5.3_按贝塞尔函数展开成级数
贝塞尔函数
第一类贝塞尔函数 J (x)的级数表示式为
J
(x)
(1)k
k 0
1
k !( k
1)
( x ) 2k 2
J
(x)
(1)k
k 0
1
k !(
k
1)
( x ) 2k 2
式中 ( x) 是伽马函数．满足关系
（1.2.1）
( k 1) ( k )( k 1) ( 2)( 1)( 1)
H (1)
H(2)
(x) (x)
J J
(x) (x)
iN iN
( (
x) x)
（1.1.9）
分别将
H (1)
,
H(
2
)
称为第一种和第二种汉克尔函数．
于是贝塞尔方程的通解又可以表示为
y(x
A
H (1)
(
x
)
BH(2) ( x)
（1.1.10）
最后，总结 阶贝塞尔方程的通解通常有下列三种形式：
x 和
可以为任意数．
1.1.2 贝塞尔方程的解
通过数学物理方程的幂级数求解方法可以得出结论：
（1）当 整数时，贝塞尔方程(1.1.6)的通解为
y( x) AJ ( x) BJ ( x) （1.1.7）
其中 A, B 为任意常数，J (x) 定义为 阶第一类贝塞尔函数
但是当 n 整数时，有 Jn (x) (1)n Jn (x) 故上述解中的 Jn (x)
Jn (x)
(1)k
k n
1 k !(n
k
( x)n2k 1) 2
(1)n (1)l
1
( x)n2l ,
l0
l !(n l 1) 2
贝塞尔函数展开
贝塞尔函数展开一、贝塞尔函数的定义贝塞尔函数是解决微分方程中出现的一类特殊函数，它最早由法国数学家贝塞尔在研究热传导方程时提出，因此得名为贝塞尔函数。
贝塞尔函数可以分为第一类和第二类两种，分别用Jn(x)和Yn(x)表示。
二、贝塞尔函数的展开式1. 第一类贝塞尔函数展开式第一类贝塞尔函数Jn(x)可以用下面的级数展开：Jn(x) = (x/2)^n∑k=0^∞(-1)^k/(k!(n+k)!)(x/2)^(2k)其中，n为整数，x为实数。
2. 第二类贝塞尔函数展开式第二类贝塞尔函数Yn(x)可以用下面的级数展开：Yn(x) = (2/π)(Jn(x)ln(x/2)+∑k=1^n(-1)^k(k-1)!/(k!)(x/2)^(-2k-n)) 其中，n为整数，x为正实数。
三、代码实现下面是一个Python实现的例子：```pythonimport mathdef J(n, x):"""计算第一类贝塞尔函数J_n(x)"""s = 0for k in range(0, 100):t = (-1)**k / (math.factorial(k) * math.factorial(n + k)) * (x / 2)**(2 * k + n)s += tif abs(t) < 1e-10:breakreturn s * (x / 2)**ndef Y(n, x):"""计算第二类贝塞尔函数Y_n(x)"""if x == 0:return float('-inf')s = J(n, x)t = math.log(x / 2) * J(n, x) - sum((-1)**k / (math.factorial(k) * (k + 1)) * (x / 2)**(-2 * k - n) for k in range(1, n + 1))return (2 / math.pi) * tif __name__ == '__main__':print(J(0, 1)) # 输出0.7651976865579666print(Y(0, 1)) # 输出-inf```四、应用举例贝塞尔函数在物理学、工程学和数学中都有广泛的应用，下面举几个例子：1. 球谐函数的展开式中就包含了贝塞尔函数。
5.3 按贝塞尔函数展开成级数2
( x). J n1 ( x) J n1 ( x) 2J n
d n x J n ( x) x n J n 1 ( x), dx d n x J n ( x) x n J n 1 ( x). dx 2n J n 1 ( x) J n 1 ( x) J n ( x), x
( x) J1 ( x); J0
d xJ 1 ( x) xJ 0 ( x). dx
2n J n 1 ( x) J n 1 ( x) J n ( x), x
(27)
(28)
(29)
例 解
求 xJ 2 ( x ) dx
J 2 ( x) 由(27)式知， 2 J 1 ( x) J 0 ( x), x
5
d n x J n ( x) x n J n 1 ( x). dx
d n x J n ( x) dx
(25)
2 k 1 x k 1 ( 1 ) n 2 k 1 2 k!(n 1 k 1) k 0
n 1 2 k x x n (1) k n1 2k 2 k!(n 1 k 1) k 0
m 1 2
1 d sin x , x dx x
m
m
J 2 m1
2
2
它是算子
1 d 这里为了方便起见，我们采用微分算子 , x dx 1 d
x dx
1 d cos x , x dx x
当：n 1 时，（ 1）式有 d 1 x J1 ( x) x 1 J 2 ( x) dx
xJ 1 ( x ) 2 J 1 ( x ) d x
贝塞尔函数详细介绍(全面)
y x 1J m (x) x J m (x)
y 1x 2 Jm (x) x 1Jm (x) x 1Jm (x) x 2 Jm(x)
x 2 Jm(x) 2x 1Jm (x) 1 x 2 Jm (x)
x 2 Jm(x) 2x 1Jm (x) 1x 2 Jm (x)
xnYn1(x)
d
dx
xnYn (x)
x
Y n n1
(
x)
Yn1 ( x)
Yn1 ( x)
2n x
Yn
(x)
Yn1(x) Yn1(x) 2Yn(x)
例1 求下列微积分
(1)
d dx
J0
(
x)
J 0
(x)
J1(x)
(2)
J0(x)
1 x
J0(x)
J1(x)
1 x
J1(x)
1 2
J
0
(x)
1 2 x
x 1Jm (x) x Jm (x)
2
2
m2 x2
x
J
m
(x)
x 2 Jm(x) x 1Jm (x) x2 2 m2 x 2 Jm (x)
x 2 x2 2 Jm(x) xJm (x) x2 2 m2 Jm (x)
x2 t 2Jm(t) tJm (t) t 2 m2 Jm (t)
J
(x)
y AJn (x) BYn (x)
数学物理方程与特殊函数
x2 y xy x2 n2 y 0
J
n
(
x)
m0
(1)m m!(n m
1)
x 2
n2m
Yn
(
x)
lim
n
第五章 数理方程 贝塞尔函数
(1) 由 ( n m 1) ( n m )! 得 1 1 m J n ( x) 1 n2 m xn2m 2 m! n m ! 1 m 0 0 （２）取n=N , 在 J n x 中,由于m<N时， N m 1
a 2 t
5.1 贝塞尔方程的引入
(2) 亥姆霍兹方程(Helmholtz)
2V 2V 2 V 0 2 x y
由边界条件，可知
V
x2 y2 R2
0
在极坐标系下，问题可以写成
2V 1 V 1 2V 2 V 0 0 R 2 2 V | 0 R
2 k 1 d x k 1 k (2k 2) x 1 2 k 2 2 1 2 k 2 2 dx 2 k 1 ! 2 [ k 1 !] 1 1 n m 2m Jn x 1 x n2m 2 k 1 2 m! n×（－１） m ! x0 k m 1 2k 1 2 及k ! 1 ! : k 得 n 1 分别令n 0
所以级数从m=N开始 1 1 m J N ( x) 1 N 2 m x N 2m 2 m ! N m 1 m N
N N 1 N 4 x x x N (1) N N 2 N 4 2 N ! 2 ( N 1)! 2 ( N 2)!2! (1) N J N ( x)
y CJ n x DYn x
5.3 n 为整数时贝塞尔方程的通解
x 2 (1) x Y0 x J 0 x (ln C ) 2 m 0 (m !)2 2 2
n 1 m
2m m
贝塞尔函数详细介绍(全面)
(−1) m x 2 n + 2 m −1 = x n J ( x) = x n ∑ n + 2 m−1 n −1 2 m!⋅Γ(n + m) m =0
∞
d x n J n ( x ) = x n J n −1 ( x ) dx d −n x J n ( x) = − x − n J n +1 ( x) dx
y = AJ n ( x) + BYn ( x)
A、B为任意常数， n为任意实数
数学物理方程与特殊函数
第5章贝塞尔函数
三 贝塞尔函数的性质
(−1) m x J n ( x) = ∑ ⋅ m = 0 m! Γ ( n + m + 1) 2
∞ n+2m
J α ( x) cos απ − J −α ( x) Yn ( x) = lim α →n sin απ
= −3J1 ( x) + 2 J1 ( x) + J1 ( x) − J 3 ( x) = − J 3 ( x)
数学物理方程与特殊函数
第5章贝塞尔函数
(4)
d n x J n ( x) = x n J n −1 ( x) dx = − xJ1 ( x ) + ∫ x −1 J1 ( x )dx 2 = − xJ1 ( x) + 2 ∫ J1 ( x)dx d −n x J n ( x) = − x − n J n +1 ( x) = − xJ1 ( x ) − 2 ∫ dJ 0 ( x) = − xJ1 ( x) − 2 J 0 ( x ) + C dx ′ (5) ∫ x 3 J 0 ( x )dx = ∫ x 2 dxJ1 ( x ) = x 3 J 1 ( x ) − 2 ∫ x 2 J1 ( x)dx J n −1 ( x) − J n +1 ( x) = 2 J n ( x) 2n J n −1 ( x) + J n +1 ( x) = J n ( x) 3 2 3 2 = x J 1 ( x ) − 2 ∫ dx J 2 ( x ) = x J 1 ( x ) − 2 x J 2 ( x ) + C x
贝赛尔函数
lim µm+1 − µm = π
( n)
( n)
5.5 函数展成贝塞尔函数的级数
Jn
(
λ R = 0 的解为
)
λ R = µm
(n )
m = 1,2, L
与这些特征值相应的特征函数为
( µmn) P ( ρ ) = Jn ρ m R
m = 1,2, L
5.5 函数展成贝塞尔函数的级数
因为 所以
d n x J n ( x ) = x n J n −1 ( x ) dx
(
)
( ( ( ( ( ( µ n0 ) r ) J1 µ n0) r = µ n0 ) r J 0 µ n0 ) r d µ n0 ) r d
(
) (
µ
) (
µ
) (
)
∫ rJ (µ
再次分离变量,令 V ( ρ ,θ ) = P,代入化简得 (ρ )Θ(θ )
P"( ρ ) Θ(θ ) + 1
ρ
2
P ' ( ρ ) Θ(θ ) +
1
ρ
2
P ( ρ ) Θ"(θ ) + λ P ( ρ ) Θ(θ ) = 0
引入参数 µ 分解
P "( ρ ) P ' ( ρ ) Θ"(θ ) ρ +ρ + + λρ 2 = 0 P P Θ
d n [ x J n ( x )] = x n J n −1 ( x ) dx
d −n [ x J n (x )] = − x − n J n +1 (x ) dx
2n J n−1 (x ) + J n+1 ( x ) = J n (x ) x
贝塞尔公式详细推导过程
贝塞尔公式详细推导过程《贝塞尔公式的详细推导过程》引言：贝塞尔公式是数学中一种重要且广泛应用的公式，它的推导过程相对较复杂、细致，但却十分精彩。
在本文中，我们将详细介绍贝塞尔公式的推导过程，让读者对这一公式有更深入的理解。
一、贝塞尔公式的定义：贝塞尔公式是一种用连分数表示的数学公式，其一般形式为：J_n(x) = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} \cos(n\theta - x\sin\theta)d\theta其中，J_n(x) 表示第n阶贝塞尔函数，x 是实数，\theta 表示角度，\pi 表示圆周率。
二、推导过程：1. 首先，我们从欧拉公式 e^ix = \cos(x) + i\sin(x) 出发，将其展开得到：e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)2. 接下来，我们将展开中的i\sin(x) 转化为两个实数的乘积。
我们知道，正弦函数的定义式为：\sin(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}代入之前的展开式，得到：i\sin(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2}3. 现在，我们用这个展开式来推导贝塞尔公式。
我们首先将贝塞尔函数展开成幂级数形式：J_n(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^n \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k}4. 接下来，我们将展开式中的 e^{ix} 替换为 \cos(x) + i\sin(x)：J_n(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^n \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} \left(\cos(x) + i\sin(x)\right)5. 然后，我们将正弦函数用欧拉公式展开为两个指数函数的乘积：J_n(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^n \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} \left(\cos(x) + i\frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2}\right)6. 继续推导，我们可以将指数函数的乘积展开为两项之差：J_n(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^n \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} \left(\cos(x) + \frac{i e^{ix}}{2} - \frac{i e^{-ix}}{2}\right)7. 现在，我们可以将展开式中的 i 消去：J_n(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^n \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} \left(\cos(x) + \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2}\right)8. 之后，我们可以将展开式进行拆分，分别对两项进行求和，并利用复数的性质对其中的复数部分进行化简：J_n(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^n \left(\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k}\cos(x) + \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k}\frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2}\right)9. 最后，我们可以将两个求和式进行整理，将其中的复数部分转化为积分形式：J_n(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^n \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k}\cos(x) + \left(\frac{x}{2}\right)^n \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k}\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} \cos(n\theta -x\sin\theta)d\theta10. 将整理后的展开式中的求和式转化为连分数形式，即可得到贝塞尔公式：J_n(x) = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} \cos(n\theta - x\sin\theta)d\theta结论：通过上述推导过程，我们可以将贝塞尔公式从指数函数的展开式推导得到，将其转化为连分数形式。
贝塞尔函数 - 维基百科,自由的百科全书
图1 贝塞尔函数的一个实例：一个紧绷的鼓面在中心受到敲击后的二阶振动振型，其振幅沿半径方向上的分布就是一个贝塞尔函数（考虑正负号）。
实际生活中受敲击的鼓面的振动是各阶类似振动形态的叠加。
贝塞尔函数维基百科，自由的百科全书贝塞尔函数（Bessel functions），是数学上的一类特殊函数的总称。
通常单说的贝塞尔函数指第一类贝塞尔函数（Bessel function of the first kind）。
一般贝塞尔函数是下列常微分方程（一般称为贝塞尔方程）的标准解函数：这类方程的解是无法用初等函数系统地表示。
由于贝塞尔微分方程是二阶常微分方程，需要由两个独立的函数来表示其标准解函数。
典型的是使用第一类贝塞尔函数和第二类贝塞尔函数来表示标准解函数：注意，由于 在 x=0 时候是发散的（无穷），当取 x=0 时，相关系数 必须为0时，才能获得有物理意义的结果。
贝塞尔函数的具体形式随上述方程中任意实数或复数α变化而变化（相应地，α被称为其对应贝塞尔函数的阶数）。
实际应用中最常见的情形为α是整数n，对应解称为n 阶贝塞尔函数。
尽管在上述微分方程中，α本身的正负号不改变方程的形式，但实际应用中仍习惯针对α和−α定义两种不同的贝塞尔函数（这样做能带来好处，比如消除了函数在α=0 点的不光滑性）。
贝塞尔函数也被称为柱谐函数、圆柱函数或圆柱谐波，因为他们是于拉普拉斯方程在圆柱坐标上的求解过程中被发现的。
目录1 历史2 现实背景和应用范围3 定义3.1 第一类贝塞尔函数3.1.1 贝塞尔积分3.1.2 和超几何级数的关系3.2 第二类贝塞尔函数（诺依曼函数）3.3 第三类贝塞尔函数（汉克尔函数）3.4 修正贝塞尔函数3.5 球贝塞尔函数3.6 黎卡提-贝塞尔函数4 渐近形式5 性质6 参考文献7 外部连接历史贝塞尔函数的几个正整数阶特例早在18世纪中叶就由瑞士数学家丹尼尔·伯努利在研究悬链振动时提出了，当时引起了数学界的兴趣。
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本文部分内容来自网络整理，本司不为其真实性负责，如有异议或侵权请及时联系，本司将立即删除！== 本文为word格式，下载后可方便编辑和修改！ ==贝塞尔函数篇一：贝塞尔函数的有关公式C.贝塞尔函数的有关公式贝塞尔方程的持解Bp(z)为(柱)贝塞尔函数。
有第一类柱贝塞尔函数Jp(z)p为整数n时，J?n=(?1) nJn；p不为整数时，Jp与J?p线性无关。
第二类柱贝塞尔函数N p(z)(柱诺依曼函数)n为整数时N?n=(?1) nNn。
第三类柱贝塞尔函数Hp(z) (柱汉开尔函数)：第一类柱汉开尔函数 Hp(1)(z)= Jp(z)+j N p(z)第二类柱汉开尔函数 Hp(2)(z)= Jp(z)?j N p(z)大宗量z??小宗量z?，为欧拉常数见微波与光电子学中的电磁理论p668Jn(z)的母函数和有关公式函数ez(t/2-1/2t)称为第一类贝塞尔函数的母函数，或称生成函数，若将此函数在t=0附近展开成罗朗级数，可得到在上式中作代换，令t=ej?，t=?jej?等，可得又可得如z=x为实数贝塞尔函数的加法公式Jn(z)的零点?niJ’n(z)的零点?ni半整数阶贝塞尔函数Jn+1/2(z)的零点?npJ'n+1/2(z)的零点?'npD．朗斯基行列式及其它关系式E．修正贝塞尔函数有关公式贝塞尔方程中用(jz)代换z，得到修正的贝塞尔方程方程的两个线性无关的解为Ip(z)=j?pJp(jz)．称为第一类修正的柱贝塞尔函数。
Kp(z)=(?/2)jp+1Hp(1)(jz)．称为第二类修正的柱贝塞尔函数。
篇二：贝塞尔函数第五章贝塞尔函数在第二章中，用分离变量法求解了一些定解问题。
从 2.3可以看出，当我们采用极坐标系后，经过分离变量就会出现变系数的线性常微分方程。
在那里，由于只考虑圆盘在稳恒状态下的温度分布，所以得到了欧拉方程。
如果不是考虑稳恒状态而是考虑瞬时状态，就会得到一种特殊类型的常微分方程。
(哈工大)数学物理方程5-2
1 3 r J0 0
nr dr
Cn
J1 n
n
2 J 2 n ( n )2
从而
4J 2 n
n
2
2 J1 n
所求定解问题的解为：
u( r , t )
n1
n
4J 2 n
2
2 J1 n
令
x x r, y x P
2 d y dy 2 2 2 x x x n y x 0 2 dx dx
方程转化为
r 2 P " r r P ' r r 2 n 2 P r 0
令
方程 (1) 的解为 T t Ce
a 2 2 t
.
(2) 为零阶非标准的贝塞尔方程,它的通解为：
F r C1J 0 r C 2Y0 r
由 u(r, t) 的有界性, 可以知道 C2 0. 再由条件
u r 1 0, 知：J0 0, 即 是 J 0 ( x ) 的零点.
i3 J1
2 2 d t i 0 J 2 t
i
i3 J1 i 2 i 2 J 2 i
=0
J 0 i J 2 i
21
i
J1 i ,
0
i 3
t J 0 t dt i3 J1 i 2 i 2 J 2 i
§5.5 函数展成贝塞尔函数的 级数
利用贝塞尔函数求解定解问题, 最终要把已知函数 按贝塞尔方程的特征函数展开。
第五章-贝塞尔函数讲解
2 sin x
x
J
1 2
x
2 cos x
x
1 0.8 0.6 0.4 0.2
J0 J5
-0.2 -0.4
2
4
6
8
10
5.1.2.虚宗量贝塞耳方程
n 阶虚宗量贝塞耳方程
x2
d 2R dx 2
x
dR dx
(x2
n2 )R
0
ix
2
d 2R
d 2
dR
d
( 2
m
1
J-n(x)称为-n阶第一类贝塞尔函数
(5.19)
Jn(x) 和J-n(x)线性无关，故贝塞尔方程(5.12)的通解可表 示为：
y x AJn x BJn x
(5.20)
令 A cot n , B csc n，则 (5.20)可写成
第二个线性 无关特解
2
ak
ak 2
0
由于 a0 0，可得 s1 n s2 n ,需要分别讨论：
(5.14) (5.15) (5.16)
情形1：n不为整数和半奇数，则s1-s2=2n也不为整数。取s1=n代 入(5.15)式得到a1=0,代入(5.16)式得到：
ak
ak 2
k 2n k
d dx
xn
Jn
x
xn
J n1
x
d dx
x
n
J
n
x
x
n
J
5.3 按贝塞尔函数展开成级数
( ′ ( ′ ( µ mn ) J n ( µ mn ) ) J n ( µ mn ) ) R = ( 2 µ mn ) / R
由递推公式
R2 ( n) 2 ′ = J n (µ m ) . 2
[
]
(40)
′ ′ xJ n ( x) + nJ n ( x) = xJ n −1 ( x), xJ n ( x) − nJ n ( x) = − xJ n +1 ( x),
F2 = 0.
7
∫
R
0
( µ mn ) rJ n R
µ k( n ) r J n R
r dr = 0,
m ≠ k . (37)
d dF n2 r + λr − dr dr r
F = 0.
d dF1 d dF2 (α − α )rF1 F2 + F2 r − F1 r = 0. dr dr dr dr
2 1 2 2
上式两边对 r 从 0 到 R 积分得
(α − α ) ∫
2 1 2 2 R 0
dF1 dF2 rF1 (r ) F2 (r )dr + rF2 − rF1 = 0. (38) dr dr 0
6
∫
R
0
( µ mn ) rJ n R
µ k( n ) r J n R
r dr = 0,
m ≠ k . (37)
d dF n2 r + λr − dr dr r
F = 0.
为书写方便， 为书写方便，记
3
数学物理方法——贝塞尔函数
贝赛尔函数摘要：在一般情况下，贝塞尔方程的解不能用初等函数表出，从而就导入一类特殊函数，称为贝塞尔函数。
贝塞尔函数具有一系列性质，在求解数学物理问题时主要是引用正交完备性。
关键词：贝塞尔函数，通解，递推关系，正交完全性。
在圆形区域或圆柱形区域内求解定解问题时，就会出现下列形势的二阶线性常微分方程()222220y dy d x y x x n d dx x ++-= 其中n 为常数，这个方程就称为n 阶贝塞尔方程，它有什么特点呢？首先它是一个变系数的二阶线性常微分方程，其次是y ′ 与y ″的系数在0x =处为零，即在0x =处方程退化了，如果用2x 除方程两端，则y 与y ′前的系数在0x =时有奇偶性。
正因为如此，所以在用幂级数法求解时，要设解为 0c n n n y x a x ==∑∞.方程的解就称为n 阶贝赛尔函数。
利用级数解法可得它的两个特解()()()2201!12n mm n n m m x x J m n m ++==-∑++∞Γ， ()()()2201!12n mm n n m m x x J m n m -+--+==-∑-++∞Γ， 其中()x Γ是Γ-函数。
为了和其他类型的贝塞尔函数相区分，我们称()n x J ，()n x J -是第一类贝塞尔函数。
对于贝塞尔方程和贝塞尔函数，应该强调以下几点：（1） 贝塞尔方程的通解当n 不是整数且0n ≠时，可以看出()n x J 与()n x J -是线性无关的，这是因为()00n J =，()0n J -=∞。
所以贝塞尔方程的通解为()()12n n y x x C J C J -=+，其中1C ,2C 是任意常数。
当0x =时，我们只得到了一个特解()0x J ，要想得到通解还必须找到一个与()0x J 线性无关的特解。
当n 为整数时，容易说明()n x J 与()n x J -是线性相关的，所以它们也不能构成通解。
总之，当n 为零及整数时还要找一个与()n x J 线性无关的特解，这个解就是第二类贝塞尔函数，它的定义为()()()()()cos ,sin cos ,lim sin n n n a nx n x J J n z n x Y x x J J n z αααα--→-⎧∉⎪⎪=⎨-⎪∈⎪⎩ππππ 因此，不论n 是否为整数及零，贝塞尔方程的通解均可表示为()()11n n y x x C J C Y =+.特别应该强调的是：()n x J 表示一个在整个数轴上都收敛的幂级数的和，所以它在每个指定的点都取有限值，特别是在0x =处的值()0n J 是有限的，而()n x Y 在0x =处的值为无穷大。
第五章 贝塞尔函数讲解
贝塞尔方程
(5.12)尔函数或柱函数 为二阶变系数常 微分方程，
x 2 y '' + xy ' + ( x 2 − n 2 ) y = 0
贝塞尔方程
(5.12)
求解贝塞尔方程(5.12)，假设如下幂级数解 假设如下幂级数解：
y ( x ) = ∑ ak x
Vxx + Vyy + λV = 0 T ''+ λ a 2T = 0
Helmholtz方程
(5.5)
为了求Helmholtz方程 (5.5)，可在极坐标中进行求解 方程 为了求 ，
∂ 2V 1 ∂V 1 ∂ 2V + 2 + λV = 0 2 + 2 r ∂r r ∂θ ∂r V r=R = 0
r F + rF + ( λ r − n ) F = 0
2 '' ' 2 2
F ( R) = 0
F ( 0) < ∞
令 x=
λ r ，记F(r)=y(x)，则(5.11)转化为： F(r)=y(x)， (5.11)转化为 转化为：
x 2 y '' + xy ' + ( x 2 − n 2 ) y = 0
第五章 贝塞尔函数
5.1 贝塞尔方程
在利用分离变量法求解其它偏微分方程的定解问题时， 在利用分离变量法求解其它偏微分方程的定解问题时，会导 出其它形式的常微分方程的边值问题， 出其它形式的常微分方程的边值问题，从而得到各种各样的坐标 函数---特殊函数。如贝塞尔函数、 ---特殊函数 函数---特殊函数。如贝塞尔函数、勒让德多项式等
常见贝塞尔公式展开式
常见贝塞尔公式展开式1. 贝塞尔函数简介贝塞尔函数是数学中一类重要的特殊函数，由德国数学家弗里德里希·贝塞尔首次引入。
贝塞尔函数广泛应用于物理学、工程学和数学领域中，特别是在波动和振动的描述中发挥着重要作用。
2. 贝塞尔公式的展开式贝塞尔公式的展开式是一种将贝塞尔函数表达为无穷级数的方法。
常见的贝塞尔公式展开式有以下几种形式：2.1 第一类贝塞尔函数展开式第一类贝塞尔函数的展开式可以表示为：J_0(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots这是贝塞尔函数的0阶形式，其中 `J_0(x)` 表示第一类贝塞尔函数的0阶。
2.2 第二类贝塞尔函数展开式第二类贝塞尔函数的展开式可以表示为：Y_0(x) = -\frac{2}{\pi} (\ln\frac{x}{2} + \gamma) J_0(x) +\frac{2}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n} J_{2n}(x) 这是贝塞尔函数的0阶形式，其中 `Y_0(x)` 表示第二类贝塞尔函数的0阶，`\gamma` 是欧拉常数。
2.3 第一类贝塞尔函数的递推关系第一类贝塞尔函数的展开式还可以运用其递推关系进行简化：x J_{n}(x) = n J_{n-1}(x) - x J_{n-2}(x)其中 `J_{n}(x)` 表示第一类贝塞尔函数的 `n` 阶。
3. 应用举例贝塞尔公式展开式在科学与工程领域中具有广泛应用。
例如，在电磁学中，贝塞尔函数可用于描述柱坐标系中的电磁场分布；在信号处理中，贝塞尔函数可用于信号的滤波和逼近；在声学中，贝塞尔函数可用于描述声波在圆柱体内的传播等。
4. 总结贝塞尔公式展开式是一种重要的数学工具，用于表达贝塞尔函数的级数形式。
通过贝塞尔公式展开式，我们可以对贝塞尔函数进行计算和应用，进一步推动科学与工程的发展。
贝塞尔函数的应用
贝塞尔函数的应用1ω1二、按贝塞尔函数展开求定解问题的解下面将举例说明如何用贝塞尔函数求定解问题的解。
例2：有一质量均匀的金属圆柱体，半径为，0r 柱高为l ，圆柱侧面绝热，而上下两底面的温度分别保持为和，)(2r f )(1r f 试求圆柱体内部稳定时的温度分布。
解：由于温度分布趋于稳定，圆柱体内部温度函数),,(z r u 满足定解问题由于边界条件与无关，所以定解问题的解也与无关，只能取常数，这对应于m=0的情况。
ϕϕ)(ϕΦ事实上把),,(z r u ϕ代入边界条件可得12()()(0)(),()()()().R r Z f r R r Z l f r ϕϕΦ=Φ=根据上两个等式可知()ϕΦ只能取常数。
2''()()0(4.3)()(2),'()'(2)m ϕϕϕϕϕϕππ⎧Φ+Φ=⎨Φ=Φ+Φ=Φ+⎩固有值问题求解可得固有值为22,0,1,2,...n n m ==求解可得固有函数为()cos sin n n n n n A B ϕϕϕ=+Φ方程(4.5)的解为),3,2,1(,)(:0,)(:00000 =+=≠+==-n eD eC z ZD z C z Z zn zn n n n n ωωωω根据线性叠加原理，原定解问题(4.2)的一般解为''()()0,(4.5)Z z Z z λ-=2000,0,n nn λλωω=≥==0001(,,)()(),(4.6)n n zzn n n n u r z C z D C eD eJ r ωωϕω∞-==+++∑其中系数将由上下两底面的边界条件确定。
n n D C ,注：例3：设有半径为1的均匀薄圆盘，边界温度为零，ϕ1⎧11441 1比较等式两边系数，得22 21R tω。
贝塞尔函数总结
篇一：贝塞尔函数的有关公式c.贝塞尔函数的有关公式贝塞尔方程的持解bp(z)为(柱)贝塞尔函数。
有第一类柱贝塞尔函数jp(z)p为整数n时，j?n=(?1) njn；p不为整数时，jp 与j?p线性无关。
第二类柱贝塞尔函数n p(z)(柱诺依曼函数)n为整数时n?n=(?1) nnn。
第三类柱贝塞尔函数hp(z) (柱汉开尔函数)：第一类柱汉开尔函数 hp(1)(z)= jp(z)+j n p(z)第二类柱汉开尔函数 hp(2)(z)= jp(z)?j n p(z)大宗量z??小宗量z?，为欧拉常数见微波与光电子学中的电磁理论p668jn(z)的母函数和有关公式函数ez(t/2-1/2t)称为第一类贝塞尔函数的母函数，或称生成函数，若将此函数在t=0附近展开成罗朗级数，可得到在上式中作代换，令t=ej?，t=?jej?等，可得又可得如z=x为实数贝塞尔函数的加法公式jn(z)的零点?nij’n(z)的零点?ni半整数阶贝塞尔函数jn+1/2(z)的零点?npjn+1/2(z)的零点?npd．朗斯基行列式及其它关系式e．修正贝塞尔函数有关公式贝塞尔方程中用(jz)代换z，得到修正的贝塞尔方程方程的两个线性无关的解为ip(z)=j?pjp(jz)．称为第一类修正的柱贝塞尔函数。
kp(z)=(?/2)jp+1hp(1)(jz)．称为第二类修正的柱贝塞尔函数。
篇二：贝塞尔函数第五章贝塞尔函数在第二章中，用分离变量法求解了一些定解问题。
从2.3可以看出，当我们采用极坐标系后，经过分离变量就会出现变系数的线性常微分方程。
在那里，由于只考虑圆盘在稳恒状态下的温度分布，所以得到了欧拉方程。
如果不是考虑稳恒状态而是考虑瞬时状态，就会得到一种特殊类型的常微分方程。
本章将通过在柱坐标系中对定解问题进行分离变量，引出在2.6中曾经指出过的贝塞尔方程，并讨论这个方程解的一些性质。
下面将看到，在一般情况下，贝塞尔方程的解不能用初等函数表出，从而就导入一类特殊函数，称为贝塞尔函数。
5.2-贝塞尔函数的递推公式m(共43张)
(12)
Jn (x)
(1) m
m0
2n2m
x n2m m!(n
m
, 1)
(18)
情形
(qíng
2 xing)
J n (x)
(1) m
m0
x n2m 2n2m m!(n
m
, 1)
如果 n 为整数(包括0)，
(19)
J n (x) (1)n J n (x).
这就说明了 J n (x) 与 J n (x) 当 n(n 0)为整数时是
线性相关的。 为了求出贝塞尔方程的通解，我们
还需要求出一个与 J n (x) 线性无关的特解。
3
第3页，共43页。
Yn (x)
J n (x) cosn sin n
J n (x) .
(21)
由(211))式式知，当 n 不为为整整整数数数时时时，，，Yn (x) 与 与 J n (x) 是
线性无关的， 而当 n 为为整整数数时时，，由于
7
第7页，共43页。
5.2 贝塞尔函数(hánshù)的递推公式
不同阶的贝塞尔函数之间有一定的联系， 本节
来建立反映这种联系的递推公式。
Jn (x)
(1) m
m0
x n2m
,
2n2m m!(n m 1)
(18)
Yn (x)
J n (x) cosn sin n
J n (x) .
(21)
由 J n (x) 的表达式(18)可推出下列两个基本
J n1 (x) J n1 (x) 2J n (x).
(27) (28)
显然(25)(26)式与(27)(28)式是等价的。
12
第12页，共43页。
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2 2
)
R
0 rF1(r)F2 (r)dr
rF2
dF1 dr
rF1
dF2 dr
R 0
0. (38)
5.3.3 贝塞尔函数的模
定积分
R 0
rJ
2 n
(n) m R
r dr
的平方根，称为贝塞尔函数
当1 2 时，由(38)式得
J
n
(n) m R
r
(39) 的模。
R
0 rF1 (r)F2 (r)dr
F2 (r) J n ( 2r),
其中1, 2为任意参变量。则有
(12
2 2
)rF1
F2
F2
d dr
r
dF1 dr
F1
d dr
r
dF2 dr
0.
上式两边对 r 从 0 到 R 积分得
(12
2 2
)
R
0 rF1(r)F2 (r)dr
rF2
dF1 dr
rF1
dF2 dr
R
0
0. (38)
R,
2
(n) k
/ R,
并且由于
F1 (R)
J
n
(
(n m
)
)
0,
F2 (R)
J
n
(
( k
n
)
)
0,
(n) m
( k
n
)
,
便立即可得(37)式成立。
n 阶贝塞尔函数序列(36)在区间(0, R) 上带权 r
正交.
10
F1 (r) J n (1r),
F2 (r) J n ( 2r),
(12
5.3 按贝塞尔函数展开为级数
应用贝塞尔函数求解数学物理方程的定解问题 时，最终都要把已知函数按贝塞尔函数系展开为 级数。本节我们将讨论这个问题。
本章开始，我们从薄圆盘温度分布的定解问题 中，出了贝塞尔方程的固有值问题：
r 2 F rF (r 2 n2 )F 0, (32)
F(R) 0 | F(0) | ,
F(r) CJn ( r), 另外，再利用(33)中的条件F(R) 0 得
Jn ( R) 0.
(34)
2
r 2 F rF (r 2 n2 )F 0, (32)
F(R) 0 | F(0) | ,
(33)
Jn ( R) 0.
(34)
5.3.1 贝塞尔函数的零点
方程(34)表明，为了求出固有值问题(32)(33)
rJ
n
(n) m R
r J n
(n) k R
r dr
0,
m
k.
(37)
d dr
r
dF dr
r
n2 r
F
0.
为书写方便，记
F1 (r) J n (1r),
F2 (r) J n ( 2r),
其中1, 2为任意参变量。则有
d dr
r
dF1 dr
12 r
n2 r
F1
0,
d dr
r
dF2 dr
2 2
r
n2 r
F2
0.
将上面两式分别乘以 F2 和 F1
7
R 0
rJ
n
(n) m R
r J n
(n) k R
r dr
0,
m
k.
(37)
d dr
r
dF dr
r
n2 r
F
0.
为书写方便，记
F1 (r) J n (1r),
F2 (r) J n ( 2r),
其中1, 2为任意参变量。则有
(
(n) m
)
故上式化为
0,
dF1 dr
R
1J n (1R)
n m
R
J
n
(
(n) m
rF2
dF1 dr
rF1
dF2 dr
12
2 2
R 0
.
11
F1 (r) J n (1r),
F2 (r) J n ( 2r),
R
0 rF1 (r)F2 (r)dr
rF2
dF1 dr
rF1
2 1
2 2
dF2 dr
R
0
.
在上式中，令 1
(n) m
/
R,
2仍为任意参数，由于
F1 (R)
Jn
(33)
方程(32)的通解为
F(r) CJn ( r) DYn ( r),
1
r 2 F rF (r 2 n2 )F 0, (32)
F(R) 0 | F(0) | ,
(33)
方程(32)的通解为
F(r) CJn ( r) DYn ( r),
由于Yn (0)无穷大，由边界条件(33)中的有界性条件 可知 D 0, 从而
3 当 x 值充分大时，J n (x) 的两个相邻零点之间的
的距离接近于 .
整数阶贝塞尔函数应用更多，特别是 J 0 (x)与 J1(x) 4
Jn ( R) 0.
(34)
应用上述关于贝塞尔函数零点的结论，设
(n) m
(m
1,
2,
)
为J
n
(x)
的正零点，则由方程(34)得
R
(n) m
(m 1, 2, ),
(n) m
(n) m R
2
(m 1, 2, ), (35)
与这些固有值相对应的固有函数为
Fm (r) Jn
(n) m
r
J n
(n) m R
r
(m 1, 2, ). (36)
5
r 2 F rF (r 2 n2 )F 0, (32)
Fm (r)
J n
(n) m R
F2
d dr
r
dF1 dr
12
r
n2 r
F1F2
0,
F1
d dr
r
dF2 dr
2 2
r
n2 r
F2 F1
0.
上两式相减得
8
R 0
rJ
n
(n) m R
r J n
(n) k R
r dr
0,
m
k.
(37)
d dr
r
dF dr
r
n2 r
F
0.
为书写方便，记
F1 (r) J n (1r),
的固有值 , 我们需要判明 J n (x) 的零点是否存在？
所谓贝塞尔函数的零点，指的是使 J n (x) 0的那些
x的值。
关于贝塞尔函数的零点有下面一系列的定理。
3
5.3.1 贝塞尔函数的零点
1 J n (x) 有无穷多个单重实零点，这些零点在 x
轴上关于原点对称分布，因而 J n (x) 有无穷多 个正零点； 2 J n (x)的零点与 J n1 (x)的零点是彼此相间分布的， 且 J n (x) 的绝对值最小的零点比 J n1 (x)的绝对值 最小的零点更接近于0； 自然有，J n (x)与 J n1(x) 没有公共零点。
r
(m 1, 2, ).
(36)
5.3.2 贝塞尔函数系的正交性
n 阶贝塞尔函数序列(36)在区间(0, R) 上带权 r
正交，即
R 0
rJ
n
(n) m R
r J n
(n) k R
r dr
0,
m
k.
(37)
证 将贝塞尔方程(32)改写如下
d dr
r
dF dr
r
n2 r
F
0.
6
R 0
9
R 0
rJ
n
(n) m R
r J n
(n) k R
r dr
0,
m
k.
(37)
F1 (r) J n (1r),
F2 (r) J n ( 2r),
(12
2 2
)
R 0
rF1
(r
)
F2
(r
)dr
rF2
dF1 dr
rF1
dF2 dr
R 0
0. (38)
在(38)式中取 1
(n) m
/