解三角形和数列练习题

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周练8 解三角形,数列

周练8 解三角形，数列时间50分钟，1-12每小题60分，13题10分，14题15分，总分85分 1.等差数列{}n a 中,15410,7a a a +==,则数列{}n a 的公差为（）A ．1B ．2C ．3D ．42.在ABC ∆中,若C B A 222sin sin sin <+,则ABC ∆的形状是（）A ．钝角三角形.B ．直角三角形.C ．锐角三角形D ．不能确定. 3.在ABC ∆中,若60A ∠=︒,45B ∠=︒,32BC =,则A C = （） A ．43B ．23C ．3D ．324.已知{}n a 为等比数列,472a a +=,568a a =-,则110a a += （）A ．7B ．5C ．-5D ．-75.在等差数列}{n a 中,已知1693=+a a ,则该数列前11项和S 11= （）A ．58B ．88C ．143D ．1766.观察下列各式:11,7,4,3,155443322=+=+=+=+=+b a b a b a b a b a ,则=+1010b a （） A ．28B ．76C ．123D ．1997.等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则3132310log log ...log a a a +++=（） A ．12 B ．10 C ．31log 5+ D ．32log 5+8.定义在(,0)(0,)-∞+∞ 上的函数()f x ,如果对于任意给定的等比数列{}n a , {()}n f a 仍是等比数列,则称()f x 为“保等比数列函数”. 现有定义在(,0)(0,)-∞+∞ 上的如下函数: ①2()f x x =; ②()2x f x =; ③()||f x x =; ④()ln ||f x x =. 则其中是“保等比数列函数”的()f x 的序号为9.．数列{n a }是等差数列，47a =，则7s =10.已知等差数列{}n a 的前n 项和为55,5,15n S a S ==,则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前100项和为11.已知向量a ,b 夹角为045,且|a |=1,|2-a b |=10,则|b |=12.当函数sin 3cos (02)y x x x π=-≤<取得最大值时,x =______________13.A B C ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,已知cos()cos 1,2A C B a c -+==,求C 的大小.14.在等差数列{}n a 中,16,846543==++a a a a(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;（2）求数列{}n a 的前n 项和n S 的最大值.（3）记n nn a c ⋅=2，求数列｝｛n c 的前n 项和n T。

解三角形和数列

数列和解三角形大题专练1．(2023•济宁一模)已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足：a1=1，na n+1=2S n+n(n∈N*)．(1)求证：数列为常数列；(2)设，求T n．2．(2023•江宁区一模)设S n为数列{a n}的前n项和，a2=7，对任意的自然数n，恒有．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若集合A={x|x=a n，n∈N*}，B={x|x=3n，n∈N*}，将集合A∪B中的所有元素按从小到大的顺序排列构成数列{b n}，计数列{b n}的前n项和为T n．求T102的值．3．(2023•汕头一模)已知T n为正项数列{a n}的前n项的乘积，且a1=3，=．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=，数列{b n}的前n项和为S n，求[S2023]([x]表示不超过x的最大整数)．4．(2023•广州模拟)已知数列{a n}的前n项和为S n，且．(1)求a，并证明数列是等差数列；1(2)若，求正整数k的所有取值．5．(2023•广东模拟)已知数列{a n}的前n项和为S n，且．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n=na n，且数列{b n}的前n项和为T n，求证：当n≥3时，．6．(2023•宁波模拟)y=f(x)的图象为自原点出发的一条折线，当n-1≤y≤n(n∈N*)时，该函数图象是斜率为b n(b≠0)的一条线段．已知{a n}由定义．(1)用b表示a1，a2；(2)若b=2，记T n=a1+2a2+⋯+na n，求证：．7．(2023•邵阳二模)已知S n为数列{a n}的前n项和，a1=2，S n+1=S n+4a n-3，记b n=log2(a n-1)+3．(1)求数列{b n}的通项公式；(2)已知，记数列{c n}的前n项和为T n，求证：．8．(2022秋•慈溪市期末)记x i=x1+x2+x3+⋯+x n，，x i=x1×x2×x3×⋯×x n，n∈N*，已知数列{a n}和{b n}分别满足：a i=n2，b i=()n2+n．(1)求{a n}，{b n}的通项公式；(2)求a i b i．9．(2023•南平模拟)已知数列{a n}的前n项和为S n，，a2=3．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设，数列{b n}的前n项和为T n，求T n的取值范围．10．(2023•杭州一模)已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n+2=2a n．(1)求a2及数列{a n}的通项公式；(2)在a n与a n+1之间插入n个数，使得这(n+2)个数依次组成公差为d的等差数列，求数列{}的前n项和T n．11．(2023•南通模拟)设数列{a n}的前n项和为S n，已知S n=2a n-n+1．(1)证明：数列{a n+1}是等比数列；(2)若数列{b n}满足b1=a2，，求数列{b n}的前14项的和．12．(2023•杭州一模)已知△ABC中角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足2c sin A cos B+2b sin A cos C=a，c>a．(1)求角A；(2)若b=2，BC边上中线AD=，求△ABC的面积．13．(2023•宁波模拟)记锐角△ABC的内角为A，B，C，已知sin2A=sin B sin C．(1)求角A的最大值；(2)当角A取得最大值时，求2cos B+cos C的取值范围．14．(2022秋•温州期末)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知=1．(1)求B；(2)若，△ABC内切圆的面积为π，求△ABC的面积．15．(2023•龙岩模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．(1)求角B；(2)若D是AC边上的点，且AD=3DC=3，∠A=∠ABD=θ，求sinθ的值．16．(2023•湖北模拟)在△ABC中，记角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且c= 2，点D在线段BC上．(1)若，求AD的长；(2)若的面积为，求的值．17．(2023•南通模拟)如图，在平面四边形ABCD中，AB=1，，CD=2，．(1)若BC⊥CD，求sin∠ADC；(2)记△ABD与△BCD的面积分别记为S和S2，求的最大值．118．(2023•广州模拟)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a．(1)证明：sin A+sin C=2sin B；(2)若，求△ABC的面积．19．(2023•平湖市模拟)已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．(1)求角A的大小；(2)设AD是BC边上的高，且AD=2，求△ABC面积的最小值．20．(2023•烟台一模)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c-2b cos A=b．(1)求证：A=2B；(2)若A的角平分线交BC于D，且c=2，求△ABD面积的取值范围．参考答案与试题解析一．解答题(共20小题)1．(2023•济宁一模)已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足：a1=1，na n+1=2S n+n(n∈N*)．(1)求证：数列为常数列；(2)设，求T n．【解答】解：(1)证明：∵na n+1=2S n+n，+n-1，n≥2，∴(n-1)a n=2S n-1两式相减得：na n+1-(n-1)a n=2a n+1，∴na n+1=(n+1)a n+1，+1)=(n+1)(a n+1)，∴n(a n+1∴，(n≥2)，又a2=2S1+1=2a1+1=3，∴，上式也成立，∴数列为常数列；(2)由(1)得，∴a n=2n-1，∴=，∴，两式相减得=，∴．2．(2023•江宁区一模)设S n为数列{a n}的前n项和，a2=7，对任意的自然数n，恒有．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若集合A={x|x=a n，n∈N*}，B={x|x=3n，n∈N*}，将集合A∪B中的所有元素按从小到大的顺序排列构成数列{b n}，计数列{b n}的前n项和为T n．求T102的值．【解答】解：(1)a2=7，对任意的自然数n，恒有，可得n=1时，a1=2a1-3，解得a1=3；n=2时，2a2=2S2-6=2(a1+a2)-6，解得a1=3；n=3时，3a3=2S3-9=2(a1+a2+a3)-9，解得a3=11．当n≥2时，na n=2S n-3n变为(n-1)a n-1=2S n-1-3(n-1)，两式相减可得(n-2)a n=(n-1)a n-1-3，当n≥3时，上式变为(n-3)a n-1=(n-2)a n-2-3，上面两式相减可得a n+a n-2=2a n-1，且a1+a3=2a2，所以数列{a n}是首项为3，公差为4的等差数列，可得a n=3+4(n-1)=4n-1；(2)集合A={x|x=4n-1，n∈N*}，B={x|x=3n，n∈N*}，集合A∪B中的所有元素的最小值为3，且3，27，243三个元素是{b n}中前102项中的元素，且是A∩B中的元素，所以T102=(a1+a2+a3+...+a100)+9+81=×100×(3+400-1)+90=20190．3．(2023•汕头一模)已知T n为正项数列{a n}的前n项的乘积，且a1=3，=．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=，数列{b n}的前n项和为S n，求[S2023]([x]表示不超过x的最大整数)．【解答】解：(1)T n为正项数列{a n}的前n项的乘积，且a1=3，=，可得n≥2时，==，即为=，两边取3为底的对数，可得(n-1)log3a n=n log3a n-1，即为==...==1，所以log3a n=n，则a n=3n，对n=1也成立，所以a n=3n，n∈N*；(2)b n===1-，数列{b n}的前n项和为S n=n-(++...+)>n-2(++...+)=n-1+，所以S2023>2023-1+=2022+>2022，又S2023=2023-(+...+)<2023，所以[S2023]=2022．4．(2023•广州模拟)已知数列{a n}的前n项和为S n，且．(1)求a1，并证明数列是等差数列；(2)若，求正整数k的所有取值．【解答】解：(1)证明：∵①，∴当n=1时，S1+2=2a1+1，解得a1=1，当n≥2时，S n-1+2n-1=2a n-1+1②，由①-②得a n+2n-1=2a n-2a n-1，即a n-2a n-1=2n-1，∴-=，又，∴数列{}是首项为，公差为的等差数列；(2)由(1)得=+(n-1)=n，即a n=n•2n-1，∴S n=1+2×2+3×22+...+n•2n-1③，2S n=2+2×22+3×23+...+n•2n④，由③-④得-S n=1+2+22+...+2n-1-n•2n=-n•2n=(1-n)2n-1，∴S n=(n-1)•2n+1，则S2k=(2k-1)•22k+1，2=k2•22k-1，∵，∴k2•22k-1<(2k-1)•22k+1，即k2-4k+2-<0，令f(x)=x2-4x+2-，∵y=x2-4x+2=(x-2)2-2在(2，+∞)上单调递减，y=-在(2，+∞)上单调递减，∴f(x)=x2-4x+2-在(2，+∞)上单调递减，又f(1)=1-4+2-=-<0，f(2)=4-8+2-=-<0，f(3)=9-12+2-=-<0，f(4)=2->0，要使，即f(x)<0，故正整数k的所有取值为1，2，3．5．(2023•广东模拟)已知数列{a n}的前n项和为S n，且．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n=na n，且数列{b n}的前n项和为T n，求证：当n≥3时，．【解答】解：(1)∵，∴n≥2时，S1+2S2+⋯+(n-1)S n-1=(n-1)3，相减可得：nS n=n3-(n-1)3，可得S n=3n-3+，n=1时，a1=S1=1．n≥2时，a n=S n-S n-1=3n-3+-[3(n-1)-3+]=3+-，n=1时，上式不满足，∴a n=．(2)证明：n=1时，b1=1，n≥2时，b n=na n=3n+1-=3n-，当n≥3时，数列{b n}的前n项和为T n=1+6-1+3×(3+4+⋯+n)-(++⋯+)=6+3×-(++⋯+)=-3-(++⋯+)，要证明当n≥3时，，即证明当n≥3时，1≤++⋯++，令f(n)=++⋯++-1，n=3时，f(3)=0成立，而f(n)单调递增，因此当n≥3时，1≤++⋯++成立，即当n≥3时，．6．(2023•宁波模拟)函数y=f(x)的图象为自原点出发的一条折线，当n-1≤y≤n(n∈N*)时，该函数图象是斜率为b n (b ≠0)的一条线段．已知数列{a n }由定义．(1)用b 表示a 1，a 2；(2)若b =2，记T n =a 1+2a 2+⋯+na n ，求证：．【解答】解：(1)由题意可得，，，解得：，；证明：(2)当b =2时，由，得，∴，则，∴T n =a 1+2a 2+⋯+na n =(1+2+...+n )-()=()，令P n =，则，∴==，∴，则>．7．(2023•邵阳二模)已知S n 为数列{a n }的前n 项和，a 1=2，S n +1=S n +4a n -3，记b n =log 2(a n -1)+3．(1)求数列{b n }的通项公式；(2)已知，记数列{c n }的前n 项和为T n ，求证：．【解答】解：(1)由S n +1=S n +4a n -3，可得S n +1-S n =4a n -3，即a n +1=4a n -3，即有a n +1-1=4(a n -1)，可得a n -1=(a 1-1)•4n -1=4n -1，则b n =log 2(a n -1)+3=log 24n -1，+3=2n +1；(2)证明：=(-1)n +1•=(-1)n +1•(+)，当n为偶数时，T n=(+)-(+)+...-(+)=(-)，由{-}在n∈N*上递增，可得T n≥T2=(-)=；当nn为奇数时，T n=(+)-(+)+...+(+)=(+)，由>0，可得T n>>．所以．8．(2022秋•慈溪市期末)记x i=x1+x2+x3+⋯+x n，，x i=x1×x2×x3×⋯×x n，n∈N*，已知数列{a n}和{b n}分别满足：a i=n2，b i=()n2+n．(1)求{a n}，{b n}的通项公式；(2)求a i b i．【解答】解：(1)∵a i=n2，b i=()n2+n，∴n≥2时，a n=n2-(n-1)2=2n-1，b n===3n．n=1时，a1=1，b1=3，满足上式，∴a n=2n-1，b n=3n．(2)a n b n=(2n-1)3n．∴a i b i=T n=3+3×32+5×33+⋯+(2n-1)3n，3T n=32+3×33+⋯+(2n-3)3n+(2n-1)3n+1，相减可得：-2T n=3+2(32+33+⋯+3n)-(2n-1)3n+1=3+2×-(2n-1)3n+1，化为：T n=(n-1)3n+1+3，即a i b i=(n-1)3n+1+3．9．(2023•南平模拟)已知数列{a n}的前n项和为S n，，a2=3．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设，数列{b n}的前n项和为T n，求T n的取值范围．【解答】解：(1)因为a n+1=S n+1-S n，所以由，得，所以，所以，即．在中，令n=1，得，所以a1=1．所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以，即：．当n≥2时，，a1=1也适合上式，所以数列{a n}的通项公式为a n=2n-1．(2)由(1)知，，所以，因为b n>0，所以T n随着n的增大而增大，所以，又显然，所以，即T n的取值范围为．10．(2023•杭州一模)已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n+2=2a n．(1)求a及数列{a n}的通项公式；2(2)在a n与a n+1之间插入n个数，使得这(n+2)个数依次组成公差为d的等差数列，求数列{}的前n项和T n．【解答】解：(1)由题意，当n=1时，S1+2=a1+2=2a1，解得a1=2，当n=2时，S2+2=2a2，即a1+a2+2=2a2，解得a2=4，当n≥2时，由S n+2=2a n，可得S n-1+2=2a n-1，两式相减，可得a n=2a n-2a n-1，整理，得a n=2a n-1，∴数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n=2•2n-1=2n，n∈N*．(2)由(1)可得，，，在a n与a n+1之间插入n个数，使得这(n+2)个数依次组成公差为d的等差数列，则有a n+1-a n=(n+1)d n，∴，∴，∴T n=++•••+=+++•••+，，两式相减，可得T n=+++•••+-=1+-=-，∴T n=3-．11．(2023•南通模拟)设数列{a n}的前n项和为S n，已知S n=2a n-n+1．(1)证明：数列{a n+1}是等比数列；(2)若数列{b n}满足b1=a2，，求数列{b n}的前14项的和．【解答】解：(1)S n=2a n-n+1⋯①，则S n+1=2a n+1-(n+1)+1⋯②，②-①，得a n+1=2a n+1-2a n-1，即a n+1=2a n+1，∴a n+1+1=2(a n+1)，即，令S n=2a n-n+1中n=1，得S1=a1=2a1-1+1，解得a1=0，则a1+1=1，∴{a n+1}是首项为1，公比为2的等比数列．(2)由(1)知，则，∴，且，∴当n为偶数时，，即，∴b1+b2+⋯+b14=b1+(b2+b3)+(b4+b5)+⋯+(b12+b13)+b14=1+21-1+23-1+⋯+211-1+212-1=．12．(2023•杭州一模)已知△ABC中角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足2c sin A cos B+2b sin A cos C=a，c>a．(1)求角A；(2)若b=2，BC边上中线AD=，求△ABC的面积．【解答】解：(1)∵2c sin A cos B+2b sin A cos C=a，∴由正弦定理得2sin C sin A cos B+2sin B sin A cos C=3sin A，∵sin A>0，∴sin C cos B+sin B cos C=，∴sin(B+C)=，∵A+B+C=π，∴sin A=，∵c>a，∴；(2)∵，则，b=2，BC边上中线AD=，故，解得，∴．13．(2023•宁波模拟)记锐角△ABC的内角为A，B，C，已知sin2A=sin B sin C．(1)求角A的最大值；(2)当角A取得最大值时，求2cos B+cos C的取值范围．【解答】解：(1)∵sin2A=sin B sin C，∴在锐角△ABC中，由正弦定理得a2=bc，∴，∵0<A≤，故角A的最大值为；(2)由(1)得，则C=-B，则=，在锐角△ABC中，<B<，∴B+∈(，)，∴sin(B+)∈(，)，故2cos B+cos C的取值范围为(，)．14．(2022秋•温州期末)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知=1．(1)求B；(2)若，△ABC内切圆的面积为π，求△ABC的面积．【解答】解：(1)因为=1，∴b cos C+b sin C-a-c=0，根据正弦定理可得：sin B cos C+sin B sin C-sin A-sin C=0又A+B+C=π，∴sin B cos C+sin B sin C-sin(B+C)-sin C=0，∴sin B sin C-cos B sin C-sin C=0，又C∈(0，π)，∴sin C>0，∴，∴，又B∈(0，π)，∴，∴，∴；(2)∵△ABC内切圆的面积为π，所以内切圆半径r=1．由于，∴，①由余弦定理得，b2=(a+c)2-3ac，∴b2=48-3ac，②联立①②可得，即，解得或(舍去)，∴．15．(2023•龙岩模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．(1)求角B；(2)若D是AC边上的点，且AD=3DC=3，∠A=∠ABD=θ，求sinθ的值．【解答】解：(1)△ABC中，，所以+=，由正弦定理得，=，因为sin(A+B)=sin(π-C)=sin C，所以=；又因为C∈(0，π)，所以sin C≠0，所以sin B=cos B，即tan B=，又因为B∈(0，π)，所以B=．(2)因为D是AC边上的点，且AD=3DC=3，∠A=∠ABD=θ，所以∠BDC=2θ，AD=BD=3，DC=1，AC=4，在△ABC中，由正弦定理得，=，所以BC==8sinθ，在△BDC中，由余弦定理得，BC2=BD2+CD2-2BD•CD cos2θ=10-6cos2θ，所以64sin2θ=10-6cos2θ，所以52sin2θ=4，解得sin2θ=，又因为θ∈(0，)，所以sinθ=．16．(2023•湖北模拟)在△ABC中，记角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且c= 2，点D在线段BC上．(1)若，求AD的长；(2)若的面积为，求的值．【解答】解：(1)由，得2sin B sin(A+)=sin A+sin C=sin A+sin A cos B+ cos A sin B，∴sin A sin B+sin B cos A=sin A+sin A cos B+cos A sin B，∴sin B-cos B=2sin(B-)=1，又B∈(0，π)，∴B-=，∴B=，∵，∴∠ADB=，在△ABD中，由正弦定理得=，∴=，解得AD=；(2)设CD=t，则BD=2t，又S△ABC=3，∴×2×3t×=3，解得t=2，∴BC=3t=6，又AC===2，在△ABD中，由正弦定理可得=，∴sin∠BAD=2sin∠ADB，在△ACD中，由正弦定理可得=，∴sin∠CAD=sin∠ADC，∵sin∠ADB=sin(π-∠ADC)=sin∠ADC，∴==2．17．(2023•南通模拟)如图，在平面四边形ABCD中，AB=1，，CD=2，．(1)若BC⊥CD，求sin∠ADC；(2)记△ABD与△BCD的面积分别记为S和S2，求的最大值．1【解答】解：(1)∵BC⊥CD，∴，，，，，∴sin∠ADC=sin(∠BDC+∠ADB)=sin∠BDC cos∠ADB+cos∠BDC sin∠ADB=；(2)设∠BAD=α，∠BCD=β，∴，∴，∴①，==，当且仅当，时取最大值，综上，，的最大值是．18．(2023•广州模拟)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a．(1)证明：sin A+sin C=2sin B；(2)若，求△ABC的面积．【解答】证明：(1)∵a，∴，∴a(1+cos C)+c(1+cos A)=3b，∴由正弦定理可得，sin A(1+cos C)+sin C(1+cos A)=3sin B，∴sin A+sin A cos C+sin C+sin C cos A=3sin B，∴sin A+sin C+sin(A+C)=3sin B，∵A+B+C=π，∴sin A+sin C+sin B=3sin B，∴sin A+sin C=2sin B；(2)∵sin A+sin C=2sin B，∴a+c=2b，∵b=2，∴a+c=4①，∵，∴bc cos A=3，∴a2=b2+c2-2bc•cos A，即a2=4+c2-6，∴c2-a2=2，即(c-a)(c+a)=2，∴c-a=②，联立①②解得，a=，c=，∴，∴sin A=，∴S△ABC===．19．(2023•平湖市模拟)已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．(1)求角A的大小；(2)设AD是BC边上的高，且AD=2，求△ABC面积的最小值．【解答】解：(1)左边=，右边=，由题意得⇒sin(B+C)+cos(B +C)=0⇒tan(B+C)=-1，即tan A=1，又因为0<A<π，所以；(2)由，由余弦定理得，，，当且仅当b=c 时取“等号”，而，故．20．(2023•烟台一模)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c-2b cos A=b．(1)求证：A=2B；(2)若A的角平分线交BC于D，且c=2，求△ABD面积的取值范围．【解答】证明：(1)∵c-2b cos A=b，∴由正弦定理可得，sin C-2sin B cos A=sin B，∵A+B+C=π，∴sin(A+B)=sin C，∴sin(A+B)-2sin B cos A=sin A cos B+cos A sin B-2sin B cos A=sin B，∴sin(A-B)=sin B，∵△ABC为锐角三角形，∴A∈(0，)，B∈(0，)，∴A-B∈，∵y=sin x在(-，)上单调递增，∴A-B=B，即A=2B；(2)解：∵A=2B，∴在△ABD中，∠ABC=∠BAD，由正弦定理可得，=，∴AD=BD=，∴=，∵△ABC为锐角三角形，∴，解得，∴，∴△ABD面积的取值范围为()．。

解三角形、数列2018年全国数学高考分类真题(含答案)

解三角形、数列2018年全国高考分类真题（含答案）一．选择题（共4小题）1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，则C=（）A．B．C．D．2．在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（）A．4 B． C． D．23．已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3），若a1＞1，则（）A．a1＜a3，a2＜a4B．a1＞a3，a2＜a4C．a1＜a3，a2＞a4D．a1＞a3，a2＞a4 4．记S n为等差数列{a n}的前n项和．若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=（）A．﹣12 B．﹣10 C．10 D．12二．填空题（共4小题）5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为．6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=，b=2，A=60°，则sinB=，c=．7．设{a n}是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则{a n}的通项公式为．8．记S n为数列{a n}的前n项和．若S n=2a n+1，则S6=．三．解答题（共9小题）9．在△ABC中，a=7，b=8，cosB=﹣．（Ⅰ）求∠A；（Ⅱ）求AC边上的高．10．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（﹣，﹣）．（Ⅰ）求sin（α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知bsinA=acos（B ﹣）．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设a=2，c=3，求b和sin（2A﹣B）的值．12．在平面四边形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．（1）求cos∠ADB；（2）若DC=2，求BC．13．设{a n}是首项为a1，公差为d的等差数列，{b n}是首项为b1，公比为q的等比数列．（1）设a1=0，b1=1，q=2，若|a n﹣b n|≤b1对n=1，2，3，4均成立，求d的取值范围；（2）若a1=b1＞0，m∈N*，q∈（1，]，证明：存在d∈R，使得|a n﹣b n|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立，并求d的取值范围（用b1，m，q表示）．14．已知等比数列{a n}的公比q＞1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列{b n}满足b1=1，数列{（b n+1﹣b n）a n}的前n项和为2n2+n．（Ⅰ）求q的值；（Ⅱ）求数列{b n}的通项公式．15．设{a n}是等比数列，公比大于0，其前n项和为S n（n∈N*），{b n}是等差数列．已知a1=1，a3=a2+2，a4=b3+b5，a5=b4+2b6．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{S n}的前n项和为T n（n∈N*），（i）求T n；（ii）证明=﹣2（n∈N*）．16．等比数列{a n}中，a1=1，a5=4a3．（1）求{a n}的通项公式；（2）记S n为{a n}的前n项和．若S m=63，求m．17．记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a1=﹣7，S3=﹣15．（1）求{a n}的通项公式；（2）求S n，并求S n的最小值．解三角形、数列2018年全国高考分类真题（含答案）参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，则C=（）A．B．C．D．【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．△ABC的面积为，==，∴S△ABC∴sinC==cosC，∵0＜C＜π，∴C=．故选：C．2．在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（）A．4 B． C． D．2【解答】解：在△ABC中，cos=，cosC=2×=﹣，BC=1，AC=5，则AB====4．故选：A．3．已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3），若a1＞1，则（）A．a1＜a3，a2＜a4B．a1＞a3，a2＜a4C．a1＜a3，a2＞a4D．a1＞a3，a2＞a4【解答】解：a1，a2，a3，a4成等比数列，由等比数列的性质可知，奇数项符号相同，偶数项符号相同，a1＞1，设公比为q，当q＞0时，a1+a2+a3+a4＞a1+a2+a3，a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3），不成立，即：a1＞a3，a2＞a4，a1＜a3，a2＜a4，不成立，排除A、D．当q=﹣1时，a1+a2+a3+a4=0，ln（a1+a2+a3）＞0，等式不成立，所以q≠﹣1；当q＜﹣1时，a1+a2+a3+a4＜0，ln（a1+a2+a3）＞0，a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3）不成立，当q∈（﹣1，0）时，a1＞a3＞0，a2＜a4＜0，并且a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3），能够成立，故选：B．4．记S n为等差数列{a n}的前n项和．若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=（）A．﹣12 B．﹣10 C．10 D．12【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，3S3=S2+S4，a1=2，∴=a1+a1+d+4a1+d，把a1=2，代入得d=﹣3∴a5=2+4×（﹣3）=﹣10．故选：B．二．填空题（共4小题）5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为9．【解答】解：由题意得acsin120°=asin60°+csin60°，即ac=a+c，得+=1，得4a+c=（4a+c）（+）=++5≥2+5=4+5=9，当且仅当=，即c=2a时，取等号，故答案为：9．6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=，b=2，A=60°，则sinB=，c=3．【解答】解：∵在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．a=，b=2，A=60°，∴由正弦定理得：，即=，解得sinB==．由余弦定理得：cos60°=，解得c=3或c=﹣1（舍），∴sinB=，c=3．故答案为：，3．7．设{a n}是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则{a n}的通项公式为a n=6n﹣3．【解答】解：∵{a n}是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，∴，解得a1=3，d=6，∴a n=a1+（n﹣1）d=3+（n﹣1）×6=6n﹣3．∴{a n}的通项公式为a n=6n﹣3．故答案为：a n=6n﹣3．8．记S n为数列{a n}的前n项和．若S n=2a n+1，则S6=﹣63．【解答】解：S n为数列{a n}的前n项和，S n=2a n+1，①当n=1时，a1=2a1+1，解得a1=﹣1，当n≥2时，S n=2a n﹣1+1，②，﹣1由①﹣②可得a n=2a n﹣2a n﹣1，∴a n=2a n﹣1，∴{a n}是以﹣1为首项，以2为公比的等比数列，∴S6==﹣63，故答案为：﹣63三．解答题（共9小题）9．在△ABC中，a=7，b=8，cosB=﹣．（Ⅰ）求∠A；（Ⅱ）求AC边上的高．【解答】解：（Ⅰ）∵a＜b，∴A＜B，即A是锐角，∵cosB=﹣，∴sinB===，由正弦定理得=得sinA===，则A=．（Ⅱ）由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB，即64=49+c2+2×7×c×，即c2+2c﹣15=0，得（c﹣3）（c+5）=0，得c=3或c=﹣5（舍），则AC边上的高h=csinA=3×=．10．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（﹣，﹣）．（Ⅰ）求sin（α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．【解答】解：（Ⅰ）∵角α的顶点与原点O重合，始边与x轴非负半轴重合，终边过点P（﹣，﹣）．∴x=﹣，y=，r=|OP|=，∴sin（α+π）=﹣sinα=；（Ⅱ）由x=﹣，y=，r=|OP|=1，得，，又由sin（α+β）=，得=，则cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=，或cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=．∴cosβ的值为或．11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知bsinA=acos（B ﹣）．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设a=2，c=3，求b和sin（2A﹣B）的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理得，得bsinA=asinB，又bsinA=acos（B﹣）．∴asinB=acos（B﹣），即sinB=cos（B﹣）=cosBcos+sinBsin=cosB+，∴tanB=，又B∈（0，π），∴B=．（Ⅱ）在△ABC中，a=2，c=3，B=，由余弦定理得b==，由bsinA=acos（B﹣），得sinA=，∵a＜c，∴cosA=，∴sin2A=2sinAcosA=，cos2A=2cos2A﹣1=，∴sin（2A﹣B）=sin2AcosB﹣cos2AsinB==．12．在平面四边形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．（1）求cos∠ADB；（2）若DC=2，求BC．【解答】解：（1）∵∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．∴由正弦定理得：=，即=，∴sin∠ADB==，∵AB＜BD，∴∠ADB＜∠A，∴cos∠ADB==．（2）∵∠ADC=90°，∴cos∠BDC=sin∠ADB=，∵DC=2，∴BC===5．13．设{a n}是首项为a1，公差为d的等差数列，{b n}是首项为b1，公比为q的等比数列．（1）设a1=0，b1=1，q=2，若|a n﹣b n|≤b1对n=1，2，3，4均成立，求d的取值范围；（2）若a1=b1＞0，m∈N*，q∈（1，]，证明：存在d∈R，使得|a n﹣b n|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立，并求d的取值范围（用b1，m，q表示）．【解答】解：（1）由题意可知|a n﹣b n|≤1对任意n=1，2，3，4均成立，∵a1=0，q=2，∴，解得．即≤d≤．证明：（2）∵a n=a1+（n﹣1）d，b n=b1•q n﹣1，若存在d∈R，使得|a n﹣b n|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立，则|b1+（n﹣1）d﹣b1•q n﹣1|≤b1，（n=2，3，…，m+1），即b1≤d≤，（n=2，3，…，m+1），∵q∈（1，]，∴则1＜q n﹣1≤q m≤2，（n=2，3，…，m+1），∴b1≤0，＞0，因此取d=0时，|a n﹣b n|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立，下面讨论数列{}的最大值和数列{}的最小值，①当2≤n≤m时，﹣==，当1＜q≤时，有q n≤q m≤2，从而n（q n﹣q n﹣1）﹣q n+2＞0，因此当2≤n≤m+1时，数列{}单调递增，故数列{}的最大值为．②设f（x）=2x（1﹣x），当x＞0时，f′（x）=（ln2﹣1﹣xln2）2x＜0，∴f（x）单调递减，从而f（x）＜f（0）=1，当2≤n≤m时，=≤（1﹣）=f（）＜1，因此当2≤n≤m+1时，数列{}单调递递减，故数列{}的最小值为，∴d的取值范围是d∈[，]．14．已知等比数列{a n}的公比q＞1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列{b n}满足b1=1，数列{（b n+1﹣b n）a n}的前n项和为2n2+n．（Ⅰ）求q的值；（Ⅱ）求数列{b n}的通项公式．【解答】解：（Ⅰ）等比数列{a n}的公比q＞1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项，可得2a4+4=a3+a5=28﹣a4，解得a4=8，由+8+8q=28，可得q=2（舍去），则q的值为2；（Ⅱ）设c n=（b n+1﹣b n）a n=（b n+1﹣b n）2n﹣1，可得n=1时，c1=2+1=3，n≥2时，可得c n=2n2+n﹣2（n﹣1）2﹣（n﹣1）=4n﹣1，上式对n=1也成立，则（b n﹣b n）a n=4n﹣1，+1﹣b n=（4n﹣1）•（）n﹣1，即有b n+1可得b n=b1+（b2﹣b1）+（b3﹣b2）+…+（b n﹣b n﹣1）=1+3•（）0+7•（）1+…+（4n﹣5）•（）n﹣2，b n=+3•（）+7•（）2+…+（4n﹣5）•（）n﹣1，相减可得b n=+4[（）+（）2+…+（）n﹣2]﹣（4n﹣5）•（）n﹣1=+4•﹣（4n﹣5）•（）n﹣1，化简可得b n=15﹣（4n+3）•（）n﹣2．15．设{a n}是等比数列，公比大于0，其前n项和为S n（n∈N*），{b n}是等差数列．已知a1=1，a3=a2+2，a4=b3+b5，a5=b4+2b6．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{S n}的前n项和为T n（n∈N*），（i）求T n；（ii）证明=﹣2（n∈N*）．【解答】（Ⅰ）解：设等比数列{a n}的公比为q，由a1=1，a3=a2+2，可得q2﹣q ﹣2=0．∵q＞0，可得q=2．故．设等差数列{b n}的公差为d，由a4=b3+b5，得b1+3d=4，由a5=b4+2b6，得3b1+13d=16，∴b1=d=1．故b n=n；（Ⅱ）（i）解：由（Ⅰ），可得，故=；（ii）证明：∵==．∴==﹣2．16．等比数列{a n}中，a1=1，a5=4a3．（1）求{a n}的通项公式；（2）记S n为{a n}的前n项和．若S m=63，求m．【解答】解：（1）∵等比数列{a n}中，a1=1，a5=4a3．∴1×q4=4×（1×q2），解得q=±2，当q=2时，a n=2n﹣1，当q=﹣2时，a n=（﹣2）n﹣1，∴{a n}的通项公式为，a n=2n﹣1，或a n=（﹣2）n﹣1．（2）记S n为{a n}的前n项和．当a1=1，q=﹣2时，S n===，由S m=63，得S m==63，m∈N，无解；当a1=1，q=2时，S n===2n﹣1，由S m=63，得S m=2m﹣1=63，m∈N，解得m=6．17．记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a1=﹣7，S3=﹣15．（1）求{a n}的通项公式；（2）求S n，并求S n的最小值．【解答】解：（1）∵等差数列{a n}中，a1=﹣7，S3=﹣15，∴a1=﹣7，3a1+3d=﹣15，解得a1=﹣7，d=2，∴a n=﹣7+2（n﹣1）=2n﹣9；（2）∵a1=﹣7，d=2，a n=2n﹣9，∴S n===n2﹣8n=（n﹣4）2﹣16，∴当n=4时，前n项的和S n取得最小值为﹣16．。

小测试题5.数列-立体几何 ,解三角形,数列

东盟中学2018级高二小测试题（一）一选择题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的.二、解答题：本大题共2小题，共20分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.()()()()()()()00001.1120.150.60.302.,31,3,,13,4.5.322.2.mA BP M N m-----=过两点、的直线的倾斜角为在过经A.、两点的直线上，则AB CBDC已知点D()()()()()2203.04.,,,,4,60,42.843.1.335.36y ax b a bABC A B C a b c a b c C abπ=++=+-==-=-V直线的图象可能是若的内角所对的边满足且则A. B C D某几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积为A. .4.24.34πππ++B C D()()()6.12,,,,,2,3sin4sincossin2.162ABC A B C a b c b c a c B a C BBπ+==⎛⎫+⎪⎝⎭V本小题满分分在中，内角所对的边分别为已知求的值；求的值(){}{}(){}{}(){}2224517.12,1,8.442,2n n n n n n n n n n a n S S n n b b a b a a b c a b c n P ABCD ABCD AC BD O OP ABCD M PC AC BD OP =-+===-⊥=== 本小题满分分设数列的前项和为且在正项等比数列中，求 , 的通项公式；设 ,求数列的前项和. 如图，四棱锥的底面是菱形，与交于点，底面，点为中点，，，。

()()12AP BM ABM PAC 求直线与所成角的余弦值；求平面与平面所成锐二面角的余弦值.东盟中学2018级高一小测试题：数列与立体几何答案：1-5 ACDAD6.7.8.。

高中数学必修5解三角形、数列、不等式测试题

高中数学必修5解三角形、数列、不等式测试题（考试时间120分钟，总分150分）一．选择题 (本大题共12小题，每小题5分，共60分，请把正确答案填在答题卡上)1.已知a ，b 为非零实数，且a <b ，则下列命题成立的是( )A ．a 2<b 2B ．a 2b <ab2C ．2a－2b<0 D.1a >1b2．sin15°cos45°＋cos15°sin45°等于( ) A ．0B ．21 C ．23 D ．13.ABC ∆中，若︒===60,2,1B c a ，则ABC ∆的面积为（）A ．21B ．23 C.1 D.34.在数列{}n a 中，1a =1，12n n a a +-=，则51a 的值为（） A ．99 B ．49 C ．102 D ． 1015.已知0x >，函数4y x x=+的最小值是（） A ．5 B ．4 C ．8 D ．6 6.在等比数列中，112a =，12q =，132n a =，则项数n 为（） A. 3B. 4C. 5D. 67.不等式20(0)ax bx c a ++<≠的解集为R ，那么（）A. 0,0a <∆<B. 0,0a <∆≤C. 0,0a >∆≥D. 0,0a >∆>8.设,x y 满足约束条件12x y y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩,则3z x y =+的最大值为（）A ． 5 B. 3 C. 7 D. -8 9．若)4πtan(α-＝3，则tan α 等于( ) A ．－2 B ．21-C ．21 D ．210．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 9＋a 15＋a 21=8，则a 12等于（）A ．1B ．－1C ．2D ．－211．下列各式中，值为23的是( ) A ．2sin15°－cos15° B ．cos 215°－sin 215° C ．2sin 215°－1D ．sin 215°＋cos 215°12．关于x 的方程2210ax x +-=至少有一个正的实根，则a 的取值范围是（）A ．a ≥0B ．－1≤a ＜0C ．a ＞0或－1＜a ＜0D ．a ≥－1二．填空题（共4小题，每题5分，共20分，请把正确答案填在答题卡上） 13．在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝14. 不等式组260302x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为15.不等式21131x x ->+的解集是． 16. 已知数列{}n a 满足23123222241n n n a a a a ++++=-，则{}n a 的通项公式三．解答题（本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤，并把正确解答过程写在答题卡上）17. （10分）(1) 解不等式0542<++-x x ，(2)求函数的定义域：5y =18．（12分）等差数列{}n a 满足 212=a ，155=a ，求通项n a 及前n 项和的最大值．19.(12分)在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b是方程220x -+=的两个根，且2()1coc A B +=。

解三角形数列(2)

选择题1．在△ABC 中，a ＝80，b ＝100，∠A ＝45°，则此三角形解的情况是( )A ．一解B ．两解C ．一解或两解D ．无解2．在三角形ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝7，则∠BAC 的大小为( ) A.2π3 B.5π6C.3π4D.π3 3．在△ABC 中，∠B ＝60°，最大边与最小边之比为(3＋1)∶2，则最大角为( )A ．45°B ．60°C ．75°D ．90°4．在△ABC 中，a 2＋b 2－ab ＝c 2＝23S △ABC ，则△ABC 一定是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形5．如图所示为起重机装置示意图．支杆BC ＝10 m ，吊杆AC ＝15 m ，吊索AB ＝519 m ，起吊的货物与岸的距离AD 为( ) A ．30 mB.152 3 m C ．15 3 m D ．45 m6．在△ABC 中，b 2－bc －2c 2＝0，a ＝6，cos A ＝78，则△ABC 的面积S 为( ) A.152B.15 C ．2 D ．37．锐角三角形ABC 中，b ＝1，c ＝2，则a 的取值范围是( )A ．1＜a ＜3B ．1＜a ＜ 5 C.3＜a ＜ 5 D ．不确定8．△ABC 中，a ，b ，c 分别是A 、B 、C 的对边，且满足2b ＝a ＋c ，B ＝30°，△ABC 的面积为0.5，那么b 为( )A ．1＋ 3B ．3＋ 3C.3＋33D ．2＋ 3 9．在△ABC 中，下列结论：①a 2＞b 2＋c 2，则△ABC 为钝角三角形；②a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则A 为60°；③a 2＋b 2＞c 2，则△ABC 为锐角三角形；④若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，则a ∶b ∶c ＝1∶2∶3.其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．410．锐角三角形ABC 中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对边，设B ＝2A ，则b a的取值范围是( )A ．(－2,2)B ．(0,2)C ．(2，2)D ．(2，3)11．已知数列{a n }满足a 1＝3，a n －a n ＋1＋1＝0(n ∈N ＋)，则此数列中a 10等于( )A ．－7B ．11C ．12D ．－612．已知等差数列{a n }的首项a 1＝125，第10项是第一个比1大的项，则公差d 的取值范围是( ) A ．d ＞875 B ．d ＜825C.875＜d ＜325D.875＜d ≤325填空题13．在△ABC 中，若A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则AC ＝________.14．△ABC 中，2a sin A －b sin B －c sin C＝________. 15．已知平面上有四点O ，A ，B ，C ，满足OA →＋OB →＋OC →＝0，OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →＝－1，则△ABC的周长是________．16______行，第______列.解答题17．已知△ABC 的三个内角∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，满足a ＋c ＝2b 且2cos2B －8cos B ＋5＝0，求∠B 的大小并判断△ABC 的形状．18．在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 所对的边，且3a ＝2c sin A .(1)确定∠C 的大小；(2)若c ＝3，求△ABC 周长的取值范围．19．△ABC 的周长为20，BC 边的长为7，∠A ＝60°，求它的内切圆半径．20．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足b 2＝ac ，cos B ＝34. (1)求1tan A ＋1tan C的值； (2)设BA →·BC →＝32，求三边a 、b 、c 的长度． 21．已知函数f (x )＝3x x ＋3，数列{x n }的通项由x n ＝f (x n －1)(n ≥2，且n ∈N ＋)确定． (1)求证：{1x n}是等差数列； (2)当x 1＝12时，求x 100.。

高一数学解三角形试题

高一数学解三角形试题1.△ABC的内角、、的所对的边、、成等比数列，且公比为，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B.【解析】∵，，成等比数列，∴，，再由正弦定理可得，又∵，根据二次函数的相关知识，可知的取值范围是.【考点】三角形与二次函数一元二次不等式综合.2.在△ABC中，若最大角的正弦值是，则△ABC必是（）A．等边三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．锐角三角形【答案】【解析】根据题意,因为是最大角,所以角只能是,所以是钝角三角形．【考点】特殊函数值;三角形的判断．3.两地相距，且地在地的正东方。

一人在地测得建筑在正北方，建筑在北偏西；在地测得建筑在北偏东，建筑在北偏西，则两建筑和之间的距离为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】在△ABD中又∴点A、B、C、D四点共园，圆心是BC的中点(在同园或等圆中，同弧所对的圆周角相等) ，同理在Rt△ABC中，在Rt△BCD中【考点】解三角形4.在中，角所对的边分别为，若，且，则下列关系一定不成立的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】将代入可得，所以或，当时有有.【考点】解三角形.5.在某次测量中，A在B的北偏东，则B在A的方向.【答案】南偏东【解析】根据题意，由于在某次测量中，A在B的北偏东，则可知B在A的南偏东方向.可知答案为南偏东【考点】方位角点评：主要是考查了方位角的求解，属于基础题。

6.对于,有如下命题：①一定有成立.②若, 则一定为等腰三角形；③若的面积为，BC=2，，则此三角形是正三角形；则其中正确命题的序号是 . (把所有正确的命题序号都填上)【答案】①②③【解析】根据题意，由于①结合投影的定义可知，一定有成立.②若, 则一定为等腰三角形；利用解三角形方程可成立③若的面积为，BC=2，，则此三角形是正三角形；利用解三角形可知成立，故可知答案为①②③【考点】解三角形点评：考查了解三角形的运用，属于基础题。

7.如图，在△中，已知，D是BC边上一点，AD=10，AC=14，DC=6，求AB的长.【答案】【解析】解：在△中，∵AD=10，AC=14，DC=6∴, 5分∴, ∴ 7分∴在△中，∵，∴， 11分∴ 15分【考点】解三角形点评：主要是考查了正弦定理的运用，属于基础题。

解三角形、数列2018全国数学高考分类真题[含答案解析]

解三角形、数列2018年全国高考分类真题（含答案）一．选择题（共4小题）1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，则C=（）A．B．C．D．2．在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（）A．4 B． C． D．23．已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3），若a1＞1，则（）A．a1＜a3，a2＜a4B．a1＞a3，a2＜a4C．a1＜a3，a2＞a4D．a1＞a3，a2＞a4 4．记S n为等差数列{a n}的前n项和．若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=（）A．﹣12 B．﹣10 C．10 D．12二．填空题（共4小题）5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为．6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=，b=2，A=60°，则sinB=，c=．7．设{a n}是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则{a n}的通项公式为．8．记S n为数列{a n}的前n项和．若S n=2a n+1，则S6=．三．解答题（共9小题）9．在△ABC中，a=7，b=8，cosB=﹣．（Ⅰ）求∠A；（Ⅱ）求AC边上的高．10．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（﹣，﹣）．（Ⅰ）求sin（α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知bsinA=acos（B ﹣）．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设a=2，c=3，求b和sin（2A﹣B）的值．12．在平面四边形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．（1）求cos∠ADB；（2）若DC=2，求BC．13．设{a n}是首项为a1，公差为d的等差数列，{b n}是首项为b1，公比为q的等比数列．（1）设a1=0，b1=1，q=2，若|a n﹣b n|≤b1对n=1，2，3，4均成立，求d的取值范围；（2）若a1=b1＞0，m∈N*，q∈（1，]，证明：存在d∈R，使得|a n﹣b n|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立，并求d的取值范围（用b1，m，q表示）．14．已知等比数列{a n}的公比q＞1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列{b n}满足b1=1，数列{（b n+1﹣b n）a n}的前n项和为2n2+n．（Ⅰ）求q的值；（Ⅱ）求数列{b n}的通项公式．15．设{a n}是等比数列，公比大于0，其前n项和为S n（n∈N*），{b n}是等差数列．已知a1=1，a3=a2+2，a4=b3+b5，a5=b4+2b6．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{S n}的前n项和为T n（n∈N*），（i）求T n；（ii）证明=﹣2（n∈N*）．16．等比数列{a n}中，a1=1，a5=4a3．（1）求{a n}的通项公式；（2）记S n为{a n}的前n项和．若S m=63，求m．17．记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a1=﹣7，S3=﹣15．（1）求{a n}的通项公式；（2）求S n，并求S n的最小值．解三角形、数列2018年全国高考分类真题（含答案）参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，则C=（）A．B．C．D．【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．△ABC的面积为，==，∴S△ABC∴sinC==cosC，∵0＜C＜π，∴C=．故选：C．2．在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（）A．4 B． C． D．2【解答】解：在△ABC中，cos=，cosC=2×=﹣，BC=1，AC=5，则AB====4．故选：A．3．已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3），若a1＞1，则（）A．a1＜a3，a2＜a4B．a1＞a3，a2＜a4C．a1＜a3，a2＞a4D．a1＞a3，a2＞a4【解答】解：a1，a2，a3，a4成等比数列，由等比数列的性质可知，奇数项符号相同，偶数项符号相同，a1＞1，设公比为q，当q＞0时，a1+a2+a3+a4＞a1+a2+a3，a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3），不成立，即：a1＞a3，a2＞a4，a1＜a3，a2＜a4，不成立，排除A、D．当q=﹣1时，a1+a2+a3+a4=0，ln（a1+a2+a3）＞0，等式不成立，所以q≠﹣1；当q＜﹣1时，a1+a2+a3+a4＜0，ln（a1+a2+a3）＞0，a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3）不成立，当q∈（﹣1，0）时，a1＞a3＞0，a2＜a4＜0，并且a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3），能够成立，故选：B．4．记S n为等差数列{a n}的前n项和．若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=（）A．﹣12 B．﹣10 C．10 D．12【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，3S3=S2+S4，a1=2，∴=a1+a1+d+4a1+d，把a1=2，代入得d=﹣3∴a5=2+4×（﹣3）=﹣10．故选：B．二．填空题（共4小题）5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为9．【解答】解：由题意得acsin120°=asin60°+csin60°，即ac=a+c，得+=1，得4a+c=（4a+c）（+）=++5≥2+5=4+5=9，当且仅当=，即c=2a时，取等号，故答案为：9．6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=，b=2，A=60°，则sinB=，c=3．【解答】解：∵在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．a=，b=2，A=60°，∴由正弦定理得：，即=，解得sinB==．由余弦定理得：cos60°=，解得c=3或c=﹣1（舍），∴sinB=，c=3．故答案为：，3．7．设{a n}是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则{a n}的通项公式为a n=6n﹣3．【解答】解：∵{a n}是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，∴，解得a1=3，d=6，∴a n=a1+（n﹣1）d=3+（n﹣1）×6=6n﹣3．∴{a n}的通项公式为a n=6n﹣3．故答案为：a n=6n﹣3．8．记S n为数列{a n}的前n项和．若S n=2a n+1，则S6=﹣63．【解答】解：S n为数列{a n}的前n项和，S n=2a n+1，①当n=1时，a1=2a1+1，解得a1=﹣1，=2a n﹣1+1，②，当n≥2时，S n﹣1由①﹣②可得a n=2a n﹣2a n﹣1，∴a n=2a n﹣1，∴{a n}是以﹣1为首项，以2为公比的等比数列，∴S6==﹣63，故答案为：﹣63三．解答题（共9小题）9．在△ABC中，a=7，b=8，cosB=﹣．（Ⅰ）求∠A；（Ⅱ）求AC边上的高．【解答】解：（Ⅰ）∵a＜b，∴A＜B，即A是锐角，∵cosB=﹣，∴sinB===，由正弦定理得=得sinA===，则A=．（Ⅱ）由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB，即64=49+c2+2×7×c×，即c2+2c﹣15=0，得（c﹣3）（c+5）=0，得c=3或c=﹣5（舍），则AC边上的高h=csinA=3×=．10．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（﹣，﹣）．（Ⅰ）求sin（α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．【解答】解：（Ⅰ）∵角α的顶点与原点O重合，始边与x轴非负半轴重合，终边过点P（﹣，﹣）．∴x=﹣，y=，r=|OP|=，∴sin（α+π）=﹣sinα=；（Ⅱ）由x=﹣，y=，r=|OP|=1，得，，又由sin（α+β）=，得=，则cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=，或cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=．∴cosβ的值为或．11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知bsinA=acos（B ﹣）．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设a=2，c=3，求b和sin（2A﹣B）的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理得，得bsinA=asinB，又bsinA=acos（B﹣）．∴asinB=acos（B﹣），即sinB=cos（B﹣）=cosBcos+sinBsin=cosB+，∴tanB=，又B∈（0，π），∴B=．（Ⅱ）在△ABC中，a=2，c=3，B=，由余弦定理得b==，由bsinA=acos（B﹣），得sinA=，∵a＜c，∴cosA=，∴sin2A=2sinAcosA=，cos2A=2cos2A﹣1=，∴sin（2A﹣B）=sin2AcosB﹣cos2AsinB==．12．在平面四边形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．（1）求cos∠ADB；（2）若DC=2，求BC．【解答】解：（1）∵∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．∴由正弦定理得：=，即=，∴sin∠ADB==，∵AB＜BD，∴∠ADB＜∠A，∴cos∠ADB==．（2）∵∠ADC=90°，∴cos∠BDC=sin∠ADB=，∵DC=2，∴BC===5．13．设{a n}是首项为a1，公差为d的等差数列，{b n}是首项为b1，公比为q的等比数列．（1）设a1=0，b1=1，q=2，若|a n﹣b n|≤b1对n=1，2，3，4均成立，求d的取值范围；（2）若a1=b1＞0，m∈N*，q∈（1，]，证明：存在d∈R，使得|a n﹣b n|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立，并求d的取值范围（用b1，m，q表示）．【解答】解：（1）由题意可知|a n﹣b n|≤1对任意n=1，2，3，4均成立，∵a1=0，q=2，∴，解得．即≤d≤．证明：（2）∵a n=a1+（n﹣1）d，b n=b1•q n﹣1，若存在d∈R，使得|a n﹣b n|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立，则|b1+（n﹣1）d﹣b1•q n﹣1|≤b1，（n=2，3，…，m+1），即b1≤d≤，（n=2，3，…，m+1），∵q∈（1，]，∴则1＜q n﹣1≤q m≤2，（n=2，3，…，m+1），∴b1≤0，＞0，因此取d=0时，|a n﹣b n|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立，下面讨论数列{}的最大值和数列{}的最小值，①当2≤n≤m时，﹣==，当1＜q≤时，有q n≤q m≤2，从而n（q n﹣q n﹣1）﹣q n+2＞0，因此当2≤n≤m+1时，数列{}单调递增，故数列{}的最大值为．②设f（x）=2x（1﹣x），当x＞0时，f′（x）=（ln2﹣1﹣xln2）2x＜0，∴f（x）单调递减，从而f（x）＜f（0）=1，当2≤n≤m时，=≤（1﹣）=f（）＜1，因此当2≤n≤m+1时，数列{}单调递递减，故数列{}的最小值为，∴d的取值范围是d∈[，]．14．已知等比数列{a n}的公比q＞1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列{b n}满足b1=1，数列{（b n+1﹣b n）a n}的前n项和为2n2+n．（Ⅰ）求q的值；（Ⅱ）求数列{b n}的通项公式．【解答】解：（Ⅰ）等比数列{a n}的公比q＞1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项，可得2a4+4=a3+a5=28﹣a4，解得a4=8，由+8+8q=28，可得q=2（舍去），则q的值为2；（Ⅱ）设c n=（b n+1﹣b n）a n=（b n+1﹣b n）2n﹣1，可得n=1时，c1=2+1=3，n≥2时，可得c n=2n2+n﹣2（n﹣1）2﹣（n﹣1）=4n﹣1，上式对n=1也成立，则（b n﹣b n）a n=4n﹣1，+1﹣b n=（4n﹣1）•（）n﹣1，即有b n+1可得b n=b1+（b2﹣b1）+（b3﹣b2）+…+（b n﹣b n﹣1）=1+3•（）0+7•（）1+…+（4n﹣5）•（）n﹣2，b n=+3•（）+7•（）2+…+（4n﹣5）•（）n﹣1，相减可得b n=+4[（）+（）2+…+（）n﹣2]﹣（4n﹣5）•（）n﹣1=+4•﹣（4n﹣5）•（）n﹣1，化简可得b n=15﹣（4n+3）•（）n﹣2．15．设{a n}是等比数列，公比大于0，其前n项和为S n（n∈N*），{b n}是等差数列．已知a1=1，a3=a2+2，a4=b3+b5，a5=b4+2b6．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{S n}的前n项和为T n（n∈N*），（i）求T n；（ii）证明=﹣2（n∈N*）．【解答】（Ⅰ）解：设等比数列{a n}的公比为q，由a1=1，a3=a2+2，可得q2﹣q ﹣2=0．∵q＞0，可得q=2．故．设等差数列{b n}的公差为d，由a4=b3+b5，得b1+3d=4，由a5=b4+2b6，得3b1+13d=16，∴b1=d=1．故b n=n；（Ⅱ）（i）解：由（Ⅰ），可得，故=；（ii）证明：∵==．∴==﹣2．16．等比数列{a n}中，a1=1，a5=4a3．（1）求{a n}的通项公式；（2）记S n为{a n}的前n项和．若S m=63，求m．【解答】解：（1）∵等比数列{a n}中，a1=1，a5=4a3．∴1×q4=4×（1×q2），解得q=±2，当q=2时，a n=2n﹣1，当q=﹣2时，a n=（﹣2）n﹣1，∴{a n}的通项公式为，a n=2n﹣1，或a n=（﹣2）n﹣1．（2）记S n为{a n}的前n项和．当a1=1，q=﹣2时，S n===，由S m=63，得S m==63，m∈N，无解；当a1=1，q=2时，S n===2n﹣1，由S m=63，得S m=2m﹣1=63，m∈N，解得m=6．17．记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a1=﹣7，S3=﹣15．（1）求{a n}的通项公式；（2）求S n，并求S n的最小值．【解答】解：（1）∵等差数列{a n}中，a1=﹣7，S3=﹣15，∴a1=﹣7，3a1+3d=﹣15，解得a1=﹣7，d=2，∴a n=﹣7+2（n﹣1）=2n﹣9；（2）∵a1=﹣7，d=2，a n=2n﹣9，∴S n===n2﹣8n=（n﹣4）2﹣16，∴当n=4时，前n项的和S n取得最小值为﹣16．。

解三角形练习题及答案

解三角形练习题及答案1.已知△ABC中，三内角A、B、C的度数成等差数列，边a、b、c依次成等比数列．则△ABC是（）A．直角三角形B．等边三角形C．锐角三角形D．钝角三角形2.△ABC中，若sin2A+sin2B＞sin2C，则△ABC是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定3.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a=ccosB，则△ABC是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形4.在△ABC中，若•=•=•，则该三角形是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形5.在△ABC中，acosA=bcosB，则三角形的形状为（）A．直角三角形B．等腰三角形或直角三角形C．等边三角形D．等腰三角形6.在△ABC中，若b=asinC，c=acosB，则△ABC的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形7.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若==则△ABC的形状是（）A．等边三角形B．等腰直角三角形C．直角非等腰三角形D．等腰非直角三角形8.在△ABC中，P是BC边中点，若，则△ABC的形状是（）A．等边三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形但不一定是等边三角形9.在△ABC中，若（b﹣bcosB）sinA=a（sinB﹣sinCcosC），则这个三角形是（）A．等腰直角三角形B．底角不等于45°的等腰三角形C．等腰三角形或直角三角形D．锐角不等于45°的直角三角形10.在△ABC中，sinA•sinB＜cosA•cosB，则这个三角形的形状是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形11.△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，，则△ABC一定是（）A．直角三角形B．等边三角形C．非等边锐角三角形D．钝角三角形12.若O是△ABC所在平面内的一点，且满足，则△ABC的形状是（）A．等边三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．直角三角形13.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=（b+c）cosC，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．锐角三角形14.在△ABC中，∠ABC=30°，AB=，BC边上的中线AD=1，则AC的长度为（）A．1或B．C．D．1或15.如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10m到位置D，测得∠BDC=45°，则塔AB的高是（）（单位：m）A．10B．10C．10D．1016.如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C与D，测得∠BCD=15°，∠BDC=30°，CD=30米，并在C测得塔顶A的仰角为60°，则塔的高度AB为（）A．15米B．15米C．15（+1）米D．15米17.在△ABC中，已知AB=4，cosB=，AC边上的中线BD=，则sinA=（）A． B．C． D．18.在△ABC中，AB=AC，AC边上的中线长为9，当△ABC的面积最大时，AB的长为（）A．9 B．9C．6D．619.在△ABC中，如果cos（B+A）+2sinAsinB=1，那么△ABC的形状是．20.给出下列命题：①在△ABC中，若，则△ABC是钝角三角形；②在△ABC中，若cosA•tanB•cotC＜0，则△ABC是钝角三角形；③在△ABC中，若sinA•sinB＜cosA•cosB，则△ABC是钝角三角形；④在△ABC中，若acosA=bcosB，则△ABC是等腰三角形．其中正确的命题序号是．21.在△ABC中，点D是BC的中点，若AB⊥AD，∠CAD=30°，BC=2，则△ABC的面积为．22.在三角形ABC中，已知AB=4，AC=3，BC=6，P为BC中点，则三角形ABP的周长为．23.在△ABC中，已知=，且cos（A﹣B）+cosC=1﹣cos2C．（1）试确定△ABC的形状；（2）求的范围．24.设△ABC中的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，（a+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC．（Ⅰ）若b=2，求c边的长；（Ⅱ）求△ABC面积的最大值，并指明此时三角形的形状．25.设△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c，=，=若，共线，请按以下要求作答：（1）求角A的大小；（2）当BC=2，求△ABC面积S的最大值，并判断S取得最大值时△ABC的形状．26.如图，某炮兵阵地位于A点，两观察所分别位于C，D两点．已知△ACD为正三角形，且DC=km，当目标出现在B点时，测得∠BCD=75°，∠CDB=45°，求炮兵阵地与目标的距离．27.在数学研究性学习活动中，某小组要测量河对面C和D两个建筑物的距离，作图如下，所测得的数据为AB=50米，∠DAC=75°，∠CAB=45°，∠DBA=30°，∠CBD=75°，请你帮他们计算一下，河对岸建筑物C、D的距离？28.如图，△ABC中，∠ABC=90°，点D在BC边上，点E在AD上．（l）若点D是CB的中点，∠CED=30°，DE=1，CE=求△ACE的面积；（2）若AE=2CD，∠CAE=15°，∠CED=45°，求∠DAB的余弦值．【答案】1-5BDCDB 6-10CBACB 11-15BDAAB 16-18DAD 19.等腰三角形20.①②③21.222.7+23.解：（1）由=，可得cos2C+cosC=1﹣cos（A﹣B）得cosC+cos（A﹣B）=1﹣cos2C，cos（A﹣B）﹣cos（A+B）=2sin2C，即sinAsinB=sin2C，根据正弦定理，ab=c2，①，又由正弦定理及（b+a）（sinB﹣sinA）=asinB可知b2﹣a2=ab，②，由①②得b2=a2+c2，所以△ABC是直角三角形，且B=90°；（2）由正弦定理化简==sinA+sinC=sinA+cosA=sin（A+45°），∵≤sin（A+45°）≤1，A∈（0，）即1＜sin（A+45°），则的取值范围是（1，]．24.解：（I）由正弦定理得：（a+b）（a﹣b）=（c﹣b）c，即a2﹣b2=c2﹣bc因为a=2且b=2，所以解得：c=2．（II）由（I）知，则A=60°因为a=2，∴b2+c2﹣bc=4≥2bc﹣bc=bc，∴，此时三角形是正三角形25.解：（1）∵∥，∴sinA•（sinA+cosA）﹣=0．∴+sin2A﹣=0，即sin2A﹣cos2A=1，即sin（2A﹣）=1，∵A∈（0，π），∴2A﹣∈（﹣，），∴2A﹣=，A=．（2）由余弦定理得：4=b2+c2﹣bc，又S△ABC=bcsinA=bc，而b2+c2≥2bc⇒bc+4≥2bc⇒bc≤4，（当且仅当b=c时取等号）∴S△ABC=bcsinA=bc≤×4=．当△ABC的面积取最大值时，b=c，又A=，∴此时△ABC为等边三角形．26.解：∠CBD=180°﹣∠CDB﹣∠BCD=180°﹣45°﹣75°=60°，在△BCD中，由正弦定理，得：BD==．在△ABD中，∠ADB=45°+60°=105°，由余弦定理，得AB2=AD2+BD2﹣2AD•BDcos105°=3+（）2﹣2×××=5+2．∴AB=．27.解：在ABD中，∴，∵A+B+C=π，∴，所以a2=b2+c2﹣2bc•cosA，△ABD为为等腰三角形，即在中，∴bc=4，∴，由于∠ACB=30°，由正弦定理可得，计算得；在△ACD中，∠DAC=75°，，AD=50，根据余弦定理可得=28.解：（1）在△CDE中，CD==，解得CD=1，在直角三角形ABD中，∠ADB=60°，AD=2，AE=1，S△ACE===；（2）设CD=a，在△ACE中，=，CE==（）a，在△CED中，=，sin∠CDE===﹣1，则cos∠DAB=cos（∠CDE﹣90°）=sin∠CDE=﹣1．。

必修五解三角形数列测试题

必修五解三角形数列测试题一、填空题:1. {a n }是等差数列，且a 1+a 4+a 7=45，a 2+a 5+a 8=39，则a 3+a 6+a 9＝．2. 设函数f （x ）满足f （n+1）=2)(2nn f +（n ∈N *）且f （1）=2，则f （20）＝ . 3. 设a n =－n 2+10n+11，则数列{a n }中最大的项为． 4．已知等差数列{a n }的公差为正数，且a 3·a 7=－12，a 4+a 6=－4，则S 20＝． 5．在等差数列{a n }中，若S 9=18，S n =240，4n a -=30，则n= . 6．在ABC ∆中，若2cos sin sin 2AC B =，则ABC ∆是三角形． 7．数列{a n }满足a 1=1, a 2=32，且nn n a a a 21111=++- (n ≥2)，则a n ＝． 8．在等差数列{a n }中，a n ≠0，a n －1－2n a ＋a n ＋1＝0(n ≥2)，若S 2n －1＝38，则n ＝。

9. 已知△ABC 中，AB ＝1，BC ＝2，则角C 的取值范围是_______. 10．等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ，若n n T S =132+n n ，则1111b a=_______．11．数列}{n a 满足⎩⎨⎧>-≤≤=+)1(1)10(21n n n n n a a a a a 且761=a ,则=2010a _______。

12．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若,,a b c 成等差列,030=B ，ABC ∆的面积为23 ，则b =____.13．在△ABC 中，若B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，则△ABC 的面积是______.14．在圆225x y x +=内，过点53()22，有n 条弦的长度成等差数列，最短弦长为数列的首项1a ，最长弦长为n a ，若该数列的公差1163d ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，，则n 的取值集合为．三、解答题15．（本小题满分12分）已知数列}{n a 满足：111,2n n a a a n -=-=且.（1）求（2）求数列}{n a 的通项n a432,a a a ，16．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c ，已知向量33(cos ,sin ),22A A m = (cos ,sin ),22A An = 且满足m n += （1）求角A 的大小；（2）若,b c +=试判断ABC ∆的形状。

数学解三角形和数列填空18题

数学解三角形和数列填空题：18题，每题6分1．已知ABC V 的面积等于1，若1BC =，则当这个三角形的三条高的乘积取最大值时，sin A =______2．在圆心为O ，半径为2的圆内接ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()4222442220a a b c c b b c -++++=，则OBC ∆的面积为__________． 3．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 且,a b a c >>．ABC ∆的外接圆半径为1, a =若边BC 上一点D 满足3BD DC =u u u r u u u r ，且090BAD ∠=，则ABC ∆的面积为______4．设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2A C π-=.,,a b c 成等差数列，则cos B =________.5．已知P ，E ，G F ，都在球面C 上，且P 在EFG ∆所在平面外，PE EF ⊥，PE EG ⊥，224PE GF EG ===，120EGF ∠=o ，在球C 内任取一点,则该点落在三棱锥P EFG -内的概率为__________．6．已知O 为ABC △的外心，其外接圆半径为1，且BO BA BC u u u v u u u v u u u v λμ=+.若60ABC ∠=o ，则λμ+的最大值为__________．7．已知ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，若2A B =，则2c b b a +的取值范围为__________．8．如图，某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练，已知点A 到墙面的距离为AB ，某目标点P 沿墙面的射击线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点P ，需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小（仰角θ为直线AP 与平面ABC 所成角）。

若15,25,30AB m AC m BCM ==∠=︒，则tan θ的最大值为_______．9．数列{}n a 的前m 项为()12,,,m a a a m N *∈L ，若对任意正整数n ，有n m n a a q +=（其中q 为常数，0q ≠且1q ≠），则称数列{}n a 是以m 为周期，以q 为周期公比的似周期性等比数列，已知似周期性等比数列{}n b 的前4项为1，1，1，2，周期为4，周期公比为3，则数列{}n b 前42t +项的和等于__________.（t 为正整数）10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为3，公差为2的等差数列，若2n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则使得268n n S T +≥成立的n 的最小值为__________.11．已知12,,,n a a a ⋅⋅⋅是1,2,,n ⋅⋅⋅满足下列性质T 的一个排列（2n ≥，n *∈N ），性质T ：排列12,,,n a a a ⋅⋅⋅有且只有一个1i i a a +>（{1,2,,1}i n ∈⋅⋅⋅-），则满足性质T 的所有数列的个数()f n =________12．已知数列{}n a 中，22a =，对任意*k N ∈，2k a ，21k a +，22k a +成等差数列，公差为21k +，则101a =__．13．已知集合*{|21,}A x x n n N ==-∈，*{|2,}n B x x n N ==∈．将A B U 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为________．14．（2016安徽模拟改编）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ， 1(1)32n n n n S a n =-++-，若n a M …对任意的*n N ∈恒成立，则实数M 的取值范围是_______．15．等差数列{a n }前n 项和为S n ，公差d<0，若S 20>0,S 21<0,，当S n 取得最大值时，n 的值为_______．16．对于实数x ，[x]表示不超过x 的最大整数，已知正数列{a n }满足S n =12（a n n 1a +），n ∈N*，其中S n 为数列{a n }的前n 项的和，则[12121111S S S ++⋯+]=______． 17．已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，对任意大于2的正整数n ，记集合{},,,1i j x x a a i N j N i j n =+∈∈≤<≤的元素个数为n c ，把{}nc 的各项摆成如图所示的三角形数阵，则数阵中第17行由左向右数第10个数为___________．18．等差数列{}n a 的公差d ≠0，a 3是a 2，a 5的等比中项，已知数列a 2，a 4，1k a ，2k a，……，n k a ，……为等比数列，数列{}n k 的前n 项和记为Tn ，则2Tn ＋9=_______参考答案1．817【解析】【分析】设三条高分别为,,a b c h h h ，根据面积计算出三条高，并将三条高的乘积的最大值问题，转化为sin A 最大来求解.【详解】依题意可知1a =，三条高分别为,,a b c h h h ，根据三角形面积公式有112112112a b c ah bh ch ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，故2a h =，88a b c h h h abc bc ⋅⋅==，而1sin 12bc A =，即1sin 2A bc =，所以84sin a b c h h h A bc⋅⋅==.故当sin A 取得最大值时，三条高的乘积取得最大值.作平行于BC 且与BC 距离为2的平行直线l ，作BC 的垂直平分线AD ，交直线l 于A .过AD 上一点O 作圆O ，使圆经过,,A B C 三个点，由于由于圆外角小于圆周角，故此时BAC ∠取得最大值，也即sin BAC ∠取得最大值.在三角形ABC中，1AB AC BC ===，由余弦定理得1717115cos 1722BAC +-∠==，8sin 17BAC ∠==.即三角形的三条高的乘积取最大值时8sin 17A =.【点睛】本小题主要考查三角形的面积公式，考查余弦定理解三角形，考查同角三角函数的基本关系式，考查数形结合的数学思想方法，属于难题.2【解析】【分析】已知条件中含有22()b c +这一表达式，可以联想到余弦定理2222cos a b c bc A =+-进行条件替换；利用同弧所对圆心角为圆周角的两倍，先求出角A 的三角函数值，再求BOC ∠的正弦值,进而即可得解.【详解】 ()4222442220a a b c c b b c -++++=Q ，()()24222222220a a b c b c b c -++-∴+=，(1)L在ABC ∆中，2222222cos 2cos a b c bc A b c a bc A =+-⇒+=+代入（1）式得： ()()242222222cos 2cos 0a a a bc A a bc A b c -+++-=，整理得：211cos ,cos ,sin 42A A A =⇒=±= Q 圆周角等于圆心角的两倍，2BOC A ∴∠=，（1）当1cos 2A =时， 3A π=，23BOC π=∴∠，121sin 22232OBC S OB OC π∆∴=⋅⋅=⋅⋅=. （1）当1cos 2A =-时，23A π=，点O 在ABC ∆的外面，此时，23BOC π∠=，OBC S ∆∴= 【点睛】本题对考生的计算能力要求较高，对解三角形和平面几何知识进行综合考查.3【解析】∵△ABC 的外接圆半径R 为1，a =∴由正弦定理22sin a R A==，可得： ∵边BC 上一点D 满足BD=3DC ，且∠BAD=90°，∴A=120°，∠CAD=30°， BD=34CD=14， ∴如图，由正弦定理可得：342113sin 222b c b c =∴=∠=∠==∠，所以2229311232()42219c c c c c =+-⨯⨯-∴=所以13122219ABC S c c ∆=⨯⨯==4．34【解析】分析：根据三角形内角和定理及其关系，用∠C 表示∠A 与∠B ；根据a ，b ，c 成等差，得到2b a c =+，利用正弦定理实现边角转化．得到关于∠C 的等式；由cos cos 2sin 22B C C π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭即可得到最后的值．详解：A B C π++= ;2A C π-= 所以2A C π=+ ,22B C π=- 同取正弦值，得sin sin()cos 2A C C π=+=sin sin(2)cos 22B C C π=-= 因为a ，b ，c 成等差，所以2b a c =+ ，由正弦定理，边化角 2cos2cos sin C C C =+ ，根据倍角公式展开()()2cos sin cos sin cos sin C C C C C C +-=+ 所以1cos sin 2C C -=，等式两边同时平方得 ()21cos sin 4C C -= ，化简32sin cos 4C C = ，即3sin 24C =而3cos cos 2sin 224B C C π⎛⎫=-== ⎪⎝⎭点睛：本题考查了三角函数正弦定理的应用，三角函数求值中各个边角转化和角的形式变化，需要熟练掌握各个式子的相互转化，属于难题．5．32π. 【解析】分析：根据△GEF 中的边角数值，可以求出△GEF 的面积；因为PE EF ⊥，PE EG ⊥，所以可以求得143P GEF V -==。

千题百炼- 三角恒等与解三角形综合必刷大题100题(原卷版)

专题11 三角恒等与解三角形综合必刷大题100题任务一:善良模式(基础)1-40题1．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，角A 、B 、C 的度数成等差数列，b = （1）若3sin 4sin C A =，求c 的值；（2）求a c +的最大值．2．已知函数()22sin cos 6f x x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．（1）求()f x 的最小正周期；（2）当,44x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，求()f x 的值域．3．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且222sin b A c a +=. （1）求角A ；（2）若a =2tan tan tan a b cA B C=+，求ABC 的面积.4．在ABC 中，120BAC ∠=︒，sin ABC ∠=D 是CA 延长线上一点，且24AD AC ==. （1）求sin ACB ∠的值；（2）求BD 的长.5．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2222sin sin sin b c a B Abc C +--=．．1．求角C 的值；（2）若4a b +=，当边c 取最小值时，求ABC 的面积．6．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知2cos c b b A -=⋅.（1）若a =3b =，求c ；（2）若角2C π=，求角B .7．已知△ABC 中，C ∠为钝角，而且8AB =，3BC =，AB （1）求B 的大小；（2）求cos 3cos AC A B +的值.8．在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且()sin cos 0a B B C ++=．（1）若sin 2a A b =，求sin B ；（2）若a =2sin sin B C =，求ABC 的面积．9．在ABC 中，三内角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c ，cos cos 2cos 0b C c B A ++=，且1a =. （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若ABC ABC 的周长.10．已知函数()()()cos sin f x x x x x =∈R . （1）求()f x 的最小正周期和单调增区间；（2）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若2B f ⎛⎫= ⎪⎝⎭6b =，求ABC 的面积的取值范围.11．在ABC 中，角、、A B C 所对的边分别是a b c 、、，且2B A C =+，b = （1）若3sin 4sin C A =，求c 的值；（2）求a c +的最大值12．在ABC 中，已知2cos S bc A =，其中S 为ABC 的面积，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边. （1）求角A 的值；（2）若6tan 5B =，求sin 2C 的值.13．已知ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足3sin c a B =，cos B =，（．）求证：4A π=；（．）若边AB 上中线CD ABC 的面积．14．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c sin (2cos )A a B =+．（1）求B ；（2）若△ABC △ABC 的周长的最小值．15．已知平面向量(sin cos ,2sin )a x x x =+，(sin cos ,)b x x x =-，函数()(R)f x a b x =⋅∈．（1）求()f x 的最小正周期及单调递减区间；（2）若(0,)m π∈，223m f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，求sin m 的值．16．在ABC 中，4ABC π∠=，D 是边BC 上一点，且5AD =，3cos 5ADC ∠=.（1）求BD 的长；（2）若ABC 的面积为14，求AC 的长.17．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知(2)cos cos 0a c B b A ++=．（1）求B ；（2）若4b =，求ABC 的面积的最大值．18．如图，在ABC ∆中，2AC =，3A π∠=，点D 在线段AB 上.（1）若1cos 3CDB ∠=-，求CD 的长；（2）若2AD DB =，sin ACD BCD ∠=∠，求ABC ∆的面积.19．已知△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()2cos cos cos A b C c B a +=．（1）求角A ；（2）在ABC 中，D 为BC 边上一点，且()12AD AB AC =+，2AD =，求ABC 面积的最大值．20．已知函数()21sin sin 22f x x x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值.21．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin sin 2sin cos 0A B C B --=. （1）求内角C 的大小；（2）若ABC ∆的周长为6+c 的长度.22．ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足 ()()cos 2cos b A c a B π=+-. (1)求角B 的大小;(2)若b =ABC ∆a c +的值.23．已知函数()23sin cos f x x x x =x ∈R . （1）求函数()f x 的最小正周期;（2）若2a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，263a ππ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，求3cos 2a π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.24．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足sin 4sin b B a A =，()2222bc b a c =--.（1）求角B 的大小；（2）求()sin 2A B -的值.25．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为,,,cos 23cos()1a b c C A B ++=. (1)求角C ；(2)若2c =，求ABC 面积的最大值.26．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 满足cos cos 2cos ca Bb A C+=，且BC 边上一点P 使得PA PC =. （1）求角C 的大小；（2）若3PB =，sin BAP ∠=ABC 的面积.27．已知向量()2cos ,sin a x x =,()cos ,b x x =-,且()1f x a b =⋅-． (1)求()f x 的单调递增区间；(2)先将函数()y f x =的图象上所有点的横坐标缩小到原来的12倍(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移12π个单位,得到函数()y g x =的图象,求方程()1g x =在区间0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上所有根之和．28．已知函数443()2sin cos 224x x f x x =++-. （1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上对称轴、对称中心及其最值.29．函数()()2sin f x A x ωϕ=+（0A >，0>ω，02πϕ<<），且()y f x =的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点()1,2. （1）求ϕ；（2）计算()()12f f ++…()2019f .30．设函数2()sin(2)2cos 16f x x x π=-+-．（Ⅰ）当[0,]2x π∈时，求函数()f x 的值域；（Ⅱ）ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且1()2f A =，2223a b =，1c =，求ABC ∆的面积．31．已知通数()cos()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的图像经过点1,62π⎛⎫- ⎪⎝⎭，图像与x 轴两个相邻交点的距离为π．（．）求()f x 的解析式：（．）若335f πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，求sin θ的值．32．已知向量()3sin ,2cos a x x =-，()2cos ,cos b x x =，函数()1()f x a b x =⋅+∈R ．（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对边的长分别是a 、b 、c ，若()2f A =，4C π，2c =，求ABC∆的面积ABC S ∆.33．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足：()2222sin sin b c a C c B +-=.（．）求角A 的大小；（Ⅱ）若1a =，求b c +的最大值.34．在①ABC ∆面积2ABC S ∆=，②6ADC π∠=这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，求AC .如图，在平面四边形ABCD 中，34ABC π∠=，BAC DAC ∠=∠，______，24CD AB ==，求AC .35．在①sinsin 2A Bb c B +=)cos sin c A b a C -=-，③cos cos cos c a b C A B+=+这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足________. （1）求C ；（2）若ABC 的面积为AC 的中点为D ，求BD 的最小值.36．在①22cos a b c B -=（A +B ）＝1+22sin 2C这两个条件中选一个，补充在下面的横线处，然后解答问题．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设△ABC 的面积为S ，已知___．（1）求角C 的值；（2）若b ＝4，点D 在边AB 上，CD 为∠ACB 的平分线，△CDB ，求边长a 的值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.37．在①2cos (cos cos )A c B b C a +=，②222sin sin sin sin sin B C A B C +-=cos b cC C a++=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．问题：在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且________．（1）求角A ；（2）若O 是ABC 内一点，120AOB ∠=︒，150AOC ∠=︒，1b =，3c =，求tan ABO ∠．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 38．在①cos cos 2B b C a c=-+，②sin sin sin A b cB C a c +=-+，③23S BA BC =⋅三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且______，若2a =，4c =，求AC 边上的垂线长.39．在．cos cos 2B b C a c=-+，．sin sin sin A b cB C a c +=-+，．2S BC =⋅三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且______，7b =，5c =，求a 的值.40．记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．请在下列三个条件中任选一个作为已知条件，解答问题．①()sin sin()sin a c A c A B b B -++=；②2S AB CB =⋅（其中S 为ABC 的面积）；③sin cos c B C -=．（1）若4,3b ac ==，求a c +的值；c ，求a的取值范围．（2）若ABC为锐角三角形，且2任务二:中立模式(中档)1-40题1．在．2sin tan a B b A =；．cos sin b a C A =；．()22222cos a c b bc A +-=-三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.问题：已知ABC 的内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且a =___________. （1）求角A 的大小；（2）求ABC 面积的最大值.2．已知函数2()2cos 1cos (01)f x x x x ωωωω=-+<<，直线3x π=是函数()f x 的图象的一条对称轴．（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）令()22263g x f x f x m ππ⎛⎫⎛⎫=-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若12,x x 是函数()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的零点，求()12cos x x +的值.3．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c sin cos c B C +=. （1）求角B 的大小；（2）若b =D 为AC 边上一点，1BD =，且___________，求ABC 的面积.（从①BD 为ABC ∠的平分线，②D 为AC 的中点，这两个条件中任选一个补充在上面的横线上并作答）4．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设ABC 面积的大小为S 32AB AC S ⋅=. （1）求A 的值；（2）若ABC 的外接圆直径为1，求22b c +的取值范围.5．在ABC 中，1a =，2b =．（1）若边c =ABC 的面积S ；（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使ABC 存在且唯一确定，并求出sin A ． ①2B A =； ②π3A B +=； ③2C B =6．已知(1,2)m x ω=，2(2sin 1,cos )n x x ωω=-，令().f x m n =⋅其中01ω<<，满足()43f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭. （1）求()f x 的解析式；（2）在锐角ABC 中，角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，()1f B =且1c =，求ABC 的面积的取值范围．7．在①()()()sin sin sin sin A B a b C B c +-=-，②sin sin 2B C b a B +=，③2tan tan tan B bA B c=+中任选一个，补充在横线上，并回答下面问题．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且________．（1）求角A 的大小；（2）已知2AB =，D 为AB 中点，且2CD ab =，求ABC 面积．8．如图，D 是直角ABC 斜边上一点（不含端点），AB AD =，记BAD ∠=α，ADC β∠=．（1sin 2αβ-的最大值；（2）若AC =，求角β的值．9．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，点M 在边BC 上，已知2cos 2a C b c =+．（1）求A ；（2）若AM 是角A 的平分线，且2AM =，求ABC 的面积的最小值．10．1.已知a ，b ，c 分别是ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，()()3cos cos 4cos cos a b A a B c A a C c +=+，再从下面条件①与②中任选1个作为已知条件，完成以下问题．（1）证明：ABC 为锐角三角形；（2）若8CA CB ⋅=，CD 为ABC 的内角平分线，且与AB 边交于D ，求CD 的长． ①2cos 3C =；②1cos 9A =．11．在①2cos (cos cos )A c B b C a +=cos b cC C a++=这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．问题：在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且________．（1）求角A ；（2）若O 是ABC 内一点，120,150,1,3∠=︒∠=︒==AOB AOC b c ，求tan ABO ∠．12．在“①2cos a B c =；②(),m a c b =-，(),n c b a b =++，//m n ”这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行求解.问题：在ABC 中，a ，b ，c 分别是三内角A ，B ，C 的对边，已知4b =，D 是AB 边上的点，且3AD DB =，()211sin sin 2cos sin224C A B C -=+，若_______________，求CD 的长度.13．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin sin 2sin B C A +=，3sin 4sin =b C c A ，点D 在射线AC 上，满足cos 2cos ABD B ∠=. （1）求ABD ∠；（2）设ABD ∠的角平分线与直线AC 交于点E ，求证：111BA BD BE+=.14．在ABC 中，内角、、A B C 所对边分别为a b c 、、，若2222sin sin sin cos cos C A B A B -=++. （1）求C ；（2）若ABC 为锐角三角形，且4b =，求ABC 面积的取值范围.15．在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a =cos (cos )+-C B B cos 0A =.（1）求角A 的大小；（2）求2b c +的取值范围.16．已知ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，7cos 25c B a b =-. （1）求cos C ；（2）若点A ，B 是函数()2sin 133f x x ππ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象在某个周期内的最高点与最低点，求ABC 面积的最大值.17．在平面四边形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝CD ＝2，AD ＝3．（1）证明：3cos A －4cos C ＝1；（2）记△ABD 与△BCD 的面积分别为S 1，S 2，求S 12＋S 22的最大值．18．在锐角ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos cos c b a B b A -=-. （1）求角A 的大小；（2）若1a =，求ABC 周长的范围.19．在．cos cos 2B b C a c -=+，．sin sin sin A b cB C a c+=-+，．2S BC =⋅三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且______，若2a =，4c =，AB 边上的中垂线交AC 于D 点，求BD 的长.20．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且满足2a =，()cos 2cos a B c b A =-．（1）求角A 的大小；（2）求ABC 周长的范围．21．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos 2b cC a-=．（1）求角A 的大小；（2）若ABC 的周长为6，求ABC 面积S 的最大值．22．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin sin 2A Bc B b +=．（1）求角C 的大小；（2）若8b =，cos B D 为边BC 上一点，且7AD =，求BD DC 的值．23．如图，在ABC 中，AB AC >，AD 、AE 分别为BC 边上的高和中线，4=AD ，3DE =（1）若90BAC ∠=︒，求AB 的长；（2）是否存在这样的ABC ，使得射线AE 和AD 三等分BAC ∠?24．已知函数2())2sin 1,(0,0)2x f x x ωϕωϕωϕπ+⎛⎫=++-><< ⎪⎝⎭为奇函数，且()f x 图像相邻的对称轴之间的距离为2π（1）求函数()f x 的解析式及其减区间；（2）在ABC 中，角A 、B 、C 对应的边为a 、b 、c ，且a =26f A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭ABC 的周长的取值范围．25．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，满足sin (1cos )3sin cos cos sin B C A C A C +=+ 且π2C ≠. （1）求证：2b a =；（2）若2c =，求ABC 的面积的最大值.26．在ABC 中，AC AB >，31cos 32A =，8AB =.（1）若ABC S =△BC ；（2）若()1cos 8B C -=，求ABC S ∆.27．1.已知向量()cos ,sin m x x →=，()cos x n x →=，设()12f x m n →→=⋅-，π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（1）求()f x 的值域；（2）若方程()23f x =有两个不相等的实数根1x ，2x ，求()12cos x x +，()12cos x x -的值.28．如图，ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，c =，且cos (2)cos -=-a c B c b C .（1）求角C 的大小；（2）在ABC 内有点M ，CMA CMB ∠=∠，且3BM AM =，直线CM 交AB 于点Q ，求cos CQA ∠.29．已知,,a b c 分别为ABC 三个内角,,A B C 的对边，且满足22,c a ab =+记ABC 的面积为S. （1）求证：2C A =；（2）若ABC 为锐角三角形，4b =，且S λ<恒成立，求实数λ的范围.30．已知a ，b ，c 分别是ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，从下面条件①与②中任选一个作为已知条件，并完成下列问题：（1）求B ；（2）若4AC =，求ABC 的周长的最大值．条件①：cos (2)cos 0b C a c B --=；条件②：()(sin sin )()sin a b A B a c C +-=-．注：如果选择不同的条件分别解答，按照第一种选择的解答计分． 31．在①cos cos 2B b C a c =-+，②sin sin sin A b cB C a c+=-+，③23S BA BC =⋅三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且______，BD 是ABC ∠的平分线交AC 于点D ，若1BD =，求4a c +的最小值.32．在①cos cos 2B b C a c=-+，②sin sin sin A b cB C a c +=-+，③23S BA BC =⋅三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且______，作AB AD ⊥，使得四边形ABCD 满足3ACD π∠=，AD =ACDS的最值33．在．cos cos 2B b C a c=-+，．sin sin sin A b c B C a c +=-+，．2S BC =⋅三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且______，若b =2-c a 的取值范围.34．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22cos c a b A -=，3b =.（1）求B 的大小；（2）若a =ABC 的面积；（3）求ac a c+的最大值.35．如图，在四边形ABCD 中，34ABC π∠=，AB AD ⊥，AB =（1）若AC =ABC ∆的面积；（2）若6ADC π∠=，CD =AD 的长.36．在．cos cos 2B b C a c=-+，．sin sin sin A b c B C a c +=-+，．2S BC =⋅三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且______，求a c b+的取值范围.37．在ABC 中，a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 的对边，且()()2sin 2sin 2sin a A b c B c b C =+++．（1）求A 的大小；（2）若sin sin 1B C +=，试判断ABC 的形状；（3）若3a =，求ABC 周长的最大值．38．如图，在四边形ABCD 中，2D B ∠=∠，且1AD =，3CD =，cos B =（1）求AC 的长；（2）求四边形ABCD 面积的最大值.39．现给出三个条件：①a sin 2A C +＝b sin A ，②a cos C ＋c cos A ＝2b cosB ，③2c －a ＝2b cos A .从中选出一个补充在下面的问题中，并解答问题．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，________．（1）求角B 的大小；（2）若b ＝2，求△ABC 周长的取值范围．40．目前，中国已经建成全球最大的5G 网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到5G 基站的身影.如图，某同学在一条水平公路上观测对面山项上的一座5G 基站AB ，已知基站高50m AB =，该同学眼高1.5m （眼睛到地面的距离），该同学在初始位置C 处（眼睛所在位置）测得基站底部B 的仰角为37°，测得基站顶端A 的仰角为45°．（1）求出山高BE （结果保留整数）；（2）如图，当该同学面向基站AB 前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位置M 处（眼睛所在位置）到基站AB 所在直线的距离m MD x =，且记在M 处观测基站底部B 的仰角为α，观测基站顶端A 的仰角为β.试问当x 多大时，观测基站的视角AMB ∠最大?参考数据：sin80.14︒≈，sin370.6︒≈，sin 450.7︒≈，sin1270.8︒≈．任务三:邪恶模式(困难)1-20题1.ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD △面积是ADC 面积的2倍．（1）求sin sin B C∠∠的值；（2）从①1AD =，②DC =cos C =这三个条件中选择两个条件作为已知，求BD 和AC 的长．2．已知函数()()1sin sin cos 2f x x x x ωωω=+-（0>ω）图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π．（1）求()f x 的单调递增区间以及()f x 图象的对称中心坐标；（2）是否存在锐角α，β，使2π23αβ+=，3ππ222f f αβ⎛⎫⎛⎫+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭α，β的值；若不存在，请说明理由．3．已知函数()2()2sin 1(0,0 )2x f x x ωϕωϕωϕπ+⎛⎫++-><< ⎪⎝⎭为奇函数，且()f x 图象的相邻两对称轴间的距离为 2π. （1）求()f x 的解析式与单调递减区间；（2）将函数()f x 的图象向右平移 6π个单位长度，再把横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，当 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求方程()22()30g x x +-=的所有根的和.4．已知函数()sin (0)f x x x ωωω=>.（1）当03ω<<时，函数()()3y f x f x πω=--的图象关于直线512x π=对称，求()f x 在[]0,π上的单调递增区间；（2）若()f x 的图像向右平移3π个单位得到的函数()g x 在[,]2ππ上仅有一个零点，求ω的取值范围．5．在平面四边形ABCD 中，3AB =，5AD =，120BAD ∠=︒，60BCD ∠=︒（1）求BD 的长；（2）求AD BC AB CD ⋅+⋅的最大值．6．在．cos cos 2B b C a c=-+，．sin sin sin A b c B C a c +=-+，．2S BC =⋅三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且______，作AB AD ⊥，使得四边形ABCD 满足3ACD π∠=，AD = 求BC 的取值范围.7．已知A ∠是ABC 的内角，函数()()3cos sin 2f x x x A π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的最大值为14．（1）求A ∠的大小；（2）若()()124g x f x ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，关于x 的方程()()2410g x m g x -+=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦在,33x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭内有两个不同的解，求实数m 的取值范围．8．如图，有一景区的平面图是一个半圆形，其中O 为圆心，直径AB 的长为2km ，C ，D 两点在半圆弧上，且BC CD =，设COB θ∠=；（1）当π12θ=时，求四边形ABCD 的面积. （2）若要在景区内铺设一条由线段AB ，BC ，CD 和DA 组成的观光道路，则当θ为何值时，观光道路的总长l 最长，并求出l 的最大值.9．某校要在一条水泥路边安装路灯，其中灯杆的设计如图所示，AB 为地面，CD ，CE 为路灯灯杆，CD AB ⊥，2π3DCE ∠=，在E 处安装路灯，且路灯的照明张角π3MEN ∠=，已知4CD =m ，2CE =m ．（1）当M ，D 重合时，求路灯在路面的照明宽度MN ；（2）求此路灯在路面上的照明宽度MN 的最小值．10．已知向量1(sin ,1),3cos ,2m x n x ⎛⎫==- ⎪⎭．令函数()()f x m n m =+⋅．（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；（2）ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ACB ∠的角平分线交AB 于D ．其中，函数()f C 恰好为函数()f x 的最大值，且此时()CD f C =，求3a b +的最小值．11．如图，在四边形ABCD 中，CD =BC =cos 14CBD ∠=.（1）求BDC ∠；（2）若3A π∠=，求ABD △周长的最大值.12．已知函数()cos 14f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭. （1）当,88x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域；（2）是否同时存在实数a 和正整数n ，使得函数()()g x f x a =-在[]0,x n π∈上恰有2021个零点？若存在，请求出所有符合条件的a 和n 的值；若不存在，请说明理由.1360°的扇形的弧上任取一点P ，作扇形的内接矩形PNMQ ，使点Q 在OA 上，点N ，M 在OB 上，设矩形PNMQ 的面积为y .（1）按下列要求写出函数的关系式：①设PN ＝x ，将y 表示成x 的函数关系式；②设△POB ＝θ，将y 表示成θ的函数关系式；（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，求出y 的最大值.14．如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，2AB =，5CD =，23ABC π∠=．(1)若AC =ABCD 的面积；(2)若AC BD ⊥，求tan ABD ∠．15．已知a ，b ，c 是ABC 的内角A ，B ，C 的对边，且ABC 的面积214S c =.（1）记(2,1)m c =，(2,cos )n a B =-，若//m n . （i ）求角C ，（ii ）求a b的值；（2）求a b的取值范围.16．如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池ABCD 的池底水平铺设污水净化管道（Rt FHE ∆三条边，H 是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好.要求管道的接口H 是AB 的中点，,E F 分别落在线段,BC AD 上，已知20AB =米，AD =BHE θ∠=.(1)试将污水净化管道的总长度L （即Rt FHE ∆的周长）表示为θ的函数，并求出定义域；(2)问θ取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的总长度.17．某房地产开发商在其开发的某小区前修建了一个弓形景观湖．如图，该弓形所在的圆是以AB 为直径的圆，且300AB =米，景观湖边界CD 与AB 平行且它们间的距离为A 点出发建一座景观桥（假定建成的景观桥的桥面与地面和水面均平行），桥面在湖面上的部分记作PQ ．设2AOP θ∠=．（1）用θ表示线段,PQ 并确定sin 2θ的范围；（2）为了使小区居民可以充分地欣赏湖景，所以要将PQ 的长度设计到最长，求PQ 的最大值．18．随着生活水平的不断提高，人们更加关注健康，重视锻炼，“日行一万步，健康一辈子”.通过“小步道”，走出“大健康”，健康步道成为引领健康生活的一道亮丽风景线.如图，A B C A ---为某市的一条健康步道，AB ，AC 为线段，BC 是以BC 为直径的半圆，AB =，4km AC =，6BAC π∠=.（1）求BC 的长度；（2）为满足市民健康生活需要，提升城市品位，改善人居环境，现计划新增健康步道A D C --（B ，D在AC 两侧），AD ，CD 为线段.若3ADC π∠=，A 到健康步道B C D --的最短距离为，求D 到直线AB 距离的取值范围.19．已知函数()21cos 2sin 222xxxf x ωωω=+-（0>ω）在一个周期内的图象如图所示，A 为()f x 图象的最高点，B ，C 为()f x 图象与x 轴的交点，且ABC 为等腰直角三角形.（1）求ω的值及函数()f x 的值域；（2）若()85f α=，且84,33α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，求()1f α+的值；（3）已知函数()y g x =的图象是由()y f x =的图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍，然后再向左平移1个单位长度得到的，若存在()0,2x ∈，使()()24g 12g x a x ⎡⎤+=⋅-⎣⎦成立，求a 的取值范围.20．已知△ABC 中，函数3()cos()sin()2f x x A x π=+⋅-的最大值为14. （1）求△A 的大小；（2）若1()2(())4g x f x =+，方程24[()][()]10g x m g x -+=在[,]33x ππ∈-内有两个不同的解，求实数m 取值范围.。

数列解三角(含详细答案)

数列解三角形1．△ABC AB=，ABC 的面积等于（） A ．B ．C ．D ．2．在ABC ∆中，若 A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形3．在△ABC 中，如果lga ﹣lgc=lgsinB=﹣lg ，并且B 为锐角，则△ABC 的形状是（） A ．等边三角形B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形4．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若bcosC+ccosB=asinA ，则△ABC 的形状为（） A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．不确定 5．已知等差数列}{n a 中，那么=+)cos(53a a . 6．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若832S =,则2562a a a ++=． 7．在等差数列{a n }中，a 1=﹣9，S 3=S 7，则当前n 项和S n 最小时，n=． 8．各项均为正数的等差数列中，，则前12项和的最小值为．9．等比数列{a n }的前4项和为4，前12项和为28，则它的前8项和是（） A ．﹣8 B ．12 C ．﹣8或12 D ．810．等比数列{}n a 的前n 项和22n n S a a =⋅+-，则a =________．11．已知数列{}n a 满足1331(*,2)n n n a a n N n -=+-∈≥,且15a =，则n a =．12．设数列{}n a 的各项都是正数，且对任意n *∈N ，都有242n n n S a a =+，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和，则数列{}n a 的通项公式为n a =．13．已知数列{n a }的前n 项和为n S ，且，若<t n S 对任意*n N ∈都成立，则t 的取值范围为．14．（2013•新课标Ⅱ）等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10=0，S 15=25，则nS n 的最小值为．15．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2﹣b 2=bc ，sinC=2sinB ，则A=．{}n a 3694=a a 12S16．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1+a 7=﹣9，S 9=﹣．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n =，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n ＞﹣．17．锐角ABC ∆中，角C B A 、、的对边分别是c b a 、、，已知（Ⅰ）求C sin 的值；（Ⅱ）当2=a ，C A sin sin 2=时，求b 的长及ABC ∆的面积． 18．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且，（1）求角B 的大小；（2）若，求△ABC 的面积．参考答案1．D 【解析】试题分析：由AB ，AC 及cosB 的值，利用余弦定理即可列出关于BC 的方程，求出方程的解即可得到BC 的长，然后利用三角形的面积公式，由AB ，BC 以及sinB 的值即可求出△ABC 的面积．解：由AB=，AC=1，cosB=cos30°=，根据余弦定理得：AC 2=AB 2+BC 2﹣2AB ×BCcosB ，即1=3+BC 2﹣3BC ，即（BC ﹣1）（BC ﹣2）=0，解得：BC=1或BC=2，当BC=1时，△ABC 的面积S=AB ×BCsinB=××1×=；当BC=2时，△ABC 的面积S=AB ×BCsinB=××2×=，所以△ABC 的面积等于或．故选D考点：解三角形． 2．B 【解析】试题分析：由三角恒等变换得，又C B A --=π，所以)cos(cos C B A +-=，即io o s s ，也即1C)-cos(B sinBsinC cos cos ==+C B ，所以C B =，三角形C AB 为等腰三角形.正确选项为B.考点：三角恒等变换.是三角形C AB 的内角，所以满足转换为A ，即利用二倍角公式将A cos 利用转化为求角了，在转化时一定要注意符号. 3．D 【解析】试题分析：由已知的条件可得=，sinB=，从而有 cosB==，故 C=，A=，故△ABC 的形状等腰直角三角形．解：在△ABC 中，如果lga ﹣lgc=lgsinB=﹣lg ，并且B 为锐角，∴=，sinB=，∴B=，c=a ，∴cosB==，∴C=，A=，故△ABC 的形状等腰直角三角形，故选D ．考点：三角形的形状判断；对数的运算性质． 4．A 【解析】试题分析：根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，利用两角和公式化简求得sinA 的值进而求得A ，判断出三角形的形状．解：∵bcosC+ccosB=asinA ，∴sinBcosC+sinCcosB=sin （B+C ）=sinA=sin 2A ， ∵sinA≠0， ∴sinA=1，A=，故三角形为直角三角形，故选：A ．考点：三角形的形状判断．5【解析】试题分析：，故，，故考点：等差数列的性质．6．16 【解析】试题分析：由328=S 有32)(454=+a a ,得854=+a a ,故16)(2254652=+=++a a a a a .考点：等差数列 7．5 【解析】试题分析：利用等差数列的前n 项和公式与数列的单调性即可得出．解：设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 1=﹣9，S 3=S 7， ∴3×（﹣9）+d=7×（﹣9）+d ，解得d=2．∴a n =﹣9+2（n ﹣1）=2n ﹣11，由a n ≤0，解得n≤5．∴当前n 项和S n 最小时，n=5．故答案为：5．考点：等差数列的前n 项和．8．78 【解析】试题分析：考点：等差数列求和及等差数列的性质；基本不等式的应用． 9．B 【解析】试题分析：设等比数列{a n }的公比为q ，则q≠1．由于前4项和为4，前12项和为28，可得=4，=28．解得q 4，即可得出．解：设等比数列{a n }的公比为q ，则q≠1． ∵前4项和为4，前12项和为28， ∴=4，=28．则q 8+q 4+1=7，解得q 4=2．则它的前8项和S 8===4×3=12．故选：B ．考点：等比数列的前n 项和． 10．1 【解析】试题分析：由题意，得112232a S a a a ==+-=-．因为111222n n n n n n a S S a a a ---=-=⋅-⋅=⋅，又数列{}n a 为等比数列，所以1a 满足12n n a a -=⋅，所以11322a a --=⋅，解得1a =．考点：递推数列．【一题多解】由等比数列的前n (2)0a a +-=，解得1a =．11【解析】试题分析：)2(1331≥-+=-n a a n n n ①，13311-+=∴++n n n a a ②，则112332⨯⨯=-a a ，223342⨯⨯=-a a ， 334352⨯⨯=-a a ，⋅⋅⋅，113)1(2--⋅+=-n n n n a a ，上述式子相加，得]3)1(2353433[21321-⋅++⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯=-n n n a a ，则=-)(31aa n ]3)1(232353433[21432n n n n ⋅++⋅+⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯-，两式相减除以2，得n n n n a a 2)1()3333(914321⋅+-+⋅⋅⋅++++=--，即考点：1．由数列的递推式求通项；2．累加法；3．错位相减法．12．2n 【解析】试题分析：当1n =时，由21111420S a a a =+>，，得12a =，当2n ≥时，由()()2211144422n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+-+，得()()1120n n n n a a a a --+--=，因为10n n a a -+>，所以12n n a a --=，故()2122n a n n =+-⨯=．考点：数列递推式．【思路点睛】本题考查数列的通项公式及前n 项和的求法，注意解题方法的积累；在解答过程中采用数列的递推式11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，当1n =时，得12a =；当2n ≥时，由1444n n n a S S -=-，得12n n a a --=，从而可得结论．13【解析】以n t S >可得考点：1．数列求和；2．不等式恒成立 14．﹣49 【解析】试题分析：由等差数列的前n 项和公式化简已知两等式，联立求出首项a 1与公差d 的值，结合导数求出nS n 的最小值．解：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， ∵S 10=10a 1+45d=0，S 15=15a 1+105d=25， ∴a 1=﹣3，d=， ∴S n =na 1+d=n 2﹣n ，∴nS n =n 3﹣n 2，令nS n =f （n ），∴f′（n ）=n 2﹣n ，∴当n=时，f （n ）取得极值，当n ＜时，f （n ）递减；当n ＞时，f （n ）递增；因此只需比较f （6）和f （7）的大小即可．f （6）=﹣48，f （7）=﹣49，故nS n 的最小值为﹣49．故答案为：﹣49．考点：利用导数研究函数的极值；等差数列的前n 项和；等差数列的性质． 15．30° 【解析】试题分析：已知sinC=2sinB 利用正弦定理化简，代入第一个等式用b 表示出a ，再利用余弦定理列出关系式，将表示出的c 与a 代入求出cosA 的值，即可确定出A 的度数．解：将sinC=2sinB 利用正弦定理化简得：c=2b ，代入得a 2﹣b 2=bc=6b 2，即a 2=7b 2， ∴由余弦定理得：cosA===，∵A 为三角形的内角， ∴A=30°．故答案为：30°考点：正弦定理．16．（Ⅰ）﹣（Ⅱ）证明见解析【解析】试题分析：（I）设数列{a n}的公差为d，由于a1+a7=﹣9，S9=﹣，利用等差数列的通项公式及前n项和公式可得，解出即可；（Ⅱ）利用等差数列的前n项和公式可得S n=，于是b n=﹣=﹣，利用“裂项求和”及“放缩法”即可证明．（Ⅰ）解：设数列{a n}的公差为d，∵a1+a7=﹣9，S9=﹣，∴，解得，∴=﹣．（Ⅱ）证明：∵S n==，∴b n==﹣=﹣，∴数列{b n}的前n项和为T n=﹣+…+==．∴T n＞﹣．考点：数列的求和；等差数列的性质．17．【解析】试题分析：(I)根据二倍角公式得2cos 212sin C C =-，即可求得C sin 的值；（II ）先由正4c =，再根据余弦定理求出，从而求得ABC 的面积.，解得c 4=．由余弦定理222c a b 2abcosC =+-，得考点：利用正、余弦定理解三角形.18．（1）（2【解析】试题分析：（1）根据正弦定理表示出a ，b 及c ，代入已知的等式，利用两角和的正弦函数公式及诱导公式变形后，根据sinA 不为0，得到cosB 的值，由B 的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出角B 的度数；（2）由（1）中得到角B 的度数求出sinB 和cosB 的值，根据余弦定理表示出b2，利用完全平方公式变形后，将b ，a+c 及cosB 的值代入求出ac 的值，然后利用三角形的面积公式表示出△ABC 的面积，把ac 与sinB 的值代入即可求出值．解：（1）由正弦定理得：a=2RsinA ，b=2RsinB ，c=2RsinC ，将上式代入已知，即2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0，即2sinAcosB+sin （B+C ）=0， ∵A+B+C=π，∴sin （B+C ）=sinA ，∴2sinAcosB+sinA=0，即sinA （2cosB+1）=0， ∵sinA≠0，∴，∵B为三角形的内角，∴；（II）将代入余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB得：b2=（a+c）2﹣2ac﹣2accosB，即，∴ac=3，∴．考点：解三角形．。

数列与三角函数练习题(有答案)

数列与三角函数练习题一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.在公差不为零的等差数列{a n}中，a1=1，a5是a2，a14的等比中项，则数列{a n}前7项和S7=()A. 13B. 49C. 26D. 27−12.已知函数f(x)=sin2x−cos2x，则()A. f(x)的最小正周期为π2B. 曲线y=f(x)关于(3π8,0)对称C. f(x)的最大值为2D. 曲线y=f(x)关于x=3π8对称3.已知扇形的圆心角为60°，面积为π6，则该扇形的半径为()A. 1B. 2C. 3D. 44.已知sinθ⋅tanθ<0，那么角θ是()A. 第一或第二象限角B. 第二或第三象限角C. 第三或第四象限角D. 第一或第四象限角5.若△ABC为钝角三角形，则cos A cos B cos C的值()A. 恒为正B. 恒为负C. 等于0D. 不能确定6.已知弧度数为2π3的圆心角所对的弦长为2√3，则这个圆心角所对的弧长是()A. 2π3B. 4π3C. 2√3π3D. 4√3π37.已知α是第二象限的角，那么α2是第几象限的角()A. 第一、二象限角B. 第二、三象限角C. 第一、三象限角D. 第三、四象限角8.已知tanα=2，π<α<3π2，则sinα+cosα=()A. −3√55B. −√55C. −√5D. √55二、填空题（本大题共1小题，共5.0分）9.函数f(x)=2sinx+3cosx的最小值为______．三、解答题（本大题共11小题，共132.0分）10.正项等比数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，S2+4S4=S6．(1)求{a n}的通项公式；(2)求数列{a n+n}的前n项和T n．11.在等差数列{a n}中，a1+a6=9，a2+a7=11．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)已知数列{a n+b n}是首项为2，公比为2的等比数列，求数列{b n}的前n和S n．12.已知数列{a n}，S n是其前n项和，且满足3a n=2S n+n(n∈N∗)，b n=a n+12．(1)求证：数列{b n}为等比数列；(2)若c n=2n⋅b n，求数列{b n}的前n项和T n．13.已知{a n}是递增的等差数列，a3=5，a1，a4−a2，a8+a1成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n=3a n a n+1，求数列{b n}的前n项和S n，并证明S n<32．14.已知函数f(x)=cos(2x+π3)．(1)求函数y=f(x)的对称轴方程；(2)求函数f(x)在区间[−π12,π2]上的最大值和最小值．15.已知函数f(x)=cos2x−sin2x−2√3sinxcosx(x∈R)．(1)求f(π6)的值；(2)求f(x)的最小正周期及单调递减区间．16.设函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A,ω,φ为常数，且A>0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示．(1)求函数f(x)的表达式；(2)当aϵ[−π12,5π12]时，求f(a)的取值范围．17.已知函数f(x)=cos(2x−π3)−2√3sinxcosx(1)求函数f(x)的对称轴方程及最大值；(2)将函数f(x)的图像向右平移π4个单位，得到y=g(x)的图像，求g(x)的单调递增区间。

三角函数+数列

4 5
）

4
2、已知 cos ， ( , ) ，则 cos( ) （
2

）
5 ,求 sin( + ) 13 3 15 4、已知 sin =- , ( ， ),求 sin( + ) 2 17 3
3、已知，都是锐角，sin = ,cos =
10.在△ABC 中，AB=1,BC=2,B=60°，则 AC＝二数列
等差数列的性质考察 1.等差数列 an 的前 m 项的和是 30，前 2m 项的和是 100，则它的前 3m 项的和是( A．130 ) B．170 C．210 D．260
2.等差数列 {an } 共有 2n 1 项，其中奇数项之和为 319 ，偶数项之和为 290 ，则其中间项为（ A. 28 ）. B. 29 C. 30 D.31
4 4
3 4
C. -
4 3
D.
4 3
2 sin x (sin x cos x ) 7、函数 y 的最大值为（
A． 1 2 B． 2 1 C． 2
） D．2
学海无涯多歧路
“学辅”相伴行万里！
5
学辅教育
成功就是每天进步一点点！
（四）正弦定理与余弦定理的运用正弦定理 1.已知两角及一边例题：在△ABC 中，已知 a＝2 2，A＝30°，B＝45°，解三角形．
）。
A

1 2
B
1 2
C

3 2
D
3 2
3、已知 sin cos 2 ， (0，π)，则 sin 2 =
A. 1
B.
2 2
C.
2 2

(完整版)三角函数、数列测试题

三角函数、解三角形、平面向量、数列专题测试题班级：姓名：学号：一、选择题 1. 若，且为第四象限角，则的值等于（） A ． B ． C ． D ．2. sin20°cos10°-con160°sin10°= （A ）（B（C ）（D ） 3. 函数f(x)=的部分图像如图所示，则f （x ）的单调递减区间为 (A)（）,k (b)（）,k(C)（）,k(D)（）,k4. 设a ，b 是非零向量，“a b a b ⋅=”是“//a b ”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件5sin 13α=-αtan α125125-512512-12-125. 已知，若点是所在平面内一点，且，则的最大值等于（）A ．13B ．15C ．19D ．21 6.已知M （x 0，y 0）是双曲线C ：上的一点，F1、F 2是C 上的两个焦点，若＜0，则y 0的取值范围是（A ）（-，）（B ）（-，）（C ）（）（D ）（）7. 等比数列｛a n ｝满足a 1=3， =21，则 ( )（A ）21 （B ）42 （C ）63 （D ）84 8. 设{}n a 是等差数列. 下列结论中正确的是A ．若120a a +>，则230a a +>B ．若130a a +<，则120a a +<C ．若120a a <<，则2a >D ．若10a <，则()()21230a a a a -->9. 设为等比数列的前项和，若，且成等差数列，则 .A, . B.2n-3 C. -3n-2 D. 3n-210 已知数列中，，（），则数列的前9项和等于。

A. 17B. 27C. 37D. 471,,AB AC AB AC t t⊥==P ABC ∆4AB AC AP ABAC=+PB PC ⋅2212x y -=1MF •2MF 3366n S {}n a n 11a =1233,2,S S S n a =32+n -}{n a 11=a 211+=-n n a a 2≥n }{n a11. 在等差数列中，若，则= A. 5 B.6 C. 8 D ．12.（15年福建理科）若是函数的两个不同的零点，且这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则的值等于（） A ．6 B ．7 C ．8 D ．10 二、填空题13.（15年江苏）已知tan 2α=-，()1tan 7αβ+=，则tan β的值为_______. 14.（15北京理科）在ABC △中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin A C=．15.（15北京理科）在ABC △中，点M ，N 满足2AM MC =，BN NC =．若MN x AB y AC =+，则x =；y = ．16.（15年江苏）数列}{n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n （*N n ∈），则数列}1{na 的前10项和为三、解答题17. 的内角，，所对的边分别为，，．向量与平行．（I ）求；（II ）若求的面积．18. 在ABC ∆中，已知 60,3,2===A AC AB .（1）求BC 的长；（2）求C 2sin 的值.{}n a 2576543=++++a a a a a 82a a +10,a b ()()20,0f x x px q p q =-+>>,,2a b -p q +C ∆AB A B C a b c (),3m a b =()cos ,sin n =A B A a =2b =C ∆AB19.已知函数2()cos 222x x x f x =．(Ⅰ) 求()f x 的最小正周期；(Ⅱ) 求()f x 在区间[π0]-，上的最小值．20. 已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设等比数列{}n b 满足23b a =，37b a =，问：6b 与数列{}n a 的第几项相等？21. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知23 3.n n S =+ （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足3log n n n a b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T . 22. 已知数列是递增的等比数列，且（1）求数列的通项公式；（2）设为数列的前n 项和，，求数列的前n 项和{}n a 14239,8.a a a a +=={}n a n S {}n a 11n n n n a b S S ++={}n b n T。

高三数学解三角形和数列

选]下列哪种抗生素不常引起急性肾小管坏死A.妥布霉素B.丁胺卡那霉素C.环孢素AD.两性霉素BE.氨苄青霉素 [单选,A2型题,A1/A2型题]学龄前期是指（）。A.从出生脐带结扎开始到满3岁B.从出生到满4周岁前C.1周岁到满6周岁前D.6～12岁E.3周岁后到入小学前（6～7岁） [单选]在ECAM显示的失效中，名称被方框框住的是，系统前带有※号的是：（）A、主要失效、次要失效B、主要失效、独立失效C、次要失效、独立失效 [单选]糖尿病微血管病变特异改变是（）A.眼底微血管瘤B.肾小球结节性硬化C.眼底动脉硬化D.毛细血管基底膜增厚E.动脉粥样硬化 [单选]下列选项中属于收费制方式的是（）。A.人工收费B.半自动收费C.封闭式收费D.全自动收费 [单选,A2型题,A1/A2型题]据《素问·四气调神大论》，“闭藏”描述的是哪一季节的物候规律（）A.春B.夏C.秋D.冬E.长夏 [单选]雪情通告的标志是（）.A.NOTAMSB.SNOTAMC.SNOWTAM [单选]《部标》规定：快速列车开车前（）车内温度应符合要求。A、2小时B、1.5小时C、0.5小时D、40分钟 [问答题]避震时应怎样保护自己？ [单选]某产妇，产后2天，自述下腹阵发性疼痛，无恶心、呕吐，查子宫底在脐下3指，可能的诊断为（）。A.阑尾炎B.腹膜炎C.产后宫缩痛D.胰腺炎E.卵巢囊肿 [问答题,简答题]试述过量空气系数、空燃比和分子变更系数的定义。 [单选,A2型题,A1/A2型题]McGill疼痛问卷（MPQ）属于（）A.目测类比测痛法B.数字疼痛评分法C.口述分级评分法D.人体表面积评分法E.多因素疼痛调查评分法 [单选,A1型题]下列哪种碱基只存在于mRNA而不存在于DNA中（）A.腺嘌呤B.胞嘧啶C.鸟嘌呤D.尿嘧啶E.胸腺嘧啶 [单选,A2型题,A1/A2型题]女性患者，50岁。病理诊断为胃原位癌，原位癌的概念是（）A.没有发生转移的癌采集者退散B.光镜下才能见到的微小癌C.无症状和体征的癌D.非典型增生累及上皮全层，但未突破基底膜E.早期浸润癌 [单选]运输企业实行差别化服务指的是（）。A.统一价格B.尽可能采用低价运输C.不同客户不同服务水平D.不同客户相同服务水平 [单选,A型题]患者女性，25岁，阵发性心悸6年。平时心电图显示为预激综合征，心电图如图3-16-4所示，旁路可初步定位在（）。A.右侧壁B.左侧壁C.左后壁D.右后壁E.右后间隔 [单选,A型题]下列哪项不是积证的特征（）A.结块有形B.结块固定不移C.痛有定处D.病在气分E.是为脏病 [单选]对220KV线路要求（）。A.沿全线架设双避雷线B.在山区空架设双避雷线C.沿全线架设单避雷线 [单选]肾前性急性肾衰竭尿沉渣镜检常见管型（）A.红细胞管型B.白细胞管型C.棕色管型D.上皮细胞管型E.蜡样管型 [单选]皮肤真皮的主要成分是（）A.纤维成分B.淋巴管C.神经D.血管E.真皮树枝状细胞 [单选]关于国内仲裁协议效力的认定，下列说法正确的是：（）A.若约定了仲裁机构，由该仲裁机构所在地基层人民法院管辖B.若约定了仲裁机构，由该仲裁机构所在地中级人民法院管辖C.若约定的仲裁机构不明确，可由仲裁协议签订地基层人民法院管辖D.若约定的仲裁机构不明确，可由被申请 [问答题,简答题]什么叫临界减径率？ [多选]了解客户的风险属性有许多方法，以下选项中属于的是（）。A.与客户面对面沟通、观察B.风险测评问卷C.应用风险属性工具D.了解客户过往的投资历史E.了解客户过往的行为 [单选,A1型题]关于煎药的火候说法错误的是（） [单选]下列情况易因使用抗生素而诱发呼吸肌麻痹，不包括（）A.肾功能不全患者用药蓄积B.全麻与筒箭毒碱和琥珀胆碱等肌松药合用C.静脉内、腹腔内和胸腔内用药D.血钙增高E.重症肌无力病患者 [单选,A2型题,A1/A2型题]关于冷凝集素试验，下列哪项是正确的（）A.冷凝集综合征患者阳性，效价在1：1000以上B.37℃凝集反应最强C.0～4℃凝集现象消失D.抗体IgGE.为不完全抗体 [单选,A1型题]关于黄芩主要有效成分叙述错误的是（）A.黄芩素B.汉黄芩素C.汉黄芩苷D.京尼平苷E.黄芩苷 [单选]哪一种类型的压缩器失速对发动机严重的损伤有着最大的潜在威胁？（）A.断续的"逆火"失速B.接进"逆火"失速C.稳定的、持续的气流反转失速 [单选,A2型题,A1/A2型题]下列小儿腹股沟疝的临床特点中，错误的是（）A.出生后腹膜鞘状突未闭B.腹股沟区解剖结构薄弱、腹肌松弛是疝发生的主要原因C.最常用的治疗方法是疝囊高位结扎术D.发生率最高的是腹股沟斜疝E.部分可采取保守治疗治愈 [配伍题,B1型题]研究促进心身疾病康复和预防的属于（）。</br>研究心理咨询、心理诊断的属于（）</br>研究脑和行为关系的属于（）。A.变态心理学B.健康心理学C.神经心理学D.临床心理学E.生理心理学 [填空题]一般GSM网络中基站采用的跳频方式是（）跳频 [填空题]有机化合物一般是指组成里含（）的化合物。 [单选]在放射免疫分析中常用到RIA标准曲线（Standardcurve），其作用是（）A.用来校正计数器（counter）B.用得到的计数率去推算试样中所含样品的浓度或含量C.做质控D.用来追踪试样的变化E.鉴定核素的放射化学纯度 [单选]可行性研究中一般应该以()结论作为项目或方案取舍的主要依据。A.技术分析B.工艺分析C.财务评价D.国民经济评价 [单选]水力清淤时，应该注意（）。A、在用水季节施行B、按先下游后上游，分阶段进行C、引入含沙量较少的清水D、关闭一切闸门 [单选]党的十六大报告指出（）是我国21世纪的一项重大战略举措。A.以信息化促进工业化B.用工业化带动信息化C.以工业化促进信息化D.用信息化带动工业化 [单选,A1型题]我国儿童出生一周以内需接种的疫苗是（）A.卡介苗B.乙肝疫苗C.卡介苗、乙肝疫苗D.脊髓灰质炎三价混合疫苗E.麻疹疫苗 [单选,A1型题]为妇科调经之要药的是（）A.川楝子B.香附C.延胡索D.川芎E.郁金 [填空题]只有为客户提供（），才能赢得客户对我们的信任 [单选]失效分析学的主要特点是（）。A、实践性、经济性B、科学性、理论性C、边缘性、综合性D、实用性

解三角形数列练习

解三角形数列练习题 1. 等差数列{}n a 中，511430,7a a a +==，则12a 的值为（） A ．15B ．23C ．25D ．37 2.等差数列{}n a 中，已知1251,4,333n a a a a =+==，则n 为（）A ．48B ．49C ．50D ．513.等差数列{}n a 中，12010=S ，那么29a a +的值是（）A. 12B. 24C. 16D. 48 4. 已知数列{}n a 是等比数列，且118a =，41a =-，则{}n a 的公比q 为 A.2 B.－12 C.－2 D. 125.设等比数列{}n a 的公比2q =，前n 项和为n S ，则42S a =（） A. 2 B. 4 C. 152 D. 1726.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若111a =-,466a a +=-,则当n S 取最小值时,n 等于A ．6B ．7C ．8D ．97.已知等差数列{}n a 的公差为2,若431,,a a a 成等比数列, 则2a =（）A ．4-B ．6-C ．8-D ．10-8.数列{}n a 是公差不为0的等差数列，且137,,a a a 为等比数列{}n b 的连续三项，则数列{}n b 的公比为（）A．4 C ．2 D ．129. 在等差数列{}n a 中，若34567450a a a a a ++++=，则28a a +的值等于（）A ．45B ．75C ．180D ．30010.已知数列{}n a 是等比数列，且118a =，41a =-，则{}n a 的公比q 为（） A.2 B.－12 C.－2 D. 1211. 在ABC ∆中，若2cos sin sin B A C ⋅=，则ABC ∆一定是（）三角形．A. 等腰B. 直角C. 等边D. 等腰直角12.在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（）A ．006030或B ．006045或C ．0060120或D ．0015030或 13.在△ABC 中，若22tan tan ba B A =，则△ABC 的形状是（）(sin tan =cos ααα提示：)A ．直角三角形B ．不能确定C ．等腰三角形D ．等腰或直角三角形14.已知一等比数列的前三项依次为33,22,++x x x ，那么2113-是此数列的第（）项 A ．2 B ．4 C ．6 D ．8(二)填空题15.在等比数列{}n a 中，若1232a a a =，23416a a a =, 则公比q =16.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若36324S S ==，，则9a = 17. n S 是等差数列{n a }的前n 项和，且128S S =，则20S =________.18.已知数列{}n a 是等差数列，a 1=-9，S 3=S 7，那么使其前n 项和S n 最小的ｎ是_____________.19. 在△ABC 中，a =，b =1cos 3C =，则ABC S =△_______ 20.已知在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，那么这个三角形的最大角是_________ 21.{}223,=____________n n n a n s n n a =+已知数列的前项和为则（三）解答题22. 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,3a b c B π=，4cos ,5A b == （Ⅰ）求sin C 的值； (:ABC π++=提示) （Ⅱ）求ABC ∆的面积23.已知{}n a 为等差数列，且36a =-，60a =。

2023学年人教版高一数学下学期期中期末必考题精准练04 解三角形(解析版)

必考点04 解三角形题型一利用正余弦定理解三角形例题1[在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 成公差为2的等差数列，C ＝120°. (1)求边长a ；(2)求AB 边上的高CD 的长．【解析】(1)由题意得，b ＝a ＋2，c ＝a ＋4，由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab 得cos 120°＝a 2＋(a ＋2)2－(a ＋4)22a (a ＋2)，即a 2－a －6＝0，所以a＝3或a ＝－2(舍去)．所以a ＝3. (2)法一：由(1)知a ＝3，b ＝5，c ＝7，由三角形的面积公式得 12ab sin ∠ACB ＝12c ×CD ，所以CD ＝ab sin ∠ACBc ＝3×5×327＝15314，即AB 边上的高CD ＝15314.法二：由(1)知a ＝3，b ＝5，c ＝7，由正弦定理得3sin A ＝7sin ∠ACB ＝7sin 120°.即sin A ＝3314，在Rt △ACD 中，CD ＝AC sin A ＝5×3314＝15314.即AB 边上的高CD ＝15314.例题1(2019·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .设(sin B －sin C )2＝sin 2A －sin B sin C . (1)求A ；(2)若2a ＋b ＝2c ，求sin C .[【解析】(1)由已知得sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＝sin B sin C ，故由正弦定理得b 2＋c 2－a 2＝bc .由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.因为0°<A <180°，所以A ＝60°.(2)由(1)知B ＝120°－C ，由题设及正弦定理得2sin A ＋sin(120°－C )＝2sin C ，即62＋32cos C ＋12sin C ＝2sin C ，可得cos(C ＋60°)＝－22.由于0°<C <120°，所以sin(C ＋60°)＝22，故 sin C ＝sin(C ＋60°－60°)＝sin(C ＋60°)cos 60°－cos(C ＋60°)sin 60°＝6＋24. 【解题技巧提炼】1．已知△ABC 中的某些条件(a ，b ，c 和A ，B ，C 中至少含有一条边的三个条件)求边长时可用公式a ＝b sin A sin B ，b ＝a sin B sin A ，c ＝a sin C sin A ，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .2．已知△ABC 的外接圆半径R 及角，可用公式a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C . [提醒] 已知△ABC 的两边及其一边的对角求边时可用正弦定理，但要对解的个数作出判断，也可用余弦定理解一元二次方程求得．涉及解三角形中的最值(范围)问题时若转化为边求解可利用基本不等式或二次函数；若转化为角求解可利用三角函数的有界性、单调性．1．已知△ABC 中某些条件求角时，可用以下公式sin A ＝a sin Bb ，sin B ＝b sin Aa，sin C ＝c sin Aa ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab . 2．已知△ABC 的外接圆半径R 及边，可用公式sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R. [提醒] (1)注意三角形内角和定理(A ＋B ＋C ＝π)的应用． (2)解三角形中经常用到两角和、差的三角函数公式．题型二判断三角形形状例题1设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．不确定【答案】B 【解析】(1)法一：因为b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，由正弦定理知sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin A sin A ，得sin(B ＋C )＝sin A sin A .又sin(B ＋C )＝sin A ，得sin A ＝1，即A ＝π2，因此△ABC 是直角三角形．法二：因为b cos C ＋c cos B ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝2a 22a ＝a ，所以a sin A ＝a ，即sin A＝1，故A ＝π2，因此△ABC 是直角三角形．例题2在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A sin B ＝ac ，(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，则△ABC 的形状为( ) A ．直角三角形 B ．等腰非等边三角形 C ．等边三角形 D ．钝角三角形【答案】C【解析】因为sin A sin B ＝a c ，所以a b ＝ac ，所以b ＝c .又(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，所以b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3，所以△ABC 是等边三角形．【解题技巧提炼】[解题技法]1．判定三角形形状的2种常用途径2．判定三角形的形状的注意点在判断三角形的形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A ，B ，C 的范围对三角函数值的影响，在等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．题型三三角形面积问题例题1△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A ＋C2＝b sin A .(1)求B ；(2)若△ABC 为锐角三角形，且c ＝1，求△ABC 面积的取值范围．【解析】(1)由题设及正弦定理得sin A sin A ＋C 2＝sin B sin A ．因为sin A ≠0，所以sin A ＋C2＝sinB由A ＋B ＋C ＝180°，可得sin A ＋C 2＝cos B 2，故cos B 2＝2sin B 2cos B2.因为cos B 2≠0，所以sin B 2＝12，所以B ＝60°.(2)由题设及(1)知△ABC 的面积S △ABC ＝34a . 由(1)知A ＋C ＝120°，由正弦定理得a ＝c sin A sin C ＝sin (120°－C )sin C ＝32tan C ＋12.由于△ABC 为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°. 由(1)知，A ＋C ＝120°，所以30°<C <90°，故12<a <2，从而38<S △ABC <32. 因此，△ABC 面积的取值范围是⎝⎛⎭⎫38，32. 【解题技巧提炼】 1．求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键． 2．已知三角形面积求边、角的方法(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解． (2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．题型四解三角形的实际应用例题1如图，为了测量两座山峰上P ，Q 两点之间的距离，选择山坡上一段长度为300 3 m 且和P ，Q 两点在同一平面内的路段AB 的两个端点作为观测点，现测得∠P AB ＝90°，∠P AQ ＝∠PBA ＝∠PBQ ＝60°，则P ，Q 两点间的距离为________ m. 【答案】900【解析】由已知，得∠QAB ＝∠P AB －∠P AQ ＝30°. 又∠PBA ＝∠PBQ ＝60°，所以∠AQB ＝30°，所以AB ＝BQ . 又PB 为公共边，所以△P AB ≌△PQB ，所以PQ ＝P A . 在Rt △P AB 中，AP ＝AB ·tan 60°＝900，故PQ ＝900，所以P ，Q 两点间的距离为900 m.例题2如图，为了测量河对岸电视塔CD 的高度，小王在点A 处测得塔顶D 的仰角为30°，塔底C 与A 的连线同河岸成15°角，小王向前走了1 200 m 到达M 处，测得塔底C 与M 的连线同河岸成60°角，则电视塔CD 的高度为________m. [【答案】6002[【解析】在△ACM 中，∠MCA ＝60°－15°＝45°，∠AMC ＝180°－60°＝120°，由正弦定理得AM sin ∠MCA ＝AC sin ∠AMC ，即1 20022＝AC32，解得AC ＝6006(m)．在△ACD 中，因为tan ∠DAC ＝DC AC ＝33，所以DC ＝6006×33＝6002(m)．例题3游客从某旅游景区的景点A 处至景点C 处有两条线路．线路1是从A 沿直线步行到C ，线路2是先从A 沿直线步行到景点B 处，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处同时出发匀速步行，甲的速度是乙的速度的119倍，甲走线路2，乙走线路1，最后他们同时到达C 处．经测量，AB ＝1 040 m ，BC ＝500 m ，则sin ∠BAC 等于________． [【答案】513[【解析】依题意，设乙的速度为x m/s ，则甲的速度为119x m/s ，因为AB ＝1 040 m ，BC ＝500 m ，所以AC x ＝1 040＋500119x ，解得AC ＝1 260 m.在△ABC 中，由余弦定理得，cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝1 0402＋1 2602－50022×1 040×1 260＝1213，所以sin ∠BAC ＝1－cos 2∠BAC＝1－⎝⎛⎭⎫12132＝513.【解题技巧提炼】测量距离问题的2个策略(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．测量高度问题的基本思路高度也是两点之间的距离，其解法同测量水平面上两点间距离的方法是类似的，基本思想是把要求解的高度(某线段的长度)纳入到一个可解的三角形中，使用正、余弦定理或其他相关知识求出该高度．测量角度问题的基本思路测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．[提醒] 方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角．题型五正余弦定理在平面几何中的应用例题1如图，在平面四边形ABCD 中，DA ⊥AB ，DE ＝1，EC ＝7，EA ＝2，∠ADC ＝2π3，且∠CBE ，∠BEC ，∠BCE 成等差数列． (1)求sin ∠CED ； (2)求BE 的长．【解析】设∠CED ＝α.因为∠CBE ，∠BEC ，∠BCE 成等差数列，所以2∠BEC ＝∠CBE ＋∠BCE ，又∠CBE ＋∠BEC ＋∠BCE ＝π，所以∠BEC ＝π3.(1)在△CDE 中，由余弦定理得EC 2＝CD 2＋DE 2－2CD ·DE ·cos ∠EDC ，即7＝CD 2＋1＋CD ，即CD 2＋CD －6＝0，解得CD ＝2(CD ＝－3舍去)．在△CDE 中，由正弦定理得EC sin ∠EDC ＝CD sin α，于是sin α＝CD ·sin 2π3EC ＝2×327＝217，即sin∠CED ＝217. (2)由题设知0<α<π3，由(1)知cos α＝1－sin 2α＝1－2149＝277，又∠AEB ＝π－∠BEC －α＝2π3－α，所以cos ∠AEB ＝cos ⎝⎛⎭⎫2π3－α＝cos 2π3cos α＋sin 2π3sin α＝－12×277＋32×217＝714. 在Rt △EAB 中，cos ∠AEB ＝EA BE ＝2BE ＝714，所以BE ＝47. 【解题技巧提炼】与平面图形有关的解三角形问题的关键及思路求解平面图形中的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到三角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的关系．具体解题思路如下：(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．[提醒] 做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题．题型六解三角形与三角函数的综合问题例题1已知函数f (x )＝cos 2x ＋3sin(π－x )cos(π＋x )－12.(1)求函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间；(2)在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知f (A )＝－1，a ＝2，b sin C ＝a sin A ，求△ABC 的面积．【解析】(1)f (x )＝cos 2x －3sin x cos x －12＝1＋cos 2x 2－32sin 2x －12＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z ，又∵x ∈[0，π]，∴函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤0，π3和⎣⎡⎦⎤5π6，π.(2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， ∴f (A )＝－sin ⎝⎛⎭⎫2A －π6＝－1， ∵△ABC 为锐角三角形，∴0<A <π2，∴－π6<2A －π6<5π6，∴2A －π6＝π2，即A ＝π3.又∵b sin C ＝a sin A ，∴bc ＝a 2＝4， ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝ 3.【解题技巧提炼】解三角形与三角函数综合问题的一般步骤题型一利用正余弦定理解三角形1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a ＞b ，则B ＝( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6【答案】A【解析】∵a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，∴由正弦定理得sin A sin B cos C ＋sin C sin B cos A ＝12sin B ，即sin B (sin A cos C ＋sin C cos A )＝12sinB ．∵sin B ≠0，∴sin(A ＋C )＝12，即sin B ＝12.∵a ＞b ，∴A ＞B ，即B 为锐角，∴B ＝π6，故选A.2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin 2B ＋sin 2C ＝sin 2A ＋sin B sin C .(1)求角A 的大小；(2)若cos B ＝13，a ＝3，求c 的值．【解析】(1)由正弦定理可得b 2＋c 2＝a 2＋bc ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3.(2)由(1)可知sin A ＝32，因为cos B ＝13，B 为△ABC 的内角，所以sin B ＝223，故sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝32×13＋12×223＝3＋226. 由正弦定理a sin A ＝c sin C 得c ＝a sin C sin A ＝3×(3＋22)32×6＝1＋263.题型二判断三角形形状1．在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c2c (a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形【答案】A【解析】已知等式变形得cos B ＋1＝a c ＋1，即cos B ＝ac ①.由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，代入①得a 2＋c 2－b 22ac ＝ac ，整理得b 2＋a 2＝c 2，即C 为直角，则△ABC 为直角三角形．2．[在△ABC 中，已知sin A ＋sin C sin B ＝b ＋c a 且还满足①a (sin A －sin B )＝(c －b )(sin C ＋sin B )；②b cos A ＋a cos B ＝c sin C 中的一个条件，试判断△ABC 的形状，并写出推理过程．【解析】由sin A ＋sin C sin B ＝b ＋c a 及正弦定理得a ＋c b ＝b ＋ca ，即ac ＋a 2＝b 2＋bc ，∴a 2－b 2＋ac －bc ＝0， ∴(a －b )(a ＋b ＋c )＝0，∴a ＝b . 若选①△ABC 为等边三角形．由a (sin A －sin B )＝(c －b )(sin C ＋sin B )及正弦定理，得a (a －b )＝(c －b )(c ＋b )，即a 2＋b 2－c 2＝ab .所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，又C ∈(0，π)，所以C ＝π3.∴△ABC 为等边三角形．若选②△ABC 为等腰直角三角形，因b cos A ＋a cos B ＝b ·b 2＋c 2－a 22bc ＋a ·a 2＋c 2－b 22ac ＝2c 22c ＝c ＝c sin C ，∴sin C ＝1，∴C ＝90°，∴△ABC 为等腰直角三角形.题型三三角形面积问题1．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b ＝6，a ＝2c ，B ＝π3，则△ABC 的面积为________．【答案】63【解析】由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ．又∵ b ＝6，a ＝2c ，B ＝π3，∴ 36＝4c 2＋c 2－2×2c 2×12，∴ c ＝23，a ＝43，∴ S △ABC ＝12ac sin B ＝12×43×23×32＝6 3.2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，(2b －a )cos C ＝c cos A . (1)求角C 的大小；(2)若c ＝3，△ABC 的面积S ＝433，求△ABC 的周长．【解析】(1)由已知及正弦定理得(2sin B －sin A )·cos C ＝sin C cos A ，即2sin B cos C ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B ， ∵B ∈(0，π)，∴sin B >0，∴cos C ＝12，∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3.(2)由(1)知，C ＝π3，故S ＝12ab sin C ＝12ab sin π3＝433，解得ab ＝163.由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ，又c ＝3，∴(a ＋b )2＝c 2＋3ab ＝32＋3×163＝25，得a ＋b ＝5.∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝5＋3＝8.题型四解三角形的实际应用1．甲船在A 处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，相距a 海里的B 处，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的 3 倍，甲船为了尽快追上乙船，朝北偏东θ方向前进，则θ＝( )A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°【答案】B【解析】设两船在C 处相遇，则由题意得∠ABC ＝180°－60°＝120°，且AC BC＝3，由正弦定理得AC BC ＝sin 120°sin ∠BAC ＝3，所以sin ∠BAC ＝12.又因为0°<∠BAC <60°，所以∠BAC ＝30°. 所以甲船应沿北偏东30°方向前进．2．江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m. 【答案】103【解析】如图，OM ＝AO tan 45°＝30(m)， ON ＝AO tan 30°＝33×30＝103(m)，在△MON 中，由余弦定理得，MN ＝900＋300－2×30×103×32＝300＝103(m)． 3．为了测量某新建的信号发射塔AB 的高度，先取与发射塔底部B 的同一水平面内的两个观测点C ，D ，测得∠BDC ＝60°，∠BCD ＝75°，CD ＝40 m ，并在点C 的正上方E 处观测发射塔顶部A 的仰角为30°，且CE ＝1 m ，则发射塔高AB ＝________ m. 【答案】202＋1【解析】如图，过点E 作EF ⊥AB ，垂足为F ，则EF ＝BC ，BF ＝CE ＝1，∠AEF ＝30°.在△BCD 中，由正弦定理得， BC ＝CD ·sin ∠BDC sin ∠CBD＝40·sin 60°sin 45°＝20 6.所以EF ＝206，在Rt △AFE 中，AF ＝EF ·tan ∠AEF ＝206×33＝20 2. 所以AB ＝AF ＋BF ＝202＋1(m)．题型五正余弦定理在平面几何中的应用1.如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为________．【答案】66【解析】设AB ＝a ，∵AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，∴AD ＝a ，BD ＝2a 3，BC ＝4a 3.在△ABD 中，cos ∠ADB ＝a 2＋4a 23－a 22a ×2a 3＝33，∴sin ∠ADB ＝63，∴sin ∠BDC ＝63.在△BDC中，BD sin C ＝BC sin ∠BDC ，sin C ＝BD ·sin ∠BDC BC ＝66.2.如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AB ＝2，BD ＝5，∠BCD ＝2∠ABD ，△ABD 的面积为2. (1)求AD 的长； (2)求△CBD 的面积．【解析】(1)由已知S △ABD ＝12AB ·BD ·sin ∠ABD ＝12×2×5×sin ∠ABD ＝2，可得sin ∠ABD＝255，又∠BCD ＝2∠ABD ，在平面四边形ABCD 中，∠BCD ∈(0，π)，所以∠ABD ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以cos ∠ABD ＝55. 在△ABD 中，由余弦定理AD 2＝AB 2＋BD 2－2·AB ·BD ·cos ∠ABD ，可得AD 2＝5，所以AD ＝ 5.(2)由AB ⊥BC ，得∠ABD ＋∠CBD ＝π2，所以sin ∠CBD ＝cos ∠ABD ＝55. 又∠BCD ＝2∠ABD ，所以sin ∠BCD ＝2sin ∠ABD ·cos ∠ABD ＝45，∠BDC ＝π－∠CBD －∠BCD ＝π－⎝⎛⎭⎫π2－∠ABD －2∠ABD ＝π2－∠ABD ＝∠CBD ，所以△CBD 为等腰三角形，即CB ＝CD .在△CBD 中，由正弦定理BD sin ∠BCD ＝CDsin ∠CBD ，得CD ＝BD ·sin ∠CBDsin ∠BCD＝5×5545＝54，所以S △CBD ＝12CB ·CD ·sin ∠BCD ＝12×54×54×45＝58. 题型六解三角形与三角函数的综合问题1.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，(2a －c )cos B －b cos C ＝0. (1)求角B 的大小；(2)设函数f (x )＝2sin x cos x cos B －32cos 2x ，求函数f (x )的最大值及当f (x )取得最大值时x 的值．【解析】(1)因为(2a －c )cos B －b cos C ＝0，所以2a cos B －c cos B －b cos C ＝0，由正弦定理得2sin A cos B －sin C cos B －cos C sin B ＝0，即2sin A cos B －sin(C ＋B )＝0，又因为C ＋B ＝π－A ，所以sin(C ＋B )＝sin A . 所以sin A (2cos B －1)＝0.在△ABC 中，sin A ≠0，所以cos B ＝12，又因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3.(2)因为B ＝π3，所以f (x )＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，令2x －π3＝2k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π＋5π12(k ∈Z )，即当x ＝k π＋5π12(k ∈Z )时，f (x )取得最大值1.一、单选题1．如图，某城市有一条公路从正西方MO 通过市中心O 后转向东北方ON ，为了缓解城市交通压力，现准备修建一条绕城高速公路L ，并在,MO ON 上分别设置两个出口,A B ，若AB 部分为直线段，且要求市中心O 与AB 的距离为20千米，则AB 的最短距离为（）A ．()2021-千米 B ．()4021-千米C ．)201D ．)401【答案】D【解析】在ABC 中，135AOB ∠=︒，设,AO a BO b ==，则(222222cos1352AB a b ab a b ab =+-︒=+≥，当且仅当a b =时取等号，设BAO α∠=，则45ABO α∠=︒-，又O 到AB 的距离为20千米，所以20sin a α=，()20sin 45b α=︒-，故()400sin sin 45ab αα==︒-（22.5α=︒时取等号），所以)221600216001AB ≥=，得)401AB ≥，故选：D2．某生态公园有一块圆心角为π3的扇形土地，打算种植花草供游人欣赏，如图所示，其半径100OA =米.若要在弧AB 上找一点C ，沿线段AC 和BC 铺设一条观光道路，则四边形OACB 面积的最大值为（）A ．2500平方米B ．25003平方米C ．5000平方米D ．50003平方米【答案】C【解析】连接OC ，2211sin sin 22OAC OCB OACB OA S S AOC OA CS BO =⋅∠+∠+⋅=四边形△△2π1sin sin 23OA AOC AOC ⎡⎤⎛⎫=∠+-∠ ⎪⎢⎝⎭⎣⋅⎥⎦15000(sin )322cos AOC AOC +=∠∠π5000sin 50003AOC ⎛⎫=∠+≤ ⎪⎝⎭，当π6AOC ∠=时，等号成立. 所以四边形OACB 面积的最大值为5000.故选：C3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a =2b =，1c =，则B C +=（）A ．90°B ．120°C ．60°D ．150°【答案】C【解析】因为a =2b =，1c =，所以2221471cos 22122c b a A bc +-+-===-⨯⨯，由0180A <<︒︒，则120A =︒,18060B C A ∴+=︒-=︒故选：C4．已知某圆锥的轴截面是腰长为3的等腰三角形，且该三角形顶角的余弦值等于19，则该圆锥的表面积等于（） A ．4π B ．6π C ．10π D ．203π【答案】C【解析】设圆锥的底面半径为r ，则()2221233162339r -⨯=+⨯⨯=，解得2r =，故该圆锥的表面积等于12234102πππ⨯⨯⨯+=.故选：C.5．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos cA b<，则ABC 必为（） A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．等腰三角形【答案】A【解析】因为cos cA b <，由正弦定理可得sin cos sin C A B<，即sin cos sin C A B <，又因为sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，所以sin cos cos s co si in s n A B A B A B +<，即sin cos 0A B <，因为,(0,)A B π∈，所以sin 0,0cos A B ><，所以(,)2B ππ∈，所以ABC 为钝角三角形.故选：A. 二、多选题6．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且2a =、3b =、4c =，下面说法错误的是（） A ．sin sin sin 234A B C =：：：： B ．ABC 是锐角三角形C ．ABC 的最大内角是最小内角的2倍D ．ABC 内切圆半径为12 【答案】BCD 【解析】A 选项，∵sin sin sin a b cA B C==，2a =、3b =、4c =，∵sin sin sin 234A B C =：：：：，对，B 选项，由于a b c <<，则ABC 中最大角为角C ，∵222222234cos 02223a b c C ab +-+-==<⨯⨯，∵2C π>，∵ABC 是钝角三角形，错，C 选项，假设ABC 的最大内角是最小内角的2倍，则2C A =，即sin sin22sin cos C A A A ==⋅，又sin sin 12A C =：：，即sin 2sin cos 12A A A ⋅=：：，cos 1A =，不符合题意，错，D 选项，∵22222224311cos 222416a c b B ac +-+-===⨯⨯，∵sin B ==，∵11sin 2422ABCSac B =⋅=⨯⨯设ABC 的内切圆半径为r ，则()()1123422ABCS a b c r r =++⋅=⨯++⨯=∵r =故选：BCD.7．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin sin 2sin B C A +=（） A ．若π3A =，1c =，则1a =B ．若π3A =，1c =，则ABC 的面积为πC ．若2b =，则A 的最大值为π3D ．若2b =，则ABC 周长的取值范围为()4,12【答案】ACD【解析】因为sin sin 2sin B C A +=，所以2b c a +=. 对于A ，B ，若1c =，则21b a =-，22223421cos 2422b c a a a A bc a +--+===-，解得1a =，ABC 的面积1sin 2S bc A ==，A 正确，B 错误. 对于C ，若2b =，则22c a =-，222238831cos 12128881b c a a a A a bc a a +--+⎛⎫===-++- ⎪--⎝⎭312182⎡⎤≥-=⎢⎥⎣⎦，当且仅当2a =时，等号成立，所以A 的最大值为π3，C 正确.对于D ，若2b =，则根据三边关系可得,,a c b a b c +>⎧⎨+>⎩即222,222,a a a a +->⎧⎨+>-⎩解得443a <<，则4312a <<，ABC 的周长为3a b c a ++=，故ABC 周长的取值范围为()4,12，D 正确.故选：ACD 三、填空题8．在ABC 中，D 为BC 的中点，若4AB =，2AC =，AD =BC =______．【答案】【解析】法一：设BD x =，因为180ADB ADC ∠+∠=︒，所以cos cos 0ADB ADC ∠+∠=，由余弦定理，得22222222BD AD AB DC AD AC BD AD DC AD+-+-+=⋅⋅220=，所以x BC =法二：由D 为BC 的中点，得()12AD AB AC =+，所以()222124AD AB AB AC AC =+⋅+，即()1816242cos 44BAC =+⨯⨯∠+，所以3cos 4BAC ∠=，所以22232cos 16424284BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=，所以BC =故答案为：9．如图所示，OA 是一座垂直与地面的信号塔，O 点在地面上，某人（身高不计）在地面的C 处测得信号塔顶A 在南偏西70°方向，仰角为45°，他沿南偏东50°方向前进20m 到点D 处，测得塔顶A 的仰角为30°，则塔高OA 为______m .【答案】20【解析】设塔高m OA x =，由题意得在直角AOC △中，45ACO ∠=︒，所以m OA OC x ==,由题意得在直角AOD △中，30ADO ∠=︒，所以m OD =，由题意得在OCD 中，120,20m OCD CD ∠=︒=，所以由余弦定理得2222cos OD OC CD OC CD OCD =+-⋅∠，所以22134002202x x x ⎛⎫=+-⋅⋅- ⎪⎝⎭，化简得2102000--=x x ，解得20x 或10x =-（舍去），所以塔高OA 为20m ，故答案为：20 四、解答题10．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知1a b c ===． (1)求sin ,sin ,sin A B C 中的最大值； (2)求AC 边上的中线长．【解析】(1)521>，故有sin sin sin b a c B A C >>⇒>>，由余弦定理可得cos B =又(0,)B π∈，34B π∴=，故sin B(2)AC 边上的中线为BD ，则1()2BD BA BC =+，2222223(2)()2cos 121cos 14BD BA BC c a ca B π∴=+=++=++⨯=， 1||2BD ∴=，即AC 边上的中线长为12．11．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c sin cos A a B a =+.(1)求角B 的值；(2)若8c =，ABC 的面积为BC 边上中线AD 的长.【解析】(1)sin sin cos sin B A A B A =+，()0,πA ∈，sin 0A ≠cos 1B B =+，则π1sin 62B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()0,πB ∈，π3B ∴=；(2)1sin 2S ac B ==8c =，10a ∴=，由余弦定理22212cos 6425404922a AD c ac B ⎛⎫=+-⨯=+-= ⎪⎝⎭，得249AD =，7AD ∴=，12．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()(sin sin )()sin a b B A b c C +-=-.(1)求A ；(2)若2a =，求ABC 面积的最大值.【解析】(1)由正弦定理及()(sin sin )()sin a b B A b c C +-=-，得()()()b a b a b c c -+=-，即222b c a bc +-=，由余弦定理，得2221cos 22b c a A bc +-==， ∵0A π<<，可得3A π=.(2)由余弦定理得222222cos a b c bc A b c bc =+-=+-，因为222b c bc +≥，所以22a bc bc ≥-，即24bc a ≤=，当且仅当2b c ==时取等号，∵11sin 422ABC S bc A =≤⨯=△ABC13．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，向量()7,1m =，()cos ,1n C =，(),2cos p b B =，且0m n ⋅=.(1)求sin C 的值；(2)若8c =，//m p ，求B 的大小.【解析】(1)因为()7,1m =，()cos ,1n C =，且0m n ⋅=，所以7cos 10C +=，即1cos 7C =-，因为0C π<<，所以sin C ==. (2)因为()7,1m =，(),2cos p b B =，//m p ，所以14cos b B =，在ABC 中，由正弦定理得sin sin c Bb C=，又8c =，sin C =b B ，14cos B B =，即tan B =0B π<<，所以3B π=.14．已知向量()2sin ,2cos 1m x x =-，()2cos ,1n x =，()f x m n =⋅.(1)求函数()y f x =的最小正周期；(2)在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()1f A =，a =ABC 的面积的最大值.【解析】(1)()22sin cos 2cos 1f x m n x x x =⋅=+-，sin 2cos 224x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则其最小正周期22T ππ==； (2)由()214f A A π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，且()0,A π∈，所以4A π=，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，即(2222b c bc =+≥，所以2bc ≤=b c =时取等号，所以ABC 的面积21sin 244S bc π==≤，15．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222sin sin sin sin sin A C B A C +=+． (1)求B ；(2)若点M 在AC 上，且满足BM 为ABC ∠的平分线，2,cos BM C ==BC 的长．【解析】(1)在ABC 中，222sin sin sin sin sin A C B A C +=+，由正弦定理得：222a c b ac +=+.由余弦定理得：2221cos 22a cb B ac +-==. 因为()0,B π∈，所以3B π=.(2)因为()cos 0,C C π=∈，所以sin C = 因为3B π=，BM 为ABC ∠的平分线，所以6MBC π∠=.所以[]sin sin BMC MBC C π∠=-∠-∠()sin MBC C =∠+∠sin cos cos sin MBC C MBC C =∠∠+∠∠12==.在MBC △中，由正弦定理得：sin sin MB BC C BMC =∠=BC = 16．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c，且)cos b c aC C +=+． (1)求角A ；(2)若2a =，ABCb c +的值.【解析】(1)由)cos b c a C C +=+及正弦定理得sin sin sin cos sin B C A C A C +=，又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，所以cos sin sin sin A C C A C +=，又sin 0C ≠cos 1A A -=，即2sin 16A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，可得1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为0A π<<，则5666A πππ-<-<，所以，66A ππ-=，因此，3A π=. (2) 解：由余弦定理，得2222cos 3a b c bc π=+-，即()234b c bc +-=，又1sin 2ABC bc S A ==4bc =，所以4b c +=．17．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2sin 2sin 2cos 02A A A ++=.(1)求A ；(2)若cos cos 2b C c B +=，求ABC 面积的最大值. 【解析】(1)ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2sin 2sin 2cos 2sin cos sin cos 102AA A A A A A ++=+++=，2(sin cos )(sin cos )0A A A A ∴+++=，即(sin cos )(sin cos 1)0A A A A +++=， sin cos 1A A +>-，sin cos 0A A ∴+=，所以tan 1A =-，又()0,A π∈，34A π∴=； (2)ABC 中，由正弦定理可得sin sin a b A B =，sin b B ∴==⋅，同理可得，sin c C =⋅，cos cos 2b C c B +=，∴sin cos sin cos 2B C C B ⋅⋅+⋅⋅=，∴sin()2B C ⋅+=sin 24π⋅=，2a ∴=，由余弦定理可得22424cos 22b c bc A bc bc+--=-=，当且仅当b c =时，取等号，422bc ∴+，即bcABC ∴面积⋅⋅=≤1sin 2bc A 1=-，所以ABC 1.。