高三数学大题专项训练概率与统计(答案)
高三数学概率综合试题答案及解析
高三数学概率综合试题答案及解析1.甲射击命中目标的概率是，乙命中目标的概率是，丙命中目标的概率是.现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为()．A．B．C．D．【答案】A【解析】设甲命中目标为事件A，乙命中目标为事件B，丙命中目标为事件C，则目标被击中的事件可以表示为A＋B＋C，即击中目标表示事件A、B、C中至少有一个发生．∴P()＝P()·P()·P()＝[1－P(A)]·[1－P(B)]·[1－P(C)]，故目标被击中的概率为1－P()＝1－＝.2.,,则的概率是A．B．C．D．【答案】C【解析】有序实数对的取值情形共有种，满足的情形有：（1）此时；（2）此时;（3)此时.所以的概率为【考点】古典概型.3.气象部门提供了某地今年六月份（30天）的日最高气温的统计表如下：日最高气温t （单t22℃22℃< t28℃28℃< t 32℃℃612数据不清楚，但气象部门提供的资料显示，六月份的日最高气温不高于32℃的频率为0.9．（Ⅰ）若把频率看作概率，求，的值；（Ⅱ）把日最高气温高于32℃称为本地区的“高温天气”，根据已知条件完成下面列联表，并据此你是否有95%的把握认为本地区的“高温天气”与西瓜“旺销”有关？说明理由．附：0．100．0500.0250．0100.0050．001【答案】（Ⅰ）9，3；（Ⅱ）没有95%的把握认为本地区的“高温天气”与西瓜“旺销”有关.【解析】（Ⅰ）把频率看作概率，，根据频率和为1，可求得，在由皮书等于频率样本总数，便求得，的值；（Ⅱ）利用求出的观测值，把的值与临界值比较，如下表：确定与有关系的程度或无关系.若，则有95℅的把握说明两个事件有关；若，则有99℅的把握说明两个事件有关；若，则没有理由认为两个事件有关.试题解析：（Ⅰ）由已知的：，∴，∴，． 6分（Ⅱ）高温天气非高温天气合计，因为，所以没有95%的把握认为本地区的“高温天气”与西瓜“旺销”有关． 12分【考点】概率的基本运算、频率的基本运算，独立性检验.4.甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜局者获得比赛的胜利，比赛随即结束。
2019年高考专题：概率与统计试题及答案
2019年高考专题：概率与统计1．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（ ）A ．0.5 B ．0.6 C ．0.7 D ．0.8 【解析】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70， 则其与该校学生人数之比为70÷100=0.7．故选C ． 2．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（ ） A ．8号学生B ．200号学生C ．616号学生D ．815号学生【解析】由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽到，所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列{}n a ，公差10d =，所以610n a n=+()n *∈N ，若8610n =+，解得15n =，不合题意；若200610n =+，解得19.4n =，不合题意；若616610n =+，则61n =，符合题意；若815610n =+，则80.9n =，不合题意．故选C ． 3．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为（ ） A ．23B ．35 C ．25D ．15【解析】设其中做过测试的3只兔子为,,a b c ，剩余的2只为,A B ， 则从这5只中任取3只的所有取法有{,,},{,,},{,,},{,,},{,,},{,,},{,,}a b c a b A a b B a c A a c B a A B b c A ，{,,},{,,},{,,}b c B b A B c A B ，共10种．其中恰有2只做过测试的取法有{,,},{,,},{,,},{,,},a b A a b B a c A a c B {,,},{,,}b c A b c B ，共6种，所以恰有2只做过测试的概率为63105=，故选B ．4．【2019年高考江苏卷】已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是______________． 【解析】由题意，该组数据的平均数为678891086+++++=，所以该组数据的方差是22222215[(68)(78)(88)(88)(98)(108)]63-+-+-+-+-+-=． 5．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为______________．【解析】由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为100.97200.98100.9939.2⨯+⨯+⨯=，其中高铁个数为10201040++=，所以该站所有高铁平均正点率约为39.20.9840=． 6．【安徽省江淮十校2019届高三年级5月考前最后一卷】《易经》是我国古代预测未来的著作，其中同时抛掷三枚古钱币观察正反面进行预测未知，则抛掷一次时出现两枚正面、一枚反面的概率为 A ．18B ．14 C ．38D ．12【解析】抛掷三枚古钱币出现的基本事件有：正正正，正正反，正反正，反正正，正反反，反正反，反反正，反反反，共8种，其中出现两正一反的共有3种，故所求概率为38．故选C ． 7．【山东省济宁市2019届高三第一次模拟考试】某学校从编号依次为01，02，…，90的90个学生中用系统抽样（等间距抽样）的方法抽取一个样本，已知样本中相邻的两个组的编号分别为14，23，则该样本中来自第四组的学生的编号为（ ）A ．32 B ．33 C ．41 D ．42 【解析】因为相邻的两个组的编号分别为14，23，所以样本间隔为23149-=， 所以第一组的编号为1495-=，所以第四组的编号为53932+⨯=，故选A ． 8．【河南省洛阳市2019届高三第三次统一考试】已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示．为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（ ） A ．100，10B ．100，20C ．200，10D ．200，20【解析】由题得样本容量为(350020004500)2%100002%200++⨯=⨯=，抽取的高中生人数为20002%40⨯=人，则近视人数为400.520⨯=人，故选D ．9．【西藏拉萨中学2019届高三第六次月考】某次知识竞赛中，四个参赛小队的初始积分都是10分，在答题过程中，各小队每答对1题加0.5分，若答题过程中四个小队答对的题数分别是3道，7道，7道，3道，则四个小队积分的方差为（ ） A ．0.5B ．0.75C ．1D ．1.25【解析】四个小队积分分别为11.5，13.5，13.5，11.5，平均数为11.513.513.511.512.54+++=，故四个小队积分的方差为221[(11.512.5)2(13.512.5)2]14⨯-⨯+-⨯=，故选C ． 10．【陕西省2019届高三第三次联考】口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.38，摸出白球的概率是0.32，那么摸出黑球的概率是（ ） A ．0.42B ．0.28C ．0.3D ．0.7【解析】在口袋中摸球，摸到红球、摸到黑球、摸到白球这三个事件是互斥的，因为摸出红球的概率是0.38，摸出白球的概率是0.32，且摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件，所以摸出黑球的概率是10.380.320.3--=．故选C ．11．【河南省郑州市2019届高三第三次质量检测】某同学10次测评成绩的数据如茎叶图所示，总体的中位数为12，若要使该总体的标准差最小，则42x y +的值是（ ）A ．12 B ．14 C ．16 D ．18【解析】因为中位数为12，所以4x y +=，数据的平均数为1(223420191910x y ⨯+++++++++2021)11.4+=，要使该总体的标准差最小，即方差最小，所以22(1011.4)(1011.4)x y +-++-=2222.8( 1.4)( 1.4)2()0.722x y x y +--+-≥=，当且仅当 1.4 1.4x y -=-，即2x y ==时取等号，此时总体标准差最小，4212x y +=，故选A ． 12．【江西省新八校2019届高三第二次联考】某学校高一年级1802人，高二年级1600人，高三年级1499人，先采用分层抽样的方法从中抽取98名学生参加全国中学生禁毒知识竞赛，则在高一、高二、高三三个年级中抽取的人数分别为（ ） A ．35,33,30B ．36,32,30C ．36,33,29D ．35,32,31【解析】先将每个年级的人数凑整，得高一：1800人，高二：1600人，高三：1500人，则三个年级的总人数所占比例分别为1849，1649，1549， 因此，各年级抽取人数分别为18983649⨯=，16983249⨯=，15983049⨯=，故选B ． 13．【广东省汕头市2019届高三第二次模拟考试（B 卷)】在某次高中学科竞赛中，4000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间中点作代表，则下列说法中有误的是（ ）A ．成绩在[70,80]分的考生人数最多B ．不及格的考生人数为1000人C ．考生竞赛成绩的平均分约70.5分D ．考生竞赛成绩的中位数为75分【解析】由频率分布直方图可得，成绩在[70,80]的频率最高，因此考生人数最多，故A 正确；由频率分布直方图可得，成绩在[40,60)的频率为0.25，因此，不及格的人数为40000.251000⨯=，故B 正确；由频率分布直方图可得：平均分等于450.1550.15650.2750.3850.15⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+950.170.5⨯=，故C 正确；因为成绩在[40,70)的频率为0.45，由[70,80]的频率为0.3，所以中位数为0.05701071.670.3+⨯≈，故D 错误．故选D ． 14．【福建省泉州市2019届高三第二次（5月)质检】已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75．现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为x ，方差为2s ，则（ ） A ．270,75x s =<B ．270,75x s =>C ．270,75x s ><D ．270,75x s ><【解析】由题意，可得7050806070907050x ⨯+-+-==，设收集的48个准确数据分别记为1248,,,x x x ，则222221248175[(70)(70)(70)(6070)(9070)]50x x x =-+-++-+-+-22212481[(70)(70)(70)500]50x x x =-+-++-+， 22222212481[(70)(70)(70)(8070)(7070)]50s x x x =-+-++-+-+-22212481[(70)(70)(70)100]7550x x x =-+-++-+<，所以275s <．故选A ．15．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．【解析】（1）由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为400.850=， 因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8． 女顾客中对该商场服务满意的比率为300.650=， 因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6．（2）由题可得22100(40203010) 4.76250507030K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯．由于4.762 3.841>，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异．16．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y 的频数分布表．（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例； （2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．（精确到0.018.602≈．【解析】（1）根据产值增长率频数分布表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为1470.21100+=． 产值负增长的企业频率为20.02100=． 用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的企业比例为2%． （2）1(0.1020.10240.30530.50140.707)0.30100y =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， ()52211100i i i s n y y ==-∑222221(0.40)2(0.20)240530.20140.407100⎡⎤=-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯⎣⎦ =0.0296，0.020.17s ==≈，所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%，17%．17．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A ，B 两组，每组100只，其中A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：记C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P （C ）的估计值为0.70． （1）求乙离子残留百分比直方图中a ，b 的值；（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）． 【解析】（1）由已知得0.700.200.15a =++，故0.35a =．10.050.150.700.10b =---=．（2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为20.1530.2040.3050.2060.1070.05 4.05⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．乙离子残留百分比的平均值的估计值为30.0540.1050.1560.3570.2080.15 6.00⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．18．【2019年高考天津卷文数】2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72,108,120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．（1）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？（2）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为,,,,,A B C D E F．享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访．（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率．【答案】（1）应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人；（2）（i）见解析，（ii）11 15．【分析】本题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．【解析】（1）由已知，老、中、青员工人数之比为6 : 9 : 10，由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人．（2）（i）从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为{, },{, },{, },{, },{, },{, },A B A C A D A E A F B C{, },{, },{, },{, {,}},,B D B E B FCD C E{,},C F {,},{,},{,}D E D F E F，共15种．（ii）由表格知，符合题意的所有可能结果为{, },{, },{, },{, },{, },{, },{, {,},{,},{,},{,},}A B A D A E A F B D B CE BF E C F D F E F，共11种．所以，事件M发生的概率11 ()15P M ．19．【北京市清华大学附属中学2019届高三第三次模拟考试】手机厂商推出一款6寸大屏手机，现对500名该手机使用者（200名女性、300名男性）进行调查，对手机进行评分，评分的频数分布表如下：（1）完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的波动大小（不计算具体值，给出结论即可）；（2）把评分不低于70分的用户称为“评分良好用户”，能否有90%的把握认为“是否是评分良好用户”与性别有关？参考公式及数据：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++．【解析】（1）女性用户和男性用户的频率分布直方图分别如下图所示：女性用户男性用户由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大．（2）由题可得22⨯列联表如下：则22500(14012018060)1255.208 2.70620030032018024K⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯=，所以有90%的把握认为“是否是评分良好用户”与性别有关．20．【2019年甘肃省兰州市高考数学一诊】“一本书，一碗面，一条河，一座桥”曾是兰州的城市名片，而现在“兰州马拉松”又成为了兰州的另一张名片，随着全民运动健康意识的提高，马拉松运动不仅在兰州，而且在全国各大城市逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人口逐年增加．为此，某市对人们参加马拉松运动的情况进行了统计调查．其中一项调查是调查人员从参与马拉松运动的人中随机抽取200人，对其每周参与马拉松长跑训练的天数进行统计，得到以下统计表：若某人平均每周进行长跑训练天数不少于5天，则称其为“热烈参与者”，否则称为“非热烈参与者”．（1）经调查，该市约有2万人参与马拉松运动，试估计其中“热烈参与者”的人数；（2）根据上表的数据，填写下列22⨯列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“是否热烈参与马拉松”与性别有关？参考公式及数据：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++．【解析】（1）以200人中“热烈参与者”的频率作为概率，可得该市“热烈参与者”的人数约为40 200004000200⨯=．（2）由题可得22⨯列联表如下：则22200(35551055)1757.292 6.635401601406024K⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“是否热烈参与马拉松”与性别有关．21．【四川省成都七中2019届高三5月高考模拟测试】某学校为担任班主任的教师办理手机语音月卡套餐，为了解通话时长，采用随机抽样的方法，得到该校100位班主任每人的月平均通话时长T（单位：分钟）的数据，其频率分布直方图如图所示，将频率视为概率．（1）求图中m的值；（2）估计该校担任班主任的教师月平均通话时长的中位数；（3）在[450,500)，[500,550]这两组中采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求抽取的2人恰在同一组的概率．【解析】（1）依题意，根据频率分布直方图的性质，可得：50(0.00400.00500.00660.00160.0008)1m⨯+++++=，解得0.0020m=．（2）设该校担任班主任的教师月平均通话时长的中位数为t．因为前2组的频率之和为(0.00200.0040)500.30.5+⨯=<，前3组的频率之和为(0.00200.00400.0050)500.550.5++⨯=>，所以350400t <<，由0.30.0050(350)0.5t +⨯-=，得390t =．所以该校担任班主任的教师月平均通话时长的中位数为390分钟．（3）由题意，可得在[450,500)内抽取0.0016640.00160.0008⨯=+人，分别记为a b c d ,,,， 在[500,550]内抽取2人，记为,e f ，则6人中抽取2人的取法有：{,}a b ，{,}a c ，{,}a d ，{,}a e ，{,}a f ，{,}b c ，{,}b d ，{,}b e ，{,}b f ，{,}c d ，{,}c e ，{,}c f ，{,}d e ，{,}d f ，{,}e f ，共15种等可能的取法．其中抽取的2人恰在同一组的有{,}a b ，{,}a c ，{,}a d ，{,}b c ，{,}b d ，{,}c d ，{,}e f ，共7种取法，所以从这6人中随机抽取的2人恰在同一组的概率715P =． 22．【西南名校联盟重庆市第八中学2019届高三5月高考适应性月考（六）】某种产品的质量按照其质量指标值M 进行等级划分，具体如下表： 质量指标值M80M < 80110M ≤< 110M ≥ 等级 三等品 二等品 一等品现从某企业生产的这种产品中随机抽取了100件作为样本，对其质量指标值M 进行统计分析，得到如图所示的频率分布直方图．（1）记A 表示事件“一件这种产品为二等品或一等品”，试估计事件A 的概率；（2）已知该企业的这种产品每件一等品、二等品、三等品的利润分别为10元、6元、2元，试估计该企业销售10000件该产品的利润；（3）根据该产品质量指标值M 的频率分布直方图，求质量指标值M 的中位数的估计值（精确到0．01）．【解析】（1）记B 表示事件“一件这种产品为二等品”，C 表示事件“一件这种产品为一等品”， 则事件B ，C 互斥，且由频率分布直方图估计()0.20.30.150.65P B =++=，()0.10.090.19P C =+=，又()()()()0.84P A P B C P B P C =+=+=，所以事件A 的概率估计为0.84．（2）由（1）知，任取一件产品是一等品、二等品的概率估计值分别为0.19，0.65，故任取一件产品是三等品的概率估计值为0.16，从而10000件产品估计有一等品、二等品、三等品分别为1900，6500，1600件，故利润估计为190010650061600261200⨯+⨯+⨯=元．（3）因为在产品质量指标值M的频率分布直方图中，质量指标值90M<的频率为0.060.10.20.360.5++=<，质量指标值100M<的频率为0.060.1020.30.660.5+++=>，故质量指标值M的中位数估计值为0.50.369094.670.03-+≈．。
2021届新高考高三数学新题型专题10 概率统计多选题 (解析版)
第一篇备战新高考狂练新题型之高三数学提升捷径专题10 概率统计多选题1.下列判断正确的是（ ） A ．若随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，()40.79P ξ≤=，则()20.21P ξ≤-=；B ．已知直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，则“//αβ”是“l m ⊥”的必要不充分条件；C ．若随机变量ξ服从二项分布：14,4B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，则()1E ξ=； D ．已知直线2ax by +=经过点()1,3，则28a b +的取值范围是[)4,+∞ 【答案】ACD【解析】A 选项，若随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，()40.79P ξ≤=，根据正态分布曲线的对称性有()()240.79P P ξξ≥-=≤=，所以()()21210.790.21P P ξξ≤-=-≥-=-=，A 选项正确；B 选项，因为//αβ，直线l ⊥平面α，所以直线l ⊥平面β，又直线//m 平面β，所以l m ⊥，充分性成立；设n αβ=，在α内取平行于n 的直线m n ≠，则l m ⊥且βn//，但是α与β相交，必要性不成立，B 不正确； C 选项，因为14,4B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，所以1414E np ξ==⨯=，C 正确；D 选项，由题意知32a b +=，因为20a >，3820b b =>，所以2824a b +≥=，当且仅当11,3a b ==时取等号，故D 正确.故选：ACD2.由我国引领的5G 时代已经到来，5G 的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP 增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应和波及效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造岀更多的经济增加值.如图是某单位结合近年数据，对今后几年的5G 经济产出所做的预测.结合下图，下列说法正确的是（ ）A ．5G 的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加B ．设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓C ．设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位D ．信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势 【答案】A BD【解析】由图可知设备制造商在各年的总经济产出中在前期处于领先地位， 而后期是信息服务商处于领先地位，故C 项表达错误． 故选：ABD ．3.为了了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了20名肥胖者，健身之前他们的体重（单位：kg ）情况如三维饼图（1）所示，经过四个月的健身后，他们的体重情况如三维饼图（2）所示.对比健身前后，关于这20名肥胖者，下面结论正确的是（ ） A ．他们健身后，体重在区间[)90,100内的人增加了2个 B ．他们健身后，体重在区间[)100,110内的人数没有改变 C ．他们健身后，20人的平均体重大约减少了8kgD ．他们健身后，原来体重在区间[)110,120内的肥胖者体重都有减少 【答案】 ABD【解析】体重在区间[)90,100内的肥胖者由健身前的6人增加到健身后的8人，故人增加了2个，故A 正确；他们健身后，体重在区间[)100,110内的百分比没有变，所以人数没有变，故B 正确； 他们健身后，20人的平均体重大约减少了()()0.3950.51050.21150.1850.4950.51055kg ⨯+⨯+⨯-⨯+⨯+⨯= ，故C 错误；因为图（2）中没有体重在区间[)110,120内的比例，所以原来体重在区间[)110,120内的肥胖者体重都有减少，故D 正确. 故选：ABD4.某大学为了解学生对学校食堂服务的满意度，随机调查了50名男生和50名女生，每位学生对食堂的服务给出满意或不满意的评价，得到如图所示的列联表.经计算2K 的观测值 4.762k ≈，则可以推断出（ ）A ．该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为35B ．调研结果显示，该学校男生比女生对食堂服务更满意C ．有95%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异D ．有99%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异 【答案】 AC【解析】对于选项A,该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为30330205=+,故A 正确；对于选项B,该学校女生对食堂服务满意的概率的估计值为4043401055=>+,故B 错误； 因为 4.762 3.841k ≈>,所以有95%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异,故C 正确,D 错误 故选：AC5.甲、乙、丙三家企业产品的成本分别为10000，12000，15000，其成本构成如图所示，则关于这三家企业下列说法正确的是（ ）A ．成本最大的企业是丙企业B ．费用支出最高的企业是丙企业C ．支付工资最少的企业是乙企业D ．材料成本最高的企业是丙企业【答案】 ABD【解析】由题意甲企业产品的成本为10000，其中材料成本1000060%6000⨯=、支付工资1000035%3500⨯=、费用支出500；乙企业产品的成本为12000，其中材料成本1200053%6360⨯=、支付工资1200030%3600⨯=、费用支出2040；丙企业产品的成本为15000，其中材料成本1500060%9000⨯=、支付工资1500025%3750⨯=、费用支出1500015%2250⨯=.所以成本最大的企业是丙企业，费用支出最高的企业是丙企业，支付工资最少的企业是甲企业，材料成本最高的企业是丙企业，A 、B 、D 选项正确，C 选项错误. 故选：ABD.6.针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的45，女生喜欢抖音的人数占女生人数35，若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关则调查人数中男生可能有（ ）人 附表：附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++ A ．25 B ．45C ．60D ．75【答案】 BC【解析】设男生的人数为()5n n N *∈，根据题意列出22⨯列联表如下表所示：则()221042310557321n n n n n n Kn n n n⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯，由于有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则23.841 6.632K≤<，即103.841 6.63221n≤<，得8.066113.9272n≤<，n N*∈，则n的可能取值有9、10、11、12，因此，调查人数中男生人数的可能值为45或60.故选：BC.7.下表是某电器销售公司2018年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：则下列判断中正确的是（）A．该公司2018年度冰箱类电器销售亏损B．该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润相同C．该公司2018年度净利润主要由空调类电器销售提供D．剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低【答案】ACD【解析】根据表中数据知，该公司2018年度冰箱类电器销售净利润所占比为﹣0.48，是亏损的，A正确；小家电类电器营业收入所占比和净利润所占比是相同的，但收入与净利润不一定相同，B错误；该公司2018年度净利润空调类电器销售所占比为95.80%，是主要利润来源，C正确；所以剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低，D正确．故选：ACD．8.如图是国家统计局发布的2018年3月到2019年3月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图（注：2019年2月与2018年2月相比较称同比，2019年2月与2019年1月相比较称环比），根据该折线图，下列结论正确的是（）A ．2018年3月至2019年3月全国居民消费价格同比均上涨B ．2018年3月至2019年3月全国居民消费价格环比有涨有跌C ．2019年3月全国居民消费价格同比涨幅最大D ．2019年3月全国居民消费价格环比变化最快 【答案】 ABD【解析】对于选项A ，从图可以看出同比涨跌幅均为正数，故A 正确； 对于选项B ，从图可以看出环比涨跌幅有正数有负数，故B 正确；对于选项C ，从图可以看出同比涨幅最大的是2018年9月份和2018年10月份，故C 错误； 对于选项D ，从图可以看出2019年3月全国居民消费价格环比变化最快，故D 正确.故选ABD.9.设集合{2,3,4}M =，{1,2,3,4}N =，分别从集合M 和N 中随机取一个元素m 与n .记“点(,)P m n 落在直线x y k +=上”为事件()*38,k A k k N ≤≤∈，若事件k A 的概率最大，则k 的取值可能是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】 BC【解析】由题意，点(,)P m n 的所有可能情况为(2,1)、(2,2)、(2,3)、(2,4)、(3,1)、(3,2)、(3,3)、(3,4)、(4,1)、(4,2)、(4,3)、(4,4)，共12个基本事件，则事件3A ：点(,)P m n 落在直线3x y +=包含其中(2,1)共1个基本事件，所以()3112P A =；事件4A ：点(,)P m n 落在直线4x y +=包含其中(2,2)、(3,1)共2个基本事件，所以()416P A =；事件5A ：点(,)P m n 落在直线5x y +=包含其中(2,3)、(3,2)、(4,1)共3个基本事件，所以()514P A =；事件6A ：点(,)P m n 落在直线6x y +=包含其中(2,4)、(3,3)、(4,2)共3个基本事件，所以()614P A =；事件7A ：点(,)P m n 落在直线7x y +=包含其中(3,4)、(4,3)共2个基本事件，所以()716P A =；事件8A ：点(,)P m n 落在直线8x y +=包含其中(4,4)共1个基本事件，所以()8112P A =.综上可得，当5k =或6时，()()()56max 14k P A P A P A ===.故选：BC.10.利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的100件产品，其中一等品有20件，合格品有70件，其余为不合格品，现在这个工厂随机抽查一件产品，设事件A 为“是一等品”，B 为“是合格品”，C 为“是不合格品”，则下列结果正确的是（ ）. A ．7()10P B =B ．9()10P A B ⋃=C ．()0P A B ⋂=D ．()()P A B P C ⋃=【答案】 ABC【解析】由题意知A ，B ，C 为互斥事件，故C 正确；又因为从100件中抽取产品符合古典概型的条件，所以7()10P B =，2()10P A =，1()10P C =则9()10P A B ⋃=，故A 、B ，C 正确；故D 错误. 故选ABC.。
高中数学-阶段验收评价(三)统计与概率跟踪测试卷及答案
阶段验收评价（三）统计与概率一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1．某学校共有36个班级，每班50人，现要求每班派3名代表参加会议，在这个问题中，样本容量是( )A ．30B ．50C ．108D ．150解析：选C 由样本的定义知，样本容量n ＝36×3＝108.2．小波一星期的总开支分布如图①所示，一星期的食品开支如图②所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为( )A ．1%B ．2%C ．3%D ．5%解析：选C 由题图②知，小波一星期的食品开支为300元，其中鸡蛋开支为30元，占食品开支的10%，而食品开支占总开支的30%，所以小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为3%.3．某校高三级部分为甲、乙两个级部，现用分层抽样的方法从高三级部中抽取30名老师去参加教研会．已知乙级部中每名老师被抽到的可能性都为13，则高三级部的全体老师的人数为( )A ．10B ．30C ．60D ．90解析：选D 因为乙级部中每名老师被抽到的可能性都为13，所以高三年级中每名老师被抽到的可能性都为13，由30÷13＝90(人)，可得全体老师人数．4．从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么，互斥而不对立的事件是 ( )A ．至少有一个红球；都是红球B ．至少有一个红球；都是白球C ．至少有一个红球；至少有一个白球D ．恰有一个红球；恰有两个红球解析：选D 根据互斥事件、对立事件的定义可得．5．已知一组数据8,9,10，x ，y 的平均数为9，方差为2，则x 2＋y 2＝ ( )A ．162B ．164C ．168D ．170解析：选D 由题意可知15(8＋9＋10＋x ＋y )＝9，15[(8－9)2＋(9－9)2＋(10－9)2＋(x －9)2＋(y －9)2]＝2，解得x 2＋y 2＝170.6.如图是一容量为100的样本的质量的频率分布直方图，则由图可估计样本质量的中位数为( ) A ．11 B ．11.5 C ．12D ．12.5解析：选C 由频率分布直方图得组距为5，故样本质量在[5,10)，[10,15)内的频率分别为0.3和0.5，从而中位数为10＋0.20.5×5＝12，故选C. 7．种植两株不同的花卉，若它们的成活率分别为p 和q ，则恰有一株成活的概率为( )A ．p ＋q －2pqB ．p ＋q －pqC ．p ＋qD ．pq解析：选A 恰有一株成活的概率为p (1－q )＋q (1－p )＝p ＋q －2pq .8．(2020·新高考山东卷)某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是( )A ．62%B ．56%C ．46%D ．42%解析：选C 不妨设该校学生总人数为100，既喜欢足球又喜欢游泳的学生人数为x ，则100×96%＝100×60%－x ＋100×82%，解得x ＝46，所以既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是46%.故选C. 二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 9．下列说法正确的是( )A ．一组数据不可能有两个众数B．一组数据的方差必须是正数C．将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一常数后，方差不变D．在频率分布直方图中，每个小长方形的面积等于相应小组的频率解析：选CD A错，众数可以有多个；B错，方差可以为0.10．不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次任意取出2张卡片，则与事件“2张卡片都为红色”互斥而非对立的事件是()A．2张卡片都不是红色B．2张卡片恰有一张红色C．2张卡片至少有一张红色D．2张卡片都为绿色解析：选ABD从6张卡片中一次取出2张卡片的所有情况有“2张都为红色”“2张都为绿色”“2张都为蓝色”“1张红色1张绿色”“1张红色1张蓝色”“1张绿色1张蓝色”，在选项给出的四个事件中，与“2张卡片都为红色”互斥而非对立的事件有“2张卡片都不是红色”“2张卡片恰有一张红色”“2张卡片都为绿色”，而“2张卡片至少有一张红色”包含事件“2张卡片都为红色”，二者并非互斥事件．故选A、B、D.11．在一个古典概型中，若两个不同的随机事件A，B发生的概率相等，则称A和B是“等概率事件”，如：随机抛掷一个骰子一次，事件“点数为奇数”和“点数为偶数”是“等概率事件”．关于“等概率事件”，以下判断正确的是()A．在同一个古典概型中，所有的样本点之间都是“等概率事件”B．若一个古典概型的事件总数大于2，则在这个古典概型中除样本点外没有其他“等概率事件”C．因为所有必然事件的概率都是1，所以任意两个必然事件都是“等概率事件”D．同时抛掷三枚硬币一次，则事件“仅有一个正面”和“仅有两个正面”是“等概率事件”解析：选AD对于A，由古典概型的定义知，所有样本点的概率都相等，故所有的样本点之间都是“等概率事件”，故A正确；对于B，如在1,3,5,7,9五个数中，任取两个数，所得和为8和10这两个事件发生的概率相等，故B错误；对于C，由题可知“等概率事件”是针对同一个古典概型的，故C错误；对于D，同时抛掷三枚硬币一次共有8种不同的结果，其中“仅有一个正面”包含3种结果，其概率为38，“仅有两个正面”包含3种结果，其概率为38，故这两个事件是“等概率事件”，故D正确．故选A、D.12．下列对各事件发生的概率判断正确的是 ( )A ．某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为427B ．三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为15，13，14，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为25C ．从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是13D ．设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A不发生的概率相同，则事件A 发生的概率是29解析：选AC 对于A ，该生在第3个路口首次遇到红灯的情况为前2个路口不是红灯，第3个路口是红灯，所以概率为 1－132×13＝427，故A 正确； 对于B ，用A ，B ，C 分别表示甲、乙、丙三人能破译出密码，则P (A )＝15，P (B )＝13，P (C )＝14，“三个人都不能破译出密码”发生的概率为45×23×34＝25，所以此密码被破译的概率为1－25＝35B 错误；对于C ，该试验的样本空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}，记A 为“取出的2个数之差的绝对值为2”，则A ＝{(1,3)，(2,4)}，故所求概率为13，故C 正确；对于D ，易得P (A ∩B )＝P (B ∩A )， 即P (A )P (B )＝P (B )P (A )， 即P (A )[1－P (B )]＝P (B )[1－P (A )]， 所以P (A )＝P (B )，又P (A ∩B )＝19，所以P (A )＝P (B )＝13所以P (A )＝23，故D 错误．故选A 、C.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表(每名同学只参加一个小组)(单位：人)：篮球组 书画组 乐器组 高一 45 30 a 高二151020学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查，按小组分层抽样，从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人，结果篮球组被抽出12人，则a 的值为________． 解析：由题意知，1245＋15＝30120＋a，解得a ＝30.答案：3014．一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为a ，b ，c ，当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”(如213,134等)，若a ，b ，c ∈{1,2,3,4}，且a ，b ，c 互不相同，则这个三位数为“有缘数”的概率为________．解析：由1,2,3组成的三位自然数为123,132,213,231,312,321，共6个；同理，由1,2,4组成的三位自然数为6个，由1,3,4组成的三位自然数为6个，由2,3,4组成的三位自然数为6个，共有24个．由1,2,3或1,3,4组成的三位自然数为“有缘数”，共12个，所以三位数为“有缘数”的概率为1224＝12. 答案：1215．(2019·全国卷Ⅱ)我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为________． 解析：∵x ＝10×0.97＋20×0.98＋10×0.9910＋20＋10＝0.98，∴经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为0.98. 答案：0.9816．一个口袋内装有大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出一个球，摸出红球或白球的概率为0.58，摸出红球或黑球的概率为0.62，那么摸出白球的概率为______；摸出红球的概率为________．解析：由题意知A ＝“摸出红球或白球”与B ＝“摸出黑球”是对立事件，又P (A )＝0.58，∴P (B )＝1－P (A )＝0.42，又C ＝“摸出红球或黑球”与D ＝“摸出白球”也是对立事件，∵P (C )＝0.62，∴P (D )＝0.38.设事件E ＝“摸出红球”，则P (E )＝1－P (B ∪D )＝1－P (B )－P (D )＝1－0.42－0.38＝0.2. 答案：0.38 0.2四、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)某公司为了了解一年内的用水情况，抽取了10天的用水量如下表所示：天数111221 2用水量/吨22384041445095(1)在这10天中，该公司用水量的平均数是多少？(2)在这10天中，该公司每天用水量的中位数是多少？(3)你认为应该用平均数和中位数中的哪一个数来描述该公司每天的用水量更合适？解：(1)x＝110(22＋38＋40＋2×41＋2×44＋50＋2×95)＝51(吨)．(2)中位数为41＋442＝42.5(吨)．(3)平均数受数据中的极端值(2个95)影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低，10天的用水量有8天都在平均值以下，故用中位数描述每天的用水量更合适．18．(12分)小王某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7,0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求：(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率；(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率．解：用A，B，C分别表示这三列火车正点到达的事件，则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，所以P(A－)＝0.2，P(B－)＝0.3，P(C－)＝0.1.(1)由题意得A，B，C之间相互独立，所以恰好有两列火车正点到达的概率为P1＝P(A－BC)＋P(A B－C)＋P(AB C－)＝P(A－)P(B)P(C)＋P(A)P(B－)P(C)＋P(A)P(B)P(C－)＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398.(2)三列火车至少有一列正点到达的概率为P2＝1－P(A－B－C－)＝1－P(A－)P(B－)P(C－)＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994.19．(12分)两台机床同时生产一种零件，在10天中，两台机床每天的次品数如下：甲：1,0,2,0,2,3,0,4,1,2.乙：1,3,2,1,0,2,1,1,0,1.(1)哪台机床次品数的平均数较小？(2)哪台机床的生产状况比较稳定？解：(1)x甲＝(1＋0＋2＋0＋2＋3＋0＋4＋1＋2)×110 1.5，x乙＝(1＋3＋2＋1＋0＋2＋1＋1＋0＋1)×110＝1.2.∵x甲>x乙，∴乙机床次品数的平均数较小．(2)s2甲＝110×[(1－1.5)2＋(0－1.5)2＋(2－1.5)2＋(0－1.5)2＋(2－1.5)2＋(3－1.5)2＋(0－1.5)2＋(4－1.5)2＋(1－1.5)2＋(2－1.5)2]＝1.65，同理s2乙＝0.76，∵s2甲>s2乙，∴乙机床的生产状况比较稳定．20．(12分)甲、乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指头，若和为偶数算甲赢，否则算乙赢．(1)若以A表示和为6的事件，求P(A)．(2)现连玩三次，若以B表示甲至少赢一次的事件，C表示乙至少赢两次的事件，试问B与C是否为互斥事件？为什么？(3)这种游戏规则公平吗？试说明理由．解：(1)样本空间与点集S＝{(x，y)|x∈N*，y∈N*，1≤x≤5,1≤y≤5}中的元素一一对应．因为S中点的总数为5×5＝25(个)，所以样本点总数为n＝25.事件A包含的样本点共5个，即(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，所以P(A)＝525＝15.(2)B与C不是互斥事件，因为事件B与C可以同时发生，如甲赢一次，乙赢两次的事件即符合题意．(3)这种游戏规则不公平．结合(1)知和为偶数的样本点个数为13个，即甲赢的概率为13 25，乙赢的概率为12 25，所以这种游戏规则不公平．21.(12分)某班100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．(1)求图中a的值；(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数x与数学成绩相应分数段的人数y之比如下表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数.分数段[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)x∶y 1∶12∶13∶44∶5 解：(1)由频率分布直方图知(2a＋0.02＋0.03＋0.04)×10＝1，解得a＝0.005.(2)由频率分布直方图知这100名学生语文成绩的平均分为55×0.005×10＋65×0.04×10＋75×0.03×10＋85×0.02×10＋95×0.005×10＝73(分)．(3)由频率分布直方图知语文成绩在[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)各分数段的人数依次为0.005×10×100＝5,0.04×10×100＝40,0.03×10×100＝30,0.02×10×100＝20.由题中给出的比例关系知数学成绩在上述各分数段的人数依次为5,40×12＝20,30×43＝40,20×54＝25.故数学成绩在[50,90)之外的人数为100－(5＋20＋40＋25)＝10.22．(12分)改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1 000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：支付方式支付金额不大于2 000元大于2 000元仅使用A27人3人仅使用B24人1人(1)估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数．(2)从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2 000元的概率．(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2 000元．结合(2)的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2 000 元的人数有变化？说明理由．解：(1)由题知，样本中仅使用A的学生有27＋3＝30(人)，仅使用B的学生有24＋1＝25(人)，A，B两种支付方式都不使用的学生有5人．故样本中A，B两种支付方式都使用的学生有100－30－25－5＝40(人)．估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数为40100×1 000＝400.(2)记事件C为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于2 000元”，则P(C)＝125＝0.04.(3)记事件E为“从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，该学生本月的支付金额大于2 000元”．假设样本仅使用B的学生中，本月支付金额大于2 000元的人数没有变化，则由(2)知，P(E)＝0.04.答案示例1：可以认为有变化．理由如下：P(E)比较小，概率比较小的事件一般不容易发生，一旦发生，就有理由认为本月支付金额大于2 000元的人数发生了变化．所以可以认为有变化．答案示例2：无法确定有没有变化．理由如下：事件E是随机事件，P(E)比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的．所以无法确定有没有变化．。
高三数学 名校试题分省分项汇编 专题11 概率和统计 文(含解析)
（山东版第03期）2014届高三数学名校试题分省分项汇编专题11 概率和统计文（解析版）一．基础题组1. （山东省德州市2014高三上学期期末考试）某工厂对一批产品进行了抽样检测，右图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98)，[98，100)，[100，102)，[102，104)，[l04，l06]．已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于102克的产品的个数是2. （山东省济南市2014届高三上学期期末考试）为了调查城市PM2.5的情况,按地域把48个城市分成大型、中型、小型三组,对应的城市数分别为8,16,24.若用分层抽样的方法抽取12个城市,则中型组中应抽取的城市数为A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B3. (山东省临沂市重点中学2014届高三12月月考)已知集合{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-==<--=311|,032|2x x g y x B x x x A ，在区间()3,3-上任取一实数x ，则“B A x ⋂∈”的概率为（ ） （A ）41（B ）81 （C ）31 （D ）1214. （山东省淄博市2014届高三上学期期末考试）.给出下列命题： ①样本方差反映的是所有样本数据与样本平均值的偏离程度；②某只股票经历10个跌停（下跌10%）后需再经过10个涨停(上涨10%)就可以回到原来的净值； ③在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越差。
④某中学采用系统抽样方法，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查，现将800名学生从l 到800进行编号．已知从497～513这16个数中取得的学生编号是503，则初始在第1小组1～l6中随机抽到的学生编号是7．上述四个命题中，你认为正确的命题是___________.二．能力题组1. （山东省济南外国语学校2014届高三上学期期中考试）（本小题满分12分）某幼儿园在“六·一儿童节”开展了一次亲子活动，此次活动由宝宝和父母之一（后面以家长代称）共同完成，幼儿园提供了两种游戏方案：方案一 宝宝和家长同时各抛掷一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别是1，2，3，4，5，6），宝宝所得点数记为x ,家长所得点数记为y ;方案二 宝宝和家长同时按下自己手中一个计算器的按钮(此计算器只能产生区间［1，6］的随机实数)，宝宝的计算器产生的随机实数记为m ,家长的计算器产生的随机实数记为n .(Ⅰ) 在方案一中，若12x y +=,则奖励宝宝一朵小红花，求抛掷一次后宝宝得到一朵小红花的概率； （Ⅱ）在方案二中，若2m n >,则奖励宝宝一本兴趣读物，求按下一次按钮后宝宝得到一本兴趣读物的概率.2. （山东省德州市2014高三上学期期末考试） (本题满分l2分) 某校从参加市联考的甲、乙两班数学成绩110分以上的同学中各随机抽取8人，将这l6人的数学成绩编成茎叶图，如图所示．(I)茎叶图中有一个数据污损不清(用△表示)，若甲班抽出来的同学平均成绩为l22分，试推算这个污损的数据是多少?(Ⅱ)现要从成绩在130分以上的5位同学中选2位作数学学习方法介绍，请将所有可能的结果列举出来，并求选出的两位同学不在同一个班的概率．3. （山东省济南市2014届高三上学期期末考试）若1210,,a a a ⋯这10个数据的样本平均数为x ,方差为0.33,则1210,,a a a ⋯，x 这11个数据的方差为________．4. （山东省济南市2014届高三上学期期末考试）（本小题满分12分）一个盒子中装有形状大小相同的5张卡片,上面分别标有数字1,2,3,4,5,甲乙两人分别从盒子中随机不放回的各抽取一张． (Ⅰ)写出所有可能的结果,并求出甲乙所抽卡片上的数字之和为偶数的概率；(Ⅱ)以盒子中剩下的三张卡片上的数字作为边长来构造三角形,求出能构成三角形的概率． 【答案】（Ⅰ）甲乙两人分别从盒子中随机不放回的各抽取一张，基本事件有5. (山东省临沂市重点中学2014届高三12月月考)（本小题满分12分）M公司从某大学招收毕业生，经过综合测试，录用了14名男生和6名女生，这20名毕业生的测试成绩如茎叶图所示（单位：分），公司规定：成绩在180分以上者到“甲部门”工作；180分以下者到“乙部门”工作。
2019年高考必备必考-统计与概率大题汇总_(理科解答含答案)
一对一个性化辅导教学设计任课老师：关sir统计与概率解答题好比数学题中阅读理解，文字多，需要有一定的文字理解能力和结合实际进行数据分析的能力。
文档题目分三档，A 组是必须要掌握题目，因为这道题目在高考大题中是处于基础性的地位，所以要多做，争取拿满分。
A组1、（本小题满分12分）（F37，2017全国2卷理科）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）,其频率分布直方图如下：（3）根据箱产量的频率分布直方图，对求新养殖法产量的中位数的估计值（精确到0.01）. 附：（1）0.4092；（2）有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；（3）52.352、（本小题满分12分）（B06理）传统文化就是文明演化而汇集成的一种反映民族特质和风貌的民族文化，是民族历史上各种思想文化、观念形态的总体表征. 教育部考试中心确定了2017年普通高考部分更注重传统文化考核. 某校为了了解高二年级中国数学传统文化选修课的教学效果，进行了一次阶段检测，并从中随机抽取80名同学的成绩，然后就其成绩分为E D C B A ,,,,五个等级进行数据统计如下：根据以上抽样调查数据，视频率为概率.（1）若该校高二年级共有1000名学生，试估算该校高二年级学生获得成绩为B 的人数； （2）若等级E D C B A ,,,,分别对应100分、80分、60分、40分、20分，学校要求“平均分达60分以上”为“教学达标”，请问该校高二年级此阶段教学是否达标？（3）为更深入了解教学情况，将成绩等级为B A ,的学生中，按分层抽样抽取7人，再从中任意抽取3名，求抽到成绩为A 的人数X 的分布列与数学期望.（1）150（2）59，未达标（3）9/7随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：（2）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；4、（本小题满分12分）（F32，2015全国2卷理科）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，根据用户对产品的满意度评分如下：A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79（1）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）（1）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立。
2019届高三数学(理)复习题：模块六概率与统计第19讲 概率、统计、统计案例Word版含答案
第19讲概率、统计、统计案例1.[2018·全国卷Ⅱ]我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是()A.B.C.D.[试做]命题角度古典概型①求古典概型概率的方法:直接法:将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率,再运用互斥事件概率的加法公式计算.间接法:先求事件的对立事件的概率,再用公式P(A)=1-P()求概率,即运用逆向思维(正难则反),特别是对“至多”“至少”型题目,用间接法求解更简便.②易错点:当事件A,B为互斥事件时,有P(A+B)=P(A)+P(B),否则P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).2.(1)[2018·全国卷Ⅰ]如图M6-19-1所示,来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB,AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点,此点取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分别记为p1,p2,p3,则()图M6-19-1A.p1=p2B.p1=p3C.p2=p3D.p1=p2+p3(2)[2017·全国卷Ⅰ]如图M6-19-2所示,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图,正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是()图M6-19-2A. B.C. D.[试做]命题角度几何概型①利用几何概型概率公式求解.②处理几何概型与非几何知识的综合问题的关键是,通过转化,将某一事件所包含的事件用“长度”“角度”“面积”“体积”等表示出来,如把这两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标,这样基本事件就构成了平面上一个区域,进而转化为面积的度量来解决.③易错点:利用几何概型的概率公式时,不要忽视事件是否等可能.3.[2018·全国卷Ⅲ]某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,DX=2.4,P(X=4)<P(X=6),则p= () A.0.7 B.0.6C.0.4D.0.3[试做]命题角度n次独立重复试验的期望与方差关键一:确定n的值;关键二:利用方差公式D(X)=np(1-p)求解.小题1用样本估计总体1 (1)某机构为了解“跑团”每月跑步的平均里程,收集并整理了2017年1月至2017年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程(单位:km)的数据,得到如图M6-19-3所示的折线图.图M6-19-3根据折线图,下列结论正确的是()A.月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数B.月跑步平均里程逐月增加C.月跑步平均里程的峰值出现在9月份D.1月至5月的月跑步的平均里程相对于6月至11月,波动性较小,变化比较平稳(2)为了了解一批产品的长度(单位:mm)情况,现抽取容量为400的样本进行检测,如图M6-19-4所示是检测结果的频率分布直方图,根据产品标准,单件产品长度在[25,30)的为一等品,在[20,25)和[30,35)的为二等品,其余均为三等品,则样本中三等品的件数为.图M6-19-4[听课笔记]【考场点拨】用频率分布直方图估计总体的数字特征应注意以下几点:(1)频率分布直方图的纵轴是,而不是频率;(2)在频率分布直方图中每个小长方形的面积才是相应区间的频率,在应用和作频率分布直方图时要注意;(3)最高的小长方形底边中点的横坐标是众数;(4)平分频率分布直方图的面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标是中位数;(5)频率分布直方图中每个小长方形的面积乘小长方形底边中点的横坐标之和是中位数.【自我检测】1.甲、乙两名同学6次考试的成绩统计如图M6-19-5所示,甲、乙两组数据的平均数分别为,,标准差分别为σ甲,σ乙,则()图M6-19-5A.<,σ甲<σ乙B.<,σ甲>σ乙C.>,σ甲<σ乙D.>,σ甲>σ乙2.从某中学甲、乙两班中各随机抽取10名同学,测量他们的身高(单位:cm),所得数据用茎叶图表示,如图M6-19-6,由此可估计甲、乙两班同学的身高情况,则下列结论正确的是()图M6-19-6A.甲班同学身高的方差较大B.甲班同学身高的平均值较大C.甲班同学身高的中位数较大D.甲班同学身高在175 cm以上的人数较多3.已知某7个数的平均数为4,方差为2,现加入一个新数据4,此时这8个数的平均数为,方差为s2,则()A.=4,s2<2B.=4,s2>2C.>4,s2<2D.>4,s2>24.为了解某校一次期中考试数学成绩的情况,抽取100位学生的数学成绩(单位:分),得到如图M6-19-7所示的频率分布直方图,其中成绩分组区间是[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],则估计该次考试数学成绩的中位数是()图M6-19-7A.71.5B.71.8C.72D.75小题2变量间的相关关系、统计案例2 (1)随着国家“二孩政策”的全面放开,为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿,某机附表:841 6.635由K2=算得,K的观测值k=≈9.616,参照附表,得到的正确结论是()A.在犯错误的概率不超过0.001的前提下,认为“生育意愿与城市级别有关”B.有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”C.在犯错误的概率不超过0.001的前提下,认为“生育意愿与城市级别无关”D.有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别无关”(2)某公司在对一种新产品进行合理定价前,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到如下数由表中数据,求得线性回归方程为=-4x+,当产品的销量为76件时,产品的单价大致为元.[听课笔记]【考场点拨】(1)回归直线一定过样本点的中心(,).(2)随机变量K2的观测值k越大,说明“两个变量有关系”的可能性越大.【自我检测】1.某中学的兴趣小组将在某座山测得海拔高度、气压和沸点的六组数据绘制成散点图如图M6-19-8所示,则下列说法错误的是()①②图M6-19-8A.沸点与海拔高度呈正相关B.沸点与气压呈正相关C.沸点与海拔高度呈负相关D.沸点与海拔高度、沸点与气压的相关性都很强A.a=45,c=15B.a=40,c=20C.a=35,c=25D.a=30,c=301若y关于x的回归方程为=1.3x-1,则m=.小题3古典概型与几何概型3 (1)已知甲袋中有1个黄球和1个红球,乙袋中有2个黄球和2个红球.现随机地从甲袋中取出1个球放入乙袋,再从乙袋中随机取出1个球,则从乙袋中取出红球的概率为()A.B.C.D.(2)如图M6-19-9,E,F,G,H是平面四边形ABCD各边的中点,若在平面四边形ABCD内任取一点,则该点取自阴影部分的概率是()图M6-19-9A.B.C.D.[听课笔记]【考场点拨】求解概率题的几个失分点:(1)不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误;(2)古典概型问题中如涉及“至多”“至少”等事件的概率计算时,没有转化为求其对立事件的概率,来简化运算;(3)几何概型中,基本事件对应的区域测度把握不准导致错误;(4)利用概率公式时,忽视验证事件是否等可能导致错误.【自我检测】1.为了弘扬我国优秀传统文化,某中学广播站在中国传统节日:春节,元宵节,清明节,端午节,中秋节五个节日中随机选取两个节日来讲解其文化内涵,那么春节和端午节至少有一个被选中的概率是()A.0.3B.0.4C.0.6D.0.72.如图M6-19-10,半径为R的圆O内有四个半径相等的小圆,其圆心分别为A,B,C,D,这四个小圆都与圆O内切,且相邻两小圆外切,图M6-19-10则在圆O内任取一点,该点恰好取自阴影部分的概率为()A.12-8B.6-4C.9-6D.3-23.已知M是半径为R的圆上的一个定点,在圆上等可能地任取一点N,连接MN,则弦MN的长度超过R的概率是()A.B.C.D.4.连续2次抛掷一颗质地均匀的骰子,观察向上的点数,则事件“点数之积是3的倍数”的概率为.小题4条件概率、相互独立事件与独立重复试验4 (1)从装有若干个大小相同的红球、白球和黄球的袋中随机摸出1个球,摸到红球、白球和黄球的概率分别为,,.若从袋中随机摸出1个球,记下颜色后放回,连续摸3次,则记下的颜色中有红有白但没有黄的概率为()A.B.C.D.(2),其中A的各位数字中,a1=1,a k(k=2,3,4,5)出现0的概率为,出现1的概率为.若启动一次出现的数字为A=10101,则称这次试验成功,若成功一次得2分,失败一次得-1分,则100次重复试验的总得分X的方差为.[听课笔记]【考场点拨】求相互独立事件同时发生的概率的方法:(1)相互独立事件同时发生的概率等于他们各自发生的概率之积;(2)正面计算较复杂或难以入手时,可从其对立事件入手计算.特别提醒:利用独立重复试验的概率公式计算概率时,其计算量往往很大,计算时要小心谨慎,以确保计算的正确.【自我检测】1.某电视台“夏日水上闯关”节目中的前三关的过关率分别为0.8,0.7,0.6,只有通过前一关才能进入下一关,且是否通过每关相互独立.一选手参加该节目,则该选手只闯过前两关的概率为()A.0.56B.0.336C.0.32D.0.2242.据统计,连续熬夜48小时诱发心脏病的概率为0.055,连续熬夜72小时诱发心脏病的概率为0.19.现有一人已连续熬夜48小时未诱发心脏病,则他还能继续连续熬夜24小时不诱发心脏病的概率为()A.B.C.D.0.193.设随机变量ξ~B(2,p),η~B(4,p),若P(ξ≥1)=,则P(η≥2)的值为()A.B.C.D.4.设随机变量X~B,则P(X=3)=.第19讲概率、统计、统计案例典型真题研析1.C[解析] 不超过30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,共10个,从中任取两个有种取法,其中和为30的有3种,即(7,23),(11,19),(13,17),所以所求概率P==.2.(1)A(2)B[解析] (1)设AB=a,AC=b,BC=c,则a2+b2=c2.记△ABC的面积为S1,黑色部分的面积为S2,则S2=π+π+ab-π=π(a2+b2-c2)+ab=ab=S1.根据几何概型的概率计算公式可知p1=p2.(2)根据对称性,图中黑色部分、白色部分的面积相等.设正方形的边长为2,则正方形的面积为4,图中圆的面积为π,故黑色部分的面积为,所以所求的概率为=.3.B[解析] 由DX=10p(1-p)=2.4,解得p=0.4或p=0.6.由P(X=4)=p4(1-p)6<P(X=6)=p6(1-p)4,可知p>0.5,故p=0.6.故选B.考点考法探究小题1例1(1)D(2)100[解析] (1)由折线图知,月跑步平均里程的中位数为5月份对应的里程数,月跑步平均里程不是逐月增加的,月跑步平均里程的峰值出现在10月份,故A,B,C中结论不正确,故选D.(2)由题意得,三等品的频率为(0.012 5+0.025 0+0.012 5)×5=0.25,∴样本中三等品的件数为400×0.25=100.【自我检测】1.C[解析] 由图可知,甲同学的平均成绩高于乙同学,且甲同学的成绩更稳定,即>,σ甲<σ乙,故选C.2.A[解析] 观察茎叶图可知甲班同学身高的数据波动大,所以甲班同学身高的方差较大,A中结论正确;甲班同学身高的平均值为=169.2,乙班同学身高的平均值为=171,所以乙班同学身高的平均值较大,B中结论错误;甲班同学身高的中位数为=168,乙班同学身高的中位数为=171.5,所以乙班同学身高的中位数较大,C中结论错误;甲班同学身高在175 cm以上的有3人,乙班同学身高在175 cm以上的有4人,所以乙班同学身高在175 cm以上的人数较多,D中结论错误.故选A.3.A[解析] ∵某7个数的平均数为4,方差为2,现加入一个新数据4,此时这8个数的平均数为,方差为s2,∴==4,s2==<2,故选A.4.C[解析] 由题,0.04+10a+0.3+0.4+0.1+10a=1,得a=0.008.因为成绩在[40,50),[50,60),[60,70)的频率之和为0.04+0.08+0.3=0.42,所以中位数位于区间[70,80)内,由=0.2,得中位数约为70+0.2×10=72.故选C.小题2例2(1)B(2)7.5[解析] (1)根据K2的观测值k=≈9.616>6.635,可得有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”,或在犯错误的概率不超过0.01的前提下,认为“生育意愿与城市级别有关”,所以选B.(2)由表中数据得,=6.5,=80,∴=80+4×6.5=106,∴回归方程为=-4x+106.当y=76时,76=-4x+106,∴x=7.5.【自我检测】1.A[解析] 结合散点图可得,沸点与气压呈正相关,气压与海拔高度呈负相关,所以沸点与海拔高度呈负相关,且沸点与海拔高度、沸点与气压的相关性都很强.故选A.2.A[解析] 由题意易知,若|a-c|越大,则X与Y有关系的可能性越大,结合选项计算可得A选项符合题意.故选A.3.3.1[解析] 由题意得==2.5,代入到线性回归方程=1.3x-1,得=2.25.∴0.1+1.8+m+4=4×2.25=9,∴m=3.1.小题3例3(1)B(2)B[解析] (1)先从甲袋中取出1个球放入乙袋,再从乙袋中取出1个球的基本事件总数为=10,取出红球的基本事件总数为+=5,所以从乙袋中取出红球的概率P==.故选B.(2)连接AC,与HE,FG分别交于点M,N,如图所示,设点D到AC的距离为h,则S△ADC=AC·h,S四边形HGNM=HG××h=×AC·h,∴S四边形HGNM=S△ADC,∴S四边形HGFE=S四边形ABCD,∴所求概率是,故选B.【自我检测】1.D[解析] 春节和端午节至少有一个被选中的对立事件是春节和端午节都没有被选中,而春节和端午节都没有被选中的概率为=0.3,所以春节和端午节至少有一个被选中的概率为1-0.3=0.7.故选D.2.A[解析] 设小圆的半径为r,根据题意可知四边形ABDC为正方形,OA=r.由R-r=r,得r==(-1)R,所以大圆的面积为πR2,四个小圆的面积为4π(-1)2R2.由几何概型的概率计算公式可得,所求概率为=12-8.故选A.3.D[解析] 本题可利用几何概型求解.如图,O为圆心,NP为直径,且MO⊥NP.根据题意可得,该圆的周长为2πR,满足条件“弦MN的长度超过R”的点N所在的弧是,且其长度为πR,则弦MN的长度超过R的概率P=.故选D.4.[解析] 总事件数为6×6=36.当第1次掷骰子向上的点数为1,2,4,5时,满足条件的事件有(1,3),(1,6),(2,3),(2,6),(4,3),(4,6),(5,3),(5,6),共8个;当第1次掷骰子向上的点数为3,6时,满足条件的事件有2×6=12(个).所以所有满足条件的事件共20个,所求概率P==.小题4例4(1)C(2)[解析] (1)满足题意时,记下的颜色应是2个红1个白或者2个白1个红,据此可得,所求概率为××+××=.(2)启动一次出现数字为A=10101的概率P=×=.设100次独立重复试验中成功的次数为η,则η~B,∴D(η)=100××=.∵X=2η-1×(100-η)=3η-100,∴D(X)=D(3η-100)=9D(η)=.【自我检测】1.D[解析] 该选手只闯过前两关的概率为0.8×0.7×(1-0.6)=0.224,故选D.2.A[解析] 设事件A为连续熬夜48小时诱发心脏病,事件B为连续熬夜72小时诱发心脏病.由题意可知,P(A)=0.055,P(B)=0.19,则P()=0.945,P()=0.81,由条件概率计算公式可得,P(|)====.3.B[解析] 由P(ξ≥1)=,得p(1-p)+p2=2p-p2=,∴p=,∴P(η≥2)=p2(1-p)2+p3(1-p)+p4=6××+4××+=,故选B.4.[解析] 因为X~B,所以P(X=3)=××=.[备选理由] 例1主要考查条形图的识别以及应用;例2为高考试题,考查2×2列联表的应用;例3考查古典概型,需要在一定的排列组合计数的基础上完成;例4考查几何概型,涉及数学史,可以开拓学生的视野和应用意识;例5需要对所给的问题进行判断,属于二项分布问题,考查二项分布的方差.例1[配例1使用]下图是某企业在2008年—2017年企业产值的年增量(即当年产值比前一年产值增加的量)统计图(单位:万元),下列说法正确的是()A.2009年产值比2008年产值少B.从2011年到2015年,产值年增量逐年减少C.产值年增量的增量最大的是2017年D.2016年的产值年增长率可能比2012年的产值年增长率低[解析] D由图,2009年产值比2008年产值多29 565万元,故A中说法错误;2013年的产值年增量大于2012年的,故B中说法错误;产值年增量的增量最大的不是2017年,故C中说法错误;因为增长率等于增长量除以上一年产值,由于上一年产值不确定,所以2016年的产值年增长率可能比2012年的产值年增长率低,故D中说法正确.故选D.例2[配例2使用] [2014·江西卷]某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系,随机抽查52名中学生,得到统计数据如表1至表4,则与性别有关联的可能性最大的变量是()表1A.成绩B.C.智商D.阅读量[解析] D根据独立性检验计算可知,阅读量与性别有关联的可能性较大.例3[配例3使用]若20件产品中有16件一级品,4件二级品,从中任取2件,则这2件中至少有1件二级品的概率是()A.B.C.D.[解析] C由题意,从20件产品中任取2件的情况总数为=190,其中至少有1件二级品的情况数为+=70,由古典概型的概率计算公式可得所求概率为=,故选C.例4[配例3使用]中国古代三国时期的数学家赵爽,创作了一幅“勾股弦方图”,通过数形结合,给出了勾股定理的详细证明.如图所示,在“勾股弦方图”中,以弦为边长得到的正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成,这一图形被称作“赵爽弦图”.若cos 2∠BAE=,则在正方形ABCD内随机取一点,该点恰好在正方形EFGH内的概率为() A.B.C.D.[解析] D如图可知,正方形EFGH的边长为a-b,正方形ABCD的边长为.由题意知cos 2∠BAE=2cos2∠BAE-1=2×-1=,得9a2=16b2,即a= b.∴所求概率为==.故选D.例5[配例4使用] [2017·全国卷Ⅱ]一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次,X表示抽到的二等品件数,则D(X)=.[答案] 1.96[解析] X~B(100,0.02),故D(X)=100×0.02×0.98=1.96.。
高三数学大题专项训练 概率与统计(答案)
1.【2012高考真题辽宁理19】(本小题满分12分)电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查。
下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图；将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”。
(Ⅰ)根据已知条件完成下面的22⨯列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别 有关？(Ⅱ)将上述调查所得到的频率视为概率。
现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽 样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X 。
若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列，期望()E X 和方差()D X 。
附：22112212211212(),n n n n n n n n n χ++++-=【答案】【点评】本题主要考查统计中的频率分布直方图、独立性检验、离散型随机变量的分布列，期望()E X 和方差()D X ，考查分析解决问题的能力、运算求解能力，难度适中。
准确读取频率分布直方图中的数据是解题的关键。
9.【2012高考真题四川理17】(本小题满分12分)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）A 和B ，系统A 和B 在任意时刻发生故障的概率分别为110和p 。
（Ⅰ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950，求p 的值； （Ⅱ）设系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的概率分布列及数学期望E ξ。
【答案】本题主要考查独立事件的概率公式、离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查实际问题的数学建模能力，数据的分析处理能力和基本运算能力.【解析】10．【2012高考真题湖北理】（本小题满分12分）根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X （单位：mm ）对工期的影响如下表：历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X 小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9. 求：（Ⅰ）工期延误天数Y 的均值与方差；（Ⅱ）在降水量X 至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率. 【答案】（Ⅰ）由已知条件和概率的加法公式有：(300)0.3,P X <=(300700)(700)(300)0.70.30.4P X P X P X ≤<=<-<=-=，降水量X 300X <300700X ≤< 700900X ≤<900X ≥工期延误天数Y2610(700900)(900)(700)0.90.70.2P X P X P X ≤<=<-<=-=. (900)1(900)10.90.1P X P X ≥=-<=-=.所以Y 的分布列为：于是，()00.320.460.2100.13E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=；2222()(03)0.3(23)0.4(63)0.2(103)0.19.8D Y =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=.故工期延误天数Y 的均值为3，方差为9.8. （Ⅱ）由概率的加法公式，(300)1(300)0.7P X P X ≥=-<=，又(300900)(900)(300)0.90.30.6P X P X P X ≤<=<-<=-=.由条件概率，得(6300)(900300)P Y X P X X ≤≥=<≥(300900)0.66(300)0.77P X P X ≤<===≥.故在降水量X 至少是300mm 的条件下，工期延误不超过6天的概率是67.11.【2012高考江苏25】（10分）设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，0ξ=；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，1ξ=． （1）求概率(0)P ξ=；（2）求ξ的分布列，并求其数学期望()E ξ．【答案】解：（1）若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的一个，过任意1个顶点恰有3条棱，∴共有238C 对相交棱。
概率统计与期望方差分布列大题基础练-高考数学重点专题冲刺演练(解析版)
概率统计与期望方差分布列大题基础练新高考数学复习分层训练（新高考通用）1．（2023·安徽宿州·统考一模）宿州号称“中国云都”，拥有华东最大的云计算数据中心、CG动画集群渲染基地，是继北京、上海、合肥、济南之后的全国第5家量子通信节点城市.为了统计智算中心的算力，现从全市n个大型机房和6个小型机房中随机抽取若干机房进行算力分析，若一次抽取2个机房，全是小型机房的概率为1 3 .(1)求n的值；(2)若一次抽取3个机房，假设抽取的小型机房的个数为X，求X的分布列和数学期望.E X=⨯+⨯+⨯+⨯=.则X的数学期望()012330102652．（2023秋·浙江湖州·高三安吉县高级中学校考期末）某运动品牌旗舰店在双十一线下促销期间，统计了5个城市的专卖店销售数据如下：款式/专卖店甲乙丙丁戊男装606013080110女装120901306050(1)若分别从甲､乙两家店的销售数据记录中各抽一条进行追踪调查，求抽中的两条记录中至少有一次购买的是男装的概率；(2)现从这5家店中任选3家进行抽奖活动，用X表示其中男装销量超过女装销量的专E X.卖店个数，求随机变量X的分布列和数学期望()∴()1336 012 105105E X=⨯+⨯+⨯=.3．（2023·广东深圳·深圳中学校联考模拟预测）为提高学生的数学应用能力和创造力，学校打算开设“数学建模”选修课，为了解学生对“数学建模”的兴趣度是否与性别有关，学校随机抽取该校30名高中学生进行问卷调查，其中认为感兴趣的人数占70%. (1)根据所给数据，完成下面的22⨯列联表，并根据列联表判断是否有85%的把握认为学生对“数学建模”选修课的兴趣度与性别有关？感兴趣不感兴趣合计男生12女生5合计30(2)若感兴趣的女生中恰有4名是高三学生，现从感兴趣的女生中随机选出3名进行二次访谈，记选出高三女生的人数为X，求X的分布列与数学期望.附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.()2P K k≥0.150.100.050.0250.0100.0050.001 0k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82820.4082 2.0721614219K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，所以没有85%的把握认为学生对“数学建模”选修课的兴趣度与性别有关；（2）由题意可知X 的取值可能为0，1，2，3，则3539C 5(0)C 42P X ===，124539C C 10(1)C 21P X ===，214539C C 5(2)C 14P X ===，3439C 1(3)C 21P X ===，故X 的分布列为X 0123P5421021514121510514()0123422114213E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.4．（2023秋·江苏·高三统考期末）为深入贯彻党的教䏍方针，全面落实《中共中央国务院关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校从2022年起积极推进劳动课程改革，先后开发开设了具有地方特色的家政､烹饪､手工､园艺､非物质文化遗产等劳动实践类校本课程.为调研学生对新开设劳动课程的满意度并不断改进劳动教育，该校从2022年1月到10月每两个月从全校3000名学生中随机抽取150名学生进行问卷调查，统计数据如下表：月份x 246810满意人数y8095100105120(1)由表中看出，可用线性回归模型拟合满意人数y 与月份x 之间的关系，求y 关于x 的回归直线方程ˆˆˆybx a =+，并预测12月份该校全体学生中对劳动课程的满意人数；(2)10月份时，该校为进一步深化劳动教育改革，了解不同性别的学生对劳动课程是否满意，经调研得如下统计表：满意不满意合计男生651075女生552075合计12030150请根据上表判断是否有95%的把握认为该校的学生性别与对劳动课程是否满意有关？参考公式：()()()1122211ˆˆˆ,nni i i ii i nn iii i x y nxyx x yy bay bx xnx x x ====---===--∑∑∑∑.()20P K k ≥0.100.050.0250.0100.005k 2.7063.8415.0246.6357.879()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.两人轮流进行点球训练（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，一人踢球另一人扑球，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人进球另一人不进球，进球者得1分，不进球者得1-分；两人都进球或都不进球，两人均得0分，设甲、乙每次踢球命中的概率均为12，甲扑到乙踢出球的概率为12，乙扑到甲踢出球的概率13，且各次踢球互不影响．(1)经过1轮踢球，记甲的得分为X，求X的分布列及数学期望；(2)求经过3轮踢球累计得分后，甲得分高于乙得分的概率．()101612412E X=-⨯+⨯+⨯=.（2）经过三轮踢球，甲累计得分高于乙有四种情况：甲3轮各得1分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得0分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得1-分；甲3轮中有1轮得1分，2轮各得0分，甲3轮各得1分的概率为3111464 P⎛⎫==⎪⎝⎭，甲3轮中有2轮各得1分，1轮得0分的概率为2223177C41264 P⎛⎫=⨯=⎪⎝⎭，甲3轮中有2轮各得1分，1轮得1-分的概率为2233111C4632 P⎛⎫=⨯=⎪⎝⎭，甲3轮中有1轮得1分，2轮各得0分的概率为21431749C412192 P⎛⎫=⨯⨯=⎪⎝⎭，所以经过三轮踢球，甲累计得分高于乙的概率1714979646432192192 P=+++=.6．（2023·浙江·校联考模拟预测）某地区2016至2022年生活垃圾无害化处理量（单位：万吨）如下表：年份2016201720182019202020212022年份代号x1234567生活垃圾无害化处理量y 3.9 4.3 4.6 5.4 5.8 6.2 6.9(1)求y 关于x 的线性回归方程；(2)根据（1）中的回归方程，分析过去七年该地区生活垃圾无害化处理的变化情况，并预测该地区2024年生活垃圾无害化处理量.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()121ˆni ii n ii x x yy bx x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-.参考数据7162.4i i x y =∑7．（2023秋·浙江嘉兴·高三统考期末）为积极响应“反诈”宣传教育活动的要求，某企业特举办了一次“反诈”知识竞赛，规定：满分为100分，60分及以上为合格.该企业从甲､乙两个车间中各抽取了100位职工的竞赛成绩作为样本.对甲车间100位职工的成绩进行统计后，得到了如图所示的成绩频率分布直方图.(1)估算甲车间职工此次“反诈”知识竞赛的合格率；(2)若将频率视为概率，以样本估计总体.从甲车间职工中，采用有放回的随机抽样方法抽取3次，每次抽1人，每次抽取的结果相互独立，记被抽取的3人次中成绩合格的人数为X .求随机变量X 的分布列；(3)若乙车间参加此次知识竞赛的合格率为60%，请根据所给数据，完成下面的22⨯列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为此次职工“反计”知识竞赛的成绩与其所在车间有关?2×2列联表甲车间乙车间合计合格人数不合格人数合计附参考公式：①()()()()22()n ad bc a c b d a b c d χ-=++++，其中n a b c d =+++.②独立性检验临界值表【答案】(1)80%(2)分布列见解析(3)表格见解析，有【分析】（1）根据频率分布直方图的性质，可得答案；（2）根据二项分布的分布列的解题步骤，可得答案；（3）由题意，补全列联表，利用独立性检验的解题步骤，可得答案.【详解】（1）根据频率分布直方图可求得甲车间此次参加“反诈”知识竞赛的合格率0.02100.03100.02100.01100.8=⨯+⨯+⨯+⨯=，即80%.（3）根据题中统计数据可填写22⨯列联表如下，甲车间乙车间合计合格人数8060140不合格人数204060合计10010020022200(80402060)9.524 6.635,10010014060χ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯所以有99%的把握认为“此次职工‘反计’知识竞赛的成绩与职工所在车间有关系”.8．（2023春·江苏扬州·高三统考开学考试）云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长.从中国信息通信研究院发布的《云计算白皮书（2022年）》可知，我国2017年至2021年云计算市场规模数据统计表如下：年份2017年2018年2019年2020年2021年年份代码x12345云计算市场规模y /亿元692962133420913229经计算得：51ln i i y =∑=36.33，51(ln )i i i x y =∑=112.85.(1)根据以上数据，建立y 关于x 的回归方程ˆˆˆebxa y +=（e 为自然对数的底数）.(2)云计算为企业降低生产成本､提升产品质量提供了强大助推力.某企业未引入云计算前，单件产品尺寸与标准品尺寸的误差4~(0,N mε，其中m 为单件产品的成本（单位：元），且(11)P ε-<<=0.6827；引入云计算后，单件产品尺寸与标准品尺寸的误差1~(0,)N mε.若保持单件产品的成本不变，则(11)P ε-<<将会变成多少？若保持产品质量不变（即误差的概率分布不变），则单件产品的成本将会下降多少？附：对于一组数据1122(,),(,),,(,),n n x y x y x y ⋯其回归直线ˆˆˆyx βα=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为ˆβ=1221niii nii x ynx y xnx ==--∑∑，ˆˆy x αβ=-.若2~(,)XN μσ，则(||)0.6827P X μσ-<=，(|2)0.9545P X μσ-<=，(||3)0.9973.P X μσ-<=9．（2023春·重庆永川·高三重庆市永川北山中学校校考开学考试）近年来，各平台短视频、网络直播等以其视听化自我表达、群圈化分享推送、随时随地传播、碎片化时间观看等特点深受人们喜爱，吸引了眼球赚足了流量，与此同时，也存在功能失范、网红乱象、打赏过度、违规营利、恶意营销等问题．为促使短视频、网络直播等文明、健康，有序发展，依据《网络短视频平台管理规范》、《网络短视频内容审核标准细则》等法律法规，某市网信办、税务局、市场监督管理局联合对属地内短视频制作、网络直播进行审查与监管．(1)对短视频、网络直播的整体审查包括总体规范、账户管理、内容管理等三个环节，三个环节均通过审查才能通过整体审查．设某短视频制作团队在这三个环节是否通过审查互不影响，且各环节不能通过审查的概率分别为4131,,25485．①求该团不．能通过整体审查的概率：②设该团队通过整体审查后，还要进入技术技能检测环节，若已知该团队最终通过整体审查和技术技能检测的概率为35%，求该团队在已经通过整体审查的条件下通过技术技能检测的概率；(2)某团队为提高观众点击其视频的流量，通过观众对其视频的评论分析来优化自己的创作质量，现有100条评论数据如下表：试问是否有99.9%的把握可以认为观众对该视频的满意度与该视频改拍相关程度有关联？参考公式：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，n a b c d=+++()20P x χα≥=0.10.050.010.0050.001nx 2.7063.8416.6357.87910.82810．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）2023年3月的体坛属于“冰上运动”，速滑世锦赛、短道速滑世锦赛、花滑世锦赛将在荷兰、韩国、日本相继举行．中国队的“冰上飞将”们将在北京冬奥会后再度出击，向奖牌和金牌发起冲击．据了解，甲、乙、丙三支队伍将会参加2023年3月10日~12日在首尔举行的短道速滑世锦赛5000米短道速滑男子5000米接力的角逐．接力赛分为预赛、半决赛和决赛，只有预赛、半决赛都获胜才能进入决赛．已知甲队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为23和34；乙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为34和45；丙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为p和3 2p-，其中34p<<．(1)甲、乙、丙三队中，谁进入决赛的可能性最大；(2)若甲、乙、丙三队中恰有两对进入决赛的概率为3790，求p的值；(3)在（2）的条件下，设甲、乙、丙三队中进入决赛的队伍数为ξ，求ξ的分布列・11．（2023·重庆酉阳·重庆市酉阳第一中学校校考一模）某市从2020年5月1日开始，若电子警察抓拍到机动车不礼让行人的情况后，交警部门将会对不礼让行人的驾驶员进行扣3分，罚款200元的处罚，并在媒体上曝光．但作为交通重要参与者的行人，闯红灯通行却频有发生，带来了较大的交通安全隐患和机动车通畅率降低点情况.交警部门在某十字路口根据以往的监测数据，得到行人闯红灯的概率为0.2，并从穿越该路口的行人中随机抽取了200人进行调查，对是否存在闯红灯的情况进行统计，得到2×2列联表如下：45岁以下45岁以上合计闯红灯人数25未闯红灯数85合计200近期，为了整顿“行人闯红灯”这一不文明的违法行为，交警部门在该十字路口试行了对闯红灯的行人进行5元以上，50元以下的经济处罚．在试行经济处罚一段时间后，交警部门再次对穿越该路口的行人中随机抽取了200人进行调查，对是否存在闯红灯的情况进行统计，得到2×2列联表如下：45岁以下45岁以上合计闯红灯人数51520未闯红灯人9585180数合计100100200将统计数据所得频率视为概率，完成下列问题：(1)将2×2列联表填写完整（不需要写出填写过程），并根据表中数据分析，在试行对闯红灯的行人进行经济处罚前，是否有90%的把握认为闯红灯行为与年龄有关；(2)在试行对闯红灯的行人进行经济处罚后，闯红灯现象是否有明显改善，请说明理由；(3)结合调查结果，请你对“如何治理行人闯红灯现象”提出合理的建议（至少提出两条建议）．【答案】(1)列联表见解析，有(2)有明显改善，理由见解析(3)答案见解析K的值，结合附表，即可【分析】（1）根据题意，填写出2×2列联表，利用公式求得2得到结论；（2）求得试行对闯红灯的行人进行经济处罚后，行人闯红灯的概率，结合试行对闯红灯的行人进行经济处罚前的概率，可得出结论；（3）结合表格中的数据，可针对45岁以上人群开展“道路安全”宣传教育；也可进行适因为()2220015752585253.125 2.706100100401608K⨯⨯-⨯===>⨯⨯⨯，所以有90%的把握认为闯红灯行为与年龄有关．（2）在试行对闯红灯的行人进行经济处罚后，行人闯红灯的概率为20=0.1 200，而在试行对闯红灯的行人进行经济处罚前，行人闯红灯的概率为0.2，因为0.10.2<，故在试行对闯红灯的行人进行经济处罚后，闯红灯现象有明显改善．（3）①根据调查数据显示，行人闯红灯与年龄有明显关系，故可以针对45岁以上人群开展“道路安全”宣传教育；②由于经济处罚可以明显降低行人闯红灯的概率，故可以在法律允许范围内进行适当的经济处罚．12．（2023·辽宁·新民市第一高级中学校联考一模）为了了解男、女学生对航天知识的了解情况，某调查机构进行了一个随机问卷调查（总分100分），调查的结果如下表所示．若本次问卷调查的得分不低于90分，则认为该学生非常了解航天知识．男学生女学生不低于90分82低于90分2228(1)判断是否有95%的把握认为性别与是否非常了解航天知识有关；(2)现将3个航天器模型纪念品随机分配给参与本次调查且非常了解航天知识的学生，设获得纪念品的女生人数为X，求X的分布列以及数学期望．附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，n a b c d =+++．()2P k αχ=≥0.050.010.0050.001k3.8416.6357.87910.828所以()012.1515155E X =⨯+⨯+⨯=13．（2023春·辽宁朝阳·高三校联考开学考试）千百年来，人们一直在通过不同的方式传递信息．在古代，烽火狼烟、飞鸽传书、快马驿站等通信方式被人们广泛应用；第二次工业革命后，科技的进步带动了电讯事业的发展，电报电话的发明让通信领域发生了翻天覆地的变化；之后，计算机和互联网的出现则使得“千里眼”、“顺风耳”变为现实．现在，5G 的到来给人们的生活带来了颠覆性的变革．某科技创新公司基于领先技术的支持，5G 经济收入在短期内逐月攀升，该创新公司在1月份至5月份的5G 经济收入y （单位：百万元）关于月份x 的数据如表：时间（月份）12345收入（百万元）1015192328(1)根据上表中的数据，求出y 关于x 的线性回归方程，并预测该公司6月份的5G 经济收入；(2)从前5个月的收入中随机抽取3个月，记月收入超过15百万元的个数为X ，求X 的分布列和数学期望．参考公式：回归方程ˆˆˆybx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为1221ˆniii nii x ynxy bxnx ==-=-∑∑，ˆˆay bx =-．所以()123105105E X=⨯+⨯+⨯=．14．（2023春·河北承德·高三河北省隆化存瑞中学校考阶段练习）一般来说，市场上产品的宣传费用与产品的销量存在一定关系．已知产品甲的年宣传费用(x百万元)和年销量(y万箱)的统计数据如下：年宣传费用(x百万元)35610131518年销量y(万箱)1.522.533.544.5(1)求y与x的相关系数(r精确到0.01)，并判断y与x的关系是否可用线性回归方程模型拟合？(规定：0.75r≥)；(2)从年销量不少于3万箱中任取两个数据作为样本，求恰有1个数据不少于4万箱的概率．附：①相关系数ni ix y nxyr-=∑；71246i iix y==∑②，721888iix==∑，72170iiy==∑，36.28≈36.41≈15．（2023春·河北·高三统考阶段练习）某电影院对观众按照性别进行了分层抽样调查，一共调查了900名观众对A影片和B影片的喜爱度，获得了以下数据：(1)哪个影片更受学生欢迎？（不用说明理由）(2)分别估计该电影院男观众和女观众对B影片表示“非常喜爱”的概率；(3)该电影院为了进一步调查观众对B影片的看法，对样本中的女观众用分层抽样抽取了6人，再从这6人中随机抽取2人参加座谈，求这两人均来自“一般喜爱”群体的概率.16．（2023秋·福建厦门·高三厦门外国语学校校考期末）冬奥会的成功举办极大鼓舞了人们体育强国的热情，掀起了青少年锻炼身体的热潮.某校为了解全校学生“体能达标”的情况，从高三年级1000名学生中随机选出40名学生参加“体能达标”测试，并且规定“体能达标”预测成绩小于60分的为“不合格”，否则为合格.若高三年级“不合格”的人数不超过总人数的5%，则该年级体能达标为“合格”；否则该年级体能达标为“不合格”，.现将这40名学生随机分成甲、乙两个组，其中甲组有24名学生，乙组有16名学生.经过预测后，两组各自将预测成绩统计分析如下：甲组的平均成绩为70，标准差为4；乙组的平均成绩为80，标准差为6.（数据的最后结果都精确到整数）(1)求这40名学生测试成绩的平均分x和标准差s；(2)假设高三学生的体能达标预测成绩服从正态分布N（μ，2σ），用样本平均数x作为μ的估计值μ，用样本标准差s作为σ的估计值σ.利用估计值估计，高二学生体能达标预测是否“合格”；(3)为增强趣味性，在体能达标的跳绳测试项目中，同学们可以向体育特长班的强手发起挑战.每场挑战赛都采取七局四胜制.积分规则如下：以4:0或4:1获胜队员积4分，落败队员积0分；以4:2或4:3获胜队员积3分，落败队员积1分.假设体育生王强每局比赛获胜的概率均为23，求王强在这轮比赛中所得积分为3分的条件下，他前3局比赛都获胜的概率.附：①n 个数的方差2211()n i i s x x n ==-∑；②若随机变量Z ～N （μ，2σ），则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，()220.9544P Z μσμσ-<<+=，()330.9974P Z μσμσ-<<+=.17．（2023·山东淄博·统考一模）某电商平台统计了近七年小家电的年度广告费支出i x (万元)与年度销售量i y (万台)的数据，如表所示:年份2016201720182019202020212022广告费支出x 1246111319销售量y1.93.24.04.45.25.35.4其中71279.4i i i x y ==∑，721708i i x ==∑(1)若用线性回归模型拟合y 与x 的关系，求出y 关于x 的线性回归方程；(2)若用y c =+模型拟合得到的回归方程为1.63y =+，经计算线性回归模型及该模型的2R 分别为0.75和0.88，请根据2R 的数值选择更好的回归模型拟合y 与x 的关系，进而计算出年度广告费x 为何值时，利润200zy x =- 的预报值最大？参考公式：()()()1122211nniiiii i nniii i x ynx y xxy y bxnxxx====---==--∑∑∑∑ ，a y bx =-$$；18．（2023·山东济南·一模）为了切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，某高中学校计划优化课程，增加学生体育锻炼时间，提高体质健康水平，某体质监测中心抽取了该较10名学生进行体质测试，得到如下表格：记这10名学生体质测试成绩的平均分与方差分别为x ，2s ，经计算()102111690i x x =-=∑，102133050ii x==∑．(1)求x ；(2)规定体质测试成绩低于50分为不合格，从这10名学生中任取3名，记体质测试成绩不合格的人数为X ，求X 的分布列；(3)经统计，高中生体质测试成绩近似服从正态分布()2,N μσ，用x ，2s 的值分别作为μ，2σ的近似值，若监测中心计划从全市抽查100名高中生进行体质测试，记这100名高中生的体质测试成绩恰好落在区间[]30,82的人数为Y ，求Y 的数学期望()E Y ．附：若()2,N ξμσ ，则()0.6827P μσξμσ-≤≤+≈，(22)0.9545P μσξμσ-≤≤+≈，330.9()973P μσξμσ-≤≤+≈．（3）因为()22111156,16901691010i x s x x===-=⨯=∑，所以56,13μσ==．因为(3082)(22)0.9545P X P μσξμσ≤≤=-≤≤+≈，所以学生的体质测试成绩恰好落在区间[30,82]得概率约为0.9545，故(100,0.9545)Y B ~，所以()1000.954595.45E Y =⨯=．19．（2023·江苏泰州·泰州中学校考一模）某公司对40名试用员工进行业务水平测试，根据测试成绩评定是否正式录用以及正式录用后的岗位等级，测试分笔试和面试两个环节．笔试环节所有40名试用员工全部参加；参加面试环节的员工由公司按规则确定．公司对40名试用员工的笔试得分(笔试得分都在[75,100]内)进行了统计分析，得到如下的频率分步直方图和22⨯列联表．男女合计优(得分不低于90分)8良(得分低于90分)12合计40(1)请完成上面的22⨯列联表，并判断是否有90%的把握认为“试用员工的业务水平优良与否”与性别有关；(2)公司决定：85分的员工直接淘汰，得分不低于85分的员工都正式录用．笔试得分在[95,100]内的岗位等级直接定为一级(无需参加面试环节)；笔试得分在[90,95)内的岗位等级初定为二级，但有25的概率通过面试环节将二级晋升为一级；笔试分数在[85,90)内的岗位等级初定为三级，但有35的概率通过面试环节将三级晋升为二级．若所有被正式录用且岗位等级初定为二级和三级的员工都需参加面试．已知甲、乙为该公司的两名试用员工，以频率视为概率．①若甲已被公司正式录用，求甲的最终岗位等级为一级的概率；②若乙在笔试环节等级初定为二级，求甲的最终岗位等级不低于乙的最终岗位等级的概率．参考公式：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，.n a b c d =+++()20P k χ0.150.100.050.0100k 2.0722.7063.8416.635所以20.317 2.706(84)(1612)(816)(412)χ=<++++，因此没有90%的把握认为“试用员工的业务水平优良与否”与性别有关；（2）不低于85分的员工的人数为：40(0.060.040.02)524⨯++⨯=，直接定为一级的概率为0.025401246⨯⨯=，岗位等级初定为二级的概率为：0.045401243⨯⨯=，岗位等级初定为三级的概率为：0.065401242⨯⨯=.①甲的最终岗位等级为一级的概率为：112363510+⨯=；②甲的最终岗位等级不低于乙的最终岗位等级的概率为：2333390.0250.0450.0450.0655555525⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=.20．（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）为加快推动旅游业复苏，进一步增强居民旅游消费意愿，山东省人民政府规定自2023年1月21日起至3月31日在全省实施景区门票减免，全省国有A 级旅游景区免首道门票，鼓励非国有A 级旅游景区首道门票至少半价优惠．本次门票优惠几乎涵盖了全省所有知名的重点景区，据统计，活动开展以来游客至少去过两个及以上景区的人数占比约为90%．某市旅游局从游客中随机抽取100人（其中年龄在50周岁及以下的有60人）了解他们对全省实施景区门票减免活动的满意度，并按年龄（50周岁及以下和50周岁以上）分类统计得到如下不完整的22⨯列联表：不满意满意总计50周岁及以下5550周岁以上15总计100(1)根据统计数据完成以上22⨯列联表，并根据小概率值0.001α=的独立性检验，能否认为对全省实施景区门票减免活动是否满意与年龄有关联？(2)现从本市游客中随机抽取3人了解他们的出游情况，设其中至少去过两个及以上景区的人数为X ，若以本次活动中至少去过两个及以上景区的人数的频率为概率．①求X 的分布列和数学期望；②求()11P X -≤．参考公式及数据：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++．()2P k αχ=≥0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.828【答案】(1)补全的22⨯列联表见解析；有关；(2)①分布列见解析；() 2.7E X =；②0.271【分析】（1）由题意，抽取的100人年龄在50周岁及以下的有60人，则年龄在50周岁以上的有40人，即可补全22⨯列联表，再根据公式计算212.76χ=，即可判断；（2）①由题意可知(3,0.9)X B ，根据二项分布即可求解分布列及数学期望；②根据则2100(5251555)12.7610.82820806040χ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯.所以在犯错误的概率不超过0.001的情况下认为对全省实施景区门票减免活动是否满意与年龄有关联.（2）①由题意可得，游客至少去过两个及以上景区的概率为0.9，则(3,0.9)X B ，X 的所有可能取值为0，1，2，3，033(0)C 0.10.001P X ==⨯=，123(1)C 0.90.10.027P X ==⨯⨯=，223(2)C 0.90.10.243P X ==⨯⨯=，333(3)C 0.90.729X ==⨯=，所以X 的分布列如下：因为(3,0.9)X B ，所以数学期望()30.9 2.7E X =⨯=.②()(11)(0)(1)(2)13P X P X P X P X P X -≤==+=+==-=10.7290.271=-=.21．（2023秋·湖北·高三湖北省云梦县第一中学校联考期末）皮影戏是一种民间艺术，是我国民间工艺美术与戏曲巧妙结合而成的独特艺术品种，已有千余年的历史.而皮影制作是一项复杂的制作技艺，要求制作者必须具备扎实的绘画功底和高超的雕刻技巧，以及持之以恒的毅力和韧劲.每次制作分为画图与剪裁，雕刻与着色，刷清与装备三道主要工序，经过以上工序处理之后，一幅幅形态各异，富有神韵的皮影在能工巧匠的手里浑然天成，成为可供人们欣赏和操纵的富有灵气的影人.小李对学习皮影制作产生极大兴趣，师从名师勒学苦练，目前水平突飞猛进，三道主要工序中每道工序制作合格的概率依次为323,534，，三道序彼此独立，只有当每道工序制作都合格才为一次成功的皮影制作，该皮影视为合格作品．(1)求小李进行3次皮影制作，恰有一次合格作品的概率；(2)若小李制作15次，其中合格作品数为X ，求X 的数学期望与方差；(3)随着制作技术的不断提高，小李制作的皮影作品被某皮影戏剧团看中，聘其为单位制作演出作品，决定试用一段时间，每天制作皮影作品，其中前7天制作合格作品数y 与时间：如下表：（第1天用数字1表示）时间（t ）1234567合格作品数（y ）3434768其中合格作品数（y ）与时间（t ）具有线性相关关系，求y 关于t 的线性回归方程（精确到0.01），并估算第15天能制作多少个合格作品（四舍五入取整）？（参考公式()()()11222ˆnni i i ii i nn iix ynxyx x yybxnxx x ==---==--∑∑∑∑，ˆˆa y bx =-，参考数据：71163i i i t y ==∑）．。
概率与统计测试题及详解
统计与概率一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。
)1．(2011·淄博一中期末)某校数学教研组为了解学生学习数学的情况，采用分层抽样的方法从高一600人、高二680人、高三720人中，抽取50人进行问卷调查，则高一、高二、高三抽取的人数分别是( )A ．15,16,19B ．15,17,18C ．14,17,19D ．14,16,20[答案] B [解析]50600＋680＋720＝140，600×140＝15,680×140＝17,720×140＝18，故选B.2．(文)(2011·山东实验中学期末)完成下列两项调查：①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户，调查社会购买能力的某项指标；②从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况，宜采用的抽样方法依次是( )A ．①简单随机抽样，②系统抽样B ．①分层抽样，②简单随机抽样C ．①系统抽样，②分层抽样D ．①②都用分层抽样[答案] B[解析] ①总体中高收入、中等收入、低收入家庭有明显差异，故用分层抽样；②总体容量与样本容量都较小，故采用简单随机抽样．(理)(2011·黄冈期末)某市进行一次高三数学质量抽样检测，考试后统计所有考生的数学成绩服从正态分布，已知数学成绩平均分为90分，60分以下的人数占5%，则数学成绩在90分至120分之间的考生人数所占百分比约为( )A ．10%B ．15%C ．30%D ．45%[答案] D[解析] ∵正态曲线对称轴为μ＝90，P(x<60)＝0.05， ∴P(90<x<120)＝12(1－2P(x<60))＝0.45，故选D.3．(文)(2011·四川资阳市模拟)对总数为m 的一批零件抽取一个容量为25的样本，若每个零件被抽取的概率都为14，则m 的值为( )A ．200B ．150C ．120D ．100 [答案] D[解析] ∵25m ＝14，∴m ＝100. (理)(2011·黄冈期末)某农科院在3×3的9块试验田中选出3块种植某品种水稻进行试验，则每行每列都有一块试验田种植水稻的概率为( )A.156 B.17 C.114D.314[答案] C[解析] 从9块试验田中选3块有C 39种选法，其中每行每列都有一块试验田种植水稻的选法有6种，∴p ＝6C 39＝114.4．(文)连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，向量a ＝(m ，n)和向量b ＝(1，－1)的夹角为θ，则θ为锐角的概率是( )A.56B.16C.712D.512[答案] D[解析] ∵夹角θ为锐角，∴错误!，∴错误!， 又∵m ，n ∈{1,2,3,4,5,6}，∴满足条件的结果数为15. 而连掷两次骰子得到的结果数为36， ∴满足条件的概率是P ＝1536＝512. (理)(2011·福州市期末)如图所示，正方形的四个顶点分别为O(0,0)、A(1,0)、B(1,1)、C(0,1)，曲线y ＝x 2经过点B ，现将一个质点随机投入正方形中，则质点落在图中阴影区域的概率是( )A.12B.14C.13D.25[答案] C[解析] 阴影部分的面积S ＝⎠⎛01x 2dx ＝13x 3|10＝13，正方形面积为1，∴p ＝13，故选C.5．(文)(2011·福州市期末)如图是歌手大奖赛中，七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中m 为数字0～9中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为a 1，a 2，则一定有( )A ．a 1>a 2B ．a 2>a 1C ．a 1＝a 2D ．a 1、a 2的大小不确定[答案] B[解析] ∵甲、乙分数在70、80、90各分数段的打分评委人数一样多，故只须看个位数的和，乙的个位数总和37，甲的个位数字和为20＋m<37，∴a 2>a 1，故选B.(理)(2011·巢湖质检)在如图所示的茎叶图中，若甲、乙两组数据的中位数分别为λ1，λ2，平均数分别为μ1，μ2，则下列判断正确的是( )A.λ1>λ2，μ1<μ2 B ．λ1>λ2，μ1>μ2 C ．λ1<λ2，μ1<μ2 D ．λ1<λ2，μ1>μ2[答案] B[解析] 由茎叶图知λ1＝20.5，λ2＝18.5，μ1＝19.9，μ2＝18.9，∴λ1>λ2，μ1>μ2，故选B.6．(文)(2011·温州八校期末)已知α，β，γ是不重合平面，a ，b 是不重合的直线，下列说法正确的是( )A ．“若a ∥b ，a ⊥α，则b ⊥α”是随机事件B ．“若a ∥b ，a ⊂α，则b ∥α”是必然事件C ．“若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β”是必然事件D ．“若a ⊥α，a∩b＝P ，则b ⊥α”是不可能事件 [答案] D[解析]⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b a ⊥α⇒b ⊥α，故A 错；⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b a ⊂α⇒b ∥α或b ⊂α，故B 错；当α⊥γ，β⊥γ时，α与β可能平行，也可能相交(包括垂直)，故C 错；如果两条直线垂直于同一个平面，则此二直线必平行，故D 为真命题．(理)(2011·丰台区期末)有5名同学被安排在周一至周五值日，已知同学甲只能值周一或周二，那么5名同学值日顺序的编排方案共有( )A ．24种B ．48种C ．96种D ．120种[答案] B[解析] 先安排甲有2种方法，其余4名同学可安排余下4天的任意一天值日，∴共有2A 44＝48种不同安排方法．7．(文)已知函数f(x)＝sin aπ3x ，a 等于抛掷一颗骰子得到的点数，则y ＝f(x)在[0,4]上至少有5个零点的概率是( )A.13B.12C.23D.56 [答案] C[解析] 抛掷一颗骰子共有6种情况．当a ＝1,2时，y ＝f(x)在[0,4]上的零点少于5个；当a ＝3,4,5,6时，y ＝f(x)在[0,4]上的零点至少有5个，故P ＝46＝23，选C.(理)(2011·蚌埠二中质检)(3y ＋x)5展开式的第三项为10，则y 关于x 的函数图象的大致形状为( )[答案] D[解析] T 3＝C 25(3y)5－2(x)2＝10xy ＝10，∴y ＝1x(x>0)，故选D.8．(2011·咸阳模拟)样本容量为100的频率分布直方图如图所示，根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在[2,10)内的频率为a ，则a 的值为( )A ．0.1B ．0.2C ．0.3D ．0.4[答案] D[解析] 样本数据落在[2,10)内的频率为a ＝(0.02＋0.08)×4＝0.4.9．将一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a ，第二次出现的点数记为b ，设两条直线l 1：ax ＋by ＝2，l 2：x ＋2y ＝2平行的概率为P 1，相交的概率为P 2，则复数P 1＋P 2i 所对应的点P 与直线l 2：x ＋2y ＝2的位置关系是( )A ．点P 在直线l 2的右下方B ．点P 在直线l 2的右上方C ．点P 在直线l 2上D ．点P 在直线l 2的左下方[答案] D[解析] 易知当且仅当a b ≠12时，两条直线只有一个交点，而a b ＝12时有三种情况：a ＝1，b ＝2(此时两直线重合)；a ＝2，b ＝4(此时两直线平行)；a ＝3，b ＝6(此时两直线平行)．而投掷一颗骰子两次的所有情况有6×6＝36种，所以两条直线相交的概率P 2＝1－336＝1112；两条直线平行的概率为P 1＝236＝118，P 1＋P 2i 所对应的点为P(118，1112，易判断点P(118，1112在直线l 2：x ＋2y ＝2的左下方，选D.10．(2011·河北冀州期末)某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x ，y,10,11,9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x －y|的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] D[解析] 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋10＋11＋9＝50x －102＋y －102＋1＋1＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12y ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8y ＝12，∴|x －y|＝4.11．(2011·北京学普教育中心联考版)在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( )A.π12 B ．1－π12 C.π6D ．1－π6[答案] B[解析] 以点O 为圆心，半径为1的半球的体积为V ＝12×43πR 3＝2π3，正方体的体积为23＝8，由几何概型知：点P 到点O 的距离大于1的概率为P(A)＝1－238＝1－π12B.12．(2011·江西吉安质检)下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录的产品x(吨)与相应的生产能耗y(吨)的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为y ＝0.7x ＋0.35，那么表中t 的值为( )A.4.5 C ．3.15 D ．3[答案] D[解析] 线性回归直线过样本点的中心(x －，y －)，∵x －＝4.5，y －＝11＋t4，∴11＋t 4＝0.7×4.5＋0.35，∴t ＝3，故选D.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．(2011·浙江宁波八校联考)已知某商场新进3000袋奶粉，为检查其三聚氰胺是否超标，现采用系统抽样的方法从中抽取150袋检查，若第一组抽出的号码是11，则第六十一组抽出的号码为________．[答案] 1211[解析] 抽样比150 3000＝1 20，第1组抽出号码为11，故第61组抽出号码为11＋20×(61－1)＝1211.14．(文)设集合A ＝{x|x 2－3x －10<0，x ∈Z}，从集合A 中任取两个元素a ，b 且a·b≠0，则方程x 2a ＋y 2b＝1表示焦点在x 轴上的椭圆的概率为________．[答案]310[解析] A ＝{x|－2<x<5，x ∈Z}＝{－1,0,1,2,3,4}，由条件知，(a ，b)的所有可能取法有：(－1,1)，(－1,2)，(－1,3)，(－1,4)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)，(4，－1)，(2,1)，(3,1)，(4,1)，(3,2)，(4,2)，(4,3)，共20种，方程x 2a ＋y 2b ＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，应有a>b>0，∴有(2,1，)，(3,1)，(4,1)，(3,2)，(4,2)，(4,3)共6种，∴所求概率P ＝620＝310. (理)如图是一个正方体纸盒的展开图，若把1,2,3,4,5,6分别填入小正方形后，按虚线折成正方体，则所得到的正方体相对面上的两个数的和都相等的概率是________．[答案]115[解析] 6个数任意填入6个小正方形中有6！＝720种方法；将6个数分三组(1,6)，(2,5)，(3,4)，每组中的两个数填入一对面中，共有不同填法6×2×2×2＝48种，故所求概率P ＝48720＝115. 15．(文)(2011·浙江宁波八校联考)已知k ∈Z ，AB →＝(k,1)，AC →＝(2,4)，若|AB →|≤4，则△ABC 是直角三角形的概率是________．[答案]37[解析] ∵|AB →|＝k 2＋1≤4，∴－15≤k≤15， ∵k ∈Z ，∴k ＝－3，－2，－1,0,1,2,3，当△ABC 为直角三角形时，应有AB ⊥AC ，或AB ⊥BC ，或AC ⊥BC ，由AB →·AC →＝0得2k ＋4＝0，∴k ＝－2，∵BC →＝AC →－AB →＝(2－k,3)，由AB →·BC →＝0得k(2－k)＋3＝0，∴k ＝－1或3， 由AC →·BC →＝0得2(2－k)＋12＝0，∴k ＝8(舍去)，故使△ABC 为直角三角形的k 值为－2，－1或3，∴所求概率p ＝37.(理)(2011·豫南九校联考)(1－ax)2(1＋x)6的展开式中，x 3项的系数为－16，则实数a的值为________．[答案] 2或3[解析] 展开式中x 3的系数为1×C 36－2aC 46＋a 2C 56＝－16，∴a 2－5a ＋6＝0，∴a ＝2或3.16．(文)(2011·山西太原调研)在圆O 上有一定点A ，则从这个圆上任意取一点B ，使得∠AOB≤30°的概率是________．[答案]16[解析] 如图∠AOE ＝∠AOF ＝30°，当点B 落在EAF 上时，∠AOB≤30°， ∵∠EOF ＝60°，∴所求概率p ＝60°360°＝16.(理)(2011·河北冀州期末)从集合{－1，－2，－3,0,1,2,3,4}中，随机选出4个数组成子集，使得这4个数中的任何两个数之和不等于．．．1，则取出这样的子集的概率为________． [答案]835[解析] 从8个数中任取4个共有C 48＝70种取法，两数之和为1的取法有：－1＋2，－2＋3，－3＋4,0＋1共4种，要使取出的四个数中任何两数之和不等于1，则每组中的两个数只能取1个，故共有24种取法，故所求概率p ＝1670＝835.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)(2011·山西太原调研)甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下：甲：82 81 79 78 95 88 93 84 乙：92 95 80 75 83 80 90 85(1)用茎叶图表示这两组数据，并写出乙组数据的中位数；(2)经过计算知甲、乙两人预赛的平均成绩分别为x －甲＝85，x －乙＝85，甲的方差为S 2甲＝35.3，S 2乙＝41.现要从中选派一人参加数学竞赛，你认为选派哪位学生参加较合适？请说明理由．(3)若将预赛成绩中的频率视为概率，记“甲在考试中的成绩不低于80分”为事件A ，其概率为P(A)；记“乙在考试中的成绩不低于80分”为事件B ，其概率为P(B)．则P(A)＋P(B)＝P(A ＋B)成立吗？请说明理由．[解析] (1)作出如图所示茎叶图，易得乙组数据的中位数为84.(2)派甲参赛比较合适，理由如下： ∵x －甲＝85，x －乙＝85，S 2甲＝35.5，S 2乙＝41， ∴x －甲＝x －乙，S 2甲<S 2乙，∴甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适． (3)不成立．由已知可得P(A)＝68，P(B)＝78，P(A)＋P(B)＝138.而0<P(A ＋B)<1.所以P(A)＋P(B)＝P(A ＋B)不成立．[点评] P(A ＋B)＝P(A)＋P(B)成立的条件是A 和B 互斥，而此问题中的A 和B 是不互斥的，故P(A)＋P(B)＝P(A ＋B)不成立．18．(本小题满分12分)某校高三数学竞赛初赛考试后，对90分以上(含90分)的成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示，若130～140分数段的人数为2人．(1)估计这所学校成绩在90～140分之间学生的参赛人数； (2)估计参赛学生成绩的中位数；(3)现根据初赛成绩从第一组和第五组(从低分段到高分段依次为第一组、第二组、…、第五组)中任意选出两人，形成帮扶学习小组，若选出的两人成绩之差大于20，则称这两人为“黄金搭档组”，试求出的两人为“黄金搭档组”的概率．[解析] (1)设90～140分之间的人数是n ，由130～140分数段的人数为2人，可知0.005×10×n＝2，得n ＝40.(2)设中位数为x，则0．35＋(x－110)×0.045＝0.2＋(120－x)×0.045，解得x＝3403≈113，即中位数约为113分．(3)依题意，第一组共有40×0.01×10＝4人，记作A1、A2、A3、A4；第五组共有2人，记作B1、B2从第一组和第五组中任意选出两人共有下列15种选法：{A1，A2}、{A1，A3}、{A1，A4}、{A2，A3}、{A2，A4}、{A3，A4}；{A1，B1}、{A2，B1}、{A3，B 1}、{A4，B1}；{A1，B2}、{A2，B2}、{A3，B2}、{A4，B2}；{B1，B2}设事件A：选出的两人为“黄金搭档组”，若两人成绩之差大于20，则两人分别来自于第一组和第五组，共有8种选法，故P(A)＝815.19．(本小题满分12分)(文)(2011·湖南长沙一中期末)某班高一某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：(1)求分数在[50,60)的频率及全班人数；(2)求分数在[80,90)之间的频数，并计算频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高；(3)若要从分数在[80,100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在[90,100]之间的概率．[解析] (1)分数在[50,60)的频率为0.008×10＝0.08，由茎叶图知：分数在[50,60)之间的频数为2，所以全班人数为20.08＝25.(2)分数在[80,90)之间的频数为25－2－7－10－2＝4，频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高为425÷10＝0.016.(3)将[80,90)之间的4个分数编号为1,2,3,4，[90,100]之间的2个分数编号为5,6，在[80,100]之间的试卷中任取两份的基本事件为：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)共15个，其中，至少有一个在[90,100]之间的基本事件有9个，故至少有一份分数在[90,100]之间的概率是915＝0.6.(理)某运动项目设置了难度不同的甲、乙两个系列，每个系列都有K 和D 两个动作．比赛时每位运动员自选一个系列完成，两个动作得分之和为该运动员的成绩．假设每个运动员完成每个系列中的两个动作的得分是相互独立的．根据赛前训练统计数据，某运动员完成甲系列和乙系列的情况如下表：表1：甲系列 表2：乙系列(1)若该运动员希望获得该项目的第一名，应选择哪个系列？说明理由，并求其获得第一名的概率；(2)若该运动员选择乙系列，求其成绩ξ的分布列及其数学期望E(ξ)． [解析] (1)若该运动员希望获得该项目的第一名，应选择甲系列 理由如下：选择甲系列最高得分为100＋40＝140>115可能获得第一名 而选择乙系列最高得分为90＋20＝110<115，不可能获得第一名 记“该运动员完成K 动作得100分”为事件A “该运动员完成D 动作得40分”为事件B 则P(A)＝34，P(B)＝34记“该运动员获得第一名”为事件C 依题意得P(C)＝P(AB)＋P(A －B) ＝34×34＋14×34＝34. ∴运动员获得第一名的概率为34.(2)若该运动员选择乙系列，ξ的可能取值是50,70,90,110，则P(ξ＝50)＝110×110＝1100，P(ξ＝70)＝110×910＝9100，P(ξ＝90)＝910×110＝9100；P(ξ＝110)＝910×910＝81100ξ的分布列为∴E(ξ)＝50×1100＋70×100＋90×100＋110×100＝104.20．(本小题满分12分)(文)(2011·广东佛山市质检)某班同学利用国庆节进行社会实践，对[25,55]岁的人群随机抽样进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：(1)补全频率分布直方图，并求p 、x 的值；(2)从年龄段在[40,50)的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动，其中选取2人作为领队，求选到的领队中恰有1人年龄在[40,45)岁的概率．[解析] (1)第二组的频率为1－(0.04＋0.04＋0.03＋0.02＋0.01)×5＝0.3，所以高为0.35＝0.06，频率直方图如下：第一组的人数为1200.6＝200，频率为0.04×5＝0.2，所以n ＝2000.2＝1000.由上可知，第二组的频率为0.3，所以第二组的人数为1000×0.3＝300，所以p ＝195300＝0.65.第四组的频率为0.03×5＝0.15，所以第四组的人数为1000×0.15＝150，所以x ＝150×0.4＝60.(2)因为[40,45)岁年龄段的“低碳族”与[45,50)岁年龄段的“低碳族”的比值为60 30＝2 1，所以采用分层抽样法抽取6人，[40,45)岁中抽取4人，[45,50)岁中抽取2人．设[40,45)岁中的4人为a 、b 、c 、d ，[45,50)岁中的2人为m 、n ，则选取2人作为领队的有(a ，b)、(a ，c)、(a ，d)、(a ，m)、(a ，n)、(b ，c)、(b ，d)、(b ，m)、(b ，n)、(c ，d)、(c ，m)、(c ，n)、(d ，m)、(d ，n)、(m ，n)，共15种；其中恰有1人年龄在[40,45)岁的有(a ，m)、(a ，n)、(b ，m)、(b ，n)、(c ，m)、(c ，n)、(d ，m)、(d ，n)，共8种．所以选取的2名领队中恰有1人年龄在[40,45)岁的概率为P ＝815.(理)(2011·河北冀州期末)甲、乙、丙、丁4名同学被随机地分到A 、B 、C 三个社区参加社会实践，要求每个社区至少有一名同学．(1)求甲、乙两人都被分到A 社区的概率； (2)求甲、乙两人不在同一个社区的概率；(3)设随机变量ξ为四名同学中到A 社区的人数，求ξ的分布列和期望E(ξ)的值． [解析] (1)设甲、乙两人同时到A 社区为事件E A ，则 P(E A )＝A 22C 24A 33＝118，即甲、乙两人同时到A 社区的概率是118.(2)设甲、乙两人在同一社区为事件E ，那么 P(E)＝3A 22C 24A 33＝16，所以，甲、乙两人不在同一社区的概率是 P(E －)＝1－P(E)＝56.(3)随机变量ξ可能取的值为1,2，事件“ξ＝i(i ＝1,2)”是指有i 个同学到A 社区，则P(ξ＝2)＝C 24A 22C 24A 33＝13.所以P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝2)＝23，ξ的分布列是∴E(ξ)＝1×23＋2×13＝43.21．(本小题满分12分)(文)(2011·巢湖市质检)《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20～80mg/100ml(不含80)之间，属于酒后驾车；在80mg/100ml(含80)以上时，属醉酒驾车，对于酒后驾车和醉酒驾车的驾驶员公安机关将给予不同程度的处罚．据《法制晚报》报道，2010年8月1日至8月28日，某市交管部门共抽查了1000辆车，查出酒后驾车和醉酒驾车的驾驶员80人，下图是对这80人血液中酒精含量进行检查所得结果的频率分布直方图．(1)根据频率分布直方图完成下表：(3)若用分层抽样的方法从血液酒精浓度在[70,90)范围内的驾驶员中抽取一个容量为5的样本，并将该样本看成一个总体，从中任取2人，求恰有1人属于醉酒驾车的概率．[解析] (1)(3)因为血液酒精浓度在[70,80)范围内有12人，[80,90)范围内有8人，要抽取一个容量为5的样本，[70,80)内范围内应抽3人，记为a ，b ，c ，[80,90)范围内应抽2人，记为d ，e ，则从总体中任取2人的所有情况为(a ，b)，(a ，c)，(a ，d)，(a ，e)，(b ，c)，(b ，d)，(b ，e)，(c ，d)，(c ，e)，(d ，e)，恰有一人的血液酒精浓度在[80,90)范围内的情况有(a ，d)，(a ，e)，(b ，d)，(b ，e)，(c ，d)，(c ，e)，共6种，设“恰有1人属于醉酒驾车”为事件A ，则P(A)＝610＝35.(理)(2011·黄冈市期末)为预防“甲型H1N1流感”的扩散，某两个大国的研究所A 、B 均对其进行了研究．若独立地研究“甲型H1N1流感”疫苗，研究成功的概率分别为13和14；若资源共享，则提高了效率，即他们合作研究成功的概率比独立研究时至少有一个研制成功的概率提高了50%.又疫苗研制成功获得经济效益a 万元，而资源共享时所得的经济效益只能两个研究所平均分配．请你给A 研究所参谋：是否应该采取与B 研究所合作的方式来研制疫苗，并说明理由．[解析] 若A 研究所独立地研究“甲型H1N1流感”疫苗，则其经济效益的期望为 0×23＋a×13＝a3万元．而两个研究所独立地研究时至少有一个研制成功的概率为 1－⎝⎛⎭⎫1－13⎝⎛⎭⎫1－14＝12所以两个研究所合作研究成功的概率为 12×(1＋50%)＝34于是A 研究所采用与B 研究所合作的方式来研制疫苗，所获得的经济效益的期望为0×14＋12a×34＝38a 万元，而38a>13a ，故应该建议A 研究所采用与B 研究所合作的方式来研制疫苗． 22．(本小题满分12分)(2011·辽宁铁岭六校联考)某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：归方程，再对被选取的2组数据进行检验．(1)求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率；(2)若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝bx ＋a ；(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(2)中所得的线性回归方程是否可靠？(注：b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x －y－∑i ＝1nx 2i－n x －2＝∑i ＝1nx i－x －y i－y －∑i ＝1nx i－x －2，a ^＝y －－b ^x －)[解析] (1)设抽到不相邻两组数据为事件A ，因为从5组数据中选取2组数据共有10种情况，每种情况都是等可能出现的，其中抽到相邻两组数据的情况有4种，所以P(A)＝1－410＝35. 故选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率是35(2)由数据，求得x －＝13(11＋13＋12)＝12，y －＝13(25＋30＋26)＝27,3x －y －＝972.∑i ＝13x iy i＝11×25＋13×30＋12×26＝977，∑i ＝13x 2i＝112＋132＋122＝434,3x －2＝432. 由公式求得b ^＝∑i ＝1nx iy i－n·x －·y －∑i ＝1nx 2i－n x －2＝977－972434－432＝52，a ^＝y －－b ^x －＝27－52×12＝－3，所以y 关于x 的线性回归方程为y ^＝52x －3.(3)当x ＝10时，y ^＝523＝22，|22－23|<2；同样，当x ＝8时，y ^＝52×8－3＝17，|17－16|<2.所以，该研究所得到的线性回归方程是可靠的．。
高考数学一轮复习概率与统计单元专项练习题附参考答案
高考数学一轮复习概率与统计单元专项练习题附参考答案1.(理)设，那么的展开式中的系数不可能是( )A.10B.40C.50D.80(文)为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁-18岁的男生体重(kg) ,得到频率分布直方图如下：根据上图可得这100名学生中体重在〔56.5,64.5〕的学生人数是( )A.20B.30C.40D.502.(理)四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共顶点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库是平安的，现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，那么平安存放的不同方法种数为( )A.96B.48C.24D.0(文)从数字1，2，3，4，5，中，随机抽取3个数字(允许重复)组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为( )A. B. C. D.3.甲：A1、A2是互斥事件;乙：A1、A2是对立事件，那么( )A.甲是乙的充分但不必要条件B.甲是乙的必要但不充分条件C. 甲是乙的充要条件D. 甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件4.某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，，270;使用系统抽样时，将学生统一随机编号1，2，，270，并将整个编号依次分为10段。
如果抽得号码有以下四种情况：①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250;②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265;③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254;④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270;关于上述样本的以下结论中，正确的选项是( )A.②、③都不能为系统抽样B.②、④都不能为分层抽样C.①、④都可能为系统抽样D.①、③都可能为分层抽样5.在正方体上任选3个顶点连成三角形，那么所得的三角形是直角非等腰三角形的概率为( )A. B. C. D.6.在三维柱形图中，主对角线上两个柱形高度的乘积与副对角线上的两个柱形的高度的乘积相差越大两个变量有关系的可能性就()A.越大B.越小C.无法判断D.以上都不对7.(理)抛掷两个骰子，至少有一个4点或5点出现时，就说这些试验成功，那么在10次试验中，成功次数的期望是( )A. B. C. D.(文)为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图，如右，由于不慎将局部数据丧失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a，视力在4.6到5.0之间的学生数为b，那么a, b的值分别为( )A.0,27,78B.0,27,83C.2.7,78D.2.7,838.某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x，y，10，11，9.这组数据的平均数为10，方差为2，那么|x-y|的值为( )A.1B.2C.3D.49.一项研究要确定是否能够根据施肥量预测作物的产量。
高三理科数学复习题《概率统计》
CDBAE概率与统计专项训练一、选择题：1、4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（ ） A ．13B ．12C ．23D ．34２、调查某医院某段时间内婴儿出生的时间与性别的关系，得到下面的数据表： 你认为婴儿的性别与出生时间有关系的把握为（ ） Ａ．80% Ｂ．90% Ｃ．95% Ｄ．99%３、在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，…，18的18名火炬手.若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为（ ）（A ）511 （B ）681 （C ）3061 （D ）40814、某一批花生种子，如果每1粒发牙的概率为45,那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是（ ） A.256625B.192625C.96625D.166255、已知样本7,8,9,,x y 的平均数是8，标准差是2，则xy 的值为（ ）Ａ、８ Ｂ、３２ Ｃ、60 Ｄ、８０6、把一根匀均匀木棒随机地按任意点拆成两段,则“其中一段的长度大于另一段长度的2倍”的概率为（ ）（Ａ）23 （Ｂ）25 （Ｃ）35 （Ｄ）137、如图，四边形ABCD 为矩形，3=AB ，1=BC ，以A 为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE ，在圆弧DE 上任取一点P ，则直线AP 与线段BC 有公共点的概率是（ ）． （Ａ）31 （Ｂ）23 （Ｃ）25 （Ｄ）358．某学生通过计算初级水平测试的概率为21，他连续测试两次， 则恰有1次获得通过的概率为 （ ）43.41.21.31.D C B A 9．下面事件①若a 、b ∈R ，则a·b=b·a ；②某人买彩票中奖；③6+3>10；④抛一枚硬币出现正面向上，其中必然事件有 （ ） A ．① B ．② C ．③④ D ．①②10．在4次独立重复实验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A 在一次试验中发生的概率的范围是 （ ）A ．[O ．4，1]B ．(O ，0．4]C ．(O ，0．6]D ．[0．6，1)11．设袋中有8个球，其中3个白球，3个红球，2个黑球，除了颜色不同外，其余均相同．若取得1个白球得1分，取得1个红球扣1分，取得一个黑球既不得分，也不扣分，则任摸3个球后的所得总分为正分的概率为（ ）5623.289.74.5619.D C B A 12．从1、2、3、4、5中随机抽取3个数字(允许重复)组成一个三位数，则和等于9的概率为 （ ）12513.12416.12518.12519.D C B A 13．甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，其命中率一分别为0.6和0.5，现已知目标被击中，则它恰是甲射中的概率为 （ ）A ．0.45B ．0.6C ．0.65D ．0.75 14. 教某气象站天气预报的准确率为80％．则5次预报中至少有4次准确的概率为 （ ） A ，0.2 B ．0.41 C ．0.74 D ．0.6715．有一道试题，A 解决的概率为21，B 解决的概率为31,C 解决的概率为41，则A 、B 、C三人独立解答此题，只有1人解出的概率为 （）31.2417.2411.241.D C B A则两人射击成绩的稳定程度是__________________。
2015届高三数学理科统计概率及随机变量分布列大题训练(16题)(含答案)
2015届高三数学理科统计概率及随机变量分布列大题训练(16题)(含答案)1.一个口袋中有2个白球和$n$个红球($n\geq2$，且$n\in\mathbb{N}^*$)，每次从袋中摸出两个球（每次摸球后把这两个球放回袋中），若摸出的两个球颜色相同为中奖，否则为不中奖。
1)试用含$n$的代数式表示一次摸球中奖的概率$p$；2)若$n=3$，求三次摸球恰有一次中奖的概率；3)记三次摸球恰有一次中奖的概率为$f(p)$，当$n$为何值时，$f(p)$取最大值。
2.一次考试中，5名同学的语文、英语成绩如下表所示：学生 | S1.| S2.| S3.| S4.| S5.|语文 | 87.| 90.| 91.| 92.| 95.|英语 | 86.| 89.| 89.| 92.| 94.|1)根据表中数据，求英语分$y$对语文分$x$的线性回归方程；2)要从4名语文成绩在90分（含90分）以上的同学中选出2名参加一项活动，以$\xi$表示选中的同学的英语成绩高于90分的人数，求随机变量$\xi$的分布列及数学期望$E\xi$。
3.某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动。
为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为$n$）进行统计。
按照$[50,60)$，$[60,70)$，$[70,80)$，$[80,90)$，$[90,100]$的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在$[50,60)$，$[90,100]$的数据）。
1)求样本容量$n$和频率分布直方图中$x$，$y$的值；2)在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取3名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动，设$\xi$表示所抽取的3名同学中得分在$[80,90)$的学生个数，求$\xi$的分布列及其数学期望。
4.某游乐场有A、B两种闯关游戏，甲、乙、丙、丁四人参加，其中甲乙两人各自独立进行游戏A，丙丁两人各自独立进行游戏B。
四川省高三数学理一轮复习专题突破训练：统计与概率(含答案解析)
四川省 2017 届高三数学理一轮复习专题打破训练统计与概率一、选择、填空题1、（ 2016 年四川省高考）同时投掷两枚质地均匀的硬币，当起码有一枚硬币正面向上时，就说此次试验成功，则在 2 次试验中成功次数X 的均值是.2、（成都市 2016 届高三第二次诊疗）某校高三(1) 班在一次单元测试中，每位同学的考试分数都在区间[100，128] 内，将该班所有同学的考试分数分为七组：[100，104），[104，108），[108,112), [112,116), [116,120), [120,124),[124 ， 128] ．绘制出频次散布直方图以下图，已知分数低于112 分的有 18 人，则分数不低于120分的人数为(A)10(B)12(C)20(D)403、（成都市都江堰2016 届高三 11 月调研）设会合A{1,2} ，B {1,2,3} ，分别从会合A和B 中随机取一个数 a 和b，确立平面上的一个点P(a, b) ，记“点 P(a, b) 落在直线x y n 上”为事件C n (2 n 5,n N ) ，若事件 C n的概率最大，则最大值为；4 、（成都市都江堰2016 届高三11 月调研）已知随机变量X 听从正态散布N (3,1) ，且P(2 X 4) 0.6826 ，则 P( X 4)（）A ． 0.1588B． 0.1587C． 0.1586D． 0.15855、（绵阳中学 2017 届高三上学期入学考试）把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件 A ，“第二次出现正面”为事件 B ，则P B | A（）1111 A．B．C．D．24686、（内江市 2016 届高三第四次（ 3 月）模拟）以下图的茎叶图表示甲、乙两人在5 次综合测评中的成绩，此中一个数字被污损，则甲的均匀成绩超出乙的均匀成绩的概率为（C ）27 4A ．B ．C ．5105D ．9107、（成都市双流中学 2016 届高三 5 月月考） 某单位为了认识用电量 y 度与气温 x C 之间的关系，随机统计了某4 天的用电量与当日气温，并制作了比较表气温（ C ）1813 10 1用电量（度）24343864由表中数据得回归直线方程? ? ? 2bx ?中 b，展望当气温为4 C 时，用电量的度数y a是 ．8、（成都市双流中学 2017 届高三 9 月月考）在 6 道题中有 4 道理科题和 2 道文科题，假如不放回的挨次抽取2 道题，则在第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科题的概率 .9、（资阳市资阳中学 2017 届高三上学期入学考试）现有5 人参加抽奖活动，每人挨次从装有 5 张奖票（此中3 张为中奖票） 的箱子中不放回地随机抽取一张， 直到 3 张中奖票都被抽．．． 出时活动结束，则活动恰幸亏第 4 人抽完后结束的概率为（ ）．A ．1B ．1105C ．3D ．210510[ 1,1]上随机的取一个数k，则事件“直线y = kx与圆 ( x － 5) + y = 9订交”发、在 －22生的概率为二、解答题1、（ 2016 年四川省高考）我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓舞居民节俭用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确立一个合理的月用水量标准x （吨）、一位居民的月用水量不超出x 的部分按平价收费，高出x 的部分按议价收费.为了认识居民用水状况，通过抽样，获取了某年100 位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据依据[0,0.5)，[0.5,1)，，[4,4.5) 分红 9 组，制成了以下图的频次散布直方图.（ I ）求直方图中 a 的值；（ II ）设该市有30 万居民，预计全市居民中月均用水量不低于 3 吨的人数，并说明原因；（ III ）若该市政府希望使85%的居民每个月的用水量不超出标准x （吨），预计 x 的值，并说明原因 .2、（ 2015 年四川省高考）某市A,B 两所中学的学生组队参加争辩赛， A 中学介绍 3 名男生，2 名女生， B 中学介绍了 3 名男生， 4 名女生，两校介绍的学生一同参加集训，因为集训后队员的水平相当，从参加集训的男生中随机抽取 3 人，女生中随机抽取 3 人构成代表队（ 1）求 A 中学起码有 1 名学生当选代表队的概率.（ 2）某场比赛前。
专题63 统计与概率专题训练(新高考地区专用)(解析版)
专题63 统计与概率专题训练一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．小笼包在生活中非常常见，不同地方做出来的小笼包有不同的特色，无锡有一家商铺制作一种一笼有8个且是8种口味的小笼包，这8种口味分别为蟹粉味、鹅肝味、墨鱼味、芝士味、麻辣味，蒜香味、人参味，酱香味，将这样的一笼小包取出，排成一排，则人参味小笼包既与蟹粉味小包相邻又与墨鱼味小笼包相邻的概率为( )。
A 、281B 、161C 、81 D 、72 【答案】A【解析】将这8种口味的小笼包排成一排有88A 种排法，人参味小笼包既与蟹粉味小包相邻又与墨鱼味小笼包相邻有6622A A ⋅种排法，故所求概率为281886622=⋅A A A ，故选A 。
2．组数1a 、2a 、3a 、…、n a 的平均数是x ，方差是2s ，则另一组数121-a 、122-a 、123-a 、…、12-n a 的平均数和方差分别是( )。
A 、12-x ，2sB 、12-x ，22sC 、x 2，2sD 、12-x ，12222++s s 【答案】C【解析】由题意可知，x a E n =)(，2)(s a D n =，+∈N n ，根据数学期望与方差的公式得：121)(2)12(-=-=-x a E a E n n ，222)()2()12(s a D a D n n ==-，故选C 。
3．某校欲从高三年级学生编排的4个歌舞节目和2个小品节目中随机选出3个节目，参加学校举行的”迎新春”文艺汇演，则所选的3个节目中至少有1个是小品节目的概率为( )。
A 、51B 、52 C 、53 D 、54 【答案】D【解析】从6个节目中任选3个共有2036=C 种选法， 至少含有1个小品节目的共有1614222412=⋅+⋅C C C C 种选法， 故所选的3个节目中至少有1个是小品节目的概率为542016=，故选D 。
专题09 概率统计(解析版)
高三数学百所名校好题分项解析汇编之衡水中学专版(2020版)专题09 概率统计一、选择题1.【2020届河北省衡水中学高三上学期五调考试】现有四名高三学生准备高考后到长三角城市群（包括：上海市以及江苏省、浙江省、安徽省三省部分城市，简称“三省一市”）旅游，假设每名学生均从上海市、江苏省、浙江省、安徽省这四个地方中随机选取一个去旅游，则恰有一个地方未被选中的概率为（）A．2764B．916C．81256D．716【答案】B【解析】四名学生从四个地方任选一个共有4444256⨯⨯⨯=种选法，恰有一个地方未被选中，即有两位学生选了同一个地方，另外两名学生各去一个地方，考虑先分堆在排序共有23446432144C A⨯=⨯⨯⨯=种，所以恰有一个地方未被选中的概率为1449 25616=.故选：B2.【河北省衡水中学2018届高三毕业班模拟演练一】如图的折线图是某公司2017年1月至12月份的收入与支出数据.若从这12个月份中任意选3个月的数据进行分析，则这3个月中至少有一个月利润（利润=收入-支出）不低于40万的概率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由图知,7月,8月,11月的利润不低于40万元,故所求概率为,故选D.3.【河北衡水金卷2019届高三12月第三次联合质量测评数学（理)试题】如图所示，分别以正方形ABCD两邻边AB、AD为直径向正方形内做两个半圆，交于点O．若向正方形内投掷一颗质地均匀的小球(小球落到每点的可能性均相同)，则该球落在阴影部分的概率为A．B．C．D．【答案】C【解析】法一：设正方形的边长为2.则这两个半圆的并集所在区域的面积为，所以该质点落入这两个半圆的并集所在区城内的概率为.故选C.法二：设正方形的边长为2.过O作OF垂直于AB，OE垂直于AD.则这两个半圆的并集所在区域的面积为，所以该质点落入这两个半圆的并集所在区域的概率为，故选C.4. 【河北省衡水中学2018—2019学年高三年级上学期四调考试数学（理)试题】如图，一只蚂蚁从点出发沿着水平面的线条爬行到点，再由点沿着置于水平面的长方体的棱爬行至顶点，则它可以爬行的不同的最短路径有（）条A．40 B．60 C．80 D．120【答案】B【解析】试题分析：蚂蚁从到需要走五段路，其中三纵二竖，共有条路径，从到共有条路径，根据分步计数乘法原理可知，蚂蚁从到可以爬行的不同的最短路径有条，故选B.5. 【河北省衡水中学2018—2019学年高三年级上学期四调考试数学（理)试题】某县教育局招聘了8名小学教师，其中3名语文教师，3名数学教师，2名全科教师，需要分配到两个学校任教，其中每个学校都需要2名语文教师和2名数学教师，则分配方案种数为（ ） A ．72 B ．56 C ．57 D ．63 【答案】A【解析】先将两个全科老师分给语文和数学各一个，有种，然后将新的4个语文老师分给两个学校种，同样的方法将新的4个数学老师分给两个学校种，所以共有=72种分配方法。
压轴题07 统计与概率压轴题(原卷版)--2023年高考数学压轴题专项训练(全国通用-文)
压轴题07统计与概率压轴题题型/考向一：统计与概率题型/考向二：统计案例一、统计与概率热点一用样本估计总体1.频率分布直方图中相邻两横坐标之差表示组距，纵坐标表示频率组距，频率＝组距×频率组距.2.在频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1.3.利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数.(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即众数.(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和相等.(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.热点二概率1．古典概型的概率公式P(A)＝事件A中包含的样本点数试验的样本点总数.2．条件概率公式设A，B为随机事件，且P(A)＞0，则P(B|A)＝P（AB）P（A）.3．全概率公式设A1，A2，…，A n是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪A n＝Ω，且P(A i)＞0，i＝1，2，…，n ，则对任意的事件B ⊆Ω，有P (B )＝∑ni ＝1P (A i )P (B |A i )．○热○点○题○型一统计与概率一、单选题1．对某校中学学生的身高进行统计，并将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图），则该校学生身高数据的中位数为（）A ．165B ．165.75C ．166D ．166.252．如图，一组数据123910,,,,,x x x x x ⋅⋅⋅，的平均数为5，方差为21s ，去除9x ，10x 这两个数据后，平均数为x ，方差为22s ，则（）A ．5x >，2212s s >B ．5x <，2212s s <C ．5x =，2212s s <D ．5x =，2212s s >3．已知数据12,,,n x x x 是某市()*5,n n n ≥∈N 个普通职工的年收入，如果再加上世界首富的年收入1n x +，组成1n +个数据，则下列说法正确的是（）A ．年收入的平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变B ．年收入的平均数大大增加，中位数可能不变，方差变大C ．年收入的平均数大大增加，中位数可能不变，方差变小D ．年收入的平均数大大增加，中位数一定变大，方差可能不变4．甲、乙两名篮球运动员在8场比赛中的单场得分用茎叶图表示（图1），茎叶图中甲的得分有部分数据丢失，但甲得分的折线图（图2）完好，则（）A ．甲的单场平均得分比乙低B ．乙的60%分位数为19C ．甲、乙的极差均为11D ．乙得分的中位数是16.55．某省普通高中学业水平考试分为合格性考试（合格考）和选择性考试（选择考）.其中“选择考”成绩根据学生考试时的原始卷面分数，由高到低进行排序，评定为,,,,A B C D E 五个等级.某高中2022年参加“选择考”总人数是2020年参加“选择考”总人数的2倍，为了更好地分析该校学生“选择考”的水平，统计了该校2020年和2022年“选择考”成绩等级结果，得到如下统计图.针对该校“选择考”情况，2022年与2020年比较，下列说法正确的是（）A ．获得A 等级的人数减少了B ．获得B 等级的人数增加了1.5倍C ．获得D 等级的人数减少了一半D ．获得E 等级的人数相同6．在“2，3，5，7，11，13，17，19”这8个素数中，任取2个不同的数，则这两个数之和仍为素数的概率是（）A ．328B ．528C ．17D ．3147．2022年11月30日，神舟十五号、神舟十四号乘组在太空“胜利会师”，在中国人自己的“太空家园”里留下了一张足以载入史册的太空合影.某班级开展了关于太空知识的分享交流活动，活动中有2名男生、3名女生发言，活动后从这5人中任选2人进行采访，则这2人中至少有1名男生的概率为（）A ．310B ．25C ．35D ．7108．不透明箱子中装有大小相同标号为1，2，3，4，5的5个冰墩墩（北京冬奥会吉祥物），随机抽取2个冰墩墩，则被抽到的2个冰墩墩标号相邻的概率是（）A ．15B ．25C ．35D ．45二、多选题9．如图是国家统计局公布的2021年5月至2021年12月的规模以上工业日均发电量的月度走势情况，则（）．A ．2021年7月至2021年10月，规模以上工业月度日均发电量呈现下降趋势B ．2021年5月至2021年12月，规模以上工业月度日均发电量的中位数为228C ．2021年11月，规模以上工业发电总量约为6758亿千瓦时D ．从2021年5月至2021年12月中随机抽取2个月份，规模以上工业月度日均发电量都超过230亿千瓦时的概率为32810．树人中学2006班某科研小组，持续跟踪调查了他们班全体同学一学期中16周锻炼身体的时长，经过整理得到男生、女生各周锻炼身体的平均时长（单位：h ）的数据如下：男生：6.3、7.4、7.6、8.1、8.2、8.2、8.5、8.6、8.6、8.6、8.6、9.0、9.2、9.3、9.8、10.1；女生：5.1、5.6、6.0、6.3、6.5、6.8、7.2、7.3、7.5、7.7、8.1、8.2、8.4、8.6、9.2、9.4.以下判断中正确的是（）A ．女生每周锻炼身体的平均时长的平均值等于8B ．男生每周锻炼身体的平均时长的80%分位数是9.2C ．男生每周锻炼身体的平均时长大于9h 的概率的估计值为0.3125D ．与男生相比，女生每周锻炼身体的平均时长波动性比较大11．已知甲袋内有a 个红球，b 个黑球，乙袋内有b 个红球，a 个黑球(),a b *∈N ，从甲、乙两袋内各随机取出1个球，记事件A =“取出的2个球中恰有1个红球”，B =“取出的2个球都是红球”，C =“取出的2个球都是黑球”，则（）A ．()0.75P AB +≤B ．()()P A P B >C ．()()P B P C <D ．()()P A B P A C +=+12．某中学为了能充分调动学生对学术科技的积极性，鼓励更多的学生参与到学术科技之中，提升学生的创新意识，该学校决定邀请知名教授于9月2日和9月9日到学校做两场专题讲座．学校有东、西两个礼堂，第一次讲座地点的安排不影响下一次讲座的安排，假设选择东、西两个礼堂作为讲座地点是等可能的，则下列叙述正确的是（）A ．两次讲座都在东礼堂的概率是14B ．两次讲座安排在东、西礼堂各一场的概率是12C ．两次讲座中至少有一次安排在东礼堂的概率是34D ．若第一次讲座安排在东礼堂，下一次讲座安排在西礼堂的概率是13三、解答题13．春节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速免费政策”．某路桥公司为了解春节期间车辆出行的高峰情况，在某高速收费点发现大年初三上午9：20~10：40这一时间段内有600辆车通过，将其通过该收费点的时刻绘成频率分布直方图．其中时间段9：20~9：40记作区间[)20,40，9：40~10：00记作[)40,60，10：00~10：20记作[)60,80，10：20~10：40记作[]80,100，例如：10点04分，记作时刻64．(1)估计这600辆车在9：20~10：40时间段内通过该收费点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；(2)为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取5辆，再从这5辆车中随机抽取3辆，则恰有1辆为9：20~10：00之间通过的概率是多少？14．我国某医药研究所在针对某种世界疾病难题的解决方案中提到了中医疗法，为证实此方法的效用，该研究所购进若干副某种中草药，现按照每副该中草药的重量大小（单位：克）分为4组：[)0,20，[)20,40，[)40,60，[]60,80，并绘制频率分布直方图如下所示：(1)估计每副该中草药的平均重量（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）；(2)现从每副重量在[)20,40，[]60,80内的中草药中按照分层抽样的方式一共抽取6副该中草药，再从这6副中草药中随机取出2副进行分析，求取出的2副中仅有1副重量在[]60,80中的概率．二、统计案例热点一回归分析求经验回归方程的步骤(1)依据成对样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系(有时可省略).(2)计算出x －，y －，∑n i ＝1x 2i ，∑ni ＝1x i y i 的值.(3)计算a ^，b ^.(4)写出经验回归方程.热点二独立性检验独立性检验的一般步骤(1)根据样本数据列2×2列联表；(2)根据公式χ2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），计算χ2的值；(3)查表比较χ2与临界值的大小关系，作统计判断.χ2越大，对应假设事件H 0成立(两类变量相互独立)的概率越小，H 0不成立的概率越大.○热○点○题○型二统计案例一、单选题1．以模型()e 0kxy c c =>去拟合一组数据时，设ln z y =，将其变换后得到线性回归方程21z x =-，则c =（）A ．12B ．2e -C ．1e -D ．e2．下列说法正确的有（）①对于分类变量X 与Y ，它们的随机变量2K 的观测值k 越大，说明“X 与Y 有关系”的把握越大；②我校高一、高二、高三共有学生4800人，其中高三有1200人.为调查需要，用分层抽样的方法从全校学生中抽取一个容量为200的样本，那么应从高三年级抽取40人；③若数据1x 、2x 、L 、n x 的方差为5，则另一组数据11x +、21x +、L 、1n x +的方差为6；④把六进制数()6210转换成十进制数为：()012621006162678⨯⨯⨯=++=.A ．①④B ．①②C ．③④D ．①③3．给出以下四个命题：①在回归分析中，可用相关指数2R 的值判断模型的拟合效果，2R 越大，模型的拟合效果越好；②回归模型中离差是实际值i y 与估计值ˆy的差，离差点所在的带状区域宽度越窄，说明模型拟合精度越高；③在一组样本数据()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ⋅⋅⋅（2n ≥，12,,,n x x x ⋅⋅⋅不全相等）的散点图中，若所有样本点()(),1,2,,i i x y i n =⋅⋅⋅都在直线112y x =-+上，则这组样本数据的线性相关系数为12-；④对分类变量x 与y 的统计量2χ来说，2χ值越小，判断“x 与y 有关系”的把握程度越大.其中，真命题的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．44．如图是近十年来全国城镇人口、乡村人口的折线图（数据来自国家统计局）．根据该折线图，下列说法错误的是（）A ．城镇人口与年份呈现正相关B ．乡村人口与年份的相关系数r 接近1C ．城镇人口逐年增长率大致相同D ．可预测乡村人口仍呈现下降趋势5．已知变量,x y 之间的线性回归方程为ˆ0.47.6yx =-+，且变量,x y 之间的一组相关数据如表所示，x681012y6m32则下列说法中错误的有（）A ．变量,x y 之间呈现负相关关系B ．变量,x y 之间的相关系数0.4r =-C ．m 的值为5D ．该回归直线必过点(9,4)6．设两个相关变量x 和y 分别满足下表：x12345y128816若相关变量x 和y 可拟合为非线性回归方程ˆ2bx a y+=，则当6x =时，y 的估计值为（）（参考公式：对于一组数据()11u v ，，()22u v ，，⋯，()n n u v ，，其回归直线ˆˆˆvu αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1221ˆni ii nii u v nu vunu β==-⋅=-∑∑，ˆˆav u β=-；51.152≈）A ．33B ．37C ．65D ．737．通过随机询问相同数量的不同性别大学生在购买食物时是否看营养说明，得知有16的男大学生“不看”，有13的女大学生“不看”，若有99%的把握认为性别与是否看营养说明之间有关，则调查的总人数可能为（）A ．150B ．170C ．240D ．1758．已知一组样本数据()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ，根据这组数据的散点图分析x 与y 之间的线性相关关系，若求得其线性回归方程为0.8587ˆ 5.yx =-，则在样本点(165,57)处的残差为（）A ． 2.45-B ．2.45C ．3.45D ．54.55二、多选题9．下列关于成对数据的统计说法正确的有（）A ．若当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，则称这两个变量负相关B ．样本相关系数r 的绝对值大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度C ．通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据D ．决定系数2R 越大，模型的拟合效果越差10．某服装生产商为了解青少年的身高和体重的关系，在15岁的男生中随机抽测了10人的身高和体重，数据如下表所示：编号12345678910身高/cm 165168170172173174175177179182体重/kg55896165677075757880由表中数据制作成如下所示的散点图：由最小二乘法计算得到经验回归直线1l 的方程为 11y bx a =+ ，相关系数为1r ，决定系数为21R ；经过残差分析确定()168,89为离群点（对应残差过大），把它去掉后，再用剩下的9组数据计算得到经验回归直线2l 的方程为 22y bx a =+ ，相关系数为2r ，决定系数为22R ．则以下结论中正确的有（）A ． 12a a >B ．12bb > C ．12r r <D ．2212R R >11．下列命题中为真命题的是（）A ．用最小二乘法求得的一元线性回归模型的残差和一定是0．B ．一组数按照从小到大排列后为：1x ，2x ，…，n x ，计算得：25%17n ⨯=，则这组数的25%分位数是17x ．C ．在分层抽样时，如果知道各层的样本量、各层的样本均值及各层的样本方差，可以计算得出所有数据的样本均值和方差．D ．从统计量中得知有97%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指推断有3%的可能性出现错误．12．给出下列说法，其中正确的是（）A ．某病8位患者的潜伏期（天）分别为3，3，8，4，2，7，10，18，则它们的第50百分位数为5.5B ．已知数据12,,x x 的平均数为2，方差为3，那么数据121x +，221x +，L 的平均数和方差分别为5，13C ．在回归分析中，变量间的关系若是非确定性关系，那么因变量不能由自变量唯一确定D ．样本相关系数()1,1r ∈-三、解答题13．国家发改委和住建部等六部门发布通知，提到：2025年，农村生活垃圾无害化处理水平将明显提升.现阶段我国生活垃圾有填埋､焚烧､堆肥等三种处理方式，随着我国生态文明建设的不断深入，焚烧处理已逐渐成为主要方式.根据国家统计局公布的数据，对2013-2020年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数y （单位：座）进行统计，得到如下表格：年份20132014201520162017201820192020年份代码x 12345678垃圾焚烧无害化处理厂的个数y166188220249286331389463(1)根据表格中的数据，可用一元线性回归模型刻画变量y 与变量x 之间的线性相关关系，请用相关系数加以说明（精确到0.01）；(2)求出y 关于x 的经验回归方程，并预测2022年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数；(3)对于2035年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数，还能用（2）所求的经验回归方程预测吗？请简要说明理由.参考公式：相关系数()()ni i x x y y r --=∑ˆˆˆybx a =+中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为()()()121ˆˆˆ,n ii i ni i x x yy b a y bx x x ==--==-∑∑参考数据：88882211112292,204,730348,12041i i i i i i i i i y x y x y ========∑∑∑∑，257385.84=≈≈14．为加快推动旅游业复苏，进一步增强居民旅游消费意愿，山东省人民政府规定自2023年1月21日起至3月31日在全省实施景区门票减免，全省国有A 级旅游景区免首道门票，鼓励非国有A 级旅游景区首道门票至少半价优惠．本次门票优惠几乎涵盖了全省所有知名的重点景区，据统计，活动开展以来游客至少去过两个及以上景区的人数占比约为90%．某市旅游局从游客中随机抽取100人（其中年龄在50周岁及以下的有60人）了解他们对全省实施景区门票减免活动的满意度，并按年龄（50周岁及以下和50周岁以上）分类统计得到如下不完整的22⨯列联表：不满意满意总计50周岁及以下5550周岁以上15总计100(1)根据统计数据完成以上22⨯列联表，并根据小概率值0.001α=的独立性检验，能否认为对全省实施景区门票减免活动是否满意与年龄有关联？(2)现从本市游客中随机抽取3人了解他们的出游情况，设其中至少去过两个及以上景区的人数为X ，若以本次活动中至少去过两个及以上景区的人数的频率为概率．①求X 的分布列和数学期望；②求()11P X -≤．参考公式及数据：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++．()2P k αχ=≥0.1000.0500.0100.001k 2.706 3.841 6.63510.828。
高中数学大题规范解答-全得分系列之(十)概率与统计的综合问题答题模板
概率与统计是高中数学的重要学习内容，在高考试卷中，每年都有所涉及，以解答题形式出现的试题常常设计成包含概率计算，统计图表的识别等知识为主的综合题，以考生比较熟悉的实际应用问题为载体，注重考查基础知识和基本方法；以排列组合和概率统计等基础知识为工具，考查对概率事件的识别及概率计算．“大题规范解答——得全分”系列之(十)概率与统计的综合问题答题模板[典例](2012辽宁高考改编·满分12分)电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料判断是否有95%的把握认为“体育迷”与性别有关？(2)将日均收看该体育节目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率．附K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，[教你快速规范审题]1．审条件，挖解题信息 观察条件―→−−−−−−→借助直方可确定图非体育迷及体育迷人数2．审结论，明解题方向观察所求结论―→完成2×2列联表并判断“体育迷”与性别的相关性 −−−→需要确定a ，b ，c ，d 及K 2的值3．建联系，找解题突破口由直方图及条件确定体育迷与非体育迷人数―→完成列联表―→计算K 2可判断结论1．审条件，挖解题信息观察条件―→确定“超级体育迷”标准且有2名女性“超级体育迷” −−−−−−→由率分布直方频图 确定“超级体育迷”的人数2．审结论，明解题方向观察所求结论―→从“超级体育迷”中任取2人求至少有1名女性观众的概率 −−−−→分分析类1名女性观众或两名女性观众3．建联系，找解题突破口由频率分布直方图确定“超级体育迷”的人数−−−−−→列法列出举举所有基本事件并计数为n 和至少有1名女性的基本事件，计数为m mP n−−−−→代入＝求概率[教你准确规范解题](1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而完成2×2列联表如下：(3分)将2×2列联表中的数据代入公式计算，得K 2＝100×(30×10－45×15)275×25×45×55＝10033≈3.030.因为3.030＜3.841，所以我们没有95%的把握认为“体育迷”与性别有关．(6分)(2)由频率分布直方图可知，“超级体育迷”为5人，从而一切可能结果所组成的基本事件为(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 2，a 3)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(b 1，b 2)，其中a i 表示男性，i ＝1,2,3，b j 表示女性，j ＝1,2.由10个基本事件组成，而且这些基本事件的出现是等可能的．(9分)用A 表示“任选2人中，至少有1人是女性”这一事件，则A ＝{(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(b 1，b 2)}，(11分)事件A 由7个基本事件组成，因而P (A )＝710.(12分)[常见失分探因]忽视直方图纵轴表示为频率组距导致每组人数计算失误.K 2的计算不准确、导致结果判断出错.1.“超级体育迷”人数计算错误导致失误.2.由5人中任取2人列举出所有可能结果时重复或遗漏某一情况导致失误.————————————[教你一个万能模板]—————————————————―→―→―→―→1．(2012·佛山模拟)已知某车间加工零件的个数x 与所花费时间y (h)之间的线性回归方程为y ^＝0.01x ＋0.5，则加工600个零件大约需要的时间为( )A ．6.5 hB ．5.5 hC ．3.5 hD ．0.3 h解析：选A 将600代入线性回归方程y ^＝0.01x ＋0.5中得需要的时间为6.5 h. 2．(2013·衡阳联考)已知x 与y 之间的一组数据：已求得关于y 与x 的线性回归方程y ^＝2.1x ＋0.85，则m 的值为( ) A ．1 B ．0.85 C ．0.7D ．0.5解析：选D 回归直线必过样本中心点(1.5，y )，故y ＝4，m ＋3＋5.5＋7＝16，得m ＝0.5.3．有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为27，则下列说法正确的是( )A ．列联表中c 的值为30，b 的值为35B ．列联表中c 的值为15，b 的值为50C ．根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”D ．根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系” 解析：选C 由题意知，成绩优秀的学生数是30，成绩非优秀的学生数是75，所以c ＝20，b ＝45，选项A 、B 错误．根据列联表中的数据，得到K 2＝105×(10×30－20×45)255×50×30×75≈6.109＞3.841，因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”．4．已知x 、y 的取值如下表：从所得的散点图分析，y 与x 线性相关，且y ＝0.95x ＋a ，则a ^＝( ) A ．2.5 B ．2.6 C ．2.7D ．2.8解析：选B 因为回归方程必过样本点的中心(x ，y )，又x ＝2，y ＝4.5，则将(2,4.5)代入y ^＝0.95x ＋a ^可得a ^＝2.6.5．(2012·湖南高考)设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ^＝0.85x －85.71，则下列结论中不．正确的是( ) A ．y 与x 具有正的线性相关关系 B ．回归直线过样本点的中心(x ，y )C ．若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kgD ．若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重必为58.79 kg解析：选D 由于回归直线的斜率为正值，故y 与x 具有正的线性相关关系，选项A 中的结论正确；回归直线过样本点的中心，选项B 中的结论正确；根据回归直线斜率的意义易知选项C 中的结论正确；由于回归分析得出的是估计值，故选项D 中的结论不正确．6．(2013·合肥检测)由数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x 10，y 10)求得线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，则“(x 0，y 0)满足线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^”是“x 0＝x 1＋x 2＋…＋x 1010，y 0＝y 1＋y 2＋…＋y 1010”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B x 0，y 0为这10组数据的平均值，又因为回归直线y ^＝b ^x ＋a ^必过样本中心点(x ，y )，因此(x 0，y 0)一定满足线性回归方程，但坐标满足线性回归方程的点不一定是(x ，y )．7．(2012·唐山模拟)考古学家通过始祖鸟化石标本发现：其股骨长度x (cm)与肱骨长度y (cm)的线性回归方程为y ^＝1.197x －3.660，由此估计，当股骨长度为50 cm 时，肱骨长度的估计值为________ cm.解析：根据回归方程y ^＝1.197x －3.660，将x ＝50代入，得y ＝56.19，则肱骨长度的估计值为56.19 cm.答案：56.198．在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了1 671人，经过计算K 2的观测值k ＝27.63，根据这一数据分析，我们有理由认为打鼾与患心脏病是________的．(有关，无关)解析：由观测值k ＝27.63与临界值比较，我们有99%的把握说打鼾与患心脏病有关． 答案：有关9．(2012·宁夏模拟)某单位为了了解用电量y 度与气温x ℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：由表中数据得线性回归方程y ^＝bx ＋a 中b ＝－2，预测当气温为－4℃时，用电量的度数约为________．解析：x ＝10，y ＝40，回归方程过点(x ，y )， ∴40＝－2×10＋a . ∴a ＝60.∴y ^＝－2x ＋60.令x ＝－4，∴y ^＝(－2)×(－4)＋60＝68. 答案：6810．已知x ，y 的一组数据如下表：(1)从x ，y (2)对于表中数据，甲、乙两同学给出的拟合直线分别为y ＝13x ＋1与y ＝12x ＋12，试利用“最小平方法(也称最小二乘法)”判断哪条直线拟合程度更好．解：(1)从x ，y 中各取一个数组成数对(x ，y )，共有25对，其中满足x ＋y ≥10的有(6,4)，(6,5)，(7,3)，(7,4)，(7,5)，(8,2)，(8,3)，(8,4)，(8,5)，共9对．故所求概率P ＝925.(2)用y ＝13x ＋1作为拟合直线时，所得y 值与y 的实际值的差的平方和为S 1＝⎝⎛⎭⎫43－12＋(2－2)2＋(3－3)2＋⎝⎛⎭⎫103－42＋⎝⎛⎭⎫113－52＝73.用y ＝12x ＋12作为拟合直线时，所得y 值与y 的实际值的差的平方和为S 2＝(1－1)2＋(2－2)2＋⎝⎛⎭⎫72－32＋(4－4)2＋⎝⎛⎭⎫92－52＝12. ∵S 2<S 1，∴直线y ＝12x ＋12的拟合程度更好．11．(2012·东北三省联考)某学生对其亲属30人的饮食习惯进行了一次调查，并用茎叶图表示30人的饮食指数．(说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主．)(1)根据茎叶图，帮助这位学生说明其亲属30人的饮食习惯； (2)根据以上数据完成下列2×2的列联表：(3)能否有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关，并写出简要分析． 解：(1)30位亲属中50岁以上的人多以食蔬菜为主，50岁以下的人多以食肉为主． (2)(2)K 2＝30(8－128)12×18×20×10＝30×120×12012×18×20×10＝10＞6.635，有99%的把握认为亲属的饮食习惯与年龄有关．12．某电脑公司有6名产品推销员，其工作年限与年推销金额的数据如下表：(1)(2)求年推销金额y 关于工作年限x 的线性回归方程；(3)若第6名推销员的工作年限为11年，试估计他的年推销金额． 解：(1)依题意，画出散点图如图所示，(2)从散点图可以看出，这些点大致在一条直线附近，设所求的线性回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^.则b ^＝∑x ＝15(x i －x )(y i －y －)∑x ＝15 (x i －x )2＝1020＝0.5，a ^＝y －b ^x －＝0.4， ∴年推销金额y 关于工作年限x 的线性回归方程为 y ^＝0.5x ＋0.4.(3)由(2)可知，当x ＝11时，y ^＝0.5x ＋0.4＝0.5×11＋0.4＝5.9(万元)．∴可以估计第6名推销员的年推销金额为5.9万元．1．某研究机构对高三学生的记忆力x 和判断力y 进行统计分析，所得数据如下表：则y 对x 的线性回归直线方程为( ) A.y ^＝2.3x －0.7 B.y ^＝2.3x ＋0.7 C.y ^＝0.7x －2.3D.y ^＝0.7x ＋2.3解析：选C ∵∑i ＝14x i y i ＝6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158，x ＝6＋8＋10＋124＝9，y ＝2＋3＋5＋64＝4.∴b ^＝158－4×9×436＋64＋100＋144－4×81＝0.7，a ^＝4－0.7×9＝－2.3.故线性回归直线方程为y ^＝0.7x －2.3.2．(2012·东北三校联考)某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度(支持和不支持两种态度)的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算K 2＝7.069，则有________的把握认为“学生性别与是否支持该活动有关系”．附：解析：因为7.069与附表中的6.635最接近(且大于6.635)，所以得到的统计学结论是：有99%的把握认为“学生性别与是否支持该活动有关系”．答案：99%3．某网站就“民众是否支持加大修建城市地下排水设施的资金投入”进行投票．按照北京暴雨前后两个时间收集有效投票，暴雨后的投票收集了50份，暴雨前的投票也收集了50份，所得统计结果如下表：已知工作人员从所有投票中任取一个，取到“不支持投入”的投票的概率为25.(1)求列联表中的数据x ，y ，A ，B 的值；(2)绘制条形统计图，通过图形判断本次暴雨是否影响到民众对加大修建城市地下排水设施的投入的态度？(3)能够有多大把握认为北京暴雨对民众是否赞成加大对修建城市地下排水设施的投入有关？附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )解：(1)设“从所有投票中抽取一个，取到不支持投入的投票”为事件A ， 由已知得P (A )＝y ＋30100＝25，所以y ＝10，B ＝40，x ＝40，A ＝60.(2)由(1)知北京暴雨后支持为4050＝45，不支持率为1－45＝15，北京暴雨前支持率为2050＝25，不支持率为1－25＝35.条形统计图如图所示，由图可以看出暴雨影响到民众对加大修建城市地下排水设施的投入的态度．(3)K 2＝100(30×40－20×10)250×50×40×60＝1000 00050×20×60＝503≈16.78＞10.828.故至少有99.9%的把握认为北京暴雨对民众是否赞成加大对修建城市地下排水设施的投入有关．1．以下是某地最新搜集到的二手楼房的销售价格y (单位：万元)和房屋面积x (单位：m 2)的一组数据：若销售价格y 和房屋面积x 具有线性相关关系． (1)求销售价格y 和房屋面积x 的回归直线方程；(2)根据(1)的结果估计当房屋面积为150 m 2时的销售价格．解：(1)由题意知，x ＝80＋105＋110＋115＋1355＝109，y ＝18.4＋22＋21.6＋24.8＋29.25＝23.2.设所求回归直线方程为y ^＝bx ＋a ，则b ＝∑i ＝1n(x i －109)(y i －23.2)∑i ＝1n(x i －109)2＝3081 570≈0.196 2， a ＝y －b x ≈23.2－0.196 2×109＝1.814 2，故回归直线方程为y ^＝0.196 2x ＋1.814 2. (2)由(1)知，当x ＝150时，估计房屋的销售价格为y ^＝0.196 2×150＋1.814 2＝31.244 2(万元)．2．(2012·徐州二模)在研究色盲与性别的关系调查中，调查了男性480人，其中有38人患色盲，调查的520名女性中，有6人患色盲．(1)根据以上数据建立一个2×2列联表；(2)若认为“性别与患色盲有关系”，求出错的概率． 解：(1)2×2列联表如下：(2)假设H 0：“性别与患色盲没有关系”，根据(1)中2×2列联表中数据，可求得K 2＝1 000×(38×514－6×442)2480×520×44×956≈27.14，又P (K 2≥10.828)＝0.001，即H 0成立的概率不超过0.001，故若认为“性别与患色盲有关系”，则出错的概率为0.1%.。