高中数学复习教案：正弦定理、余弦定理应用举例

第七节正弦定理、余弦定理应用举例

[考纲传真]能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．

测量中的有关几个术语

术语名称术语意义图形表示仰角与俯角

在目标视线与水平视线所成的角中,目标视线在水平视线

上方的叫做仰角,目标视线在水平视线下方的叫做俯角

方位角

从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的

夹角叫做方位角．方位角θ的范围是0°≤θ＜360°

方向角

相对于某正方向的水平角,如北偏东α,即由正北方向顺时

针旋转α到达目标方向,南偏西α,即由正南方向顺时针旋转

α到达目标方向,其他方向角类似

例：(1)北偏东

α：

(2)南偏西α：

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”,错误的打“×”)

(1)从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的俯角为β,则α,β的关系为α＋β＝180°.

()

(2)俯角是铅垂线与视线所成的角,其范围为⎣⎢

⎡

⎦

⎥

⎤

0，

π

2. ()

(3)方位角的大小范围是[0,2π),方向角的大小范围一般是⎣⎢

⎡

⎭

⎪

⎫

0，

π

2.()

(4)若点P在点Q的北偏东44°,则点Q在点P的东偏北46°. ()

[答案](1)×(2)×(3)√(4)×

2．(教材改编)海面上有A,B,C三个灯塔,AB＝10 n mile,从A望C和B成60°视角,从B望C 和A成75°视角,则BC等于()

A．10 3 n mile B.106

3n mile

C．5 2 n mile D．5 6 n mile D[如图,在△ABC中,

AB＝10,∠A＝60°,

∠B＝75°,∠C＝45°,

∴

BC

sin 60°＝

10

sin 45°,

∴BC＝5 6.]

3．若点A在点C的北偏东30°,点B在点C的南偏东60°,且AC＝BC,则点A在点B的() A．北偏东15°B．北偏西15°

C．北偏东10°D．北偏西10°

B[如图所示,∠ACB＝90°,又AC＝BC,

∴∠CBA＝45°,而β＝30°,

∴α＝90°－45°－30°＝15°,

∴点A在点B的北偏西15°.]

4．如图所示,要测量底部不能到达的电视塔的高度,选择甲、乙两观测点．在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45°,30°,在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°,甲、乙两地相距500 m,则电视塔的高度是()

A．100 2 m B．400 m

C．200 3 m D．500 m

D[设塔高为x m,则由已知可得

BC＝x m,BD＝3x m,

由余弦定理可得

BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD cos ∠BCD,

即3x2＝x2＋5002＋500x,解得x＝500(m)．]

5．如图所示,已知A,B两点分别在河的两岸,某测量者在点A所在的河岸边另选定一点C,测得AC＝50 m,∠ACB＝45°,∠CAB＝105°,则A,B两点的距离为()

A．50 3 m B．25 3 m

C．25 2 m D．50 2 m

D[因为∠ACB＝45°,∠CAB＝105°,所以∠B＝30°.由正弦定理可知

AC

sin B＝

AB

sin C,即

50

sin 30°

＝

AB

sin 45°,解得AB＝50 2 m．]

测量距离问题

1．如图所示,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为67°,30°,此时气球的高是46 m,则河流的宽度BC约等于________m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin 67°≈0.92,cos 67°≈0.39,sin 37°≈0.60,cos

37°≈0.80,3≈1.73)

60[如图所示,过A作AD⊥CB

且交CB 的延长线于D .

在Rt △ADC 中,由AD ＝46 m,∠ACB ＝30°得AC ＝92 m. 在△ABC 中,∠BAC ＝67°－30°＝37°, ∠ABC ＝180°－67°＝113°,AC ＝92 m, 由正弦定理AC sin ∠ABC ＝BC sin ∠BAC ,得

92sin 113°＝BC sin 37°,即92sin 67°＝BC

sin 37°,

解得BC ＝92sin 37°

sin 67°≈60(m)．]

2．江岸边有一炮台高30 m,江中有两条船,船与炮台底部在同一水平面上,由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°,而且两条船与炮台底部连线成30°角,则两条船相距________m.

103 [如图,OM ＝AO tan 45°＝30(m),

ON ＝AO tan 30°＝3

3×30＝103(m), 在△MON 中,由余弦定理得, MN ＝

900＋300－2×30×103×3

2＝300

＝103(m)．]

3．如图,一艘船上午9：30在A 处测得灯塔S 在它的北偏东30°的方向,之后它继续沿正北方向匀速航行,上午10：00到达B 处,此时又测得灯塔S 在它的北偏东75°的方向,且与它相距8 2 n mile.此船的航速是________n mile/h.

32 [在△ABS 中,∠BAS ＝30°,∠ASB ＝75°－30°＝45°, 由正弦定理得AB sin ∠ASB ＝BS sin ∠BAS

,则

AB ＝82sin 45°sin 30°＝16,故此船的船速是16

0.5＝32 n mile/h.]