2019中考数学专题复习 动态几何专题二(附答案详解)
2019中考压轴精品--动态几何2(动图中的计算与证明)--数学
2019中考压轴精品--动态几何2(动图中的计算与证明)--数学图形〔或部分图形〕经“平移”、“轴对称”或“旋转”〔包括中心对称〕之后，就会引起图形形状，位置关系的变化，就会出现新的图形和新的关系。
因此，图形变换引出的问题主要有两类：一类是变换引出的新的性质和位置关系问题；另一类是变换引出的几何量的计算问题。
【一】平移变换中的计算与证明解法：〔1〕把背景图形研究清楚；〔2〕充分运用平移的性质〔特别是“平移不改变角度”〕例1如图，假设将边长为cm 2的两个互相重合的正方形纸片沿对角线AC 翻折成等腰直角三角形后，再抽出一个等腰直角三角形沿AC 移动，假设重叠部分PC A '∆的面积是21cm ，那么移动的距离'AA 等于。
【观察与思考】第一，搞清楚背景图形：ABC ∆和'''C B A ∆ 均为底边长为cm 22的等腰直角三角形；第二，由平移搞清楚新图形的特征：由于平移不改变角度，可知PC A '∆也是等腰直角三角形，这样一来，,)'22(212'C A S PC A =∆ 即2411AC =。
解得,2'=C A 而22=AC ，222'-=∴AA 。
解：填222-。
【说明】可以看出，由背景和平移的性质相结合得出PC A '∆为等腰直角三角形，是此题迅速获解之关键。
例2如图〔1〕，A B C ∆的面积为3，且,AC AB =现将ABC ∆沿CA 方向平移CA 长度得到EFA ∆。
C A （'C ） E〔1〕求ABC ∆所扫过的图形面积；〔2〕试判断，AF 与BE 的位置关系，并说明理由；〔3〕假设,15︒=∠BEC 求AC 的长。
【观察与思考】第一，搞清楚原图形即ABC ∆的特征：,AC AB =面积为3，第二，搞清楚平移过程：平移沿CA 方向进行；平移距离为CA 的长度。
注意！这就意味着每一对对应点之间的距离都等于CA ，当然就有AE CA BF ==。
动态几何类问题2019中考数学高端精品(解析版)
专题10 动态几何类问题【考点综述评价】所谓“动态几何问题”是指题设图形中存在一个或多个动点、动线、动面，它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目．动态几何问题有两个显著特点：一是“动态”，常以图形或图象中点、线、面的运动(包括图形的平移、翻折、旋转、相似等图形变换)为重要的构图背景；二是“综合”，主要体现为三角形、四边形等几何知识与函数、方程等代数知识的综合．解决动点问题的关键是在认真审题的基础上先做到静中求动，根据题意画一些不同运动时刻的图形，想像从头到尾的整个运动过程，对整个运动过程有一个初步的理解，理清运动过程中的各种情形；然后是做到动中取静，画出运动过程中各种情形的瞬间图形，寻找变化的本质，或将图中的相关线段代数化，转化为函数问题或方程问题解决．【考点分类总结】考点1：单点运动问题【典型例题】（2017黑龙江省龙东地区）如图，在△ABC中，AB=BC=8，AO=BO，点M是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°，则当△ABM为直角三角形时，AM的长为．【答案】43或47或4．【分析】分三种情况讨论：①当M在AB下方且∠AMB=90°时，②当M在AB上方且∠AMB=90°时，③当∠ABM=90°时，分别根据含30°直角三角形的性质、直角三角形斜边的中线的性质或勾股定理，进行计算求解即可．三角形，∴AM=AO=4；如图3，当∠ABM =90°时，∵∠BOM =∠AOC =60°，∴∠BMO =30°，∴MO =2BO =2×4=8，∴Rt △BOM 中，BM =22MO OB -=43，∴Rt △ABM 中，AM =22AB BM +=47．综上所述，当△ABM 为直角三角形时，AM 的长为43或47或4．故答案为：43或47或4．【方法归纳】从点动的特殊情形入手，进行推理或判断，再对一般情形作出猜想或判断并证明．【变式训练】（2017辽宁省辽阳市）如图1，抛物线213y x bx c =++经过A （23-，0）、B （0，﹣2）两点，点C 在y 轴上，△ABC 为等边三角形，点D 从点A 出发，沿AB 方向以每秒2个单位长度的速度向终点B 运动，设运动时间为t 秒（t ＞0），过点D 作DE ⊥AC 于点E ，以DE 为边作矩形DEGF ，使点F 在x 轴上，点G 在AC 或AC 的延长线上．学科/-网（1）求抛物线的解析式；（2）将矩形DEGF 沿GF 所在直线翻折，得矩形D 'E 'GF ，当点D 的对称点D '落在抛物线上时，求此时点D '的坐标；（3）如图2，在x 轴上有一点M （23，0），连接BM 、CM ，在点D 的运动过程中，设矩形DEGF 与四边形ABMC 重叠部分的面积为S ，直接写出S 与t 之间的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．【答案】（1）21323y x x =+-；（2）D ′（43，109）；（3）22423(0)353412383(2)23t t S t t t ⎧<≤⎪⎪=⎨⎪-+-<≤⎪⎩． 【分析】（1）把A 、B 的坐标代入抛物线的解析式求解即可；（2）由等边三角形的性质可知∠BAC =60°，依据特殊锐角三角函数值可得到AE =t ，DE =3t ，AF =23t ，然后再证明AD =DF =2t ，过点D ′作D ′H ⊥x 轴与点H ，接下来，再求得点D ′的坐标，最后将点D ′的坐标代入抛物线的解析式求解即可；（3）当0＜t ≤43时，S =ED •DF ；当43＜t ≤2时，S =矩形DEGF 的面积﹣△CGN 的面积．∵∠D ′FH =∠AFD =30°，∴D ′H =12D ′F =t ，FH =3D ′H =3t ，∴AH =AF +FH =33t ，∴OH =AH ﹣AO =3323t -，∴D ′（3323t -，t ）．∴当0＜t ≤43时，S =ED •DF =23t ． 当43＜t ≤2时，如图3所示：∵CG =AG ﹣AC ，∴CG =3t ﹣4，∴GN =3343t -，∴S =ED •DF ﹣12CG •GN =223t ﹣12（3t ﹣4）×3（3t ﹣4）=25312383t t -+-． 综上所述，S 与t 的函数关系式为22423(0)353412383(2)3t t S t t t ⎧<≤⎪⎪=⎨⎪-+-<≤⎪⎩．考点2：多点运动问题【典型例题】（2017甘肃省天水市）如图，在等腰△ABC 中，AB =AC =4cm ，∠B =30°，点P 从点B 出发，以3c m /s 的速度沿BC 方向运动到点C 停止，同时点Q 从点B 出发，以1c m /s 的速度沿BA ﹣AC 方向运动到点C 停止，若△BPQ 的面积为y （cm 2），运动时间为x （s ），则下列最能反映y 与x 之间函数关系的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D ．【分析】作AH ⊥BC 于H ，根据等腰三角形的性质得BH =CH ，利用∠B =30°可计算出AH=12AB =2，BH =3AH =23，则BC =2BH =43，利用速度公式可得点P 从B 点运动到C 需4s ，Q 点运动到C 需8s ，然后分类讨论：当0≤x ≤4时，作QD ⊥BC 于D ，如图1，BQ =x ，BP =3x ，DQ =12BQ =12x ，利用三角形面积公式得到234y x =；当4＜x ≤8时，作QD ⊥BC 于D ，如图2，CQ =8﹣x ，BP =43，DQ =12CQ =12（8﹣x ），利用三角形面积公式得383y x =-+，于是可得0≤x ≤4时，函数图象为抛物线的一部分，当4＜x ≤8时，函数图象为线段，则易得答案为D ．△BDQ 中，DQ =12CQ =12（8﹣x ），∴y =12•12（8﹣x ）•43，即383y x =-+，综上所述，23(04)383(48)x x y x x ⎧≤≤⎪=⎨⎪-+<≤⎩．故选D ．学+科.网【方法归纳】从点动的特殊情形入手，进行推理或判断，再对一般情形作出猜想或判断并证明．【变式训练】（2017四川省雅安市）如图，已知抛物线2y x bx c =++的图象经过点A （1，0），B （-3，0），与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为D ，对称轴与x 轴相交于点E ，连接BD ．（1）求抛物线的解析式．（2）若点P 在直线BD 上，当PE =PC 时，求点P 的坐标．（3）在（2）的条件下，作PF ⊥x 轴于F ，点M 为x 轴上一动点，N 为直线PF 上一动点，G 为抛物线上一动点，当以点F ，N ，G ，M 四点为顶点的四边形为正方形时，求点M 的坐标．【答案】（1）223y x x =+-；（2）P （﹣2，﹣2）；（3）点M 的坐标为（1212-+，0），（1212--，0），（313-+，0），（313--，0）． 【分析】（1）利用待定系数法即可得出结论；（2）先确定出点E 的坐标，利用待定系数法得出直线BD 的解析式，利用PC =PE 建立方程即可求出a 即可得出结论；（3）设出点M 的坐标，进而得出点G ，N 的坐标，利用FM =MG 建立方程求解即可得出结论．（﹣1，0），设直线BD 的解析式为y =mx +n ，∴304m n m n -+=⎧⎨-+=-⎩，∴26m n =-⎧⎨=-⎩，∴直线BD 的解析式为y =﹣2x ﹣6，设点P （a ，﹣2a ﹣6）．∵C （0，﹣3），E （﹣1，0），根据勾股定理得，PE 2=（a +1）2+（﹣2a ﹣6）2，PC 2=a 2+（﹣2a ﹣6+3）2．∵PC =PE ，∴（a +1）2+（﹣2a ﹣6）2=a 2+（﹣2a ﹣6+3）2，∴a =﹣2，∴y =﹣2×（﹣2）﹣6=﹣2，∴P （﹣2，﹣2）；（3）如图，作PF ⊥x 轴于F ，∴F （﹣2，0）．设M （d ，0），∴G （d ，d 2+2d ﹣3），N （﹣2，d 2+2d ﹣3）．∵以点F ，N ，G ，M 四点为顶点的四边形为正方形，必有FM =MG ，∴|d +2|=|d 2+2d ﹣3|，∴d =1212-±或d =3132-±，∴点M 的坐标为（1212-+，0），（1212--，0），（3132-+，0），（3132--，0）．考点3：线动问题研究【典型例题】（2017黑龙江省龙东地区）如图，矩形AOCB 的顶点A 、C 分别位于x 轴和y 轴的正半轴上，线段OA 、OC 的长度满足方程15130x y -+-=（OA ＞OC ），直线y =kx +b 分别与x 轴、y 轴交于M 、N 两点，将△BCN 沿直线BN 折叠，点C 恰好落在直线MN 上的点D 处，且tan ∠CBD =34． （1）求点B 的坐标；（2）求直线BN 的解析式； （3）将直线BN 以每秒1个单位长度的速度沿y 轴向下平移，求直线BN 扫过矩形AOCB 的面积S 关于运动的时间t （0＜t ≤13）的函数关系式．【答案】（1）B （15，13）；（2）183y x=+；（3）215 (08)33996(813)2t t S t t t <≤⎧⎪=⎨-+-<≤⎪⎩． 【分析】（1）由非负数的性质可求得x 、y 的值，则可求得B 点坐标；（2）过D 作EF ⊥OA 于点E ，交CB 于点F ，由条件可求得D 点坐标，且可求得OM ON =34，结合DE ∥ON ，利用平行线分线段成比例可求得OM 和ON 的长，则可求得N 点坐标，利用待定系数法可求得直线BN 的解析式；（3）设直线BN 平移后交y 轴于点N ′，交AB 于点B ′，当点N ′在x 轴上方时，可知S 即为▱BNN ′B ′的面积，当N ′在y 轴的负半轴上时，可用t 表示出直线B ′N ′的解析式，设交x 轴于点G ，可用t 表示出G 点坐标，由S =S 四边形BNN ′B ′﹣S △OGN ′，可分别得到S 与t 的函数关系式．【解答】（3）设直线BN 平移后交y 轴于点N ′，交AB 于点B ′，分两种情况讨论：①当点N ′在x 轴上方，即0＜t ≤8时，如图2，由题意可知四边形BNN ′B ′为平行四边形，且NN ′=t ，∴S =NN ′•OA =15t ；【方法归纳】按线动的位置进行分类，画出各状态图形，利用这些等量关系转化为方程来解决．【变式训练】（2017辽宁省营口市）如图，直线l的解析式为y=﹣x+4，它与x轴和y轴分别相交于A，B两点．平行于直线l的直线m从原点O出发，沿x轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动．它与x轴和y轴分别相交于C，D两点，运动时间为t秒（0≤t≤4），以CD为斜边作等腰直角三角形CDE（E，O两点分别在CD两侧）．若△CDE和△OAB的重合部分的面积为S，则S与t之间的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】C．【分析】分别求出0＜t≤2和2＜t≤4时，S与t的函数关系式即可爬判断．考点4：面动问题研究【典型例题】（2017四川省攀枝花市）如图1，在平面直角坐标系中，，直线MN分别与x轴、y轴交于点M （6，0），N（0，3，等边△ABC的顶点B与原点O重合，BC边落在x轴正半轴上，点A恰好落在线段MN上，将等边△ABC从图l的位置沿x轴正方向以每秒l个单位长度的速度平移，边AB，AC分别与线段MN交于点E，F（如图2所示），设△ABC平移的时间为t（s）．（1）等边△ABC的边长为_______；（2）在运动过程中，当t=_______时，MN垂直平分AB；（3）若在△ABC开始平移的同时．点P从△ABC的顶点B出发．以每秒2个单位长度的速度沿折线BA—AC运动．当点P运动到C时即停止运动．△ABC也随之停止平移．①当点P在线段BA上运动时，若△PEF与△MNO相似．求t的值；②当点P 在线段AC 上运动时，设PEF S S ∆=，求S 与t 的函数关系式，并求出S 的最大值及此时点P 的坐标．【答案】（1）3；（2）3；（3）①t =1或34或32；②S=2333t t -+，当t =32时，△PEF 的面积最大，最大值为9332，此时P （3，332）． 【分析】（1）根据，∠OMN =30°和△ABC 为等边三角形，求证△OAM 为直角三角形，然后即可得出答案．（2）易知当点C 与M 重合时直线MN 平分线段AB ，此时OB =3，由此即可解决问题；（3）①如图1中，由题意BP =2t ，BM =6﹣t ，由△PEF 与△MNO 相似，可得PE EF =23或EF PE=23，即5323t t -=33或32532t t -=33，解方程即可解决问题； ②当P 点在EF 上方时，过P 作PH ⊥MN 于H ，如图2中，构建二次函数利用二次函数的性质即可解决问题；∵∠BAC=60°，∴EF=3AE=32t，当点P在EF下方时，PE=BE﹣BP=3﹣52t，由235302ttt⎧⎪≥⎪≤⎨⎪⎪->⎩，解得0≤t＜65，∵△PEF与△MNO相似，∴PEEF=236或EFPE=236，∴5323tt-=33或32532tt-=33，解得t=1或t=34．当点P在EF上方时，PE=BE﹣BP=52t-3，∵△PEF与△MNO相似，∴PEEF=23或EFPE=23，∴5323tt-=33或32532tt-=33，解得t=32或3．∵0≤t≤32，且52t-3＞0，即65＜t≤32，∴t=32.综上所述，t=1或34或32．②当P点在EF上方时，过P作PH⊥MN于H，如图2中，由题意，EF=32t，FC=MC=3﹣t，∠PFH=30°，∴PF=PC﹣CF=（6﹣2t）﹣（3﹣t）=3﹣t，∴PH=12PF=32t-，∴S=12•EF•PH=12×32t×【方法归纳】根据题意画一些不同运动时刻的图形，想象从头到尾的整个运动过程，对整个运动过程有一个初步的理解，理清运动过程中的各种情形；然后是做到动中取静，画出运动过程中各种情形的瞬间图形，寻找变化的本质，或将图中的相关线段代数化，转化为函数问题或方程问题解决．【变式训练】（2017天津）将一个直角三角形纸片ABO放置在平面直角坐标系中，点A（3，0），点B（0，1），点O （0，0）．P是边AB上的一点（点P不与点A，B重合），沿着OP折叠该纸片，得点A的对应点A'．（1）如图①，当点A'在第一象限，且满足A'B⊥OB时，求点A'的坐标；（2）如图②，当P为AB中点时，求A'B的长；（3）当∠BP A'=30°时，求点P的坐标（直接写出结果即可）．【答案】（1）（2，1）；（2）1；（3）点P 的坐标为（332-，332-）或（2332-，32）． 【分析】（1）由点A 和B 的坐标得出OA =3，OB =1，由折叠的性质得：OA '=OA =3，由勾股定理求出A 'B 的值，即可得出点A '的坐标为（2，1）；（2）由勾股定理求出AB =2，证出OB =OP =BP ，得出△BOP 是等边三角形，得出∠BOP =∠BPO =60°，求出∠OP A =120°，由折叠的性质得：∠OP A '=∠OP A =120°，P A '=P A =1，证出OB ∥P A '，得出四边形OP A 'B 是平行四边形，即可得出A 'B =OP =1；（3）分两种情况：①点A '在y 轴上，由SSS 证明△OP A '≌△OP A ，得出∠A 'OP =∠AOP =12∠AOB =45°，得出点P 在∠AOB 的平分线上，由待定系数法求出直线AB 的解析式，即可得出点P 的坐标；②由折叠的性质得：∠A '=∠A =30°，OA '=OA ，作出四边形OAP A '是菱形，得出P A =OA =3，作PM ⊥OA 于M ，由直角三角形的性质求出PM 的长，把32y =代入313y x =-+求出点P 的纵坐标即可． 【解答】（1）∵点A （3，0），点B （0，1），∴OA =3，OB =1，由折叠的性质得：OA '=OA =3，∵A 'B ⊥OB ，∴∠A 'BO =90°，在Rt △A 'OB 中，A 'B =22'OA OB -=2，∴点A '的坐标为（2，1）；①如图③所示：点A '在y 轴上，在△OP A '和△OP A 中，∵OA ′=OA ，P A ′=P A ，OP =OP ，∴△OP A '≌△OP A （SSS ），∴∠A 'OP =∠AOP =12∠AOB =45°，∴点P 在∠AOB 的平分线上，设直线AB 的解析式为y =kx +b ，把点A 30），点B （0，1）代入得：301k b b +==⎪⎩，解得：331k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线AB 的解析式为31y x =+，∵P （x ，y ），∴31x =+，解得：x 33-P 33-33-）；②如图④所示：由折叠的性质得：∠A'=∠A=30°，OA'=OA，∵∠BP A'=30°，∴∠A'=∠A=∠BP A'，∴OA'∥AP，P A'∥OA，∴四边形OAP A'是菱形，∴P A=OA=3，作PM⊥OA于M，如图④所示：学/科+-网∵∠A=30°，∴PM=12P A=32，把y=32代入313y x=-+得：32=313x-+，解得：x=2332-，∴P（233-，3）；综上所述：当∠BP A'=30°时，点P的坐标为（33-，33-）或（233-，3）．【新题好题训练】1．（2017内蒙古通辽市）如图，点P在直线AB上方，且∠APB=90°，PC⊥AB于C，若线段AB=6，AC=x，S△P AB=y，则y与x的函数关系图象大致是（）A．B．C ．D ．【答案】D ． 【分析】根据已知条件推出△APC ∽△PBC ，根据相似三角形的性质得到PC =(6)x x -，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【解答】∵PC ⊥AB 于C ，∠APB =90°，∴∠ACP =∠BCP =90°，∴∠APC +∠BPC =∠APC +∠P AC =90°，∴∠P AC =∠BPC ，∴△APC ∽△PBC ，∴PC BC AC PC =，∵AB =6，AC =x ，∴BC =6﹣x ，∴PC 2=x （6﹣x ），∴PC =(6)x x -，∴y =12AB •PC =236x x -+ =23(3)9x --+，故选D ． 2．（2017四川省泸州市）已知抛物线2114y x =+具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F （0，2）的距离与到x 轴的距离始终相等，如图，点M 的坐标为（3，3），P 是抛物线2114y x =+上一个动点，则△PMF 周长的最小值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C ．【分析】过点M 作ME ⊥x 轴于点E ，交抛物线2114y x =+于点P ，由PF =PE 结合三角形三边关系，即可得出此时△PMF 周长取最小值，再由点F 、M 的坐标即可得出MF 、ME 的长度，进而得出△PMF 周长的最小值．3．（2017山东省泰安市）如图，在△ABC 中，∠C =90°，AB =10cm ，BC =8cm ，点P 从点A 沿AC 向点C 以1c m /s 的速度运动，同时点Q 从点C 沿CB 向点B 以2c m /s 的速度运动（点Q 运动到点B 停止），在运动过程中，四边形P ABQ 的面积最小值为（ ）A ．19cm 2B ．16cm 2C ．15cm 2D ．12cm 2【答案】C ．【分析】在Rt △ABC 中，利用勾股定理可得出AC =6cm ，设运动时间为t （0≤t ≤4），则PC =（6﹣t ）cm ，CQ =2tcm ，利用分割图形求面积法可得出S 四边形P ABQ =t 2﹣6t +24，利用配方法即可求出四边形P ABQ 的面积最小值，此题得解．【解答】在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =10cm ，BC =8cm ，∴AC =22AB BC -=6cm ．设运动时间为t （0≤t ≤4），则PC =（6﹣t ）cm ，CQ =2tcm ，∴S 四边形P ABQ =S △ABC ﹣S △CPQ =12AC •BC ﹣12PC •CQ =12×6×8﹣12（6﹣t ）×2t =t 2﹣6t +24=（t ﹣3）2+15，∴当t =3时，四边形P ABQ 的面积取最小值，最小值为15．故选C ． 4．（2017新疆乌鲁木齐市）如图，点A （a ，3），B （b ，1）都在双曲线3y x =上，点C ，D ，分别是x 轴，y 轴上的动点，则四边形ABCD 周长的最小值为（ ）A ．52B ．62C ． 21022D ．82【答案】B ．【分析】先把A点和B点的坐标代入反比例函数解析式中，求出a与b的值，确定出A与B坐标，再作A 点关于y轴的对称点P，B点关于x轴的对称点Q，根据对称的性质得到P点坐标为（﹣1，3），Q点坐标为（3，﹣1），PQ分别交x轴、y轴于C点、D点，根据两点之间线段最短得此时四边形P ABQ的周长最小，然后利用两点间的距离公式求解可得．5．（2017辽宁省营口市）如图，直线l的解析式为y=﹣x+4，它与x轴和y轴分别相交于A，B两点．平行于直线l的直线m从原点O出发，沿x轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动．它与x轴和y轴分别相交于C，D两点，运动时间为t秒（0≤t≤4），以CD为斜边作等腰直角三角形CDE（E，O两点分别在CD两侧）．若△CDE和△OAB的重合部分的面积为S，则S与t之间的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】C．【分析】分别求出0＜t≤2和2＜t≤4时，S与t的函数关系式即可爬判断．学/科..网【解答】当0＜t≤2时，S=12t2，当2＜t≤4时，S=12t2﹣12（2t﹣4）2=﹣32t2+8t﹣8，观察图象可知，S与t之间的函数关系的图象大致是C．故选C．6．（2017四川省内江市）如图，已知直线l1∥l2，l1、l2之间的距离为8，点P到直线l1的距离为6，点Q 到直线l2的距离为4，PQ=430，在直线l1上有一动点A，直线l2上有一动点B，满足AB⊥l2，且P A+AB+BQ 最小，此时P A+BQ= ．【答案】16．【分析】作PE⊥l1于E交l2于F，在PF上截取PC=8，连接QC交l2于B，作BA⊥l1于A，此时P A+AB+BQ 最短．作QD⊥PF于D．首先证明四边形ABCP是平行四边形，P A+BQ=CB+BQ=QC，利用勾股定理即可解决问题．7．（2017辽宁省抚顺市）如图，OF是∠MON的平分线，点A在射线OM上，P，Q是直线ON上的两动点，点Q在点P的右侧，且PQ=OA，作线段OQ的垂直平分线，分别交直线OF、ON交于点B、点C，连接AB、PB．（1）如图1，当P、Q两点都在射线ON上时，请直接写出线段AB与PB的数量关系；（2）如图2，当P、Q两点都在射线ON的反向延长线上时，线段AB，PB是否还存在（1）中的数量关系？若存在，请写出证明过程；若不存在，请说明理由；（3）如图3，∠MON=60°，连接AP，设APOQ=k，当P和Q两点都在射线ON上移动时，k是否存在最小值？若存在，请直接写出k的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）AB=PB；（2）存在；（3）k=0.5．【分析】（1）结论：AB=PB．连接BQ，只要证明△AOB≌△PQB即可解决问题；（2）存在．证明方法类似（1）；（3）连接BQ．只要证明△ABP∽△OBQ，即可推出APOQ=ABOB，由∠AOB=30°，推出当BA⊥OM时，ABOB的值最小，最小值为0.5，由此即可解决问题；【解答】（1）连接：AB=PB．理由：如图1中，连接BQ．∵BC垂直平分OQ，∴BO=BQ，∴∠BOQ=∠BQO，∵OF平分∠MON，∠BOQ=∠FON，∴∠AOF=∠FON=∠BQC，∴∠BQP=∠AOB，∵OA=PQ，∴△AOB≌△PQB，∴AB=PB．（3）连接BQ．8．（2017江苏省宿迁市）如图，在矩形纸片ABCD中，已知AB=1，BC3，点E在边CD上移动，连接AE，将多边形ABCE沿直线AE翻折，得到多边形AB′C′E，点B、C的对应点分别为点B′、C′．（1）当B′C′恰好经过点D时（如图1），求线段CE的长；（2）若B′C′分别交边AD，CD于点F，G，且∠DAE=22.5°（如图2），求△DFG的面积；（3）在点E从点C移动到点D的过程中，求点C′运动的路径长．【答案】（1）CE=6﹣2；（2）562-；（3）23π．【分析】（1）如图1中，设CE=EC′=x，则DE=1﹣x，由△ADB′′∽△DEC，可得''AD DBDE EC=，列出方程即可解决问题；（2）如图2中，首先证明△ADB′，△DFG都是等腰直角三角形，求出DF即可解决问题；（3）如图3中，点C的运动路径的长为¼'CC的长，求出圆心角、半径即可解决问题．【解答】（1）如图1中，设CE=EC′=x，则DE=1﹣x，∵∠ADB′+∠EDC′=90°，∠B′AD+∠ADB′=90°，∴∠B′AD=∠EDC′，∵∠B′=∠C′=90°，AB′=AB=1，AD=3，∴DB′=31-=2，∴△ADB′∽△DEC′，∴''AD DBDE EC=，∴32=，∴x=6﹣2，∴CE=6﹣2．9．（2017四川省广元市）如图，已知抛物线2y ax bx c =++过点A （﹣3，0），B （﹣2，3），C （0，3），其顶点为D ． 学+科-网（1）求抛物线的解析式；（2）设点M （1，m ），当MB +MD 的值最小时，求m 的值；（3）若P 是抛物线上位于直线AC 上方的一个动点，求△APC 的面积的最大值；（4）若抛物线的对称轴与直线AC 相交于点N ，E 为直线AC 上任意一点，过点E 作EF ∥ND 交抛物线于点F ，以N ，D ，E ，F 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E 的坐标；若不能，请说明理由．【答案】（1）223y x x =--+；（2）185；（3）278；（4）E （﹣2，1）或317-+，317+或317--，3172）． 【分析】（1）根据待定系数法，可得答案；（2）利用轴对称求最短路径的知识，找到B 点关于直线x =1的对称点B ′，连接B 'D ，B 'D 与直线x =1的交点即是点M 的位置，继而求出m 的值．（3）根据平行于y 轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减去较小的纵坐标，可得PE 的长，根据三角形的面积，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；（4）设出点E的，分情况讨论，①当点E在线段AC上时，点F在点E上方，②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，根据平行四边形的性质，可得关于x的方程，继而求出点E的坐标．【解答】（1）将A，B，C点的坐标代入解析式，得：9304233a b ca b cc-+=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩，解得：123abc=-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，抛物线的解析式m=﹣32时，△APC的面积的最大值是278；（4）由（1）、（2）得D（﹣1，4），N（﹣1，2），点E在直线AC上，设E（x，x+3）：①当点E在线段AC上时，点F在点E上方，则F（x，﹣x2﹣2x+3），∵EF=DN，∴﹣x2﹣2x+3﹣（x+3）=4﹣2=2，解得，x=﹣2或x=﹣1（舍去），则点E的坐标为：（﹣2，1）．②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，则F（x，﹣x2﹣2x+3），∵EF=DN，∴（x+3）﹣（﹣x2﹣2x+3）=2，解得x=3172-+或x=3172-，即点E的坐标为：（3172-，3172+）或（3172--，3172-）．综上所述：满足条件的点E坐标为E（﹣2，1317-+317+317--317-）．10．（2017四川省德阳市）如图，在平面直角坐标系xoy 中，抛物线C 1：2y mx n =+（m ≠0）与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴的负半轴交于点C ，其中A （-1，0），C （0，-1）．（1）求抛物线C 1及直线AC 的解析式；（2）沿直线AC 上A 至C 的方向平移抛物线C 1，得到新的抛物线C 2，C 2上的点D 为C 1上的点C 的对应点，若抛物线C 2恰好经过点B ，同时与x 轴交于另一点E ，连结OD 、DE ，试判断ΔODE 的形状，并说明理由；学+6/科+-网（3）在（2）的条件下，若P 为线段OE （不含端点）上一动点，作PF ⊥DE 于F ，PG ⊥OD 于G ，设PF ＝h 1，PG ＝h 2，试判断h 1•h 2的值是否存在最大值，若存在，求出这个最大值，并求出此时P 点的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）21y x =-，y =﹣x ﹣1；（2）△ODE 是等腰三角形；（3）当x =52时，h 1h 2的值最大，是25此时点P （52，0）． 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线C 1及直线AC 的解析式；（2）△ODE 是等腰三角形，根据D 在直线AC 上，所以D （a ，﹣a ﹣1），由△AOC 是等腰直角三角形，可得△HCD 是等腰直角三角形，则CH =DH =a ，即点C 平移到D 处：向下平移a 个单位，再向右平移a 个单位，所以抛物线 C 2：y =（x ﹣a ）2﹣1﹣a ，因为抛物线C 2恰好经过点B ，把B （1，0）代入可得a 的值，分别求得：OD =OE =5；（3）如图2，用面积法，分别表示h 1、h 2的长，相乘求最大值即可．∵A 、B 对称，∴B （1，0）．如图1，设D （a ，﹣a ﹣1），过D 作DH ⊥y 轴于H ．∵OA =OC =1，∠AOC =90°，∴△AOC 是等腰直角三角形，∴∠HCD =∠ACO =45°，∴△HCD 是等腰直角三角形，∴CH =DH =a ，由平移得：抛物线 C 2：y =（x ﹣a ）2﹣1﹣a ，把B （1，0）代入得：0=（1﹣a ）2﹣1﹣a ，a （a ﹣3）=0，a 1=0（舍），a 2=3，∴抛物线 C 2：y =（x ﹣3）2﹣4，∴D （3，﹣4），E （5，0），∴OE =5．由勾股定理得：OD =2234=5，∴OD =OE ，∴△ODE 是等腰三角形；。
泉州市泉港区2019年届中考数学《动态问题》专题复习试题含解析
动态问题一.选择题1．（2019·四川宜宾）如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB、BC 的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（）A．4.8 B．5 C．6 D．7.2【考点】矩形的性质．【分析】首先连接OP，由矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，可求得OA=OD=5，△AOD的面积，然后由S△A O D=S△A O P+S△D O P=O A•PE+OD•PF求得答案．【解答】解：连接OP，∵矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，∴S矩形A B C D=AB•BC=48，OA=OC，OB=OD，AC=BD=10，∴OA=OD=5，∴S△A C D=S矩形A B C D=24，∴S△A O D=S△A C D=12，∵S△A O D=S△A O P+S△D O P=OA•PE+OD•PF=×5×PE+×5×PF=（PE+PF）=12，解得：PE+PF=4.8．故选：A．2.（2019·湖北荆门·3分）如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P从点A出发，在正方形的边上沿A→B→C 的方向运动到点C停止，设点P的运动路程为x（cm），在下列图象中，能表示△ADP的面积y（cm2）关于x（cm）的函数关系的图象是（）A． B． C． D．【考点】动点问题的函数图象．【分析】△ADP的面积可分为两部分讨论，由A运动到B时，面积逐渐增大，由B运动到C时，面积不变，从而得出函数关系的图象．【解答】解：当P点由A运动到B点时，即0≤x≤2时，y=×2x=x，当P点由B运动到C点时，即2＜x＜4时，y=×2×2=2，符合题意的函数关系的图象是A；故选：A．3.（2019·青海西宁·3分）如图，点A的坐标为（0，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等腰直角△ABC，使∠BAC=90°，设点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A． B． C． D．【考点】动点问题的函数图象．【分析】根据题意作出合适的辅助线，可以先证明△ADC和△AOB的关系，即可建立y与x的函数关系，从而可以得到哪个选项是正确的．【解答】解：作AD∥x轴，作CD⊥AD于点D，若右图所示，由已知可得，OB=x，OA=1，∠AOB=90°，∠BAC=90°，AB=AC，点C的纵坐标是y，∵AD∥x轴，∴∠DAO+∠AOD=180°，∴∠DAO=90°，∴∠OAB+∠BAD=∠BAD+∠DAC=90°，∴∠OAB=∠DAC，在△OAB和△DAC中，，∴△OAB≌△DAC（AAS），∴OB=CD，∴CD=x，∵点C到x轴的距离为y，点D到x轴的距离等于点A到x的距离1，∴y=x+1（x＞0）．故选：A．二.填空题1. （2019·四川眉山·3分）如图，已知点A是双曲线在第三象限分支上的一个动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边三角形ABC，点C在第四象限内，且随着点A的运动，点C的位置也在不断变化，但点C始终在双曲线上运动，则k的值是﹣3．【分析】根据反比例函数的性质得出OA=OB，连接OC，过点A作AE⊥y轴，垂足为E，过点C作CF⊥y轴，垂足为F，根据等边三角形的性质和解直角三角形求出OC=OA，求出△OFC∽△AEO，相似比，求出面积比，求出△OFC的面积，即可得出答案．【解答】解：∵双曲线的图象关于原点对称，∴点A与点B关于原点对称，∴OA=OB，连接OC，如图所示，∵△ABC是等边三角形，OA=OB，∴OC⊥AB．∠BAC=60°，∴tan∠OAC==，∴OC=OA，过点A作AE⊥y轴，垂足为E，过点C作CF⊥y轴，垂足为F，∵AE⊥OE，CF⊥OF，OC⊥OA，∴∠AEO=∠OFC，∠AOE=90°﹣∠FOC=∠OCF，∴△OFC∽△AEO，相似比，∴面积比，∵点A在第一象限，设点A坐标为（a，b），∵点A 在双曲线上，∴S△AEO =ab=，∴S△OFC =FC•OF=，∴设点C坐标为（x，y），∵点C 在双曲线上，∴k=xy，∵点C在第四象限，∴FC=x，OF=﹣y．∴FC•OF=x•（﹣y）=﹣xy=﹣，故答案为：﹣3．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的性质和判定的应用，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．2．（2019·四川内江）如图12所示，已知点C(1，0)，直线y＝－x＋7与两坐标轴分别交于A，B两点，D，E分别是AB，OA上的动点，则△CDE周长的最小值是______．[答案]10[考点]勾股定理，对称问题。
2019-2020年中考数学第二轮复习专题讲解动态几何问题
∴ ∠ BMP ∠ BPM ∠ BPM ∠ QPC 120 ( 这个角度传递非常重要 , 大家要仔细揣摩 )
∴ ∠ BMP ∠ QPC
∴ △ BMP ∽△ CQP
∴ PC CQ BM BP
∵ PC x， MQ
y ∴ BP 4 x， QC
4y
∴ x 4 y ∴ y 1 x2 x 4
4 4x
角形．
（ 1）求证：梯形 ABCD 是等腰梯形； （ 2）动点 P 、 Q 分别在线段 BC 和 MC 上运动，且 ∠ MPQ
60 保持不变．设 PC
x， MQ
y，求 y 与 x 的
函数关系式；
（ 3）在（ 2）中，当 y 取最小值时，判断 △ PQC 的形状，并说明理由．
A
M
D
60
Q
B
C
P
【思路分析 1】本题有一点综合题的意味，但是对二次函数要求不算太高，重点还是在考察几何方面。第一问纯
【解析】
解：（ 1）由题意知，当 M 、 N 运动到 t 秒时，如图①，过 D 作 DE ∥ AB 交 BC 于 E 点，则四边形 ABED 是平行
四边形．
A
D
N
B
E
M
C
∵ AB∥ DE ， AB∥ MN ． ∴ DE ∥ MN ． （根据第一讲我们说梯形内辅助线的常用做法，成功将 成平行时候的静态问题）
（ 1）直接写出线段 EG 与 CG 的数量关系； （ 2）将图 1 中 BEF 绕 B 点逆时针旋转 45 ，如图 2 所示，取 DF 中点 G ，连接 EG，CG ，．
你在（ 1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明． （ 3）将图 1 中 BEF 绕 B 点旋转任意角度，如图 3 所示，再连接相应的线段，问（ 1）中的结论是否仍然成立？
中考数学总复习《二次函数-动态几何问题》练习题附带答案
中考数学总复习《二次函数-动态几何问题》练习题附带答案一、单选题(共12题；共24分)1．如图，点C、D是以线段AB为公共弦的两条圆弧的中点，AB=4，点E，F分别是线段CD，AB 上的动点，设AF=x，AE2－FE2=y，则能表示y与x的函数关系的图象是（）A．B．C．D．2．抛物线y=（x﹣1）2+2的对称轴是（）A．直线x=﹣1B．直线x=1C．直线x=﹣2D．直线x=23．在平面直角坐标系中，将抛物线y=3x2先向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（）A．y=3（x+1）2+2B．y=3（x+1）2﹣2C．y=3（x﹣1）2+2D．y=3（x﹣1）2﹣24．如图，菱形ABCD的边长为2，∠A=60°，点P和点Q分别从点B和点C出发，沿射线BC向右运动，且速度相同，过点Q作QH∠BD，垂足为H，连接PH，设点P运动的距离为x（0＜x≤2），∠BPH的面积为S，则能反映S与x之间的函数关系的图象大致为（）A．B．C．D．5．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，点E是射线AB上的动点（点E不与点A，点B重合），点F在线段DA的延长线上，且AF=AE，连接ED，将ED绕点E顺时针旋转90°得到EG，连接EF,FB,BG.设AE=x，四边形EFBG的面积为y，下列图象能正确反映出y与x的函数关系的是（）A．B．C．D．6．如图，半径为1的⊙A的圆心A在抛物线y=(x-3)2-1上，AB∠x轴交⊙A于点B(点B在点A 的右侧)，当点A在抛物线上运动时，点B随之运动得到的图象的函数表达式为（）A．y=(x-4)2-1B．y=(x-3)2C．y=(x-2)2-1D．y=(x-3)2-27．下列函数，其中图象为抛物线的是（）A．y=1x B．y=2x C．y=x2D．y=2x+38．如图，在Rt∠ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=6cm，动点P从点C沿CA，以1cm/s的速度向点A运动，同时动点O从点C沿CB，以2cm/s的速度向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也停止运动．则运动过程中所构成的∠CPO的面积y（cm2）与运动时间x（s）之间的函数图象大致是（）A．B．C．D．9．如图，在∠ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm，点P从点A沿AC向点C以1cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形PABQ的面积最小值为（）A．19cm2B．16cm2C．15cm2D．12cm210．如图，平面直角坐标系中，A点坐标为（2，2），点P（m，n）在直线y=﹣x+2上运动，设∠APO的面积为S，则下面能够反映S与m的函数关系的图象是（）A．B．C．D．11．如图，点A（a，b）是抛物线y=12x2上一动点，OB∠OA交抛物线于点B（c，d）．当点A在抛物线上运动的过程中（点A不与坐标原点O重合），以下结论：①ac为定值；②ac=﹣bd；③∠AOB的面积为定值；④直线AB必过一定点．正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个12．抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）如图所示，则关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集是（）A．x＜2B．x＞﹣3C．﹣3＜x＜1D．x＜﹣3或x＞1二、填空题(共6题；共8分)13．如图，在标有刻度的直线l上，从点A开始以AB=1为直径画半圆，记为第1个半圆；以BC=2为直径画半圆，记为第2个半圆；以CD=4为直径画半圆，记为第3个半圆；以DE=8为直径画半圆，记为第4个半圆．……按此规律，连续画半圆，则第4个半圆的面积是第3个半圆面积的倍。
中考数学总复习《二次函数的动态几何问题》专项测试卷-含参考答案
中考数学总复习《二次函数的动态几何问题》专项测试卷-含参考答案一、单选题(共12题；共24分)1．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∥B=90°，AB=AD=5，BC=4，M、N、E分别是AB、AD、CB上的点，AM=CE=1，AN=3，点P从点M出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线MB﹣BE向点E运动，同时点Q从点N出发，以相同的速度沿折线ND﹣DC﹣CE向点E运动，当其中一个点到达后，另一个点也停止运动．设∥APQ的面积为S，运动时间为t秒，则S与t函数关系的大致图象为（）A．B．C．D．2．如图，在平面直角坐标系中，M、N、C三点的坐标分别为（12，1），（3，1），（3，0），点A为线段MN上的一个动点，连接AC，过点A作AB⊥AC交y轴于点B，当点A从M运动到N时，则点B随之运动，设点B的坐标为（0，b），则b的取值范围是（）A．−14≤b≤1B．−54≤b≤1C．−94≤b≤12D．−94≤b≤13．如图所示，∥ABC为等腰直角三角形，∥ACB=90°，AC=BC=2，正方形DEFG边长也为2，且AC 与DE在同一直线上，∥ABC从C点与D点重合开始，沿直线DE向右平移，直到点A与点E重合为止，设CD的长为x，∥ABC与正方形DEFG重合部分（图中阴影部分）的面积为y，则y与x之间的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．4．二次函数y=﹣（x﹣1）2+2的顶点坐标是（）A．（1，﹣2）B．（1，2）C．（﹣1，2）D．（﹣1，﹣2）5．如图，等腰Rt∥ABC（∥ACB=90°）的直角边与正方形DEFG的边长均为2，且AC与DE在同一直线上，开始时点C与点D重合，让∥ABC沿这条直线向右平移，直到点A与点E重合为止．设CD的长为x，∥ABC与正方形DEFG重合部分（图中阴影部分）的面积为y，则y与x之间的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．6．如图，矩形ABCD中，AB=4cm，AD=5cm，点E在AD上，且AE=3cm，点P、Q同时从点B出发，点P沿BE→ED→DC运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s，设P、Q出发t秒，∥BPQ的面积为y cm2．则y与t的函数关系图象大致是（）A．B．C．D．7．如图，∥ABC是边长为4cm的等边三角形，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿A→C→B运动，到达B点即停止运动，过点P作PD∥AB于点D，设运动时间为x（s），∥ADP的面积为y （cm2），则能够反映y与x之间函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．8．如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回，点P在运动过程中速度不变，则以点B为圆心，线段BP长为半径的圆的面积S与点P的运动时间t的函数图象大致为（）A．B．C．D．9．如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∥B=∥C=60°，P、Q同时从B出发，以每秒1单位长度分别沿B﹣A﹣D﹣C和B﹣C﹣D方向运动至相遇时停止，设运动时间为t（秒），∥BPQ的面积为S （平方单位），S与t的函数图象如图2所示，则下列结论错误的个数（）①当t=4秒时，则S=4 √3②AD=4③当4≤t≤8时，则S=2 √3t ④当t=9秒时，则BP平分四边形ABCD的面积．A．1个B．2个C．3个D．4个10．如图，直线l1:y=−x+4与x轴和y轴分别相交于A、B两点，平行于直线l1的直线l2从原点O出发，沿x轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动，它与x轴和y轴分别相交于C、D两点，运动时间为t秒(0≤t≤4).以CD为斜边作等腰直角ΔCDE（E、O两点分别在CD两侧），若ΔCDE和ΔOAB的重合部分的面积为S，则S与t之间的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．11．如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=2.动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿折线AD→DC运动到点C，同时动点Q也从点A出发，以每秒√3个单位的速度沿AC 运动到点C，当一个点停止运动时，则另一个点也随之停止.设△APQ的面积为y，运动时间为x秒，则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是（）A．B．C．D．12．点C是线段AB上的一点，AB=1，分别以AC和CB为一边作正方形，用S表示这两个正方形的面积之和，下列判断正确的是（）A．当C是AB的中点时，则S最小B．当C是AB的中点时，则S最大C．当C为AB的三等分点时，则S最小D．当C是AB的三等分点时，则S最大二、填空题(共6题；共7分)13．如图，抛物线y = 13x2−23x−83的图象与坐标轴交于A、B、D，顶点为E，以AB为直径画半圆交y轴的正半轴于点C，圆心为M，P是半圆上的一动点，连接EP，N是PE的中点，当P沿半圆从点A运动至点B时,点N运动的路径长是．14．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣5，0）、（﹣2，0）．点P在抛物线y=﹣2x2+4x+8上，设点P的横坐标为m．当0≤m≤3时，则∥PAB的面积S的取值范围是．15．如图，抛物线y=（x-1）2-1与直线y=x交于点O，点B为线段OA上的动点，过点B作BC∥y 轴，交交抛物线于点C，则线段BC长度的最大值为16．如图，在∥ABC中，∥B=90°，AB=12mm，BC=24mm，动点P从点A开始沿边AB向B以2mm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以4mm/s的速度移动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过秒，四边形APQC的面积最小．17．如图，在边长为6cm的正方形ABCD中，点E、F、G、H分别从点A、B、C、D同时出发，均以1cm/s的速度向点B、C、D、A匀速运动，当点E到达点B时，则四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为s时，则四边形EFGH的面积最小，其最小值是cm2．18．如图，抛物线y=13x2+83x−3与x轴交于点A和点B两点，与y轴交于点C，D点为拋物线上第三象限内一动点，当∠ACD+2∠ABC=180∘时，则点D的坐标为.三、综合题(共6题；共73分)19．如图，抛物线y =ax 2+bx +3与x 轴交于A(−2，0)，B(6，0)两点，与y 轴交于点C 直线l ：y =12x +n 与抛物线交于A ，D 两点，与y 轴交于点E ．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P 是抛物线上的点且在直线l 上方，连接PA ，PD ，求当△PAD 面积最大时点P 的坐标及该面积的最大值；（3）y 轴上是否存在点Q ，使∠ADQ =45°，若存在请求点Q 的坐标；若不存在说明理由． 20．在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝ax 2+bx ﹣4经过A （﹣4，0），C （2，0）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，∥AMB 的面积为S ．求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值．21．如图，抛物线y=﹣x 2+6x 与x 轴交于点O ，A ，顶点为B ，动点E 在抛物线对称轴上，点F 在对称轴右侧抛物线上，点C 在x 轴正半轴上，且EF =//OC ，连接OE ，CF 得四边形OCFE ．（1）求B点坐标；（2）当tan∥EOC= 43时，则显然满足条件的四边形有两个，求出相应的点F的坐标；（3）当0＜tan∥EOC＜3时，则对于每一个确定的tan∥EOC值，满足条件的四边形OCFE有两个，当这两个四边形的面积之比为1：2时，则求tan∥EOC．22．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/秒的速度移动，同时点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/秒的速度移动，且当其中一点到达终点时，则另一个点随之停止移动．设P，Q两点移动的时间为t秒，△PBQ的面积为Scm2．（1）BP=cm；（2）求S与t的函数关系式，并求出△PBQ面积的最大值．23．如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（6，0），（6，8）、动点M、N分别从O、B同时出发，都以每秒1个单位的速度运动、其中，点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动、过点N作NP∥BC，交AC于P，连结MP、已知动点运动了t秒、（1）P点的坐标为（，）（用含t的代数式表示）;（2）试求∥MPA面积的最大值，并求此时t的值;（3）请你探索：当t为何值时，则∥MPA是一个等腰三角形？24．已知抛物线y=ax2+bx+3经过点A(−1，0)、B(3，0)，与y轴交于点C，连接BC．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线BC上方抛物线上取一点P，过点P作PQ⊥x轴交BC边于点Q，求PQ的最大值；（3）在直线BC上方抛物线上取一点D，连接OD，CD．OD交BC于点F，当S△COF：S△CDF=3：2时，则求点D的坐标．参考答案1．【答案】D2．【答案】B3．【答案】A4．【答案】B5．【答案】A6．【答案】B7．【答案】B8．【答案】B9．【答案】C10．【答案】C11．【答案】A12．【答案】A13．【答案】1.5π14．【答案】3≤S≤1515．【答案】9416．【答案】317．【答案】3；1818．【答案】(−7，−163) 19．【答案】（1）解：将A （-2，0）、B （6，0）代入y=ax 2+bx+3得：{4a −2b +3＝036a +6b +3＝0解得{a ＝−14b ＝1∴抛物线的解析式为y=-14x 2+x+3 （2）解：∵y =12x +n 过点于A(−2，0)，所以n =1 ∴点D 的坐标为(4，3)．如图1中，过点P 作PK ∥y 轴交AD 于点K ．设P(m ，−14m 2+m +3)，则K(m ，12m +1)． ∵S △PAD =12⋅(x D −x A )⋅PK =3PK ∴PK 的值最大值时，则△PAD 的面积最大PK =−14m 2+m +3−12m −1=−14m 2+12m +2=−14(m −1)2+94∵−14<0∴m =1时，则PK 的值最大，最大值为94此时△PAD 的面积的最大值为274，P(1，154)． （3）解：存在如图2中，将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到AT ，则T(−5，6)设DT 交y 轴于点Q ，则∥∠ADQ =45°∵D(4，3)∴直线DT 的解析式为y =−13x +133∴Q(0，133) 作点T 关于AD 的对称点T ′(1，−6)则直线DT ′的解析式为y =3x −9设DQ ′交y 轴于点Q ′，则∠ADQ ′=45°∴Q ′(0，−9)综上所述，满足条件的点Q 的坐标为(0，133)或(0，−9)． 20．【答案】（1）解：将A （﹣4，0），C （2，0）代入y ＝ax 2+bx ﹣4，得：{16a −4b −4=04a +2b −4=0 ，解得：{a =12b =1∴抛物线解析式为：y =12x 2+x −4 （2）解：如图，过点M 作MN∥AC 于点N∵抛物线y =12x 2+x −4与y 轴交于点B 当x =0 时，则y =−4∴B(0，−4) ，即OB=4∵点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m∴M(m ，12m 2+m −4) ∴ON =−m ，MN =−(12m 2+m −4)=−12m 2−m +4 ∴AN =m −(−4)=m +4∴S △ABM =S △ANM +S 梯形MNOB −S △AOB =12(4+m)(−12m 2−m +4)+12(−12m 2−m +4+4)(−m)−12×4 =−m 2−4m =−(m +2)2+4(−4<m <0)∴当m =−2 时，则S 有最大值，最大值为4∴S 关于m 的函数关系式为S =−m 2−4m ， S 的最大值为4．21．【答案】（1）解：∵y=﹣x 2+6x=﹣（x ﹣3）2+9∴B （3，9）（2）解：抛物线的对称轴为直线x=3，直线x=3交x 轴于H ，如图∵tan∥EOC= 43 ，即tan∥EOH= 43∴EH OH = 43∴EH=4∴E 点坐标为（3，4）或（3，﹣4）当y=4时，则﹣（x ﹣3）2+9=4，解得x 1=3﹣ √5 （舍去），x 2=3+ √5当y=﹣4时，则﹣（x ﹣3）2+9=﹣4，解得x 1=3﹣ √13 （舍去），x 2=3+ √13∴F 点坐标为（3+ √5 ）或（3+ √13 ，﹣4）（3）解：如图，∵平行四边形OEFC 和平行四边形OE′F′C′等高∴这两个四边形的面积之比为1：2时，则OC′=2OC 设OC=t，则OC′=2t∴F点的横坐标为3+t，F′点的横坐标为3+2t而点F和F′的纵坐标互为相反数∴﹣（3+t﹣3）2+9+[﹣（3+2t﹣3）2+9]=0，解得t1= 3√105，t2=﹣3√105（舍去）∴F点坐标为（3+ 3√105，275）∴E（3，27 5）∴tan∥EOC= 2753= 95．22．【答案】（1）（6-t）（2）解：经过t秒后∴S=12×PB×BQ=12×(6－t)×2t=－t2+6t=−(t−3)2+9∴在移动过程中，△PBQ的最大面积是9cm2．23．【答案】（1）解：6－t；43t（2）解：延长NP交x轴于Q，则有PQ∥QA．设∥MPA的面积为SS＝12MA·PQ＝12（6—t）43t＝— 23t2＋4t （0≤t≤6）∴当t ＝3时，则S的最大值为6（3）解：①若MP＝PA ∵PQ∥MA ∴ MQ＝QA＝t ∴3t＝6 即t＝2②若MP＝MA 则MQ＝6—2t PQ＝43t PM＝MA＝6—t在Rt∥PMQ 中∵PM2＝MQ2＋PQ2 ∴（6—t）2＝（6—2t）2＋（43t）2∴t ＝10843③若PA＝AM ∵PA＝t AM＝6—t ∴t＝6—t ∴t＝94综上所述， t ＝2或t ＝ 10843 或t ＝ 9424．【答案】（1）解：∵抛物线y =ax 2+bx +3经过点A(−1，0)、B(3，0)∴{a −b +3=09a +3b +3=0解得{a =−1b =2∴抛物线的解析式为：y =−x 2+2x +3（2）解：∵抛物线的解析式为：y =−x 2+2x +3 令x =0，则y =3∴C(0，3)∵B(3，0)设直线BC 的解析式为y =kx +b则{b =33k +b =0解得{k =−1b =3直线BC 的解析式为：y =−x +3过点P 作PQ∥x 轴交BC 于点Q ，设P 点坐标为(x ，−x 2+2x +3)则Q 点坐标为(x ，−x +3)则PQ =(−x 2+2x +3)−(−x +3)=−x 2+3x=−(x −32)2+94∴PQ 的最大值是94． （3）解：∵∆COF 与∆CDF 共高，面积比转化为底边比 OF ：DF=S∥COF ：S∥CDF ＝3：2过点D 作BC 的平行线交x 轴于G ，交y 轴于E根据平行线分线段成比例OF：FD=OC：CE=3：2∵OC=3∴OE=5∴E（0，5）∴直线EG解析式为：y= -x+5联立方程，得：−x2+2x+3=−x+5解得：x1=1则点D的坐标为（1，4）或（2，3）；。
2019中考冲刺讲义：第2讲依据特征作图—动态几何(含答案)
C矩形ABCD 的内部，连接AF ，BF ，EF ，过点F 作GF ⊥AF 交AD 于点G ，设ADn AE． （1）当点F 落在AC 上时，用含n 的代数式表示ADAB的值；（2）若AD=4AB ，且以点F ，C ，G 为顶点的三角形是直角三角形，求n 的值．GFE DCB A3. 如图，已知平行四边形ABCD 中，AB=3，AD=2，∠A=60°，点E 为AB 中点，过点E 作l ⊥AB ，垂足为点E ，点M 是直线l 上的一点．（1）若平面内存在点N ，使得以A ，D ，M ，N 为顶点的四边形为菱形，则这样的点N 共有______个． （2）连接MA ，MD ，若∠AMD 不小于60°，且设符合题意的点M 在直线l 上可移动的距离为t ，求t 的范围．4. 如图，在等腰直角三角形ABC 中，AB=4，∠C=90°．点D 在线段AC 上，AD=2CD ，点E ，F 在△ABC 的边上，且满足△DAF 与△DEF 全等，过点E 作EG ⊥AB 于点G ，求线段AG 的长．1. （1）四边形ABCD 为平行四边形，证明略；（2）①作图略；②12AP PB =时，B′P⊥AB ． 2. （1）ADAB=（2）n 的值为16或8+．3. （1）5；（2）0≤t 4. 线段AG 的长为83，23+或4．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．已知抛物线y＝﹣x2+bx+2﹣b在自变量x的值满足﹣1≤x≤2的情况下，若对应的函数值y的最大值为6，则b的值为（）A．﹣1或2 B．2或6 C．﹣1或4 D．﹣2.5或82．如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东37°方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的正东方向上的B处，这时B处与灯塔P的距离可以表示为（）A.50海里B.50sin37°海里C.50cos37°海里D.50tan37°海里3．如图，E是▱ABCD边AB延长线上的一点，AB=4BE，连接DE交BC于F，则△DCF与四边形ABFD面积的比是（）A．4：5 B．2：3 C．9：16 D．16：254．关于抛物线，下列说法错误．．的是（）．A.开口向上B.与轴只有一个交点C.对称轴是直线D.当时，随的增大而增大5．如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点(–1，0)，抛物线的对称轴为直线x=1，那么下列结论中：①b<0；②方程ax2+bx+c=0的解为–1和3；③2a+b=0；④m(ma+b)<a+b(常数m≠0)，正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个6．如图，在反比例函数y＝-2x的图象上有一动点A，连结AO并延长交图象的另一支于点B，在第一象限内有一点C ，满足AC ＝BC ，当点A 运动时，点C 始终在函数y ＝kx的图象上运动，若tan ∠CAB ＝3，则k 的值为（ ）A ．23B ．6C ．8D ．187．给出下列4个命题：①对顶角相等；②同位角相等；③在同一个圆中，同一条弦所对的圆周角都相等；④圆的内接四边形对角互补．其中，真命题为 （ ） A ．①②④B ．①③④C ．①④D ．①②③④8．若2是关于x 的方程()2120x m x m --++=的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰ABC ∆的两条边的长，则ABC ∆的周长为A ．7或10B ．9或12C ．12D ．99．设边长为a 的正方形面积为2，下列关于a 的四种说法：① a 是有理数；②a 是方程2x 2－4＝0的解；③a 是2的算术平方根；④1＜a ＜2．其中，所有正确说法的序号是（ ） A ．②③B ．③④C ．②③④D ．①②③④10．如图，菱形ABCD 的边长为2，∠A=60°，点P 和点Q 分别从点B 和点C 出发，沿射线BC 向右运动并且始终保持BP=CQ ，过点Q 作QH ⊥BD ，垂足为H ，连接PH ，设点P 运动的距离为x （0＜x≤2），△BPH 的面积为s ，则能反映s 与x 之间的函数关系的图象大致为 （ ）A. B. C. D.11．如图，一束平行太阳光线FA 、GB 照射到正五边形ABCDE 上，∠ABG ＝46°，则∠FAE 的度数是（ ）A.26°．B.44°．C.46°．D.72°12．生活中，有时也用“千千万”来形容数量多，“千千万”就是100亿，“千千万”用科学记数法可表示为( ) A ．0.1×1011B ．10×109C ．1×1010D ．1×1011二、填空题13．小明在数轴上先作边长为1的正方形，再用圆规画出了点A(如图所示)，则点A 所表示的数为__________．14．已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2+2x+k ﹣1＝0的两个实数根，且x 12+x 22﹣x 1x 2＝13，则k 的值为___．15．九年级（1）班共50名同学，图是该班一次体育模拟测试成绩的频数分布直方图（满分为30分，成绩均为数），若将不低于29分的成绩评为优秀，则该班此次成绩达到优秀的同学的人数占全班人数的百分比是_____．16．计算：0(1)-+_____．17．若分式2x -有意义，则x 的取值范围为_____． 18．在Rt △ABC 中，490,sin 5C A ︒∠==，则cosB 的值等于___． 三、解答题19．计算下列各式： （1）11112323x y x y ⎛⎫⎛⎫+-⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（2）2222113322x y y x ⎛⎫⎛⎫-+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 20．2019年4月22日是第50个世界地球日，某校在八年级5个班中，每班各选拔10名学生参加“环保知识竞赛”并评出了一、二、三等奖各若干名，学校将获奖情况绘成如图所示的不完整的条形统计图和扇形统计图，请你根据图中信息解答下列问题：（1）求本次竞赛获奖的总人数，并补全条形统计图； （2）求扇形统计图中“二等奖”所对应扇形的圆心角度数； （3）如果该校八年级有800人，请你估计获奖的同学共有多少人？21．直觉的误差：有一张8cm×8cm 的正方形纸片，面积是64cm 2．把这些纸片按图1所示剪开成四小块，其中两块是三角形，另外两块是梯形．把剪出的4个小块按图2所示重新拼合，这样就得到了一个13cm×5cm 的长方形，面积是65cm 2，面积多了1cm 2，这是为什么？ 小明给出如下证明：如图2，可知，tan ∠CEF ＝83，tan ∠EAB ＝52，∵tan ∠CEF ＞tan ∠EAB ，∴∠CEF ＞∠EAB ，∵EF ∥AB ，∴∠EAB+∠AEF ＝180°，∴CEF+∠AEF ＞180°，因此A 、E 、C 三点不共线．同理A 、G 、C 三点不共线，所以拼合的长方形内部有空隙，故面积多了1cm 2（1）小红给出的证明思路为：以B 为原点，BC 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，证明三点不共线．请你帮小红完成她的证明；（2）将13cmx13cm 的正方形按上述方法剪开拼合，是否可以拼合成一个长方形，但面积少了1cm 2？如果能，求出剪开的三角形的短边长；如果不能，说明理由．22．计算011|1|2019()3tan 303-+---23．如图1，点A 在x 轴上，OA ＝4，将OA 绕点O 逆时针旋转120°至OB 的位置． （1）求经过A 、O 、B 三点的抛物线的函数解析式；（2）在此抛物线的对称轴上是否存在点P 使得以P 、O 、B 三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3 ）如图2，OC ＝4，⊙A 的半径为2，点M 是⊙A 上的一个动点，求MC+12OM 的最小值．24．如图，一座山的一段斜坡BD 的长度为600米，且这段斜坡的坡度i ＝1：3（沿斜坡从B 到D 时，其升高的高度与水平前进的距离之比）．已知在地面B 处测得山顶A 的仰角为30°，在斜坡D 处测得山顶A 的仰角为45°．求山顶A 到地面BC 的高度AC 是多少米？25．计算：11|2|3-⎛⎫-- ⎪⎝⎭．【参考答案】*** 一、选择题二、填空题13．1+14．﹣2． 15．44% 16．－117．x≥﹣1且x≠2． 18．45三、解答题 19．(1)221149x y -；（2）44194x y -. 【解析】 【分析】（1）根据平方差公式计算即可. （2）根据平方差公式计算即可.（1）原式222211112349x y x y ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）原式＝()2222222244111133392224x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+--=--=- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【点睛】本题考查平方差公式，解答关键是熟记平方差的形式及找准公式中的“a”“b”. 20．（1）20，补图见解析；（2） 108度 ；（3）320人. 【解析】 【分析】（1）由一等奖人数及其所占百分比可得总人数，再求出二等奖人数即可补全图形； （2）用360°乘以对应的百分比即可得；（3）根据获奖的百分比估计总体的百分比，再乘以总人数即可得解. 【详解】（1）本次竞赛获奖的总人数为4÷20%=20（人）， 补全图形如下：（2）扇形统计图中“二等奖”所对应扇形的圆心角度数360°×620=108°； （3）800×2050=320（人）， 所以，获奖的同学共有320人. 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．21．(1) 见解析；(2) 5cm 【解析】 【分析】(1)以B 为原点，BC 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，在Rt △EFC 中，求出EC 的长，在直角梯形ABFE 中，求出AE 长，若A 、E 、C 三点共线，则在Rt △ABC 中，利用勾股定理求出AC 长，比较AC 与AE+EC 的大小即可得出结论；(2)设剪开的长方形短边长为xcm ，根据题意可得关于x 的方程，解方程即可求得答案.(1)以B为原点，BC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，在Rt△EFC中，EC在直角梯形ABFE中，过点E作EM⊥AB，则四边形BFEM是矩形，∴BM=EF=3，∴AM=5-3=2，∴AE若A、E、C三点共线，则在Rt△ABC中，AC=≠∴A、E、C三点共线不共线，∴所以拼合的长方形内部有空隙；(2)设剪开的长方形短边长为xcm，根据题意可得：(13﹣x)(13+13﹣x)＝13×13﹣1，∴x2﹣39x+170＝0，∴x＝5或x＝34(舍)，∴可以拼成成一个长方形，但面积少了1cm2，剪开的三角形的短边长是5cm.【点睛】本题考查了勾股定理、矩形的判定与性质，正方形性质，一元二次方程的应用等，综合性较强，熟练掌握相关知识是解题的关键.22．3【解析】【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质和负指数幂的性质分别化简得出答案．【详解】1+1+3﹣3×1+1+33．3【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．23．（1）y2x；（2）存在△POB为等腰三角形，符合条件的点P只有一个，坐标为（2，）；（3）MC+12OM的最小值为CK＝5．【解析】【分析】（1）设出抛物线解析式，利用待定系数法求出拋物线解析式即可(2)设点P的坐标为(2，y)，分三种情况讨论，①OB=OP，②2OB=PB，③OP=PB，分别求出y的值，即可得出点P的坐（3）在OA上取点K，使AK＝1，连接CK交圆与点M，连接OM、CM ，利用△AKM∽△AMO ，求出MC+12 OM＝MC+KM＝CK，即可解答【详解】（1）如图1，过点B作BD⊥x轴于点D，∴∠BDO＝90°，∵OA绕点O逆时针旋转120°至OB，∴OB＝OA＝4，∠AOB＝120°，B在第二象限，∴∠BOD＝60°，∴sin∠BOD＝BDOB=，cos∠BOD＝102ODB=，∴BD＝，OD＝12OB＝2，∴B（﹣2，），设过点A（4，0），B（﹣2，，O（0，0）的抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，∴1640420a b ca b cc++=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩解得：abc⎧=⎪⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎪⎩，∴抛物线的函数解析式为y ＝6 x 2﹣3x ； （2）存在△POB 为等腰三角形，∵抛物线与x 轴交点为A （4，0），O （0，0）， ∴对称轴为直线x ＝2， 设点P 坐标为（2，p ），则OP 2＝22+p 2＝4+p 2，BP 2＝（2+2）2+（p ﹣）2＝p 2﹣， ①若OP ＝OB ＝4，则4+p 2＝42解得：p 1＝p 2＝﹣当p ＝﹣POA ＝60°，即点P 、O 、B 在同一直线上，∴p≠﹣∴P （2，），②若BP ＝OB ＝4，则p 2﹣＝42解得：p 1＝p 2＝，∴P （2，）；③若OP ＝BP ，则4+p 2＝p 2﹣，解得：p ＝，∴P （2，）；综上所述，符合条件的点P 只有一个，坐标为（2，； （3）在OA 上取点K ，使AK ＝1，连接CK 交圆与点M ，连接OM 、CM ，此时，MC+12OM ＝MC+KM ＝CK 为最小值， 理由：∵AK ＝1，MA ＝2，OA ＝4， ∴AM 2＝AK•OA，而∠MAO ＝∠OAM ， ∴△AKM ∽△AMO ，∴KMOM ＝12，即：MC+12OM＝MC+KM＝CK，CK＝5，即：MC+12OM的最小值为CK＝5．【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，勾股定理和三角形相似，综合性较大24．米.【解析】【分析】作DH⊥BC于H．设AE=x．在Rt△ABC中，根据tan∠ABC= ACBC，构建方程即可解决问题；【详解】解：作DH⊥BC于H．设AE＝x．∵DH：BH＝1：3，在Rt△BDH中，DH2+（3DH）2＝6002，∴DH＝，BH＝，在Rt△ADE中，∵∠ADE＝45°，∴DE＝AE＝x，∵又HC＝ED，EC＝DH，∴HC＝x，EC＝，在Rt△ABC中，tan30︒=，∴x＝∴AC＝AE+EC＝答：山顶A到地面BC的高度AC是)米.【点睛】本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．解此题的关键是掌握数形结合思想与方程思想的应用．25．5【解析】【分析】原式利用算术平方根定义，负整数指数幂法则，以及绝对值的代数意义计算即可求出值．【详解】原式＝4+3﹣2＝5．【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1( )A B C D2．小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达．若设走路线一时的平均速度为x千米/小时，根据题意，得A. B.C. D.3．下列判断错误的是（）A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形B．四个内角都相等的四边形是矩形C．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形D．四条边都相等的四边形是菱形4．如图，四边形ABCD内接于圆O，AD∥BC，∠DAB＝48°，则∠AOC的度数是（）A．48°B．96°C．114°D．132°5．如图，长宽高分别为2，1，1的长方体木块上有一只小虫从顶点A出发沿着长方体的外表面爬到顶点B，则它爬行的最短路程是（）A B C．D．36．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且点C、D在AB的异侧，连结AD、OD、OC，若∠AOC=70°，且AD∥OC，则∠AOD的度数为（）A．35°B．40°C．60°D．70°7．如图，某底面为圆形的古塔剖面和山坡的剖面在同一平面上，古塔EF（F为塔底的中心）与地面BD垂直，古塔的底面直径CD＝8米，BC＝10米，斜坡AB＝26米，斜坡坡面AB的坡度i＝5：12，在坡脚的点A处测得古塔顶端点E的仰角∠GAE＝47°，则古塔EF的高度约（）（参考数据：sin47°≈0.73，c os47°≈0.68，tan47°≈1.07）A．27.74米B．30.66米C．35.51米D．40.66米8．如图，AB是⊙O的直径，点D为⊙O上一点，且∠ABD=30°，BO=4，则AD的长为（）A．3B．4C．D．89．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，DE∥BC，且交AB于点E，∠A＝60°，∠BDC＝86°，则∠BDE的度数为( )A．26°B．30°C．34°D．52°10．如图，正方形ABCD的边长为3厘米，正方形AEFG的边长为1厘米．如果正方形AEFG绕点A旋转，那么C，F两点之间的距离的最大值为( )A．cm B．3cm C．D．4cm11．从甲地到乙地，先是一段平路，然后是一段上坡路，小明骑车从甲地出发，到达乙地后立即返回甲地，途中休息了一段时间，假设小明骑车在平路、上坡、下坡时分别保持匀速前进，已知小明骑车上坡的速度比在平路上的速度每小时少5km，下坡的速度比在平路上的速度每小时多5km．设小明出发xh后，到达离甲地ykm的地方，图中的折线OABCDE表示y与x之间的函数关系．①小明骑车在平路上的速度为15km/h②小明途中休息了0.1h ；③小明从甲地去乙地来回过程中，两次经过距离甲地5.5km 的地方的时间间隔为0.15h 则以上说法中正确的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．312．某市测得一周PM2.5的日均值(单位：)如下：50，40，75，50，37，50，40，这组数据的中位数和众数分别是( ) A ．50和50 B ．50和40C ．40和50D ．40和40二、填空题13．在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为（1，0），P 是第一象限内任意一点，连接PO ，PA ，若∠POA ＝m°，∠PAO ＝n°，则我们把（m°，n°）叫做点P 的“双角坐标”．例如，点（1，1）的“双角坐标”为（45°，90°）．（1）点（12_____； （2）若点P 到x 轴的距离为12，则m+n 的最小值为_____． 14．小华将直角坐标系中的猫眼的图案向右平移了3个单位长度，平移前猫眼的坐标为（– 4，3）、（– 2，3），则移动后猫眼的坐标为__________。
中考体系-112.二次函数与动态几何2(最全,含答案)
二次函数与动态几何-2一、 点动 二、 线动 三、 形动三、 形动1. 【中】（2011河南省中考）【面积+形动】如图，在平面直角坐标系中，直线3342y x =-与抛物线214y x bx c =-++交于A B 、两点，点A 在x 轴上，点B 的横坐标为－8. ⑴求该抛物线的解析式；⑵点P 是直线AB 上方的抛物线上一动点（不与点A 、B 重合），过点P 作x 轴的垂线，垂足为C ，交直线AB 于点D ，作PE AB ⊥于点E.①设PDE △的周长为l ，点P 的横坐标为x ，求l 关于x 的函数关系式，并求出l 的最大值；②连接PA ，以PA 为边作图示一侧的正方形APFG .随着点P 的运动，正方形的大小、位置也随之改变.当顶点F 或G 恰好落在y 轴上时，直接写出对应的点P 的坐标.【答案】⑴对于3342y x =-，当0y =，2x =.当8x =-时，y =-152. ∴A 点坐标为20（，），B 点坐标为158,.2⎛⎫-- ⎪⎝⎭由抛物线214y x bx c =-++经过A 、B 两点，得012,15168.2b c b c =-++⎧⎪⎨-=--+⎪⎩[ 解得235135..42442b c y x x =-=∴=--+，⑵①设直线3342y x =-与y 轴交于点M当0x =时，y =32-. ∴OM =32.∵点A 的坐标为20（，），∴2OA =.∴AM =5.2∵345OM OAAM =：：∶：. 由题意得，PDE OMA ∠=∠，90AOM PED ∠=∠=︒，∴AOM PED △～△.∴345DE PE PD =：：∶： ∵点P 是直线AB 上方的抛物线上一动点，∴P D PD y y =-21353344242x x x ⎛⎫⎛⎫=--+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=213444x x --+ ∴212134542l x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭231848.555x x =--+23(3)15.315.5l x x l ∴=-++∴=-=最大时，②满足题意的点P 有三个，分别是12,,P P ⎫⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭3.P ⎝⎭2. 【中】（2012•衢州）【四边形+动直线】如图，把两个全等的Rt AOB △和Rt COD △分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB 、OD 在x 轴上．已知点A （1，2），过A 、C 两点的直线分别交x 轴、y 轴于点E 、F ．抛物线2y ax bx c =++经过O 、A 、C 三点． ⑴求该抛物线的函数解析式； ⑵点P 为线段OC 上一个动点，过点P 作y 轴的平行线交抛物线于点M ，交x 轴于点N ，问是否存在这样的点P ，使得四边形ABPM 为等腰梯形？若存在，求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．⑶若△AOB 沿AC 方向平移（点A 始终在线段AC 上，且不与点C 重合），△AOB 在平移过程中与△COD 重叠部分面积记为S ．试探究S 是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．【答案】解：⑴∵抛物线2y ax bx c =++经过点O 、A 、C ，可得0c =，∴2421a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得32a =-，72b =，∴抛物线解析式为23722y x x =-+．⑵设点P 的横坐标为t ，∵PN CD ∥，∴OPN OCD △∽△，可得2t PN = ∴2t P t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，∵点M 在抛物线上，∴23722M t t t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，． 如解答图1，过M 点作MG AB ⊥于G ，过P 点作PH AB ⊥于H ，223737222222A M AG y y t t t t ⎛⎫=-=--+=-+ ⎪⎝⎭，2t BH PN ==．当AG BH =时，四边形ABPM 为等腰梯形，∴2372222t t t -+=， 化简得23840t t +=﹣，解得12t =（不合题意，舍去），223t =， ∴点P 的坐标为2133⎛⎫⎪⎝⎭，∴存在点2133P ⎛⎫⎪⎝⎭，，使得四边形ABPM 为等腰梯形．⑶如解答图2，△AOB 沿AC 方向平移至AOB '''△，A B ''交x 轴于T ，交OC 于Q ，A O ''交x 轴于K ，交OC 于R ．求得过A 、C 的直线为3AC y x =-+，可设点A '的横坐标为a ，则点3A a a '+（，-）， 易知OQT OCD △∽△，可得2a QT =， ∴点Q 的坐标为2a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．解法一：设AB 与OC 相交于点J ，∵A RQ AOJ '△∽△，相似三角形对应高的比等于相似比，∴HT A QOB AJ'= ∴13212122a aA Q HT OB a AJ --'=⋅=⨯=--， ()11322KT A T a '==-，()33322a A Q yA yQ a a ''=-=-+-=-． 1122A KT A RQ RKTQ S S S KT A T A Q HT ''''=-=⋅-⋅△△四边形()()131********a a a a -⎛⎫=⋅⋅--⋅-⋅-+ ⎪⎝⎭22133133224228a a a ⎛⎫=-+-=--+ ⎪⎝⎭ 由于102-<，∴在线段AC 上存在点3322A ⎛⎫' ⎪⎝⎭，，能使重叠部分面积S 取到最大值，最大值为38． 解法二：过点R 作RH x ⊥轴于H ，则由ORH OCD △∽△，得12RH CD OH OD == ① 由RKH AO B '''△∽△，得12KH O B RH A B ''=='' ② 由①，②得14KH OH =，34OK OH =，34KT OT OK a OH ==-﹣ ③由A KT AO B ''''△∽△，得12KT O B A T A B ''=='''， 则32aKT -=④ 由③，④得3324a a OH -=-，即22OH a =﹣，1RH a =﹣，所以点R 的坐标为221R a a （﹣，﹣）1122QOTROKRKTQ S SSOT QT OK RH ==⋅⋅-⋅⋅四边形- ()111351122222a a a a ⎛⎫=⋅-+-⋅- ⎪⎝⎭22133133224228a a a ⎛⎫=-+-=--+ ⎪⎝⎭由于102-<，∴在线段AC 上存在点3322A ⎛⎫' ⎪⎝⎭，，能使重叠部分面积S 取到最大值，最大值为38． 解法三：∵2AB =，1OB =，∴1tan tan 2O A B OAB ∠'''=∠=， ∴113•tan 3222KT ATO A B a a ='∠'''=+⋅=-+（-）， ∴13332222OK OTKT a a a ⎛⎫==-+=- ⎪⎝⎭﹣-， 过点R 作RH x ⊥轴于H ，∵tan tan 2RHOAB RKH KH∠=∠==，∴2RH KH = 又∵1tan tan 2RH RH OAB ROH OH OK KH ∠=∠===+， ∴3312222RH OK KH a RH =+=-+，∴1RH a =-，21OH a =（-），∴点R 坐标221Ra a -（-，） ()1122A KT A RQ RKTQ S S S KT A T A Q xQ xR ''''==⋅⋅-⋅-△△四边形﹣()()131********a a a a -⎛⎫=⋅⋅--⋅-⋅-+ ⎪⎝⎭22133133224228a a a ⎛⎫=-+-=--+ ⎪⎝⎭ 由于102-<，∴在线段AC 上存在点3322A ⎛⎫' ⎪⎝⎭，，能使重叠部分面积S 取到最大值，最大值为38．解答图1解答图23. 【中】（2012四川达州）如图1，在直角坐标系中，已知点02A （，）、点20B （-，），过点B和线段OA 的中点C 作直线BC ，以线段BC 为边向上作正方形BCDE. ⑴填空：点D 的坐标为（ ），点E 的坐标为（ ）.⑵若抛物线2(0)y ax bx c a =++≠经过A 、D 、E 三点，求该抛物线的解析式. ⑶若正方形和抛物线均以每秒5个单位长度的速度沿射线BC 同时向上平移，直至正方形的顶点E落在y 轴上时，正方形和抛物线均停止运动.①在运动过程中，设正方形落在y 轴右侧部分的面积为s ，求s 关于平移时间t （秒）的函数关系式，并写出相应自变量t 的取值范围.②运动停止时，求抛物线的顶点坐标.【答案】解：⑴13D （-，），32E （-，）．⑵抛物线经过()02，、()13-，、()32-，，则 23932c a b c a b c =⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩，解得 12132a b c ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩．∴抛物线的解析式为213222y x x =--+OEDC BA y x备用图xyBC O O C Byx备用图⑶①求出端点的时间：当点D 运动到y 轴上时，如图1，111522DD DC BC ===，12t =．当点B 运动到y 轴上时，如图2，15BB BC ==，515t ==． 当点E 运动到y 轴上时，如图2，1153555EE ED DE =+=+=，32t =．当102t <≤时，如图4，正方形落在y 轴右侧部分的面积为△CC′F 的面积，设D′C′交y 轴于点F ．∵tan BCO ∠=2OBOC=，BCO FCC ∠=∠'， ∴tan 2FCC ∠'=，即2'FC CC '=． ∵5CC t '=，∴25FC t '=．D 1y xO ED CBA B 1A B CDEOxyE 1A B CD EO xyE′D′C′B′F O C By x∴211525522CC F S CC FC t t t '''=⋅=⨯=⋅△． 当112t <≤时，如图5，正方形落在y 轴右侧部分的面积为直角梯形CC D G ''的面积，设D E ''交y 轴于点G ，过G 作GH B C ⊥''于H ．∵5GH BC ==，∴1522CH GH ==．∵5CC t '=，∴552HC GD t '='=-． ∴155555524CC D G S t t t ''⎡⎤⎛⎫=-+⋅=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎭⎣⎦梯形 当312t <≤时，如图6，正方形落在y 轴右侧部分的面积为五边形B C D MN '''的面积，设D E ''、E B ''分别交y 轴于点M 、N ．∵5CC t '=，5B C ''=，∴55CB t '=22525B N CB t '='=-． ∵5B E ''3525E N B E B N t '='''=－． ∴()11352522E M E N t ''==．∴()()2114535253525515224MNE S t t t t ∆'=⋅=-+． 图5H G y xO BB′E′D′C′C O C′D′B′E′N MC By x图6∴()2224525551551544MNE B C D E B C D MN S S S t t t t ∆''''''''⎛⎫=-=--+=-+- ⎪⎝⎭正方形五边形．综上所述，S 与x 的函数关系式为： 221502515142253515142t t S t t t t t ⎧⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=-<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫-+-<⎪ ⎪⎝⎭⎩≤≤≤≤．②当点E 运动到点E′时，运动停止，如图7所示．∵90CB E BOC ∠''=∠=︒，BCO B CE ∠=∠''， ∴BOC E B C ''△∽△．∴OB BCB E E C='''． ∵2OB =，5B E BC ''==，∴55=． ∴52CE '=． ∴57122OE OC CE '=+'=+=．∴702E ⎛⎫' ⎪⎝⎭，．由点32E （-，）运动到点702E ⎛⎫' ⎪⎝⎭，，可知整条抛物线向右平移了3个单位，向上平移了32个单位． ∵22131325222228y x x x ⎛⎫=--+=-++ ⎪⎝⎭，∴原抛物线顶点坐标为32528⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴运动停止时，抛物线的顶点坐标为33728⎛⎫ ⎪⎝⎭，．4. 【中】（2012江苏宿迁）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线11:2l y x =与直线2:6l y x =-+相交于点M ，直线2l 与x 轴相交于点N ．⑴求M ，N 的坐标．图7OB′C′D′E′y xED CBA⑵矩形ABCD 中，已知1AB =，2BC =，边AB 在x 轴上，矩形ABCD 沿x 轴自左向右以每秒1个单位长度的速度移动，设矩形ABCD 与△OMN 的重叠部分的面积为S ，移动的时间为t （从点B 与点O 重合时开始计时，到点A 与点N 重合时计时开始结束）．直接写出S 与自变量t 之间的函数关系式（不需要给出解答过程）． ⑶在⑵的条件下，当t 为何值时，S 的值最大？并求出最大值．【答案】解：⑴解方程组126y xy x ⎧=⎪⎨⎪=-+⎩ ， 解得：42x y =⎧⎨=⎩ ， 则M 的坐标是：42（，）．在解析式6y x =-+中，令0y =，解得：6x =，则N 的坐标是：60（，）．⑵当01t ≤≤时，重合部分是一个三角形，OB t =，则高是12t ，则面积是2111224t t t ⨯⋅⋅=； 当14t ＜≤时，重合部分是直角梯形，梯形的高是1，下底是：12t ，上底是：()112t -，根据梯形的面积公式可以得到：11111[(1)]()22222S t t t =+-=-； 当45t ＜≤时，过M 作x 轴的垂线，则重合部分被垂线分成两个直角梯形，两个梯形的下底都是2，上底分别是：6t -+和()112t -，根据梯形的面积公式即可求得231349424S t t =-+- ；当56t ＜≤时，重合部分是直角梯形，与当14t ＜≤时，重合部分是直角梯形的计算方法相同，则72S t =-；当67t ＜≤时，重合部分是直角三角形，则与当0≤t≤1时，解法相同，可以求得21(7)2S t =-．则：2221(01)411()(14)2231349(45)42472(56)1(7)(67)2t t t t y t t t t t t t ⎧⎪⎪⎪-<⎪⎪⎪=-+-<⎨⎪-<⎪⎪⎪-<⎪⎪⎩≤≤≤≤≤≤ ⑶在01t ≤≤时，函数的最大值是：14； 当14t ＜≤，函数值y 随x 的增大而增大，则当4x =时，取得最大值是：1174224⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ； 当45t ＜≤时，是二次函数，对称轴133x =，则最大值是：231313134911432346⎛⎫-⨯+⨯-= ⎪⎝⎭ ； 当56t ＜≤时，函数y 随t 的增大而减小，因而函数值一定小于116； 同理，当67t ＜≤时，y 随t 的增大而减小，因而函数值小于116． 总之，函数的最大值是：116．5. 【中】（2010•兰州）如图1，已知矩形ABCD 的顶点A 与点O 重合，AD 、AB 分别在x轴、y 轴上，且2AD =，3AB =；抛物线2y x bx c =++﹣经过坐标原点O 和x 轴上另一点40E （，）⑴当x 取何值时，该抛物线取最大值？该抛物线的最大值是多少？⑵将矩形ABCD 以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x 轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P 也以相同的速度从点A 出发向B 匀速移动．设它们运动的时间为t 秒03t （≤≤），直线AB 与该抛物线的交点为N （如图2所示）． ①当114t =时，判断点P 是否在直线ME 上，并说明理由；②以P 、N 、C 、D 为顶点的多边形面积是否可能为5？若有可能，求出此时N 点的坐标；若无可能，请说明理由．【答案】解：⑴因抛物线2y x bx c =++-经过坐标原点00O （，）和点40E （，），故可得0c =，4b =，所以抛物线的解析式为24y x x =-+，由24y x x =-+，224y x =--+（）， 得当2x =时，该抛物线的最大值是4；⑵①点P 不在直线ME 上；已知M 点的坐标为()24，，E 点的坐标为()40，， 设直线ME 的关系式为y kx b =+； 于是得，4024k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得28k b =-⎧⎨=⎩ 所以直线ME 的关系式为28y x =-+；由已知条件易得，当114t =时，114OA AP ==，111144P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∵P 点的坐标不满足直线ME 的关系式28y x =-+；∴当114t =时，点P 不在直线ME 上； ②以P 、N 、C 、D 为顶点的多边形面积可能为5 ∵点A 在x 轴的非负半轴上，且N 在抛物线上， ∴OA AP t ==；∴点P 、N 的坐标分别为t t （，）、24t t t +（，-）∴2403AN t t t =-+（≤≤）， ∴224330AN AP t t t t t t t =+=-+=﹣（-）-（﹣）≥， ∴23PN t t =-+（ⅰ）当0PN =，即0t =或3t =时，以点P ，N ，C ，D 为顶点的多边形是三角形，此三角形的高为AD ，∴1132322S DC AD =⋅=⨯⨯=；（ⅱ）当0PN ≠时，以点P ，N ，C ，D 为顶点的多边形是四边形 ∵PN CD ∥，AD CD ⊥，∴()()22113323322S CD PN AD t t t t ⎡⎤=+⋅=+-+⨯=-++⎣⎦ 当2335t t ++=-时，解得1t =、2而1、2都在03t ≤≤范围内，故以P 、N 、C 、D 为顶点的多边形面积为5 综上所述，当1t =、2时，以点P ，N ，C ，D 为顶点的多边形面积为5，当1t =时，此时N 点的坐标13（，） 当2t =时，此时N 点的坐标24（，）．6. 【中】（2011天水）在梯形OABC 中，CB OA ∥，60AOC ∠=︒，90OAB ∠=︒，2OC =，4BC =，以点O 为原点，OA 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，另有一边长为2的等边DEF △，DE 在x 轴上（如图左），如果让DEF △以每秒1个单位的速度向左作匀速直线运动，开始时点D 与点A 重合，当点D 到达坐标原点时运动停止．⑴设DEF △运动时间为t ，DEF △与梯形OABC 重叠部分的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式． ⑵探究：在DEF △运动过程中，如果射线DF 交经过O 、C 、B 三点的抛物线于点G ，是否存在这样的时刻t ，使得OAG △的面积与梯形OABC 的面积相等？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】解：⑴依题意得5OA =，当01t <≤时，2s ，当12t <≤时，)222s t -=+当25t ≤≤时，s =⑵存在．依题意，得(1C ，(5B ，抛物线对称轴为3x =，抛物线与x 轴两交点坐标为()00O ，，()60，， 设抛物线解析式为()6y ax x =-，将C 点坐标代入，得a =，∴()26y x =-=，由C 点坐标可知，直线OC 解析式为y =， ∵DF OC ∥，∴设直线DF 解析式为y k =+，将()50D t -，代入得)5k t =-，∴直线):5DF y t =-，设OAG △的OA 边上高为h ，由OAG OABC S S =△梯形，得 ()1154522h ⨯⨯=⨯+，解得h =，将y ()6y x =-中，得3x =，∴3G ⎛ ⎝⎭，代入直线):5DF Y t =-中，得 3.8t =， ∵05t ≤≤， ∴存在， 3.8t =．7. 【中】（2010辽宁沈阳）如图1，在平面直角坐标系中，拋物线2y ax c =+与x 轴正半轴交于点(160)F ，、与y 轴正半轴交于点(016)E ，，边长为16的正方形ABCD 的顶点D 与原点O 重合，顶点A 与点E 重合，顶点C 与点F 重合； (1)求拋物线的函数表达式；⑵如图2，若正方形ABCD 在平面内运动，并且边BC 所在的直线始终与x 轴垂直，抛物线始终与边AB 交于点P 且同时与边CD 交于点Q (运动时，点P 不与A 、B 两点重合，点Q 不与C 、D 两点重合)．设点A 的坐标为()m n ， ()0m >．当PO PF =时，分别求出点P 和点Q 的坐标；在 的基础上，当正方形ABCD 左右平移时，请直接写出m 的取值范围；●当7n =时，是否存在m 的值使点P 为AB 边中点．若存在，请求出m 的值；若不存在，请说明理由．【答案】解：(1) 由拋物线2y ax c =+经过点(016)E ，、(160)F ， 得：201616a c c ⎧=+⎨=⎩，解得a =-116，16c =，∴y =-211616x +； ⑵ 过点P 做PG x ⊥轴于点G ，∵PO PF =，∴OG FG =，∵()160F ，，∴16OF =， ∴OG =12OF =11682⨯=，即P 点的横坐标为8，∵P 点在拋物线上， ∴y =-218161216⨯+=，即P 点的纵坐标为12，∴(812)P ，， ∵P 点的纵坐标为12，正方形ABCD 边长是16，∴Q 点的纵坐标为4-，∵Q 点在拋物线上，∴2141616x -=-+，∴1x =，2x =- ∵0m >，∴28x =-(舍去)，∴8x=，∴()4Q -；168m <<； ● 不存在；理由：当7n =时，则P 点的纵坐标为7，∵P 点在拋物线上，∴2171616x =-+， ∴112x =，212x =-，∵0m >，∴212x =-(舍去)，∴12x =，∴P 点坐标为(127)，， ∵P 为AB 中点，∴AP =128AB =，∴点A 的坐标是(47)，，∴4m =， 又∵正方形ABCD 边长是16，∴点B 的坐标是(207)，， 点C 的坐标是(209)-，，∴点Q 的纵坐标为9-，∵Q 点在拋物线上， ∴2191616x -=-+，∴120x =，220x =-，∵0m >，∴220x =-(舍去)，20x =， ∴Q 点坐标(209)-，，∴点Q 与点C 重合，这与已知点Q 不与点C 重合矛盾，∴当7n =时，不存在这样的m 值使P 为AB 边的中点．8. 【难】（2013石景山一模）如图，把两个全等的Rt AOB △和Rt ECD △v 分别置于平面直角坐标系xOy 中，使点E 与点B 重合，直角边OB 、BC 在y 轴上．已知点D (4，2)，过A 、D 两点的直线交y 轴于点F ．若△ECD 沿DA个单位长度的速度匀速平移，设平移的时间为t （秒），记△ECD 在平移过程中某时刻为E C D '''△，E D ''与AB 交于点M ，与y 轴交于点N ，C D ''与AB 交于点Q ，与y 轴交于点P (注：平移过程中，点D '始终在线段DA 上，且不与点A 重合). ⑴求直线AD 的函数解析式；⑵试探究在ECD △平移过程中，四边形MNPQ 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及t 的取值；若不存在，请说明理由；⑶以MN 为边，在E D ''的下方作正方形MNRH ，求正方形MNRH 与坐标轴有两个公共点时t 的取值范围．【答案】⑴由题意()2.0A由()4,2D ，可得直线AD 解析式：2y x =-由(04)B ，， 可得直线AB 解析式：24y x =-+，直线BD 解析式：142y x =-+，()12J ，.⑵在△ECD 平移t 秒时，由45CDF ∠=︒，可得()425D t '--，，N （3042t -，） 设直线E D ''解析式为：13422y x t =-+-可得()42M t t -，， Q （222t t +-，），P （02t -，） 由MQD BJD '△∽△，得'23323MQD BJDt S S ⎛⎫- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭△△，可得 MQD S '△213(1)2t =-E C PN S ''梯形2111(22)2224t t t t =+-=-+E C D MQD MNPQ E C PN S S S S ''''''=--△△四边形梯形2211213(1)22t t t =-++=--+∴当1t =时，S =最大32⑶当点H 在x 轴上时，有()42M t t -，横纵坐标相等 即42t t =- ∴43t =∴403t <<.9. 【难】（动态几何）（乐山市2013年高中阶段教育学校招生统一考试数学）如图1，已知抛物线C 经过原点，对称轴3x =-与抛物线相交于第三象限的点M ，与x 轴相交于点N ，且tan 3MON =∠． ⑴ 求抛物线C 的解析式；⑵ 将抛物线C 绕原点O 旋转180°得到抛物线C '，抛物线C '与x 轴的另一交点为A ，B 为抛物线C '上横坐标为2的点．①若P 为线段AB 上一动点，PD y ⊥轴于点D ，求APD △面积的最大值；②过线段OA 上的两点E 、F 分别作x 轴的垂线，交折线O B --A 于点1E 、1F ，再分别以线段1EE 、1FF 为边作如图2所示的等边12EE E △、等边32FF F △．点E 以每秒1个单位长度的速度从点O 向点A 运动，点F 以每秒1个单位长度的速度从点A 向点O 运动，当12EE E △有一边与12FF F △的某一边在同一直线上时，求时间t 的值．图1 图2【答案】⑴ ∵对称轴MN 的解析式为3x =-，∴3ON =，∵tan 3MON =∠，∴9MN =，∴()39M --，，∴设抛物线C 的解析式为()239y a x =+-，∵抛物线C 经过原点，∴()20039a =+-，解得1a =， ∴抛物线C 的解析式为()239y x =+-，即26y x x =+； ⑵ ①∵将抛物线C 绕原点O 旋转180︒得到抛物线C '， ∴抛物线C 与抛物线C '关于原点O 对称， ∴抛物线C '的解析式为26y x x =-+， ∵当0y =时，0x =或6， ∴点A 的坐标为()60，，∵点B 在抛物线C '上，且其横坐标为2， ∴22628y =-+⨯=，即点B 的坐标为()28，。
2019年全国各地中考数学试题分类汇编(第二期) ：动态问题(pdf解析版)
动态问题一.选择题1 .（2019•四川自贡•4 分）如图，已知 A、B 两点的坐标分别为（8，0）、（0，8），点 C、F 分别是直线 x＝﹣5 和 x 轴上的动点，CF＝10，点 D 是线段 CF 的中点，连接 AD 交 y轴于点 E，当△ ABE 面积取得最小值时，tan∠BAD 的值是（）A．B．C．D．【分析】如图，设直线 x＝﹣5 交 x 轴于 K．由题意 KD＝CF＝5，推出点 D 的运动轨迹是以 K 为圆心，5 为半径的圆，推出当直线 AD 与⊙K 相切时，△ ABE 的面积最小，作 EH⊥AB 于 H．求出 EH，AH 即可解决问题．【解答】解：如图，设直线 x＝﹣5 交 x 轴于 K．由题意 KD＝CF＝5，∴∴∵∴∵∴点 D 的运动轨迹是以 K 为圆心，5 为半径的圆，当直线 AD 与⊙K 相切时，△ ABE 的面积最小，AD 是切线，点 D 是切点，AD⊥KD，AK＝13，DK＝5，AD＝12，∵tan∠EAO＝＝，∴ ∴ ∴ ＝ OE ＝ AE ＝，，＝ ， 作 EH ⊥AB 于 H ．∵ ∴ ∴ S △ ABE ＝ •AB•EH ＝S △ AOB ﹣S △ AOE，EH ＝AH ＝ ， ＝ ，∴ tan ∠BAD ＝ ＝ ＝ ，故选：A ．点评】本题考查解直角三角形，坐标与图形的性质，直线与圆的位置关系，三角形的 【 面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 2 .（2019•天津•3分）如图，将△ABC 绕点C 顺时针旋转得到△DEC ，使点A 的对应点D 恰好落在 边AB 上，点B 的对应点为E ，连接BE ，下列结论一定正确的是A.AC=ADB.AB ⊥EBC. BC=DED.∠A=∠EBC【 【答案】D解析】由旋转性质可知，AC=CD ，AC ≠AD ，∴A 错 由旋转性质可知，BC=EC ，BC ≠DE ，∴C 错由旋转性质可知，∠ACB=∠DCE ，∵∠ACB=∠ACD+∠DCB ，∠DCE=∠ECB+∠DCB ∴∠ACD=∠ECB ，AC=CD ，BC=CE ，∴∠A=∠CDA=1 （180°-∠ECB ），∠EBC=∠CEB= （180°-∠ 1 ∵ 2 2ECB ），∴ D 正确，由于由题意无法得到∠ABE=90°，∴B 选项错误. 故选D 。
2019中考数学二轮专题复习几何综合问题附答案安徽省
专题林I |几何综合问题1. （2018?I河南）如图1，点F从菱形ABC的顶点A出发，沿
序号)9 . (2018 ?合肥期中)如图,长方形
限内 (1)写出点［B 的坐标，并求长方形〕OAB
A
方形的边的交点，，求点丨丨D |的坐标.丨|解：丨
(1) V A(6,o) I d C(QJ10)
OA^| 6Id O C=
过点F 作FF 丄BC 于 P ，则四边形FP 囘是矩形，
8 x 8 1
2 8 图,将等腰直角三角形纸片 ABC 对折，折痕为
F 点为M,设CD 与〕Eh 交于点|P.，连
接I PF.I 已知BC 4.（1）若M 为A C 的中点，求CF
的长」（2）「随 着点M 在边AC 上取不同的位置，
CM= 12AC A 12BC = 2，由折叠的性质可知， R △ CFM 中,I F M2=|C |F2|+ CM2,即卩 |(4—] x)2
生变化，理由如下：由折叠的性质可知，
①厶P =M 的形
状是否发生变化？〔请说明理由；②求 △ P F M
的
周长的取值范围.〔
解：1（1）•・• M 为I AC
FB = FM 设 CF = ,则 FB = FM= 4 —
=X2 + 22,解得，
32，即 CF =I 32； ⑵①△ P FM 勺形状是等腰直角 三角形，不会发
/ PMF = /B = 45°,・・・ CD 是中垂线，
°, / = ・•・/ = /
/ MPC = / MFC •・[/ PCM= / OCF = 45°
O C OF ・・・|O MP =〕OC O F I POF =| / MoC
△ PF M 是等腰直角三角形P FM 是等。
中考数学专题：《动态动点几何问题》带答案
《动态几何问题》专题突破训练（附答案）1．如图，在直角三角形ABC 中，∠ACB =90°，AB =5cm ，BC =4cm ．动点P 从点A 出发，沿线段AB 向终点B 以5cm /s 的速度运动，同时动点Q 从点A 出发沿射线AC 以5cm /s 的速度运动，当点P 到达终点时，点Q 也随之停止运动；连接PQ ，设∠APQ 与∠ABC 重叠部分图形的面积为S （cm 2），点P 运动的时间为t （s ）（t ＞0）．（1）直接写出AC = cm ；（2）当点A 关于直线PQ 的对称点A '落在线段BC 上时，求t 的值；（3）求S 与t 之间的函数关系式；（4）若M 是PQ 的中点，N 是AB 的中点，当MN 与BC 平行时，t = ；当MN 与AB 垂直时，t = ．2．如图，矩形ABCD 中，P 是边AD 上的一动点，联结BP 、CP ，过点B 作射线交线段CP 的延长线于点E ，交边AD 于点M ，且使得ABE CBP =∠∠，如果2AB =，5BC =，AP x =，PM y =（1）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（2）当4AP =时，求 tan EBP ∠；（3）如果EBC ∆是以EBC ∠为底角的等腰三角形，求AP 的长A-，点3．如图，平行四边形ABCO位于直角坐标系中，O为坐标原点，点(8,0)()C BC交y轴于点.D动点E从点D出发，沿DB方向以每秒1个单位长度的速度3,4终点B运动，同时动点F从点O出发，沿射线OA的方向以每秒2个单位长度的速度运动，当点E运动到点B时，点F随之停止运动，运动时间为t（秒）．（1）用t的代数式表示：BE=________，OF=________（2）若以A，B，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．（3）当BEF恰好是等腰三角形时，求t的值．4．在∠ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作∠ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE为多少？说明理由；（2）设∠BAC=α，∠BCE=β．①如图2，当点D在线段BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由；②当点D在直线BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论，不需证明．5．问题情境：如图1，已知正方形ABCD与正方形CEFG，B、C、G在一条直线上，M是AF的中点，连接DM，EM．探究DM，EM的数量关系与位置关系．小明的思路是：小明发现AD//EF，所以通过延长ME交AD于点H，构造∠EFM和∠HAM全等，进而可得∠DEH是等腰直角三角形，从而使问题得到解决，请你参考小明同学的思路，探究并解决下列问题：（1）猜想图1中DM、EM的数量关系，位置关系．（2）如图2，把图1中的正方形CEFG绕点C旋转180°，此时点E在线段DC的延长线上，点G落在线段BC上，其他条件不变，（1）中结论是否成立？请说明理由；（3）我们可以猜想，把图1中的正方形CEFG绕点C旋转任意角度，如图3，（1）中的结论（“成立”或“不成立”）拓展应用：将图1中的正方形CEFG绕点C旋转，使D，E，F三点在一条直线上，若AB＝13，CE＝5，请画出图形，并直接写出MF的长．6．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，点P 是抛物线上一动点，连接PB，PC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，当点P在直线BC上方时，过点P作PD上x轴于点D，交直线BC于点E．若PE＝2ED，求∠PBC的面积；（3）抛物线上存在一点P，使∠PBC是以BC为直角边的直角三角形，求点P的坐标．7．如图，已知ABC 和ADE 均为等腰三角形，AC ＝BC ，DE ＝AE ，将这两个三角形放置在一起．（1）问题发现：如图①，当60ACB AED ∠∠︒＝＝时，点B 、D 、E 在同一直线上，连接CE ，则CEB ∠＝ °，线段BD 、CE 之间的数量关系是 ；（2）拓展探究：如图②，当90ACB AED ∠∠︒＝＝时，点B 、D 、E 在同一直线上，连接CE ，请判断CEB ∠的度数及线段BD 、CE 之间的数量关系，并说明理由；（3）解决问题：如图③，90ACB AED ∠∠︒＝＝，AC ＝AE ＝2，连接CE 、BD ，在AED 绕点A 旋转的过程中，当DE BD ⊥时，请直接写出EC 的长．8．如图，∠O 的半径为5，弦BC ＝6，A 为BC 所对优弧上一动点，∠ABC 的外角平分线AP 交∠O 于点P ，直线AP 与直线BC 交于点E ．（1）如图1，①求证：点P 为BAC 的中点；②求sin∠BAC 的值；（2）如图2，若点A 为PC 的中点，求CE 的长；（3）若∠ABC 为非锐角三角形，求PA •AE 的最大值．9．如图1，已知∠ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝6，点D 在AB 边的延长线上，且CD ＝AB ．（1）求BD 的长度；（2）如图2，将∠ACD 绕点C 逆时针旋转α（0°＜α＜360°）得到∠A'CD'．①若α＝30°，A'D'与CD 相交于点E ，求DE 的长度；②连接A'D 、BD'，若旋转过程中A'D ＝BD'时，求满足条件的α的度数．（3）如图3，将∠ACD 绕点C 逆时针旋转α（0°＜α＜360°）得到∠A'CD'，若点M 为AC 的中点，点N 为线段A'D'上任意一点，直接写出旋转过程中线段MN 长度的取值范围．10．如图，P 是等边ABC 内的一点，且5PA =，4PB =，3PC =，将APB △绕点B 逆时针旋转，得到CQB △．（1）求点P 与点Q 之间的距离；（2）求BPC ∠的度数；（3）求ABC 的面积ABC S．11．如图，在矩形ABCD 中，6AB cm =，8BC cm =，如果点E 由点B 出发沿BC 方向向点C 匀速运动，同时点F 由点D 出发沿DA 方向向点A 匀速运动，它们的速度分别为2/cm s 和1/cm s ，FQ BC ⊥，分别交AC ，BC 于点P 和Q ，设运动时间为()04ts t <<．（1）连接EF ，若运动时间t =_______s 时，EF =；（2）连接EP ，当EPC 的面积为23cm 时，求t 的值；（3）若EQP ADC ∽△△，求t 的值．12．如图，边长为ABCD 中，P 是对角线AC 上的一个动点（点P 与A 、C 不重合），连接BP ，将BP 绕点B 顺时针旋转90°得到BQ ，连接QP ，QP 与BC 交于点E ，其延长线与AD （或AD 延长线）交于点F ．（1）连接CQ ，证明：CQ AP =；（2）设AP x =，CE y =，试写出y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）试问当P 点运动到何处时，PB PE +的值最小，并求出此时CE 的长．（画出图形，直接写出答案即可）13．已知：O 是ABC ∆的外接圆，且,60,AB BC ABC D =∠=︒为O 上一动点． （1）如图1，若点D 是AB 的中点，求DBA ∠的度数．（2）过点B 作直线AD 的垂线，垂足为点E ．①如图2，若点D 在AB 上．求证CD DE AE =+．②若点D 在AC 上，当它从点A 向点C 运动且满足CD DE AE =+时，求ABD ∠的最大值．14．抛物线239344y x x =--与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．线段OA 上有一动点P (不与O A 、重合)，过点P 作y 轴的平行线交直线AB 于点C ，交抛物线于点M （1）求直线AB 的解析式；（2）点N 为线段AB 下方抛物线上一动点，点D 是线段AB 上一动点；①若四边形CMND 是平行四边形，证明：点M N 、横坐标之和为定值；②在点P N D 、、运动过程中，平行四边形CMND 的周长是否存在最大值？若存在，求出此时点D 的坐标，若不存在，说明理由15．如图，在平面直角坐标系中，点C 在x 轴上，90,10cm,6cm OCD D AO OC CD ︒∠=∠====．（1）请求出点A 的坐标．（2）如图（2），动点P Q 、以每秒1cm 的速度分别从点O 和点C 同时出发，点P 沿OA AD DC 、、运动到点C 停止，点Q 沿CO 运动到点O 停止，设P Q 、同时出发t 秒． ①是否存在某个时间t （秒），使得OPQ △为直角三角形？若存在，请求出值；若不存在，请说明理由．②若记POQ △的面积为()2cm y ，求()2cm y 关于t （秒）的函数关系式． 16．已知，点O 是等边ABC 内的任一点，连接OA ，OB ，OC ．（∠）如图1所示，已知150AOB ∠=︒，120BOC ∠=︒，将BOC 绕点C 按顺时针方向旋转60︒得ADC ．①求DAO ∠的度数：②用等式表示线段OA ，OB ，OC 之间的数量关系，并证明；（∠）设AOB α∠=，BOC β∠=．①当α，β满足什么关系时，OA OB OC ++有最小值？并说明理由；②若等边ABC 的边长为1，请你直接写出OA OB OC ++的最小值．17．如图，在正方形ABCD 中，AB =4，动点P 从点A 出发，以每秒2个单位的速度，沿线段AB 方向匀速运动，到达点B 停止．连接DP 交AC 于点E ，以DP 为直径作∠O 交AC 于点F ，连接DF 、PF ．（1）则∠DPF 是 三角形；（2）若点P 的运动时间t 秒．①当t 为何值时，点E 恰好为AC 的一个三等分点；②将∠EFP 沿PF 翻折，得到∠QFP ，当点Q 恰好落在BC 上时，求t 的值．18．已知四边形ABCD 为矩形，对角线AC 、BD 相交于点O ，AD AO =．点E 、F 为矩形边上的两个动点，且60EOF ∠=︒．（1）如图1，当点E 、F 分别位于AB 、AD 边上时，若75OEB ∠=︒，求证：AD BE =；（2）如图2，当点E 、F 同时位于AB 边上时，若75OFB ∠=︒，试说明AF 与BE 的数量关系；（3）如图3，当点E 、F 同时在AB 边上运动时，将OEF 沿OE 所在直线翻折至OEP ，取线段CB 的中点Q ．连接PQ ，若()20AD a a =>，则当PQ 最短时，求PF 之长．19．如图，在∠ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，点D为AB上的点，且BD＝34AB，如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向终点C运动，同时，点Q在线段CA上由C点向终点A运动．当一点到达终点时，另一点也随之停止运动．（1）如（图一）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，∠BPD与∠CQP是否全等，请说明理由．（2）如（图二）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等（点P不与点B和点C重合），连接点A与点P，连接点B与点Q，并且线段AP，BQ相交于点F，求∠AFQ的度数．（3）若点Q的运动速度为6cm/s，当点Q运动几秒后，可得到等边∠CQP？20．如图，Rt∠ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．（1）若∠BPQ与∠ABC相似，求t的值；（2）试探究t为何值时，∠BPQ是等腰三角形；（3）试探究t为何值时，CP＝CQ；（4）连接AQ，CP，若AQ∠CP，求t的值．21．如图1，在正方形ABCD 中，4AB m =，点P 从点D 出发，沿DA 向点A 匀速运动，速度是1/cm s ，同时，点Q 从点A 出发，沿AB 方向，向点B 匀速运动，速度是2/cm s ，连接PQ 、CP 、CQ ，设运动时间为()(02)t s t <<．()1是否存在某一时刻，使得//PQ BD 若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由； ()2设PQC △的面积为()2S cm ，求S 与t 之间的函数关系式；()3如图2，连接AC ，与线段PQ 相交于点M ，是否存在某一时刻t ，使QCM S ：4PCM S =：5？若存在，直接写t 的值；若不存在，说明理由．22．如图，在 RtΔABC 中，∠C=90°，BC=5cm ，tanA 512=．点 M 在边 AB 上，以 2 cm/s 的速度 由点B 出发沿BA 向点A 匀速运动；同时点N 在边AC 上，以1 cm/s 的速度由A 出发沿AC 向点C 匀速运动．当点M 到达A 点时，点M ，N 同时停止运动．连接MN ，设点M 运动的时间为t (单位：s)．（1）求AB 的长；（2）当t 为何值时，ΔAMN 的面积为∠ABC 面积的326； （3）是否存在时间t ，使得以A ，M ，N 为顶点的三角形与ΔABC 相似？若存在，求出时间t 的值；若不存在，请说明理由．23．如图，抛物线y ＝ax 2+bx+3与x 轴交于A ，B 两点，且点B 的坐标为(2，0)，与y 轴交于点C ，抛物线对称轴为直线x 12=-．连接AC ，BC ，点P 是抛物线上在第二象限内的一个动点．过点P 作x 轴的垂线PH ，垂足为点H ，交AC 于点Q ．过点P 作PG∠AC 于点G ． （1）求抛物线的解析式．（2）求PQG 周长的最大值及此时点P 的坐标．（3）在点P 运动的过程中，是否存在这样的点Q ，使得以B ，C ，Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请写出此时点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．24．如图，直线1:1l y kx =+与x 轴交于点D ，直线2:l y x b =-+与x 轴交于点A ，且经过定点(1,5)B -，直线1l 与2l 交于点(2,)C m ．（1）求k 、b 和m 的值；（2）求ADC ∆的面积；（3）在x 轴上是否存在一点E ，使BCE ∆的周长最短？若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由；（4）若动点P 在线段DA 上从点D 开始以每秒1个单位的速度向点A 运动，设点P 的运动时间为t 秒．是否存在t 的值，使ACP ∆为等腰三角形？若存在，直接写出t 的值；若不存在，清说明理由．25．如图，已知抛物线2()30y ax bx a =++≠与x 轴交于点(1,0)A 和点(3,0)B -，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使CMP ∆为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）作直线BC ，若点(,0)D d 是线段BM 上的一个动点（不与B 、M 重合），过点D 作x 轴的垂线交抛物线于点F ，交BC 于点E ，当BDE CEF S S ∆∆=时，求d 的值．26．正方形ABCD 和等腰Rt DEF △共顶点D ，90DEF ∠=︒，DE EF =，将DEF 绕点D 逆时针旋转一周．（1）如图1，当点F 与点C 重合时，若2AD =，求AE 的长；（2）如图2，M 为BF 中点，连接AM 、ME ，探究AM 、ME 的关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）条件下，连接DM 并延长交BC 于点Q ，若22AD DE ==，在旋转过程中，CQ 的最小值为_________．27．综合与探究 如图，抛物线245y x bx c =++经过点()0,4A ，()10B ,，与x 轴交于另一点C （点C 在点B 的右侧），点()P m n ,是第四象限内抛物线上的动点．（1）求抛物线的函数解析式及点C 的坐标；（2）若APC △的面积为S ，请直接写出S 关于m 的函数关系表达式，并求出当m 的值为多少时，S 的值最大？最大值为多少？（3）是否存在点P ，使得PCO ACB ∠=∠？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．28．某学校活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程： 操作发现：（1）如图1，分别以AB 和AC 为边向∠ABC 外侧作等边∠ABD 和等边∠ACE ，连接BE ､CD ，请你完成作图并证明BE =CD ．（要求：尺规作图，不写作法但保留作图痕迹）类比探究：（2）如图2，分别以AB 和AC 为边向∠ABC 外侧作正方形ABDE 和正方形ACFG ，连接CE ､BG ，则线段CE ､BG 有什么关系？说明理由．灵活运用：（3）如图3，在四边形ABCD 中，AC 、BD 是对角线，AB =BC ，∠ABC =60°，∠ADC =30°，AD =3，BD =5，求CD 的长．参考答案1．（1）3；（2）38t =；（3）当305t <≤时，210S t =；当315t <≤时，215309S t t =-+-；（4）38；58．2．（1）4y x x =-．定义域为25x <≤；（2）34；（3）4或53+ 3．（1）5－t ，2t ；（2）3t =或133t =；（3）53t =或910t = 4．（1）90°；（2）①α＋β＝180°；②点D 在直线BC 上移动，α＋β＝180°或α＝β．5．（1）DM∠EM ，DM ＝ME ；（2）结论成立；（3）成立；拓展应用： 6．（1）y ＝﹣x 2+2x +3；（2）3；（3）点P 的坐标为（1，4）或（﹣2，﹣5）7．（1）60BD CE ，＝；（2）45CEB BD ∠︒＝，；（3）CE 的长为或48．（1）①证明；②3sin 5BAC ∠=；（2）CE =；（3）80.9．（1）﹣（2）；②45°或225°；（3）﹣＋310．（1）4PQ =；（2）150BPC ∠=︒；（3）9ABC S =． 11．（1）23；（2）2；（3）212．（1）见解析；（2）2(06)y x x =+<<；（3）P 位置如图所示，此时PB PE +的值最小，6CE =-13．（1）30DBA ∠=；（2）①；②当点D 运动到点I 时ABI ∠取得最大值，此时30ABD ∠=．14．（1）334y x =-；（2）①证明；②存在；点D 的坐标为111111,,3434⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；． 15．（1）(8,6)A ．（2）①存在，40 s 9t =或者50 s 9t =．②233(010)10S t t t =-+<<． 16．（1）①90°；②线段OA ，OB ，OC 之间的数量关系是OA 2+OB 2=OC 2，证明；（2）①当α=β=120°时，OA+OB+OC 有最小值．证明；②线段OA+OB+OC17．(1)等腰直角;(2)①当t 为1时，点E 恰好为AC 的一个三等分点；．18．（1）证明；（2）2AF BE =；（3）.2FP a =19．（1）BPD CQP ≌；（2）60︒（3）4320．（1）1或3241；（2）23或89或6457；（3）329-；（4）78． 21．()1存在，43t =；()2228(02)S t t t =-+<<；()3存在，1t = 22．（1）13cm ；（2）t=2或92s ；（3）存在，15637t =或16938t =s23．（1）y 12=-x 212-x+3；（2）)9108，P(32-，218)；（3）存在，Q 1(，+3)，Q 2(﹣1，2)24．（1）12k =，4b =，2m =；（2）6；（3存在，8(7E ，0)；（4）存在，6-4或2．25．（1）223y x x =--+；（2）存在，P (-或(1,-或(1,6)-或5(1,)3-；（3）d =26．（1）AE =（2）AM ME =，AM ME ⊥；（3）227．（1）2424455x x y -+=；点C 的坐标为（5，0）；（2）当m ＝52时，S 的值最大，最大值为252；（3）存在点P ，使得使得∠PCO ＝∠ACB ．点P 的坐标为（2，－125）. 28．（1）；（2）CE=BG ；（3）CD=4。
2019中考数学复习专题过关试卷复习卷：几何图形的动态问题精编(含解析)
几何图形的动态问题精编1.如图，平行四边形ABCD中，AB= cm，BC=2cm，∠ABC=45°，点P从点B出发，以1cm/s的速度沿折线BC→CD→DA运动，到达点A为止，设运动时间为t(s)，△ABP的面积为S(cm2)，则S与t的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】：分三种情况讨论：①当0≤t≤2时，过A作AE⊥BC于E．∵∠B=45°，∴△ABE是等腰直角三角形．∵AB= ，∴AE=1，∴S= BP×AE= ×t×1= t；②当2＜t≤ 时，S= = ×2×1=1；③当＜t≤ 时，S= AP×AE= ×（-t）×1= （-t）．故答案为：A．【分析】根据题意分三种情况讨论：①当0≤t≤2时，过A作AE⊥BC于E；②当2＜t≤ 2 +时；③当 2 + ＜t≤ 4 +时，分别求出S与t的函数解析式，再根据各选项作出判断，即可得出答案。
2.如图，边长为a的菱形ABCD中,∠DAB=60°,E是异于A、D两点的动点,F是CD上的动点,满足AE+CF=a,△BEF的周长最小值是( )A. B.C.D.【答案】B【解析】：连接BD∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，∵∠DAB=60°，∴△ABD是等边三角形，∴AB=DB，∠BDF=60°∴∠A=∠BDF又∵AE+CF=a，∴AE=DF，在△ABE和△DBF中，∴△ABE≌△DBF（SAS），∴BE=BF，∠ABE=∠DBF，∴∠EBF=∠ABD=60°，∴△BEF是等边三角形．∵E是异于A、D两点的动点,F是CD上的动点,要使△BEF的周长最小，就是要使它的边长最短∴当BE⊥AD时，BE最短在Rt△ABE中，BE==∴△BEF的周长为【分析】根据等边三角形的性质及菱形的性质，证明∠A=∠BDF，AE=DF，AB=AD，就可证明△ABE≌△DBF，根据全等三角形的性质，可证得BE=BF，∠ABE=∠DBF，再证明△BEF是等边三角形，然后根据垂线段最短，可得出当BE⊥AD时，BE最短，利用勾股定理求出BE的长，即可求出△BEF的周长。
江苏省徐州市2019年中考数学试题研究 几何图形中的动态问题练习
几何图形中的动态问题★1。
如图，在矩形ABCD中，点E在BC边上，动点P以2厘米/秒的速度从点A出发，沿△AED的边按照A→E→D→A的顺序运动一周．设点P从点A出发经x（x>0）秒后，△ABP的面积是y。
(1)若AB＝8cm，BE＝6cm，当点P在线段AE上时，求y关于x的函数表达式；(2）已知点E是BC的中点,当点P在线段ED上时，y＝错误!x；当点P在线段AD上时，y＝32－4x.求y关于x的函数表达式．第1题图解：（1)∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABE＝90°，又∵AB＝8cm，BE＝6cm，∴AE＝AB2＋BE2＝82＋62＝10厘米，如解图①,过点B作BH⊥AE于点H，第1题解图①∵S△ABE＝错误!AE·BH＝错误!AB·BE，∴BH＝错误!cm，又∵AP＝2x，∴y＝错误!AP·BH＝错误!x(0〈x≤5)；(2）∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，AB＝DC，AD＝BC，∵E为BC中点，∴BE＝EC，∴△ABE≌△DCE（SAS)，∴AE＝DE，∵y＝错误!x(P在ED上)，y＝32－4x（P在AD上)，当点P运动至点D时，可联立得，错误!，解得x＝5，∴AE＋ED＝2x＝10,∴AE＝ED＝5cm，当点P运动一周回到点A时，y＝0，∴y＝32－4x＝0, 解得x＝8，∴AE＋DE＋AD＝16，∴AD＝BC＝6cm，∴BE＝3cm，在Rt△ABE中，AB＝错误!＝4cm，如解图②，过点B作BN⊥AE于N，则BN＝错误!cm，第1题解图②∴y＝错误!x（0〈x≤2。
5)，∴y＝错误!。
★2. 已知：如图①，菱形ABCD的边长为4 cm，P、Q分别是AB、BC两边上的动点，P、Q分别从A、B两点同时出发，均以1 cm/s 的速度沿AB、BC向点B和点C匀速运动，当点P到达点B时停止运动,点Q也随之停止运动，设运动时间为t（s），点P到AD的距离与点Q到CD的距离差的绝对值为y(cm），且y与t的函数图象如图②所示.（1）∠A的度数为,M点的坐标所表示的实际意义是；(2）求证:PD=QD;(3)当y=32时，求t的值。
人教版2019届九年级中考数学复习第二部分专项六【动态型类题】附答案解析
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人教版 2019 届九年级中考数学复习第二部分专项六【动态型类题】附答案解析
5.如图，在 Rt△ABC 中，BC=2，∠BAC=30°，斜边 AB 的两个端点分别在相互垂直的射线 OM、ON 上滑 动，下列结论： ①若 C、O 两点关于 AB 对称，则 OA=2 ②C、O 两点距离的最大值为 4； ③若 AB 平分 CO，则 AB⊥CO； ④斜边 AB 的中点 D 运动路径的长为 其中正确的是 ； ；
人教版 2019 届九年级中考数学复习第二部分专项六【动态型类题】附答案解析
2019 届九年级中考数学复习 第二部分专项六【动态型类题】
【考纲与命题规律】
考纲要求
点动、线动、图形动构成的问题称为几何动态问题．这类问题的特征是以几何图形为载 体， 运动变化为主线， 集多个知识点、 多种解题思想于一题， 它综合性强， 能力要求高． 它 的特点是：问题背景是特殊图形(或函数图象)，把握好一般与特殊的关系；在分析过程 中，要特别关注图形的特性(特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置)．
4.如图，过 A（1，0）、B（3，0）作 x 轴的垂线，分别交直线 y=4﹣x 于 C、D 两点．抛物线 y=ax2+bx+c 经过 O、C、D 三点． （1）求抛物线的表达式； （2）点 M 为直线 OD 上的一个动点，过 M 作 x 轴的垂线交抛物线于点 N，问是否存在这样的点 M， 使得以 A、C、M、N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点 M 的横坐标；若不存在，请 说明理由； （3）若△AOC 沿 CD 方向平移（点 C 在线段 CD 上，且不与点 D 重合），在平移的过程中△AOC 与 △OBD 重叠部分的面积记为 S，试求 S 的最大值．
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1 k＝ 2 解得六【动态型类题】附答案解析
泉州市泉港区2019年届中考数学《动态问题》专题复习试题含解析
动态问题一.选择题1．（2019·四川宜宾）如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB、BC 的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（）A．4.8 B．5 C．6 D．7.2【考点】矩形的性质．【分析】首先连接OP，由矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，可求得OA=OD=5，△AOD的面积，然后由S△A O D=S△A O P+S△D O P=O A•PE+OD•PF求得答案．【解答】解：连接OP，∵矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，∴S矩形A B C D=AB•BC=48，OA=OC，OB=OD，AC=BD=10，∴OA=OD=5，∴S△A C D=S矩形A B C D=24，∴S△A O D=S△A C D=12，∵S△A O D=S△A O P+S△D O P=OA•PE+OD•PF=×5×PE+×5×PF=（PE+PF）=12，解得：PE+PF=4.8．故选：A．2.（2019·湖北荆门·3分）如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P从点A出发，在正方形的边上沿A→B→C 的方向运动到点C停止，设点P的运动路程为x（cm），在下列图象中，能表示△ADP的面积y（cm2）关于x（cm）的函数关系的图象是（）A． B． C． D．【考点】动点问题的函数图象．【分析】△ADP的面积可分为两部分讨论，由A运动到B时，面积逐渐增大，由B运动到C时，面积不变，从而得出函数关系的图象．【解答】解：当P点由A运动到B点时，即0≤x≤2时，y=×2x=x，当P点由B运动到C点时，即2＜x＜4时，y=×2×2=2，符合题意的函数关系的图象是A；故选：A．3.（2019·青海西宁·3分）如图，点A的坐标为（0，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等腰直角△ABC，使∠BAC=90°，设点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A． B． C． D．【考点】动点问题的函数图象．【分析】根据题意作出合适的辅助线，可以先证明△ADC和△AOB的关系，即可建立y与x的函数关系，从而可以得到哪个选项是正确的．【解答】解：作AD∥x轴，作CD⊥AD于点D，若右图所示，由已知可得，OB=x，OA=1，∠AOB=90°，∠BAC=90°，AB=AC，点C的纵坐标是y，∵AD∥x轴，∴∠DAO+∠AOD=180°，∴∠DAO=90°，∴∠OAB+∠BAD=∠BAD+∠DAC=90°，∴∠OAB=∠DAC，在△OAB和△DAC中，，∴△OAB≌△DAC（AAS），∴OB=CD，∴CD=x，∵点C到x轴的距离为y，点D到x轴的距离等于点A到x的距离1，∴y=x+1（x＞0）．故选：A．二.填空题1. （2019·四川眉山·3分）如图，已知点A是双曲线在第三象限分支上的一个动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边三角形ABC，点C在第四象限内，且随着点A的运动，点C的位置也在不断变化，但点C始终在双曲线上运动，则k的值是﹣3．【分析】根据反比例函数的性质得出OA=OB，连接OC，过点A作AE⊥y轴，垂足为E，过点C作CF⊥y轴，垂足为F，根据等边三角形的性质和解直角三角形求出OC=OA，求出△OFC∽△AEO，相似比，求出面积比，求出△OFC的面积，即可得出答案．【解答】解：∵双曲线的图象关于原点对称，∴点A与点B关于原点对称，∴OA=OB，连接OC，如图所示，∵△ABC是等边三角形，OA=OB，∴OC⊥AB．∠BAC=60°，∴tan∠OAC==，∴OC=OA，过点A作AE⊥y轴，垂足为E，过点C作CF⊥y轴，垂足为F，∵AE⊥OE，CF⊥OF，OC⊥OA，∴∠AEO=∠OFC，∠AOE=90°﹣∠FOC=∠OCF，∴△OFC∽△AEO，相似比，∴面积比，∵点A在第一象限，设点A坐标为（a，b），∵点A 在双曲线上，∴S△AEO =ab=，∴S△OFC =FC•OF=，∴设点C坐标为（x，y），∵点C 在双曲线上，∴k=xy，∵点C在第四象限，∴FC=x，OF=﹣y．∴FC•OF=x•（﹣y）=﹣xy=﹣，故答案为：﹣3．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的性质和判定的应用，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．2．（2019·四川内江）如图12所示，已知点C(1，0)，直线y＝－x＋7与两坐标轴分别交于A，B两点，D，E分别是AB，OA上的动点，则△CDE周长的最小值是______．[答案]10[考点]勾股定理，对称问题。
中考数学《二次函数-动态几何问题》专项练习题(带答案)
中考数学《二次函数-动态几何问题》专项练习题（带答案）一、单选题1．如图，一段抛物线y=﹣x2+4（﹣2≤x≤2）为C1，与x轴交于A0，A1两点，顶点为D1；将C1绕点A1旋转180°得到C2，顶点为D2；C1与C2组成一个新的图象，垂直于y轴的直线l与新图象交于点P1（x1，y1），P2（x2，y2），与线段D1D2交于点P3（x3，y3），设x1，x2，x3均为正数，t=x1+x2+x3，则t的取值范围是（）A．6＜t≤8B．6≤t≤8C．10＜t≤12D．10≤t≤122．在同一平面直角坐标系内，将函数y=2x2+4x﹣3的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到图象的顶点坐标是（）A．（﹣3，﹣6）B．（1，﹣4）C．（1，﹣6）D．（﹣3，﹣4）3．下列函数中是二次函数的为（）A．y=3x﹣1B．y=3x2﹣1C．y=（x+1）2﹣x2D．y=x3+2x﹣34．如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回，点P在运动过程中速度大小不变，则以点A为圆心，线段AP长为半径的圆的面积S与点P的运动时间t之间的函数图象大致为（）A．B．C．D．5．如图，点A，B的坐标分别为（1，4）和（4，4），抛物线y=a（x-m）2+n的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为-3，则点D的横坐标最大值为( )A．－3 B．1C．5D．86．抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）如图所示，则关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集是（）A．x＜2B．x＞﹣3C．﹣3＜x＜1D．x＜﹣3或x＞17．如图，边长为2的正△ABC的边BC在直线l上，两条距离为l的平行直线a和b垂直于直线l，a 和b同时向右移动（a的起始位置在B点），速度均为每秒1个单位，运动时间为t（秒），直到b到达C点停止，在a和b向右移动的过程中，记△ABC夹在a和b之间的部分的面积为s，则s关于t 的函数图象大致为（）A．B．C．D．8．两个少年在绿茵场上游戏．小红从点A出发沿线段AB运动到点B，小兰从点C出发，以相同的速度沿⊙O逆时针运动一周回到点C，两人的运动路线如图1所示，其中AC = DB．两人同时开始运动，直到都停止运动时游戏结束，其间他们与点C的距离y与时间x（单位：秒）的对应关系如图2所示．则下列说法正确的是（）A．小红的运动路程比小兰的长B．两人分别在1.09秒和7.49秒的时刻相遇C．当小红运动到点D的时候，小兰已经经过了点DD．在4.84秒时，两人的距离正好等于⊙O的半径9．如图，边长分别为1和2的两个等边三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止．设小三角形移动的距离为x，两个三角形重叠面积为y，则y关于x的函数图象是（）A ．B ．C ．D ．10．如图，动点P 从点A 出发，沿线段AB 运动至点B 后，立即按原路返回，点P 在运动过程中速度不变，则以点B 为圆心，线段BP 长为半径的圆的面积S 与点P 的运动时间t 的函数图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．11．如图，抛物线 y =−12x 2+32x +2 与x 轴交于A 、B 两点与y 轴交于点C ．若点P 是线段BC 上方的抛物线上一动点，当 △BCP 的面积取得最大值时，点P 的坐标是（ ）A ．(2，3)B ．(32，258)C ．(1，3)D ．(3，2)12．已知点A （0，2），B （2，0），点C 在y=x 2的图象上，若△ABC 的面积为2，则这样的C 点有( ) A ．1 个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题13．如图，抛物线与轴交于点C，点D（0，1），点P是抛物线上在第一象限的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为．14．如图，已知直线y=﹣34 x+3分别交x轴、y轴于点A、B，P是抛物线y=﹣12 x2+2x+5上的一个动点，其横坐标为a，过点P且平行于y轴的直线交直线y=﹣34 x+3于点Q，则当PQ=BQ时，a的值是．15．已知抛德物线y＝14x2 +1有下性质：该抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到轴的距离始终相等，如图，点M的坐标为（√2，3），P是抛物线y＝14x2 +1上一个动点，则△PMF周长的最小值是．16．把抛物线y=2x2先向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得的抛物线的解析式是。
2019年中考数学复习 专题过关试卷 几何图形的动态问题精编 含解析
几何图形的动态问题精编1.如图，平行四边形ABCD中，AB= cm，BC=2cm，∠ABC=45°，点P从点B出发，以1cm/s的速度沿折线BC→CD→DA运动，到达点A为止，设运动时间为t(s)，△ABP的面积为S(cm2)，则S与t的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】：分三种情况讨论：①当0≤t≤2时，过A作AE⊥BC于E．∵∠B=45°，∴△ABE是等腰直角三角形．∵AB= ，∴AE=1，∴S= BP×AE= ×t×1= t；②当2＜t≤ 时，S= = ×2×1=1；③当＜t≤ 时，S= AP×AE= ×（-t）×1= （-t）．故答案为：A．【分析】根据题意分三种情况讨论：①当0≤t≤2时，过A作AE⊥BC于E；②当2＜t≤ 2 +时；③当 2 + ＜t≤ 4 +时，分别求出S与t的函数解析式，再根据各选项作出判断，即可得出答案。
2.如图，边长为a的菱形ABCD中,∠DAB=60°,E是异于A、D两点的动点,F是CD上的动点,满足AE+CF=a,△BEF的周长最小值是( )A. B.C.D.【答案】B【解析】：连接BD∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，∵∠DAB=60°，∴△ABD是等边三角形，∴AB=DB，∠BDF=60°∴∠A=∠BDF又∵AE+CF=a，∴AE=DF，在△ABE和△DBF中，∴△ABE≌△DBF（SAS），∴BE=BF，∠ABE=∠DBF，∴∠EBF=∠ABD=60°，∴△BEF是等边三角形．∵E是异于A、D两点的动点,F是CD上的动点,要使△BEF的周长最小，就是要使它的边长最短∴当BE⊥AD时，BE最短在Rt△ABE中，BE==∴△BEF的周长为【分析】根据等边三角形的性质及菱形的性质，证明∠A=∠BDF，AE=DF，AB=AD，就可证明△ABE≌△DBF，根据全等三角形的性质，可证得BE=BF，∠ABE=∠DBF，再证明△BEF是等边三角形，然后根据垂线段最短，可得出当BE⊥AD时，BE最短，利用勾股定理求出BE的长，即可求出△BEF的周长。
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C2019中考数学专题复习 动态几何专题二（附答案详解）所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静,解决这类问题的基本思路是以静制动，抓住移动过程中的一个瞬间，找出各组量之间的数量关系，利用对应的知识的构建方程或函数关系式解决问题.数学思想：分类思想 函数思想 方程思想 数形结合思想 转化思想动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。
下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。
一、以动态几何为主线的压轴题 （一）点动问题．4..如图，ABC ∆中，10==AC AB ，12=BC ，点D 在边BC 上，且4=BD ，以点D 为顶点作B EDF ∠=∠，分别交边AB 于点E ，交射线CA 于点F ． （1）当6=AE 时，求AF 的长；（2）当以点C 为圆心CF 长为半径的⊙C 和以点A 为圆心AE 长为半径的⊙A 相切时，求BE 的长； （3）当以边AC 为直径的⊙O 与线段DE 相切时，求BE 的长． [题型背景和区分度测量点]本题改编自新教材九上《相似形》24.5(4)例六,典型的一线三角(三等角)问题,试题在原题的基础上改编出第一小题,当E 点在AB 边上运动时，渗透入圆与圆的位置关系(相切问题)的存在性的研究形成了第二小题,加入直线与圆的位置关系(相切问题)的存在性的研究形成了第三小题．区分度测量点在直线与圆的位置关系和圆与圆的位置关系,从而利用方程思想来求解．[区分度性小题处理手法]1．直线与圆的相切的存在性的处理方法：利用d=r 建立方程． 2．圆与圆的位置关系的存在性(相切问题)的处理方法：利用d=R ±r(r R >)建立方程． 3．解题的关键是用含x 的代数式表示出相关的线段.解：（1） 证明CDF ∆∽EBD ∆∴BECDBD CF = ，代入数据得8=CF ，∴AF=2 （2） 设BE=x ,则,10==AC d ,10x AE -=利用（1）的方法xCF 32=，相切时分外切和内切两种情况考虑： 外切，xx 321010+-=，24=x ；内切，xx 321010--=，17210±=x ．100<<xABCDEOlA ′ABCDE O lF ∴当⊙C 和⊙A 相切时，BE 的长为24或17210-． （3）当以边AC 为直径的⊙O 与线段DE 相切时，320=BE（二）线动问题5.在矩形ABCD 中，AB ＝3，点O 在对角线AC 上，直线l 过点O ，且与AC 垂直交AD 于点E.(1)若直线l 过点B ，把△ABE 沿直线l 翻折，点A 与矩形ABCD 的对称中心A ＇重合，求BC 的长； (2)若直线l 与AB 相交于点F ，且AO ＝41AC ，设AD 的长为x ，五边形BCDEF 的面积为S.①求S 关于x 的函数关系式，并指出x 的取值范围；②探索：是否存在这样的x ，以A 为圆心，以-x 43长为半径的圆与直线l 相切，若存在，请求出x 的值；若不存在，请说明理由． [题型背景和区分度测量点]本题以矩形为背景,结合轴对称、相似、三角等相关知识编制得到．第一小题考核了学生轴对称、矩形、勾股定理三小块知识内容；当直线l 沿AB 边向上平移时，探求面积函数解析式为区分测量点一、加入直线与圆的位置关系(相切问题)的存在性的研究形成了区分度测量点二． [区分度性小题处理手法]1．找面积关系的函数解析式，规则图形套用公式或用割补法，不规则图形用割补法．2．直线与圆的相切的存在性的处理方法：利用d=r 建立方程． 3．解题的关键是用含x 的代数式表示出相关的线段. [ 略解](1)∵A ’是矩形ABCD 的对称中心∴A ’B ＝AA ’＝21AC ∵AB ＝A ’B ，AB ＝3∴AC ＝6 33=BC(2)①92+=x AC ，9412+=x AO ，)9(1212+=x AF ，x x AE 492+=∴AF 21⋅=∆AE S AEFx x 96)9(22+=，x x x S 96)9(322+-=xx x S 968127024-+-= (333<<x )②若圆A 与直线l 相切，则941432+=-x x ，01=x (舍去)，582=x ∵3582<=x ∴不存在这样的x ，使圆A 与直线l 相切．（三）面动问题6.如图，在ABC ∆中，6,5===BC AC AB ，D 、E 分别是边AB 、AC 上的两个动点（D 不与A 、B 重合），且保持BC DE ∥，以DE 为边，在点A 的异侧作正方形DEFG .（1）试求ABC ∆的面积；（2）当边FG 与BC 重合时，求正方形DEFG 的边长； （3）设x AD =，ABC ∆与正方形DEFG 重叠部分的面积为y ，试求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；（4）当BDG ∆是等腰三角形时，请直接写出AD 的长． [题型背景和区分度测量点]本题改编自新教材九上《相似形》24.5(4)例七,典型的共角相似三角形问题,试题为了形成坡度，在原题的基础上改编出求等腰三角形面积的第一小题,当D 点在AB 边上运动时，正方形DEFG 整体动起来，GF 边落在BC 边上时，恰好和教材中的例题对应，可以说是相似三角形对应的小高比大高=对应的小边比大边，探寻正方形和三角形的重叠部分的面积与线段AD 的关系的函数解析式形成了第三小题，仍然属于面积类习题来设置区分测量点一，用等腰三角形的存在性来设置区分测量点二． [区分度性小题处理手法]图3-5图3-4图3-3图3-1C C C CC1．找到三角形与正方形的重叠部分是解决本题的关键，如上图3-1、3-2重叠部分分别为正方形和矩形包括两种情况．2．正确的抓住等腰三角形的腰与底的分类，如上图3-3、3-4、3-5用方程思想解决． 3．解题的关键是用含x 的代数式表示出相关的线段. [ 略解]解：（1）12=∆ABC S .（2）令此时正方形的边长为a ，则446a a -=，解得512=a . （3）当20≤x 时， 22253656x x y =⎪⎭⎫⎝⎛=，当52 x 时， ()2252452455456x x x x y -=-⋅=. （4）720,1125,73125=AD . [类题] 改编自09奉贤3月考25题，将条件（2）“当点M 、N 分别在边BA 、CA 上时”,去掉，同时加到第（3）题中.C8.已知：在△ABC 中，AB =AC ，∠B =30º，BC =6，点D 在边BC 上，点E 在线段DC 上，DE =3，△DEF 是等边三角形，边DF 、EF 与边BA 、CA 分别相交于点M 、N ． （1）求证：△BDM ∽△CEN ；（2）设BD =x ，△ABC 与△DEF 重叠部分的面积为y ，求y关于x 的函数解析式，并写出定义域．（3）当点M 、N 分别在边BA 、CA 上时,是否存在点D ，使以M 为圆心, BM 为半径的圆与直线EF 相切, 如果存在，请求出x 的值；如不存在，请说明理由．9.已知⊙O 的弦AB 的长等于⊙O 的半径，点C 在⊙O 上变化（不与A 、B ）重合，求∠ACB 的大小 .分析：点C 的变化是否影响∠ACB 的大小的变化呢?我们不妨将点C 改变一下,如何变化呢？可能在优弧AB 上，也可能在劣弧AB 上变化，显然这两者的结果不一样。
那么，当点C 在优弧AB 上变化时，∠ACB 所对的弧是劣弧AB ，它的大小为劣弧AB 的一半，因此很自然地想到它的圆心角，连结AO 、BO ，则由于AB=OA=OB ，即三角形ABC 为等边三角形，则∠AOB=600，则由同弧所对的圆心角与圆周角的关系得出：∠ACB=21∠AOB=300，当点C 在劣弧AB 上变化时，∠ACB 所对的弧是优弧AB ，它的大小为优弧AB 的一半，由∠AOB=600得，优弧AB 的度数为3600-600=3000，则由同弧所对的圆心角与圆周角的关系得出：∠ACB=1500， 因此，本题的答案有两个，分别为300或1500.反思：本题通过点C 在圆上运动的不确定性而引起结果的不唯一性。
从而需要分类讨论。
这样由点C 的运动变化性而引起的分类讨论在解题中经常出现。
变式1：已知△ABC 是半径为2的圆内接三角形，若32=AB ，求∠C 的大小.本题与例1的区别只是AB 与圆的半径的关系发生了一些变化,其解题方法与上面一致,在三角形AOB 中,232121sin ==∠OB ABAOB ,则06021=∠AOB ,即0120=∠AOB ,从而当点C 在优弧AB 上变化时，∠C 所对的弧是劣弧AB ，它的大小为劣弧AB 的一半，即060=∠C ,当点C 在劣弧AB 上变化时，∠C 所对的弧是优弧AB ，它的大小为优弧AB 的一半，由∠AOB=1200得，优弧AB 的度数为3600-1200=2400，则由同弧所对的圆心角与圆周角的关系得出：∠C=1200，ABF DEMNC因此060=∠C 或∠C=1200.变式2: 如图,半经为1的半圆O 上有两个动点A 、B ，若AB=1，判断∠AOB 的大小是否会随点A 、B 的变化而变化，若变化，求出变化范围，若不变化，求出它的值。
四边形ABCD 的面积的最大值。
解：（1）由于AB=OA=OB ，所以三角形AOB 为等边三角形，则∠AOB=600，即∠AOB 的大小不会随点A 、B 的变化而变化。
（2）四边形ABCD 的面积由三个三角形组成，其中三角形AOB 的面积为43，而三角形AOD 与三角形BOC 的面积之和为)(212121BG AF BG OC AF OD +=⨯+⨯，又由梯形的中位线定理得三角形AOD 与三角形BOC 的面积之和EH BG AF =+)(21，要四边形 ABCD 的面积最大，只需EH 最大，显然EH ≤OE=23，当AB ∥CD 时，EH=OE ，因此 四边形ABCD 的面积最大值为43+23=433.对于本题同学们还可以继续思考:四边形ABCD 的周长的变化范围. 变式3: 如图,有一块半圆形的木板,现要把它截成三角形板块.三角形的两个顶点分别为A 、B ，另一个顶点C 在半圆上，问怎样截取才能使截出的三角形的面积最大？要求说明理由分析：要使三角形ABC 的面积最大，而三角形ABC 的底边AB 为圆的直径为常量，只需AB 边上的高最大即可。