竖直平面内的圆周运动绳、杆模型)学校学案

竖直平面内的圆周运动杆模型）

学习目标：

1、加深对向心力的认识，会在绳、杆两类问题中分析向心力的来源。

2、知道两类问题的“最高点”、“最低点”临界条件。

注意知识点：

1、对于物体在竖直平面内做的圆周运动是一种典型的变速曲线运动，该类运动常有临界问题，并伴有

“最大”、“最小”、“刚好”等词语，常分析两种模型：绳模型、杆模型。两种模型过最高点的临界

条件不同，其实质原因主要是：

（1）“绳”（或圆轨道内侧）不能提供支撑力，只能提供拉力。

（2）“杆”（或在圆环状细管内）既能承受压力，又能提供支撑力。

一、绳模型：如图所示小球在细绳的约束下，在竖直平面内做圆周运动，小球质量为

1、在最低点时，对小球受力分析，小球受到重力、绳的拉力。由牛顿第二定律得：向心力由重力mg和拉力F的合力提供：

2 2

F-mg=m V得：F =mg+m—R R

在最低点拉力大于重力

2、在最高点时，我们对小球受力分析如图，小球受到重力、绳的拉

力。可知小球做圆周运动的向心力由重力mg和拉力F共同提供：

2

F+mg= m —R

在最高点时，向心力由重力和拉力共同提供，v越大，所需的向心力越大，重力不变，因此大

力就越大；反过来，v越小，所需的向心力越小，重力不变，因此拉力也就越小。如果v不断减小，那么绳的拉力就不断减小，在某时刻绳的拉力F就会减小到0，这时小球的向心力最小F向=mg,这时

只有重力提供向心力。故：

（1）小球能过最高点的临界条件：绳子（或轨道）对小球刚好没有力的作用，只有重力提供向心力，小球做圆周运动刚好能过最高点。

2 __________________________

mg= m - v临界=..』Rg

R

（2 ）小球能过最高点条件：-> .Rg

（当-> ,Rg时，绳对球产生拉力或轨道对球产生压力，向心力由重力和绳的拉力共同提供）

（3）不能过最高点条件：v < ■ Rg

（实际上球还没有到最高点时，就脱离了轨道）

二、杆模型：

m绳长为R,

如图，小球在轻杆的约束下在竖直平面内做匀速圆周运动，小球质量为1、在最低点时，对小球受力分析，向心力的来源是向心力由重力

2

合力提供，由牛顿第二定律得：F+mg= m

R

m杆长为R, mg和拉力F的

在最低点情况和绳模型一样

2、在最高点时，我们对小球受力分析如图，杆的弹力F N有可能是拉力，也可能是支持力。

(1)若杆的作用力为支持力；

受力分析：小球受竖直向下的重力和竖直向上的支持力

2

列牛顿第二定律：mg -F= m —

R

(2)若杆的作用力为拉力; 受力分析：小球受竖直向下的重力和竖直向下的拉力 2 列牛顿第二定律：

mg+F=ml

R

(3)若杆的作用力为零时，小球仅受竖直向下的重力; G

2 列牛顿第二定律： mg= m —

R

(4)小球在最高点速度为零时，杆的支持力大小等于重力，小球 的向心力为零。 注：小球在圆形管道内运动过圆周最高点的情况与此相同。 故杆或者圆形管道内运动过圆周最高点的情况可总结为： v = 0, F = mg(F 为支持力) (1) 小球能最高点的临界条件: (2) (3) (4) 0< v < Rg 时，F 随v 增大而减小，且 mg > F > 0 v =、Rg 时，F =0 v > Rg 时，F 随v 增大而增大，且 F >0 (F 为拉力) (F 为支持力) 长为L 的细绳，一端系一质量为 m 的小球，另一端固定于某点，当绳竖直时小球静止，再 给小球一水平初速度v 0,使小球在竖直平面内做圆周运动， 并且刚好能过最高点，贝U 下列说法中正确 的是 A. 例1. ( ) 球过最高点时，速度为零 C . 开始运动时，绳的拉力为 B 2

v m L

.球过最高点时，绳的拉力为 mg D.球过最高点时，速度大小为 「Lg 解析：开始运动时，由小球受的重力 mg 和绳的拉力 F 的合力提供向心力，即 2

F =m v

^ ■ mg ，可见C 不正确；小球刚好过最咼点时，绳拉力为 A 、B 、C 均不正确。故选： D 例2：如图6-11-3所示，一轻杆一端固定质量为 m 的小球, O 为圆心，使小球做半径为 R 的圆周运动，以下说法正确的是 A. 球过最高点时，杆所受的弹力可以等于零 B. 球过最高点时，最小速度为

..一 Rg C. 球过最高点时，杆对球的弹力一定与球的重力方向相反

D. 球过最高点时，杆对球的弹力可以与球的重力反向，此时重力 解析： 当 0< v <

确。故选：

例3.

(1)

0, mg 以另一端 ( ) 定大于杆对球的弹力 小球用轻杆支持过最高点时， v 临二0,故B 不正确；当v = . Rg

时，F = 0故A 正确。 ..Rg 时，mg > F > 0 , F 为支持力故 D 正确。当v > . Rg 时，F >0, F 为拉力，故 C 不正

A

D 绳系着装水的水桶，在竖直平面内做圆周运动，水的质量

为使桶在最高点时水不流出，桶的最小速率？ m = 0.5kg ，绳长 L = 40cm,求:

（2）桶在最高点速率 v = 3m/s 时，水对桶底的压力？

2 解析：（1）在最高点水不流出的条件是重力不大于水做圆周运动所需的向心力。

即：mq zm 也

_ R

则最小速率v o »丽》；0.4 10 m/s = 2m/s

（2）水在最高点速率大于 V o 时，只靠重力提供向心力已不足，此时水桶底对水有一向下的压力，

2

2

设为F ,由牛顿第二定律有 F + mg = m —， F = m — -mg = 6.25N ，由牛顿第三定律知，水对桶

R

R

底的作用力F = F = 6.25N ，方向竖直向上。 巩固练习

1 .汽车以一定速率通过拱桥时，下列说法中正确的是 （）

A.

在最高点汽车对桥的压力大于汽车的重力 B •在最高点汽车

对桥的压力等于汽车的重力

C.在最高点汽车对桥的压力小于汽车的重力 D •汽车以恒定的速率过桥时，汽车所受的合力为零

2 •乘坐游乐园的翻滚过山车时，质量为

m 的人随车在竖直平面内旋转，下列说法正确的是（

）

A. 车在最高点时人处于倒坐状态，全靠保险带拉住，没有保险带，人就会掉下来

B.

人在最高点时对座仍可能产生压力，但压力一

定小于

mg

C.

人在最低点时对座位的压力等于 m g

D.

人在最低点时对座位的压力大于 m g

3 •把盛水的水桶拴在长为

L 的绳子一端，使水桶在竖直平面做圆周运动，要使水在水桶转到最高点

时不从水桶里流出来，这时水桶的线速度至少应该是

（

）

4•如图所示，用长为I 的细绳拴着质量为 m 的小球在竖直平面内做圆周运动，则下列说法中正确的 是（） A. 小球在圆周最高点时所受的向心力一定为重力 B. 小球在最高点时绳子的拉力不可能为零

C.若小球刚好能在竖直平面内做圆周运动，则其在最高点的速率为

D.小球过最低点时绳子的拉力一定大于小球重力

（第5

题）

5 .一轻杆一端固定一质量为 M 的小球，以另一端为轴在竖直面内做圆周运动。小球运动到最高点时，

关于小球受力，下列说法中正确的是

（）

A .轻杆对小球的作用力不可能向下 B

.轻杆对小球的作用力不可能为零

C.

轻杆对小球的作用力和小球重力的合力提供向心力

D .小球所受的向心力不可能为零

6 .如图所示，长为 L 的轻杆，一端固定着一个小球，另一端可绕光滑的水平轴转，使小球在竖直平

面内运动，设小球在最高点的速度为

v ,则（）

D.当v 由gL 逐渐减小时，杆对球的弹力也逐渐减小 7 •如图所示，小球 m 在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周

B. gL/2 c/gL D.2 gL

gL

A . v 的最小值为.gL

B . v 若增大，向心力也增大

C.当v 由.gL 逐渐增大时，杆对球的弹力也增大