5.3_按贝塞尔函数展开成级数

rJ
n
(n) m R
r J n
(n) k R
r dr
0,
m
k.
(37)
d dr
r
dF dr
r
n2 r
F
0.
为书写方便，记
F1 (r) J n (1r),
F2 (r) J n ( 2r),
其中1, 2为任意参变量。则有
d dr
r
dF1 dr
12 r
n2 r
F1
0,
d dr
2 2
)
R
0 rF1(r)F2 (r)dr
rF2
dF1 dr
rF1
dF2 dr
R 0
0. (38)
5.3.3 贝塞尔函数的模
定积分
R 0
rJ
2 n
(n) m R
r dr
的平方根，称为贝塞尔函数
当1 2 时，由(38)式得
J
n
(n) m R
r
(39) 的模。
R
0 rF1 (r)F2 (r)dr
(
(n) m
)百度文库
故上式化为
0,
dF1 dr
R
1J n (1R)
n m
R
J
n
(
(n) m
r
dF2 dr
2 2
r
n2 r
F2
0.
将上面两式分别乘以 F2 和 F1
7
R 0
rJ
n
(n) m R
r J n
(n) k R
r dr
0,
m
k.
(37)
d dr
r
dF dr
r
n2 r
F
0.
为书写方便，记
F1 (r) J n (1r),
F2 (r) J n ( 2r),
其中1, 2为任意参变量。则有
3 当 x 值充分大时，J n (x) 的两个相邻零点之间的
的距离接近于 .
整数阶贝塞尔函数应用更多，特别是 J 0 (x)与 J1(x) 4
Jn ( R) 0.
(34)
应用上述关于贝塞尔函数零点的结论，设
(n) m
(m
1,
2,
)
为J
n
(x)
的正零点，则由方程(34)得
R
(n) m
(m 1, 2, ),
(n) m
(n) m R
2
(m 1, 2, ), (35)
与这些固有值相对应的固有函数为
Fm (r) Jn
(n) m
r
J n
(n) m R
r
(m 1, 2, ). (36)
5
r 2 F rF (r 2 n2 )F 0, (32)
Fm (r)
J n
(n) m R
5.3 按贝塞尔函数展开为级数
应用贝塞尔函数求解数学物理方程的定解问题 时，最终都要把已知函数按贝塞尔函数系展开为 级数。本节我们将讨论这个问题。
本章开始，我们从薄圆盘温度分布的定解问题 中，导出了贝塞尔方程的固有值问题：
r 2 F rF (r 2 n2 )F 0, (32)
F(R) 0 | F(0) | ,
9
R 0
rJ
n
(n) m R
r J n
(n) k R
r dr
0,
m
k.
(37)
F1 (r) J n (1r),
F2 (r) J n ( 2r),
(12
2 2
)
R 0
rF1
(r
)
F2
(r
)dr
rF2
dF1 dr
rF1
dF2 dr
R 0
0. (38)
在(38)式中取 1
(n) m
/
F2 (r) J n ( 2r),
其中1, 2为任意参变量。则有
(12
2 2
)rF1
F2
F2
d dr
r
dF1 dr
F1
d dr
r
dF2 dr
0.
上式两边对 r 从 0 到 R 积分得
(12
2 2
)
R
0 rF1(r)F2 (r)dr
rF2
dF1 dr
rF1
dF2 dr
R
0
0. (38)
的固有值 , 我们需要判明 J n (x) 的零点是否存在？
所谓贝塞尔函数的零点，指的是使 J n (x) 0的那些
x的值。
关于贝塞尔函数的零点有下面一系列的定理。
3
5.3.1 贝塞尔函数的零点
1 J n (x) 有无穷多个单重实零点，这些零点在 x
轴上关于原点对称分布，因而 J n (x) 有无穷多 个正零点； 2 J n (x)的零点与 J n1 (x)的零点是彼此相间分布的， 且 J n (x) 的绝对值最小的零点比 J n1 (x)的绝对值 最小的零点更接近于0； 自然有，J n (x)与 J n1(x) 没有公共零点。
(33)
方程(32)的通解为
F(r) CJn ( r) DYn ( r),
1
r 2 F rF (r 2 n2 )F 0, (32)
F(R) 0 | F(0) | ,
(33)
方程(32)的通解为
F(r) CJn ( r) DYn ( r),
由于Yn (0)无穷大，由边界条件(33)中的有界性条件 可知 D 0, 从而
r
(m 1, 2, ).
(36)
5.3.2 贝塞尔函数系的正交性
n 阶贝塞尔函数序列(36)在区间(0, R) 上带权 r
正交，即
R 0
rJ
n
(n) m R
r J n
(n) k R
r dr
0,
m
k.
(37)
证 将贝塞尔方程(32)改写如下
d dr
r
dF dr
r
n2 r
F
0.
6
R 0
rF2
dF1 dr
rF1
dF2 dr
12
2 2
R 0
.
11
F1 (r) J n (1r),
F2 (r) J n ( 2r),
R
0 rF1 (r)F2 (r)dr
rF2
dF1 dr
rF1
2 1
2 2
dF2 dr
R
0
.
在上式中，令 1
(n) m
/
R,
2仍为任意参数，由于
F1 (R)
Jn
R,
2
(n) k
/ R,
并且由于
F1 (R)
J
n
(
(n m
)
)
0,
F2 (R)
J
n
(
( k
n
)
)
0,
(n) m
( k
n
)
,
便立即可得(37)式成立。
n 阶贝塞尔函数序列(36)在区间(0, R) 上带权 r
正交.
10
F1 (r) J n (1r),
F2 (r) J n ( 2r),
(12
F(r) CJn ( r), 另外，再利用(33)中的条件F(R) 0 得
Jn ( R) 0.
(34)
2
r 2 F rF (r 2 n2 )F 0, (32)
F(R) 0 | F(0) | ,
(33)
Jn ( R) 0.
(34)
5.3.1 贝塞尔函数的零点
方程(34)表明，为了求出固有值问题(32)(33)
F2
d dr
r
dF1 dr
12
r
n2 r
F1F2
0,
F1
d dr
r
dF2 dr
2 2
r
n2 r
F2 F1
0.
上两式相减得
8
R 0
rJ
n
(n) m R
r J n
(n) k R
r dr
0,
m
k.
(37)
d dr
r
dF dr
r
n2 r
F
0.
为书写方便，记
F1 (r) J n (1r),