斯托克斯公式的使用条件
10.7 斯托克斯公式
四、向量微分算子
(1) 设 u u ( x, y, z ),
u
u x u i y
则
u j z
k
grad u
(2) A P( x, y, z ) i Q( x, y, z ) j R( x, y, z ) k , 则
A
P Q R x y z
S
dy dz dz dx dx dy x y z y z x
z
n
y
3 1,1,1 1,1,1 dS 3 S
o
x
3 a
2
6
二. 环流量与环流量密度
设向量场A x , y , z P x , y , z i Q x , y , z j R x , y , z k 则沿场A中某一封闭的有向曲线 C 上的曲线积分 C A ds C Pdx Qdy Rdz 称为向量场A沿曲线C 按所取方向的环流量 .
环流量:
环流量是刻画向量场绕闭曲线的旋转趋势大小的量 . 旋转程度不但与位置有关, 而且与旋转轴的方向有关.
环量密度:
当 S 很小时,向量场A沿 C 的环量 H 与小曲面 S 的面积之比
C
n
MS
的极限值表征了向量场 A在点M处 绕方向n旋转趋势的大小 .
斯托克斯公式 环量与旋度
一、斯托克斯公式
二、环流量与旋度 三、向量微分算子
四、空间曲线积分与路径无关的条件
一、 斯托克斯( Stokes ) 公式
定理1. 设光滑曲面 的边界 是分段光滑曲线, 的
侧与 的正向符合右手法则,
在包含 在内的一
10.Stokes 公式
u( x , y , z ) = ∫
x
( x , y ,z )
( x 0 , y0 , z 0 )
Pdx + Qdy + Rdz
y
z M
M0
u( x , y , z ) = ∫ P ( x , y0 , z0 )dx + ∫ Q( x , y , z0 )dy
x0
+ ∫ R( x , y , z )dz
其中n = {cosα , cos β , cos γ }
Stokes公式的实质: Stokes公式的实质: 公式的实质 表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线 上的曲线积分之间的关系. 上的曲线积分之间的关系.
(当∑是 xoy 面的平面闭区域时) 面的平面闭区域时)
斯托克斯公式
特殊情形
格林公式
二,简单的应用
= ∫ Pdx + Qdy + Rdz
Γ
..
故有结论成立. 故有结论成立
便于记忆形式
dydz dzdx dxdy ∫∫ x y z = ∫Γ Pdx + Qdy + Rdz ∑ P Q R 另一种形式
cos α cos β cos γ ∫∫ x y z ds = ∫Γ Pdx + Qdy + Rdz ∑ P Q R
应用上述定理, 应用上述定理,并仿照以前的证明方法可得到
定理
是空间一维单连域, 设 G 是空间一维单连域, P , Q , R 在 G 内具有 连续的一阶偏导数, 连续的一阶偏导数,则 Pdx + Qdy + Rdz 在 G 内是某一函数 u( x , y , z )的全微分的充要条件 P Q Q R R P , , = = = 在 G 内恒成立 y x z y x z
圆球的斯托克斯阻力公式的适用范围是
圆球的斯托克斯阻力公式是描述圆球在流体中受到的阻力的公式，它可用于计算小尺寸球体在低雷诺数流体中的阻力。
本文将从多个角度探讨圆球的斯托克斯阻力公式的适用范围，以便更好地理解和应用这一公式。
一、斯托克斯阻力公式的基本原理斯托克斯阻力是指当圆球在流体中做匀速直线运动时所受到的阻力。
根据斯托克斯定律，圆球所受阻力与其半径、流体粘度和速度有关。
斯托克斯阻力公式可以用数学形式表示为：\[F = 6\pi \eta rv\]其中，F为圆球所受阻力，η为流体的粘度，r为球的半径，v为球的速度。
根据该公式可以看出，当球的半径较小，速度较慢，流体粘度较大时，斯托克斯阻力对球的影响较大。
二、适用范围斯托克斯阻力公式适用于小尺寸的圆球在低雷诺数流体中的阻力计算。
具体而言，斯托克斯阻力公式适用于以下情况：1. 小尺寸圆球：当圆球的半径很小，通常小于0.1mm时，斯托克斯阻力公式适用。
因为在这种情况下，球的速度较慢，流体粘度对阻力的影响较大，可以忽略惯性力。
2. 低雷诺数流体：斯托克斯阻力公式适用于雷诺数很小的流体中，通常小于1。
在低雷诺数下，惯性力相对较小，流体作用于球体的粘滞力起主导作用，因此斯托克斯阻力公式适用。
三、适用范围的限制然而，斯托克斯阻力公式也存在一定的适用范围限制。
在以下情况下，斯托克斯阻力公式可能不适用：1. 大尺寸圆球：当圆球的半径较大时，斯托克斯阻力公式不再适用。
因为此时球的速度可能较快，惯性力不可忽略，而斯托克斯阻力公式忽略了惯性力的影响。
2. 高雷诺数流体：斯托克斯阻力公式不适用于雷诺数较大的流体中。
在高雷诺数下，惯性力将影响流体的运动状态，而斯托克斯阻力公式忽略了惯性力对阻力的影响。
3. 非牛顿流体：斯托克斯阻力公式不适用于非牛顿流体。
在非牛顿流体中，流体粘度随剪切速率的变化，斯托克斯阻力公式中假设流体粘度为常数的条件不成立。
四、如何判断是否适用斯托克斯阻力公式在实际应用中，若需要判断斯托克斯阻力公式是否适用，可以按照以下步骤进行：1. 计算雷诺数：首先计算流体中的圆球的雷诺数，若雷诺数小于1，则可初步判断斯托克斯阻力公式可能适用。
经典高等数学课件D11-7斯托克斯公式
斯托克斯公式的又一种形式:
R Q P R Q P [( y z )cos ( z x )cos ( x y )cos ]dS
( P cos Q cos R cos )ds 其中: 的单位法向量为:n cos i cos j cos k , 的单位切向量为: cos i cos j cos k .
D D
14
*三、 环流量与旋度
1. 环流量的定义: 设向量场A( x, y, z) P( x, y, z)i Q( x, y, z ) j R( x, y, z )k 则沿场A中某一封闭的有向曲线上的曲线积分
称为向量场A沿有向闭曲线的环流量.
A ds Pdx Qdy Rdz
复 习
1.高斯公式 （条件：封闭性，有向性，连续性）
P Q R ( x y z )dv Pdydz Qdzdx Rdxdy. 外
2.高斯公式的应用 （1）简化计算面积分 （2）物理意义 通量
Pdydz Qdzdx Rdxdy
Q P 即 dxdy P ( x , y )dx Q( x , y )dy ---格林公式 x y D
故格林公式是斯托克斯公式的特殊情况.
8
3.记忆方法：
dydz dzdx dxdy
Pdx Qdy Rdz
4.另一种形式：
z R
o
1
x
Dx y
3 dydz dzdx dxdy (1,1,1) n dxdy 3 d .
第十章 Stokes 公式【高等数学+同济大学】
R
rotA ndS A t ds
斯托克斯公式成立的条件
斯托克斯公式的物理意义
练习题
一、 计 算 3 ydx xzdy yz 2dz , 其 中 是 圆 周 x2 y2 2z , z 2 若从z 轴正向看去,这圆周是 逆时针方向 .
二、 计 算 y 2dx z 2dy x 2dz , 其 中 是 球 面 x 2 y 2 z 2 a 2 和 园 柱 面 x 2 y 2 ax 的 交 线 (a 0 , z 0),从x 轴正向看去,曲线为逆时针方
C
a
a
( x y)d[b(1 x )]
a
C
[(1
b) a
y
b]dx
[b
(1
b) a
x]dy
D
2(1
b a
)dxdy
2a(a b)
Green公式
三、空间曲线积分与路径无关的条件
前面我们利用Green公式得到了平面曲线积分
与路径无关的条件，完全类似地，利用Stokes 公 式可推得空间曲线积分与路径无关的条件
x2 y2 a2
x z 1 ab
消去 x 得
(z
b)2 b2
y2 a2
1
dydz dydz ab （椭圆面积）
D yz
在 xoy 面的投影：x2 y2 a2
dxdy dxdy a2
Dxy
（圆面积）
Pdx Qdy Rdz 2a(a b)
斯托克斯沉降公式适用条件
斯托克斯沉降公式适用条件斯托克斯沉降公式是描述球形颗粒在黏性流体中沉降速度的一个重要公式。
这个公式在很多领域都有着广泛的应用，比如物理、化学、地质、环境等。
咱们先来瞅瞅斯托克斯沉降公式长啥样哈：$v = \frac{2}{9}\frac{r^2 g (\rho_s - \rho_f)}{\eta}$ 。
这里面的$v$ 就是颗粒的沉降速度，$r$ 是颗粒的半径，$g$ 是重力加速度，$\rho_s$ 是颗粒的密度，$\rho_f$ 是流体的密度，$\eta$ 是流体的动力黏度。
那它适用的条件都有啥呢？首先，颗粒得是球形的。
要是颗粒长得奇形怪状的，那这公式可就不那么准啦。
我给您举个例子，就好比您扔一个圆溜溜的玻璃球和一个歪七扭八的小石块到水里，那它们下沉的情况能一样吗？肯定不一样嘛！其次，流体得是连续的、不可压缩的，而且得是黏性流体。
啥叫黏性流体呢？您可以想象一下蜂蜜，它流动起来比较费劲，有阻力，这就是黏性。
要是流体像空气那样，能随意压缩，或者根本没啥黏性，这公式也就不好使了。
还有啊，颗粒的沉降速度得比较小。
如果颗粒下落得太快，就会产生一些复杂的流动现象，比如涡流啥的，这时候斯托克斯沉降公式就不太能准确描述啦。
再来说说颗粒之间不能相互影响。
要是一堆颗粒挤在一起往下沉，它们会互相碰撞、干扰，那这公式算出来的结果也就不准了。
我之前在实验室做过一个小实验，就是为了验证斯托克斯沉降公式的适用条件。
我准备了一些大小均匀的玻璃珠，还有一种特定黏度的硅油。
把玻璃珠小心地放进硅油里，然后观察它们的沉降情况。
刚开始的时候，一切都还挺顺利，沉降速度和用公式算出来的差不多。
可后来我不小心多放了几颗玻璃珠，它们在下沉的过程中就开始互相碰撞，结果实际的沉降速度就和公式算的有了偏差。
这让我更深刻地理解了颗粒之间不能相互影响这个适用条件的重要性。
总之，斯托克斯沉降公式虽然好用，但咱们得清楚它的适用条件，不然得出的结果可能就不靠谱喽。
高等数学11.7斯托克斯(stokes)公式
o
y
x
例2
计算曲线积分
3 其中 是平面 x y z 截立方体: 0 x 1, 2 0 y 1, 0 z 1的表面所得的截痕,若从 ox
轴的正向看去,取逆时针方向.
(y
2
z )dx ( z x )dy ( x y )dz
2 2 2 2 2
证明
如图
设 Σ 与平行于 z 轴的直线 相交不多于一点, 并 Σ取 上侧,有向曲线 C 为Σ的正 向边界曲线 在 xoy 的投 影.且所围区域 D xy .
x
z
n
:z
f ( x, y)
o
y
Dxy
C
一、斯托克斯公式
Q P P R R Q )dxdy )dydz ( ( )dzdx ( x y y z z x
Pdx Qdy Rdz
思路
曲面积分
P P dxdy dzdx y z
1
二重积分
2
曲线积分
P P ( cos cos )dS z y
z f ( x , y ) 法向量为： ( f x , f y , 1)
又 cos f y cos ,
y
1
1
Dxy 如图
D xy
zdx xdy ydz
3 2
Dxy
o
1
x
例2
计算曲线积分
3 其中 是平面 x y z 截立方体: 0 x 1, 2 0 y 1, 0 z 1的表面所得的截痕,若从 ox
轴的正向看去,取逆时针方向.
斯托克斯公式
z
P y P zfyco d sS
o x
D
x
y
y C
cos 1 ,
1fx2fy2
cos fy ,
1fx2fy2
fy
cos cos
3
定理1 目录 上页 下页 返回 结束
因此 P d x P y P zc c o oc s so d S s
P zco s P yco sdS P zdzdx P ydxdy
2(1),(3) ; 3(1);
4 (2) ;
6
补充题: 证明
(1 ) ( u)0 (即 rot(g u)ra0)d
(2 ) ( A ) 0(即 d(irv o A ) t0 )
24
习题课 目录 上页 下页 返回 结束
同理可证 Q d y Q xdxdy Q zdydz R d x R ydydz R xdzdx
三式相加, 即得斯托克斯公式 ;
4
定理1 目录 上页 下页 返回 结束
情形2 曲面 与平行 z 轴的直线交点多于一个, 则可 通过作辅助线面把 分成与z 轴只交于一点的几部分, 在每一部分上应用斯托克斯公式, 然后相加, 由于沿辅助 曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消, 所以对这 类曲面斯托克斯公式仍成立. 证毕
(P c o Q sc o R sc o )d s s
13
机动 目录 上页 下页 返回 结束
令 A(P ,Q ,R ), 引进一个向量
i jk
( R y Q z)( , P z R x )( , Q x P y )
x
y
z
记作 rotA
PQ R
于是得斯托克斯公式的向量形式 :
:z f(x ,y ),(x ,y ) D x y
10-7斯托克斯(stokes)公式
r r r i j k r ∂ ∂ ∂ 旋度 rotA = ∂x ∂y ∂z P Q R
∂R ∂Q r ∂P ∂R r ∂Q ∂P r = ( − )i + ( − ) j + ( − )k. ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y
斯托克斯公式的又一种形式
∂R ∂Q ∂P ∂R ∂Q ∂P ∫∫[( ∂y − ∂z )cosα + ( ∂z − ∂x )cos β + ( ∂x − ∂y )cosγ ]dS Σ
x0 z y0
x
y
+ ∫ R( x , y , z )dz
z0
z
o
x
•
M ( x, y, z )
其中 M 0 ( x0 , y0 , z0 ) 为G 内某一点， 内某一点，点 M ( x , y , z ) ∈ G
M 0 ( x 0 , y0 , z 0 )
⋅
M 2 ( x , y , z0 ) M 1 ( x , y0 , z 0 )
设区域G是空间一维单连通区域 是空间一维单连通区域， 定理 3 设区域 是空间一维单连通区域，函数 P ( x , y , z ) 、 ( x , y , z ) 、R( x , y , z ) 在G内具有一阶连 Q 内具有一阶连 续偏导数， 续偏导数，则表达式 Pdx + Qdy + Rdz 在G内成为 内成为 某一函数 u( x , y , z ) 的全微分的充分必要条件是等 式（5）在G内恒成立；当条件（5）满足时，这函 内恒成立； ） 内恒成立 当条件（ ）满足时， 不计一常数之差） 数（不计一常数之差）可用下式求出
Σ Σ
其中 r r r ( rotA)n = rotA ⋅ n ∂R ∂Q ∂P ∂R ∂Q ∂P ) cosα + ( − ) cos β + ( =( − − ) cos γ ∂y ∂z ∂z ∂ x ∂x ∂y
D11.7 斯托克斯公式
思考与练习
2
2
2 则 z ,
rot (grad r )
高等数学
x x r
y y r
z z r
(0 , 0 , 0)
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23
作业
P245 1 (1),(3),(4)
高等数学
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24
高等数学
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旋度的力学意义: 设某刚体绕定轴 l 转动, 角速度为 , M为刚体上任一 点, 建立坐标系如图,则 z
(0, 0, ), r ( x, y, z )
点 M 的线速度为
l
M
o
( y, x, 0)
r
i j k v r 0 0 x y z
y
x
rot v
高等数学
y x 0
x
i
y
j
z
k
(0, 0, 2 ) 2
(此即“旋度”一词的来源)
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15
斯托克斯公式①的物理意义:
(rot A) n d S A d s
向量场 A 产生的旋度场 穿过 的通量 注意 与 的方向形成右手系! q 例4. 求电场强度 E 3 r 的旋度 . r i j k
z
y
利用斯托克斯公式得
cos cos cos
I Βιβλιοθήκη 高等数学o xdS
2
0
y
x 2
y
z
xy
xz
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8
三、 环流量与旋度
高斯公式和斯托克斯（stokes）公式
设空间闭区域Ω由分片光滑的闭曲面Σ围成, 函数),,(z y x P 、),,(z y x Q 、),,(z y x R 在Ω上具有 一阶连续偏导数, 则有公式⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω++=∂∂+∂∂+∂∂Rdxdy Qdzdx Pdydz dv z Ry Q x P )(高 斯 公 式dSR Q P dvz Ry Q x P )cos cos cos ()(⎰⎰⎰⎰⎰∑Ωγ+β+α=∂∂+∂∂+∂∂或这里∑是Ω的整个边界曲面的外侧，γβαcos ,cos ,cos 是∑上点),,(z y x 处的法向量的方向余弦.xyzo例 计算曲面积分ds z y x )cos cos cos (222γβα++⎰⎰∑,其中Σ为锥面 222z y x=+介于平面0=z 及)0(>=h h z之间的部分的下侧,γβαcos ,cos ,cos 是Σ在),,(z y x 处的法向量的方向余弦.h⋅xyD xyzoh⋅1∑解 空间曲面在 面上的投影域为 xoy xy D )(:2221h y x h z ≤+=∑补充曲面∑不是封闭曲面, 为利用高斯公式取上侧，1∑∑构成封闭曲面，1∑+∑.1Ω∑+∑围成空间区域,上使用高斯公式在Ω⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑+∑++=++dv z y x dSz y x)(2)cos cos cos (1222γβα⎰⎰⎰+++=xyD h y x dz z y x dxdy 22,)(2}.|),{(222h y x y x D xy ≤+=其中⎰⎰⎰+=+xyDhy x dz y x dxdy 22,0)(⎰⎰⎰⎰--=++∴∑+∑xyD dxdy y x h dSz y x)()cos cos cos (2222221γβα.214h π=⎰⎰⎰⎰∑∑=γ+β+α112222)cos cos cos (dSz dS z y x⎰⎰=xyDdxdy h 2.4h π=故所求积分为⎰⎰∑γ+β+αdSz y x)cos cos cos (222421h π=4h π-.214h π-=定理 设Γ为分段光滑的空间有向闭曲线,∑是以Γ为边界的分片光滑的有向曲面, Γ的正向与∑的侧符合右手规则, 函数),,(z y x P ,),,(z y x Q ,),,(z y x R 在包含曲面∑在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数, 则有公式一、斯托克斯(stokes)公式dxdyy Px Q dzdx x R z P dydz z Q y R )()()(∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂⎰⎰∑⎰Γ++=RdzQdy Pdx 斯托克斯公式nΓ∑是有向曲面 的正向边界曲线Γ∑右手法则⎰⎰⎰Γ∑++=∂∂∂∂∂∂Rdz Qdy Pdx R Q P z y x dxdydzdx dydz ⎰⎰⎰Γ∑++=∂∂∂∂∂∂Rdz Qdy Pdx ds RQ P z y x γβαcos cos cos 另一种形式}cos ,cos ,{cos γβα=n其中便于记忆形式Stokes 公式的实质:表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系.斯托克斯公式格林公式特殊情形(当Σ是xoy 面的平面闭区域时)例1. Γ 为柱面与平面 y = z 的交线,从 z轴正向看为顺时针, 计算o z2Γyx解: 设∑为平面 z = y 上被 Γ 所围椭圆域 , 且取下侧, 利用斯托克斯公式得SI d ⎰⎰∑=0=则其法线方向余弦γβαcos cos cos zy x ∂∂∂∂∂∂zx y x y2∑例2 计算曲线积分dzy x dy x z dx z y)()()(222222-+-+-⎰Γ其中Γ是平面23=++z y x 截立方体:10≤≤x ,10≤≤y ,10≤≤z 的表面所得的截痕,若从 ox轴的正向看去,取逆时针方向.解 取Σ为平面23=++z y x 的上侧被Γ所围成的部分.则 }1,1,1{31=n zxyo∑nΓ即 ,31cos cos cos ===γβαdsy x x z z y z y x I ⎰⎰∑---∂∂∂∂∂∂=∴222222313131⎰⎰∑++-=ds z y x )(34⎰⎰∑⋅-=ds 2334⎰⎰-=xyD dxdy 332.29-=)23(=++∑z y x 上在 xyD 23=+y x 21=+y xz R y Q x P u d d d d ++=空间曲线积分与路径无关的条件定理2. 设 G 是空间一维单连通域, 内在函数G R Q P ,,具有连续一阶偏导数, 则下列四个条件相互等价: (1) 对G 内任一分段光滑闭曲线 Γ, 有d d d =++⎰Γz R y Q x P (2) 对G 内任一分段光滑曲线 Γ, ⎰Γ++zR y Q x P d d d 与路径无关(3) 在G 内存在某一函数 u , 使 (4) 在G 内处处有zP x R y R zQ x Q yP∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂===,,z y x y x z x z y d )(d )(d )(+++++⎰Γ与路径无关, 并求函数z y x y x z x z y z y x u z y x d )(d )(d )(),,(),,()0,0,0(+++++=⎰解: 令 yx R x z Q z y P +=+=+=,,,1xQ y P ∂∂==∂∂,1yR z Q ∂∂==∂∂yPx R ∂∂==∂∂1∴ 积分与路径无关, zy x xy )(++=y x y d 0⎰+zy x z d )(0⎰++zxyz xy ++=xzyo),,(z y x )0,,(y x )0,0,(x 因此例3. 验证曲线积分 z y x y x z x z y d )(d )(d )(+++++⎰Γ与路径无关, 并求函数z y x y x z x z y z y x u z y x d )(d )(d )(),,(),,()0,0,0(+++++=⎰解: 令 yx R x z Q z y P +=+=+=,,,1xQy P ∂∂==∂∂ ,1yR z Q ∂∂==∂∂yPx R ∂∂==∂∂1∴ 积分与路径无关, z y x xy )(++=y x y d 0⎰+zy x z d )(0⎰++zxyz xy ++=xzyo ),,(z y x )0,,(y x )0,0,(x 因此例3. 验证曲线积分 三、 环流量与旋度斯托克斯公式⎰Γ++=zR y Q x P d d d 设曲面 ∑ 的法向量为 曲线 Γ的单位切向量为 则斯托克斯公式可写为⎰Γ++=sR Q P d )cos cos cos (νμλ)cos ,cos ,(cos γβα=n )cos ,cos ,(cos νμλτ=令 , 引进一个向量),,(R Q P A =Arot 记作向量 rot A 称为向量场 A 的 RQ P kj i zy x ∂∂∂∂∂∂=称为向量场A 定义: s A z R y Q x P d d d d ⎰⎰ΓΓ=++τ沿有向闭曲线 Γ的环流量. s A S n A d d rot ⎰⎰⎰Γ∑⋅=⋅τ或sA S A n d d )(rot ⎰⎰⎰Γ∑=τ①于是得斯托克斯公式的向量形式 :旋度 .z yxkjiA ∂∂∂∂∂∂=rot 的外法向量, 计算 解: )1,0,0(=SI d cos ⎰⎰∑=∴γπ8=232zx y 例4. 设.d rot S n A I ⋅=⎰⎰∑∑为n。
斯托克斯公式
1
x
例2
计算
Γ
∫ ( y − z)dx + (z − x)dy + ( x − y)dz Γ
2 2 2
x z 其中Γ 为椭圆 x + y = a , + = 1 a b
轴正向看去， 从 x 轴正向看去，椭圆取逆时针方向 解一 用 Stokes 公式
z
∫ Pdx + Qdy + Rdz Γ
o y x
例 1 计算曲线积分∫ zdx + xdy + ydz, 其中Γ是平面x + y + z = 1被三坐标面所截成的 三角形的整个边界, 三角形的整个边界,它的正向与这个三角形上侧 z 的法向量之间符合右手规则. 的法向量之间符合右手规则.
解 按斯托克斯公式, y
∫
Γ
zdx + xdy + ydz
x2 + y2 = a2 消去 x 得 x z a +b =1
∫∫ dzdx = 0 Σ
( z − b )2 y 2 + 2 =1 2 b a
∫∫ dydz = D dydz = πab ∫∫ Σ
yz
（椭圆面积） 椭圆面积）
Σ 在 xoy 面的投影 ：x 2 + y 2 = a 2
x
0
= ∫∫ dydz + dzdx + dxdy
Σ
D xy
1
1
由于Σ 弦都为正， 由于Σ的法向量的三个方向余 弦都为正， 再由对称性知： 再由对称性知：
∫∫ dydz + dzdx + dxdy Σ
Dxy 如图
= 3 ∫∫ dσ
D xy
11-7 斯托克斯(stokes)公式
D xy
P[ x , y , f ( x , y )]dxdy , y
n
:z
f ( x, y )
xy
根据Green 公式
P[ x, y, f ( x, y)]dx
c
o
y
D xy
x
C
P ( x , y, z )dx
平面有向曲线
空间有向曲线 只证
Pdx
返回
一、斯托克斯(stokes)公式
定理 设 为分段光滑的空间有向闭曲线, 是以
为边界的分片光滑的有向曲面, 的正向与
的侧符合右手规则, 函数 P ( x , y , z ) ,Q ( x , y , z ) ,
R( x , y , z ) 在包含曲面 在内的一个空间区域内具
其中 ( rotA)n rotA n R Q P R Q P ( ) cos ( ) cos ( ) cos y z z x x y
At A n P cos Q cos R cos
x
o
y
D xy
C
(当Σ 是 xoy 面的平面闭区域时)斯托Βιβλιοθήκη 斯公式特殊情形格林公式
返回
R Q P R Q P ( y z )dydz ( z x )dzdx ( x y )dxdy
Pdx Qdy Rdz
.
---- 斯托克斯公式
解
按斯托克斯公式, 有
1
n
y
返回
zdx xdy ydz 3 3 dS 2
0
斯托克斯公式使用条件
斯托克斯公式使用条件斯托克斯公式是数学和物理学中一个相当重要的公式，要想把它用得顺溜，咱得先搞清楚它的使用条件。
先来说说啥是斯托克斯公式。
它把曲面上的曲面积分和沿着它的边界曲线的曲线积分联系了起来。
这就好像是找到了一座桥，能让我们在曲面和曲线这两个不同的“地盘”之间自由穿梭。
那斯托克斯公式使用的条件是啥呢？首先，曲面得是光滑或者分段光滑的。
啥叫光滑呢？就好比你摸一块玻璃，没有任何凹凸不平的感觉，那就是光滑。
要是这块“玻璃”有那么几处小瑕疵，但整体还算顺滑，那就是分段光滑。
还有哦，曲面得是单侧的。
这有点抽象啦，想象一下，一个莫比乌斯环，它就不是单侧的，你绕着它走一圈，方向会乱套。
而咱们要用斯托克斯公式的曲面，得像个方向明确的“道路”。
给大家讲个我自己的事儿。
有一次我给学生讲这个斯托克斯公式，有个调皮的小家伙就问我：“老师，这公式有啥用啊，感觉好难。
”我笑着说：“你想想啊，假如你是个探险家，要测量一个奇怪的山谷的边界和面积，斯托克斯公式就能帮你大忙啦！”然后我就在黑板上画了一个假想的山谷形状，开始给他解释怎么用这个公式来计算。
那孩子眼睛一下子亮了，好像突然发现了宝藏。
再说说边界曲线，它得是简单闭曲线，而且得是正向的。
简单闭曲线就是没有交叉、自己首尾相连的曲线。
正向呢，就是当你沿着这个曲线走的时候，曲面总是在你的左侧。
另外，被积函数得在包含曲面的某个空间区域内有连续的一阶偏导数。
这就像是要参加一场比赛，选手得具备一定的实力才能上场。
总之，斯托克斯公式就像一把神奇的钥匙，但只有在满足这些条件的时候，才能打开知识宝库的大门。
咱们在运用的时候，可得瞪大眼睛，仔仔细细把条件看清楚咯，不然可就要迷路在数学的“迷宫”里啦！希望大家通过我的讲解，对斯托克斯公式的使用条件有了更清楚的认识。
加油，在数学的海洋里继续勇敢探索吧！。
斯托克斯公式的使用条件
斯托克斯定理:斯托克斯定理（英文：Stokes' theorem）是微分几何中关于微分形式的积分的一个命题，它一般化了向量微积分的几个定理，以斯托克斯爵士命名。
当封闭周线内有涡束时，则沿封闭周线的速度环量等于该封闭周线内所有涡束的涡通量之和，这就是斯托克斯定理。
斯托克斯定理表明，沿封闭曲线L的速度环量等于穿过以该曲线为周界的任意曲面的涡通量。
斯托克斯粘滞公式:斯托克斯公式具有广泛的用途．本文就两个具体实例来加以讨论：1斯托克斯公式由于流体的粘滞性，固体在流体中运动会受到两种阻力，一种是由于层流体附着在固体表面，层流体和邻层流体间的内摩擦力；另一种是为压强阻力，压强阻力的实质是尾随运动着的固体后面的流体中，有涡旋产生．固体相对于流体的速度小时涡旋还未形成，压强阻力可被忽略，这时，阻力可视为只有前一种．公式应用条件：层流液体，无限宽广无限深度，物理下沉速度稳定时较小，雷诺数Re<0.1中文名称：斯托克斯粘滞公式英文名称：Stokes viscocity formula定义及摘要：斯托克斯粘滞公式斯托克斯公式（数学公式）:斯托克斯公式是微积分基本公式在曲面积分情形下的推广，它也是格林公式的推广，这一公式给出了在曲面块上的第二类曲面积分与其边界曲线上的第二类曲线积分之间的联系.纳维-斯托克斯方程:纳维-斯托克斯方程（英文名：Navier-Stokes equations），描述粘性不可压缩流体动量守恒的运动方程。
简称N-S方程。
粘性流体的运动方程首先由Navier在1827年提出，只考虑了不可压缩流体的流动。
Poisson在1831年提出可压缩流体的运动方程。
Saint-Venant在1845年，Stokes在1845年独立提出粘性系数为一常数的形式，都称为Navier-Stokes方程，简称N-S方程。
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斯托克斯公式的使用条件:
条件：当曲面是面xOy上的一块平面闭区域时
斯托克斯公式建立了沿曲面S 的曲面积分与沿S的边界曲线L 的曲线积分之间的联系.
对曲面S 的侧与其边界曲线L 的方向作如下规定：设人站在曲面S 上的指定一侧，沿边界曲线L 行走，指定的侧总在人的左方，则人前进的方向为边界曲线L 的正向.这个规定方法也称为右手法则。
纳维-斯托克斯方程在建模仿真中的应用
纳维-斯托克斯方程是流体流动建模的核心。
在特定的边界条件（如入口、出口和壁）下求解这些方程，可以预测给定几何体中的流体速度和压力。
由于这些方程本身的复杂性，我们只能得到非常有限的解析解。
例如，对于两个平行板之间的流动或圆管内的流动，方程的求解会相对容易一些；但对于更为复杂的几何结构，求解方程会非常困难。
斯托克斯公式:
斯托克斯公式是微积分基本公式在曲面积分情形下的推广，它也是格林公式的推广，这一公式给出了在曲面块上的第二类曲面积分与其边界曲线上的第二类曲线积分之间的联系。
设是具有边界曲线的有向曲面，的边界曲线的正向这样规定：使这个正向与有向曲面的法向量符合右手法则．即当右手除大拇指外的四指依曲线的绕行方向时，竖起的大拇指的指向与曲面的法向量的指向一致．如此定向的边界曲线称为有向曲面的正向边界曲线．
设为空间的一条分段光滑的有向曲线，是以为边界的分片光滑的有向曲面，的正向与的侧符合右手法则．函数在曲面(连同边界)上具有连续的一阶偏导数，则
称为斯托克斯公式。