向量法求空间角

两个法向量，其方向
同时指向r 内ur侧或外侧,
则 与 n, m互补
两个法向量，其方向一个
指则向与内侧nr ,，mur 另相一等个指向外侧，
n
m
l
n
m
l
Z
例题讲解：
点（已E3）为知二棱正面A方B角的体D中A－B点BCCD，1－－求AC：1的B1大C1小D1；的棱长为nr2，A1
D1
B1
C1
r (3)解：平面BC1D的法向量为n (1, 1,1)
、
A
X
E
BCY
n • DB 0, r uuuur
2x 2y 0
令x r 1,则y 1, z 1
n• DC1 0 2y 2z 0 则n (1, 1,1)
uuuur r cosD1E, n
uuuur r Duu1uEur •rn D1E n
3 9
所以D1E与平面BC1D所成角为arcsin
用向量法的好处在于克服传统立几以纯几何解决问题带来 的高度的技巧性和随机性．向量法可操作性强―――运算过程 公式化、程序化，可以人人学会，有效地突破了立体几何学习 中的难点，是解决立体几何问题的重要工具．充分体现出新教 材新思想、新方法的优越性 .
1.第十一套练习题 2.总结向量法求距离
老本 师专 、题 朋到 友此 ，结 请束 批， 评各 、位 指领 正导
Z
(1) 解: 如图 建立空间直角坐标系,则
Duu1(u0ur,
0,
2),
E
(2,1,
0), B(2,
uuuur
2,
0),
C1
(0,
2,
2)
D1E (2,1, 2), BC1 (2,0, 2)
uuuur uuuur cosD1E, BC1
uuuur uuuur Duu1uEur •uBuuCur1 D1E BC1
uCurD 面BC1C 所以CD=(0,-2,0)是平面BC1C的法向量 X
uuur cosCD,
r n
uuur r CuuDur •rn
3
CD n 3
D
AE
BCY
由两法向量的方向可知，二面角D BC1 C的大小为arccos
3 3
课堂练习：
如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中， ∠ACB=90°，AC=1，CB= ，侧2 棱 AA1=1，侧面A1B1BA的两条对角线交点 为D，B1C1的中点为M. （2004全国新课
斜线与它在平面 内的射影所成的 锐角。
从一条直线引出的两 个半平面所组成的图 形叫做二面角。
表示 异面直线a，b所成角 线a与平面 所成角 l （面－棱－面）
范围
（0 , ]
2
[0 , ]
2
[ 0 ， ]
要点 找适当点、作平行线 找射影、二足相连 用什么度量？
一是建立空间直角坐标系 二是取定基底
2 3
2
所以D1E与BC1所成角为arccos
2 3
2
A1
D1
B1
C1
D
AE
X
B CY
二、求直线和平面所成的角
r 设则平面与的斜线uAAuBBur与的, nr 平关面系所成的角互为余或，n与是其平补面角的互法向余量，
即sin cosuAuBur ,12n..r什如么何是求平平面面的的法法向向量量??
3 9
三、求二面角
法一、如图AB l,CD l, AB ,CD
则二面角 l 的大小为
uuuv uuuv AB,CD
α B
l
A
C
D β
注意:向量的方向
三、求二面角
法的二法:向量一nr个,二mur 面所角成的的平角面的角关系与是如这何个相判二等定面法或角向互的量补两的个方半。向平?面
z
（05年全国卷17题）
O1
C
D
O1
C
D
O
B
y
A
O
B
A
x
已知正方体ABCD A1B1C1D1中，E, F,G, H , I分别为
A1D1, A1A, A1B1, B1B, B1C1的中点，求平面GEF与平面
GIH 所成二面角的大小
z
B1
E
A1
H C1
G D1
F
B
I
C
y
A
D
x
本节课主要复习空间角（包括异面直线所成角、直线与平 面所成角、二面角）的定义及向量法求空间角.
向量法求 专
题讲 座
空间角
制作 张 浩
（1）教材地位分析
立体几何板块主要有两大类型 （1）判断、推理型 （2）有关的 几何量的计算，其中包括空间角、空间距离、体积的计算。
空间角及其求法是是立体几何包括的重要组成部分，是立体几何 板块的一个重点，也是难点。
（2） 高考地位分析
在历届高考中，空间角及其求法是每年必考的内容，与距离的计算、线 面位置关系论证形成新的热点，该部分的分值约6-16分，属于中等难度。
B
n
A
Z
例题讲解：
已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，
点E为棱AB的中点，求： （2）D1E与平面BC1D所成角的大小；
A1
D1
B1
C1
（3）二u面uur角D－BC1－uuCuu的r 大小；
D
（2）解DB
(2,
2,
0),
DC1
(0,
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2,
2)
设r平面uuuBr C1D的法向量为n (x, y, z)
程（1高）考异题面改直编线）ＣD与B1C1所成角的大小A；1
（2）求面B1BD与平面BDM所成二面角 的大小. （3）AB与平面BDM所成角的大小
A X
Z
C1
M
B1
DC
B Y
如图，已知ABCD是上、下底边长分别为2和6，高
为 3的等腰梯形，将它沿对称轴OO1折成直二面角，
（1）证明AC BO1
(2)求二面角O AC O1的大小
一、求两条异面直线所成的角
两异面直线AB,CD所成的角 θ ，
uur uuur
则与AB,CD的关系是 相等或互补 uuur uuur
即cos cos AB, CD
A
B
D C
例题讲解：
已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2， 点E为棱AB的中点，求： （1）异面直线D1E与BC1所成角的大小； （2）D1E与平面BC1D所成角的大小； （3）二面角D－BC1－C的大小；
理解空间角的概念、会求空间角的大小。
立体几何高考分 析
高考中，立体几何板块往往有4个题目：2个选择题，一个填空题 和1个大题。在大题中，一般是论证题和空间角（距离）计算组成。 在选择题中有时有一个题考查空间角的求法。
异面直线所成角
图
直线与平面所成角
二面角
形
定 义
在空间任取一点o，分别 作a，b的平行线，从而 形成的的锐（直）角