解三角形和数列练习题

解三角形和数列

1. (2016·山东淄博三模，16，12分)在△ABC 中，sin A ＝sin B ＝－cos C .

(1)求角A ，B ，C 的大小；(2)若BC 边上的中线AM ＝7，求△ABC 的面积．

2. (2016·秦皇岛一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，满足2AB →·AC →

＝a 2－(b ＋c )2.

(1)求角A 的大小；(2)求23cos 2C

2－sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

4π3－B 的最大值，并求取得最大值时角B ，C 的大小．

3. (2013·课标Ⅱ，17，12分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b cos C ＋c sin B .

(1)求B ；(2)若b ＝2，求△ABC 面积的最大值．

4. (2015·湖南，17，12分)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝b tan A ，且B 为钝角．

(1)证明：B －A ＝π

2；(2)求sin A ＋sin C 的取值范围．

5. (2015·课标Ⅱ，17)△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．

(1)求sin B

sin C

；(2)若AD＝1，DC＝2

2

，求BD和AC的长．

6. (2016·浙江，16)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＋c＝2a cos B.

(1)证明：A＝2B；(2)若△ABC的面积S＝a2

4

，求角A的大小．

7. (2016·山东，16，12分，中)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2(tan A＋tan B)

＝tan A cos B ＋tan B cos A.

(1)证明：a＋b＝2c；(2)求cos C的最小值．

8. (2016·课标Ⅰ，17)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cos B ＋b cos A )＝c .

(1)求C ；(2)若c ＝7，△ABC 的面积为33

2，求△ABC 的周长．

9. (2015·安徽芜湖三模，5)在等差数列{a n }中，a 9＝1

2

a 12＋6，则该数列的前11项和为( )

A ．12

B ．72

C ．132

D ．192

10. (2015·江西九江二模，13)在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1＝－

1

a n ＋1

，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2 017＝________．

11. (2015·课标Ⅰ，17，12分)S n 为数列{a n }的前n 项和．已知a n >0，a 2

n ＋2a n ＝4S n ＋3.

(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1

a n a n ＋1

，求数列{b n }的前n 项和．

12. (2016·浙江舟山一模，16，14分)已知S n 为正项数列{a n }的前n 项和，且满足S n ＝1

2a 2n ＋12

a n (n ∈N *

)．

(1)求a 1，a 2，a 3，a 4的值；(2)求数列{a n }的通项公式．

13. (2014·大纲全国，18，12分)等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝10，a 2为整数，且S n ≤S 4.

①求{a n }的通项公式；②设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .

14. (2016·吉林长春一模，18，12分)在数列{a n }中，a n ＋1＋a n ＝2n －44(n ∈N *)，a 1＝－23.

(1)求a n ；(2)设S n 为{a n }的前n 项和，求S n 的最小值．

15. (2015·河南郑州二模，20，12分)数列{a n }满足a 1＝1

2

，a n ＋1＝

1

2－a n

(n ∈N *)． (1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫

1a n －1为等差数列，并求出{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n －1，数列{b n }的前n 项和为B n ，对任意n ≥2都有B 3n －B n >m

20成立，求正整数m 的最大

值．

16. (2016·陕西宝鸡质检，19，12分)已知数列{a n}满足a1＝5，a2＝5，a n＋1＝a n＋6a n－1(n≥2)．

(1)求证：{a n＋1＋2a n}是等比数列；

(2)求数列{a n}的通项公式．