数学实验——线性规划

实验5 线性规划

分1 黄浩 43

一、实验目的

1.掌握用MATLAB工具箱求解线性规划的方法

2.练习建立实际问题的线性规划模型

二、实验内容

1.《数学实验》第二版（问题6）

问题叙述：

某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级、到期年限、收益如下表所示。按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50%的税率纳税。此外还有如下限制：

(1).政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元；

(2).所购证券的平均信用等级不超过1.4(信用等级数字越小，信用程度越高)；

(3).所购证券的平均到期年限不超过5年

I.若该经理有1000万元资金，该如何投资？

II.如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金，该经理应如何操作？

III.在1000万元资金情况下，若证券A的税前收益增加为4.5%，投资应否改变？若证券C的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？

模型转换及实验过程：

I.

设经理对于上述五种证券A 、B 、C 、D 、E 的投资额分别为：x 1、x 2、x 3、x 4、x 5(万元)，全部到期后的总收益为z 万元。

由题目中的已知条件，可以列出约束条件为：

{ x 2+x 3+x 4≥4002x 1+2x 2+x 3+x 4+5x 5≤1.4(x 1+x 2+x 3+x 4+x 5)9x 1+15x 2+4x 3+3x 4+2x 5≤5(x 1+x 2+x 3+x 4+x 5)x 1+x 2+x 3+x 4+x 5≤1000}

而决策变量x =(x 1,x 2,x 3,x 4,x 5)T 的上下界约束为：x i ∈[0,1000]

目标函数z =0.043x 1+0.027x 2+0.025x 3+0.022x 4+0.045x 5 将上述条件转变为matlab 的要求形式：

使用matlab 解上述的线性规划问题（程序见四.1），并整理成表格：

得出结论：

当经理对A 、B 、C 、D 、E 五种证券分别投资218.18、0、736.36、0、

45.45万元时，在全部收回时可得到29.836万元的税后收益，而且这种投资方式所得收益是最大的。

讨论：

尝试输出该约束条件下的拉格朗日乘子：

λ=(0 ,0.00618 ,0.00236 ,0.02984)T

该乘子表示，第一个约束条件对目标函数的取值不起作用，而剩余三个约束条件取严格等号的时候，目标函数达到最优解。下面验证之：

由解得的x 值，代入四个约束条件中，得：

{ −x 2−x 3−x 4=−736.36≪−400

0.6x 1+0.6x 2−0.4x 3−0.4x 4+3.6x 5=0.016≈04x 1+10x 2−x 3−2x 4−3x 5=0.01≈0x 1+x 2+x 3+x 4+x 5=999.99≈1000}

因为决策变量x 的取值经过了四舍五入，因而后三个约束条件最终是“约等于”，但已经十分接近，若使用更高精度的x ，则该三式是可以严格等于的。以上便从实验角度证明了拉格朗日乘子的其中一条数学意义——非零分量对应于起作用的约束，且这些约束取严格等于的时候，目标函数达到最优解。

II.

若能以2.75%的利率借到不超过100万元资金，那么还可以将这部分资金进行证券投资，设借款金额为x 6，则线性规划条件改为： 使用matlab 求解（程序见四.2）并整理成表格： 名称

证券A 证券B 证券C 证券D 证券E 借款额 总收益 金额（万元） 240 0 810 0 50 100 30.07

得出结论：

当经理在以2.75%的利率借款100万元后，且对A 、B 、C 、D 、E 五种证券分别投资240、0、810、0、50万元时，在全部收回投资时可得到30.07万元的税后收益，而且这种投资方式所得收益是最大的。

讨论：

本小题中借款的利率2.75%设为了与借款时间无关的量，即无论借多长时间，最终只需多缴纳0.0275倍借款额的利息，这显然是与实际不符的。在这种

情况下，借款额x6的数值显然是100（万元），因为其他五种证券的收益率都高于贷款利率（也可看做负的收益率），借款越多，其他高收益证券就可以有更多本金，收益就越大，因而该情况下，借款多多益善。而实际情况下，贷款利率是按年计算的，在这种情况下，还需要考虑还款时间。

III.

若证券A的税前收益增加为4.5%，则目标函数变为：

z=0.045x1+0.027x2+0.025x3+0.022x4+0.045x5使用matlab解上述线性规划问题（程序见四.3），并整理成表格：

因此，证券A的税前收益增加为4.5%时，投资方式不需改变，而总收益提高为30.273万元

同样，若证券C的税前收益减少为4.8%，则目标函数变为：

z=0.043x1+0.027x2+0.024x3+0.022x4+0.045x5使用matlab解上述线性规划问题（程序见四.4），并整理成表格：

因此，当证券C的税前收益减少为4.8%时，投资方式发生了很大改变，证券A和E有少量的变化，证券C被完全舍弃，原C的资金大部分改投证券D，而总收益也由29.836万元下降为29.424万元。

得出结论：

若证券A的税前收益增加为4.5%，投资不需改变。总收益增加为30.273万元。

而若证券C的税前收益减少为4.8%，投资需要发生改变，五个证券的投资额相应变为336、0、0、648、16万元。总收益下降为29.424万元。

2.《数学实验》第二版（问题8）

问题叙述：