数论-绪论

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2、费尔马大定理： 费尔马大定理： 费马是十七世纪最卓越的数学家之一， 费马是十七世纪最卓越的数学家之一，他在数学 许多领域中都有极大的贡献， 许多领域中都有极大的贡献，因为他的本行是专业的 律师，世人冠以“业余王子”之美称。 律师，世人冠以“业余王子”之美称。在三百七十多 年前的某一天， 年前的某一天，费马正在阅读一本古希腊数学家戴奥 芬多斯的数学书时，突然心血来潮在书页的空白处， 芬多斯的数学书时，突然心血来潮在书页的空白处， 写下一个看起来很简单的定理。 写下一个看起来很简单的定理。
若2n 1是素数，则2n1(2n 1)是完全数
注意以上谈到的完全数都是偶完全数, 注意以上谈到的完全数都是偶完全数,至今仍然 不知道有没有奇完全数。 不知道有没有奇完全数。
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四、我国古代数学的伟大成就 1、周髀算经 公元前100多年，汉朝人撰， 100多年 公元前100多年，汉朝人撰，是一部既谈天体又 谈数学的天文历算著作，主要讨论盖天说， 谈数学的天文历算著作，主要讨论盖天说，提出了 著名的“勾三股四弦五”这个勾股定理的一个特例。 著名的“勾三股四弦五”这个勾股定理的一个特例。 2、孙子算经 约成书于四、五世纪， 约成书于四、五世纪，作者生平和编写年代都不 清楚。现在传本的《孙子算经》共三卷。 清楚。现在传本的《孙子算经》共三卷。卷上叙述算 筹记数的纵横相间制度和筹算乘除法则， 筹记数的纵横相间制度和筹算乘除法则，卷中举例说 明筹算分数算法和筹算开平方法。卷下第31 31题 明筹算分数算法和筹算开平方法。卷下第31题，可谓 是后世“鸡兔同笼”题的始祖，后来传到日本，变成 是后世“鸡兔同笼”题的始祖，后来传到日本， 鹤龟算” “鹤龟算”。
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数论的发展史 自古以来， 自古以来，数学家对于整数性质的研究一直十 分重视， 分重视，初等数论的大部份内容早在古希腊欧几里 德的《几何原本》 公元前3世纪）中就已出现。 德的《几何原本》（公元前3世纪）中就已出现。欧 几里得证明了素数有无穷多个， 几里得证明了素数有无穷多个，他还给出求两个自 然数的最大公约数的方法，即所谓欧几里得算法。 然数的最大公约数的方法，即所谓欧几里得算法。 我国古代在数论方面亦有杰出之贡献， 我国古代在数论方面亦有杰出之贡献，现在一般数 论书中的“中国剩余定理” 正是我国古代《 论书中的“中国剩余定理”，正是我国古代《孙子 算经》中的下卷第26 26题 我国称之为孙子定理。 算经》中的下卷第26题，我国称之为孙子定理。 近代初等数论的发展得益於费马、欧拉、 近代初等数论的发展得益於费马、欧拉、拉格 朗日、勒让德和高斯等人的工作。1801年 朗日、勒让德和高斯等人的工作。1801年，德国数 学家高斯集中前人的大成，写了一本书叫做《 学家高斯集中前人的大成，写了一本书叫做《算术 探究》 开始了现代数论的新纪元。高斯还提出： 探究》，开始了现代数论的新纪元。高斯还提出： 数学是科学之王，数论是数学之王” “数学是科学之王，数论是数学之王”。
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三
几个著名数论难题 初等数论是研究整数性质的一门学科， 初等数论是研究整数性质的一门学科，历史上遗
留下来没有解决的大多数数论难题其问题本身容易搞 懂，容易引起人的兴趣，但是解决它们却非常困难。 容易引起人的兴趣，但是解决它们却非常困难。 其中，非常著名的问题有：哥德巴赫猜想 ； 其中，非常著名的问题有： 完全数问题等。 费尔马大定理 ；孪生素数问题 ；完全数问题等。
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二
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由于自20世纪以来引进了抽象数学和高等分析的 由于自20世纪以来引进了抽象数学和高等分析的 20 巧妙工具，数论得到进一步的发展， 巧妙工具，数论得到进一步的发展，从而开阔了新的 研究领域，出现了代数数论、解析数论、几何数论等 研究领域，出现了代数数论、解析数论、 新分支。而且近年来初等数论在计算机科学、 新分支。而且近年来初等数论在计算机科学、组合数 学、密码学、代数编码、计算方法等领域内更得到了 密码学、代数编码、 广泛的应用，无疑同时也促进着数论的发展。 广泛的应用，无疑同时也促进着数论的发展。
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1、哥德巴赫猜想： 哥德巴赫猜想： 1742年 1742年,由德国中学教师哥德巴赫在教学中首先 发现的。1742年 发现的。1742年6月7日，哥德巴赫写信给当时的大数 学家欧拉,正式提出了以下的猜想： 学家欧拉,正式提出了以下的猜想： 一个大于6的偶数可以表示为不同的两个质数之和。 一个大于6的偶数可以表示为不同的两个质数之和。 陈景润在1966年证明了“哥德巴赫猜想” 陈景润在1966年证明了“哥德巴赫猜想”的“一 1966年证明了 个大偶数可以表示为一个素数和一个不超过两个素数 的乘积之和” 所谓的1+2〕 的乘积之和”〔所谓的1+2〕，是筛法的光辉顶点， 1+2 筛法的光辉顶点， 的光辉顶点 至今仍是“哥德巴赫猜想”的最好结果。 至今仍是“哥德巴赫猜想”的最好结果。
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数论中的一些简单问题 例1. 计算 (123456+234561+345612+456123+561234+612345)÷6 ÷ 例2.11112222个棋子排成一个大长方形，每一横行的 2.11112222个棋子排成一个大长方形， 个棋子排成一个大长方形 棋子数比每一直行的棋子数多一个， 棋子数比每一直行的棋子数多一个，这个长方阵每一 横行有棋子_________个 横行有棋子_________个。 _________ 例3.狐狸在跑道上跳远，每次跳远150CM从起点开始 3.狐狸在跑道上跳远，每次跳远150CM从起点开始 狐狸在跑道上跳远 150CM 每隔130CM设一个陷阱，问狐狸跳了几次后掉进井中？ 每隔130CM设一个陷阱，问狐狸跳了几次后掉进井中？ 130CM设一个陷阱 例4：71427和19的积被7整除是几？ 71427和19的积被7整除是几？ 的积被
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周髀算经
孙子算经
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3、算数书 1983年在湖北省江陵县张家山 年在湖北省江陵县张家山， 1983年在湖北省江陵县张家山，出土了一批西汉 初年，即吕后至文帝初年的竹简，共千余支。 初年，即吕后至文帝初年的竹简，共千余支。经初步 整理，其中有律令、 脉书》 引书》 历谱、 整理，其中有律令、《脉书》、《引书》、历谱、日 书等多种古代珍贵的文献，还有一部数学著作， 书等多种古代珍贵的文献，还有一部数学著作，据写 在一支竹简背面的字迹辨认， 在一支竹简背面的字迹辨认，这部竹简算书的书名叫 算数书》 《算数书》。 算数书》是中国现已发现的最古的一部算书， 《算数书》是中国现已发现的最古的一部算书， 大约比现有传本的《九章算术》还要早近二百年， 大约比现有传本的《九章算术》还要早近二百年，而 九章算术》是传世抄本或刊书， 算数书》 且《九章算术》是传世抄本或刊书，《算数书》则是 出土的竹筒算书，属于更可珍贵的第一手资料， 出土的竹筒算书，属于更可珍贵的第一手资料，所以 算数书》引起了国内外学者的广泛关注， 《算数书》引起了国内外学者的广泛关注，目前正在 被深入研究之中。 被深入研究之中。
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一
初等数论及其主要内容 数论是研究整数性质的一门很古老的数学分支， 数论是研究整数性质的一门很古老的数学分支，
其初等部分是以整数的整除性为中心的， 其初等部分是以整数的整除性为中心的，包括整除 性、不定方程、同余式、连分数、素数（即质数） 不定方程、同余式、连分数、素数（即质数） 分布 以及数论函数等内容，统称初等数论 以及数论函数等内容， theory）。 （elementary number theory）。 初等数论是数论中不求助于其他数学学科的帮 助，只依靠初等的方法来研究整数性质的分支。 只依靠初等的方法来研究整数性质的分支。
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4、数术记遗 《数术记遗》相传是汉末徐岳所作，亦有数学史家 数术记遗》相传是汉末徐岳所作， 认为本书是北周甄鸾自著。 认为本书是北周甄鸾自著。 《数术记遗》把大数的名称按不同的涵义排列三个 数术记遗》 不同的数列，另一部份是关于一个幻方的清楚的说明， 不同的数列，另一部份是关于一个幻方的清楚的说明， 它成为数论中这一发现的最古的文字记载之一， 它成为数论中这一发现的最古的文字记载之一，书中 至少提到了四种算盘， 至少提到了四种算盘，因此它是谈到算盘的最古老的 书籍。 书籍。
方程 x + y = z (n ≥ 3) 无非0整数解
n n n
经过8年的努力， 安德鲁 经过8年的努力，英国数学家 安德鲁怀尔斯 终于在1995年完成了该定理的证明。 终于在1995年完成了该定理的证明。 1995年完成了该定理的证明
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3、孪生素数问题 存在无穷多个素数 p, 使得 p+2 也是素数。 , +2 也是素数。 究竟谁最早明确提出这一猜想已无法考证， 究竟谁最早明确提出这一猜想已无法考证，但是 1849年法国数学 提出猜想： 1849年法国数学 Alphonse de Polignac 提出猜想：对 为间隔的素数。 于任何偶数 2k, 存在无穷多组以 为间隔的素数。 , 存在无穷多组以2k为间隔的素数 k=1，这就是孪生素数猜想， 对于 k=1，这就是孪生素数猜想，因此人们有时把 Alphonse de Polignac 作为孪生素数猜想的提出者。 作为孪生素数猜想的提出者。 不同的 对应的素数对的命名也很有趣， 不同的 k 对应的素数对的命名也很有趣，k=1 我们 已经知道叫做孪生素数； 即间隔为4) 已经知道叫做孪生素数； k=2 (即间隔为4) 的素数 对被称为 cousin prime ；而 k=3 (即间隔为 6) 的素数 不过别想歪了， 对竟然被称为 sexy prime (不过别想歪了，之所以称为 sexy prime 其实是因为 sex 正好是拉丁文中的 6。) 其实是因为
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4、最完美的数——完全数问题 最完美的数——完全数问题 —— 完美数又称为完全数, 完美数又称为完全数,最初是由毕达哥拉斯的信 徒发现的,他们注意到, 有一个特性, 徒发现的,他们注意到,数6有一个特性,它等于它自 己的因子(不包括它自身)的和， 己的因子(不包括它自身)的和， 如：6=1+2+3. 下一个具有同样性质的数是28, 下一个具有同样性质的数是28, 28=1+2+4+7+14. 接着是496 8128.他们称这类数为完美数 496和 他们称这类数为完美数. 接着是496和8128.他们称这类数为完美数. 欧几里德在大约公元前350 300年间证明了 350年间证明了: 欧几里德在大约公元前350-300年间证明了:
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具有重大意义的是卷下第26题 今有物不知其数， 具有重大意义的是卷下第26题：今有物不知其数， 26 三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二， 三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问 物几何？ 孙子算经》不但提供了答案， 物几何？《孙子算经》不但提供了答案，而且还给 出了解法。 出了解法。南宋大数学家秦九韶则进一步开创了对 一次同余式理论的研究工作，推广“物不知数” 一次同余式理论的研究工作，推广“物不知数”的 问题。德国数学家高斯﹝1777-1855﹞于1801年出版 问题。德国数学家高斯﹝1777-1855﹞ 1801年出版 的《算术探究》中明确地写出了上述定理。1852年， 算术探究》中明确地写出了上述定理。1852年 英国基督教士伟烈亚士将《孙子算经》中物不知数 英国基督教士伟烈亚士将《孙子算经》 问题的解法传到欧洲，1874年马蒂生指出孙子的解 问题的解法传到欧洲，1874年马蒂生指出孙子的解 法符合高斯的定理， 法符合高斯的定理，从而在西方的数学史里将这一 个定理称为“中国剩余定理” 个定理称为“中国剩余定理” 。