正切函数图像

由图可知：x

k


3
,
k


2
(k

Z
)
例题分析
例 ４ 解不等式：tan x 3
解：
y
3
0 x
32
解法1 解法2
由图可知：x

k


3
,
k


2
(k

Z
)
反馈演练
1、 解不等式 1+tanx 0
2、解不等式：1- tan x 0
3、解不等式：tan(x ) 3
即tan3(x+ )=tan3x,
3 这说明自变量 x
,至少要增加

，函数的值
才能重复取得，所以函数
y

3
tan 3x
的周期
是
3
反馈练习：求下列函数的周期：
(1) y 5 tan x
2 2
(2) y tan(4x)
4
例题分析
例 ４ 解不等式：tan x 3
解：
y
3
T
A
0
x
解法1 解法2
(2) 作正切线
(3) 平移 (4) 连线
3
8wk.baidu.com
，
4
，

8

，8

，4
3
，8
o
3 0 3
2 8 48
84 8 2
4.10 正切函数的图像和性质
正切曲线
是由通过点 (k , 0)(k Z )且与 y 轴相互平行的
直线隔开的无穷多支2 曲线组成
4
解:
设t

x


4
,
则y

tan
t的定义域为t
t

R且t

k
+

2
,
k

Z

x k ,
4
2
x k
4
因此，函数的定义域是
x
x

R且x

k


4
,
k

Z

值域 : R
Q
y

tan
t的单调增区间是

-

2

k ,
(6)渐近线方程：x

k

2
,
kZ
(7)对称中心 (kπ,0) 2
问题讨论
问题：
(1)正切函数是整个定义域上的增函数吗？为什么？ (2)正切函数会不会在某一区间内是减函数？为什么？
A
B
在每一个开区间
(-π+ kπ,π+ kπ) ，kZ 内都是增函数。
2
2
基础练习
1．关于正切函数 y tan x , 下列判断不正确的是（B ）
答案:
1、定义域
x

x
|
x

R且x

1 3
k

5
18
，k

Z

2、值域
yR
3、单调性
在x


1 3
k


18
,
1 3
k

5
18

上是增函数；
4、奇偶性 非奇非偶函数
5、周期性
最小正周期是
3
补充练习
1. 已知 a tan1,b tan 2, c tan 3,则(c )
正切函数的图象和性质
4.10 正切函数的图像和性质 一、引入
如何用正弦线作正弦函数图象呢？ 1、用平移正弦线得y sin x, x [0,2 ]图象. 2、再利用周期性把该段图象向左、右扩展得到.
类 比
用正切线作正切函数y=tanx的图象
4.10 正切函数的图像和性质
二、探究用正切线作正切函数图象



2
，
2

的图像:
4.10 正切函数的图像和性质
问题2、如何利用正切线画出函数 的图像？
y

tan
x，x




2
，
2

角 的终边 Y
T3
（
3
，tan
）
3
A
0

X
3
利用正切线画出函数
y

tan
x
，x




2
，
2

的图像:
作法: (1) 等分：把单位圆右半圆分成8等份。
4 5
tan
t42a,,n又ty2an(tan153x在 )0，ta2n
2
5
是增函数
4
5
tan(11 ) tan( 13 ).
4
5
例题分析
例1、比较下列每组数的大小。
(1)tan167o 与tan173o
（2）tan(-
11π) 与
4
tan(- 13π) 5
A.a<b<c B.c<b<a C .b<c<a D. b<a<c
2.求y (tan x)2 4 tan x 1的值域；-5,+
3.已知是三角形的一个内角，且有tan 1, 则的取值范围是 ( c )
A.
3 4

,

B
. 0,2

C.

0,
问题1、正切函数y = tanx 是否为周期函数？
∵fx +π = tanx +π = tanx f x
∴ y = tanx 是周期函数， 是它的一个周
期．
我们先来作一个周期内的图象。
想一想：先作哪个区间上的图象好呢？
(-π,π) 22
为什么？
利用正切线画出函数
y

tan
x
，x

⑵ 值域： R 2 ⑶ 周期性：
⑷ 奇偶性：奇函数，图象关于原点对称。
(5) 对称性：对称中心：
无对称轴
(6)单调性：在每一个开区间
(-π+ 2
kπ,π+ 2
kπ)
，
k

Z
内都是增函数。
(7)渐近线方程： x k , k Z
2
A 是奇函数 B 在整个定义域上是增函数 C 在定义域内无最大值和最小值
D 平行于 x 轴的的直线被正切曲线各支所截线
段相等
２．函数 y tan(3x)的一个对称中心是（ C ）
A . ( , 0)
9
B. ( , 0)
4
C. ( , 0)
6
D. ( , 0)
4
例题分析
例1、比较下列每组数的大小。
渐 进 线
渐 进 线
3
0
2
正
渐
切
进 线
函
数
渐
图
进 线
像
性质 :
⑴ 定义域：
{x | x
k, k Z}
⑵ 值域： R
2
⑶ 周期性：
⑷ 奇偶性： 奇函数，图象关于原点对称。
⑸ 单调性： 在每一个开区间
( k , k )
2
2
，k Z 内都是增函数。
解: Q 900 1670 1730 1800
y

tan
x在

2
，

上是增函数，
tan1670 tan1730
说明：比较两个正切值大小，关键是把相 应的角 化到y=tanx的同一单调区间内，再 利用y=tanx的单调递增性解决。
例题分析
例 2. 求函数y tan(x )的定义域、值域和单调区间.
2

U

3 4

,


D.以上都不对
四、小结：正切函数的图像和性质
1、正切曲线是先利用平移正切线得y tan x, x ( , )的图象， 22
再利用周期性把该段图象向左、右扩展得到。
2 、y tan x 性质:
⑴ 定义域： {x | x k, k Z}
5
２、求函数y=tan3x的定义域，值域，单调增
区间。
定义域：｛x \ x k ,k z｝
值域：R
36
单调递增区间：（ k , k）,k z 6 36 3
例题分析
例３ 求函数 y tan 3x 的周期.
解： 因为tan(3x ) tan 3x,
63
答案:
1.
x

x
k


4

x

k


2
,k

Z

2.
x

x
k


2

x

k


4
,k

Z

3.
x


x

k


3

x

k

2
3
,k

Z

提高练习
求函数
y

tan

3x


3

的定义域、值域，并指出它的
单调性、奇偶性和周期性；
2

k

,
k
Z

32kkxx42k
k
4
4
函数的单调增区间是

k

3
4
, k


4

,
k
Z
反馈演练
1、比较大小：
(1)tan1380 ____<_tan1430 。
(2)tan(- 13π)____>_tan(- 17π)
4
(1)tan167o与tan173o
（2）tan(-
11π) 4
与
tan(-
13π) 5
解: (1) Q 900 1670 1730 1800
y

tan
x在


2
，

上是增函数，
tan1670 tan1730
(2)
tan(11 ) tan
4
Q0 2