数论-绪论
数论基础知识
• 合数是指除1和它本身之外还有其他因数的整数
• 最大公约数是指两个或多个整数的最大公共因数
• 最小公倍数是指两个或多个整数的最小公共倍数
• 数论的应用领域广泛，包括密码学、计算机科学、组合数学等
数论的发展历程及重要成果
数论的发展历程可以追溯到古代希腊和古代印度
数论在古典密码学中的应用包括凯撒密
码、维吉尼亚密码等
• 替换密码：通过替换字符或字母来加
• 凯撒密码：通过将字母向右或向左移
密和解密信息
动固定的位数来进行加密和解密
• 换位密码：通过改变字符或字母的顺
• 维吉尼亚密码：通过将字母替换为其
序来加密和解密信息
他字母来进行加密和解密
• 简单密码：通过简单的数学运算来加
04
最大公约数与最小公倍数的计
算
最大公约数与最小公倍数的定义与性质
最大公约数（GCD）是指两个或多个整数的最大公共因数
• 最大公约数的性质：GCD(a, b) = GCD(b, a % b)
最小公倍数（LCM）是指两个或多个整数的最小公共倍数
• 最小公倍数的性质：LCM(a, b) = |a × b| / GCD(a, b)
题中具有重要
应用
最大公约数与
最小公倍数在
计算机科学和
密码学领域也
有应用
01
02
• 可以用于求解分数和比例问
• 可以用于数据压缩和文件加
题
密
• 可以用于求解最简分数和最
• 可以用于算法设计和密码破
大公因数问题
解
05
同余与模运算的性质及应用
同余的定义与性质
同余是指两个整数除以同一个数所得的余数相等
数论初步PPT课件
04 素数与合数
素数的定义与性质
素数的定义
素数是大于1的自然数，且只能被 1和它自身整除的数。
素数的性质
素数是无穷多的，最小的素数是2， 所有偶数（除了2）都不是素数， 任何素数的因数都只有两个。
合数的定义与性质
合数的定义
合数是除了1和它自身以外，还有其 他整数能够整除的整数。
合数的性质
合数一定是大于2的偶数或大于3的奇数， 最小的合数是4，合数的因数除了1和它 自身外，至少还有一个其他的因数。
素数的分布与猜想
素数的分布
素数在自然数中的分布比较稀疏，它们的出现似乎有一定的规律性，但尚未被完全证明。
素数的猜想
哥德巴赫猜想和孪生素数猜想是关于素数的两个著名数学猜想，至今仍未被解决。哥德巴赫猜想是猜想任何一个 大于2的偶数都可以写成两个素数之和；孪生素数猜想是猜想存在无穷多对相邻素数，它们之间的距离不超过一 个给定的常数。
代数数域的构建
代数数域的定义
代数数域是具有某种代数结构的域，通常是由有理数域通 过添加代数数得到的。
代数数域的构建方法
通过添加代数数，可以得到不同的代数数域，如添加二次 方程的根可以得到二次数域，添加更高级的方程的根可以 得到更高级的代数数域。
代数数域的性质
代数数域具有一些重要的性质，如封闭性、完备性等，这 些性质对于研究代数数论和数学其他分支都有重要的意义。
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05 代数数论基础
代数数论简介
代数数论的定义
代数数论是数学的一个重要分支，主 要研究代数数域和代数整数环的理论。
代数数论的发展历程
代数数论的基本概念
代数数论涉及到许多基本概念，如代 数数域、代数整数环、素数、分解整 环等。
数论的基本概念与方法
代数数论的发展
代数数论的起源可以追溯到古希腊时期，当时数学家开始研究整数和有理数的基本性质。
在中世纪，阿拉伯数学家对代数数论做出了重要贡献，他们研究了二次方程的解法，并 探讨了数论中的一些基本问题。
19世纪，数学家开始深入研究代数数论，其中最著名的数学家是费马和欧拉。他们的 工作为代数数论的发展奠定了基础。
20世纪来，代数数论得到了更广泛的应用和发展，特别是在计算机科学和密码学等领域。
现代数论的进展
计算机技术的 引入：计算机 在数论研究中 的应用，如寻 找大数因子分 解等。
0 1
代数数论的进 展：代数数论 在理论物理学、 工程学等领域 的应用和最新 研究成果。
0 2
解析数论的进 展：解析数论 在密码学、计 算机科学等领 域的应用和最 新研究成果。
量子计算：数论在量子计算机算法设计中的应用 密码学：基于数论的公钥密码体系和数字签名技术 网络安全：数论在网络安全协议设计和分析中的应用 数据加密：数论在数据加密算法中的应用和优化
数论在其他领域的新应用
量子计算：数论在量子计算中有着重要的应用，例如Shor算法。
密码学：数论是现代密码学的基础，许多加密算法都基于数论中的理论。 计算机科学：数论在计算机科学中有着广泛的应用，例如数据加密、网络安全、图像处 理等。 物理学：数论在物理学中也有着重要的应用，例如在弦理论和量子引力等领域。
0 1
定理应用：中国剩余 定理在数论、代数和 密码学等领域有着广 泛的应用，例如在模 线性方程组的求解、 多项式模的因式分解 以及公钥密码体制的 构建等方面。
0 2
定理证明：中国剩余 定理的证明方法有多 种，其中一种常用的 证明方法是基于欧拉 定理和费马小定理等 数论中的基本定理。
关于一些数论函数的性质研究
ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ，ｔｏ ｔｈｅ ｒａｎｄｏｍ Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ ｓｏｕｒｃｅ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ Ｘ，砂，ｗｅ ｈａｖｅ ｇｉｖｅｎ ｄｏｕｂｌｅ Ｌ－ａｎｄ ｅｘｐｒｅｓｓｅｓ ｃ（七，ｌ，ｄ；ｘ，矽）ｓｉｍｐｌｅ ｆｏｒｍｕｌａ．Ｃｏｍｐａｒｅ ｗｉｔｈ Ｔｅｒｈｕｎｅ ｄｏｕｂｌｅ Ｌ－ａｎｄ ｔｈｅ ｆｏｒｍｕｌａ，ｗｈｅｎ ｘ（一１）砂（一１）＝（一１）七＋“－ｄ＋１，ｗｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｓｅａｌ ｆｏｒｍ ｖａｌｕｅ ｏｆ ｃ（七，ｌ，ｄ；Ｘ，砂）．
２
两北大学硕士学位论文
第 弟一 二早 章 数 鳅Ｔ论匕间简７Ｉ介’
§２．１数论的发展简史
人类从使用数字开始，生活中就伴随着自然数．随着实践的需要，数的概念 被进一步扩充，自然数被叫做正整数，而把它们的相反数叫做负整数，介于正整 数和负整数中间的中性数叫做０．它们合起来叫做整数（注：现在自然数的概 念有了改变，包括正整数和０）．对于整数可以施行加、减、乘、除四种运算， 叫做四则运算．随着人们在对整数进行运算的应用和研究中，逐步熟悉了整数 的特性．如，整数可分为两大类：奇数和偶数．利用整数的一些基本性质，可以 进一步探索许多有趣和复杂的数学规律，正是这些特性的魅力，吸引了古往今 来许多的数学家和学者不断地进行研究和探索．
ｌｌ
ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄｓ ｏｆ Ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ ｎｕｍｂｅｒ ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ Ａｎａｌｙｔｉｃ ｎｕｍｂｅｒ ｔｈｅｏｒｙ，ａｎｄ ｓｅｖｅｒａｌ ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ ｆｏｒｍｕｌａｅ ａｒｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ．
数论第一章 整除理论
第一章整除理论整除性理论是初等数论的基础。
本章要介绍带余数除法，辗转相除法，最大公约数，最小公倍数，算术基本定理以及它们的一些应用。
第一节数的整除性定义1设a，b是整数，b≠ 0，如果存在整数c，使得a = bc成立，则称a被b整除，a是b的倍数，b是a的约数（因数或除数），并且使用记号b∣a；如果不存在整数c使得a = bc成立，则称a不被b 整除，记为b|/a。
显然每个非零整数a都有约数±1，±a，称这四个数为a的平凡约数，a的另外的约数称为非平凡约数。
被2整除的整数称为偶数，不被2整除的整数称为奇数。
定理1下面的结论成立：(ⅰ) a∣b⇔±a∣±b；(ⅱ) a∣b，b∣c⇒a∣c；(ⅲ) b∣a i，i = 1, 2, , k⇒b∣a1x1+a2x2+ +a k x k，此处x i（i = 1, 2, , k）是任意的整数；(ⅳ) b∣a ⇒bc∣ac，此处c是任意的非零整数；(ⅴ) b∣a，a≠ 0 ⇒ |b| ≤ |a|；b∣a且|a| < |b| ⇒a = 0。
证明留作习题。
定义2若整数a≠ 0，±1，并且只有约数±1和±a，则称a是素数（或质数）；否则称a为合数。
以后在本书中若无特别说明，素数总是指正素数。
定理2任何大于1的整数a都至少有一个素约数。
证明 若a 是素数，则定理是显然的。
若a 不是素数，那么它有两个以上的正的非平凡约数，设它们是d 1, d 2, , d k 。
不妨设d 1是其中最小的。
若d 1不是素数，则存在e 1 > 1，e 2 > 1，使得d 1 = e 1e 2，因此，e 1和e 2也是a 的正的非平凡约数。
这与d 1的最小性矛盾。
所以d 1是素数。
证毕。
推论 任何大于1的合数a 必有一个不超过a 的素约数。
证明 使用定理2中的记号，有a = d 1d 2，其中d 1 > 1是最小的素约数，所以d 12 ≤ a 。
数论1(讲义)
数论 1 知识点严文兰1.符号说明：如无特别说明，下面出现的字母表示的数都是整数2.整数的离散型：整数a <b ⇔a +1 ≤b ，3.n 次方差公式：a n -b n = (a -b)(a n-1 +a n-2b ++b n-1 ) ，4.带余除法：设a, b是两个给定的整数，且b ≠0，则存在唯一一对整数q和r，满足a =qb +r, 0 ≤r <| b |（1）当r=0 时，a =qb ，那么就说a 可被b 整除，记作b | a ，且称a 是b 的倍数，b 是a 的约数（也可称为因数，除数），a 不能被b 整除就记作b /|a ，（2）如果a 为素数，且a n | b, a n+1 /| b, 那么记为a n || b（3）设m ≠ 0 ，如果a, b 被m 除的余数相同，即m | a -b ，则称a 同余于b 模m，b 是a 对模m 的剩余，记为a ≡b(mod m) ，此关系式称为模m 的同余式，不然，则称a 不同余于b 模m，记为a≡/b(mod m)，5.整除的性质：（1）a | b, b| c ⇒a | c（2）a | b, a | c ⇒a | bx +cy ,特别地a | b, b | c ⇒a | b ±c ，（3）设m ≠ 0 ，那么a | b ⇔ma | mb ，（4）a | b ⇒b = 0 或| a |≤| b | ，所以 a | b, b | a ⇒b =±a（5）若(a, b) = 1，则a | c, b | c ⇔ab | c ，（6）m | a, m | b ⇒m | (a, b) ，（7）若(a, b) =1, ，则a | bc ⇔a | c ，（8）p 为素数，p | ab ⇒p | a 或p | b6．最大公约数与最小公倍数：同时整除a, b 的整数，叫a, b 的公约数，其中最大的那个，叫a, b 的最大公约数，记为(a, b) ，同样，同时整除a, b, , c 的最大整数，叫a, b, , c 的最大公约数，记为(a, b, , c) ，1 2 1 2同样，同时是 a , b ,, c 的倍数的整数，叫 a , b , , c 的公倍数，其中最小的正整数，叫a ,b , ,c 的最小公倍数，记为[a , b , , c ] 。
初等数论绪论课件
数的表示与转换
总结词
数的表示与转换是数论中一个重要的概念， 它涉及到数的不同表示方法和不同进制之间 的转换。
详细描述
数的表示方法有多种，包括十进制、二进制 、八进制和十六进制等。不同进制之间可以 进行转换，例如将十进制数转换为二进制数 或八进制数。此外，数的表示方法也涉及到 数的符号表示，如正数、负数和零的表示方 法。
整数的运算性质包括加法、减法、乘法和除法的性质。
详细描述
整数的运算性质是数论中的重要概念。加法和减法是可交换的，即a+b=b+a和a-b=b-a。加法和乘法满足结合 律，即(a+b)+c=a+(b+c)和(a*b)*c=a*(b*c)。乘法满足分配律，即a*(b+c)=a*b+a*c。除法在整数的范围内不 满足交换律和结合律，但满足分配律。
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有着重要的应用。
06
数的分解与表示
数的质因数分解
总结词
质因数分解是数论中一个基础概念， 它是指将一个合数表示为其质因数的 乘积。
详细描述
质因数分解是将一个合数表示为若干 个质数的乘积。例如，将数28进行质 因数分解得到2^2 * 7^1。质因数分 解是数论中一个重要的工具，它在解 决许多数学问题中都有应用。
近代数论
费马、欧拉、高斯等数学 家对数论的深入研究和突 破。
数论的应用领域
01
02
03
04
密码学
数论在加密算法和数字签名中 有着广泛的应用，如RSA算法
。
计算机科学
数论在计算机科学中用于实现 数据加密、网络安全和算法优
化。
物理科学
数论在物理科学中用于描述量 子力学和统计力学的数学结构
数论讲义答案
数论选讲一、整除1．整数是离散的，每两个整数之间的距离至少为1．即1a b a b <⇔-≤，,a b Z ∈2．带余除法．设0b >，对于任一整数a ，总可以找到一对唯一确定的q ，r 满足 a qb r =+，0r b ≤<．我们称r 为a 除以b 的余数．当0r =时，我们说a 被b 整除或b 整除a ，记为|b a ．并称a 是b 的倍数或b 是a 的约数（因数），此时b a ≤．当0r ≠时，我们说a 不被b 整除或b 不整除a ，记为|b a /．3．如果正整数a 除了1及a 以外没有其他的约数，则称a 为质数，否则称a 为合数． 100以内的质数如下： 2，3，5，7，11，13，17，19， 23，19，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，914．唯一分解定理．每一个大于1的自然数n 都可写成质数的连乘积，即表示成12121ki k k i i n p p p p αααα===∏的形式，其中12k p p p <<<为质数，*i N α∈，且这种表示是唯一的．5．利用唯一分解定理，我们可以得到关于n 的正约数的两个性质：n 的正约数个数为 121()(1)(1)(1)(1)kk i i d n αααα==+++=+∏． n 的所有正约数之和为 01()ik j i j i n p ασ===∑∏．6．若|x a 且|x b ，则称x 为a 、b 的公约数．设d 为所有x 中的最大者，则称d 为a 、b 的最大公约数，记作(,)d a b =．7．若|a y ，|b y ，则称y 为a 、b 的公倍数．设m 为所有y 中大于零的最小者，则称m 为a 、b 的最小公倍数，记作[,]m a b =．8．对于任意正整数a 、b ，都有(,)[,]ab a b a b =．9．贝佐特（1730~1783）定理．设(,)d a b =，则存在整数u 、v ，使得ua vb d +=．10．如果|a c ，|b c ，(,)1a b =，则|ab c ．【例题选讲】1、证明两个连续正整数的积不可能是完全平方数，也不可能是完全立方数．反设存在正整数x ，y ，使x (x ＋1)＝y 2，由于x ，x ＋1互质，故x ，y 都是完全平方数． 两个完全平方数相差1，只有0与1满足要求，此时x ＝0，y ＝0，与x 为正整数矛盾． 又反设存在正整数x ，y ，使x (x ＋1)＝y 3，由于x ，x ＋1互质，故x ，y 都是完全立方数． 设x ＝u 3，x ＋1＝v 3(u ，v ∈N *，v ＞u )，v 3－u 3＝(v －u )(v 2＋vu ＋u 3)＝1，由于v －u ≥1，v 2＋vu ＋u 2≥7，故v 3－u 3＝1不成立，故证．2、设m ＞n ≥1，(m ，n )＝d ，证明：d mC n m 为整数． 证明：由于C n m 为整数，又n m C n m ＝n m ×m !n !(m －n )!＝C n －1m －1为整数． 存在x ，y ∈Z ，使xm ＋yn ＝d ，所以，d m C n m ＝xm ＋yn m C n m ＝x C n m ＋y n m C n m＝x C n m ＋y C n －1m －1∈Z ．3、证明：若(m ，n)＝1，则m|C n m ＋n －1． C n m ＋n －1＝m m ＋n C m m ＋n ⇒mC n m ＋n －1＋nC n m ＋n －1＝mC m m ＋n ⇒ nC n m ＋n －1＝m(C m m ＋n －C n m ＋n －1)， ∴ m|n C n m ＋n －1，但(m ，n)＝1，故m|C n m ＋n －1． 4、在n 2与(n ＋1)2之间任取若干个互不相同的整数，则这些整数两两的乘积都互不相等． 证明：若只取3个整数a ，b ，c ，满足n 2＜a ＜b ＜c ＜(n ＋1)2，则ab ＜ac ＜bc ．故只有取的数至少有4个时才有可能使两两的积相等．设n 2＜a ＜b ＜c ＜d ＜(n ＋1)2，且有ad ＝bc ．于是b a ＝d c ，令b a ＝d c ＝u v(u ，v ∈N *， (u ，v )＝1)． 于是，必有b ＝up ，d ＝uq ，a ＝vp ，c ＝vq ．由c ＞b ＞a ，知u ＞v ，q ＞p ．所以，u ≥v ＋1，q ≥p ＋1．d ＝uq ≥(v ＋1)(p ＋1)＝vp ＋p ＋v ＋1＝a ＋(p ＋v )＋1≥n 2＋2pv ＋1≥n 2＋2a ＋1＞n 2＋2n ＋1＝(n ＋1)2．与d ＜(n ＋1)2矛盾．5、已知a 、b 为正整数，并且ab 2|(a 3＋b 3)，求证a ＝b ．设(a ，b )＝d ，且a ＝a 1d ，b ＝b 1d (a 1，b 1为自然数)，则(a 1，b 1)＝1.由ab 2|(a 3＋b 3)，可设a 3＋b 3＝kab 2 (k ∈N *)，∴ a 3＝b 2(ka －b )．即a 31＝b 21(ka 1－b 1)．于是，b 1|a 1，故(a 1，b 1)＝b 1＝1． a 31|(ka 1－1)，于是a 1|(ka 1－1)，∴ a 1|1，于是a 1＝1． ∴ a ＝b ＝d ．注：由于ab 2与a 3、b 3均为3次式，故可同时约去d 3而不影响问题的结论．故可设(a ，b )＝1来做．又证：设a 3＋b 3ab 2＝k (k ∈N *)，即(a b )2＋b a ＝k ．记x ＝a b，则x 为有理数，且x 3－kx ＋1＝0． 此方程的有理根只能为x ＝±1，但a ，b 均为自然数，故x ＝1，∴a ＝b ．6、存在1000个连续正整数，其中恰有20个素数．证明：取1001!＋2，1001!＋3，…，1001!＋1000，1001!＋1001，这1000个数都是合数． 记1001!＋2＝a ．则a ，a ＋1，a ＋2，…，a ＋999均为合数．去掉a ＋999，添上a －1，又得1000个数：a －1，a ，a ＋1，…，a ＋998．由于去掉一个合数而添了一个整数，故所得1000个数中至多有1个素数．再去掉a ＋998而添上a －2，此时，这1000个数中素数的个数比刚才的1000个数多1个或相同或减少1个．这一过程可以一起进行到得到1，2，…999，1000这1000个数为止．此时，这1000个数中的素数个数多于20个(2至100中就有25个素数)由于每次置换1个数时，所得的1000个与与原1000个数相比较，素数的个数只能增加1个或相同或减少1个．于是这一过程中每次所得素数个数至多变化1个，于是必有某个时刻，恰有20个素数．说明：《离散的零点定理》设f (n )是定义在整数上的函数，取值也是整数．且|f (n ＋1)－f (n )|≤1，且存在不同两个整数a ，b (a ＜b )，使f (a )f (b )＜0，则必存在整数c ，满足a ＜c ＜b ，使f (c )＝0．7、求出具有下述性质的正整数n ：它被≤n 的所有正整数整除．解：设q 2≤n ＜(q ＋1)2，(q ∈N *)，则[n]＝q ．令n ＝q 2＋r(0≤r ≤2q)．由于q|n ，q|q 2，故q|r ⇒r ＝0，q ，2q ．即所有满足n ＝q 2，q 2＋q ，q 2＋2q 的正整数均为本题的解．解：显然，n ＝1，2，3，4满足题意．现设n ≥5．由此题知，n ＝q 2，q 2＋q ，q 2＋2q ．且q ≥2．又n 能被q －1整除．当n ＝q 2＝q(q －1)＋q ，于是q －1|q ⇒q －1＝1⇒q ＝2时，此时，n ＝4；当n ＝q 2＋q ＝(q －1)(q ＋2)＋2，有q －1|2⇒q ＝2，3，此时，n ＝6，12；当n ＝q 2＋2q ＝(q －1)(q ＋3)＋3，有q －1|3⇒q ＝2，4，此时，n ＝8，24．∴ n ＝1，2，3，4，6，8，12，24．8、证明：有无穷多个n ，满足：n|2n ＋1．分析：证明满足某要求的整数有无穷多个，通常有：⑴ 给出一个公式，可以由此公式得出无穷多满足要求的数；⑵ 给出一个递推式，可以由其中任一个满足要求的数得出只一个满足要求的数；且这些数都互不相同；⑶ 用数学归纳法证明之．解法一：n ＝1时，1|21＋1；n ＝3时，3|23＋1；n ＝9时，9|29＋1．即n ＝30，31，32时均满足要求．故推测3k |23k＋1对于一切正整数k 成立．下用数学归纳法证明：设3k |23k ＋1．则存在正整数t ，使23k ＝3k t －1．故23k ＋1＋1＝(3k t －1)3＋1＝33k t 3－32k ＋1t 2＋3k ＋1t ＝3k ＋1t(32k －1t 2－3k t ＋1)．即3k ＋1|23k ＋1＋1． ∴ 由数学归纳原理知，对于一切正整数k ，都3k |23k＋1．从而有无穷多的整数n ＝3k 使n|2n ＋1，解法二：前已有n ＝1时，3|21＋1＝3，又有23|23＋1＝9，9|29＋1＝513．故推测：若m k |2m k ＋1，记m k ＋1＝2m k ＋1，则m k ＋1|2m k ＋1＋1．下用数学归纳法证明之：由于2m k ＋1为奇数，故m k 为奇数，令2m k ＋1＝m k u ，u 为奇数．即m k ＋1＝m k u ．于是，2m k ＋1＋1＝(2m k )u ＋1＝(2m k ＋1)((2m k )u －1－(2m k )u －2＋…＋1)＝m k ＋1((2m k )u －1－(2m k )u －2＋…＋1)．即m k ＋1|2m k ＋1＋1成立．由数学归纳法知推测成立． 说明：解法一即给出一个解的公式，解法二给出了一个递推．均用数学归纳法证明．9、证明：任意正整数n 可以表示成a －b 的形式，其中a ，b 是正整数，且a 与b 不同的素因子个数相同．证明：n ＝pn －(p －1)n ．若n 为偶数，取p ＝2，a ＝pn ，b ＝n ．此时，a ，b 的不同素因子个数都与n 相同． 若n 为奇数，取不能整除n 的最小素数p ，p ≥3．此时，p －1的素因子或者只有2(p －1＝2k )，或者除2外都是n 的因子(因小于p 的素数都能整除n)，此时a ，b 的素因子都比n 多1个．故证．二、同余11．设*m N ∈，如果整数a 、b 除以m 的余数相同，则其差a b -必被m 整除，即存在q Z ∈使得a b qm -=．则称a 、b 模m 同余，或简称同余．记为()mod a b m ≡．12．同余的基本性质．①()mod a a m ≡．②若()mod a b m ≡，则()mod b a m ≡．③若a b ≡，()mod b c m ≡，则()mod a c m ≡．④若a b ≡，()mod c d m ≡，则 ()mod xa yc xb yd m +≡+，x 、y Z ∈．()mod ac bd m ≡． ()mod n n a b m ≡，n N ∈．⑤若()mod ac bc m ≡，则mod(,)m a b c m ⎛⎫≡ ⎪⎝⎭．⑥若()mod a b m ≡，|n m ，则()mod a b n ≡． ⑦若()mod i a b m ≡，则()12mod[,,,]k a b m m m ≡．13．同余是一种等价关系，整数集Z 可以根据模m 来分类：如果a 、b 模m 同余，则a 、b 属于同一类，否则不属于同一类．这样可以得到模m 的m 个剩余类（同余类），即： {}i M i km k Z =+∈，0,1,2,,1i m =-．从每一类中各取一个数作为代表得到的m 个数称为模m 的一个完全剩余类，简称完系， 当m 为奇数时，其由绝对值最小的数组成的完系为： 10,1,2,,2m -⎧⎫±±±⎨⎬⎩⎭． 当m 为偶数时，其由绝对值最小的数组成的完系为：0,1,2,,(1),22m m ⎧⎫±±±-⎨⎬⎩⎭． 14．在模m 的m 个剩余类{}i M i km k Z =+∈（0,1,2,,1i m =-）中，如果i 与m 互质，那么i M 中每一个数均与m 互质．这样的剩余类共有()m ϕ个，()m ϕ是1、2、…、m 中与m 互质的个数，称为欧拉函数．15．在()m ϕ个剩余类中各取一个代表，称为模m 的缩剩余系，简称缩系．质数p 的缩系由1p -个数组成，即 {}1,2,,1p -，或11,2,,2p -⎧⎫±±±⎨⎬⎩⎭． 16．设正整数m 、n 互质，则()()()mn m n ϕϕϕ=． 事实上，如果{}12,,,t a a a ，{}12,,,s b b b 分别是模m 与模n 的缩系， 那么{}1,1i j mb na i s j t +≤≤≤≤是模mn 的缩系．17．设1i k i i n p α==∏，i p 为不同的质数，*i N α∈．则1111()(1)(1)i kk i i i i i n n p p p αϕ-===-=-∏∏． 18．欧拉定理：设(),1a m =，则()()1mod m a m ϕ≡．19．费马小定理：设p 为质数，则()mod p a a p ≡．当(),1a p =时，()11mod p a p -≡．20．中国剩余定理（孙子定理）：设正整数1m 、2m 、…、k m 两两互质，则对于任意给定的整数1a 、2a 、…、k a ，同余方程组()()()1122mod mod mod k k x a m x a m x a m ≡⎧⎪≡⎪⎨⎪⎪≡⎩一定有解．令1k i i M m ==∏，则其解为 1k i i i iM x a b m =≡⋅∑． 其中i b 满足()1mod i i iM b m m ⋅≡． 【例题选讲】10、证明：若整数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，记d ＝a 1999＋b 1999＋c 1999．则|d|不是素数．证明：首先，u n ≡u(mod 2)，故d ＝a 1999＋b 1999＋c 1999≡a ＋b ＋c ≡0(mod 2)，即2|d ．又由Fermat 定理，u 3≡u(mod 3)⇒u 3k ≡u(mod 3)，从而u 1999＝u 33·74＋1≡u 74＋1＝u 75≡u 25＝u 24＋1≡u 8＋1≡u(mod 3)，故d ＝a 1999＋b 1999＋c 1999≡a ＋b ＋c ≡0(mod 3)，∴ 6|d ，即|d|不是素数．11、用1，2，3，4，5，6，7这7个数码组成7位数，每个数码恰用一次，证明：这些七位数中没有一个是另一个的倍数．设有两个这样的七位数a ，b ，(a ＞b)，满足a ＝bc ，其中c 为大于1的整数．由于1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28≡1(mod 9)，故a ≡b ≡1(mod 9)．若a ＝bc ，则bc ≡1(mod 9)，于是，c ≡1(mod 9)．但c ＞1，从而c ≥10．此时bc 不是七位数，与a 是七位数矛盾．12、设p 为素数，a ≥2，m ≥1，a m ≡1(mod p)，a p －1≡1(mod p 2)．求证：a m ≡1(mod p 2)．证明：a m ≡1(mod p)⇒a m ＝1＋px ，故a pm ＝(1＋px)p ＝1＋p 2(……)．所以，a pm ≡1(mod p 2)．∵a p－1≡1(mod p2)⇒a(p－1)m≡1(mod p2)．同乘以a m：a pm≡a m(mod p2)∴a m≡a pm≡1(mod p2)13、设p为给定正整数，m，n为任意正整数，试确定(2p)2m－(2p－1)n的最小正值．解：(2p)2m≡1(mod 2p－1)，故(2p)2m－(2p－1)n≡1(mod 2p－1)．若存在m，n，使(2p)2m－(2p－1)n＝1，则有(2p)2m－1＝(2p－1)n⇒((2p)m＋1)((2p)m－1)＝(2p－1)n．由于(2p)m＋1，(2p)m－1)＝1，故(2p)m＋1＝a n，(2p)m－1＝b n，且(a，b)＝1．即a n－b n ＝2．只有n＝1，a＝b＋2时成立，此时，解(2p)2m－(2p－1)＝1⇒2p((2p)2m－1－1)＝1这是不可能的．故所求最小值≠1．再若存在m，n使(2p)2m－(2p－1)n＝(2p－1)＋1＝2p，此时，(2p)2m－(2p－1)n≡－(－1)n≠0(mod 2p)，故不可能．于是，所求最小值≥4p－2＋1＝4p－1．取m＝1，n＝2，得(2p)2－(2p－1)2＝4p－1．∴所求最小值为4p－1，当m＝1，n＝2时取得此最小值．14、数列{x n}：1，3，5，11，…，满足x n＋1＝x n＋2x n－1(n≥2)，数列{y n}：7，17，55，161，…，满足y n＋1＝2y n＋3y n－1(n≥2)，证明：这两个数列没有相同的项．分析：证明这两个数列mod 8后都是周期数列．证明：mod 8：数列x n(mod 8)：1，3，5，3，5，…．若x2k－2≡3，x2k－1≡5(mod 8)成立，则x2k＋1≡5＋2×3＝11≡3(mod 8)，x2k≡3＋2×5＝13≡5(mod 8)．即x2n≡3，x2n＋1≡5(mod 8)对于一切n∈N*成立．而数列y n(mod 8)：7，1，7，1，…．若y2k－1≡7，y2k≡1(mod 8)成立，则y2k＋1≡1×2＋7×3＝23≡7(mod 8)，y2k＋2≡7×2＋1×3＝17≡1(mod 8)．即y2n≡1，y2n＋1≡7(mod 8)对于一切n∈N*成立．在{x n}中，x1＝1≡1(mod 8)，但y n是单调增的，且y1＞1，故y n＞1，于是不可能y n ＝1，故证．说明：利用抽屉原理可以证明：若数列{x n}满足递推关系：x n＋k＝f(x n＋k－1，x n＋k－2，…x n)，其中f为k元整系数多项式．初始值x1，x2，…，x k为给定整数．于是{x n}为一整数数列．则{x n}模m(m＞1，m∈N*)后终将成为周期数列(可能除去开始的若干项)．15、设m是给定正整数，证明：由x1＝x2＝1，x n＋2＝x n＋1＋x n(k＝1，2，…)定义的数列{x n}的前m2个项中，必有一个能被m整除．证明：记x i≡y i(mod m)(0≤y i≤m－1)．取数组(y1，y2)，(y2，y3)，…，(y i，y i＋1)，…．由于只有m2个不同的数组．故取m2＋1个数组，必有两个数组相同，即存在1≤i＜j ≤m2＋1，使y i＝y j，y i＋1＝y j＋1，于是(y i，y i＋1)＝(y j，y j＋1)，取满足此要求的最小的i，则i必须为1．否则，由i＞1，则y i－1≡y i＋1－y i，y j－1≡y j＋－y j(mod m)，1于是，y i－1＝y j－1，得(y i－1，y i)＝(y j－1，y j)，这与i的最小性矛盾．从而i＝1．即存在(y j，y j＋1)＝(1，1)(j≤m2＋1)，此时y j－1＝0，即m|x j－1．故证．16、连结正n 边形的顶点，得到一个n －折线(即用这个正n 边形的n 个顶点为顶点连出一个有n 条边的闭折线)．证明：若n 为偶数，则连线中有两条平行线；若n 为奇数，则连线中不可能恰有两条平行线．证明：按逆时针顺序把为n 个顶点编号：0，1，2，…，n －1．且按a 0－a 1－…－a n －1－a n ＝a 0连成折线，其中a 0，a 1，…，a n －1是0，1，2，…，n －1的一个排列．由于a i 为正n 边形的顶点，故a i a i ＋1∥a j a j ＋1⇔⌒a i a i ＋1＝⌒a j a j ＋1⇔a i ＋a i ＋1≡a j ＋a j ＋1(mod n)．⑴ 当n 为偶数时，2 |/ n ⁄－1，故模n 的任一完系之和≡0＋1＋…＋(n －1)＝12n(n －1)≡/0(mod n)．但Σi ＝0n －1(a i ＋a i ＋1)＝Σi ＝0n －1a i ＋Σi ＝0n －1a i ＋1＝2Σi ＝0n －1a i ＝2×12n(n －1)≡0(mod n)． 这说明全体a i ＋a i ＋1不构成完系．所以，必有0≤i ，j ≤n －1，i ≠j ，使a i ＋a i ＋1≡a j ＋a j ＋1(mod n)，于是必有两条平行线．若n 为奇数，若恰有一对边a i a i ＋1∥a j a j ＋1，则a i ＋a i ＋1(mod n)的剩余类中，必有一对剩余类r 出现2次，故必有一对剩余类s 没有出现，于是Σi ＝0n －1(a i ＋a i ＋1)＝Σi ＝0n －1a i ＋Σi ＝0n －1a i ＋1＝2Σi ＝0n －1a i ≡0(mod n)， 另一方面，Σi ＝0n －1(a i ＋a i ＋1)≡0＋1＋…＋(n －1)＋r －s ≡r －s ≠0(mod n)． 这说明，n 为奇数时，不可能恰有一对边平行．17、设n 为奇数，n ≥3．集合S ＝{0，1，2，…，n －1}．证明：在S 中去掉任一个元后，余下的元都能划分成两个集合，每个集合都有n －12个元，且两组的和模n 同余． 证明：1° 首先，若去掉的元为0，⑴ n ＝4k ＋1，则余下4k 个元分成2k 对：{1，4k}，{2，4k －1}，…，{2k ，2k ＋1}，每对的和mod n 均为0．于是，任取其中k 对为一组，余下k 对为另一组，两组的和模n 同余；⑵ n ＝4k ＋3，余下4k ＋2个元中，先取{1，2，4k}，{3，4k ＋1，4k ＋2}，再把其余的数分成2k －2对：{4，4k －1}，{5，4k －2}，…，{2k ＋1，2k ＋2}，每对的和mod n 均为0．于是，任取其中k －1对加上{1，2，4k}为一组，余下k －1对加上{3，4k ＋1，4k ＋2}为另一组，两组的和模n 同余；2° 若去掉的数为a ，则把所有的数都加n －a 得到集合S '＝{n －a ，n －a ＋1，…，n ，n ＋1，2n －a －1}，S '仍是模n 的完系．去掉S 中的a 对应于S '中的n ．于是S '可以按1°分成满足要求的两组，再把分好的数各减去n －a 即得到S 的一个分法．18、一个立方体的顶点标上数＋1或－1，各面中心标上一个数，它等于该面4个顶点上标的数的乘积．证明：这样标出的14个数的和不能为0．证明：设此14个数的和为S ．现把任一个标－1的顶点改为标＋1，则它同时使相关3个面上的数的符号改变，改变后14个顶点上数的和为S '．于是S －S '＝2(±1±1±1±1)但任何4个＋1或－1的和为偶数，于是S －S '≡0(mod 4)．这样一起做下去，直到所有顶点标的数都为＋1，此时和S "＝14≡2(mod 4)．于是S ≡2(mod 4)，从而S ≠0．19、求所有正整数n ，使由n －1个数码1及1个数码7组成的n 位数都是素数．解：对于n ，所有这样的n 位数都可写成N ＝A n ＋6×10k (其中，A n 表示由n 个1组成的n 位数，k ＝0，1，…，n －1)．若3|n ，则3|A n ，于是3|N ．此时N 不是素数．现设3 |⁄ n ， A n注意A 6≡0(mod 7)，故有A 6k ＋r ≡A r (k ∈N *，1≤r ≤6)．由于(10，7)＝1，故1，10，102，…，105是7的一个缩系，从而6×10k (k ＝0，1，2，3，4，5)也是mod 7)的一个缩系．又有下表：且6×106k ＋r ≡6×10r (k ∈N *，0≤r ≤5)．∴ n ＞6时，按n ≡1，2，4，5(mod 6)，取k ＝0，4，5，2，即有7|N ．此时N 不是素数．而n ＝4时，7111＝13×547；n ＝5时，11711＝7×1673，即n ＝4，5均不满足要求． ∴ n ＝1，2．三、高斯函数与不定方程21．高斯函数[]x ：表示不超过x 的最大整数，称为x 的整数部分．同时记{}[]x x x =-为x 小数部分（或称尾数部分）．22．[]x 的基本性质：①x R ∀∈，[][]11x x x x -<<+≤；②x R ∀∈，[]{}x x x =+；③x R ∀∈，n Z ∈，[][]x n x n +=+，{}{}x n x +=．④x R ∀∈，y R ∈，[][][]x y x y ++≤，{}{}{}x y x y ++≥．⑤0x ∀≥，0y ≥，[][][]xy x y ≥．【例题选讲】20、若n≡4(mod 9)，证明不定方程x3＋y3＋z3＝n没有整数解．证明：x≡1，2，0(mod 3)⇒x3≡1，2，0(mod 9)，∴x3＋y3＋z3≡0，1，2，3，6，7，8(mod 9)．故此方程无解．21、确定方程x41＋x42＋…＋x4 14≡1599的全部非负整数解．解：x4≡0，1(mod 16)，于是x41＋x42＋...＋x4 14≡0，1，2， (14)而1599≡5(mod 16)．故无解．22、证明：方程x!y!=z!有无穷多组正整数解(x，y，z)满足x＜y＜z．证明：由于n!=n·(n－1)!.故(n!)!=(n!)(n!－1)!从而取x＝n，y＝n!－1，z＝n!，则有无穷多个解．说明：给出了一个解的公式．23、求不定方程x4＋y4＋z4＝2x2y2＋2y2z2＋2z2x2＋24的全部整数解．解：若(x，y，z)是其一个解，则(±x，±y，±z)也是方程的一个解．x4＋y4＋z4－2x2y2－2y2z2－2z2x2＝x4＋y4＋z4－2x2y2－2y2z2＋2z2x2－4z2x2＝(x2－y2＋z2)2－(2zx)2＝(x2－y2＋z2＋2zx)(x2－y2＋z2－2zx)＝(x＋y＋z)(x－y＋z)(x－y－z)(x＋y－z)＝－(x＋y＋z)(－x＋y＋z)(x－y＋z)(x＋y－z)．于是，原方程即(x＋y＋z)(－x＋y＋z)(x－y＋z)(x＋y－z)＝－23×3．由于x＋y＋z，－x＋y＋z，x－y＋z，x＋y－z的奇偶性相同．若它们全为奇数，则其积为奇数，不可能等于－24，若它们全为偶数，则其积可以被24整除，也不可能等于－24．从而本题无满足要求的解．解法2由于左边为偶数，故x，y，z或都为偶数，或两奇一偶．⑴若x，y，z两奇一偶，不妨设x，y为奇数，z为偶数，则x4≡1(mod 16)，y4≡1(mod 16)，z4≡0(mod 16)，x4＋y4＋z4≡2(mod 16)x2≡1，9(mod 16)，y2≡1，9(mod 16)，z2≡0，4(mod 16)．于是x2y2≡1，9(mod 16) 2x2y2＋2y2z2＋2z2x2＋24＝2x2y2＋2z2(x2＋y2)＋24≡2＋0＋8≡10(mod 16)．从而x4＋y4＋z4≡/2x2y2＋2y2z2＋2z2x2＋24(mod 16)；⑵若x，y，z均为偶数，则x4＋y4＋z4≡0(mod 16)，2x2y2＋2y2z2＋2z2x2＋24≡8(mod 16)，仍有x4＋y4＋z4≡/2x2y2＋2y2z2＋2z2x2＋24(mod 16)从而本题无满足要求的解．24、证明：方程y＋y2＝x＋x2＋x3没有非零整数解．证明：反设存在非零整数x，y满足方程，则(y－x)(y＋x＋1)＝x3．下证(y－x，y＋x＋1)＝1．设(y－x，y＋x＋1)＝p，则p|x，于是由p|y－x，知p|y，但p|y＋x＋1，故p|1．即p＝1．于是y－x与y＋x＋1都是完全立方数，设y＋x＋1＝a3，y－x＝b3，x＝ab．则a3－b3＝2x＋1⇒a3－b3＝2ab＋1⇒(a－b)(a2＋ab＋b2)＝2ab＋1．由x＝ab，①若ab＞0，则x＞0．有a＞b．故a－b≥1，a2＋ab＋b2＞2ab＋ab＝3ab ＝2ab＋ab≥2ab＋1．从而(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＞2ab ＋1，矛盾；② ab ＝0，则x ＝0，与x 非零矛盾；③ ab ＜0，于是2x ＋1＜0，故a ＜b ．b ＞0，a ＜0，|a －b |≥2．a 2＋ab ＋b 2≥2|ab |＋ab ＝|ab |，所以|a －b ||a 2＋ab ＋b 2|≥2|ab |，而|2ab ＋1|＜2|ab |，从而|(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)|＞|2ab ＋1|，矛盾．故证．25、求不定方程(n －1)!＝n k －1的全部正整数解．解：n ＝2时，有解(n ，k )＝(2，1)．当n ＞2时，左边为偶数，故n 只能为奇数．取n ＝3，(3－1)!＝2＝31－1，故有解(n ，k )＝(3，1)；取n ＝5，(5－1)!＝24＝52－1，故有解(n ，k )＝(5，2)．下设n ≥7且n 为奇数．于是n －12为整数且n －12≤n －4，所以，2×n －12|(n －2)!，从而(n －1)2|(n －1)!．∴ (n －1)2|n k －1＝[(n －1)＋1]k －1＝(n －1)k ＋C 1k (n －1)k －1＋C 2k (n －1)k －2＋…＋C k －2k(n －1)2＋k (n －1)．∴ (n －1)2|k (n －1)⇒(n －1)|k ⇒k ≥n －1．此时，n k －1≥n n －1－1＞(n －1)!，故n ≥7时不定方程无解．即方程的解为(n ，k )＝(2，1)，(3，1)，(5，2)．26、证明方程x 2＋y 2＋z 2＝3xyz 有无穷多组正整数解(x ，y ，z )．证明 由于方程具有对称性，故可改证此方程的满足x ≤y ≤z 的解有无数组．若x ＝y ＝z ＝a (a ∈N*)，则3a 2＝3a 3⇒a ＝1．即方程有解(1，1，1)；若x ＝y ＝1，则得2＋z 2＝3z ，得方程的另一组解为(1，1，2)；若x ＝1，y ＝2，则得方程z 2－6z ＋5＝0，得方程的另一组解(1，2，5)；现设(a 0，b 0，c 0) (其中a 0＜b 0＜c 0)是方程的一组正整数解，即a 20＋b 20＋c 20＝3a 0b 0c 0成立，考虑方程b 20＋c 20＋z 2＝3b 0c 0z ，即z 2－3b 0c 0z ＋(b 20＋c 20)＝0，此方程必有一正整数解z ＝a 0，由韦达定理，其另一解为z 1＝3b 0c 0－a 0必为正整数．于是原方程必有解(b 0，c 0，3b 0c 0－a 0)且这一组解也满足b 0＜c 0＜3b 0c 0－a 0．令a 1＝b 0，b 1＝c 0，c 1＝3b 0c 0－a 0为方程的一组满足a 1＜b 1＜c 1的正整数解，则又可从此解出发得到方程的另一组解(b 1，c 1，3b 1c 1－a 1)．这一过程可以无限延续下去，从而原方程有无穷多组解．27、求不定方程组 ⎩⎨⎧x ＋y ＋z ＝3，x 3＋y 3＋z 3＝3．的全部整数解． 解：(1，1，1)是一组解．消去z ： x 3＋y 3＋(3－x －y)3＝3⇒3(x ＋y)2－xy(x ＋y)－9(x ＋y)＋8＝0．∴ (x ＋y)(xy －3(x ＋y)＋9)＝8．于是x ＋y|8⇒x ＋y ＝±1，±2，±4，±8．若x ＋y ＝1，则xy ＝2(无解)；x ＋y ＝－1，xy ＝－20⇒x ＝－5，y ＝4，z ＝4，或x ＝4，y ＝－5，z ＝4；x ＋y ＝2，xy ＝1⇒x ＝y ＝1，z ＝1；x ＋y ＝－2，xy ＝－19(无解)；x ＋y ＝4，xy ＝5(无解)；x ＋y ＝－4，xy ＝－23(无解)；x ＋y ＝8，xy ＝16⇒x ＝y ＝4，z ＝－5；x ＋y ＝－8，xy＝－34(无解)．∴ 解为(1，1，1)，(－5，4，4)，(4，－5，4)，(4，4，－5)．28、求不定方程x 3＋x 2y ＋xy 2＋y 3＝8(x 2＋xy ＋y 2＋1)的全部整数解．解：(x ＋y)((x ＋y)2－2xy)＝8((x ＋y)2－xy ＋1)．令x ＋y ＝u ，xy ＝v ，则得u(u 2－2v)＝8(u 2－v ＋1)是一个关于v 的一次方程．显然u 必为偶数，设u ＝2w ，则得w(2w 2－v)＝2(4w 2－v ＋1)．∴ v ＝2w 3－8w 2－2w －2＝2w 2－4w －8－18w －2．于是w －2＝±1，±2，±3，±6，±9，±18． ∴ ⎩⎨⎧w ＝ 3， 1， 4， 0，5，－1，8，－4，11，－7， 20，－16；v ＝－20，8，－1，1，16， 4，85，43，188，120，711， 569．x ，y 是方程t 2－2wt ＋v ＝0的整数解，故w 2－v 为完全平方数．其中只有w ＝5，v ＝16满足此要求． ∴ (x ，y)＝(2，8)，(8，2)．29、对任意的∑∞=+*+=∈01].22[,K k kn S N n 计算和 解：因]212[]22[11+=+++k k n n 对一切k =0,1,…成立，因此，].2[]22[]212[111+++-⋅=+k k k n n n 又因为n 为固定数，当k 适当大时,.)]2[]2([,0]2[,1201n n n S n n K k k k k ==-==<∑∞=+ 故从而 30、计算和式.]503305[5020的值∑==n nS解：显然有：若.,,1][][][,1}{}{R y x y x y x y x ∈++=+=+则503是一个质数，因此，对n=1,2,…,502, 503305n 都不会是整数，但503305n +,305503)503(305=-n 可见此式左端的两数的小数部分之和等于1，于是，[503305n ]+.304]503)503(305[=-n 故 ∑∑===⨯=-+==25115021.76304251304]),503)503(305[]503305([]503305[n n n n n S 31、设M 为一正整数，问方程222}{][x x x =-，在[1，M]中有多少个解？解：显然x =M 是一个解,下面考察在[1，M]中有少个解.设x 是方程的解.将222}{}{}{2][x x x x x +⋅+=代入原方程，化简得=}]{[2x x ,1}{0].}{}]{[2[2<≤+x x x x 由于所以上式成立的充要条件是2[x ]{x }为一个整数..1)1(],1[,.)1())1(21(2),1[,11.2)1,[),12,,1,0(2}{,][个解中有原方程在因此个解中方程有可知在又由于个解中方程有即在则必有设+--⋅=-+++-≤≤+-==∈=M M M M M M M M m m m m m k mk x N m x 32、求方程.051][4042的实数解=+-x x解：.0][,1][][不是解又因<+<≤x x x x⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≥>⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≥<⎩⎨⎧≤-->--⎪⎩⎪⎨⎧≤+->+-+∴.217][,23][,211][;217][,23][,25][.07][2)(3][2(.0)11][2)(5][2(.051][4][4,051][40)1]([422x x x x x x x x x x x x x x 或 经检验知，这四个值都是原方程的解. 33、.][3]3[2]2[1][][:,,n nx x x x nx N n R x ++++≥∈+∈* 证明 【证】.,2,1,][2]2[][ =+++=k kkx x x A k 令 由于.,1],[1命题成立时则==n x A .2269,02694;2229,02294;2189,01894;229,0294:,876][2][2222==-==-==-==-==x x x x x x x x x x 分别代入方程得或或或解得.,,,],[][][][][][][])[])1([(]))2[(]2([])1[(]([][]2[])2[(])1[(][])1[(]2[][][])1[(]2[][][])1[(]2[][)(:].[],2[22,],)1[()1()1(],[,][,][,].)1[(,],2[],[,1122112111221111121证毕均成立故原不等式对一切命题成立时即故相加得所以成立对一切即因为即有时命题成立设*---------∈=≤∴=+++≤++-++-++-+=+++-+-++-+++≤++++++-+++=+-+++=+++-==--=---=-=-=--≤≤≤-≤N n k n kx A kx k kx kx kx kx kx x x k x k x x k x x x x k x k kx x k x x A A A A kx x k x x kA kx x k x x A A A kA x A x A A x k A k A k kx kA kA k kx kA kA kkx A A x k A x A x A k n k k k k k k k k k k k k k k k34、对自然数n 及一切自然数x ，求证：].[]1[]2[]1[][nx n n x n x n x x =-+++++++ . 解：M ＝|f(x)|max ＝max{|f ⑴|，|f(－1)|，|f(－2a )|} ⑴若|－2a |≥1 (对称轴不在定义域内部) ，则M ＝max{|f ⑴|，|f(－1)|} 而f ⑴＝1＋a ＋b f(－1)＝1－a ＋b|f ⑴|＋|f(－1)|≥|f ⑴＋f(－1)|＝2|a|≥4则|f ⑴|和|f(－1)|中至少有一个不小于2，∴ M≥2＞21 ⑵|－2a |＜1 M ＝max{|f ⑴|，|f(－1)|，|f(－2a )|} ＝max{|1＋a ＋b|，|1－a ＋b|，|－4a 2＋b|} ＝max{|1＋a ＋b|，|1－a ＋b|，|－4a 2＋b|，|－4a 2＋b|} ≥41(|1＋a ＋b|＋|1－a ＋b|＋|－4a 2＋b|＋|－4a 2＋b|) ≥41[(1＋a ＋b)＋(1－a ＋b)－(－4a 2＋b)－(－4a 2＋b)] ＝)2a 2(412+ ≥21 综上所述，原命题正确.四、阶：对于(a ，n)=1的整数，满足a r ≡1 (mod n ) 的最小整数r,称为a 模n 的阶。
§1初等数论-绪论
义的、最原始的定义和公理，并将它们严格地按逻辑
的顺序进行排列，然后在此基础上进行演绎和证明， 形成了具有公理化结构的，具有严密逻辑体系的《几 何原本》。
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《几何原本》是欧几里得的 一部不朽之作，是当时整个希腊
数学成果、方法、思想和精神的
结晶，其内容和形式对几何学本 身和数学逻辑的发展有着巨大的 影响。自它问世之日起，在长达 二千多年的时间里一直盛行不衰。
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三
几个著名数论难题 初等数论是研究整数性质的一门学科，历史上遗
留下来没有解决的大多数数论难题其问题本身容易搞
懂，容易引起人的兴趣，但是解决它们却非常困难。
其中，非常著名的问题有：哥德巴赫猜想 ；
费尔马大定理 ；孪生素数问题 ；完全数问题等。
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初等数论的学习
绪 论
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一
初等数论及其主要内容 数论是研究整数性质的一门很古老的数学分支，
其初等部分是以整数的整除性为中心，包括整除性、 不定方程、同余式、连分数、素数（即质数）分布
以及数论函数等内容，统称初等数论（elementary
number theory）。 初等数论是数论中不求助于其他数学学科的帮 助，只依靠初等的方法来研究整数性质的分支。
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7、算经十书 唐代国子监内设立算学馆，置博士、助教指导 学生学习数学，规定《周髀算经》、《九章算术》、 《孙子算经》、《五曹算经》、《夏侯阳算经》、
数学方法论第一章绪论
中国著名数学教育家、数学方法论专家 -----徐利治
第一讲
绪论
一、研究数学方法论的意义
促进数学发展 发挥数学的功能 改革数学教育 培养数学人才
二、数学方法论的定义及分类
1.方法、方法论和科学方法论
二、数学方法论的定义及分类
2.数学方法的分类
•具体方法 •一般方法 •数学思想方法
三、数学方法论的性质及研究对象
则有
1 1 1 1 1 1 b0 x2 2 x2 2 x2 2 0 1 2 n
即
x 2 x2 x2 0 b0 1 2 1 2 1 2 1 2 n
数学方法论
张龙军 909242428
日本数学家、数学教育家米山国藏指出：
“学生进入社会后，几乎没有机会应用他们所
学到的数学知识，因而这种作为知识的数学， 通常在学生出校门后不到一两年就忘掉了，然
而不管人们从事什么业务工作，那种铭刻于头
脑中的数学精神和数学思想方法，却长期地在 他们的生活和工作中发挥着重要的作用。”
x x x 1 2 1 2 1 2 2 0 4 n 比较这个方程与方程（**） x2项的系数，
2 2 2
得出
1 1 1 1 2 2 2 6 2 3
于是有
对于这个结果，欧拉写道：“这种方法是新 的并且还来没有这样用过。” 欧拉又用这种方法重新发现了著名的莱布尼 兹级数的和：
17 世纪以后，欧洲的数学摆脱了发展缓慢 的状态，这一“数学中的转折点是笛卡尔的变数 ，有了变数，运动进入数学，有了变数，辩证法 进入了数学。”（恩格斯语）在笛卡尔的解析几 何中“曲线是任何具体代数方程的轨迹”，这不 仅一下子扩充了数学的范围，而且为代数方法运 用到几何乃至整个数学铺平了道路。
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数论数论⽬录[隐藏]数论概述数论门类数论的发展简况数论的发展简况数论中的问题中国数论及专家数论的历史源头数论中的问题数论概述数论门类数论的发展简况数论的发展简况数论中的问题中国数论及专家数论的历史源头数论中的问题中国数论及专家[编辑本段]数论概述数论就是指研究整数性质的⼀门理论。
整数的基本元素是素数，所以，数论的本质是对素数性质的研究。
2000年前，欧⼏⾥得证明了有⽆穷个素数。
既然有⽆穷个，就⼀定有⼀个表⽰所有素数的素数通项公式，或者叫素数普遍公式。
它是和平⾯⼏何学同样历史悠久的学科。
⾼斯誉之为“数学中的皇冠” 按照研究⽅法的难易程度来看，数论⼤致上可以分为初等数论（古典数论）和⾼等数论（近代数论）。
初等数论主要包括整除理论、同余理论、连分数理论。
它的研究⽅法本质上说，就是利⽤整数环的整除性质。
初等数论也可以理解为⽤初等数学⽅法研究的数论。
其中最⾼的成就包括⾼斯的“⼆次互反律”等。
⾼等数论则包括了更为深刻的数学研究⼯具。
它⼤致包括代数数论、解析数论、算术代数⼏何等等。
数论门类初等数论同上所述，初等数论主要就是研究整数环的整除理论及同余理论。
此外它也包括了连分数理论和少许不定⽅程的问题。
本质上说，初等数论的研究⼿段局限在整除性质上。
初等数论中经典的结论包括算术基本定理、欧⼏⾥得的质数⽆限证明、中国剩余定理、欧拉定理（其特例是费马⼩定理）、⾼斯的⼆次互逆律，勾股⽅程的商⾼定理、佩尔⽅程的连分数求解法等等。
解析数论借助微积分及复分析（即复变函数）来研究关于整数的问题，主要⼜可以分为乘性数论与加性数论两类。
乘性数论藉由研究积性⽣成函数的性质来探讨质数分布的问题，其中质数定理与狄利克雷定理为这个领域中最著名的古典成果。
加性数论则是研究整数的加法分解之可能性与表⽰的问题，华林问题是该领域最著名的课题。
解析数论的创⽴当归功于黎曼。
他发现了黎曼zeta函数之解析性质与数论中的素数分布问题存在深刻联系。
确切的说，黎曼ζ函数的⾮平凡零点的分布情况决定了素数的很多性质。
数论基础
中国剩余定理
设m1,m2,…mk是两两互质的正整数,则 x≡bimod mi,i=1,2,…k模lcm(m1,m2,…,mk)有 唯一解. 令M=m1m2…mk, Mj=M/mj=m1m2…mj-1mj+1…mk 求yj使Mjyj≡1modmj, j=1,2…k 由于gcd(Mj,mj)=1 所以解是存在的 X=b1M1y1+…+bkMkyk
最大公约数和最小公倍数
如果d是a的约数也是b的约数则d 是a与b的公 约数,最大公约数记做gcd(a,b). 最大公约数的性质:
gcd(a,ka)=|a| 若d|a且d|b,则d|gcd(a,b) n非负,gcd(an,bn)=ngcd(a,b) a,b,d正整数,若d|ab且gcd(a,d)=1,则d|b 若q和r是a除以b的商和余数,即a=b*q+r,则 gcd(a,b)=gcd(b,r)
同余(2)
若ac≡bc(modm),则a≡b(mod(m/gcd(c,m))
若a≡b(modm)且d|m,则a≡b(modd) 若a≡b(modm) 则ad≡bd(modm) 若a≡b(modmi) i=1,2…n,l=lcm(m1,m2,…mn),则 a≡b(modl) 若p为素数,则ap≡a(modp), 若 gcd(a,p)=1则ap-1≡1(modp)
自然数,整数和整除
自然数:有的情况,把0也当作自然数 整数a能被d整除,记做d|a,意味着a=kd 整除有下面的性质:
若d|a,则d|ka; k是整数 若d|a且d|b,则d|(a±b) 若b|a且a|b,则a=b
整除的特殊例子(1)
末1位能被2整除,则该数能被2整除 末2位能被4整除,则该数能被4整除 末3位能被8整除,则该数能被8整除 … 末1位能被5整除,则该数能被5整除 末2位能被25整除,则该数能被25整除 末3位能被125整除,则该数能被125整除 …
数论1
里！因为 Hippasus 在宇宙间搞出这样一个东西否
在一个整数 q 使得 a bq
则我们称 b 整除 a 或者 a 被 b 整除,记为 b a ,此 时 b 叫作 a 的因数, a 叫作 b 的倍数.如果满足等 式的整数 q 不存在,则称 b 不能整除 a 或者 a 不
被 b 整除,记为 b a .
例如 3 6 ，5 6。 因为 a.1 a ，所以 1 能整除任意一个整数，
而且每个整数都能整除它自己。我们称这两种因 数为平凡因数。
-2-
定义 大于 1 的自然数 p 如果只有平凡的因
数，则称其为素数（质数）。否则称其为合数. 1 既不是素数,也不是合数,它在正整数中的
故 b 2t 。而这导致整数 a, b 不互素，矛盾。即 2
不是有理数。
2、整数的整除性
数论中最古老也是最重要的部分是整除性的 讨论。我们知道整数的和、差、积是整数,但是整
数的商却不一定是整数,如 1 2.而我们要研究的
是整数的性质,为此我们先引进整除的概念。
的 Pythagoras 定理（勾股定理），以及关于三角
门人散居到希腊各地继续传授他的教导。
Pythagoras 学派学者没有书面著作,我们是通过
就困惑世间无数智者近 400 年（Wiles 在 1994 年
给出了肯定的证明）。19 世纪，对数论的研究取得 了重大进步，其主要标志是解析方法和代数工具 的引入。解析数论的创始人是德国数学家
Riemann （1826-1866），代数数论的奠基人是德
素因子分解式存在.于是由 a = bc 能够知道 a 的 素因子分解式存在.由于 a 为有限数,所以我们只
数论基础
由本节命题1还有
(a, b)=(b, r1)=(r1, r2)=…=(rn-1, rn)=rn 推论 1 数a和数b的公约数集合与它们的最大公约数的约数 集合相同。
第一章 数论基础 推论2 这个最大公约数等于rn(n∈Z+)，即等于上述等式组
中最后的不等于零的余数。
推论 3 若b|a, 则(a, b)=b。
观察等式组（1.2.1）的构造过程不难发现：当某个余数 rk(k∈Z+)不为0时，即将除数作为被除数，并将余数作为除数再 写出一个等式，依此类推，直至余数是零为止。故可将Euclid算
法改写如下：
第一章 数论基础 · 改进的Euclid算法 №1 输入正整数A， B； №2 MA; NB; （保护原始数据） №3 KM-［M/N］*N； №4 若K＞0, 则MN, NK, 转№3；
(7) 若bc|ac, 则b|a。
第一章 数论基础
证明 只证（6）式。
事实上
c / d c | e q1 , q2 Z , d cq1 , e cq2 m, n Z dm en cq1m cq2n c( q1m q2n ) cq( q q1m q2n ) c | ( dm en)
第一章 数论基础 证明 根据推论1，数a1, a2的公约数集合与d2的约数集合相同， 所以数a1, a2, a3公约数集合与数d2和a3的公约数集合相同，即与 d3的约数集合相同。然后肯定，数a1, a2, a3 ,a4的全体公约数所成 之集与d4约数集相同，…… 最后，数a1, a2, …, an的公约数所成之集 与dn约数之集相同。 因而dn的最大公约数是dn自身，所以它就是 数a1, a2, …, an的最大公约数。
数论：概念和问题
数论：概念和问题
【原创实用版】
目录
1.数论的定义和起源
2.数论的概念
3.数论的问题
4.数论的应用
正文
数论：概念和问题
1.数论的定义和起源
数论，作为数学的一个分支，主要研究整数及其相关性质的理论。
它的起源可以追溯到公元前的古希腊数学家，如欧几里得和埃拉托色尼。
数论在数学领域具有悠久的历史，并与其他数学分支如代数、几何和分析等有着密切的联系。
2.数论的概念
数论涉及许多基本概念，如整数、分数、小数等。
其中，整数是最基本的概念之一。
整数可以分为正整数、负整数和零，它们构成了数论的主要研究对象。
另外，数论还研究整数的性质，如奇偶性、质数与合数、同余与最大公约数等。
3.数论的问题
数论的问题多种多样，包括但不限于以下几类：
（1）素数问题：研究质数的分布规律、性质及其应用，如著名的哥德巴赫猜想。
（2）同余问题：研究整数同余关系的性质及其应用，如求解模方程。
（3）最大公约数和最小公倍数问题：研究整数集合的公约数与公倍数，探讨它们之间的性质和关系。
（4）数的表示问题：研究整数及其相关概念的表示方法，如狄利克雷定理。
4.数论的应用
数论在许多领域都有广泛的应用，如计算机科学、密码学、统计学等。
例如，著名的 RSA 加密算法就是基于数论中的大素数分解问题。
此外，数论在数学分析、物理学、生物学等领域也发挥着重要作用。
总之，数论作为数学的一个重要分支，不仅拥有丰富的理论体系，还具有广泛的应用前景。
高等数学第一章第二章总结
高等数学第一章第二章总结1 第一章：绪论第一章是高等数学的绪论，其中介绍了数学的定义、作用、历史及其发展等。
在第一章中，数学是定量和定性研究物质及其结构、关系及运动规律的科学。
它由实数、整数、有理数、分数和平面几何等基本概念组成，用各种计算、逻辑推理及分析等方法来描述客观的现象或思想的抽象模型，从而得出准确的结果。
另外，数学涉及到它在科学、技术、社会、文化等方面的应用，它是社会发展的基础。
数学发展史从古代有算术、代数、几何等学科，逐渐发展至近代以及现代，学科不断壮大，研究的领域越来越广泛，涉及到人类生活的方方面。
2 第二章：初等数学第二章主要介绍初等数学，包括数论、向量运算、数列和统计等。
数论是计算数值的研究，它涉及到质数分解、最大公约数、最小公倍数、随机数等概念，数论在正文、加密等方面有广泛的应用。
向量运算是向量和向量、向量和物体之间的运算关系，它包括线性组合、内积、外积等，向量运算在物理、声学、飞行、机器人等领域有着重要的用途。
数列是按数次递增或递减的数值序列，它包括等差数列和等比数列，比如阶乘及斐波那契数列，它们能够描述物理几何尺寸及次序关系，有着极为广泛的应用。
最后，统计是从测量、计数、比较等不同数据中抽象出的概念，它包括平均数、标准差、概率分布等，是综合应用概率论、数理逻辑及数学知识。
统计学主要用来分析和预测人们的意见、举措等，对于改进社会的规划、预防未来的决策都有着重要意义。
综上所述，第一章绪论介绍了数学的定义、作用、历史及其发展，第二章介绍了初等数学，包括数论、向量运算、数列和统计等，它们都是数学学科中非常重要的知识。
数论的概念
数论的概念数论，这听起来是不是有点高大上，有点让人摸不着头脑？嘿，其实它就像我们生活中的好朋友，一直陪伴着我们，只是我们可能没察觉到罢了。
你想想，咱们平时数数儿，1、2、3、4、5……这就是数论的基础呀！数论研究的就是数的性质和它们之间的关系。
比如说，为啥 2 是偶数，3 是奇数？为啥 6 能被 2 和 3 整除，而 7 就不行？就像我们每个人都有自己的特点和性格，数字也有它们独特的“脾气”。
质数，那可是数论里的“独行侠”，除了 1 和它本身，谁也别想整除它，像 5 啊，7 啊，11 啊，多有个性！合数呢，就像是善于交际的“社交达人”，能被好多数整除。
再来说说同余，这概念有点玄乎？其实没那么难！比如说，现在是8 点，再过 12 个小时是几点？20 点呗，因为 8 + 12 = 20。
但如果我们只看小时数除以 12 的余数，8 除以 12 余 8，20 除以 12 也余 8，这就是同余。
是不是有点像时钟转了一圈又回到了相似的位置？数论里还有好多有趣的东西，比如整除的规律。
能被 3 整除的数，它各个数位上的数字之和也能被 3 整除，这难道不神奇吗？你要是不信，随便找几个数试试。
还有那个著名的哥德巴赫猜想，说每个大于 2 的偶数都可以写成两个质数之和。
这就像是一个神秘的谜题，吸引着无数数学家去探索。
数论在我们生活中也有大用处呢！比如密码学，保护咱们的信息安全，靠的就是数论的知识。
还有计算机科学，没有数论的支持，那些高级的程序和算法怎么能运行得那么顺畅？所以啊，别觉得数论离我们很远，它就在我们身边，像个默默守护的精灵。
咱们要是多去了解它，就能发现数字世界里的无穷乐趣和奥秘。
总之，数论可不是什么高冷的陌生人，而是我们身边的好朋友，只要我们用心去感受，就能和它亲密无间！。
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具有重大意义的是卷下第26题 今有物不知其数， 具有重大意义的是卷下第26题：今有物不知其数， 26 三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二， 三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问 物几何？ 孙子算经》不但提供了答案， 物几何？《孙子算经》不但提供了答案，而且还给 出了解法。 出了解法。南宋大数学家秦九韶则进一步开创了对 一次同余式理论的研究工作，推广“物不知数” 一次同余式理论的研究工作，推广“物不知数”的 问题。德国数学家高斯﹝1777-1855﹞于1801年出版 问题。德国数学家高斯﹝1777-1855﹞ 1801年出版 的《算术探究》中明确地写出了上述定理。1852年， 算术探究》中明确地写出了上述定理。1852年 英国基督教士伟烈亚士将《孙子算经》中物不知数 英国基督教士伟烈亚士将《孙子算经》 问题的解法传到欧洲，1874年马蒂生指出孙子的解 问题的解法传到欧洲，1874年马蒂生指出孙子的解 法符合高斯的定理， 法符合高斯的定理，从而在西方的数学史里将这一 个定理称为“中国剩余定理” 个定理称为“中国剩余定理” 。
方程 x + y = z (n ≥ 3) 无非0整数解
n n n
经过8年的努力， 安德鲁 经过8年的努力，英国数学家 安德鲁怀尔斯 终于在1995年完成了该定理的证明。 终于在1995年完成了该定理的证明。 1995年完成了该定理的证明
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3、孪生素数问题 存在无穷多个素数 p, 使得 p+2 也是素数。 , +2 也是素数。 究竟谁最早明确提出这一猜想已无法考证， 究竟谁最早明确提出这一猜想已无法考证，但是 1849年法国数学 提出猜想： 1849年法国数学 Alphonse de Polignac 提出猜想：对 为间隔的素数。 于任何偶数 2k, 存在无穷多组以 为间隔的素数。 , 存在无穷多组以2k为间隔的素数 k=1，这就是孪生素数猜想， 对于 k=1，这就是孪生素数猜想，因此人们有时把 Alphonse de Polignac 作为孪生素数猜想的提出者。 作为孪生素数猜想的提出者。 不同的 对应的素数对的命名也很有趣， 不同的 k 对应的素数对的命名也很有趣，k=1 我们 已经知道叫做孪生素数； 即间隔为4) 已经知道叫做孪生素数； k=2 (即间隔为4) 的素数 对被称为 cousin prime ；而 k=3 (即间隔为 6) 的素数 不过别想歪了， 对竟然被称为 sexy prime (不过别想歪了，之所以称为 sexy prime 其实是因为 sex 正好是拉丁文中的 6。) 其实是因为
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4、最完美的数——完全数问题 最完美的数——完全数问题 —— 完美数又称为完全数, 完美数又称为完全数,最初是由毕达哥拉斯的信 徒发现的,他们注意到, 有一个特性, 徒发现的,他们注意到,数6有一个特性,它等于它自 己的因子(不包括它自身)的和， 己的因子(不包括它自身)的和， 如：6=1+2+3. 下一个具有同样性质的数是28, 下一个具有同样性质的数是28, 28=1+2+4+7+14. 接着是496 8128.他们称这类数为完美数 496和 他们称这类数为完美数. 接着是496和8128.他们称这类数为完美数. 欧几里德在大约公元前350 300年间证明了 350年间证明了: 欧几里德在大约公元前350-300年间证明了:
若2n 1是素数，则2n1(2n 1)是完全数
注意以上谈到的完全数都是偶完全数, 注意以上谈到的完全数都是偶完全数,至今仍然 不知道有没有奇完全数。 不知道有没有奇完全数。
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四、我国古代数学的伟大成就 1、周髀算经 公元前100多年，汉朝人撰， 100多年 公元前100多年，汉朝人撰，是一部既谈天体又 谈数学的天文历算著作，主要讨论盖天说， 谈数学的天文历算著作，主要讨论盖天说，提出了 著名的“勾三股四弦五”这个勾股定理的一个特例。 著名的“勾三股四弦五”这个勾股定理的一个特例。 2、孙子算经 约成书于四、五世纪， 约成书于四、五世纪，作者生平和编写年代都不 清楚。现在传本的《孙子算经》共三卷。 清楚。现在传本的《孙子算经》共三卷。卷上叙述算 筹记数的纵横相间制度和筹算乘除法则， 筹记数的纵横相间制度和筹算乘除法则，卷中举例说 明筹算分数算法和筹算开平方法。卷下第31 31题 明筹算分数算法和筹算开平方法。卷下第31题，可谓 是后世“鸡兔同笼”题的始祖，后来传到日本，变成 是后世“鸡兔同笼”题的始祖，后来传到日本， 鹤龟算” “鹤龟算”。
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1、哥德巴赫猜想： 哥德巴赫猜想： 1742年 1742年,由德国中学教师哥德巴赫在教学中首先 发现的。1742年 发现的。1742年6月7日，哥德巴赫写信给当时的大数 学家欧拉,正式提出了以下的猜想： 学家欧拉,正式提出了以下的猜想： 一个大于6的偶数可以表示为不同的两个质数之和。 一个大于6的偶数可以表示为不同的两个质数之和。 陈景润在1966年证明了“哥德巴赫猜想” 陈景润在1966年证明了“哥德巴赫猜想”的“一 1966年证明了 个大偶数可以表示为一个素数和一个不超过两个素数 的乘积之和” 所谓的1+2〕 的乘积之和”〔所谓的1+2〕，是筛法的光辉顶点， 1+2 筛法的光辉顶点， 的光辉顶点 至今仍是“哥德巴赫猜想”的最好结果。 至今仍是“哥德巴赫猜想”的最好结果。
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2、费尔马大定理： 费尔马大定理： 费马是十七世纪最卓越的数学家之一， 费马是十七世纪最卓越的数学家之一，他在数学 许多领域中都有极大的贡献， 许多领域中都有极大的贡献，因为他的本行是专业的 律师，世人冠以“业余王子”之美称。 律师，世人冠以“业余王子”之美称。在三百七十多 年前的某一天， 年前的某一天，费马正在阅读一本古希腊数学家戴奥 芬多斯的数学书时，突然心血来潮在书页的空白处， 芬多斯的数学书时，突然心血来潮在书页的空白处， 写下一个看起来很简单的定理。 写下一个看起来很简单的定理。
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初等数论及其主要内容 数论是研究整数性质的一门很古老的数学分支， 数论是研究整数性质的一门很古老的数学分支，
其初等部分是以整数的整除性为中心的， 其初等部分是以整数的整除性为中心的，包括整除 性、不定方程、同余式、连分数、素数（即质数） 不定方程、同余式、连分数、素数（即质数） 分布 以及数论函数等内容，统称初等数论 以及数论函数等内容， theory）。 （elementary number theory）。 初等数论是数论中不求助于其他数学学科的帮 助，只依靠初等的方法来研究整数性质的分支。 只依靠初等的方法来研究整数性质的分支。
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数论的发展史 自古以来， 自古以来，数学家对于整数性质的研究一直十 分重视， 分重视，初等数论的大部份内容早在古希腊欧几里 德的《几何原本》 公元前3世纪）中就已出现。 德的《几何原本》（公元前3世纪）中就已出现。欧 几里得证明了素数有无穷多个， 几里得证明了素数有无穷多个，他还给出求两个自 然数的最大公约数的方法，即所谓欧几里得算法。 然数的最大公约数的方法，即所谓欧几里得算法。 我国古代在数论方面亦有杰出之贡献， 我国古代在数论方面亦有杰出之贡献，现在一般数 论书中的“中国剩余定理” 正是我国古代《 论书中的“中国剩余定理”，正是我国古代《孙子 算经》中的下卷第26 26题 我国称之为孙子定理。 算经》中的下卷第26题，我国称之为孙子定理。 近代初等数论的发展得益於费马、欧拉、 近代初等数论的发展得益於费马、欧拉、拉格 朗日、勒让德和高斯等人的工作。1801年 朗日、勒让德和高斯等人的工作。1801年，德国数 学家高斯集中前人的大成，写了一本书叫做《 学家高斯集中前人的大成，写了一本书叫做《算术 探究》 开始了现代数论的新纪元。高斯还提出： 探究》，开始了现代数论的新纪元。高斯还提出： 数学是科学之王，数论是数学之王” “数学是科学之王，数论是数学之王”。
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周髀算经
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3、算数书 1983年在湖北省江陵县张家山 年在湖北省江陵县张家山， 1983年在湖北省江陵县张家山，出土了一批西汉 初年，即吕后至文帝初年的竹简，共千余支。 初年，即吕后至文帝初年的竹简，共千余支。经初步 整理，其中有律令、 脉书》 引书》 历谱、 整理，其中有律令、《脉书》、《引书》、历谱、日 书等多种古代珍贵的文献，还有一部数学著作， 书等多种古代珍贵的文献，还有一部数学著作，据写 在一支竹简背面的字迹辨认， 在一支竹简背面的字迹辨认，这部竹简算书的书名叫 算数书》 《算数书》。 算数书》是中国现已发现的最古的一部算书， 《算数书》是中国现已发现的最古的一部算书， 大约比现有传本的《九章算术》还要早近二百年， 大约比现有传本的《九章算术》还要早近二百年，而 九章算术》是传世抄本或刊书， 算数书》 且《九章算术》是传世抄本或刊书，《算数书》则是 出土的竹筒算书，属于更可珍贵的第一手资料， 出土的竹筒算书，属于更可珍贵的第一手资料，所以 算数书》引起了国内外学者的广泛关注， 《算数书》引起了国内外学者的广泛关注，目前正在 被深入研究之中。 被深入研究之中。
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由于自20世纪以来引进了抽象数学和高等分析的 由于自20世纪以来引进了抽象数学和高等分析的 20 巧妙工具，数论得到进一步的发展， 巧妙工具，数论得到进一步的发展，从而开阔了新的 研究领域，出现了代数数论、解析数论、几何数论等 研究领域，出现了代数数论、解析数论、 新分支。而且近年来初等数论在计算机科学、 新分支。而且近年来初等数论在计算机科学、组合数 学、密码学、代数编码、计算方法等领域内更得到了 密码学、代数编码、 广泛的应用，无疑同时也促进着数论的发展。 广泛的应用，无疑同时也促进着数论的发展。