数列常见题型总结
数列知识点总结及题型归纳005(A3)

数 列一、数列的概念(1)数列定义:按一定次序排列的一列数叫做数列;数列中的每个数都叫这个数列的项。
记作n a ,在数列第一个位置的项叫第1项(或首项),在第二个位置的叫第2项,……,序号为n 的项叫第n 项(也叫通项)记作n a ;数列的一般形式:1a ,2a ,3a ,……,n a ,……,简记作 {}n a 。
(2)通项公式的定义:如果数列}{n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫这个数列的通项公式。
例如:①:1 ,2 ,3 ,4, 5 ,…②:514131211,,,,…数列①的通项公式是n a = n (n ≤7,n N +∈), 数列②的通项公式是n a =1n(n N +∈)。
说明:①{}n a 表示数列,n a 表示数列中的第n 项,n a = ()f n 表示数列的通项公式;② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。
例如,n a = (1)n -=1,21()1,2n k k Z n k-=-⎧∈⎨+=⎩;③不是每个数列都有通项公式。
例如,1,1.4,1.41,1.414,……(3)数列的函数特征与图象表示:从函数观点看,数列实质上是定义域为正整数集N +(或它的有限子集)的函数()f n 当自变量n 从1开始依次取值时对应的一系列函数值(1),(2),(3),f f f ……,()f n ,…….通常用n a 来代替()f n ,其图象是一群孤立点。
例:画出数列12+=n a n 的图像.(4)数列分类:①按数列项数是有限还是无限分:有穷数列和无穷数列;②按数列项与项之间的大小关系分:单调数列(递增数列、递减数列)、常数列和摆动数列。
例:下列的数列,哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列? (1)1,2,3,4,5,6,… (2)10, 9, 8, 7, 6, 5, … (3) 1, 0, 1, 0, 1, 0, … (4)a, a, a, a, a,…(5)数列{n a }的前n 项和n S 与通项n a 的关系:11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-⎩≥例:已知数列}{n a 的前n 项和322+=n s n ,求数列}{n a 的通项公式二、等差数列题型一、等差数列定义:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d 表示。
数列求和题型归纳

数列求和体题型总结一、方法1.直接法:即直接用等差、等比数列的求和公式求和。
(1)等差数列的求和公式:d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+= (2)等比数列的求和公式⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)1(1)1()1(11q q q a q na S n n (切记:公比含字母时一定要讨论) 2.公式法: 222221(1)(21)1236n k n n n kn =++=++++=∑ 2333331(1)1232nk n n k n =+⎡⎤=++++=⎢⎥⎣⎦∑ 3.错位相减法:比如{}{}.,,2211的和求等比等差n n n n b a b a b a b a +++ 4.裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。
常见拆项公式:111)1(1+-=+n n n n ; 1111()(2)22n n n n =-++ ; )121121(21)12)(12(1+--=+-n n n n 5.分组求和法:把数列的每一项分成若干项,使其转化为等差或等比数列,再求和。
6.合并求和法:7.倒序相加法:8.其它求和法:如归纳猜想法,奇偶法等二、典型例题1.直接法或公式法求和例1.求和:① 个n n S 111111111++++= ②22222)1()1()1(nn n x x x x x x S ++++++= ③求数列1,3+4,5+6+7,7+8+9+10,…前n 项和n S2.错位相减法求和例2.已知数列)0()12(,,5,3,112≠--a an a a n ,求前n 项和。
3.裂项相消法求和例3.(1)求和)12)(12()2(534312222+-++⋅+⋅=n n n S n (2)()()111112323434512n S n n n =++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯++ ,求n S 。
4.倒序相加法求和例4.2222sin 1sin 2sin 3sin 89++++ .5.分组求和法例5.求数列的前n 项和:231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n a a a n ,…三、课后练习1..已知数列{n a }满足:}{,2)32()12(3121n n n b n a n a a 数列+⋅-=-+++ 的前n 项和 n n n n W n b a n n S 项和的前求数列}{.222⋅-+=.2.数列{n a }的前n 项和为n S ,且满足,)1(2,11n n a n S a +==(I )求n a 与1-n a 的关系式,并求{n a }的通项公式; (II )求和.111111212322-++-+-=+n n a a a W3.已知数列{}n a 的通项65()2()n n n n a n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数,求其前n 项和n S .。
数列求和5种常考题型总结(解析版)--2024高考数学常考题型精华版

数列求和5种常考题型总结【题型目录】题型一:分组求和法题型二:裂项相消法求和题型三:错位相减法求和题型四:先求和,再证不等式题型五:先放缩,再求和【典型例题】【例1】已知数列{}n a 的前n 项和1*44(N )33n n S n +=-∈.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若2log n n n b a a =+,求数列{}n b 的前n 项和n T .【例2】已知各项均为正数的数列{}n a 中,11a =且满足221122n n n n a a a a ++-=+,数列{}n b 的前n 项和为n S ,满足213n n S b +=.(1)求数列{}n a ,{}n b 的通项公式;(2)若在k b 与1k b +之间依次插入数列{}n a 中的k 项构成新数列{}1122334564:,,,,,,,,,,n c b a b a a b a a a b ,求数列{}n c 中前40项的和40T .【例3】设n S 是各项为正的等比数列{}n a 的前n 项的和,且*2334N S a n ∈=,=,.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)在数列{}n a 的任意k a 与1k a +项之间,都插入()*N k k ∈个相同的数()1kk -,组成数列{}n b ,记数列{}n b 的前n 项的和为n T ,求100T 的值.【题型专练】1.已知数列{}n a 是等差数列,数列{}n b 是等比数列,若111a b ==,22331a b a b -=-=.(1)求数列{}n a 与数列{}n b 的通项公式;(2)求数列{}n n a b +的前n 项和n S .2.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且11n n n S S a +=++,请在①4713a a +=;②137,,a a a 成等比数列;③1065S =,这三个条件中任选一个补充在上面题干中,并解答下面问题.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若数列{}n n b a -是公比为2的等比数列,13b =,求数列{}n b 的前n 项和n T .3.(2022·广东广州·一模)已知公差不为0的等差数列{}n a 中,11a =,4a 是2a 和8a 的等比中项.(1)求数列{}n a 的通项公式:(2)保持数列{}n a 中各项先后顺序不变,在k a 与1(1,2,)k a k += 之间插入2k ,使它们和原数列的项构成一个新的数列{}n b ,记{}n b 的前n 项和为n T ,求20T 的值.4.已知等差数列{}n a 满足121,21n n a a a ==+,设2n an b =.(1)求{}n b 的通项公式,并证明数列{}n b 为等比数列;(2)将1b 插入12,a a 中,23,b b 插入23,a a 中,456,,b b b 插入34,a a 中, ,依此规律得到新数列1122334564,,,,,,,,,,a b a b b a b b b a ,求该数列前20项的和.题型二:裂项相消法求和【例1】首项为4的等比数列{}n a 的前n 项和记为n S ,其中546S S S 、、成等差数列.(1)求数列{}n a 的通项公式;100【例2】已知数列{}n a 的首项为正数,其前n 项和n S 满足2343n n n nS a S a =--.(1)求实数λ的值,使得{}2n S λ+是等比数列;(2)设13n n n n b S S +=,求数列{}2n b 的前n 项和.【解析】(1)当1n =时,111823a a a =-,11S a =,解得22118S a ==;当2n ≥时,把1n n n a S S -=-代入题设条件得:22198n n S S -=+,即()221191nn S S -+=+,很显然}{21n S +是首项为8+1=9,公比为9的等比数列,∴1λ=;(2)由(1)知{}21n S +是首项为21190S +=≠,公比9q =的等比数列,所以291nnS =-,()()()()()()1211191919111188919919199111n nnnn n n n n n b ++++---⎛⎫==⨯=- ---⎝---⎭.故数列{}2n b 的前n 项和为:2221122334112111111111111891919191919191918891n n n n b b b ++⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+=-+-+-++-=- ⎪ ⎪---------⎝⎭⎝⎭.【例3】数列{}n a 的前n 项和n S ,342n n S a =-.(1)求n a ;(2)令2log 1n n b a =,求数列{}1n n b b +的前n 项和n T .)问的结论以及对数的运算性质,再利用裂项相消法进行求解【例4】(湖北省二十一所重点中学2023届高三上学期第三次联考数学试题)已知等差数列{}n a 的首项10a >,记数列{}n a 的前n 项和为()*N n S n ∈,且数列为等差数列.(1)证明:数列2n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为常数列;(2)设数列11n n n a S a a +⎧⎫⎨⎩⎭的前n 项和为()*N n T n ∈,求{}n T 的通项公式.【例5】已知数列{}n a 满足1n a +=11a =.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)1n c a a =+,n S 是数列{}n c 的前n 项和,求n S .【题型专练】1.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.已知53227S S S -=-,且12,1,a a -成等差数列.(1)求{}n a 的通项公式;2.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足22n n n S a a =+.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设4n b a a =,数列{}n b 的前n 项和为n T ,证明:3n T <.3.已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列,2414a a +=,且1a ,2a ,6a 成等比数列.(1)求{}n a 的通项公式;(2)设11n n n b a a +=,求数列{}n b 的前n 项和n S .【解析】(1)等差数列{}n a 中,324214a a a =+=,解得37a =,因1a ,2a ,6a 成等比数列,即2216a a a =,设{}n a 的公差为d ,于是得()()()277273d d d -=-+,整理得230d d -=,而0d ≠,解得3d =,所以()3332n a a n d n =+-=-.(2)由(1)知,()()1111()323133231n b n n n n ==--+-+,所以111111[(1)()()]34473231n S n n =-+-+⋅⋅⋅+--+11(1)33131nn n =-=++.4.记n S 为数列{}n a 的前n 项和,已知11a =,且13n n S a +=-.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)已知数列{}n c 满足________,记n T 为数列{}n c 的前n 项和,证明:2n T <.从①211(1)(2)n n n n c a a a +++--=②221log n n n a c a ++=两个条件中任选一个,补充在第(2)问中的横线上并作答.【解析】(1)13n n S a +=- ①,当1n =时,123a a =-,24a ∴=;当2n ≥时,13n n S a -=-②①-②得,即12n n a a +=又2142a a =≠,∴数列{}n a 是从第2项起的等比数列,即当2n ≥时,2222n nn a a -=⋅=.1,1,2, 2.n n n a n =⎧∴=⎨≥⎩.(2)若选择①:()()()()()()2211111122211212212121222121n n n n n n n n n n n n a c a a ++++++++⋅⎛⎫====- ⎪--------⎝⎭,2231111111121212212121212121n n n n T ++⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-=-< ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭.若选择②122n n n c ++=,则23134122222nn n n n T +++=++++ ③,34121341222222n n n n n T ++++=++++ ④,③-④得341212131112311212422224422n n n n n n n T ++-+++⎛⎫⎛⎫=++++-=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,14222n n n T ++∴=-<.5.已知数列{}n a 前n 项和为n S ,且()21n S n n =+,记221(1)nn n n na b a a +=-+.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设数列{}n b 的前n 项和为n T ,求2021T .【解析】(1)()112n S n n =+,当1n =时,111212S =⨯⨯=;当2n ≥,n *∈N 时,()1112n S n n -=-,()()1111122n n n a S S n n n n n -=-=+--=.当1n =时也符合,()n a n n N *∴=∈.(2)()()()()()()221212111111111nn n n n n n n n n a n b a a n n n n n n ++++⎛⎫=-=-=-=-+ ⎪++++⎝⎭202111111111 (122)33420212022T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-++-++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111111112023=1 (1223342021202220222022)--++--+--=--=-.题型三:错位相减法求和【例1】已知数列{}n a 满足12a =,且11220n n n n a a a a +++⋅-=,数列{}n b 是各项均为正数的等比数列,n S 为{}n b 的前n 项和,满足14b a =,378S =.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设nnb C a =,记数列{}n C 的前n 项和为n T ,求n T 的取值范围.【例2】已知各项均不为零的数列{}n a 满足()1212320n n n n n a a a a a ++++-+=,且11a =,23a =,设1n n nb a a +=-.(1)证明:{}n b 为等比数列;(2)求1n n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和n T .【例3】已知数列{}n a 的首项*112,322,N n n a a a n n -==+≥∈.(1)求n a ;(2)记()3log 1n n n b a a =⋅+,设数列{}n b 的前n 项和为n S ,求n S .【例4】已知各项为正数的数列{}n a 前n 项和为n S ,若()214n n S a =+.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设3nn na b =,且数列{}n b 前n 项和为n T ,求证:1n T <.【例5】已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()*22N n n S a n =-∈.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)令4n n b a n =-,求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【题型专练】1.若公比为c 的等比数列{}n a 的首项11a =且满足12(3,4,)2n n n a a a n --+==⋅⋅⋅.(1)求c 的值;(2)求数列{}n na 的前n 项和n S .2.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =,121n n S a +=-.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设(21)n n b n a =-,数列{}n b 的前n 项和为n T ,若存在*n ∈N 且2n ≥,使得2(1)(1)(1)n T n n n λ-≤-+成立,求实数λ的最小值.3.已知数列{}n a 前n 项和为12,n S a =,且满足()*1,N 2n n S a n n +=+∈.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设()()211n n b n a =--,求数列{}n b 的前n 项和n T .4.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且26a =,()121n n a S +=+.(1)证明:{}n a 为等比数列,并求{}n a 的通项公式;(2)求数列{}n na 的前n 项和n T .【答案】(1)证明见解析,123n n a -=⨯(*n ∈N )5.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,12a =,426S =.正项等比数列{}n b 中,12b =,2312b b +=.(1)求{}n a 与{}n b 的通项公式;(2)求数列{}n n a b 的前n 项和n T .【答案】(1)31n a n =-,2nn b =,(2)()13428n n T n +=-+【解析】【分析】(1)由等差数列的通项公式与求和公式,等比数列的通项公式求解即可;(2)由错位相减法求解即可(1)设等差数列的公差为d ,由已知得,4342262d ⨯⨯+=,解得3d =,所以()()1123131n a a n d n n =+-=+-=-,即{}n a 的通项公式为31n a n =-;设正项等比数列{}n b 的公比为(),0q q >,因为12b =,2312b b +=,所以()2212q q+=,所以260qq +-=,解得2q =或3q =-(负值舍去),所以2nn b =.(2)()312n n n a b n =-,所以()()1231225282342312n nn T n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+-,所以()()23412225282342312n n n T n n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+-,相减得,()123412232323232312n n n T n +-=⨯+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅--()()211132122231212n n n -+⨯⨯-=⨯+---,所以()13428n n T n +=-+.题型四:先求和,再证不等式【例1】设n S 为数列{n a }的前n 项和,已知123n n S a a +=,且10a ≠.(1)证明:{n a }是等比数列;(2)若12341,21,a a a -+成等差数列,记32log 1n n b a =-,证明12231111n n b b b b b b ++++ <12.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【例2】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,___________,*n ∈N .在下面三个条件中任选一个,补充在上面问题中并作答.①22n n S a =-;②122222n n a a a n ++⋯⋯+=;③221232n n n a a a a +⋯⋯=注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)记(1)(1)n n a b a a =--,n T 是数列{}n b 的前n 项和,若对任意的*n ∈N ,1n kT n>-,求实数k 的取值范围.项和,再将不等式恒成立问题转化求函数的最值问【例3】(2022江西丰城九中高二阶段练习)等差数列{}n a 中,前三项分别为,2,54x x x -,前n 项和为n S ,且2550k S =.(1)求x 和k 的值;(2)求n T =1231111nS S S S ++++ (3)证明:n T 1<【例4】(2022·浙江·高二期末)已知数列{}n a 满足114a =,134n n a a +=-.(1)证明数列{}2n a -为等比数列,并求{}n a 的通项公式;(2)设()()()113131nnn nn a b +-=++,数列{}n b 的前n 项和为n T ,若存在*n ∈N ,使n m T ≥,求m 的取值范围.【题型专练】1.已知数列{}n a 满足:()2222*12323N n a a a n a n n n ++++=+∈ .(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)记n S 为数列{}1n n a a +的前n 项和()*N n ∈,求证:24n S ≤<.2.(2022陕西安康市教学研究室高一期末)已知数列{}n a 满足12a =,1(2)2(1)n n n a n a ++=+.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设n S 为数列{}n a 的前n 项和,证明:6n S <.3.已知数列{}n a 的首项13a =,()*1212,N n n a a n n -=+≥∈,()2log 1n n b a =+.(1)证明:{}1n a +为等比数列;(2)证明:1223111112n n b b b b b b +++⋅⋅⋅+<.【答案】(1)证明见解析4.已知数列{n a }的前n 项和为n S ,342n n S a =-,(1)求数列{n a }的通项公式;(2)设33log 4n n a b =,n T 为数列12n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.证明:12n T ≤<【答案】(1)143n n a -=⨯;(2)证明见解析.【分析】(1)利用,n n a S 关系及等比数列的定义求通项公式;,结合数列单调性即可证结论5.已知数列{}n a 的前n 项和31n n S =-,其中*N n ∈.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若数列{}n b 满足11b =,()132n n n b b a n -=+≥,(i )证明:数列13nn b -⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列;(ii )设数列{}n b 的前n 项和为n T ,求380n n T n -⋅<-成立的n 的最小值.【答案】(1)()1*2·3n n a n -=∈N (2)(i )证明见解析;(ii )5【分析】(1)根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩即可求解;(2)11323n n n b b --=+⨯,两边除以13n -即可证明等差数列;利用错位相减法求n T ,解不等式即可求得n 的最小值.(1)31n n S =-,6.(2022·安徽·高三开学考试)已知数列{}n a 满足(12122n n a a a a n -+++-=- 且)*N n ∈,且24a =.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设数列()()1211n n n a a +⎧⎫⎪⎪⎨⎬--⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n T ,求证:132<≤n T .【答案】(1)()*2n n a n =∈N (2)证明见解析【分析】(1)将已知条件与1212n n a a a a ++++-=- 两式相减,再结合等比数列的定义即可求解;(2)利用裂项相消求和法求出n T 即可证明.(1)题型五:先放缩,再求和【例1】已知数列{}n a 的前n 项和为12n S a =,,当2n ≥时,()21212n n n S nS n n --=+-.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)求证:2222111123a a a a +++< .【例2】(2022·浙江省义乌中学模拟预测)已知数列{}n a 单调递增且12a >,前n 项和n S 满足2441n n S a n =+-,数列{}n b 满足212n n nb b b ++=,且123a a b +=,233b a +=.(1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式;(2)若1n c a b =,求证:123415n c c c c ++++< .【例3】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足12a =,()1202n n n a S S n -+=≥(1)求n a 和n S (2)求证:22221231124n S S S S n+++⋯+≤-.【例4】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =,22a =,且214n n n S S a ++=+.(1)求n a ;(2)求证:121112111n a a a +++<+++ .【答案】(1)()12n n a n -*=∈N (2)证明见解析【分析】(1)分析可知数列{}21k a -是首项为11a =,公比为4的等比数列,数列{}2k a 是首项为22a =,公比【题型专练】1.已知数列{}n a 满足:12a =,132n n a a +=-,n *∈N .(1)设1n n b a =-,求数列{}n b 的通项公式;(2)设31323log log log n n T a a a =++⋅⋅⋅+,()n *∈N ,求证:()12n n n T ->.【答案】(1)13n n b -=(2)证明见解析2.(2022·全国·高三专题练习)已知数列{}n a 前n 项积为n T ,且*1()n n a T n +=∈N .(1)求证:数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为等差数列;(2)设22212n n S T T T =++⋅⋅⋅+,求证:112n n S a +>-.为以3.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,()*322n n a S n n N =+∈.(1)证明:数列{}1n a +为等比数列,并求数列{}n a 的前n 项和为n S ;(2)设()31log 1n n b a +=+,证明:222121111nb b b ++⋅⋅⋅+<.【解析】(1)当1n =时,11322a S =+,即12a =由322n n a S n =+,则()1132212n n a S n n --=+-≥两式相减可得13223n n n a a a -=+-,即132n n a a -=+所以()1131n n a a -+=+,即1131n n a a -+=+数列{}1n a +为等比数列则()112133n n n a -+=+⨯=,所以31n n a =-则()()1231333333132nn n n n n S +--=+++-==--L (2)()1313log 1log 31n n n b a n ++=+==+()()2211111111n b n n n n n =<=+++所以2221211111111111122311n b b b n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+<-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭L4.已知数列{}n a 满足11a =,且11n n a a n +-=+,n S 是1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.(1)求n S ;(2)若n T 为数列2n S n ⎧⎫⎪⎪⎛⎫⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭的前n 项和,求证:232n n T n >>+.。
数列知识点总结及题型归纳---含答案

数列一、等差数列题型一、等差数列定义:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d 表示。
用递推公式表示为1(2)n n a a d n --=≥或1(1)n n a a d n +-=≥。
例:等差数列12-=n a n ,=--1n n a a 题型二、等差数列的通项公式:1(1)n a a n d =+-;说明:等差数列(通常可称为A P 数列)的单调性:d 0>为递增数列,0d =为常数列,0d < 为递减数列。
例:1.已知等差数列{}n a 中,12497116a a a a ,则,==+等于( ) A .15 B .30 C .31 D .642.{}n a 是首项11a =,公差3d =的等差数列,如果2005n a =,则序号n 等于 (A )667 (B )668 (C )669 (D )6703.等差数列12,12+-=-=n b n a n n ,则n a 为 n b 为 (填“递增数列”或“递减数列”)题型三、等差中项的概念:定义:如果a ,A ,b 成等差数列,那么A 叫做a 与b 的等差中项。
其中2a bA += a ,A ,b 成等差数列⇔2a bA +=即:212+++=n n n a a a (m n m n n a a a +-+=2) 例:1.设{}n a 是公差为正数的等差数列,若12315a a a ++=,12380a a a =,则111213a a a ++= ( )A .120B .105C .90D .752.设数列{}n a 是单调递增的等差数列,前三项的和为12,前三项的积为48,则它的首项是( ) A .1 B.2 C.4 D.8题型四、等差数列的性质:(1)在等差数列{}n a 中,从第2项起,每一项是它相邻二项的等差中项; (2)在等差数列{}n a 中,相隔等距离的项组成的数列是等差数列; (3)在等差数列{}n a 中,对任意m ,n N +∈,()n m a a n m d =+-,n ma a d n m-=-()m n ≠;(4)在等差数列{}n a 中,若m ,n ,p ,q N +∈且m n p q +=+,则m n p q a a a a +=+; 题型五、等差数列的前n 和的求和公式:11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+n da )(2n 2112-+=。
高中数学最全数列总结及题型精选

高中数学最全数列总结及题型精选-标准化文件发布号:(9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII高中数学:数列及最全总结和题型精选一、数列的概念(1)数列定义:按一定次序排列的一列数叫做数列;数列中的每个数都叫这个数列的项。
记作n a ,在数列第一个位置的项叫第1项(或首项),在第二个位置的叫第2项,……,序号为n 的项叫第n 项(也叫通项)记作n a ; 数列的一般形式:1a ,2a ,3a ,……,n a ,……,简记作 {}n a 。
(2)通项公式的定义:如果数列}{n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫这个数列的通项公式。
例如:①:1 ,2 ,3 ,4, 5 ,…②:514131211,,,,… 说明:①{}n a 表示数列,n a 表示数列中的第n 项,n a = ()f n 表示数列的通项公式; ② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。
例如,n a = (1)n-=1,21()1,2n k k Z n k-=-⎧∈⎨+=⎩;③不是每个数列都有通项公式。
例如,1,1.4,1.41,1.414,……(3)数列的函数特征与图象表示:从函数观点看,数列实质上是定义域为正整数集N +(或它的有限子集)的函数()f n 当自变量n 从1开始依次取值时对应的一系列函数值(1),(2),(3),f f f ……,()f n ,…….通常用n a 来代替()f n ,其图象是一群孤立点。
(4)数列分类:①按数列项数是有限还是无限分:有穷数列和无穷数列;②按数列项与项之间的大小关系分:递增数列、递减数列、常数列和摆动数列。
例:下列的数列,哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列? (1)1,2,3,4,5,6,… (2)10, 9, 8, 7, 6, 5, … (3) 1, 0, 1, 0, 1, 0, … (4)a, a, a, a, a,…(5)数列{n a }的前n 项和n S 与通项n a 的关系:11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-⎩≥二、等差数列(一)、等差数列定义:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d 表示。
(完整版)数列证明题型总结(教师版)附答案,推荐文档

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①×2得 2Tn=1·22+…+(n-1)2n+n·2n+1.'②
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①-②得 2Tn=2+22+…+2n-n·2n+1
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[ ] 1 1 1- 2 2n
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n+2
1-
= 2 -n·2n+1=1-2n-n·2n+1=1-2n+1,
n+2 ∴Tn=2- 2n .
9.数列{an}满足 a1=1,an+1· =1(n∈N*),记 Sn=a21+a2+…+a2n.
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设 an+2-an+1+c=2(an+1-an+c). 展开与上式对比,得 c=2 因此,有 an+2-an+1+2=2(an+1-an+2) 由 bn=an+1-an+2,得 bn+1=2bn, 由 a1=1,a2=2a1+3=5,得 b1=a2-a1+2=6, 故数列{bn}是首项为 6,公比为 2 的等比数列 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,bn=6×2n-1=3×2n 则 an+1-an=bn-2=3×2n-2, 所以 an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1) =1+(3×21-2)+(3×22-2)+…+(3×2n-1-2) =1+3(2+22+23+…+2n-1)-2(n-1) an=3×2n-2n-3, 当 n=1 时,a1=3×21-2×1-3=6-5=1,故 a1 也满足上式 故数列{an}的通项为 an=3×2n-2n-3(n∈N*).
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(Ⅱ)由(Ⅰ)知 bn=an·2n=(2n-1)·2n ∴Tn=(1·21)+(3·22)+…+[(2n-3)·2n-1]+[(2n-1)·2n] 则 2Tn=(1·22)+(3·23)+…+[(2n-3)·2n]+[(2n-1)·2n+1] 两式相减得: -Tn=(1·21)+(2·22)+…+(2·2n)-[(2n-1)·2n+1]
数列题型总结(全)

11、设平面内的向量 点 是直线 上的一个动点,求当 取最小值时, 的坐标及 的余弦值。
12、设向量 , , , , , 与 的夹角为 , 与 的夹角为 ,且 ,求 的值。
参考答案
二、1、1、 ∥ ,
2、(1) .
= =
∵ ,∴ ,∴ .
∴ max= .
(2)由已知 ,得 .
一:定义法:
例:(1)设 是等差数列,证明:数列 (c>0, 是等比数列。(2)设 是正项等比数列,证明
(c>0, 是等差数列。
变式一:数列 的前n项和记为 ,已知 (n=2,3,4…),证明:数列 是等比数列。
变式二:已知定义在R上的函数f(x)和数列 满足下列条件: , ,其中a为常数,k为非零实数。令 是等比数列。
数列题型归纳(全)
题型一:求等差数列的公差或取值范围
例一:等差数列 的前n项和 ,若 =4, =20,则该数列的公差d等于
变式一:等差数列 中, ,则该数列的 的公差为
变式二:已知等差数列的首项为31,若从第16项开始小于1,则此数列的公差d的取值范围是
题型二:求等比数列的公比
例一:在等比数列 中, ,则公比q的值为
=
= .
3、(1)
由 得 又
(2)由 ,得
又 =
所以, = 。
三、1—6 B D A D A A
7、. 8、 9、只要满足 即可10、(5,2)或(-5,-2)
11、设 点 在直线 上, 与 共线,而
即 有 .
故当且仅当 时, 取得最小值 ,此时
于是
12、
变式一:设数列 , 都是等差数列,若
变式二:在等差数列 中,已知 ,则该数列前11项和等于
数列的通项6种常见题型总结(解析版)--2024高考数学常考题型精华版

数列的通项6种常见题型总结【题型目录】题型一:已知()n f S n =,求n a 题型二:叠加法(累加法)求通项题型三:叠乘法(累乘法)求通项题型四:构造法求通项题型五:已知通项公式n a 与前n 项的和n S 关系求通项问题【典型例题】题型一:已知()n f S n =,求na 【例1】已知数列{}n a 的前n 项和211n S n n =-.若710k a <<,则k =()A .9B .10C .11D .12【答案】B【分析】先求得n a ,然后根据710k a <<求得k 的值.【详解】依题意211n S n n =-,当1n =时,110a =-;当2n ≥时,211n S n n =-,()()22111111312n S n n n n -=---=-+,两式相减得()2122n a n n =-≥,1a 也符合上式,所以212n a n =-,*N k ∈,由721210k <-<解得911k <<,所以10k =.故选:B【例2】(2022·甘肃·高台县第一中学高二阶段练习(理))已知n S 为数列{}n a 的前n 项和,且121n n S +=-,则数列{}n a 的通项公式为()A .2n n a =B .3,12,2n nn a n =⎧=⎨≥⎩C .12n n a -=D .12n n a +=【答案】B【分析】当2n ≥时,由1n n n a S S -=-求出2n n a =;当1n =时,由11a S =求出1a ;即可求解.【详解】当2n ≥时,121n n S -=-,1112212n n nn n n a S S +---+=-==;当1n =时,1111213a S +==-=,不符合2n n a =,则3,12,2n n n a n =⎧=⎨≥⎩.故选:B.【例3】(2022·全国·高三专题练习)已知数列{}n a 满足123235n a a a na n ++++= ,求{}n a 的通项公式.【题型专练】1.已知数列{}n a 的前n 项和是2320522nS n =-+,(1)求数列的通项公式n a ;(2)求数列{||}n a 的前n 项和.2.(2022·浙江·高二期末)已知数列{}n a 的前n 项和221n S n n =-+,则51a a -=______.【答案】7【分析】将1n =代入根据11a S =可得出答案;当2n ≥时由1n n n a S S -=-,求出5a ,从而可得出答案.【详解】当1n =时,21112110a S ==-⨯+=;当2n ≥时,()()22121121123n n n n n n n a S S n -⎡⎤-+----+=⎣⎦-=-=.所以52537a =⨯-=,所以51707a a -=-=.故答案为:73.(2022·辽宁实验中学高二期中)设数列{}n a 满足123211111222n n a a a a n -+++⋅⋅⋅+=+,则{}n a 的前n 项和()A .21n -B .21n +C .2nD .121n +-【答案】C 【解析】【分析】当1n =时,求1a ,当2n ≥时,由题意得123122111222n n a a a a n --+++⋅⋅⋅+=,可求得n a ,即可求解.【详解】解:当1n =时,12a =,当2n ≥时,由1231221111112222n n n n a a a a a n ---+++⋅⋅⋅++=+得123122111222n n a a a a n --+++⋅⋅⋅+=,两式相减得,1112n n a -=,即12n n a -=,综上,12,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩所以{}n a 的前n 项和为()11212224822212n n n ---+++++=+=- ,故选:C.题型二:叠加法(累加法)求通项【例1】在数列{}n a 中,()()()111,11N n n a n n a a n *+=+-=∈,则2022a =()A .40432022B .20212022C .40402021D .20202021【例2】已知数列{}n a 满足1=2a ,26a =,且2122n n n a a a ++-+=,若[]x 表示不超过x 的最大整数(例如[]1.61=,[]1.62-=-),则222122020232021a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++⋅⋅⋅+=⎢⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦()A .2019B .2020C .2021D .2022,【例3】南宋数学家在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式,所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同,高阶等差数中前后两项之差并不相等,但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.现有高阶等差数列,其前7项分别为1,2,5,10,17,26,37,则该数列的第19项为()A.290B.325C.362D.399【例4】已知数列{}n a 满足11a =-,()*12N n n a a n n a a +-=∈,则9a =______.【例5】已知数列{}n a 中,11a =,39a =,1{}n n a a +-是公差为2的等差数列.(1)求{}n a 的通项公式;(2)设12log n n na b a +=,求数列{}n b 的前n 项和n T ,求使得2022n T 成立的最小整数n .【答案】(1)2n a n =;(2)使得2022≥n T 成立的最小整数n 为101121-.【分析】(1)根据等差数列的定义求出2a ,从而可求出{}1n n a a +-的通项,再利用累加法求出数列{}n a 的通项公式;(2)利用裂项相消法求数列{}n b 的前n 项和n T ,解不等式2022≥n T 求n 的范围,确定满足条件的最小整数.=【题型专练】1.若1=1a ,12nn n a a n +-=-,*n ∈N ,则=n a _________.1)2.数列{}n a 满足1122n n na a a -==-,,则=n a _____.3.若数列{}n a 满足11a =,12n n a a n +-=.(1)求{}n a 的通项公式;(2)证明:121112na a a +++< .【答案】(1)21n a n n =-+(2)证明见解析【分析】(1)运用累加法即可求出{}n a 的通项公式;(2)运用裂项相消法即可证明.【详解】(1)因为12n n a a n +-=,11a =,24.已知数列{}n a 满足:12a =,21a =,2145n n n a a a +++=(*n ∈N ).(1)证明:数列{}1n n a a +-是等比数列;(2)求数列{}n a 的通项公式.5.已知无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =,24S =,对任意的*N n ∈,都有1232n n n n S S S a ++=++.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若数列{}n c 满足*11(N )n n c c n a a +-=∈,11c =,求数列{}n c 的通项公式;题型三:叠乘法(累乘法)求通项【例1】已知数列{}n a 满足12n n a na n +=+,1=1a ,则数列{}n a 的通项公式是()A .2(1)n a n n =+B .1(1)n a n n =+C .1n a n=D .12n n a +=【例2】在数列{}n a 中,1=1a ,22a =,2n n a n+=,则12233420222023a a a a a a a a ++++= ()A .20202021⨯B .20212022⨯C .20222023⨯D .20232024⨯【例3】已知数列{}n a 满足()4(21)1N n n S n a n *=++∈,则n a =___________.【例4】记n S 为数列{}n a 的前n 项和,已知112a =,n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为12的等差数列.(1)求{}n a 的通项公式;(2)设()1nn n b a =-,求{}n b 的前2n 项和2n T .【例5】设数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =,()()21N n n S n a n *=+∈.(1)求{}n a 的通项公式;(2)对于任意的正整数n ,21,2,n n n n a n a a c n +⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数,求数列{}n c 的前2n 项和2n T .【例6】在数列{}n a 中,11a =,且2n ≥,1231231n n a a a a a n -++++=- .(1)求{}n a 的通项公式;(2)若1n b a a =,且数列{}n b 的前项n 和为n S ,证明:3n S <.【题型专练】1.数列{}n a 的前n 项和2n n S n a =⋅(2n ≥,n 为正整数),且11a =,则n a =______.a 2.数列{}n a 满足:11a =,()()*12312312,N n n a a a a n a n n -=++++-≥∈ ,则通项n a =________.3.设{}n a 是首项为1的正项数列且22*11(1)(21)0(N )n n n n na n a n a a n ++++-+=∈,且1+≠n n a a ,求数列{}n a 的通项公式_________4.已知数列{}n a 满足:12a =,12n n n a a n ++=,求数列{}n a 的通项公式.5.已知数列{}n a 中,11a =,()121n n a a n n -=≥-.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)求13523n a a a a +++++ .【答案】(1)n a n =,1n ≥;(2)244n n ++.【分析】(1)利用累乘法求出2n ≥时n a n =,通过验证11a =也满足n a n =,从而求出通项公式为n a n =,1n ≥;(2)根据第一问得到数列{}n a 为等差数列,进而利用等差数列求和公式进行求解.6.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和,且11a =,2n n S n a =.(1)求2a ,3a ;(2)求{}n a 的通项公式.【例1】已知数列{}n a 中,114,46n n a a a +==-,则n a 等于()A .2122n ++B .2122n +-C .2122n -+D .2122n --【例2】若数列{}n a 和{}n b 满足12a =,10b =,1232n n n a a b +=++,1232n n n b a b +=+-,则20222021a b +=()A .2020231⋅+B .2020321⋅-C .2020321⋅+D .2021321⋅-【例3】(多选题)已知数列{}n a 满足132a =,16nn n a a +=+,则下列结论中错误的有()A .113n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列B .{}n a 的通项公式为11321n -⋅-C .{}n a 为递增数列D .1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为213nn --【例4】(多选题)已知数列{}n a 满足:12a =,当2n ≥时,)221n a +=,则关于数列{}n a 的说法正确的是()A .27a =B .{}n a 是递增数列C .221n a n n =+-D .数列{}n a 为周期数列【例5】在①121n n a a +=+;②122n n S n +=-+;③24n n S a n =-+三个条件中任选一个,补充到下面问题的横线处,并解答.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且1=1a ,_____.(1)求n a ;(2)设n n b na =,求数列{}n b 的前n 项和n T .注:如果选捀多个条件解答,按第一个解答计分.【例6】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且1222(N )n n n S a n +*=-+∈.(1)求{}n a 的通项公式;(2)设4nn na b =,若123n n T b b b b =+++⋯+,求n T .【题型专练】1.(多选题)数列{}n a 的首项为1,且121n n a a +=+,n S 是数列{}n a 的前n 项和,则下列结论正确的是()A .37a =B .数列{}1n a +是等比数列C .21n a n =-D .121n n S n +=--【答案】AB【分析】根据题意可得()1121n n a a ++=+,从而可得数列{}1n a +是等比数列,从而可求得数列{}n a 的通项,再根据分组求和法即可求出n S ,即可得出答案.2.已知数列{}n a 满足1111,2n n n n a a a a a ++=-=,则数列{}1n n a a +的前n 项和为______.3.已知数列{}n a 中,11a =,121n n a a +=+,则{}n a 通项n a =______;4.已知数列{}n a 满足24a =,113n n n n a a a a ++-=.求数列{}n a 的通项公式;5.已知数列{}n a 的前n 项和23n n S a n =+-,求{}n a 的通项公式.【答案】121n n a -=+,*n ∈N .【分析】根据12,n n n n a S S -≥=-,构造等比数列即可.【详解】23n n S a n =+-.①当1n =时,11213=+-a a ,可得12a =,当2n ≥时,()11213--=+--n n S a n ,②①-②得121n n a a -=-,则()1121n n a a --=-,而111a -=不为零,故{}1n a -是首项为1,公比为2的等比数列,则112n n a --=,∴数列{}n a 的通项公式为121n n a -=+,*n ∈N .6.设数列{}n a 满足12a =,()1212n n a a n -=-≥.(1)设1n n b a =-,求证:{}n b 是等比数列;(2)设{}n a 的前n 项和为n S ,求满足1036n S ≤的n 的最大值.7.已知正项数列{}n a 满足11a =,且11n n n n a a a a ++-=.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)记22nn a b n =+,记数列{}n b 的前n 项和为n S ,证明:12n S <.8.已知数列{}n a ,11a =,121n n a a +=+.(1)求数列{}1n a +的前5项;(2)求数列{}n a 的前n 项和n S .【答案】(1)前5项依次为2,4,8,16,32;(2)122n n S n +=--.【分析】(1)由题设112(1)n n a a ++=+,根据等比数列的定义写出{}1n a +的通项公式,即可得前5项;(2)应用分组求和,结合等比数列前n 项和公式求n S .(1)由题设112(1)n n a a ++=+,而112a +=,9.已知数列{}n a 和{}n b 满足12a =,10b =,1231n n a b n ++=+,1231n n a b n ++=+,则n n a b -=______,n n a b +=______.【答案】2n2n【分析】由题设有112()n n n n a b a b ++-=-,根据等比数列的定义判断{}n n a b -为等比数列,进而写出通项公式,令n n n c a b =+则12(2)2(1)n n c n c n +--=-+,结合已知{2}n c n -是常数列,即可得{}n n a b +的通项公式.【详解】由题设,11(2)(2)0n n n n a b a b +++-+=,则112()n n n n a b a b ++-=-,而112a b -=,所以{}n n a b -是首项、公比均为2的等比数列,故2nn n a b -=,11(2)(2)62n n n n a b a b n +++++=+,则112()()62n n n n a b a b n +++++=+,令n n n c a b =+,则1262n n c c n ++=+,故12(2)2(1)n n c n c n +--=-+,而111220c a b -=+-=,所以{2}n c n -是常数列,且20n c n -=,则2n n n c a b n =+=.故答案为:2n ,2n .题型五:已知通项公式n a 与前n 项的和n S 关系求通项问题【例1】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,23a =,且122n n a S +=+N n *∈(),则下列说法中错误..的是()A .112a =B .4792S =C .{}n a 是等比数列D .{}1n S +是等比数列【例2】(2022·上海市南洋模范中学高二开学考试)若数列{}n a 的前n 项和为()*N 33n n S a n =+∈,则数列{}n a 的通项公式是n a =___________.所以{}n a 是首项为1,公比为2-的等比数列,故1(2)n n a -=-.故答案为:1(2)n --【例3】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,0n a >,212n n a S +⎛⎫= ⎪⎝⎭.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)求数列{}2na n a ⋅的前n 项和.【例4】数列{}n a 中,n S 为{}n a 的前n 项和,24a =,()()*21N n n S n a n =+∈.(1)求证:数列{}n a 是等差数列,并求出其通项公式;(2)求数列12n S n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和n T .【例5】(2022·辽宁沈阳·高三阶段练习)从条件①()21,0n n n S n a a =+>;②22,0n n n n a a S a +=>;()2n a n ≥中任选一个,补充在下面问题中,并给出解答.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,1=1a ,_____________.(1)求{}n a 的通项公式;(2)[]x 表示不超过x 的最大整数,记[]lg n n b a =,求{}n b 的前100项和100T .则【题型专练】1.(2022·陕西·安康市教学研究室高三阶段练习(理))设数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知21n n S a =-.(1)求数列{}n a 的通项公式;2.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足12a =,()1202n n n a S S n -+=≥.求n a 和n S .3.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ,且n a 和n S 满足:()11,2,3,n a n =+=⋅⋅⋅.求{}n a 的通项公式.4.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,且()1*21N n n a S n +=+∈.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)证明:11132a a a +++<L .5.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,313S =,121n n a S +=+.(1)证明:数列{}n a 是等比数列;(2)若12log n b a =,求数列{}1n n b b +的前n 项和n T .6.已知数列{}n a 中,11a =,其前n 项和为n S ,131n n S S +=+.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设31log n n b a +=,若数列21n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ,求证:34n T <.。
数列求和9种常见题型总结

第7讲数列求和9种常见题型总结【题型目录】题型一:等差等比通向求和公式应用题型二:分析通项,构造新数列求和题型三:错位相减法求和题型四:分组求和法题型五:裂项相消法求和题型六:倒序相加法求和题型七:并项求和问题题型八:先求和,再证不等式题型九:先放缩,再求和【典型例题】题型一:等差等比通向求和公式应用根据通项公式的特点求和:(1)等差数列求和公式:()1122p q n n a a a a S n n p q n ++=⋅=⋅+=+()112n n n S a n d -=+(2)等比数列求和公式:()111,11,1n n a q q S q a n q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩【例1】(2022·宁夏·平罗中学高二阶段练习(理))已知数列{}n a 为等差数列,2616a a +=,510a =.(1)求数列{}n a 的通项;(2)设2n a n b =,求数列{}n b 的前n 项和n S .【例2】(2022陕西·安康市教学研究室一模)已知数列{}n a 为等比数列,13a =,且2a 是1a 与33a -的等差中项.(1)求{}n a 的通项公式;(2)设1n nb a =,求数列{}n b 的前n 项和n S .【例3】(2022·江西·芦溪中学高三阶段练习(文))已知数列{}n a 的前n 项和1*44(N )33n n S n +=-∈.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若2log n n n b a a =+,求数列{}n b 的前n 项和n T .【例4】(2022·陕西·西乡县教学研究室一模(文))己知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足39a =,___________.在①36S a =,②430S =,③25845a a a ++=这三个条件中任选一个,补充在上面问题中,并解答.(注:如果选择多个条件分别解答,则按第一个解答给分)(1)求{}n a 的通项公式;(2)设2na n nb a =+,求{}n b 的前n 项和n T .【题型专练】1.(2022·广东汕尾·高二期末)记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.已知23S =-,39S =.(1)求{}n a 的通项公式;(2)求n S ,判断1n S +,n S ,2n S +是否成等差数列并说明理由.2.(2022·广东·江门市第二中学高二期中)设{}n a 是首项为1的等比数列,且1a 、23a 、39a 成等差数列.(1)求{}n a 的通项公式;(2)记n S 为{}n a 的前n 项和,求{}n S 的前n 项和n T .3.(2022·北京八中高三阶段练习)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且11n n n S S a +=++,请在①4713a a +=;②137,,a a a 成等比数列;③1065S =,这三个条件中任选一个补充在上面题干中,并解答下面问题.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若数列{}n n b a -是公比为2的等比数列,13b =,求数列{}n b 的前n 项和n T .题型二:分析通项,构造新数列求和【例1】(2022·全国·模拟预测(文))在公差不为零的正项等差数列{}n a 中,n S 为数列{}n a 的前n 项和,请在①135720a a a a +++=,236a a a +=;②()()221n n n S a a =+-;③1a ,3a ,7a 成等比数列,23a =三个条件中,任选一个完成下面的问题.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)正项数列{}n b 满足2log n n b a =,求13521n b b b b -++++ .注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.【例2】(2022·辽宁·本溪满族自治县高级中学高三阶段练习)在等差数列{}n a 中,已知28a =,10185S =,(1)求此数列的通项公式;(2)若从此数列中依次取出第二项,第四项,第八项,……,第2n 项,……并按原来的先后顺序组成一个新的数列{}n b ,求数列{}n b 的通项公式与前n 项和n T .【例3】(2022·全国·高三专题练习)已知公比大于1的等比数列{}n a 满足2420a a +=,38a =.(1)求{}n a 的通项公式;(2)求()1132211+--++-n n n a a a a a a .【题型专练】1.(2022·广东广州·一模)已知公差不为0的等差数列{}n a 中,11a =,4a 是2a 和8a 的等比中项.(1)求数列{}n a 的通项公式:(2)保持数列{}n a 中各项先后顺序不变,在k a 与1(1,2,)k a k += 之间插入2k ,使它们和原数列的项构成一个新的数列{}n b ,记{}n b 的前n 项和为n T ,求20T 的值.2.(2022·全国·高三专题练习)n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,且171,28a S ==,记[]lg n n b a =,其中[]x 表示不超过x 的最大整数,如][0.90,lg991⎡⎤==⎣⎦.(1)求111101b b b 、、;(2)求数列{}n b 的前2022项和.3.(2022·云南·高三阶段练习)已知等差数列{}n a 满足121,21n n a a a ==+,设2n a n b =.(1)求{}n b 的通项公式,并证明数列{}n b 为等比数列;(2)将1b 插入12,a a 中,23,b b 插入23,a a 中,456,,b b b 插入34,a a 中, ,依此规律得到新数列1122334564,,,,,,,,,,a b a b b a b b b a ,求该数列前20项的和.4.(2022·甘肃·永昌县第一高级中学高三阶段练习(文))已知数列{}n a 满足213,21n n a a a +==+,设1n n b a =+.(1)证明:{}n b 是等比数列;(2)求13521n a a a a +++++ .。
最新高考数学数列常考知识点及题型总结

最新高考数学数列常考知识点及题型总结等差数列知识要点1.递推关系与通项公式m n a a d n a a d d n a a dm n a a dn a a da a m n n n m n n n n --=--=--=-+=-+==-+1;)1()()1(1111变式:推广:通项公式:递推关系: 为常数)即:特征:m k m kn n f a d a dn a n n ,(,)(),(1+==-+= ),为常数,(m k m kn a n +=是数列{}n a 成等差数列的充要条件。
2.等差中项:若c b a ,,成等差数列,则b 称c a 与的等差中项,且2c a b+=;c b a ,,成等差数列是c a b +=2的充要条件。
3.前n 项和公式 2)(1n a a S n n += ; 2)1(1d n n na S n -+= ),()(,)2(22212为常数即特征:B A Bn An S BnAn n f S n d a n d S n n n +=+==-+=是数列{}n a 成等差数列的充要条件。
4.等差数列{}n a 的基本性质),,,(*∈N q p n m 其中 ⑴q p n m a a a a q p n m +=++=+,则若反之,不成立。
⑵d m n a a m n )(-=-⑶m n m n n a a a +-+=2⑷n n n n n S S S S S 232,,--仍成等差数列。
5.判断或证明一个数列是等差数列的方法:①定义法:)常数)(*+∈=-N n d a a n n (1⇒{}n a 是等差数列②中项法:)221*++∈+=N n a a a n n n (⇒{}n a 是等差数列③通项公式法:),(为常数b k b kn a n +=⇒{}n a 是等差数列④前n 项和公式法:),(2为常数B A Bn An S n +=⇒{}n a 是等差数列练习:1.等差数列{}n a 中,)(31,1201191210864C a a a a a a a 的值为则-=++++A .14B .15C .16D .171651203232)(32)2(31318999119=⋅==-=+-=-a d a d a a a a2.等差数列{}n a 中,12910S S a =>,,则前10或11项的和最大。
高考数列常考题型归纳总结

类型 1
an 1 an f (n)
解法: 把原递推公式转化为 an1 an f (n) , 利用累加法(逐差 相加法)求解。 例:已知数列 a n 满足 a1 , a n1 a n 解:由条件知: a n1 a n
2
1 2
1 ,求 a n 。 n n
1 1 1 1 1 1 1 (1 ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 4 n 1 n 1 所以 an a1 1 n 1 1 1 3 1 a1 , a n 1 2 2 n 2 n
类型 2
an1 f (n)an
2n ,n 1, 2,3, Sn
4 3 1 3 2 3
,证明:
T 2
i 1 inຫໍສະໝຸດ 3解: (I)当 n 1 时, a1 S1 a1 a1 2 ; 当 n 2 时, an S n S n1 an 2 n1 ( an1 2 n ) ,即
an1 2an t t 3 . 故 递 推 公 式 为 an1 3 2(an 3) , 令 bn an 3 , 则 b1 a1 3 4 , 且
bn1 an1 3 2 . 所 以 bn 是 以 bn an 3
b1 4 为首项,2 为公比的等比数列,则 bn 4 2 n1 2n1 ,所以
得 (n 1) 个等式累乘之,即
a a a 2 a3 a 4 1 2 3 n 1 1 n n n a1 a2 a3 an1 2 3 4 a1 n
又 a1 , an
2 3
2 3n
例:已知 a1 3 , an1 解: an
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文德教育知识框架求和公式及性质, 掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用, 就有可 数列的分类能在高考中顺利地解决数列问题。
数列 函数角度理解一、典型 的技巧解法数列的通项公式1、求通 公式的概念数列的递推关系( 1) 察法。
(2)由 推公式求通 。
等差数列的定义 a n a nd ( n 2)1于由 推公式所确定的数列的求解,通常可通 推公式的 化成等等差数列的通项公式a na 1 ( n 1)d差数列或等比数列 。
等差数列S nn ( a 1 a n ) na 1 n(n 1)d (1) 递推式为 a n+1=a n +d 及 a n+1=qa n (d , q 为常数)等差数列的求和公式2 2 例 1、 已知 {a } 足 a =a +2,而且 a =1。
求 a 。
nn+1n1 n等差数列的性质 a n a m a p a q ( mn p q)例 1、解∵a n+1-a n =2 常数∴ {a n } 是首1,公差 2 的等差数列两个基a nnnq( n2) ∴ a =1+2( n-1 )即 a =2n-1等比数列的定义1本数列a n1例 2、已知 {} 足,求 an 1a n a n 1a n ,而 a 1 2 ?等比数列的通项公式a na 1 q n =2等比数列a 1 a n q a 1 (1 q n )1)数列S n1q1 ( q等比数列的求和公式qna 1 ( q 1)等比数列的性质a n a m a p a q ( m npq)公式法 分组求和错位相减求和数列 裂项求和求和倒序相加求和 累加累积 归纳猜想证明分期付款 数列的应用其他( 2) 递推式为 a n+1=a n +f (n )例 3、已知 { a n } 中 a1a1,求 a n ., an 112n4n 2 1解: 由已知可知 a n 1a n(2n11 (1 1 )1)( 2n 1)2 2n 1 2n 1令 n=1, 2,⋯,( n-1 ),代入得( n-1 )个等式累加,即(a 2-a 1) +( a 3-a 2) +⋯+( a -a n-1 )n掌握了数列的基本知识, 特别是等差、等比数列的定义、 通项公式、a nb n 3( 1)n2( 1) na na 11(1 1 ) 4n 3 2n2322n 1 4n2★ 明 只要和f ( 1) +f ( 2) +⋯ +f ( n-1 )是可求的,就可以由a n+1=a n +f ( n )以 n=1,2,⋯,( n-1 )代入,可得 n-1 个等式累加而求 a n 。
高三数学:2024新高考新试卷结构数列的通项公式的9种题型总结(解析版)

2024新高考新试卷结构数列的通项公式的9种题型总结考点一:已知()n f S n =,求na 利用()()⎩⎨⎧≥-==-2,1,11n S S n a S n nn ,注意一定要验证当1=n 时是否成立【精选例题】【例1】已知n S 为数列{}n a 的前n 项和,且121n n S +=-,则数列{}n a 的通项公式为()A .2n n a =B .3,12,2n nn a n =⎧=⎨≥⎩C .12n n a -=D .12n n a +=【答案】B【详解】当2n ≥时,121nn S -=-,1112212n n n n n n a S S +---+=-==;当1n =时,1111213a S +==-=,不符合2n n a =,则3,12,2n n n a n =⎧=⎨≥⎩.故选:B.【例2】定义123nnp p p p +++⋅⋅⋅+为n 个正数123,,,,n p p p p ⋅⋅⋅的“均倒数”,若已知数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为15n,则10a 等于()A .85B .90C .95D .100【例3】(多选题)定义12n n H n-+++= 为数列{}n a 的“优值”.已知某数列{}n a 的“优值”2nn H =,前n 项和为n S ,下列关于数列{}n a 的描述正确的有()A .数列{}n a 为等差数列B .数列{}n a 为递增数列C .2022202520222S =D .2S ,4S ,6S 成等差数列【答案】ABC【详解】由已知可得112222n n n n a a a H n -+++== ,所以112222n nn a a a n -+++=⋅ ,①所以2n ≥时,()211212212n n n a a a n ---+++=-⋅ ,②得2n ≥时,()()111221212n n n n n a n n n ---=⋅--⋅=+⋅,即2n ≥时,1n a n =+,当1n =时,由①知12a =,满足1n a n =+.所以数列{}n a 是首项为2,公差为1的等差数列,故A 正确,B 正确,所以()32n n n S +=,所以32n S n n +=,故2022202520222S =,故C 正确.25S =,414S =,627S =,2S ,4S ,6S 不是等差数列,故D 错误,故选:ABC .【例4】设数列{}n a 满足123211111222n n a a a a n -+++⋅⋅⋅+=+,则{}n a 的前n 项和()A .21n -B .21n +C .2nD .121n +-【答案】C【详解】解:当1n =时,12a =,当2n ≥时,由1231221111112222n n n n a a a a a n ---+++⋅⋅⋅++=+得123122111222n n a a a a n --+++⋅⋅⋅+=,两式相减得,1112n n a -=,即12n n a -=,综上,12,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩所以{}n a 的前n 项和为()11212224822212n n n ---+++++=+=- ,故选:C.【跟踪训练】1.无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足2nn S =,则下列结论中正确的有()A .{}n a 为等比数列B .{}n a 为递增数列C .{}n a 中存在三项成等差数列D .{}n a 中偶数项成等比数列【答案】D【详解】解:无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足2nn S =2n ∴≥,111222n n n n n n a S S ---=-=-=,当1n =时,11122a S ===,不符合上式,12,1,2,2,n n n a n -=⎧∴=⎨≥⎩所以{}n a 不是等比数列,故A 错误;又122a a ==,所以{}n a 不是递增数列,故B 错误;假设数列{}n a 中存在三项,,r m s a a a 成等差数列,由于122a a ==,则*,,N ,2r m s r m s ∈≤<<,所以得:11122222m r s m r s a a a ---=+⇒⨯=+11222m r s --∴=+,则11122r m s m ----∴=+,又11021s m s m ----≥⇒≥且120r m -->恒成立,故式子11122r m s m ----=+无解,{}n a 中找不到三项成等差数列,故C 错误;21*22(N )n n a n -∴=∈,212(1)21242n n n na a ++-∴=={}2n a ∴是等比数列,即{}n a 中偶数项成等比数列,故D 正确.故选:D .考点二:叠加法(累加法)求通项若数列{}n a 满足)()(*1N n n f a a n n ∈=-+,则称数列{}n a 为“变差数列”,求变差数列{}n a 的通项时,利用恒等式)2()1()3()2()1()()()(1123121≥-+⋅⋅⋅++++=-+⋅⋅⋅+-+-+=-n n f f f f a a a a a a a a a n n n 求通项公式的方法称为累加法。
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1 2
5
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n 2时,a n Sn Sn1 …… 3·4 n1
a n ca n1 d c、d为常数,c 0,c 1,d 0
建议收藏下载本文,以便随时学习! 4、叠乘法
可转化为等比数列,设a n x c a n1 x
例如:数列a n 中,a1
3,
a n1 an
n n 1 ,求an
a n ca n1 c 1x
解: a 2 · a 3 …… a n 1 · 2 …… n 1 ,∴ a n 1
a1 a2
a n1 2 3
n
a1 n
又a 1
3,∴a n
3 n
5、等差型递推公式
由a n a n1 f (n),a1 a 0,求a n ,用迭加法
令(c 1)x d,∴x d c1
(3)形如 an1 ank 的递推数列都可以用对数法求通项。
(7)(理科)数学归纳法。
4
文德教育
建议收藏下载本文,以便随时学习! (8)当遇到 an1
an1
d或 an1 an1
q 时,分奇数项偶数项讨论,结果
求数列通项公式的常用方法:
1、公式法
可能是分段形式。 数列求和的常用方法:
2、 由S n 求a n
∴a n
c
d
1是首项为a
1
c
d ,c为公比的等比数列 1
∴a n
c
d 1
a1
c
d
1
·c
n
1
n
2时,a 2 a3
a1 a2
f (2)
f
(3)
两边相加,得:
…… ……
a n a n1 f (n)
2024新高考新试卷结构数列的通项公式的9种题型总结

2024新高考新试卷结构数列的通项公式的9种题型总结题型解密考点一:已知S n =f n ,求a n利用S n =a 1,n =1S n−Sn −1,n ≥2,注意一定要验证当n =1时是否成立【精选例题】1已知S n 为数列a n 的前n 项和,且S n =2n +1-1,则数列a n 的通项公式为()A.a n =2nB.a n =3,n =12n,n ≥2C.a n =2n -1D.a n =2n +1【答案】B【详解】当n ≥2时,S n -1=2n -1,a n =S n -S n -1=2n +1-1-2n +1=2n ;当n =1时,a 1=S 1=21+1-1=3,不符合a n =2n ,则a n =3,n =12n,n ≥2.故选:B .2定义np 1+p 2+p 3+⋅⋅⋅+p n为n 个正数p 1,p 2,p 3,⋅⋅⋅,p n 的“均倒数”,若已知数列a n 的前n 项的“均倒数”为15n,则a 10等于()A.85B.90C.95D.100【答案】C【详解】因为数列a n 的前n 项的“均倒数”为15n ,所以n a 1+a 2+a 3+⋅⋅⋅+a n =15n⇒a 1+a 2+a 3+⋅⋅⋅+a n =5n 2,于是有a 1+a 2+a 3+⋅⋅⋅+a 10=5×102,a 1+a 2+a 3+⋅⋅⋅+a 9=5×92,两式相减,得a 10=5×(100-81)=95,故选:C3(多选题)定义H n =a 1+2a 2+⋯+2n -1a nn为数列a n 的“优值”.已知某数列a n 的“优值”H n =2n ,前n 项和为S n ,下列关于数列a n 的描述正确的有()A.数列a n 为等差数列B.数列a n 为递增数列C.S 20222022=20252 D.S 2,S 4,S 6成等差数列【答案】ABC【详解】由已知可得H n =a 1+2a 2+⋯+2n -1a nn=2n ,所以a 1+2a 2+⋯+2n -1a n =n ⋅2n ,①所以n ≥2时,a 1+2a 2+⋯+2n -2a n -1=n -1 ⋅2n -1,②得n ≥2时,2n -1a n =n ⋅2n -n -1 ⋅2n -1=n +1 ⋅2n -1,即n ≥2时,a n =n +1,当n =1时,由①知a 1=2,满足a n =n +1.所以数列a n 是首项为2,公差为1的等差数列,故A 正确,B 正确,所以S n =n n +3 2,所以S n n =n +32,故S 20222022=20252,故C 正确.S 2=5,S 4=14,S 6=27,S 2,S 4,S 6不是等差数列,故D 错误,故选:ABC .4设数列a n 满足a 1+12a 2+122a 3+⋅⋅⋅+12n -1a n =n +1,则a n 的前n 项和()A.2n -1B.2n +1C.2nD.2n +1-1【答案】C【详解】解:当n =1时,a 1=2,当n ≥2时,由a 1+12a 2+122a 3+⋅⋅⋅+12n -2a n -1+12n -1a n =n +1得a 1+12a 2+122a 3+⋅⋅⋅+12n -2a n -1=n ,两式相减得,12n -1a n =1,即a n =2n -1,综上,a n =2,n =12n -1,n ≥2 所以a n 的前n 项和为2+2+4+8+⋯+2n -1=2+21-2n -1 1-2=2n ,故选:C .【跟踪训练】1无穷数列a n 的前n 项和为S n ,满足S n =2n ,则下列结论中正确的有()A.a n 为等比数列B.a n 为递增数列C.a n 中存在三项成等差数列D.a n 中偶数项成等比数列【答案】D【详解】解:无穷数列a n 的前n 项和为S n ,满足S n =2n ∴n ≥2,a n =S n -S n -1=2n -2n -1=2n -1,当n =1时,a 1=S 1=21=2,不符合上式,∴a n =2,n =1,2n -1,n ≥2,所以a n 不是等比数列,故A 错误;又a 1=a 2=2,所以a n 不是递增数列,故B 错误;假设数列a n 中存在三项a r ,a m ,a s 成等差数列,由于a 1=a 2=2,则r ,m ,s ∈N *,2≤r <m <s ,所以得:2a m =a r +a s ⇒2×2m -1=2r -1+2s -1∴2m =2r -1+2s -1,则∴1=2r -m -1+2s -m -1,又s -m -1≥0⇒2s -m -1≥1且2r -m -1>0恒成立,故式子1=2r -m -1+2s -m -1无解,a n 中找不到三项成等差数列,故C 错误;∴a 2n =22n -1(n ∈N *),∴a 2(n +1)a n =22n +122n -1=4∴a 2n 是等比数列,即a n 中偶数项成等比数列,故D 正确.故选:D .2对于数列a n ,定义H n =a 1+2a 2+3a 3+⋯+na nn为a n 的“伴生数列”,已知某数列a n 的“伴生数列”为H n =(n +1)2,则a n =;记数列a n -kn 的前n 项和为S n ,若对任意n ∈N *,S n ≤S 6恒成立,则实数k 的取值范围为.【答案】 3n +1;227≤k ≤196.【详解】因为H n =(n +1)2=a 1+2a 2+3a 3+⋯+na nn,所以n ⋅(n +1)2=a 1+2a 2+3a 3+⋯+na n ①,所以当n =1时,a 1=4,当n ≥2时,(n -1)⋅n 2=a 1+2a 2+3a 3+⋯+(n -1)a n -1②,①-②:3n 2+n =na n ,所以a n =3n +1,综上:a n =3n +1,n ∈N *,令b n =a n -kn =(3-k )n +1,则b n +1-b n =3-k ,可知{b n }为等差数列,又因为对任意n ∈N *,S n ≤S 6恒成立,所以S 6-S 5=b 6≥0,S 7-S 6=b 7≤0,则有b 6=3-k ×6+1=19-6k ≥0,b 7=3-k ×7+1=22-7k ≤0, 解得227≤k ≤196.故答案为:3n +1;227≤k ≤196考点二:叠加法(累加法)求通项若数列a n 满足a n +1−a n =f (n )(n ∈N *),则称数列a n 为“变差数列”,求变差数列a n 的通项时,利用恒等式a n =a 1+(a 2−a 1)+(a 3−a 2)+⋅⋅⋅+(a n −a n −1)=a 1+f (1)+f (2)+f (3)+⋅⋅⋅+f (n −1)(n ≥2)求通项公式的方法称为累加法。
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高中数学《数列》常见、常考题型总结
题型一:求值类的计算题(多关于等差等比数列) A )根据基本量求解(方程的思想)
1、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,63,6,994=-==n S a a ,求n ;
2、等差数列{}n a 中,410a =且3610a a a ,,成等比数列,求数列{}n a 前20项的和20S .
3、设{}n a 是公比为正数的等比数列,若16,151==a a ,求数列{}n a 前7项的和.
B )根据数列的性质求解(整体思想)
1、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,1006=a ,则=11S ;
2、设n S 、n T 分别是等差数列{}n a 、{}n a 的前n 项和,327++=n n T S n n ,则=5
5b a . 3、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若
==5
935,95S S
a a 则( ) 4、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,)(,m n n S m S m n ≠==,则=+n m S . 5、在正项等比数列{}n a 中,153537225a a a a a a ++=,则35a a +=_______。
6、已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和,54=n S ,602=n S ,则=n S 3 . 7、在等差数列{}n a 中,若4,184==S S ,则20191817a a a a +++的值为( ) 8、在等比数列中,已知910(0)a a a a +=≠,1920a a
b +=,则99100a a += . 题型二:求数列通项公式: 1)给出前n 项和求通项公式
1、⑴n n S n 322
+=; ⑵13+=n n S .
2、设数列{}n a 满足2
*12333()3
n n
a a a a n N +++=
∈n-1
…+3,求数列{}n a 的通项公式
2)给出递推公式求通项公式
a 、⑴已知关系式)(1n f a a n n +=+,可利用累加法;
11232211)()()()(a a a a a a a a a a n n n n n n n +-++-+-+-=-----
例:已知数列{}n a 中,)2(12,211≥-+==-n n a a a n n ,求数列{}n a 的通项公式;
例:已知数列{}n a 满足211=a ,n
n a a n n ++=+211
,求n a 。
b 、已知关系式)(1n f a a n n ⋅=+,可利用累乘法.1
1
22332211a a a
a a a a a a a a a n n n n n n n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-----
例、已知数列{}n a 满足:111
(2),21
n n a n n a a n --=≥=+,求求数列{}n a 的通项公式;
例:已知31=a ,n n a n n a 2
31
31+-=+ )1(≥n ,求n a 。
c 、构造新数列
1°递推关系形如“q pa a n n +=+1”,利用待定系数法求解
例、已知数列{}n a 中,32,111+==+n n a a a ,求数列{}n a 的通项公式.
2°递推关系形如“,两边同除1
n p +或待定系数法求解
例、n n n a a a 32,111+==+,求数列{}n a 的通项公式.
例:已知数列{}n a 中,651=a ,1
1)2
1(31+++=n n n a a ,求n a 。
3°递推关系形如"11n n n n a pa qa a ---=≠(p,q 0),两边同除以1n n a a -
例1、 已知数列{}n a 中,1122n n n n a a a a ---=≥=1(n 2),a ,求数列{}n a 的通项公式.
例2、数列{}n a 中,)(42,211++∈+==N n a a a a n
n
n ,求数列{}n a 的通项公式.
d 、给出关于n S 和m a 的关系
例1、设数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知)(3,11++∈+==N n S a a a n n n ,设n
n n S b 3-=,
求数列{}n b 的通项公式.
例2、设n S 是数列{}n a 的前n 项和,11=a ,)2(212
≥⎪⎭
⎫
⎝
⎛-
=n S a S n n n . ⑴求{}n a 的通项;⑵设1
2+=n S b n
n ,求数列{}n b 的前n 项和n T .
例:已知数列{}n a 前n 项和2
2
14---=n n n a S .(1)求1+n a 与n a 的关系;(2)求通项n a .
题型三:证明数列是等差或等比数列 A)证明数列等差
例1、已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足a n +2S n ·S n -1=0(n ≥2),a 1=2
1
.求证:{n S 1}是等差数列;
B )证明数列等比
例1、已知数列{}n a 满足*12211,3,32().
n n n a a a a a n N ++===-∈
⑴证明:数列{}1n n a a +-是等比数列; ⑵求数列{}n a 的通项公式;
题型四:求数列的前n 项和
基本方法:A )公式法,B )拆解求和法. 例1、求数列n
{223}n +-的前n 项和n S .
C )裂项相消法,数列的常见拆项有:
1111()()n n k k n n k =-++;n n n n -+=++11
1
;
例1、求和:S =1+n
+++++
+++++ 3211
3211211
例2、求和:n
n +++++++++11341231121 .
D )倒序相加法,
例、设2
2
1)(x
x x f +=,求:).2010()2009()2()()()()(21312009120101f f f f f f f ++++++++
E )错位相减法,
例、若数列{}n a 的通项n
n n a 3)12(⋅-=,求此数列的前n 项和n S .
题型五:数列单调性最值问题
例1、数列{}n a 中,492-=n a n ,当数列{}n a 的前n 项和n S 取得最小值时,=n .
例2、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,.16,2541==a a 当n 为何值时,n S 取得最大值;
例3、设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知1a a =,13n n n a S +=+,*
n ∈N .
(Ⅰ)设3n n n b S =-,求数列{}n b 的通项公式;(Ⅱ)若1n n a a +≥,*
n ∈N ,求a 的取值范围.。