材料力学总复习1-9
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2、剪力与弯矩
a. 剪力的正负
使梁微段发生顺时针转动的剪力Fs 为正，反之为负。
Fs Fs
（＋）
Fs Fs
（－）
b. 弯矩的正负
M
M
使梁微段发生上凹下凸变形的
弯矩 M 为正，反之为负。
（＋） M （－） M
第四章 弯曲内力
3、 剪力、弯矩与载荷集度间的微分关系
（1） q(x) 0 d Fs (x) q(x) 0,
dx
d2 M (x) d x2 q(x) 0
Fs图为平行于x轴的直线段。 Fs>0时，M图上扬
Fs<0时，M图下倾
Fs=0时，M图水平
（2） q const
d2 M (x) d x2
d
Fs (x) dx
q(x)
const
Fs图为直线，M为抛物线。
q>0时，Fs图上扬
M图
q<0时，Fs图下倾
M图
Tmax Wp
源自文库
7 圆轴扭转变形与刚度条件
a 圆轴扭转时的变形:
Tl
GIp
Tili
GI pi
b 圆轴扭转的刚度条件:
max
Tmax GIp
第四章 弯曲内力
1、平面弯曲的概念
若梁上的外载荷都作用在纵向对称平面内，则梁弯曲变形后的轴 线为纵向对称平面内的平面曲线。
—— 这种弯曲称为平面弯曲或对称弯曲。
铸铁拉伸与压缩试验：
几种现象；
三、拉压强度条件及其应用
FN
A
的确定：试验
s
ns
或 b
nb
第二章 拉伸和压缩
强度计算的三类问题：
强度校核： FN
A
许用载荷计算： FN A
截面设计：
A
FN
四、杆件的变形与超静定问题求解
静不定问题的求解步骤：
建立静力平衡方程 建立变形协调方程 建立物理方程（胡克定律）
b 两个假设 （1）平面假设 （2）纵向纤维互不挤压假设，即单向拉压。
第五章 弯曲应力
c 两个概念
（1）中性层：梁中纤维即不伸长也不缩短的那层。
（2）中性轴：中性层与横截面的交线。
d 三个方面 由变形几何关系得到
y
由物理关系得到 E E y
由静力学关系得到 1 M
EI z
My
Iz
D
Iy
Iz
D 4
64
(1a 4 )
Wz
D3
32
(1a 4
)
其中a d
D
d
5 对称弯曲切应力
FSS
z
Izb
矩形截面梁:
梁弯曲时横截面任一 点切应力计算公式
max
F S Smax z max Izb
max
3FS 2A
工字形截面梁:
max
FS bh
圆形截面梁:
max
4 FS
3 R2
6、弯曲正应力强度条件
Ip 32
Wp
D3
16
第三章 扭转
b. 空心圆截面
Ip
D4
32
(1a 4 )
c. 薄壁圆截面
Ip 2 R03
6 圆轴扭转破坏与强度条件
Wp
D3
16
(1a 4 )
Wp 2 R02
脆性材料扭转破坏: 沿 450 螺旋曲面被拉断
塑性材料扭转破坏: 沿横截面被剪断
圆轴扭转的强度条件为:
max
第一章 绪 论
应力——分布内力在截面内一点的密集程度
p
lim
A0
pm
lim
A0
P A
线位移－构件内各点原来位置到新位置之间的距离。
角位移－原有截面（直线）在变形后所旋转的角度。
lim M N MN lim u
MN0 MN
s0 s
g =a +b
(直角改变量 )
胡克定律
轴向拉压 E 纯剪切 Gg
2dA
A
Ip Iy Iz
极惯性矩与惯性矩间的关系 y
a 矩形截面的形心主惯性矩
Iz
bh3 12
Iy
hb3 12
h
dy
y
则
Wz
Iz ymax
bh2 6
Wy
Iy xmax
b2h 6
O
z
b 圆形截面的形心主惯性矩
b
z
Iy
Iz
Ip 2
d4
64
Wz
d 3
32
d
O
y
第五章 弯曲应力
同理，对于空心圆截面：
梁强度计算的三类问题：
max
M WZ
m a x
（a）强度校核； （b）梁的截面设计； （c）梁的许用载荷计算；
第五章 弯曲应力
7、弯曲切应力强度条件
max
F S Smax z max Izb
对于下列情况需用梁的剪 切强度校核计算：
1.轴向拉伸或压缩 3.扭转
2.剪切 4.弯曲
第二章 拉伸和压缩
一、基本概念及基本量
轴力：FN —— 截面法、轴力图 应力： FN
A
变形： l FNl
EA
应变： （轴向应变） （横向应变）
E
二、材料的力学性能 （材料的机械性质）
低碳钢拉伸与压缩试验：
4个阶段； 5个指标： p ,s , b , ,
1 对称弯曲: 外载荷作用于梁的纵向对称面内, 因此其变形也对 称于纵向对称面, 这种梁的变形形式称为对称弯曲。
梁的横截面上既有弯矩又有剪力的弯曲称为横力弯曲 梁的横截面上只有弯矩没有剪力的弯曲称为纯弯曲
2 纯弯曲时梁的横截面上的正应力
a 三种现象 （1）变形后，横截面仍保持为平面。但横截面间发生转动。 （2）同一层（高度）的纤维变形相同，即曲率相同。 （3）矩形横截面变为上宽下窄的近似倒梯形。
下表是常见载荷的Fs图和M图
载荷
Fs图
d Fs (x) q(x) dx
M图
d M (x) d x Fs (x)
载荷
Fs图
d Fs (x) q(x) dx
M图
d
M (x) dx
Fs
(x)
F
M
q
q
水平线
+
q0
二次
+
F 无变化 一次
+
M
二次
一次
+
二次
q0
二次
+
q0
二次
+
q0
二次
+
三次
三次
三次
三次
第五章 弯曲应力
3 纯弯曲正应力强度条件
在弯矩最大的截面上离中性轴最远处发生最大正应力
max
M max Iz
ymax
max
M WZ
max
弯曲正应力强度条件
第五章 弯曲应力
4、惯性矩与极惯性矩
惯性矩：图形面积对某轴的二次矩
Iz
y2 d A,
A
Iy
z2 d A
A
极惯性矩: 平面图形对某点的二次矩：
Ip
（3） q f (x), 若 Q图为抛物线, M为三次曲线.
第四章 弯曲内力
（4） Fs (x) 0
d M (x) d x Fs (x) 0
该截面上弯矩有极值（极大值或极小值）。
（5） 在集中力作用处
Fs图有突变， M图的斜率也发生突变，也就是出现尖角。
（6） 在集中力偶作用处 M图有突变， Fs图无特殊变化。
—— 得到补充方程
将平衡方程与补充方程联立求解
五、剪切与挤压的实用计算
第三章 扭转
1、传动轴的外力偶矩计算
m 9549 P n
m 7024 P n
2、扭矩与扭矩图 3、薄壁圆筒的扭转应力
T 2 r2t
4、圆轴扭转横截面上的应力
T
Ip
max
T Wp
5 极惯性矩与抗扭截面系数
a. 实心圆截面
D4
a. 剪力的正负
使梁微段发生顺时针转动的剪力Fs 为正，反之为负。
Fs Fs
（＋）
Fs Fs
（－）
b. 弯矩的正负
M
M
使梁微段发生上凹下凸变形的
弯矩 M 为正，反之为负。
（＋） M （－） M
第四章 弯曲内力
3、 剪力、弯矩与载荷集度间的微分关系
（1） q(x) 0 d Fs (x) q(x) 0,
dx
d2 M (x) d x2 q(x) 0
Fs图为平行于x轴的直线段。 Fs>0时，M图上扬
Fs<0时，M图下倾
Fs=0时，M图水平
（2） q const
d2 M (x) d x2
d
Fs (x) dx
q(x)
const
Fs图为直线，M为抛物线。
q>0时，Fs图上扬
M图
q<0时，Fs图下倾
M图
Tmax Wp
源自文库
7 圆轴扭转变形与刚度条件
a 圆轴扭转时的变形:
Tl
GIp
Tili
GI pi
b 圆轴扭转的刚度条件:
max
Tmax GIp
第四章 弯曲内力
1、平面弯曲的概念
若梁上的外载荷都作用在纵向对称平面内，则梁弯曲变形后的轴 线为纵向对称平面内的平面曲线。
—— 这种弯曲称为平面弯曲或对称弯曲。
铸铁拉伸与压缩试验：
几种现象；
三、拉压强度条件及其应用
FN
A
的确定：试验
s
ns
或 b
nb
第二章 拉伸和压缩
强度计算的三类问题：
强度校核： FN
A
许用载荷计算： FN A
截面设计：
A
FN
四、杆件的变形与超静定问题求解
静不定问题的求解步骤：
建立静力平衡方程 建立变形协调方程 建立物理方程（胡克定律）
b 两个假设 （1）平面假设 （2）纵向纤维互不挤压假设，即单向拉压。
第五章 弯曲应力
c 两个概念
（1）中性层：梁中纤维即不伸长也不缩短的那层。
（2）中性轴：中性层与横截面的交线。
d 三个方面 由变形几何关系得到
y
由物理关系得到 E E y
由静力学关系得到 1 M
EI z
My
Iz
D
Iy
Iz
D 4
64
(1a 4 )
Wz
D3
32
(1a 4
)
其中a d
D
d
5 对称弯曲切应力
FSS
z
Izb
矩形截面梁:
梁弯曲时横截面任一 点切应力计算公式
max
F S Smax z max Izb
max
3FS 2A
工字形截面梁:
max
FS bh
圆形截面梁:
max
4 FS
3 R2
6、弯曲正应力强度条件
Ip 32
Wp
D3
16
第三章 扭转
b. 空心圆截面
Ip
D4
32
(1a 4 )
c. 薄壁圆截面
Ip 2 R03
6 圆轴扭转破坏与强度条件
Wp
D3
16
(1a 4 )
Wp 2 R02
脆性材料扭转破坏: 沿 450 螺旋曲面被拉断
塑性材料扭转破坏: 沿横截面被剪断
圆轴扭转的强度条件为:
max
第一章 绪 论
应力——分布内力在截面内一点的密集程度
p
lim
A0
pm
lim
A0
P A
线位移－构件内各点原来位置到新位置之间的距离。
角位移－原有截面（直线）在变形后所旋转的角度。
lim M N MN lim u
MN0 MN
s0 s
g =a +b
(直角改变量 )
胡克定律
轴向拉压 E 纯剪切 Gg
2dA
A
Ip Iy Iz
极惯性矩与惯性矩间的关系 y
a 矩形截面的形心主惯性矩
Iz
bh3 12
Iy
hb3 12
h
dy
y
则
Wz
Iz ymax
bh2 6
Wy
Iy xmax
b2h 6
O
z
b 圆形截面的形心主惯性矩
b
z
Iy
Iz
Ip 2
d4
64
Wz
d 3
32
d
O
y
第五章 弯曲应力
同理，对于空心圆截面：
梁强度计算的三类问题：
max
M WZ
m a x
（a）强度校核； （b）梁的截面设计； （c）梁的许用载荷计算；
第五章 弯曲应力
7、弯曲切应力强度条件
max
F S Smax z max Izb
对于下列情况需用梁的剪 切强度校核计算：
1.轴向拉伸或压缩 3.扭转
2.剪切 4.弯曲
第二章 拉伸和压缩
一、基本概念及基本量
轴力：FN —— 截面法、轴力图 应力： FN
A
变形： l FNl
EA
应变： （轴向应变） （横向应变）
E
二、材料的力学性能 （材料的机械性质）
低碳钢拉伸与压缩试验：
4个阶段； 5个指标： p ,s , b , ,
1 对称弯曲: 外载荷作用于梁的纵向对称面内, 因此其变形也对 称于纵向对称面, 这种梁的变形形式称为对称弯曲。
梁的横截面上既有弯矩又有剪力的弯曲称为横力弯曲 梁的横截面上只有弯矩没有剪力的弯曲称为纯弯曲
2 纯弯曲时梁的横截面上的正应力
a 三种现象 （1）变形后，横截面仍保持为平面。但横截面间发生转动。 （2）同一层（高度）的纤维变形相同，即曲率相同。 （3）矩形横截面变为上宽下窄的近似倒梯形。
下表是常见载荷的Fs图和M图
载荷
Fs图
d Fs (x) q(x) dx
M图
d M (x) d x Fs (x)
载荷
Fs图
d Fs (x) q(x) dx
M图
d
M (x) dx
Fs
(x)
F
M
q
q
水平线
+
q0
二次
+
F 无变化 一次
+
M
二次
一次
+
二次
q0
二次
+
q0
二次
+
q0
二次
+
三次
三次
三次
三次
第五章 弯曲应力
3 纯弯曲正应力强度条件
在弯矩最大的截面上离中性轴最远处发生最大正应力
max
M max Iz
ymax
max
M WZ
max
弯曲正应力强度条件
第五章 弯曲应力
4、惯性矩与极惯性矩
惯性矩：图形面积对某轴的二次矩
Iz
y2 d A,
A
Iy
z2 d A
A
极惯性矩: 平面图形对某点的二次矩：
Ip
（3） q f (x), 若 Q图为抛物线, M为三次曲线.
第四章 弯曲内力
（4） Fs (x) 0
d M (x) d x Fs (x) 0
该截面上弯矩有极值（极大值或极小值）。
（5） 在集中力作用处
Fs图有突变， M图的斜率也发生突变，也就是出现尖角。
（6） 在集中力偶作用处 M图有突变， Fs图无特殊变化。
—— 得到补充方程
将平衡方程与补充方程联立求解
五、剪切与挤压的实用计算
第三章 扭转
1、传动轴的外力偶矩计算
m 9549 P n
m 7024 P n
2、扭矩与扭矩图 3、薄壁圆筒的扭转应力
T 2 r2t
4、圆轴扭转横截面上的应力
T
Ip
max
T Wp
5 极惯性矩与抗扭截面系数
a. 实心圆截面
D4