12.∴所求直线方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.2、椭圆+=1，求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程．【解答】解：设P 〔x ，y 〕，A 〔x 1，y 1〕，B 〔x 2，y 2〕． ∵P 为弦AB 的中点，∴x 1+x 2=2x ，y 1+y 2=2y ．那么+=1，①+=1，②②﹣①得，=﹣．∴﹣=3，整理得：x+y=0．由，解得x=所求轨迹方程为：x+y=0．〔﹣＜x ＜〕∴点P 的轨迹方程为：x+y=0〔﹣＜x ＜〕；3、〔2013秋•启东市校级月考〕中心在原点，焦点坐标为〔0，±5〕的椭圆被直线3x ﹣y ﹣2=0截得的弦的中点的横坐标为，那么椭圆方程为=1 ．【解答】解：设椭圆=1〔a ＞b ＞0〕，那么a 2﹣b 2=50①又设直线3x ﹣y ﹣2=0与椭圆交点为A 〔x 1，y 1〕，B 〔x 2，y 2〕，弦AB 中点〔x 0，y 0〕 ∵x 0=，∴代入直线方程得y 0=﹣2=﹣，由，得，∴AB 的斜率k==﹣•=﹣•=3∵=﹣1，∴a 2=3b 2②联解①②，可得a 2=75，b 2=25，∴椭圆的方程为：=1故答案为：=1．4、例1〔09年〕椭圆12222=+by a x 〔a ＞b ＞0〕的左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率22=e ，右准线方程为2=x .(Ⅰ) 求椭圆的标准方程；(Ⅱ) 过点1F 的直线l 与该椭圆相交于M 、N 两点，且3262||22=+N F M F ，求直线l 的方程. 解：〔Ⅰ〕根据题意，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====.2,222c a x a c e ∴1,1,2===c b a .∴所求的椭圆方程为1222=+y x . 〔Ⅱ〕椭圆的焦点为)0,1(1-F 、)0,1(2F . 设直线l 被椭圆所截的弦MN 的中点为),(y x P .由平行四边形法那么知：P F N F M F 2222=+.由3262||22=+N F M F 得：326||2=P F .∴.926)1(22=+-y x ① 假设直线l 的斜率不存在，那么x l ⊥轴，这时点P 与)0,1(1-F 重合，4|2|||1222==+F F N F M F ，与x y DE FO 题设相矛盾，故直线l 的斜率存在.由22ab x y k MN-=⋅得：.211-=⋅+x y x y ∴).(2122x x y +-=② ②代入①，得.926)(21)1(22=+--x x x 整理，得：0174592=--x x . 解之得：317=x ，或32-=x .由②可知，317=x 不合题意.∴32-=x ，从而31±=y .∴.11±=+=x yk ∴所求的直线l 方程为1+=x y ，或1--=x y .6、〔2009秋•工农区校级期末〕椭圆的一条弦的斜率为3，它与直线的交点恰为这条弦的中点M ，那么点M 的坐标为．【解答】解：设直线与椭圆的交点分别为〔x 1，y 1〕，〔x 2，y 2〕，那么，两式相减，得=0，〔y 1﹣y 2〕〔y 1+y 2〕=﹣3〔x 1﹣x 2〕〔x 1+x 2〕，=﹣3×，因为直线斜率为3，∴=3，∵两交点中点在直线x=，x 1+x 2=1，∴3=﹣3×1÷〔y 1+y 2〕，∴=﹣．所以中点M 坐标为〔，﹣〕．故答案为：〔，﹣〕．7、如图，在DEF R t ∆中，25||,2||,90=+=︒=∠ED EF EF DEF ，椭圆C ：12222=+by a x ，以E 、F为焦点且过点D ，点O 为坐标原点。

双曲线的点差法公式在高考中的妙用

点差法公式在双曲线中点弦问题中的妙用圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型，在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点。

它的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。

若已知直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。

我们称这种代点作差的方法为“点差法”，它的一般结论叫做点差法公式。

本文就双曲线的点差法公式在高考中的妙用做一些粗浅的探讨，以飨读者。

定理在双曲线12222=-b y a x （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ab x y k MN=⋅. 证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-)2(.1)1(,1222222221221 b y a x b y a x)2()1(-，得.02222122221=---byy a x x.2212121212ab x x y y x x y y =++⋅--∴ 又.22,00021211212x y x y x x y y x x y y k MN ==++--=.2200ab x y k MN=⋅∴ 同理可证，在双曲线12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ba x y k MN=⋅. 典题妙解例1 已知双曲线13:22=-x y C ，过点)1,2(P 作直线l 交双曲线C 于A 、B 两点.（1）求弦AB 的中点M 的轨迹；（2）若P 恰为弦AB 的中点，求直线l 的方程. 解：（1）,3,122==b a 焦点在y 轴上.设点M 的坐标为),(y x ，由22ba x y k AB =⋅得：3121=⋅--x y x y ，整理得：.032322=+--y x y x∴所求的轨迹方程为.032322=+--y x y x（2） P 恰为弦AB 的中点，∴由2200ba x y k AB =⋅得：,3121=⋅AB k 即.32=AB k ∴直线l 的方程为)2(321-=-x y ，即.0132=--y x 例2 已知双曲线22:22=-y x C 与点).2,1(P（1）斜率为k 且过点P 的直线l 与C 有两个公共点，求k 的取值范围；（2）是否存在过点P 的弦AB ，使得AB 的中点为P ？（3）试判断以)1,1(Q 为中点的弦是否存在.解：（1）直线l 的方程为)1(2-=-x k y ，即.2k kx y -+=由⎩⎨⎧=--+=.22,222y x k kx y 得.064)2(2)2(2222=+-+---k k x k k x k直线l 与C 有两个公共点，∴得⎪⎩⎪⎨⎧+----=∆≠-.0)64)(2(4)2(4,0222222 k k k k k k 解之得：k ＜23且.2±≠k ∴k 的取值范围是).23,2()2,2()2,( ---∞（2）双曲线的标准方程为.2,1,122222==∴=-b a y x 设存在过点P 的弦AB ，使得AB 的中点为P ，则由2200ab x y k AB =⋅得：.1,22=∴=⋅k k由（1）可知，1=k 时，直线l 与C 有两个公共点，∴存在这样的弦.这时直线l 的方程为.1+=x y（3）设以)1,1(Q 为中点的弦存在，则由2200ab x y k AB =⋅得：.2,21=∴=⋅k k由（1）可知，2=k 时，直线l 与C 没有两个公共点，∴设以)1,1(Q 为中点的弦不存在.例3 过点)0,2(-M 作直线l 交双曲线1:22=-y x C 于A 、B 两点，已知OB OA OP +=（O 为坐标原点），求点P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.解：在双曲线1:22=-y x C 中，122==b a ，焦点在x 轴上.设弦AB 的中点为Q .,OB OA OP +=由平行四边形法则知：OQ OP 2=，即Q 是线段OP 的中点. 设点P 的坐标为),(y x ，则点Q 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛2,2y x . 由2222a b x y k AB =⋅得：14222=⋅+=⋅+x yx y x y x y，整理得：.0422=+-x y x配方得：144)2(22=-+y x . ∴点P 的轨迹方程是144)2(22=-+y x ，它是中心为)0,2(-，对称轴分别为x 轴和直线02=+x 的双曲线.例 4. 设双曲线C 的中心在原点，以抛物线4322-=x y 的顶点为双曲线的右焦点，抛物线的准线为双曲线的右准线．（Ⅰ）试求双曲线C 的方程；（Ⅱ）设直线:21l y x =+与双曲线C 交于,A B 两点，求AB ；（Ⅲ）对于直线1:+=kx y l ，是否存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C 的交点,A B 关于直线4:'+=ax y l (a 为常数)对称，若存在，求出k 值；若不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）由2234y x =-得)32(322-=x y ，∴3=p ，抛物线的顶点是)0,32(，准线是3213223=+-=x . ∴在双曲线C 中，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.321,322ca c . ∴.1,3122==b a ∴双曲线C 的方程为1322=-y x .（Ⅱ）由⎩⎨⎧=-+=.13,1222y x x y 得：0242=++x x . 设),(),,(2211y x B y x A ，则2,42121=-=+x x x x .∴102]24)4)[(21(]4))[(1(||22212212=⨯--+=-++=x x x x k AB .（Ⅲ）假设存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C 的交点,A B 关于直线'l 对称，则'l 是线段AB 的垂直平分线. 因而k a 1-=，从而41:'+-=x ky l . 设线段AB 的中点为),(00y x P . 由2200ab x y k AB =⋅得：300=⋅x y k ，∴003x ky =.…………………………………………①由4100+⋅-=x ky 得：k x ky 400+-=.…………………………………………………② 由①、②得：3,00==y k x .由100+=kx y 得：132+=k ，∴2±=k .又由⎩⎨⎧+==-.1,1322kx y y x 得：.022)3(22=++-kx x k直线l 与双曲线C 相交于A 、B 两点，∴)3(8422--=∆k k ＞0，即2k ＜6，且32≠k .∴符合题意的k 的值存在，2±=k .金指点睛1. (03全国)已知双曲线中心在原点且一个焦点为)0,7(F ，直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点，MN 的中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程为（）A.14322=-y xB. 13422=-y xC. 12522=-y xD. 15222=-y x 2.（02江苏）设A 、B 是双曲线1222=-y x 上两点，点)2,1(N 是线段AB 的中点. （1）求直线AB 的方程；（2）如果线段AB 的垂直平分线与双曲线相交于C 、D 两点，那么A 、B 、C 、D 四点是否共圆，为什么？3. 已知双曲线1322=-y x ，过点)23,21(--P 作直线l 交双曲线于A 、B 两点. （1）求弦AB 的中点M 的轨迹;（2）若点P 恰好是弦AB 的中点，求直线l 的方程和弦AB 的长.4、双曲线C 的中心在原点，并以椭圆1132522=+y x 的焦点为焦点，以抛物线x y 322-=的准线为右准线.（1）求双曲线C 的方程；（2）设直线)0(3:≠+=k kx y l 与双曲线C 相交于A 、B 两点，使A 、B 两点关于直线)0(6:'≠+=m mx y l 对称，求k 的值.参考答案1. 解：在直线1-=x y 中，1=k ，32-=x 时，35-=y . 由2200ab x y k MN =⋅得222532351a b ==--⋅. 又由⎪⎩⎪⎨⎧==+=72522222c b a a b 得5,222==b a . 故答案选D.2. 解：（1）2,122==b a ，焦点在x 上. 由2200ab x y k AB =⋅得：22=⋅AB k ，∴1=AB k .∴所求的直线AB 方程为)1(12-⋅=-x y ，即01=+-y x .（2）设直线CD 的方程为0=++m y x ，点)2,1(N 在直线CD 上， ∴021=++m ，3-=m .∴直线CD 的方程为03=-+y x .又设弦CD 的中点为),(y x M ，由22ab x y k CD =⋅得：21=⋅-x y，即x y 2-=.由⎩⎨⎧-==-+.2,03x y y x 得6,3=-=y x .∴点M 的坐标为)6,3(-.又由⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-.12,0122y x y x 得)4,3(),0,1(B A -. 由两点间的距离公式可知：102||||||||====MD MC MB MA . 故A 、B 、C 、D 四点到点M 的距离相等，即A 、B 、C 、D 四点共圆. 3. 解：（1）3,122==b a ，焦点在x 上. 设点M 的坐标为),(y x .若直线l 的的斜率不存在，则x l ⊥轴，这时直线l 与双曲线没有公共点，不合题意，故直线l 的的斜率存在.由22ab x y k AB =⋅得：32123=⋅++x y x y ，整理，得：0332622=-+-y x y x .∴点M 的轨迹方程为0332622=-+-y x y x .（2）由2200abx y k AB =⋅得：32123=--⋅AB k ，∴1=AB k .∴所求的直线l 方程为)21(123+⋅=+x y ，即1-=x y .由⎪⎩⎪⎨⎧-==-.1,1322x y y x 得022=-+x x ，解之得：1,221=-=x x . ∴.2332||1||122=⋅=-+=x x k AB4. 解：（1）在椭圆1132522=+y x 中，32,13,522=-===b a c b a ，∴焦点为)0,32(),0,32(21F F -.在抛物线x y 322-=中，3=p ，∴准线为23=x . ∴在双曲线中，232=c a . 从而.3,3==b a ∴所求双曲线C 的方程为19322=-y x . （2）直线'l 是弦AB 的垂直平分线，∴k m 1-=，从而61:'+⋅-=x ky l . 设弦AB 的中点为),(00y x P .由2200ab x y k AB =⋅得：300=⋅x y k ，∴003x ky =.…………………………………………①由6100+⋅-=x ky 得：k x ky 600+-=.…………………………………………………② 由①、②得：29,2300==y k x 又 300+=kx y ，∴32329+⋅=kk ，即12=k . ∴1±=k .由⎪⎩⎪⎨⎧+==-.3,19322kx y y x 得.0186)3(22=++-kx x k 直线l 与双曲线C 相交于A 、B 两点，∴)3(723622--=∆k k ＞0，即2k ＜6，且32≠k . ∴1±=k 符合题意.故k 的值为1±.。

点差法公式在双曲线中点弦问题中的妙用

点差法公式在双曲线中点弦问题中的妙用广西南宁外国语学校隆光诚（邮政编码530007）圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型，在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点。

它的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。

若已知直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。

我们称这种代点作差的方法为“点差法”，它的一般结论叫做点差法公式.本文就双曲线的点差法公式在高考中的妙用做一些粗浅的探讨，以飨读者。

定理在双曲线12222=-b y a x (a ＞0，b ＞0)中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点,点),(00y x P 是弦MN 的中点,弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ab x y k MN=⋅. 证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-)2(.1)1(,1222222221221 b y a x b y a x)2()1(-,得.02222122221=---byy a x x.2212121212ab x x y y x x y y =++⋅--∴ 又.22,00021211212x y x y x x y y x x y y k MN ==++--=.2200ab x y k MN=⋅∴ 同理可证，在双曲线12222=-bx a y （a ＞0,b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ba x y k MN=⋅。

典题妙解例1 已知双曲线13:22=-x y C ，过点)1,2(P 作直线l 交双曲线C 于A 、B 两点。

（1）求弦AB 的中点M 的轨迹；（2）若P 恰为弦AB 的中点，求直线l 的方程。

双曲线点差法

点差法公式在双曲线中点弦问题中的妙用圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型，在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点。

它的一般方法联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关中点坐标公式及参数法求解。

若已知直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。

我们称这种代点作差的方法为“点差法”，它的一般结论叫做点差法公式。

本文就双曲线的点差法公式在高考中的妙用做一些粗浅的探讨，以飨读者。

P(x 0,y 0) 是弦 MN 的中点，弦 MN 所在的直线 l 的斜率为 k MN ，则 k MN 0x点 P(x 0, y 0)是弦 MN 的中点，弦 MN 所在的直线 l 的斜率为 k MN ，则 k MN 0 x 0典题妙解例 1 已知双曲线 C: y 2x 21，过点 P(2,1) 作直线 l 交双曲线 C 于 A 、 B 两点 .定理在双曲线 2 x 2a2y21( a > 0， b > 0)中，若直线 l 与双曲线相交于 M 、N 两点，点 b 2b 2 .2.a证明：设 M 、 N 两点的坐标分别为 (x 1,y 1)(x 2 , y 2) ，则有2 x 12 a2 x 22a2y 1 b 2 2y 2b 21, 1.(1) (2)(1) (2) ，2 得 x1x 222 2 y 12 y220.ab 2y 2 y 1y2 y1 b 22 .x2 x 1x 2x1a又k MNy 2 y1 , y 1 y 2 2y 0y0 . x2x1 x1 x2 2x0 xk MNyb 22xa22同理可证，在双曲线 y 2x21( a >0，a b2b >0)中，若直线 l 与双曲线相交于 M 、N 两点，b 21)求弦 AB 的中点 2)若 P 恰为弦 ABM 的轨迹；的中点，求直线l 的方程 . 解：(1) a 2 1,b 2 3, 焦点在 y 轴上 . 设点 M 的坐标为 (x,y) ，由 k AB y2 b 2 得： y1 x21，3整理得： x 2 3y 2 2x 3y 0. 2 所求的轨迹方程为 x 23y 2 2x 3y 0. 2) P 恰为弦 AB 的中点，由 k AB x 0 2 b 2 得： k AB 1,即k 3AB直线 l 的方程为 y 1 23(x2) ，即 2x 3y 0.例2 已知双曲线 C : 2x 22 与点 P(1,2).1) 2) l 与 C 有两个公共点，求P ？3) 斜率为 k 且过点 P 的直线是否存在过点 P 的弦 AB ，使得 AB 的中点为k 的取值范围；试判断以 Q(1,1) 为中点的弦是否存在 . 解：(1)直线 l 的方程为 y 2 k(x 1) ，即 ykx 2 k.由 y 2 kx 22 k,得 (k 2 2)x 2 2(k 2 2k )x 2x 2 y 2 2.k 24k6 0.直线 l 与 C 有两个公共点， k 2得 2 0, 2 2 2 24(k 2 2k)2 4(k 2 2)(k 2 4k 6) 0.解之得： k < 3且 k 2. 2 k 的取值范围是 (( 2, 2) 3( 2,32).2)双曲线的标准方程为 2y 21, 22.设存在过点 P 的弦 AB ，使得 AB 的中点为 P ，则由kABy 0xb 2 b2 得： k 2 2, k 1. a由( 1)可知， k 1时，直线 l 与 C 有两个公共点，存在这样的弦 .这时直线 l 的方程为 y x 1.（3）设以 Q （1,1）为中点的弦存在，则由 k AB y 0 b 2 得： k 1 2, k 2.x 0 a 2由（ 1）可知， k 2时，直线 l 与 C 没有两个公共点，设以 Q （1,1）为中点的弦不存在 .22例 3 过点 M （ 2,0）作直线 l 交双曲线 C : x 2 y 2 1于 A 、B 两点，已知 OP OA OB （O 为坐标原点），求点 P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线 .解：在双曲线 C :x 2 y 2 1中， a 2 b 2 1，焦点在 x 轴上.设弦 AB 的中点为 Q .OP OA OB,由平行四边形法则知： OP 2OQ ，即 Q 是线段 OP 的中点 .设点 P 的坐标为（x,y ），则点 Q 的坐标为 x , y 22x 2 0 的双曲线 .例 4. 设双曲线 C 的中心在原点，以抛物线线为双曲线的右准线．（Ⅰ）试求双曲线 C 的方程；（Ⅱ）设直线 l : y 2x 1与双曲线 C 交于 A,B 两点，求 AB ；（Ⅲ）对于直线 l : y kx 1，是否存在这样的实数 k ，使直线 l 与双曲线 C 的交点 A,B 关于直线l ' : y ax4 （a 为常数）对称，若存在，求出 k 值；若不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）由 y 2 2 3x 4 得 y 2 2 3（x 2 ），yy由kAB2b22得2 yy y1 ，x a：x 2x x 4 x22整理得：2x2y4x0.(x22配方得： 2)2y1.44点 P 的轨迹方程是(x 2)2 41 ，它是中心为（ 2,0），对称轴分别为 x 轴和直线y 2 2 3x 4 的顶点为双曲线的右焦点，抛物线的准2yp 3 ，抛物线的顶点是 ( 2 ,0) ，准线是 x3Ⅱ)由 y 2 2x 2 1, 得： x 2 4x 2 0. 3x 2 y 2 1.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2) ，则 x 1 x 2 4,x 1x 2 2.Ⅲ)假设存在这样的实数 k ，使直线 l 与双曲线 C 的交点 A,B 关于直线 l ' 对称，则 l '是线段 AB4k 2 8(k 2 3) >0，即 k 2 <6，且 k 2 3.符合题意的 k 的值存在， k2.金指点睛1. (03 全国)已知双曲线中心在原点且一个焦点为F( 7 ,0) ，直线 y x 1与其相交于 M 、N 两点，MN 的中点的横坐标为 32 ，则此双曲线的方程为(在双曲线 C 中，a 212313,b 2 1.22双曲线 C 的方程为 3x 2 y 21.| AB | (1 k 2)[( x 1 x 2)2 4x 1x 2](1 22 )[( 4) 2 4 2]2 10 .的垂直平分线 . 因而a1，从而 l ':yk由k AByb 22得： k y 03，xax由 y 01 kx 04 得： ky 0x 0由①、②得：x 0k, y 03.由y 0kx 0 1得：3 k 2 1，k又由3x22 y1,得：(k 23)x 2y kx 1.直线 l 与双曲线 C 相交于 A 、 B 两点，1x 4. 设线段 AB 的中点为 P(x 0,y 0) . kky 0 3x 0 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯① 4k .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯②2.2kx 2 0.2 xA. 3 2y 2 142 xB.4 C. 2y 2 1 22 x D.22y 2 1 52.（02 江苏）设 A 、 B 是双曲线 1上两点，点 N （1,2）是线段 AB 的中点 . 1）求直线 AB 的方程； 2）如果线段为什么？ AB 的垂直平分线与双曲线相交于 C 、 D 两点，那么 A 、B 、C 、D 四点是否共圆， 2 y 3 1）求弦 AB 的中点 M3. 已知双曲线 1 1 ，过点 P （ , 2 的轨迹 ; 32）作直线l 交双曲线于 A 、B 两点.2）若点 P 恰好是弦 AB 的中点，求直线 l 的方程和弦 AB 的长 . 4、双曲线 C 的中心在原点， 2 x 并以椭圆 25 2y 1 的焦点为焦点，以抛物线 y 2 13 2 3x 的准线为右准线 . （ 1）求双曲线 C 的方程； 2）设直线 l : y kx 3（k 0）与双曲线 C 相交于 A 、B 两点，使 A 、 B 两点关于直线mx 6（m 0）对称，求 k 的值 . 参考答案1. 解：在直线1中， k 1， x23时，由 kMNy 0 xb 22得1 5 3 23b 2 2. ab 2 又由 a 2 2a 52 b 2故答案选 D. 22. 解：（1） a 所求的直线得 a 2 2,b 2 5. 1,b 2 2 ， AB 方程为 2）设直线 CD 的方程为1 2 m 0，m直线 CD 的方程为 x焦点在 x 上 . 由 k AB y 0 x 0b 22a 得： kAB 22，kAB1.1 (x 1) ，即 x y 1 0.m 0，点 N （1,2）在直线 CD 上，3.0.又设弦CD 的中点为 M(x,y)，由 k CD yx b22得：ay2 ，即 y 2x . x由xyy 3 0,得 x2x.3, y 6 .点M 的坐标为 ( 3,6) .x 又由2x 2y12 y20, 得 A( 1.1,0),B(3,4).由两点间的距离公式可知：|MA | |MB | |MC | |MD |2 10 .故 A 、B 、C 、D 四点到点M 的距离相等，即 A 、 B 、C 、 D 四点共圆 . 223. 解：(1) a 2 1,b 2 3，焦点在 x 上 . 设点 M 的坐标为 (x,y). 若直线 l 的的斜率不存在，则率存在 . l x 轴，这时直线 l 与双曲线没有公共点，不合题意，故直线 l 的的斜由 kAB x b22 得： a 3y2 1 x2 3， x 整理，得：6x 2 2y 2 3x 3y 0. 2 点 M 的轨迹方程为 6x 22y 2 3x 3y 0.2)由 k AByx 0b 22得：3 21 23， kAB1.所求的直线l 方程为(x 1) ，即 y x 1.22由 x 2 2y3 x 1.1,得x 2解之得： x12,x 2| AB| 1 k 2| x 2x 1 |233 2.4. 解：（ 1）在椭圆22x y1中， a 5,b 13,c a 2 b 2 2 3 ， 25 13,c焦点为F1( 2 3,0),F2(2 3,0).2在抛物线y2 2 3x 中，p 3 ，准线为x2 在双曲线中，ac 3. 从而a2 3,b 3.所求双曲线 C x2 的方程为3 1.2）直线l'是弦 AB 的垂直平分线，1，从而l ' : y kP(x0,y0).由k AB y b2 2 得：k y0x0 a x0由y0k x0 6得：ky0由①、②得：x0 3k,y0 2又y0 kx 03，9 3k 23 ，ky092x0 6k .3x0.1x 6. 设弦 AB 的中点为k⋯⋯⋯⋯⋯①⋯⋯⋯⋯⋯②2 1.2 x 由32y9kx 3.1,得(k2 3)x26kx 18 0.直线l与双曲线 C 相交于 A、B 两点，2 2 2 236k272(k23)>0，即k2<6，且k23. k 1符合题意. 故k 的值为1.。

双曲线中点弦存在性的探讨

双曲线中点弦存在性的探讨
求过定点的双曲线的中点弦问题，通常有下面两种方法：
（1）点差法，即设出弦的两端点的坐标代入双曲线方程后相减，得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系，从而求出直线方程．
（2）联立法，即将直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理与判别式求解．
无论使用点差法还是联立法，都要运用来判定中点弦是否存在，而这完全取决于定点所在的区域．现分析如下：
利用双曲线及其渐近线，可把平面分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域（如图）．
当在区域Ⅰ内时，有
．
当在区域Ⅱ内时，有
．
当在区域Ⅲ内时，有．
利用上述结论，可以证明：
当在区域Ⅰ时，以它为中点的弦不存在，而在区域Ⅱ、Ⅲ时，这样的弦是存在的．证明过程如下：
设双曲线的弦两端点为，，中点为
，则，．
运用点差法得出的斜率．①
令直线的方程为，
即．②
把②代入，整理得
．
．③
把①代入③，整理得．
若在Ⅱ、Ⅲ区域内，则或，这时，中点弦存在；
若在区域Ⅰ内，则，这时，中点弦不存在．
例过点作双曲线的弦，使点为的中点，则的方程为（）
（A）（B）
（C）（D）不存在
分析将及联立得．此时，
，则选（D）．
若运用上述区域法，只要判断在区域Ⅰ就可得出中点弦不存在的结论，故可直接选（D）．。

人教版数学-备课资料运用“点差法的方法解决弦的中点问题

运用“点差法”的方法解决弦的中点问题所谓“点差法”，就是将直线与曲线的两个交点代入曲线方程f （x ，y ）=0得：f （x 1，y 1）=0，f （x 2，y 2）=0将两式作差即可得出中点坐标和斜率之间的关系，下面举例说明。

例1 已知：双曲线x 2-22y =1，过点B （1，1）能否作出直线m ，使m 与已知双曲线交于Q 1、Q 2两点，且点B 是线段Q 1Q 2的中点，这样的直线m 如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由。

解：设Q 1（x 1，y 1），Q 2（x 2，y 2），代入双曲线方程得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-121222222121y x y x 两式作差得（x 1+x 2）（x 1-x 2）=21（y 1+y 2）（y 1-y 2） ∴2121x x y y --=2121)(2y y x x ++ ∵x 1+x 2=2，y 1+y 2=2∴kQ 1Q 2=2121x x y y -=2 （※）联立⎪⎩⎪⎨⎧=--=-12)1(2122y x x y 得方程2x 2-4x+3=0由判别式△=16-4×2×3＜0，知此直线与双曲线无交点，故m 不存在点评：到（※），直线m 过点B （1，1），其斜率为k Q1Q2=2，① ②有的同学会下结论：存在直线m ：y-1=2（x-1），实质上不存在，从图中大致可以看出，但必须给出严密推理。

例2 过点P （-1，1），作直线与椭圆42x +22y =1交于A 、B 两点，若线段AB 的中点恰为P 点，求AB 所在直线的方程和线段AB 的长度。

解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+424222222121y x y x ①-②得x 12-x 22+2（y 12-y 22）=0显然x 1=x 2，不合题意，∴x 1≠x 2 ∴))(())((21212121x x x x y y y y -+-+=-21 ③ 由已知x 1+x 2=-2，y 1+y 2=2，2121x x y y --=k AB ，代入③式，得 k AB =21∴所求的直线方程为y-1=21（x+1）即x-2y+3=0联立直线x-2y+3=0和椭圆方程2422y x +=1得3x 2+6x+1=0 x 1=x 2=-2，x 1·x 2=31∴|AB|=21k +|x 1-x 2|=411+·212214)(x x x x -+45·3144⨯-=33032425=⨯ ① ②点评：涉及弦的中点问题，可以利用判别式和韦达定理的方法加以解决，也可以利用“点差法”的方法解决此类问题，若知道中点，则利用“点差法”的方法可得出过中点弦的直线的斜率，比较两种方法，用“点差法”的方法的计算量较少，此法在解决有关存在性的问题时，要结合图形和判别式△加以检验。

双曲线的点差法公式在高考中的妙用

点差法公式在双曲线中点弦问题中的妙用圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型，在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点。

它的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。

若已知直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。

我们称这种代点作差的方法为“点差法”，它的一般结论叫做点差法公式。

本文就双曲线的点差法公式在高考中的妙用做一些粗浅的探讨，以飨读者。

定理在双曲线12222=-b y a x （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ab x y k MN=⋅. 证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-)2(.1)1(,1222222221221 b y a x b y a x)2()1(-，得.02222122221=---byy a x x.2212121212ab x x y y x x y y =++⋅--∴ 又.22,00021211212x y x y x x y y x x y y k MN ==++--=.2200ab x y k MN=⋅∴ 同理可证，在双曲线12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ba x y k MN=⋅. 典题妙解例1 已知双曲线13:22=-x y C ，过点)1,2(P 作直线l 交双曲线C 于A 、B 两点.（1）求弦AB 的中点M 的轨迹；（2）若P 恰为弦AB 的中点，求直线l 的方程. 解：（1）,3,122==b a 焦点在y 轴上.设点M 的坐标为),(y x ，由22ba x y k AB =⋅得：3121=⋅--x y x y ，整理得：.032322=+--y x y x∴所求的轨迹方程为.032322=+--y x y x（2） P 恰为弦AB 的中点，∴由2200ba x y k AB =⋅得：,3121=⋅AB k 即.32=AB k ∴直线l 的方程为)2(321-=-x y ，即.0132=--y x 例2 已知双曲线22:22=-y x C 与点).2,1(P（1）斜率为k 且过点P 的直线l 与C 有两个公共点，求k 的取值范围；（2）是否存在过点P 的弦AB ，使得AB 的中点为P ？（3）试判断以)1,1(Q 为中点的弦是否存在.解：（1）直线l 的方程为)1(2-=-x k y ，即.2k kx y -+=由⎩⎨⎧=--+=.22,222y x k kx y 得.064)2(2)2(2222=+-+---k k x k k x k直线l 与C 有两个公共点，∴得⎪⎩⎪⎨⎧+----=∆≠-.0)64)(2(4)2(4,0222222 k k k k k k 解之得：k ＜23且.2±≠k ∴k 的取值范围是).23,2()2,2()2,( ---∞（2）双曲线的标准方程为.2,1,122222==∴=-b a y x 设存在过点P 的弦AB ，使得AB 的中点为P ，则由2200ab x y k AB =⋅得：.1,22=∴=⋅k k由（1）可知，1=k 时，直线l 与C 有两个公共点，∴存在这样的弦.这时直线l 的方程为.1+=x y（3）设以)1,1(Q 为中点的弦存在，则由2200ab x y k AB =⋅得：.2,21=∴=⋅k k由（1）可知，2=k 时，直线l 与C 没有两个公共点，∴设以)1,1(Q 为中点的弦不存在.例3 过点)0,2(-M 作直线l 交双曲线1:22=-y x C 于A 、B 两点，已知OB OA OP +=（O 为坐标原点），求点P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.解：在双曲线1:22=-y x C 中，122==b a ，焦点在x 轴上.设弦AB 的中点为Q .,OB OA OP +=由平行四边形法则知：OQ OP 2=，即Q 是线段OP 的中点. 设点P 的坐标为),(y x ，则点Q 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛2,2y x . 由2222a b x y k AB =⋅得：14222=⋅+=⋅+x yx y x y x y，整理得：.0422=+-x y x配方得：144)2(22=-+y x . ∴点P 的轨迹方程是144)2(22=-+y x ，它是中心为)0,2(-，对称轴分别为x 轴和直线02=+x 的双曲线.例 4. 设双曲线C 的中心在原点，以抛物线4322-=x y 的顶点为双曲线的右焦点，抛物线的准线为双曲线的右准线．（Ⅰ）试求双曲线C 的方程；（Ⅱ）设直线:21l y x =+与双曲线C 交于,A B 两点，求AB ；（Ⅲ）对于直线1:+=kx y l ，是否存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C 的交点,A B 关于直线4:'+=ax y l (a 为常数)对称，若存在，求出k 值；若不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）由2234y x =-得)32(322-=x y ，∴3=p ，抛物线的顶点是)0,32(，准线是3213223=+-=x . ∴在双曲线C 中，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.321,322ca c . ∴.1,3122==b a ∴双曲线C 的方程为1322=-y x .（Ⅱ）由⎩⎨⎧=-+=.13,1222y x x y 得：0242=++x x . 设),(),,(2211y x B y x A ，则2,42121=-=+x x x x .∴102]24)4)[(21(]4))[(1(||22212212=⨯--+=-++=x x x x k AB .（Ⅲ）假设存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C 的交点,A B 关于直线'l 对称，则'l 是线段AB 的垂直平分线. 因而k a 1-=，从而41:'+-=x ky l . 设线段AB 的中点为),(00y x P . 由2200ab x y k AB =⋅得：300=⋅x y k ，∴003x ky =.…………………………………………①由4100+⋅-=x ky 得：k x ky 400+-=.…………………………………………………② 由①、②得：3,00==y k x .由100+=kx y 得：132+=k ，∴2±=k .又由⎩⎨⎧+==-.1,1322kx y y x 得：.022)3(22=++-kx x k直线l 与双曲线C 相交于A 、B 两点，∴)3(8422--=∆k k ＞0，即2k ＜6，且32≠k .∴符合题意的k 的值存在，2±=k .金指点睛1. (03全国)已知双曲线中心在原点且一个焦点为)0,7(F ，直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点，MN 的中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程为（）A.14322=-y xB. 13422=-y xC. 12522=-y xD. 15222=-y x 2.（02江苏）设A 、B 是双曲线1222=-y x 上两点，点)2,1(N 是线段AB 的中点. （1）求直线AB 的方程；（2）如果线段AB 的垂直平分线与双曲线相交于C 、D 两点，那么A 、B 、C 、D 四点是否共圆，为什么？3. 已知双曲线1322=-y x ，过点)23,21(--P 作直线l 交双曲线于A 、B 两点. （1）求弦AB 的中点M 的轨迹;（2）若点P 恰好是弦AB 的中点，求直线l 的方程和弦AB 的长.4、双曲线C 的中心在原点，并以椭圆1132522=+y x 的焦点为焦点，以抛物线x y 322-=的准线为右准线.（1）求双曲线C 的方程；（2）设直线)0(3:≠+=k kx y l 与双曲线C 相交于A 、B 两点，使A 、B 两点关于直线)0(6:'≠+=m mx y l 对称，求k 的值.参考答案1. 解：在直线1-=x y 中，1=k ，32-=x 时，35-=y . 由2200ab x y k MN =⋅得222532351a b ==--⋅. 又由⎪⎩⎪⎨⎧==+=72522222c b a a b 得5,222==b a . 故答案选D.2. 解：（1）2,122==b a ，焦点在x 上. 由2200ab x y k AB =⋅得：22=⋅AB k ，∴1=AB k .∴所求的直线AB 方程为)1(12-⋅=-x y ，即01=+-y x .（2）设直线CD 的方程为0=++m y x ，点)2,1(N 在直线CD 上， ∴021=++m ，3-=m .∴直线CD 的方程为03=-+y x .又设弦CD 的中点为),(y x M ，由22ab x y k CD =⋅得：21=⋅-x y，即x y 2-=.由⎩⎨⎧-==-+.2,03x y y x 得6,3=-=y x .∴点M 的坐标为)6,3(-.又由⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-.12,0122y x y x 得)4,3(),0,1(B A -. 由两点间的距离公式可知：102||||||||====MD MC MB MA . 故A 、B 、C 、D 四点到点M 的距离相等，即A 、B 、C 、D 四点共圆. 3. 解：（1）3,122==b a ，焦点在x 上. 设点M 的坐标为),(y x .若直线l 的的斜率不存在，则x l ⊥轴，这时直线l 与双曲线没有公共点，不合题意，故直线l 的的斜率存在.由22ab x y k AB =⋅得：32123=⋅++x y x y ，整理，得：0332622=-+-y x y x .∴点M 的轨迹方程为0332622=-+-y x y x .（2）由2200abx y k AB =⋅得：32123=--⋅AB k ，∴1=AB k .∴所求的直线l 方程为)21(123+⋅=+x y ，即1-=x y .由⎪⎩⎪⎨⎧-==-.1,1322x y y x 得022=-+x x ，解之得：1,221=-=x x . ∴.2332||1||122=⋅=-+=x x k AB4. 解：（1）在椭圆1132522=+y x 中，32,13,522=-===b a c b a ，∴焦点为)0,32(),0,32(21F F -.在抛物线x y 322-=中，3=p ，∴准线为23=x . ∴在双曲线中，232=c a . 从而.3,3==b a ∴所求双曲线C 的方程为19322=-y x . （2）直线'l 是弦AB 的垂直平分线，∴k m 1-=，从而61:'+⋅-=x ky l . 设弦AB 的中点为),(00y x P .由2200ab x y k AB =⋅得：300=⋅x y k ，∴003x ky =.…………………………………………①由6100+⋅-=x ky 得：k x ky 600+-=.…………………………………………………② 由①、②得：29,2300==y k x 又 300+=kx y ，∴32329+⋅=kk ，即12=k . ∴1±=k .由⎪⎩⎪⎨⎧+==-.3,19322kx y y x 得.0186)3(22=++-kx x k 直线l 与双曲线C 相交于A 、B 两点，∴)3(723622--=∆k k ＞0，即2k ＜6，且32≠k . ∴1±=k 符合题意.故k 的值为1±.。

“点差法”为何需要“检验”——以2023年高考数学全国乙卷一道高考题分析和拓展为例

x0
x0 -y0 <1,

,
于是得到下面问题:
设 A(
x1 ,
B(
x2 ,
y1 )
y2 )
2

问题一般化
2

样可以快速得到答案。
作为双曲线弦的中点需要满足什么条件呢?
2

比较 kAB 与两条渐近线的斜率关系即可,这
2 2
。
有共同的渐近线)
件的弦 AB 。
综上所述,同学们在日常的学习过程中
常常认为:
双曲线和抛物线不是 “封闭”图形,
因此采用“
点差法”
时要验证直线是否与曲线
因此求出斜率后需要验证直
M 横坐标无关,
有交点;
而椭圆是“
封闭”
的图形,
因此不需要
线与抛物线是否有交点。实际上,当且仅当
2
y1 +y2
。
y0 =
2
2
线方程后,
是否也需要验证直线与抛物线有
交点呢?
抛物线y2 =4
x 上是否存在两点
例2
使得点 M (
作为线段 AB 中点?
A、
B,
1,
3)
,
,
解析:
令 A(
线段 AB
x1 ,
B(
x2 ,
y1 )
y2 )
x1 +x2
,则 x0 =
,
中点 M 的坐标为 (
x0 ,
y0 )
,
,
解析:

关于圆锥曲线中点弦问题的一些探讨

关于圆锥曲线中点弦问题的一些探讨一、问题的提出在学习圆锥曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）时，有学生提出：圆锥曲线的中点弦问题，求出直线方程后，是否要检验？我偶尔听到一个数学老师不加思索地对学生回答说：“对于双曲线需要检验，对于圆和椭圆则无需检验。

”情况果真如此吗？先看下面的一些例子。

以上求圆锥曲线的中点弦所在的直线方程的方法，称为“点差法”，一般数学老师上课时都会跟学生讲的。

【说明】模仿例1的解法得本题（1）的答案为直线AB：32x+25y-178=0.（2）的答案为直线AB：8x+5y-40=0.试问：以上的方法对吗？其实，（1）是对的。

（2）是错的。

问题就出在：第（1）图中，点M在椭圆内。

第（2）图中，点M 在椭圆外，所以，（2）中的直线AB是不存在的！由此可见，弦中点问题，是需要检验的！否则，就可能发生错误！二、圆锥曲线中的中点弦问题其实，已经有同学注意到了：双曲线与抛物线中存在完全类似的问题。

现在，我们给出一般的圆锥曲线的中点弦问题。

如果直线MN的斜率不存在，那是非常容易的情形，此处不必再作分析了（读者可以自己考虑一下）。

以上的圆锥曲线，可以是圆、椭圆、双曲线和抛物线。

特殊情形：1.当曲线C为椭圆时，本定理就是上面的例1.2.当曲线C为双曲线时，结论为：3.当曲线C为抛物线时，结论为：三、两个双曲线的实例四、关于圆锥曲线中点弦存在性问题的检验问题由上面的例2与例5知：关于圆锥曲线中点弦问题，如果我们不检验，那么就有可能发生错误。

那么，怎样来检验呢？1.判别式法肯定是其中的一种好方法，两方程联立即可用。

2.利用文【1】中的结论也是一种好办法。

（注：文【1】快速判断直线与圆锥曲线位置关系的公式法）3.直观图判断方法：（1）对于圆和椭圆，只要中点P在其内部，即满足：则此时圆或椭圆的中点弦MN存在；否则，不存在。

（如下图所示）（2）对于双曲线，只要中点P在下图中的阴影部分(图5与图6均不包含边界)，即满足：（3）对于抛物线，只要中点P在下图中的阴影部分——此时称点P在抛物线的内部(图7，不包含抛物线的边界)，即满足：则抛物线的中点弦MN存在；否则，不存在。

点差法公式在双曲线中点弦问题中的妙用

点差法公式在双曲线中点弦问题中的妙用点差法公式在双曲线中点弦问题中的妙用广西南宁外国语学校隆光诚（邮政编码530007）圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型，在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点。

它的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。

若已知直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。

我们称这种代点作差的方法为“点差法”，它的一般结论叫做点差法公式。

本文就双曲线的点差法公式在高考中的妙用做一些粗浅的探讨，以飨读者。

定理在双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MNk ，则2200a b x y k MN =⋅.证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-)2(.1)1(,1222222221221ΛΛΛΛb y a x b y a x)2()1(-，得.02222122221=---b y y a x x.2212121212a b x x y y x x y y =++⋅--∴又.22,00021211212x y x y x x y y x x y y kMN==++--=Θ.2200ab x y k MN=⋅∴同理可证，在双曲线12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点),(0y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MNk ，则2200ba x y k MN =⋅.典题妙解例1 已知双曲线13:22=-x y C ，过点)1,2(P 作直线l 交双曲线C 于A 、B 两点.（1）求弦AB 的中点M 的轨迹；（2）若P 恰为弦AB 的中点，求直线l 的方程. 解：（1）,3,122==b a焦点在y 轴上.设点M 的坐标为),(y x ，由22ba x y k AB =⋅得：3121=⋅--x y x y ，整理得：.032322=+--y x y x∴所求的轨迹方程为.032322=+--y x y x（2）Θ P 恰为弦AB 的中点，∴由2200ba x y k AB =⋅得：,3121=⋅AB k即.32=ABk∴直线l 的方程为)2(321-=-x y ，即.0132=--y x 例2 已知双曲线22:22=-y xC 与点).2,1(P（1）斜率为k 且过点P 的直线l 与C 有两个公共点，求k 的取值范围；（2）是否存在过点P 的弦AB ，使得AB 的中点为P ？（3）试判断以)1,1(Q 为中点的弦是否存在. 解：（1）直线l 的方程为)1(2-=-x k y ，即.2k kx y -+=由⎩⎨⎧=--+=.22,222y x k kx y 得.064)2(2)2(2222=+-+---k k x k k x kΘ直线l 与C 有两个公共点， ∴得⎪⎩⎪⎨⎧+----=∆≠-.0)64)(2(4)2(4,0222222φk k k k k k解之得：k ＜23且.2±≠k ∴k的取值范围是).23,2()2,2()2,(Y Y ---∞（2）双曲线的标准方程为.2,1,122222==∴=-b a y x设存在过点P 的弦AB ，使得AB 的中点为P ，则由2200ab x y k AB =⋅得：.1,22=∴=⋅k k由（1）可知，1=k 时，直线l 与C 有两个公共点，∴存在这样的弦.这时直线l 的方程为.1+=x y（3）设以)1,1(Q 为中点的弦存在，则由2200ab x y k AB =⋅得：.2,21=∴=⋅k k由（1）可知，2=k 时，直线l 与C 没有两个公共点，∴设以)1,1(Q 为中点的弦不存在.例3 过点)0,2(-M 作直线l 交双曲线1:22=-y xC 于A 、B 两点，已知OB OA OP +=（O 为坐标原点），求点P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.解：在双曲线1:22=-y xC 中，122==b a，焦点在x 轴上.设弦AB 的中点为Q . ,+=Θ由平行四边形法则知：OQ OP 2=，即Q 是线段OP 的中点.设点P 的坐标为),(y x ，则点Q 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛2,2y x . 由2222a b x yk AB =⋅得：14222=⋅+=⋅+xy x y x y xy ，整理得：.0422=+-x y x 配方得：144)2(22=-+y x .∴点P 的轨迹方程是144)2(22=-+y x ，它是中心为)0,2(-，对称轴分别为x 轴和直线02=+x 的双曲线. 例4. 设双曲线C 的中心在原点，以抛物线4322-=x y的顶点为双曲线的右焦点，抛物线的准线为双曲线的右准线．（Ⅰ）试求双曲线C 的方程；（Ⅱ）设直线:21l y x =+与双曲线C 交于,A B 两点，求AB ；（Ⅲ）对于直线1:+=kx y l ，是否存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C 的交点,A B 关于直线4:'+=ax y l (a 为常数)对称，若存在，求出k 值；若不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）由24y=-得)32(322-=x y，∴3=p ，抛物线的顶点是)0,32(，准线是3213223=+-=x .∴在双曲线C 中，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.321,322ca c . ∴.1,3122==b a∴双曲线C 的方程为1322=-y x.（Ⅱ）由⎩⎨⎧=-+=.13,1222y x x y 得：0242=++x x.设),(),,(2211y x B y x A ，则2,42121=-=+x x x x.∴102]24)4)[(21(]4))[(1(||22212212=⨯--+=-++=x x x x k AB .（Ⅲ）假设存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C 的交点,A B 关于直线'l 对称，则'l 是线段AB 的垂直平分线.因而ka 1-=，从而41:'+-=x ky l. 设线段AB 的中点为),(0y x P .由2200ab x y k AB =⋅得：30=⋅x y k ，∴003x ky =.…………………………………………①由4100+⋅-=x ky 得：kx ky 400+-=.…………………………………………………②由①、②得：3,00==y k x .由100+=kx y 得：132+=k ，∴2±=k .又由⎩⎨⎧+==-.1,1322kx y y x 得：.022)3(22=++-kx x kΘ直线l 与双曲线C 相交于A 、B 两点，∴)3(8422--=∆k k ＞0，即2k ＜6，且32≠k.∴符合题意的k 的值存在，2±=k .金指点睛1. (03全国)已知双曲线中心在原点且一个焦点为)0,7(F ，直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点，MN 的中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程为（） A.14322=-y x B. 13422=-y x C.12522=-y xD.15222=-y x2.（02江苏）设A 、B 是双曲线1222=-y x 上两点，点)2,1(N 是线段AB 的中点. （1）求直线AB 的方程；（2）如果线段AB 的垂直平分线与双曲线相交于C 、D 两点，那么A 、B 、C 、D 四点是否共圆，为什么？3. 已知双曲线1322=-y x ，过点)23,21(--P 作直线l 交双曲线于A 、B 两点.（1）求弦AB 的中点M 的轨迹; （2）若点P 恰好是弦AB 的中点，求直线l 的方程和弦AB 的长.4、双曲线C 的中心在原点，并以椭圆1132522=+y x 的焦点为焦点，以抛物线xy322-=的准线为右准线.（1）求双曲线C 的方程；（2）设直线)0(3:≠+=k kx y l 与双曲线C 相交于A 、B 两点，使A 、B 两点关于直线)0(6:'≠+=m mx y l 对称，求k 的值.参考答案1. 解：在直线1-=x y 中，1=k ，32-=x 时，35-=y . 由2200ab x y k MN =⋅得222532351a b ==--⋅.又由⎪⎩⎪⎨⎧==+=72522222c b a ab 得5,222==b a.故答案选D.2. 解：（1）2,122==b a ，焦点在x 上. 由2200ab x y k AB =⋅得：22=⋅ABk ，∴1=AB k .∴所求的直线AB 方程为)1(12-⋅=-x y ，即01=+-y x .（2）设直线CD 的方程为0=++m y x ，点)2,1(N 在直线CD 上， ∴021=++m ，3-=m .∴直线CD 的方程为03=-+y x .又设弦CD 的中点为),(y x M ，由22ab x y k CD=⋅得：21=⋅-x y，即x y 2-=.由⎩⎨⎧-==-+.2,03x y y x 得6,3=-=y x . ∴点M 的坐标为)6,3(-.又由⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-.12,0122y x y x 得)4,3(),0,1(B A -.由两点间的距离公式可知：102||||||||====MD MC MB MA .故A 、B 、C 、D 四点到点M 的距离相等，即A 、B 、C 、D 四点共圆.3. 解：（1）3,122==b a ，焦点在x 上. 设点M 的坐标为),(y x .若直线l 的的斜率不存在，则x l ⊥轴，这时直线l 与双曲线没有公共点，不合题意，故直线l 的的斜率存在. 由22ab x y k AB =⋅得：32123=⋅++x y x y ，整理，得：0332622=-+-y x y x .∴点M 的轨迹方程为0332622=-+-y x y x.（2）由2200a b x y kAB =⋅得：32123=--⋅AB k ，∴1=ABk.∴所求的直线l 方程为)21(123+⋅=+x y ，即1-=x y . 由⎪⎩⎪⎨⎧-==-.1,1322x y y x 得022=-+x x，解之得：1,221=-=x x .∴.2332||1||122=⋅=-+=x x k AB4. 解：（1）在椭圆1132522=+y x 中，32,13,522=-===b a c b a ，∴焦点为)0,32(),0,32(21F F -.在抛物线xy322-=中，3=p ，∴准线为23=x .∴在双曲线中，232=c a . 从而.3,3==b a∴所求双曲线C 的方程为19322=-y x .（2）直线'l 是弦AB 的垂直平分线，∴km 1-=，从而61:'+⋅-=x ky l . 设弦AB 的中点为),(0y x P .11 由2200a b x y k AB =⋅得：300=⋅x y k ，∴003x ky =.…………………………………………① 由6100+⋅-=x k y 得：k x ky 600+-=.…………………………………………………② 由①、②得：29,2300==y k x又Θ300+=kx y， ∴32329+⋅=k k ，即12=k .∴1±=k . 由⎪⎩⎪⎨⎧+==-.3,19322kx y y x 得.0186)3(22=++-kx x k Θ直线l 与双曲线C 相交于A 、B 两点，∴)3(723622--=∆k k ＞0，即2k ＜6，且32≠k . ∴1±=k 符合题意.故k 的值为1±.。

这样的直线为什么不存在

这样的直线为什么不存在作者：田卫东来源：《数学教学通讯·高中版》2017年第05期[摘要] 用“点差法”求解双曲线的“中点弦”问题时，常常会出现“中点弦”时而存在，时而又不存在的情况，本文通过分析研究，发现了“中点弦”不存在的原因，同时给出如何运用数形结合判断“中点弦”是否存在的方法.[关键词] “双曲线”；“中点弦”；“点差法”；“思考研究”在求解圆锥曲线的一类问题时，若题目中给出直线与圆锥曲线相交被截得线段中点坐标的时候，把直线和圆锥曲线的两个交点坐标代入圆锥曲线的方程，然后将两个等式作差，得到一个与弦的中点坐标和斜率有关的式子，从中求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程. 通常我们将与圆锥曲线的弦的中点有关的问题称之为圆锥曲线的“中点弦”问题，把这种代点作差的方法称为“点差法”. 对于“中点弦”问题，如果能适时运用点差法，可以达到“设而不求”的目的，同时，还可以减少解题的运算量，优化解题过程. 因此，在直线与圆锥曲线的教学中，若涉及弦的中点问题，老师们都喜欢教给学生这种解题方法，学生们也会从各种教辅资料中学会这种方法. 近日，我们正在学习双曲线的有关内容，用这种方法处理直线和双曲线的“中点弦问题”时，出现了一些“小麻烦”，从而也引起了笔者的一些思考.学生的疑问在双曲线的习题课上，学生遇到了这样一个问题：已知双曲线方程-=1.（1）过点M（1，1）的直线交双曲线于A，B两点，若M为弦AB的中点，求直线AB 的方程.（2）是否存在直线l，使1，为l被该双曲线所截弦的中点，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.由于学习椭圆时已经涉及了“中点弦”的问题及解法，所以大部分学生使用了“点差法”求解，少部分学生根据直曲联立，利用韦达定理及中点坐标公式进行求解，但解题速度较慢，用“点差法”求解的学生很快解出了结果.用“点差法”求解如下：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x-2y=4，x-2y=4，两式相减得（x1+x2）（x1-x2）-2（y1+y2）（y1-y2）=0，所以=. 又因为x1+x2=2，y1+y2=2，所以=，所以直线AB的方程为y-1=（x-1），即x-2y+1=0.同法可解第（2）题中直线l的方程为：2x-2y-1=0. 但由方程组x2-2y2=4，2x-2y-1=0得2x2-4x+9=0. 根据Δ=-56从上面两个问题的求解过程来看，似乎天衣无缝，但结果却大相径庭.于是，一部分学生便有了疑问：用点差法求解椭圆“中点弦”问题的时候，直线都是存在的，从来不用检验，为什么双曲线的“中点弦”却要进行检验呢？下课后，一名成绩优秀的学生更是直接表达了自己的困惑：老师，我们求解的过程是正确的，可是直线为什么不存在呢？带着这个问题，笔者回到了办公室，经过反复思考计算、画图分析，终于得知了直线不存在的原因.直线去哪儿了我们以双曲线-=1为例进行说明. 设直线l与所给双曲线的交点A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），线段AB的中点为M（x0，y0），则有b2x-a2y=a2b2，b2x-a2y=a2b2，两式相减得b2（x1+x2）（x1-x2）-a2（y1+y2）·（y1-y2）=0，所以==，即kAB=.再考察双曲线-=1的共轭双曲线-=1，设直线l与它的交点A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），线段AB的中点为M（x0，y0），则有a2y-b2x=a2b2，a2y-b2x=a2b2，两式相减得a2（y1+y2）（y1-y2）-b2（x1+x2）（x1-x2）=0，所以==，即kAB=.我们发现，这两个结果竟然完全一样！显然，用“点差法”求解双曲线的“中点弦”问题时，所求得的kAB=并不仅仅是直线l与双曲线-=1的“中点弦”的专利，同时也是l与双曲线-=1的“中点弦”的运算结果. 从而也就找到了直线l为什么时而存在，时而又不存在的原因，原来是共轭双曲线在“作怪”！由此不难得知，虽然第（2）题中所求的直线l对于双曲线-=1不存在，但对于它的共轭双曲线-=1而言，“中点弦”却是存在的.可以这样判断“中点弦”是否存在除了可以通过直曲联立，用一元二次方程根的判别式判断“中点弦”是否存在以外，我们还有没有别的方法可用呢？下面，在同一坐标系中分别画出双曲线-=1和-=1. 如图1所示：阴影部分是满足-下面，我们先给出一个结论.设直线l的方程为：y=kx+m，代入方程-=1中可得（b2-a2k2）x2-2kma2x-a2（m2+b2）=0，其中Δ=4a2b2（m2+b2-a2k2），x1x2=.结论1：当b2-a2k2>0，即k20且x1x2时，l一定与双曲线-=1的上、下两支各交于一点.设弦AB的中点M（x0，y0）是区域Ⅰ或区域Ⅲ内的任意一点（不包括边界），则（x0，y0）满足以下三个条件：①-0. 因为kAB=，且a2y-b2x>0，所以k=，直线l与双曲线-=1的上、下两支各交于一点.这样，我们就知道本文开始时（1）（2）两个问题的结果为何不同的原因了，因为点M（1，1）在区域Ⅰ，而N1，在区域Ⅳ.综合以上分析，用“点差法”求解双曲线的“中点弦”问题时，除了可以用一元二次方程根的判别式验证满足条件的直线是否存在以外，还可以通过作图，根据弦的中点M（x0，y0）的具体位置判断“中点弦”是否存在，这样就会减少运算量，同时也是对“点差法”求双曲线“中点弦”的一点补充和完善. 一般而言，这类题目中所求弦的中点基本上都在上述四个区域内，若弦AB 的中点M（x0，y0）不属于上述四个区域，即M（x0，y0）满足->1或-后记很多的参考资料上都有直线和双曲线的“中点弦”这类题目，它们往往这样告诉学习者：用“点差法”求解双曲线的中“中点弦”问题时，要注意对结果进行检验，但从来没有解释求得的直线为什么会不存在. 本文通过对该问题的分析，希望学生在学习数学的过程中要勤于思考、善于研究，不能过分地依赖各种教辅资料，更不要把数学的学习仅仅当作背公式、记结论、按套路解题. 事实上，在平时的学习过程中，针对一些典型问题多分析、多思考、多钻研，做到相似问题一般化，一般问题特殊化，多进行一题多解、多题一解的训练……，这样才能提升自己的数学思维品质，提高自身的数学素养，从而很好地完成高中数学的学习任务，也为将来能够适应大学数学的学习打下良好的基础.。

突破点差法解双曲线中点弦问题的难点

突破点差法解双曲线中点弦问题的难点王胜林【摘要】圆锥曲线的“中点弦”问题，习惯的处理方式是对椭圆和抛物线的问题优先用“点差法”（或说代点相减法），对双曲线问题优先用“判别式法”（先设出直线方程与抛物线方程联立，消去一元后得到二次方程，然后运用根的判别式等知识求解）．但在实际中，许多学生习惯于开始都采用“点差法”，因而在求解某些双曲线问题时，又不得不放弃原来的思路而改用“判别式法”．下面笔者提供2种突破方法，以供参考．【期刊名称】《中学教研：数学版》【年(卷),期】2010(000)005【总页数】2页(P9-10)【关键词】中点弦问题;点差法;双曲线;抛物线方程;判别式法;曲线问题;根的判别式;圆锥曲线【作者】王胜林【作者单位】英山县第一中学,湖北英山438700【正文语种】中文【中图分类】G633.63圆锥曲线的“中点弦”问题，习惯的处理方式是对椭圆和抛物线的问题优先用“点差法”(或说代点相减法)，对双曲线问题优先用“判别式法”(先设出直线方程与抛物线方程联立，消去一元后得到二次方程，然后运用根的判别式等知识求解).但在实际中，许多学生习惯于开始都采用“点差法”，因而在求解某些双曲线问题时，又不得不放弃原来的思路而改用“判别式法”.下面笔者提供2种突破方法,以供参考.方法1 用平面区域思想突破.图1我们知道，椭圆的弦的中点不可能到达椭圆上和椭圆外部，抛物线的弦的中点不能到达抛物线上,也不能与焦点位于抛物线的两边.类似地，双曲线的弦的中点也有一个不能到达的区域：设双曲线C:-=1(a,b>0)，左支为C1,右支为C2，渐近线为l1,l2，则双曲线C1,C2与渐近线l1,l2所夹的区域(即图1中的阴影部分，包括双曲线和渐近线)，就是双曲线的弦的中点不能到达的区域.由平面区域思想和特殊化思想，知这个区域内的点的坐标满足0≤-≤1，因此可得出如下结论.结论1 若中点(x0,y0)满足0≤-≤1，则这样的双曲线的“中点弦”不存在.结论2 若中点(x0,y0)满足->1或-<0，则这样的双曲线的“中点弦”存在.例1 已知双曲线x2-=1上存在关于直线l：y=kx+4的对称点，求实数k的取值范围.解设A(x1,y1)，B(x2,y2),线段AB的中点为P(x0,y0),则=x0,=y0.因为点A，B都在双曲线x2-=1上，所以两式相减得3(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2)，即3(x1-x2)x0=(y1-y2)y0.因为x1=x2不合题意，所以3x0·=y0.由=-(k≠0)，可得y0=-3kx0.又y0=kx0+4，解得x0=-,y0=3.又因为题中的“中点弦”存在，所以或解得k的取值范围是方法2 用回头检验法突破.即先用点差法求出可能的直线方程，然后与双曲线方程联立，消去其中一个元得到关于另一个元的二次方程，再用Δ检验这个方程是否有解.例2 已知双曲线C：x2-=1，问是否存在被点M(1，1)平分的弦？若存在，求出弦所在的直线方程；若不存在，请说明理由.解假设在双曲线C上存在被点M(1，1)平分的弦，弦为AB，双曲线中心为O(0，0)，A(x1,y1),B(x2,y2),则两式相减得2(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2)，于是kAB====2,所以直线AB的方程为y-1=2(x-1)，即2x-y-1=0.将2x-y-1=0代入x2-=1，整理得2x2-4x+3=0.由Δ=-8<0,知此方程无实数解，因此假设错误.故双曲线C上不存在被点M(1，1)平分的弦.。

一般二次曲线中点弦的一种求法

一般二次曲线中点弦的一种求法
王秀英
【期刊名称】《佳木斯工学院学报》
【年(卷),期】1998(016)001
【摘要】对“二次曲线中点弦所在的直线方程”给出了一种实施简单，便于记忆的求解方法．即为：
【总页数】3页(P115-117)
【作者】王秀英
【作者单位】佳木斯大学
【正文语种】中文
【中图分类】O182.1
【相关文献】
1.中点弦所在直线方程的一种有趣求法 [J], 黄桂君
2.二次曲线中点弦方程的求法及其应用 [J], 关忠
3.二次曲线中点弦所在直线方程的求法 [J], 刘桂香
4.一般二次曲线中点弦方程的简易求法 [J], 王江云
5.一般二次曲线中点弦方程的简易求法 [J], 王江云
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双曲线弦的中点问题

双曲线弦的中点问题
桂淑英
【期刊名称】《中学数学研究》
【年(卷),期】2000(000)007
【摘要】关于圆锥曲线弦的中点问题，是解析几何中的重要内容，许多文章中已有论述，本文只就直线被双曲线截得的弦的中点问题作一简单总结．
【总页数】3页(P26-28)
【作者】桂淑英
【作者单位】山东莘县实验中学252400
【正文语种】中文
【中图分类】G633.65
【相关文献】
1.探究双曲线"中点弦"问题 [J], 董梅
2.关于椭圆和双曲线中点弦问题的几个结论 [J], 马宏;
3.一个关于双曲线中点弦问题的研究 [J], 党忠良;王历权
4.对双曲线中点弦问题的深入思考 [J], 李红春
5.由双曲线中点弦问题引发的研究性学习 [J], 陈晓明
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浅谈中点弦问题的多种解法

浅谈中点弦问题的多种解法
张雄
【期刊名称】《高中数理化》
【年(卷),期】2018(000)024
【摘要】一题多解的方式能让学生透彻地理解解题思路,从而更好地构建知识网络.本文主要讨论中点弦问题的多种思维,并对此提出相关的教学策略,以飨读者.1中点弦问题的2种解法圆锥曲线的中点弦问题的求解主要有2种方法:点差法和根与系数的关系法.点差法就是设直线与圆锥曲线相交的2点为(x1,y1),(x2,y2),将2点分别代入已知的圆锥曲线方程.将2个方程联立消去常数项,对式子进行因式分解就可得到直线斜率与中点坐标的关系.根与系数的关系法是将圆锥曲线与直线方程联立,消去x或y,得到含y或x的一元二次方程,根据根与系数的关系得出中点坐标,进而解决中点弦问题.
【总页数】2页(P3-4)
【作者】张雄
【作者单位】浙江省永康市职业技术学校
【正文语种】中文
【相关文献】
1.例谈双曲线的中点弦问题的解法 [J], 贾周德
2.圆锥曲线中点弦问题解法探究 [J], 邹艳
3.一道“中点弦”问题解法的背景研究 [J], 黄晓琳
4.一道“中点弦”问题解法的背景研究 [J], 黄晓琳
5.“中点弦”问题的解法探索 [J], 纪伟
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点差法与中点弦

点差法与中点弦
贺德光
【期刊名称】《数理天地：高中版》
【年(卷),期】2009(000)009
【摘要】运用点差法或“和、差设点式”点差法，可以解决下列两种类型的“中点弦”问题，其特点是可回避一元二次方程的实根判别式．1．二次曲线的“中点弦”的存在性
【总页数】2页(P14-15)
【作者】贺德光
【作者单位】湖南省衡东县第一中学;421400
【正文语种】中文
【中图分类】G633.65
【相关文献】
1.巧用点差法解中点弦问题
2.巧用点差法公式解决中点弦问题
3.用“点差法”巧解中点弦问题
4.解中点弦问题的利器--“点差法”
5.点差法解圆锥曲线中点弦问题新发现
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关于椭圆和双曲线中点弦问题的几个结论

关于椭圆和双曲线中点弦问题的几个结论
马宏
【期刊名称】《数理化解题研究：高中版》
【年(卷),期】2017(000)003
【摘要】椭圆和双曲线的中点弦问题是解析几何中的一大重点也是一大难点,同时也是高考考查的一个热点.为此,我们有必要对它进行深刻的研究.本人在研究过程中发现了以下几个结论,供大家参考.
【总页数】2页(P13-14)
【作者】马宏
【作者单位】云南省红河哈尼族彝族自治州第一中学,661400
【正文语种】中文
【中图分类】G632
【相关文献】
1.椭圆与双曲线中点弦的存在性研究 [J], 苏庆飞;
2.从一道高考题的结论的推广谈起——例谈椭圆、双曲线的几个对偶性质 [J], 吴全荣
3.关注教材习题归纳数学结论——以教材\"椭圆中点弦问题\"为例 [J], 方诚
4.关于椭圆、双曲线中点弦的几个定理及其应用 [J], 吴嘉程
5.构造中点弦妙解圆锥曲线问题
——中点弦结论的拓展运用 [J], 蔡珍珍
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