函数的基本性质奇偶性教案2

合集下载

函数奇偶性的教学设计_2精选全文

函数奇偶性的教学设计_2精选全文

可编辑修改精选全文完整版函数的奇偶性教材分析:函数的奇偶性是函数的重要性质,是对函数概念的深化。

教材从观察实例开始,先动手操作实验(沿Y轴折叠偶函数图象),再观察函数图象的对称性、分析函数值表格,逐步领悟图形(函数图象)对称、点(函数图象上的点)对称、数(纵坐标)相等、式(函数式)相等之间的关系。

在建立函数奇偶性的概念之后,应用定义判断简单函数的奇偶性,讨论函数图象的对称性。

教学内容较好地渗透了数形结合的思想方法。

教学内容在教材中的呈现方式是:观察日常生活中的对称现象(产生对“对称”的感性认识)→观察数学图形(具有对称性的函数图象)→动手操作(折叠)实验→再观察思考→对称性的定性描述→尝试定量刻画→建立函数的奇偶性定义→性质讨论→问题解决与应用→再探究与引申。

学情分析:从知识储备方面,首先,学生已经学习了一次函数、二次函数、反比例函数等基本初等函数,因此可以从这些特殊的函数出发,为学习函数奇偶性提供丰富的素材;其次,学生也已经学习了轴对称图形和中心对称图形,具备一定识图能力;最后,学生刚刚学习了函数单调性,已经积累了研究函数的基本方法和初步经验。

另外,由于学生缺乏独立研究问题的经验,在函数奇偶性概念的形成过程中,特别是由图形语言到数学符号语言的转化过程中还存在一定困难,需要老师加以引导。

教学目标:知识与技能:1、从数和形两个角度理解偶函数、奇函数的概念;2、会判断一些简单函数的奇偶性。

过程与方法:在经历从图形直观感知到代数抽象概括,从特殊到一般的概念形成过程中,提高观察抽象能力以及归纳概括能力,并体会数形结合的数学思想。

情感、态度和价值观:在函数奇偶性概念形成过程中体会数学的对称美。

教学重点和难点:重点是函数的奇偶性的概念及其建立过程,判断函数的奇偶性;难点是对函数奇偶性概念的理解与认识。

教学过程:一:创设情景,揭示课题在我们日常生活中,存在许多对称的事物,(展示日常生活中常见的对称现象)比如:建筑物、美丽的蝴蝶、美丽的蜻蜓、麦当劳的标志。

函数的奇偶性教案(通用8篇)

函数的奇偶性教案(通用8篇)

函数的奇偶性教案(通用8篇)函数的奇偶性教案(通用8篇)作为一位兢兢业业的人民教师,很有必要精心设计一份教案,借助教案可以恰当地选择和运用教学方法,调动学生学习的积极性。

来参考自己需要的教案吧!下面是小编收集整理的函数的奇偶性教案,欢迎阅读,希望大家能够喜欢。

函数的奇偶性教案篇1教学目标:了解奇偶性的含义,会判断函数的奇偶性。

能证明一些简单函数的奇偶性。

弄清函数图象对称性与函数奇偶性的关系。

重点:判断函数的奇偶性难点:函数图象对称性与函数奇偶性的关系。

一、复习引入1、函数的单调性、最值2、函数的奇偶性(1)奇函数(2)偶函数(3)与图象对称性的关系(4)说明(定义域的要求)二、例题分析例1、判断下列函数是否为偶函数或奇函数例2、证明函数在R上是奇函数。

例3、试判断下列函数的奇偶性三、随堂练习1、函数()是奇函数但不是偶函数是偶函数但不是奇函数既是奇函数又是偶函数既不是奇函数又不是偶函数2、下列4个判断中,正确的是_______.(1)既是奇函数又是偶函数;(2)是奇函数;(3)是偶函数;(4)是非奇非偶函数3、函数的图象是否关于某直线对称?它是否为偶函数?函数的奇偶性教案篇2一、教学目标【知识与技能】理解函数的奇偶性及其几何意义.【过程与方法】利用指数函数的图像和性质,及单调性来解决问题.【情感态度与价值观】体会指数函数是一类重要的函数模型,激发学生学习数学的兴趣.二、教学重难点【重点】函数的奇偶性及其几何意义【难点】判断函数的奇偶性的方法与格式.三、教学过程(一)导入新课取一张纸,在其上画出平面直角坐标系,并在第一象限任画一可作为函数图象的图形,然后按如下操作并回答相应问题:1 以y轴为折痕将纸对折,并在纸的背面(即第二象限)画出第一象限内图形的痕迹,然后将纸展开,观察坐标系中的图形;问题:将第一象限和第二象限的图形看成一个整体,则这个图形可否作为某个函数y=f(x)的图象,若能请说出该图象具有什么特殊的性质?函数图象上相应的点的坐标有什么特殊的关系?答案:(1)可以作为某个函数y=f(x)的图象,并且它的图象关于y 轴对称;(2)若点(x,f(x))在函数图象上,则相应的点(-x,f(x))也在函数图象上,即函数图象上横坐标互为相反数的点,它们的纵坐标一定相等.(二)新课教学1.函数的奇偶性定义像上面实践操作1中的图象关于y轴对称的函数即是偶函数,操作2中的图象关于原点对称的函数即是奇函数.(1)偶函数(even function)一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数.(学生活动):仿照偶函数的定义给出奇函数的定义(2)奇函数(odd function)一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做奇函数.注意:1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质;2 由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个x,则-x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称).2.具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.3.典型例题(1)判断函数的奇偶性例1.(教材P36例3)应用函数奇偶性定义说明两个观察思考中的四个函数的奇偶性.(本例由学生讨论,师生共同总结具体方法步骤) 解:(略)总结:利用定义判断函数奇偶性的格式步骤:1 首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称;2 确定f(-x)与f(x)的关系;3 作出相应结论:若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则f(x)是偶函数;若f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则f(x)是奇函数.(三)巩固提高1.教材P46习题1.3 B组每1题解:(略)说明:函数具有奇偶性的一个必要条件是,定义域关于原点对称,所以判断函数的奇偶性应应首先判断函数的定义域是否关于原点对称,若不是即可断定函数是非奇非偶函数.2.利用函数的奇偶性补全函数的图象(教材P41思考题)规律:偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.说明:这也可以作为判断函数奇偶性的依据.(四)小结作业本节主要学习了函数的奇偶性,判断函数的奇偶性通常有两种方法,即定义法和图象法,用定义法判断函数的奇偶性时,必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称.单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点,需要学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质.课本P46 习题1.3(A组) 第9、10题, B组第2题.四、板书设计函数的奇偶性一、偶函数:一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数.二、奇函数:一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做奇函数.三、规律:偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.函数的奇偶性教案篇3学习目标 1.函数奇偶性的概念2.由函数图象研究函数的奇偶性3.函数奇偶性的判断重点:能运用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性难点:理解函数的奇偶性知识梳理:1.轴对称图形:2中心对称图形:【概念探究】1、画出函数,与的图像;并观察两个函数图像的对称性。

函数的奇偶性教案2篇

函数的奇偶性教案2篇

函数的奇偶性教案第一篇:函数的奇偶性教案目标:1. 了解函数的奇偶性的定义和性质。

2. 判断函数的奇偶性。

3. 通过练习题加深对函数的奇偶性的理解。

预计完成时间:1课时教学步骤:步骤一:引入话题(10分钟)教师可以用一个简单的问题引入话题,例如:你知道什么是函数的奇偶性吗?为什么需要关注函数的奇偶性?学生可以自由发言,激发学生们的兴趣。

步骤二:讲解奇偶性的概念(10分钟)教师简要讲解函数的奇偶性的概念,可以借助一些例子来说明。

奇函数和偶函数是对称的关系,奇函数关于y轴对称,而偶函数关于原点对称。

步骤三:奇偶性的判断方法(15分钟)教师讲解奇偶性的判断方法。

一般来说,对于一元函数,可以通过以下两种方法判断函数的奇偶性。

方法1:使用函数的定义式。

对于奇函数,f(-x)=-f(x)成立;对于偶函数,f(-x)=f(x)成立。

方法2:使用函数的图象。

对于奇函数,其图象关于原点对称;对于偶函数,其图象关于y轴对称。

步骤四:练习题(15分钟)教师提供一些练习题,让学生在纸上完成,然后进行讲解和讨论。

例如:1. 判断函数f(x)=x^3+3x^2-5x是否为奇函数。

2. 判断函数g(x)=2x^2-4是否为偶函数。

3. 利用函数的奇偶性,简化函数h(x)=5x^3-x^2+2x-1的图象。

步骤五:总结(10分钟)教师对本节课内容进行总结,并强调函数的奇偶性的重要性和应用。

第二篇:函数的奇偶性教案(续)目标:1. 掌握奇函数和偶函数的一些常见函数的性质。

2. 进一步加深对函数的奇偶性的理解。

3. 练习函数的奇偶性的判断和应用。

预计完成时间:1课时教学步骤:步骤一:引入话题(10分钟)教师可以复习上节课的内容,然后提问学生,你还记得什么是奇函数和偶函数吗?奇函数和偶函数有哪些性质?步骤二:常见函数的性质(15分钟)教师讲解一些常见函数的性质,例如:1. 幂函数:对于非负整数n,当n为奇数时,函数f(x)=x^n是奇函数;当n为偶数时,函数f(x)=x^n是偶函数。

函数的奇偶性公开课优秀教案(比赛课教案)

函数的奇偶性公开课优秀教案(比赛课教案)

《函数的奇偶性》教案“奇偶性”是人教版必修 1 中第一章“集合与函数概念”的第 3 节“函数的基本性质”的第 2 小节。

函数的奇偶性是函数的一条重要性质,教材从学生熟悉的初中学过的的一些轴对称图形入手,体味到数形结合思想,初步学会用数学的眼光看待事物,感受数学的对称美。

尝试画出f(x) = x 2和f(x) = |x|的图象,从特殊到普通,从具体到抽象,比较系统地介绍了函数的奇偶性.从知识结构看,奇偶性既是函数概念的拓展和深入,又是为以后学习基本初等函数奠定了基础。

因此,本节课起着承上启下的重要作用。

从学生的认知基础看,学生在初中已经学习了轴对称图形和中心对称图形,并且有了一定数量的简单函数的储备。

同时,上节课学习了函数单调性,积累了研究函数的基本方法与初步经验。

【知识与技能】1.理解奇函数、偶函数的概念及其几何意义;2.能从定义、图象特征、性质等多种角度判断函数的奇偶性,学会函数的应用。

【过程与方法】通过实例观察、具体函数分析、数与形的结合,定性与定量的转化,让学生经历函数奇偶性概念建立的全过程,体验数学概念学习的方法,积累数学学习的经验。

【情感、态度与价值观】1.在经历概念形成的过程中,培养学生内容、归纳、抽象、概括的能力;2.通过自主探索,体味数形结合的思想,感受数学的对称美。

函数奇偶性的概念和函数图象的特征。

利用函数奇偶性的概念和图象的对称性,证明或者判断函数的奇偶性。

引导发现法为主,直观演示法、类比法为辅。

PPT 课件。

出示一组轴对称和中心对称的图片。

设计意图:通过图片引起学生的兴趣,培养学生的审美观,激发学习兴趣。

师:“同学们,这是我们生活中常见的一些具有对称性的物体,你能说出它们有什么特点吗?”生:“它们的共同点都是关于某一地方是对称的。

”师:“是的,而我们今天要学习的函数图象也有类似的对称图象,首先我们来尝试画一下f(x) = x2 和f(x) = |x|的图象,并一起探索几个问题。

函数的奇偶性教案 (2)

函数的奇偶性教案 (2)

函数的奇偶性教案引言函数是数学中非常重要的概念之一,在高中数学课程中,我们经常会接触到各种类型的函数并学习相关的知识。

其中,函数的奇偶性是一个相对较为复杂的概念,需要进行较为深入的理解和掌握。

本教案将从奇函数和偶函数的定义、性质以及函数图像的对称性等方面,通过理论讲解和练习题的形式进行教学。

希望通过本教案的学习,学生能够清楚地理解函数的奇偶性概念,并能够熟练地应用到实际问题中去。

一、奇偶性的定义在学习函数的奇偶性之前,我们首先需要明确函数的定义。

1. 函数的定义函数是一种对应关系,它是一种将一个集合的元素映射到另一个集合的元素的规则。

函数可以用一个公式来表示,通常形式为:y = f(x)其中,x表示自变量,y表示因变量,f(x)表示函数。

2. 奇函数的定义奇函数是满足以下条件的函数:f(-x) = -f(x)换句话说,如果将函数的自变量取相反数,并且函数值取相反数后仍然相等,那么这个函数就是奇函数。

3. 偶函数的定义偶函数是满足以下条件的函数:f(-x) = f(x)换句话说,如果将函数的自变量取相反数,并且函数值保持不变,那么这个函数就是偶函数。

二、奇偶性的性质了解奇偶函数的性质对于理解和应用奇偶性概念非常重要。

1. 奇函数的性质奇函数具有以下性质:•奇函数关于原点对称,即对任意x,有f(-x) = -f(x)。

•奇函数的图像关于原点对称。

2. 偶函数的性质偶函数具有以下性质:•偶函数关于y轴对称,即对任意x,有f(-x) = f(x)。

•偶函数的图像关于y轴对称。

3. 注意事项•一个函数既可以是奇函数,又可以是偶函数。

例如,f(x) = 0既是奇函数也是偶函数。

•如果一个函数既不是奇函数,也不是偶函数,则称其为既非奇函数又非偶函数。

三、探索奇偶性的应用奇函数和偶函数的性质在实际问题中有广泛的应用。

下面是几个常见的例子:•对于奇函数,当已知函数在某个点的函数值时,我们可以利用奇函数的性质得到对称的另外一个点的函数值。

1.3函数的基本性质——奇偶性(2)

1.3函数的基本性质——奇偶性(2)
例. 设函数 f(x)=mx2-mx-1. (1)若对一切实数 x,f(x)<0 恒成立,求 m 的取值范围; (2)若对于 x∈[1,3],f(x)<-m+5 恒成立,求 m 的取值 范围.
(3)若对于m 1, 3,f ( x) 0恒成立,求x的取值范围.
x 2x a 补充题.已知函数f(x)= 若对任意x∈[1,+∞), x
1.3 函数的基本性质 ——奇偶性
鲁迅中学高一备课组
一、奇偶函数的性质
练习:求函数f ( x) x 2 | x | 3的
2
单调区间结论:奇函数在关于原点 Nhomakorabea称的区间上增减性相 同;偶函数在关于原点对称的区间上增减性相反。
例1、已知y f ( x)为偶函数, y g ( x) 为奇函数, 定义域均为[3,3], 且它们在 y轴右侧的图象如图所示, 求不等式 f ( x) g ( x) 0的解集.
例5.设f (x)是偶函数,g (x)是奇函数, 且 f ( x) g ( x) 1 ,求函数f (x),g(x) x 1 的解析式;
利用二次函数的性质求函数的最大(小)值
补充题已知函数 . f ( x) x 2 2ax+2, 求f ( x) 在区间[1,3]上的最值.
恒成立问题
2
f (x)>3.5恒成立,试求实数a的取值范围.
恒成立问题
例(1)若不等式 x 1 x 2 k 对所有的x恒成立, 求k的取值范围.
(2)若不等式 x 1 x 1 a对所有的x恒成立, 求a的取值范围.
(2)设f ( x)是定义在R上的奇函数, 且f(x+2)=-f(x),当0 x 1时, f(x)=x,则f(7.5)=_______

函数的奇偶性教案

函数的奇偶性教案

函数的奇偶性教案【教案】一、教学目标:1. 理解函数的奇偶性的概念及其性质;2. 能够判断一个函数的奇偶性;3. 掌握判断奇偶性的常见方法和技巧;4. 运用奇偶性的性质解决实际问题。

二、教学内容:1. 函数的奇偶性的概念;2. 奇函数和偶函数的定义;3. 判断奇偶性的常见方法;4. 奇偶函数的性质与图像特点;5. 应用题。

三、教学过程:步骤一:概念解释和引入(15分钟)1. 教师解释函数的奇偶性的概念:函数的奇偶性是指函数的性质,即定义域内的数值对应的函数值关于y轴对称时称为偶函数,关于原点对称时称为奇函数。

2. 通过讲解实例引入奇函数和偶函数的定义:- 如果对于函数中的任意实数x,都有f(-x) = -f(x),则称该函数为奇函数;- 如果对于函数中的任意实数x,都有f(-x) = f(x),则称该函数为偶函数。

3. 通过图示例子,引导学生观察奇函数和偶函数的图像特点。

步骤二:判断奇偶性的方法(20分钟)1. 简单函数的奇偶性判断:- 偶函数的性质:如果函数的所有偶次幂(如x^2, x^4等)项的系数都是偶数,那么这个函数就是偶函数;- 奇函数的性质:如果函数的所有奇次幂(如x^1, x^3等)项的系数都是奇数,那么这个函数就是奇函数。

2. 通过实例练习,让学生理解并熟练运用判断奇偶性的方法。

步骤三:性质与图像特点(25分钟)1. 奇函数的性质和图像特点:- 奇函数的图像关于原点对称;- 在原点处,奇函数的导数为0;- 奇函数在关于原点对称的两个点上的导数相等。

2. 偶函数的性质和图像特点:- 偶函数的图像关于y轴对称;- 在关于y轴对称的两个点上,偶函数的导数相等。

步骤四:应用题解析(20分钟)1. 练习题选取与实际生活相关的问题,如温度变化规律、物体运动轨迹等;2. 通过奇偶性的性质,解答相关问题。

步骤五:小结和拓展(10分钟)1. 对本节课的内容进行小结和总结;2. 拓展:进一步学习函数的周期性和对称性的概念。

函数奇偶性的教案

函数奇偶性的教案

函数奇偶性的教案第一章:函数奇偶性的概念引入教学目标:1. 理解函数奇偶性的基本概念;2. 学会判断函数的奇偶性;3. 理解奇偶性在数学中的应用。

教学内容:1. 引入函数的概念;2. 介绍奇偶性的定义;3. 举例说明奇偶性的判断方法。

教学活动:1. 引导学生回顾函数的定义,强调函数的输入输出关系;2. 引入奇偶性的概念,解释奇偶性的含义;3. 通过具体例子,让学生学会判断函数的奇偶性;4. 练习判断一些简单函数的奇偶性;5. 引导学生思考奇偶性在数学中的应用,如物理中的对称性等。

教学评价:1. 检查学生对函数奇偶性概念的理解;2. 评估学生判断函数奇偶性的能力;3. 考察学生对奇偶性应用的理解。

第二章:偶函数的性质教学目标:1. 理解偶函数的定义及其性质;2. 学会运用偶函数的性质解决问题;3. 掌握偶函数图像的特点。

教学内容:1. 偶函数的定义及其性质;2. 偶函数图像的特点;3. 偶函数在实际问题中的应用。

教学活动:1. 引导学生回顾上一章所学的内容,强调奇偶性的概念;2. 引入偶函数的定义,解释偶函数的含义;3. 通过具体例子,让学生学会运用偶函数的性质解决问题;4. 练习运用偶函数性质解决一些实际问题;5. 引导学生思考偶函数图像的特点,分析偶函数在实际问题中的应用。

教学评价:1. 检查学生对偶函数定义及其性质的理解;2. 评估学生运用偶函数性质解决问题的能力;3. 考察学生对偶函数图像特点的认识。

第三章:奇函数的性质教学目标:1. 理解奇函数的定义及其性质;2. 学会运用奇函数的性质解决问题;3. 掌握奇函数图像的特点。

教学内容:1. 奇函数的定义及其性质;2. 奇函数图像的特点;3. 奇函数在实际问题中的应用。

教学活动:1. 引导学生回顾前两章所学的内容,强调奇偶性的概念;2. 引入奇函数的定义,解释奇函数的含义;3. 通过具体例子,让学生学会运用奇函数的性质解决问题;4. 练习运用奇函数性质解决一些实际问题;5. 引导学生思考奇函数图像的特点,分析奇函数在实际问题中的应用。

高中数学人教A版必修一 函数的奇偶性 (2)

高中数学人教A版必修一 函数的奇偶性 (2)
–1
–2 –3
x g(x) = x2 + 1
讲授新课
关于奇偶函数的几点说明:
1.如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就说函数f(x)具有奇偶性,函数的奇偶性是 函数的整体性质;
2.奇偶函数必须满足两个条件:(1)定义域必须关于原点对称; (2)满足f(-x)=f(x)【偶】或者f(-x)=-f(x)【奇】。
课本P85 练习 1,2,3
延伸拓展
伍 延伸拓展
1.思考辨析
[答案]
(1)函数 f(x)=x2,x∈[0,+∞)是偶函数.( ) (1)× (2)×
(2)对于函数 y=f(x),若存在 x,使 f(-x)=-f(x), (3)× (4)×
则函数 y=f(x)一定是奇函数.( )
(3)不存在既是奇函数,又是偶函数的函数.( )
2.奇函数
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么
f(x)就叫做奇函数.
例如.函数f(x)
x3, g(x)
x 都是奇函数,他们的图像如下所示: x2 1
y
y
3
3
2
2
1
1
–3 –2 –1 O 1 2 3 x
–1 –2 –3
f(x) = x3
–3 –2 –1 O 1 2 3 x
O1 2 3 4 x
–1
Hale Waihona Puke –22 g(x) = x2 + 1
【问题2】:(1) 这两个函数图象又有什么共同特征吗?
(2) 相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的?
y
3 2
f(-1)=-1,f(1)=1
y
3

函数奇偶性的应用(第二课时) 教案

函数奇偶性的应用(第二课时) 教案

第三章函数的概念与性质 3.2 函数的基本性质3.2.2 奇偶性【素养目标】1.掌握利用函数奇偶性求函数解析式的方法;2.理解并能运用函数的单调性和奇偶性解决比较大小、求最值、解不等式等综合问题. 【重点】利用函数奇偶性求函数解析式,求函数值. 【难点】运用函数的单调性和奇偶性解决综合问题.第二课时函数奇偶性的应用要点整合夯基础 基础知识知识点一函数奇偶性的性质1.奇、偶函数代数特征的灵活变通 由f (-x )=-f (x ),可得f (-x )+f (x )=_0_或()()f x f x -=__-1_(f (x )≠0);由f (-x )=f (x ),可得f (-x )-f (x )=__0__或()()f x f x -=__1__(f (x )≠0).在判定函数的奇偶性方面,有时利用变通后的等式更为方便.2.函数奇偶性的重要结论(1)如果一个奇函数f (x )在原点处有定义,即f (0)有意义,那么一定有_____(0)0f =____,有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数.(2)如果函数f (x )是偶函数,那么__()(||)f x f x =___. 思考1:什么函数既是奇函数又是偶函数?提示:设f (x )既是奇函数又是偶函数,则f (-x )=-f (x ),且f (-x )=f (x ),故-f (x )=f (x ),所以f (x )=0,但定义域需关于原点对称.故既是奇函数又是偶函数的函数有无数多个,它们为f (x )=0且其定义域是关于原点对称的非空数集.思考2:利用奇、偶函数的图象特征,直接观察函数奇偶性与单调性、最值之间有怎样的关系?提示:(1)奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性.(2)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值,取最值时的自变量互为相反数;奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数,取最值时的自变量也互为相反数.知识点二函数奇偶性与单调性的联系由于奇函数的图象关于原点对称,因此奇函数在定义域内关于原点对称的区间上的单调性___相同____,而偶函数的图象关于y 轴对称,因此偶函数在定义域内关于原点对称的区间上的单调性_____相反____,求解函数单调性与奇偶性的综合问题,要注意应用思考3:设f (x )是R 上的偶函数,且在[0,+∞)上单调递增,则f (-2),f (-π),f (3)的大小顺序是_____()(3)(2)f f f π->>-_____. 解析:∵f (x )是R 上的偶函数, ∴f (-2)=f (2),f (-π)=f (π),又f (x )在[0,+∞)上递增,而2<3<π,∴f (π)>f (3)>f (2),即f (-π)>f (3)>f (-2).典例讲练破题型 题型探究类型一利用函数的奇偶性求函数的值或解析式【例1】(1)已知函数f (x )=ax 3-bx +3(其中a 、b 为常数),若f (3)=2015,则f (-3)=___2009-_____.(2)已知f (x )是R 上的奇函数,且当x >0时,f (x )=x 3+x +1,求f (x )的解析式.【解析】(1)法1:设g (x )=f (x )-3,则g (x )=ax 3-bx ,显然g (x )为R 上的奇函数. 又g (3)=f (3)-3=2015-3=2012, 所以g (-3)=-g (3),即f (-3)-3=-2012,解得f (-3)=-2009.法2:f (x )+f (-x )=6,f (-3)=6-f (3)=6-2015=-2009. (2)设x <0,则-x >0,∴f (-x )=(-x )3-x +1=-x 3-x +1. 又∵f (x )是奇函数,则f (-x )=-f (x ). ∴-f (x )=-x 3-x +1,即f (x )=x 3+x -1. ∴x <0时,f (x )=x 3+x -1.又f (x )是奇函数,且在x =0处有意义,则f (0)=0.∴331,0()0,01,0x x x f x x x x x ⎧++>⎪==⎨⎪+-<⎩【通法提炼】(1)利用奇偶性求函数解析式时,求哪个区间的解析式就设x 在哪个区间,然后转化代入已知区间的解析式,根据f (x )与f (-x )的关系求f (x ).(2)本题中是求x ∈R 时的函数解析式,不要忘记x =0的特殊情况.【变式训练1】(1)已知f (x )是奇函数,g (x )是偶函数,且f (-1)+g (1)=2,f (1)+g (-1)=4,则g (1)等于( B ) A .4 B .3 C .2 D .1(2)已知f (x )是定义域为R 的偶函数,当x >0时,f (x )=x 2+x ,则x <0时,f (x )=_2x x -_____. 【解析】(1)∵f (x )是奇函数,g (x )是偶函数, ∴f (-1)+g (1)=2,即-f (1)+g (1)=2.① f (1)+g (-1)=4,即f (1)+g (1)=4.② 由①+②得g (1)=3,故选B. (2)设x <0,则-x >0.∴f (-x )=(-x )2-x =x 2-x .又∵f (x )是定义域为R 的偶函数,∴f (-x )=f (x )=x 2-x ,∴当x <0时,f (x )=x 2-x .类型二函数的奇偶性与单调性的综合应用命题视角1:比较大小【例2】若f (x )是偶函数,其定义域为(-∞,+∞),且在[0,+∞)上是减函数,则3()2f -与25(2)2f a a ++的大小关系是( C )A .235()(2)22f f a a ->++B .235()(2)22f f a a -<++C .235()(2)22f f a a -≥++D .235()(2)22f f a a -≤++【解析】因为a 2+2a +52=(a +1)2+32≥32,又f (x )为偶函数,且在[0,+∞)上是减函数,所以2335()()(2)222f f f a a -=≥++.【通法提炼】奇函数、偶函数的单调性的对称规律在不同区间内的自变量对应的函数值比较大小中作用很大.对于偶函数,如果两个自变量的取值在关于原点对称的两个不同的单调区间上,即正负不统一,应利用图象的对称性将两个值化归到同一个单调区间内,然后再根据单调性判断. 【变式训练2】已知定义域为R 的函数f (x )在区间(8,+∞)上为减函数,且函数y =f (x +8)为偶函数,则( D )A .f (6)>f (7)B .f (6)>f (9)C .f (7)>f (9)D .f (7)>f (10) 【解析】由题易知y =f (x +8)为偶函数,则f (-x +8)=f (x +8),则f (x )的图象的对称轴为x =8.不妨画出符合已知条件的一个函数的大致图象(如图),则有f (6)<f (7),f (6)=f (10)<f (9),f (7)=f (9)>f (10).故选D.命题视角2:解不等式【例3】设定义在[-2,2]上的奇函数f (x )在区间[0,2]上是减函数,若f (1-m )<f (m ),求实数m 的取值范围.【分析】由于f (x )是奇函数,可得f (x )在[-2,0]上递减,借助函数的奇偶性及其单调区间,可将抽象不等式f (1-m )<f (m )转化为具体的不等式组求解.【解析】因为f (x )是奇函数且f (x )在[0,2]上是减函数,所以f (x )在[-2,2]上是减函数.所以不等式f (1-m )<f (m )等价于122212m mm m ->⎧⎪-≤≤⎨⎪-≤-≤⎩解得112m -≤<.所以实数m 的取值范围是1[1,)2-.【通法提炼】解抽象不等式时一定要充分利用已知条件,把已知不等式转化成f (x 1)>f (x 2)或f (x 1)<f (x 2)的形式,再根据奇函数在对称区间上单调性一致,偶函数在对称区间上单调性相反,列出不等式或不等式组,同时不能漏掉函数自身定义域对参数的影响.【变式训练3】已知偶函数f (x )在区间[0,+∞)上单调递增,则满足f (2x -1)<1()3f 的x 的取值范围是( A )A.12(,)33B.12[,)33C.12(,)23D.12[,)23【解析】因为f (x )为偶函数且在[0,+∞)上是增函数,所以结合图象(如图)由f (2x -1)<1()3f得-13<2x -1<13.解得1233x <<.命题视角3:奇偶性与单调性的综合应用【例4】函数f (x )的定义域为{x |x ≠0},且满足对于定义域内任意的x 1,x 2都有等式f (x 1·x 2)=f (x 1)+f (x 2)成立. (1)求f (1)的值.(2)判断f (x )的奇偶性并证明.(3)若f (4)=1,且f (x )在(0,+∞)上是增函数,解关于x 的不等式f (3x +1)+f (-6)≤3. 【解析】(1)令x 1=x 2=1得,f (1)=f (1)+f (1), ∴f (1)=0.(2)f (x )为偶函数.证明如下: 令x 1=x 2=-1,则f (-1)=0,令x 1=-1,x 2=x ,∴f (-x )=f (x ),又定义域为{x |x ≠0},关于原点对称,∴f (x )为偶函数. (3)∵f (4)=1,又f (x 1·x 2)=f (x 1)+f (x 2), ∴f (4)+f (4)=f (4×4)=f (16), ∴f (16)+f (4)=f (16×4)=f (64),∴f (64)=f (4)+f (4)+f (4),∴f (64)=3.∴f (3x +1)+f (-6)≤3等价于f (-6(3x +1))≤3,∴f (|-6(3x +1)|)≤f (64),∴310|6(31)|64x x +≠⎧⎨-+≤⎩解得x ∈351129[,)(,]9339---.【通法提炼】对于抽象函数奇偶性、单调性的判断,定义法是一种常用手段.具体的解题策略是:首先通过赋值得到f (1),f (0),f (-1)之类的特殊自变量的函数值,然后通过赋值构造f (x )与f (-x )或f (x 2)与f (x 1)之间的关系式进行函数奇偶性或单调性的判断. 【变式训练4】已知定义在(-1,1)上的奇函数2()1ax b f x x +=+是增函数,且12()25f =. (1)求函数f (x )的解析式; (2)解不等式f (t -1)+f (2t )<0.【解析】(1)因为2()1ax bf x x +=+是定义在(-1,1)上的奇函数,则f (0)=0,得b =0. 又因为12()25f =,则2122115()12aa =⇒=+.所以2()1xf x x =+.(2)因为定义在(-1,1)上的奇函数f (x )是增函数, 由f (t -1)+f (2t )<0,得f (t -1)<-f (2t )=f (-2t ).所以有02 11111 12122 1213ttt tt tt⎧⎪<<-<-<⎧⎪⎪⎪-<-<⇒-<<⎨⎨⎪⎪-<-⎩⎪<⎪⎩解得0<t<1 3 .故不等式f(t-1)+f(2t)<0的解集为{t|0<t<13 }.课堂达标练经典1.若偶函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,则a=f(),b=f(2π),c=f(32)的大小关系是( C )A.b<a<c B.b<c<a C.a<c<b D.c<a<b【解析】f(x)为偶函数,则a=f()=f).322π<<,f(x)在(0,+∞)上是增函数,∴3()()22f f fπ<<,即a<c<b.2.已知函数f(x)是偶函数,且x<0时,f(x)=3x-1,则x>0时,f(x)=( C )A.3x-1 B.3x+1C.-3x-1 D.-3x+1【解析】设x>0,则-x<0.∴f(-x)=-3x-1.又∵f(x)是偶函数,∴x>0时,f(x)=f(-x)=-3x-1.3.若f(x)是定义在[-6,6]上的偶函数,且f(4)>f(1),则下列各式一定成立的是( D )A.f(0)<f(6) B.f(4)>f(3)C.f(2)>f(0) D.f(-1)<f(4)【解析】∵f(x)是定义在[-6,6]上的偶函数,∴f(-1)=f(1).又f(4)>f(1),∴f(4)>f(-1).4.已知函数f(x)是R上的奇函数,且在R上是减函数,若f(a-1)+f(1)>0,则实数a的取值范围是___(,0)-∞__________.【解析】∵f(a-1)+f(1)>0,∴f(a-1)>-f(1).∵f(x)是奇函数,∴f(-1)=-f(1).∴f(a-1)>f(-1).又f(x)在R上是减函数,∴a-1<-1,即a<0.5.已知奇函数f(x)在R上是减函数,且f(3a-10)+f(4-2a)<0,求a的取值范围.【解析】∵f(3a-10)+f(4-2a)<0,∴f(3a-10)<-f(4-2a),∵f(x)为奇函数,∴-f(4-2a)=f(2a-4),∴f(3a-10)<f(2a-4).又f(x)在R上是减函数,∴3a-10>2a-4,∴a>6.故a的取值范围为(6,+∞).课时作业 A 组素养自测一、选择题1.已知函数f (x )为奇函数,且当x >0时,f (x )=x 2+1x,则f (-1)等于( A )A .-2B .0C .1D .2【解析】因为x >0时,f (x )=x 2+1x,所以f (1)=1+1=2.又f (x )为奇函数,所以f (-1)=-f (1)=-2.故选A .2.已知f (x )=ax 7-bx 5+cx 3+2,且f (-5)=m ,则f (5)+f (-5)的值为( A ) A .4 B .0 C .2m D .-m +4【解析】由f (-5)=a (-5)7-b (-5)5+c (-5)3+2=-a ·57+b ·55-c ·53+2=m ,得a ·57-b ·55+c ·53=2-m ,则f (5)=a ·57-b ·55+c ·53+2=2-m +2=4-m . 所以f (5)+f (-5)=4-m +m =4.故选A .3.已知函数f (x )是定义在(-∞,+∞)上的奇函数,当x ∈(-∞,0)时,f (x )=x -x 4,则当x ∈(0,+∞)时,f (x )等于( A ) A .x +x 4 B .-x -x 4 C .-x +x 4 D .x -x 4 【解析】当x ∈(0,+∞)时,-x ∈(-∞,0). 则f (-x )=-x -(-x )4=-x -x 4. 又因为函数f (x )为奇函数,所以f (x )=-f (-x ),x ∈(0,+∞).从而在区间(0,+∞)上的函数表达式为f (x )=x +x 4.故选A . 4.偶函数y =f (x )在区间[0,+∞)上单调递增,则有( A )A .f (-π)>f ⎝⎛⎭⎫π3>f (-1)B .f ⎝⎛⎭⎫π3>f (-1)>f (-π)C .f (-π)>f (-1)>f ⎝⎛⎭⎫π3D .f (-1)>f (-π)>f ⎝⎛⎭⎫π3【解析】由题意,得f (-π)=f (π),f (-1)=f (1).又函数f (x )在[0,+∞)上单调递增,且1<π3<π,所以f (1)<f ⎝⎛⎭⎫π3<f (π),即f (-1)<f ⎝⎛⎭⎫π3<f (-π).故选A . 5.定义在R 上的偶函数在[0,7]上是增函数,在[7,+∞)上是减函数,又f (7)=6,则f (x )( B ) A .在[-7,0]上是增函数,且最大值是6 B .在[-7,0]上是减函数,且最大值是6 C .在[-7,0]上是增函数,且最小值是6 D .在[-7,0]上是减函数,且最小值是6【解析】由f (x )是偶函数,得f (x )的图象关于y 轴对称,其图象可以用如图简单地表示,则f (x )在[-7,0]上是减函数,且最大值为6.故选B .6.若偶函数f (x )在(0,+∞)上为减函数,且f (2)=0,则不等式()()0f x f x x+->的解集为( B )A .(-2,0)∪(2,+∞)B .(-∞,-2)∪(0,2)C .(-∞,-2)∪(2,+∞)D .(-2,0)∪(0,2)【解析】∵f (x )为偶函数,∴()()2()0f x f x f x x x +-=>,∴xf (x )>0,∴0()0x f x >⎧⎨>⎩或0()0x f x <⎧⎨<⎩又f (-2)=f (2)=0,f (x )在(0,+∞)上为减函数,∴x ∈(0,2)或x ∈(-∞,-2).故选B .二、填空题7.设函数y =f (x )是偶函数,它在[0,1]上的图象如图.则它在[-1,0]上的解析式为f (x )=x +2.【解析】由题意知f (x )在[-1,0]上为一条线段,且过(-1,1),(0,2),设f (x )=kx +b ,代入解得k =1,b =2.所以f (x )=x +2.8.已知f (x )是定义在R 上的奇函数,当x >0时,f (x )=x 2+mx +1,若f (2)=3f (-1),则m =-115. 【解析】∵x >0时,f (x )=x 2+mx +1, ∴f (2)=5+2m ,f (1)=2+m , 又f (-1)=-f (1)=-2-m ,由f (2)=3f (-1)知,5+2m =-6-3m ,∴m =-115.9.已知函数f (x )是定义在[-2,0)∪(0,2]上的奇函数.当x >0时,f (x )的图象如图所示,则函数f (x )的值域是[-3,-2)∪(2,3].【解析】∵函数f (x )为奇函数,在(0,2]上的值域为(2,3],∴f (x )在[-2,0)上的值域为[-3,-2).故f (x )的值域为[-3,-2)∪(2,3]. 三、解答题10.函数f (x )是定义在R 上的偶函数,且当x >0时,函数的解析式为f (x )=2x-1.(1)求f (-1)的值;(2)求当x <0时函数的解析式;(3)用定义证明f (x )在(0,+∞)上是减函数. 【解析】(1)因为f (x )是偶函数, 所以f (-1)=f (1)=2-1=1.(2)当x <0时,-x >0,所以f (-x )=2-x-1.又因为f (x )为偶函数,所以当x <0时,f (x )=f (-x )=2-x-1=-2x -1.(3)证明:设x 1,x 2是(0,+∞)上的任意两个实数,且0<x 1<x 2,则f (x 2)-f (x 1)=2x 2-1-⎝⎛⎭⎫2x 1-1=2x 2-2x 1=2x 1-x 2x 1x 2. 因为x 1-x 2<0,x 1x 2>0. 所以f (x 2)-f (x 1)<0. 所以f (x 1)>f (x 2).因此f (x )=2x-1在(0,+∞)上是减函数.11.已知函数f (x )的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),对定义域内的任意x 1,x 2都有f (x 1x 2)=f (x 1)+f (x 2),且当x >1时,f (x )>0. (1)求证:f (x )是偶函数;(2)求证:f (x )在(0,+∞)上是增函数;(3)试比较f ⎝⎛⎭⎫-52与f ⎝⎛⎭⎫74的大小. 【解析】(1)证明:函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞). ∵令x 1=x 2=1,得f (1×1)=f (1)+f (1), ∴f (1)=0.令x 1=x 2=-1,得f (1)=f ((-1)×(-1))=f (-1)+f (-1), ∴2f (-1)=0,∴f (-1)=0. ∴f (-x )=f (-1·x )=f (-1)+f (x )=f (x ). ∴f (x )是偶函数.(2)证明:设0<x 1<x 2,则f (x 2)-f (x 1)=f ⎝⎛⎭⎫x 1·x 2x 1-f (x 1) =f (x 1)+f ⎝⎛⎭⎫x 2x 1-f (x 1)=f ⎝⎛⎭⎫x 2x 1. ∵x 2>x 1>0,∴x 2x 1>1,∴f ⎝⎛⎭⎫x 2x 1>0, 即f (x 2)-f (x 1)>0.∴f (x 2)>f (x 1), 即f (x 1)<f (x 2).∴f (x )在(0,+∞)上是增函数. (3)由(1)知f (x )是偶函数,则有f ⎝⎛⎭⎫-52=f ⎝⎛⎭⎫52, 由(2)知f (x )在(0,+∞)上是增函数,则f ⎝⎛⎭⎫52>f ⎝⎛⎭⎫74.∴f ⎝⎛⎭⎫-52>f ⎝⎛⎭⎫74.B 组素养提升12.若函数y =f (x )是偶函数,定义域为R ,且该函数图象与x 轴的交点有3个,则下列说法正确的是( A )①3个交点的横坐标之和为0;②3个交点的横坐标之和不是定值,与函数解析式有关;③f (0)=0;④f (0)的值与函数解析式有关.A .①③B .①④C .②④D .②③【解析】由于偶函数图象关于y 轴对称,若(x 0,0)是函数与x 轴的交点,则(-x 0,0)一定也是函数与x 轴的交点,当交点个数为3个时,有一个交点一定是原点,从而①③正确. 13.设f (x )是(-∞,+∞)上的奇函数,f (x +2)=-f (x ),当0≤x ≤1时,f (x )=x ,则f (7.5)等于( B ) A .0.5 B .-0.5 C .1.5 D .-1.5【解析】由已知,可得f (7.5)=f (5.5+2)=-f (5.5)=-f (2+3.5)=-[-f (3.5)]=f (3.5)=f (2+1.5)=-f (1.5)=-f (2-0.5)=-[-f (-0.5)]=f (-0.5)=-f (0.5)=-0.5. 14.奇函数f (x )满足:①f (x )在(0,+∞)内单调递增;②f (1)=0.则不等式x ·f (x )>0的解集为(-∞,-1)∪(1,+∞).【解析】∵f (x )在(0,+∞)上是增函数且是奇函数,f (1)=0. ∴f (x )在(-∞,0)上是增函数,f (-1)=0. 当x >0时,f (x )>0 即f (x )>f (1),∴x >1, 当x <0时,f (x )<0, 即f (x )<f (-1),∴x <-1. ∴x ·f (x )>0的解集为(-∞,-1)∪(1,+∞).15.已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数,且当x ≤0时,f (x )=x 2+2x .函数f (x )在y 轴左侧的图象如图所示.(1)写出函数f (x ),x ∈R 的增区间; (2)求函数f (x ),x ∈R 的解析式;(3)若函数g (x )=f (x )-2ax +2,x ∈[1,2],求函数g (x )的最小值. 【解析】(1)f (x )的增区间为(-1,0),(1,+∞). (2)设x >0,则-x <0,∵函数f (x )是定义在R 上的偶函数, 且当x ≤0时,f (x )=x 2+2x . ∴f (x )=f (-x )=(-x )2+2×(-x )=x 2-2x (x >0),∴f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+2x x ≤0,x 2-2x x >0.(3)由(2)知g (x )=x 2-(2+2a )x +2,x ∈[1,2],其图象的对称轴为x =a +1, 当a +1≤1,即a ≤0时,g (x )min =g (1)=1-2a ;当1<a +1<2,即0<a <1时,g (x )min =g (a +1)=-a 2-2a +1; 当a +1≥2,即a ≥1时,g (x )min =g (2)=2-4A .综上,g (x )min =⎩⎪⎨⎪⎧1-2a a ≤0,-a 2-2a +10<a <1,2-4a a ≥1.课堂小结本课堂需掌握的三个问题:1.函数的奇偶性是其相应图象特殊对称性的反映,也体现了在关于原点对称的定义域的两个区间上函数值及其性质的相互转化,这是对称思想的应用.2.(1)根据奇函数的定义,如果一个奇函数在原点处有定义,即f(0)有意义,那么一定有f(0)=0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数.(2)偶函数的一个重要性质:f(|x|)=f(x),它能使自变量化归到[0,+∞)上,避免分类讨论.3.具有奇偶性的函数的单调性的特点:(1)奇函数在[a,b]和[-b,-a]上具有相同的单调性.(2)偶函数在[a,b]和[-b,-a]上具有相反的单调性.。

2020-2021学年数学新教材人教A版必修第一册 3.2 函数的基本性质 教案 (2)

2020-2021学年数学新教材人教A版必修第一册 3.2 函数的基本性质 教案 (2)

3.2.2奇偶性第1课时奇偶性的概念学习目标 1.了解函数奇偶性的定义.2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法.3.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题.知识点一函数奇偶性的几何特征一般地,图象关于y轴对称的函数称为偶函数,图象关于原点对称的函数称为奇函数.知识点二函数奇偶性的定义1.偶函数:函数f(x)的定义域为I,如果∀x∈I,都有-x∈I,且f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数.2.奇函数:函数f(x)的定义域为I,如果∀x∈I,都有-x∈I,且f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数.知识点三奇(偶)函数的定义域特征奇(偶)函数的定义域关于原点对称.1.奇、偶函数的定义域都关于原点对称.(√)2.函数f(x)=x2+|x|的图象关于原点对称.(×)3.对于定义在R上的函数f(x),若f(-1)=f(1),则函数f(x)一定是偶函数.(×)4.不存在既是奇函数又是偶函数的函数.(×)一、函数奇偶性的判断例1判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)=1 x;(2)f(x)=x2(x2+2);(3)f(x)=xx-1;(4)f(x)=x2-1+1-x2.解 (1)f (x )=1x 的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),∵f (-x )=1-x =-1x =-f (x ),∴f (x )=1x是奇函数.(2)f (x )=x 2(x 2+2)的定义域为R . ∵f (-x )=f (x ),∴f (x )=x 2(x 2+2)是偶函数. (3)f (x )=xx -1的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞), ∵定义域不关于原点对称,∴f (x )=xx -1既不是奇函数,也不是偶函数.(4)f (x )=x 2-1+1-x 2的定义域为{-1,1}. ∵f (-x )=f (x )=-f (x )=0,∴f (x )=x 2-1+1-x 2既为奇函数,又为偶函数. 反思感悟 判断函数奇偶性的方法 (1)定义法:①定义域关于原点对称; ②确定f (-x )与f (x )的关系. (2)图象法.跟踪训练1 判断下列函数的奇偶性. (1)f (x )=x ; (2)f (x )=1-x 2x;(3)f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+x ,x >0,x 2-x ,x <0.解 (1)函数f (x )的定义域为[0,+∞),不关于原点对称,所以f (x )=x 是非奇非偶函数. (2)f (x )的定义域为[-1,0)∪(0,1],关于原点对称. f (-x )=1-x 2-x =-f (x ),所以f (x )为奇函数.(3)f (x )的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称, 当x >0时,-x <0,则f (-x )=(-x )2-(-x )=x 2+x =f (x );当x<0时,-x>0,则f(-x)=(-x)2+(-x)=x2-x=f(x),所以f(x)是偶函数.二、奇、偶函数图象的应用例2定义在R上的奇函数f(x)在[0,+∞)上的图象如图所示.(1)画出f(x)的图象;(2)解不等式xf(x)>0.考点函数图象的对称性题点中心对称问题解(1)先描出(1,1),(2,0)关于原点的对称点(-1,-1),(-2,0),连线可得f(x)的图象如图.(2)xf(x)>0即图象上横坐标、纵坐标同号.结合图象可知,xf(x)>0的解集是(-2,0)∪(0,2).延伸探究把本例中的“奇函数”改为“偶函数”,重做该题.解(1)f(x)的图象如图所示:(2)xf(x)>0的解集是(-∞,-2)∪(0,2).反思感悟可以用奇(偶)函数图象关于原点(y轴)对称这一特性去画图,求值,解不等式等.跟踪训练2已知奇函数f(x)的定义域为[-5,5],且在区间[0,5]上的图象如图所示.(1)画出在区间[-5,0]上的图象;(2)写出使f(x)<0的x的取值集合.考点 函数图象的对称性 题点 中心对称问题解 (1)如图,在[0,5]上的图象上选取5个关键点O ,A ,B ,C ,D .分别描出它们关于原点的对称点O ′,A ′,B ′,C ′,D ′, 再用光滑曲线连接即得.(2)由(1)图可知,当且仅当x ∈(-2,0)∪(2,5)时,f (x )<0. ∴使f (x )<0的x 的取值集合为{x |-2<x <0或2<x <5}. 三、利用函数的奇偶性求参数值例3 (1)若函数f (x )=ax 2+bx +3a +b 是偶函数,定义域为[a -1,2a ],则a =________,b =________. 答案 13解析 因为偶函数的定义域关于原点对称, 所以a -1=-2a ,解得a =13.又函数f (x )=13x 2+bx +b +1为二次函数,结合偶函数图象的特点,易得b =0.(2)已知函数f (x )=ax 2+2x 是奇函数,则实数a =________. 答案 0解析 由奇函数定义有f (-x )+f (x )=0,得a (-x )2+2(-x )+ax 2+2x =2ax 2=0,故a =0. 反思感悟 利用奇偶性求参数的常见类型(1)定义域含参数:奇偶函数f (x )的定义域为[a ,b ],根据定义域关于原点对称,利用a +b =0求参数.(2)解析式含参数:根据f (-x )=-f (x )或f (-x )=f (x )列式,比较系数利用待定系数法求解. 跟踪训练3 (1)若函数f (x )=x 2-|x +a |为偶函数,则实数a =________. 答案 0解析 方法一 显然x ∈R ,由已知得f (-x )=(-x )2-|-x +a |=x 2-|x -a |.又f (x )为偶函数,所以f (x )=f (-x ),即x 2-|x +a |=x 2-|x -a |, 即|x +a |=|x -a |. 又x ∈R ,所以a =0.方法二 由题意知f (-1)=f (1),则|a -1|=|a +1|,解得a =0.(2)已知函数f (x )是奇函数,当x ∈(-∞,0)时,f (x )=x 2+mx .若f (2)=-3,则m 的值为________. 答案 12解析 ∵f (-2)=-f (2)=3, ∴f (-2)=(-2)2-2m =3, ∴m =12.1.下列函数是偶函数的是( ) A .y =x B .y =2x 2-3 C .y =x D .y =x 2,x ∈(-1,1]答案 B2.函数f (x )=1x -x 的图象关于( )A .y 轴对称B .直线y =-x 对称C .坐标原点对称D .直线y =x 对称 答案 C解析 ∵f (x )=1x -x 是奇函数,∴f (x )=1x-x 的图象关于原点对称.3.下列图象表示的函数具有奇偶性的是( )考点 函数的奇偶性概念 题点 函数奇偶性概念的理解 答案 B4.f (x )=x 2+|x |( )A .是偶函数,在(-∞,+∞)上是增函数B .是偶函数,在(-∞,+∞)上是减函数C .不是偶函数,在(-∞,+∞)上是增函数D .是偶函数,且在(0,+∞)上是增函数考点 单调性与奇偶性的综合应用 题点 判断函数的单调性、奇偶性 答案 D5.若已知函数f(x )=ax +b 1+x 2是定义在(-1,1)上的奇函数,且f ⎝⎛⎭⎫12=25,则函数f (x )的解析式为________. 答案 f (x )=x1+x 2解析 ∵f (x )=ax +b1+x 2是定义在(-1,1)上的奇函数,∴f (0)=0,∴f (0)=a ×0+b1+02=0,∴b =0.即f (x )=ax1+x 2,又f ⎝⎛⎭⎫12=25,∴a21+⎝⎛⎭⎫122=25. ∴a =1,∴函数f (x )=x 1+x 2.1.知识清单: (1)函数奇偶性的概念. (2)奇函数、偶函数的图象特征. 2.方法归纳:特值法、数形结合法.3.常见误区:忽略函数的定义域的对称性,只有定义域关于原点对称,才可能具有奇偶性.1.下列函数中奇函数的个数为( ) ①f (x )=x 3; ②f (x )=x 5; ③f (x )=x +1x;④f (x )=1x2.A .1B .2C .3D .4 答案 C2.已知f (x )是定义在R 上的奇函数,f (-3)=2,则下列各点中一定在函数f (x )的图象上的是( )A .(3,-2)B .(3,2)C .(-3,-2)D .(2,-3) 答案 A解析 f (-3)=2即点(-3,2)在奇函数的图象上, ∴(-3,2)关于原点的对称点(3,-2)必在f (x )的图象上.3.设f (x )是定义在R 上的一个函数,则函数F (x )=f (x )-f (-x )在R 上一定( ) A .是奇函数 B .是偶函数C .既是奇函数又是偶函数D .既不是奇函数又不是偶函数 答案 A解析 F (-x )=f (-x )-f (x )=-[f (x )-f (-x )]=-F (x ). ∴F (x )为奇函数4.若f (x )=3x 3+5x +a -1为奇函数,则a 的值为( ) A .0 B .-1 C .1 D .2 答案 C解析 ∵f (x )为R 上的奇函数, ∴f (0)=0得a =1.5.如图,给出奇函数y =f (x )的局部图象,则f (-2)+f (-1)的值为( )A .-2B .2C .1D .0答案 A解析 f (-2)+f (-1)=-f (2)-f (1) =-32-12=-2.6.若f (x )=(x +a )(x -4)为偶函数,则实数a =________. 答案 4解析 f (x )=x 2+(a -4)x -4a 是偶函数,∴a =4.7.已知y =f (x )是奇函数,当x <0时,f (x )=x 2+ax ,且f (3)=6,则a 的值为________. 答案 5解析 因为f (x )是奇函数, 所以f (-3)=-f (3)=-6,所以(-3)2+a(-3)=-6,解得a=5.8.若f(x)为R上的奇函数,给出下列四个说法:①f(x)+f(-x)=0;②f(x)-f(-x)=2f(x);③f(x)·f(-x)<0;④f(x)f(-x)=-1.其中一定正确的为________.(填序号)答案①②解析∵f(x)在R上为奇函数,∴f(-x)=-f(x).∴f(x)+f(-x)=f(x)-f(x)=0,故①正确.f(x)-f(-x)=f(x)+f(x)=2f(x),故②正确.当x=0时,f(x)·f(-x)=0,故③不正确.当x=0时,f(x)f(-x)分母为0,无意义,故④不正确.9.判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=x3+x5;(2)f(x)=|x+1|+|x-1|;(3)f(x)=2x2+2x x+1.考点函数的奇偶性判定与证明题点判断简单函数的奇偶性解(1)函数的定义域为R.∵f(-x)=(-x)3+(-x)5=-(x3+x5)=-f(x),∴f(x)是奇函数.(2)f(x)的定义域是R.∵f(-x)=|-x+1|+|-x-1|=|x-1|+|x+1|=f(x),∴f(x)是偶函数.(3)函数f(x)的定义域是(-∞,-1)∪(-1,+∞),不关于原点对称,∴f(x)是非奇非偶函数.10.(1)如图①,给出奇函数y=f(x)的局部图象,试作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值.(2)如图②,给出偶函数y=f(x)的局部图象,试作出y轴右侧的图象并比较f(1)与f(3)的大小.解(1)由奇函数的性质可作出它在y轴右侧的图象,图③为补充后的图象.易知f(3)=-2.(2)由偶函数的性质可作出它在y 轴右侧的图象,图④为补充后的图象,易知f (1)>f (3).11.下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的函数是( ) A .y =x 3 B .y =|x |+1 C .y =-x 2+1 D .y =-2x答案 B解析 对于函数y =|x |+1,f (-x )=|-x |+1=|x |+1=f (x ), 所以y =|x |+1是偶函数,当x >0时,y =x +1, 所以在(0,+∞)上单调递增.另外,函数y =x 3不是偶函数,y =-x 2+1在(0,+∞)上单调递减,y =-2x 不是偶函数.故选B.12.设函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是( ) A .f (x )+|g (x )|是偶函数 B .f (x )-|g (x )|是奇函数 C .|f (x )|+g (x )是偶函数 D .|f (x )|-g (x )是奇函数 考点 函数的奇偶性判定与证明 题点 判断抽象函数的奇偶性 答案 A解析 由f (x )是偶函数,可得f (-x )=f (x ), 由g (x )是奇函数可得g (-x )=-g (x ), 故|g (x )|为偶函数, ∴f (x )+|g (x )|为偶函数.13.函数f (x )=4-x 22-|x +2|的定义域为________,为______函数(填“奇”或“偶”).答案 [-2,0)∪(0,2] 奇解析 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧4-x 2≥0,2-|x +2|≠0,解得-2≤x ≤2且x ≠0, ∴f (x )的定义域为[-2,0)∪(0,2].∵f (x )=4-x 22-|x +2|=4-x 2-x =-4-x 2x ,定义域关于原点对称,∴f (-x )=4-x 2x =-f (x ),∴f (x )为奇函数.14.函数f (x )=ax 3+bx +cx +5满足f (-3)=2,则f (3)的值为________.答案 8解析 设g (x )=f (x )-5=ax 3+bx +cx (x ≠0),∵g (-x )=-ax 3-bx -cx =-g (x ),∴g (x )是奇函数,∴g (3)=-g (-3)=-[f (-3)-5] =-f (-3)+5=-2+5=3, 又g (3)=f (3)-5=3, ∴f (3)=8.15.已知函数f (x )=x 2+x +1x 2+1,若f (a )=23,则f (-a )=________.考点 函数图象的对称性 题点 中心对称问题 答案 43解析 根据题意,f (x )=x 2+x +1x 2+1=1+x x 2+1,而h (x )=xx 2+1是奇函数,故f (-a )=1+h (-a )=1-h (a )=2-[1+h (a )]=2-f (a )=2-23=43.16.设函数f (x )=ax 2+1bx +c 是奇函数(a ,b ,c ∈Z ),且f (1)=2,f (2)<3,求a ,b ,c 的值.解 由条件知f (-x )+f (x )=0, ∴ax 2+1bx +c +ax 2+1c -bx =0,∴c =0. 又f (1)=2,∴a +1=2b .∵f (2)<3,∴4a +12b <3,∴4a +1a +1<3,解得-1<a <2,∴a =0或1.∴b =12或1,由于b ∈Z , ∴a =1,b =1,c =0.。

函数奇偶性的教案

函数奇偶性的教案

函数奇偶性的教案【篇一:《函数的奇偶性》教案】1.3.2《函数的奇偶性》一、教材分析1.教材所处的地位和作用“奇偶性”是人教a版第一章“集合与函数概念”的第3节“函数的基本性质”的第2小节。

奇偶性是函数的一条重要性质,教材从学生熟悉的及数、三角函数的基础。

因此,本节课起着承上启下的重要作用。

2.学情分析从学生的认知基础看,学生在初中已经学习了轴对称图形和中心对称图形,并且有了一定数量的简单函数的储备。

同时,刚刚学习了函数单调性,已经积累了研究函数的基本方法与初步经验。

从学生的思维发展看,高一学生思维能力正在由形象经验型向抽象理论型转变,能够用假设、推理来思考和解决问题.3.教学目标基于以上对教材和学生的分析,以及新课标理念,我设计了这样的教学目标:【知识与技能】1.能判断一些简单函数的奇偶性。

2.能运用函数奇偶性的代数特征和几何意义解决一些简单的问题。

【过程与方法】经历奇偶性概念的形成过程,提高观察抽象能力以及从特殊到一般的归纳概括能力。

【情感、态度与价值观】通过自主探索,体会数形结合的思想,感受数学的对称美。

从课堂反应看,基本上达到了预期效果。

4、教学重点和难点重点:函数奇偶性的概念和几何意义。

几年的教学实践证明,虽然“函数奇偶性”这一节知识点并不是很难理解,但知识点掌握不全面的学生容易出现下面的错误。

他们往往流于表面形式,只根据奇偶性的定义检验f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)成立即可,而忽视了考虑函数定义域的问题。

因此,在介绍奇、偶函数的定义时,一定要揭示定义的隐含条件,从正反两方面讲清定义的内涵和外延。

因此,我把“函数的奇偶性概念”设计为本节课的重点。

在这个问题上我除了注意概念的讲解,还特意安排了一道例题,来加强本节课重点问题的讲解。

难点:奇偶性概念的数学化提炼过程。

由于,学生看待问题还是静止的、片面的,抽象概括能力比较薄弱,这对建构奇偶性的概念造成了一定的困难。

因此我把“奇偶性概念的数学化提炼过程”设计为本节课的难点。

函数的奇偶性教案(3篇)

函数的奇偶性教案(3篇)

第1篇一、教学目标1. 知识与技能:(1)理解函数奇偶性的概念;(2)掌握奇函数、偶函数的图像特征;(3)学会判断简单函数的奇偶性。

2. 过程与方法:(1)通过设置问题情景,培养学生判断、推断能力;(2)通过学生分组讨论,培养学生主动交流的合作精神。

3. 情感态度与价值观:(1)通过优美的函数图像陶冶学生的情操;(2)使学生认识事物由特殊到一般的过程,以及数形结合思想和类比的思想。

二、教学重点与难点1. 教学重点:(1)函数奇偶性的概念及其图像特征;(2)简单函数奇偶性的判断。

2. 教学难点:(1)理解奇偶性概念与函数奇偶性的判断;(2)理解奇函数、偶函数的定义域。

三、教学方法与手段1. 教学方法:(1)探究法:引导学生主动探究函数奇偶性的概念、图像特征和判断方法;(2)类比教学法:通过类比已知函数的性质,帮助学生理解新函数的性质。

(1)多媒体课件:展示函数图像,便于学生观察和理解;(2)实物教具:如正方体、球等,帮助学生理解对称性;(3)课堂讨论:鼓励学生积极参与,提高课堂氛围。

四、教学过程1. 创设情景,导入新课(1)展示生活中常见的对称图形,如正方体、球等,引导学生思考对称性在数学中的应用。

(2)提出问题:如何判断一个函数的奇偶性?引入函数奇偶性的概念。

2. 新授(1)讲解函数奇偶性的定义,结合图像展示奇函数、偶函数的特点。

(2)举例说明如何判断简单函数的奇偶性,如f(x) = x^2、f(x) = x^3等。

(3)引导学生通过观察函数图像,发现函数奇偶性与图像对称性之间的关系。

3. 巩固练习(1)布置课堂练习题,让学生判断函数的奇偶性。

(2)教师巡视指导,解答学生疑问。

4. 课堂讨论(1)分组讨论:如何利用函数奇偶性解决实际问题?(2)各小组汇报讨论成果,教师点评并总结。

5. 总结与反思(1)总结本节课所学内容,强调函数奇偶性的概念、图像特征和判断方法。

(2)鼓励学生在日常生活中发现数学之美,提高数学素养。

函数的奇偶性教案

函数的奇偶性教案

函数的奇偶性教案教案:函数的奇偶性一、教学目标:1. 了解函数的奇偶性的概念;2. 掌握判断函数的奇偶性的方法;3. 能应用奇偶性的性质解决相关问题。

二、教学重点:1. 函数的奇偶性的概念;2. 判断函数的奇偶性的方法。

三、教学难点:1. 利用函数的奇偶性求解实际问题;2. 分析函数图像及函数表达式判断函数的奇偶性。

四、教学准备:1. 教师准备PPT;2. 教师准备相关教学素材。

五、教学过程:步骤一:导入新知1. 教师引导学生回顾一下函数的定义和函数的图像,引出函数的奇偶性的概念。

步骤二:学习函数的奇偶性1. 教师介绍函数的奇偶性的定义:若对于定义域内的任意数x,有f(-x) = f(x),则称函数f(x)为偶函数;若对于定义域内的任意数x,有f(-x) = -f(x),则称函数f(x)为奇函数。

2. 教师通过几个具体的例子让学生理解奇偶性的概念,并引导学生总结奇偶性的判断方法。

步骤三:判断函数的奇偶性1. 教师以几个具体的函数为例子,演示判断函数的奇偶性的步骤。

首先,判断函数图像关于y轴对称还是关于原点对称,根据对称性质可以判断函数的奇偶性。

其次,通过分析函数表达式的形式来判断函数的奇偶性,例如,对于多项式函数,只包含奇次幂的项的函数为奇函数,只包含偶次幂的项的函数为偶函数。

最后,教师总结判断函数奇偶性的常用方法,例如,对于函数f(x),若f(-x) = f(x),则函数为偶函数;若f(-x) = -f(x),则函数为奇函数。

步骤四:应用奇偶性解决问题1. 教师通过几个实际问题引导学生应用奇偶性的性质解决问题,例如,利用函数的奇偶性来确定函数的对称轴、确定函数的部分值等。

步骤五:小结与拓展1. 教师对本节课所学内容进行小结,并展示一些拓展的例题,让学生练习运用奇偶性解决问题。

六、课堂练习1. 学生独立完成一些相关练习题,巩固所学知识。

七、课堂总结1. 教师对本节课所学内容进行总结,并回顾与学生讨论相关知识点和问题。

《函数的奇偶性》教案2

《函数的奇偶性》教案2

《函数的奇偶性》教案课 题函数的奇偶性课 型新授课教学目标知识与技能目标:使学生了解奇函数、偶函数的概念,掌握判断函数奇偶性的方法,培养学生判断、推理的能力。

过程与方法目标:通过函数奇偶性概念的形成过程,培养学生观察、归纳、抽象的能力,渗透数形结合的数学思想情感、态度、价值观目标:通过数学的对称美来陶冶学生的情操. 使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系。

教学重点 用定义判断函数的奇偶性. 教学难点 弄清()()f x f x 与的关系.教学手段多媒体辅助教学(展示较多的函数图像)【教学过程】:一、创设情境,引入新课师:在初中我们学过不少对称图形,大家一起来回忆一下初中主要学习了哪两种对称图形?生:1、轴对称图形(提醒学生:轴对称——图形沿轴翻折180度);2、中心对称图形(提醒学生:中心对称——图形绕点旋转180度)。

师:观察下面几幅图片,说说它们有什么特征?(1)(2)师:数学中,对称也是函数图象的一个重要特征,观察这些函数的图像,说说它们是轴对称图形还是中心对称图形或者两者都不是?生:图像①③⑥是以y 轴为对称轴的轴对称图形;图像②⑤⑥是以坐标原点为对称点的中心对称图形。

师:这节课我们就来学习与函数图像对称有关的性质——函数的奇偶性 二、师生互动,探索新知 任务一 偶函数活动1:观察函数2()f x x =的图象,回答下列问题:O xy①2)(x x f =② O xy xx f =)(③Ox y||)(x f =④O xy ||1)(x x f =O xy ⑤3)(x x f =x1y x=y⑥(1) 这条抛物线的对称轴是哪条直线?(2) 用垂直于对称轴的直线截抛物线,你有什么发现? (3) 对称轴两侧对应点的坐标有什么关系?发现:如果函数()x f y =图象关于y 轴对称,则① 其图象上的任意一点()()00,x f x A ()D x 定义域∈关于y 轴对称的点()()00,-x f x A ' 一定也在这个图象上;② 由于A '是函数图象上的点,所以它的坐标也可以写成()()00,x f x --,因此,()()00x f x f =-;③ 由于点()()00,x f x 与()()00,x f x --总是同时存在于函数的图象上,所以00x x -与 也同时存在于定义域D 内,因此,函数()x f y =的定义域D 关于原点O 对称。

函数奇偶性教案(3篇)

函数奇偶性教案(3篇)

第1篇教学目标1. 知识与技能:理解函数奇偶性的概念,掌握判断函数奇偶性的方法,能够运用函数的图象和定义来判断函数的奇偶性。

2. 过程与方法:通过小组讨论、观察函数图像等方式,培养学生的观察、分析和解决问题的能力。

3. 情感态度与价值观:让学生体会数学的对称美,激发学习兴趣,培养学生的合作精神和创新意识。

教学重点与难点- 重点:理解函数奇偶性的概念,掌握判断函数奇偶性的方法。

- 难点:理解函数的奇偶性,掌握奇函数和偶函数的图像特征。

教学准备- 教学课件- 函数图像- 教材相关内容教学过程一、导入1. 展示生活中的对称图形,如蝴蝶、镜子等,引导学生思考对称与数学的关系。

2. 提问:生活中有哪些对称现象?这些对称现象在数学中有什么应用?二、新课讲授1. 概念探究:- 介绍轴对称图形和中心对称图形的概念。

- 通过画图,让学生观察函数 \( y = x^2 \) 和 \( y = x^3 \) 的图像,分析它们的对称性。

- 引导学生总结出奇函数和偶函数的定义。

2. 概念深化:- 强调定义中的“任意”二字,说明奇偶性是函数在定义域上的整体性质。

- 说明奇函数和偶函数的定义域关于原点对称。

- 分析奇函数和偶函数图像的对称性。

3. 题型一:判定函数的奇偶性:- 通过例题,让学生掌握用定义判断函数奇偶性的步骤。

- 练习教材第49页,练习A第1题。

4. 题型二:利用奇偶性求函数解析式:- 通过例题,让学生掌握利用奇偶性求函数解析式的方法。

- 练习教材相关内容。

三、巩固练习1. 学生独立完成教材中的练习题,教师巡视指导。

2. 针对学生的错误,进行个别辅导。

四、课堂小结1. 回顾本节课所学内容,总结函数奇偶性的概念、判断方法和应用。

2. 强调函数奇偶性的对称美,激发学生的学习兴趣。

五、作业布置1. 完成教材中的练习题。

2. 思考:如何利用函数的奇偶性解决实际问题?教学反思本节课通过生活中的对称现象引入,让学生体会数学的对称美,激发学习兴趣。

函数奇偶性教案

函数奇偶性教案

函数奇偶性教案函数奇偶性教案函数奇偶性教案1一、三维目标:知识与技能:使学生理解奇函数、偶函数的概念,学会运用定义判断函数的奇偶性。

过程与方法:通过设置问题情境培养学生判断、推断的能力。

情感态度与价值观:通过绘制和展示优美的函数图象来陶冶学生的情操.通过组织学生分组讨论,培养学生主动交流的合作精神,使学生学会认识事物的特殊性和一般性之间的关系,培养学生善于探索的思维品质。

二、学习重、难点:重点:函数的奇偶性的概念。

难点:函数奇偶性的判断。

三、学法指导:学生在独立思考的基础上进行合作交流,在思考、探索和交流的过程中获得对函数奇偶性的全面的`体验和理解。

对于奇偶性的应用采取讲练结合的方式进行处理,使学生边学边练,及时巩固。

四、知识链接:1.复习在初中学习的轴对称图形和中心对称图形的定义:2.分别画出函数f (x) =x3与g (x) = x2的图象,并说出图象的对称性。

五、学习过程:函数的奇偶性:(1)对于函数,其定义域关于原点对称:如果______________________________________,那么函数为奇函数;如果______________________________________,那么函数为偶函数。

(2)奇函数的图象关于__________对称,偶函数的图象关于_________对称。

(3)奇函数在对称区间的增减性;偶函数在对称区间的增减性。

六、达标训练:A1、判断下列函数的奇偶性。

(1)f(x)=x4; (2)f(x)=x5;(3)f(x)=x+ (4)f(x)=A2、二次函数( )是偶函数,则b=___________ .B3、已知,其中为常数,若,则_______ .B4、若函数是定义在R上的奇函数,则函数的图象关于( )(A)轴对称(B)轴对称(C)原点对称(D)以上均不对B5、如果定义在区间上的函数为奇函数,则=_____ .C6、若函数是定义在R上的奇函数,且当时,,那么当时,=_______ .D7、设是上的奇函数,,当时,,则等于( )(A)0.5 (B) (C)1.5 (D)D8、定义在上的奇函数,则常数____ , _____ .七、学习小结:本节主要学习了函数的奇偶性,判断函数的奇偶性通常有两种方法,即定义法和图象法,用定义法判断函数的奇偶性时,必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称。

高中数学教案《函数的奇偶性

高中数学教案《函数的奇偶性

高中数学教案《函数的奇偶性》第一章:引言1.1 课程目标:理解函数奇偶性的概念。

学会判断函数的奇偶性。

1.2 教学内容:引入函数的概念。

介绍奇函数和偶函数的定义。

举例说明奇函数和偶函数的性质。

1.3 教学方法:使用多媒体课件进行讲解。

通过具体例子引导学生理解奇偶性的概念。

进行小组讨论,让学生互相交流思路。

1.4 教学活动:引入函数的概念,引导学生回顾已学的函数知识。

讲解奇函数和偶函数的定义,举例说明其性质。

布置练习题,让学生巩固奇偶性的判断方法。

第二章:奇函数的性质2.1 课程目标:理解奇函数的性质。

学会运用奇函数的性质解决问题。

2.2 教学内容:回顾奇函数的定义。

介绍奇函数的性质,如奇函数的图像关于原点对称等。

举例说明奇函数性质的应用。

2.3 教学方法:使用多媒体课件进行讲解。

通过具体例子引导学生理解奇函数的性质。

进行小组讨论,让学生互相交流思路。

2.4 教学活动:回顾奇函数的定义,引导学生复习相关知识。

讲解奇函数的性质,举例说明其应用。

布置练习题,让学生巩固奇函数性质的理解。

第三章:偶函数的性质3.1 课程目标:理解偶函数的性质。

学会运用偶函数的性质解决问题。

3.2 教学内容:回顾偶函数的定义。

介绍偶函数的性质,如偶函数的图像关于y轴对称等。

举例说明偶函数性质的应用。

3.3 教学方法:使用多媒体课件进行讲解。

通过具体例子引导学生理解偶函数的性质。

进行小组讨论,让学生互相交流思路。

3.4 教学活动:回顾偶函数的定义,引导学生复习相关知识。

讲解偶函数的性质,举例说明其应用。

布置练习题,让学生巩固偶函数性质的理解。

第四章:奇偶性的判断4.1 课程目标:学会判断函数的奇偶性。

理解奇偶性在实际问题中的应用。

4.2 教学内容:介绍判断函数奇偶性的方法。

举例说明如何判断函数的奇偶性。

探讨奇偶性在实际问题中的应用。

4.3 教学方法:使用多媒体课件进行讲解。

通过具体例子引导学生理解判断函数奇偶性的方法。

进行小组讨论,让学生互相交流思路。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

1.3函数的基本性质-----奇偶性
(一)教学目标
1.知识与技能:
使学生理解奇函数、偶函数的概念,学会运用定义判断函数的奇偶性.
2.过程与方法:
通过设置问题情境培养学生判断、推断的能力.
3.情感、态度与价值观:
通过绘制和展示优美的函数图象来陶冶学生的情操. 通过组织学生分组讨论,培养学生主动交流的合作精神,使学生学会认识事物的特殊性和一般性之间的关系,培养学生善于探索的思维品质.
(二)教学重点与难点
重点:函数的奇偶性的概念;难点:函数奇偶性的判断.
(三)教学方法
应用观察、归纳、启发探究相结合的教学方法,通过设置问题引导学生观察分析归纳,形成概念,使学生在独立思考的基础上进行合作交流,在思考、探索和交流的过程中获得对函数奇偶性的全面的体验和理解. 对于奇偶性的应用采取讲练结合的方式进行处理,使学生边学边练,及时巩固.
(四)教学过程
一.复习与回顾
1、在初中学习的轴对称图形和中心对称图形的定义是什么?
2、要求学生同桌两人分别画出函数f (x) =x3与g (x) = x2的图象.
3、多媒体屏幕上展示函数f (x) =x3和函数g (x) = x2的图象,并让学生分别求出x =±3,x =±2,
x=±1
2
,…的函数值,同时令两个函数图象上对应的点在两个函数图象上闪现,让学生发现两个函
数的对称性反映到函数值上具有的特性:f (–x) = –f (x),g (–x) = g (x). 然后通过解析式给出证明,进一步说明这两个特性对定义域内的任意一个x都成立.
二.新课讲授
1、奇函数、偶函数的定义:
奇函数:设函数y = f (x)的定义域为D,如果对D内的任意一个x,都有f (–x) = –f (x),
则这个函数叫奇函数.
偶函数:设函数y = g (x)的定义域为D,如果对D内的任意一个x,都有g (–x) = g (x),则这个函数叫做偶函数.
问题1:奇函数、偶函数的定义中有“任意”二字,说明函数的奇偶性是怎样的一个性质?与单调性有何区别?
强调定义中“任意”二字,说明函数的奇偶性在定义域上的一个整体性质,它不同于函数的单调性 . 问题2:–x与x在几何上有何关系?具有奇偶性的函数的定义域有何特征?
奇函数与偶函数的定义域的特征是关于原点对称.
问题3:结合函数f (x) =x3的图象回答以下问题:
(1)对于任意一个奇函数f (x),图象上的点P (x,f (x))关于原点对称点P′的坐标是什么?
点P′是否也在函数f (x)的图象上?由此可得到怎样的结论.
(2)如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形,能否判断它的奇偶性?
2、奇函数与偶函数图象的对称性:
如果一个函数是奇函数,则这个函数的图象以坐标原点为对称中心的中心对称图形. 反之,如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形,则这个函数是奇函数.
如果一个函数是偶函数,则它的图形是以y轴为对称轴的轴对称图形;反之,如果一个函数的图象关于y轴对称,则这个函数是偶函数.
3、举例分析
例1 判断下列函数的奇偶性;
(1)f (x) = x + x3 +x5;(奇)(2)f (x) = x2 +1;(偶)
(3)f (x) = x + 1;(非奇非偶)(4)f (x) = x2,x∈[–1,3];(非奇非偶)
(5)f (x) = 0.(既是奇函数又是偶函数的函数是函数值为0的常值函数. 前提是定义域关于原点对称). 归纳:(1)根据定义判断一个函数是奇函数还是偶函数的方法和步骤是:
第一步先判断函数的定义域是否关于原点对称;第二步判断f (–x) = f (x)还是判断f (–x) = –f (x).
(2)对于一个函数来说,它的奇偶性有四种可能:
是奇函数但不是偶函数;
是偶函数但不是奇函数;
既是奇函数又是偶函数;
既不是奇函数也不是偶函数.
学生练习:
1、判断下列函数的是否具有奇偶性:
(1) f (x) = x + x3;(奇)(2) f (x) = –x2;(偶)(3) h (x) = x3 +1;(非奇非偶)
(4) k (x) =
21 1
x+
,x[–1,2];(非奇非偶)(5) f (x) = (x + 1) (x – 1);(偶)
(6) g (x) = x (x + 1);(非奇非偶)(7) h (x) = x
;(奇)(8) k (x) =
2
1
1
x-
.(偶)
2、判断下列论断是否正确:
(1)如果一个函数的定义域关于坐标原点对称,则这个函数关于原点对称且这个函数为奇函数;(错)(2)如果一个函数为偶函数,则它的定义域关于坐标原点对称,(对)
(3)如果一个函数定义域关于坐标原点对称,则这个函数为偶函数;(错)
(4)如果一个函数的图象关于y轴对称,则这个函数为偶函数. (对)
3、如果f (0) = a≠0,函数f (x)可以是奇函数吗?可以是偶函数吗?为什么?
(不能为奇函数但可以是偶函数)4、如果函数f (x)、g (x)为定义域相同的偶函数,试问F (x) =f (x) + g (x)是不是偶函数?是不是奇函数?
为什么?(偶函数)5、如图,给出了奇函数y = f (x)的局部图象,求f (– 4).
6、如图,给出了偶函数y = f (x)的局部图象,试比较f (1)与f (3) 的大小.
例2 (1)设f (x)是偶函数,g (x)是奇函数,且f (x) + g (x) =
1
1
x+
,求函数f (x),g (x)的解析式;
(2)设函数f (x)是定义在(–∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,又f (x)在(0,+∞)上是减函数,且f (x)<0,
试判断函数F (x) =
1
()
f x
在(–∞,0)上的单调性,并给出证明.
解析:(1)∵f (x)是偶函数,g (x)是奇函数,∴f (–x) = f (x),g (–x) = –g (x),
由f (x) + g (x) =
1
1
x-

用–x代换x得f (–x) + g (–x) =1
1
x--

∴f (x ) –g (x ) =11x --, ②
(① + ②)÷2 = 得f (x ) =211x -; (① – ②)÷2 = 得g (x ) =21
x x -. (2)F (x )在(–∞,0)是中增函数,以下进行证明:
设x 1,x 2(–∞,0),且x 1<x 2.
则△x = x 2 – x 1>0且–x 1,–x 2(0,+∞), 且–x 1>– x 2,
则△(–x ) = (–x 2) – (–x 1) = x 1–x 2 = –△x <0,
∵f (x )在(0,+∞)上是减函数,∴f (–x 2) – f (–x 1)>0 ① 又∵f (x )在 (–∞,0)∪(0,+∞)上是奇函数,∴f (–x 1) = – f (x 1),f (–x 2) = – f (x 2), 由①式得 – f (x 2) + f (x 1) >0,即f (x 1) – f (x 2)>0.
当x 1<x 2<0时,F (x 2) – F (x 1) =122112()()
11()()()()
f x f x f x f x f x f x --=⋅,
又∵f (x ) 在(0,+∞)上总小于0,
∴f (x 1) = – f (–x 1)>0,f (x 2) = – f (–x 2)>0,f (x 1)·f (x 2)>0,
又f (x 1) – f (x 2)>0,∴F (x 2) – F (x 1)>0且△x = x 2 – x 1>0,
故F (x ) =1
()f x 在(–∞,0)上是增函数.
三.归纳总结:从知识、方法两个方面来对本节课的内容进行归纳总结.
四.布置作业: 习案:作业11。

相关文档
最新文档