八年级上册几何三角形专题训练
八年级上册《数学》三角形专项练习题(含答案)
八年级上册《数学》三角形专项练习题11.1.1三角形的边一、能力提升1.如图,在图形中,三角形有()A.4个B.5个C.6个D.7个2.已知三角形三边长分别为2,x,13,若x为正整数,则这样的三角形个数为()A.2B.3C.5D.133.若一个三角形的两条边长分别为3和8,而第三条边长为奇数,则第三条边长为()A.5或7B.7C.9D.7或94.在△ABC中,若三条边长均为整数,周长为11,且有一条边长为4,则这个三角形最长边可能取值的最大值是()A.7B.6C.5D.45.若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”,则图中以BC 为公共边的“共边三角形”有对.6.若等腰三角形的腰长为6,则它的底边长a的取值范围是.7.用7根相同的火柴棒首尾顺次连接摆成一个三角形,能摆成的不同的三角形的个数为.8.已知等腰三角形的两边长分别为3cm和7cm,求这个三角形的周长.9.已知等腰三角形的周长是16cm.(1)若其中一边的长为4cm,求另外两边的长;(2)若其中一边的长为6cm,求另外两边的长.10.若a,b,c是△ABC的三边长,请化简|a-b-c|+|b-c-a|+|c-a-b|.11.已知等腰三角形的周长为20cm,设腰长为xcm.(1)用含x的式子表示底边长.(2)腰长x能否为5cm,为什么?(3)求x的取值范围.二、创新应用12.在平面内,分别用3根、5根、6根、…小棒首尾依次相接,能搭成什么形状的三角形?通过尝试,形状如表所示.小棒数目3 5 6 ……示意图……形状等边三角形等腰三角形等边三角形……(1)4根小棒能搭成三角形吗?(2)8根、12根小棒能搭成几种不同形状的三角形?并画出它们的示意图.答案一、能力提升1.B2.B;由题意知2+x>13,且x<13+2,解得11<x<15,因为x为正整数,所以x 可以是12,13,14.故选B.3.D;由题意知第三条边长大于5小于11.因为第三条边长为奇数,所以它的大小为7或9.4.C由题意知三角形的三条边长分别为2,4,5或3,4,4,所以最长边可能取值的最大值为5.5.3;△BDC与△BEC,△BDC与△BAC,△BEC与△BAC,共3对.6.0<a<12.7.2.8.解：若腰长为3cm,则三边长分别为3cm,3cm,7cm,而3+3<7,此时不能构成三角形;若腰长为7cm,则三边长分别为3cm,7cm,7cm.此时能构成三角形,其周长为3+7+7=17(cm).故这个三角形的周长为17cm. 9.解：(1)若腰长为4cm,则底边长为16-4-4=8(cm).三边长分别为4cm,4cm,8cm,不符合三角形的三边关系,所以应该是底边长为4cm.所以腰长为(16-4)÷2=6(cm).三边长分别为4cm,6cm,6cm,符合三角形的三边关系.所以另外两边的长都为6cm.(2)若腰长为6cm,则底边长为16-6-6=4(cm).三边长分别为4cm,6cm,6cm,符合三角形的三边关系.所以另外两边的长分别为6cm 和4cm.若底边长为6cm,则腰长为(16-6)÷2=5(cm).三边长分别为6cm,5cm,5cm,符合三角形的三边关系.所以另外两边的长都为5cm.10.解：因为a,b,c是△ABC的三边长,所以a<b+c,b<c+a,c<a+b,即a-b-c<0,b-c-a<0,c-a-b<0.所以|a-b-c|+|b-c-a|+|c-a-b|=-(a-b-c)-(b-c-a)-(c-a-b)=a+b+c.11.解：(1)底边长为(20-2x)cm.(2)不能.理由如下:若腰长为5cm,则底边长为20-2×5=10(cm).因为5+5=10,不满足三角形的三边关系.所以腰长不能为5cm.(3)根据题意,得解得0<x<10.由三角形的三边关系,得x+x>20-2x,解得x>5.综上所述,x的取值范围是5<x<10.二、创新应用12.解：(1)4根小棒不能搭成三角形.(2)8根小棒能搭成一种三角形,示意图如图甲;12根小棒能搭成三种不同形状的三角形,示意图如图乙.11.1.2三角形的高、中线与角平分线一、能力提升1.若一个三角形中仅有一条高在三角形的内部,则该三角形是()A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.直角三角形或钝角三角形2.如图,AE⊥BC于点E,BF⊥AC于点F,CD⊥AB于点D.在△ABC中,边AC上的高是线段()A.AEB.CDC.BFD.AF3.如图,线段AE是△ABC的中线,已知EC=6,DE=2,则线段BD的长为()A.2B.3C.4D.64.如图,在△ABC中,∠C=90°,D,E为AC上的两点,且AE=DE,BD平分∠EBC,则下列说法不正确的是()A.线段BC是△ABE的高B.线段BE是△ABD的中线C.线段BD是△EBC的角平分线D.∠ABE=∠EBD=∠DBC5.如图,在△ABC中,E,F分别是AB,AC的中点,△CEF的面积为2.5,则△ABC的面积为()A.6B.7C.8D.106.如图,BD和CE是△ABC的两条角平分线,且∠DBC=∠ECB=31°,则∠ABC=度,∠ACB=度.7.如图,线段AD,CE分别是△ABC中边BC,AB上的高.若AD=10,CE=9,AB=12,则BC的长是.8.如图,在△ABC中,AB=AC,线段AD是△ABC的中线,△ABC的周长为34cm,△ABD的周长为30cm,求AD的长.9.已知在等腰三角形ABC中,AB=AC,若腰AC上的中线BD将等腰三角形ABC的周长分成15和6两部分,求三角形ABC的腰长及底边长.10.如图,AD是△CAB的角平分线,DE∥AB,DF∥AC,EF交AD于点O.请问:DO是△EDF的角平分线吗?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由.二、创新应用11.有一块三角形优良品种试验基地,如图,由于引进四个优良品种进行对比试验,需将这块土地分成面积相等的四块,请你制定出两种以上的划分方案供选择.(画图即可)答案一、能力提升1.D;直角三角形和钝角三角形都只有一条高在三角形的内部.2.C3.C4.D5.D;∵F为AC的中点,∴线段EF为△AEC的中线,∴S△AEC=2S△CEF=5.∵E为AB的中点,∴线段CE为△ABC的中线,∴S△ABC=2S△AEC=10.6.62;62.7.10.8;S△ABC=BC·AD=AB·CE,则BC===10.8.8.解：∵线段AD是△ABC的中线,∴BC=2BD.∵AB=AC,△ABC的周长为34cm,∴2AB+2BD=34cm,即AB+BD=17cm.又△ABD的周长为30cm,即AB+BD+AD=30cm,∴AD=13cm.9.解：设AB=AC=2x,则AD=CD=x.当AB+AD=15,BC+CD=6时,有2x+x=15,所以x=5,AB=AC=2x=10,BC=6-5=1.当BC+CD=15,AB+AD=6时,有2x+x=6,所以x=2,AB=AC=2x=4,BC=13.因为4+4<13,所以不能组成三角形.故三角形ABC的腰长为10,底边长为1.10.解：DO是△EDF的角平分线.证明如下:∵AD是△CAB的角平分线,∴∠EAD=∠FAD.∵DE∥AB,DF∥AC,∴∠EDA=∠FAD,∠FDA=∠EAD.∴∠EDA=∠FDA,即DO是△EDF的角平分线.二、创新应用11.解：如图(答案不唯一).11.1.3三角形的稳定性一、能力提升1.如图,桥梁的斜拉钢索是三角形的结构,主要是为了()A.节省材料,节约成本B.保持对称C.利用三角形的稳定性D.美观漂亮2.下列不是利用三角形稳定性的是()A.伸缩晾衣架B.三角形房架C.自行车的三角形车架D.矩形门框的斜拉条3.如图,一扇窗户打开后,用窗钩AB可将其固定,这里所运用的几何原理是()A.三角形的稳定性B.两点之间线段最短C.两点确定一条直线D.垂线段最短4.王师傅用四根木条钉成一个四边形木架.如图,要使这个木架不变形,他至少还要再钉上()根木条.A.0B.1C.2D.35.如图,要使四边形木条框架ABCD变“活”(具有不稳定性),应将木条拆除.6.伸缩铁门能自由伸缩,主要是应用了四边形的.7.我们所用的课桌和所坐的凳子,时间长了总是摇摇晃晃的,这是什么原因?要使自己用的桌凳不晃动应该怎么办?如图,如果有六边形木框,要使它不变形,应该怎么办?二、创新应用8.如图,我们知道要使四边形木架不变形,至少要钉一根木条.那么要使五边形木架不变形,至少要钉几根木条?要使七边形木架不变形,至少要钉几根木条?要使n边形木架不变形,又至少要钉多少根木条呢?答案一、能力提升1.C.2.A.3.A;打开的那一扇窗户下边的一部分OB、窗户框下边的一部分OA 及AB组成一个三角形,根据三角形的稳定性,知可用AB固定窗户.4.B.5.AC.6.不稳定性.7.解：这是因为课桌和凳子的四个侧面都是四边形木架,当交接处松动后就具有不稳定性.解决这类问题的方法是在每个侧面加上一根木条(或木板),使之成为三角形.要使六边形木框不变形,至少应加3根木条使其划分为三角形.二、创新应用8.解：要使五边形木架不变形,至少要钉2根木条;要使七边形木架不变形,至少要钉4根木条;要使n边形木架不变形,至少要钉(n-3)根木条.11.2.1三角形的内角一、能力提升1.在△ABC中,∠A=55°,∠B比∠C大25°,则∠B的度数为()A.50°B.75°C.100°D.125°2.如图,CD∥AB,∠1=120°,∠2=80°,则∠E等于()A.40°B.60°C.80°D.120°3.(2020·辽宁锦州中考)如图,在△ABC中,∠A=30°,∠B=50°,CD平分∠ACB,则∠ADC的度数是()A.80°B.90°C.100°D.110°4.在△ABC中,若∠A=∠B+∠C,则∠A的度数是.5.如图,点B,C,D在同一条直线上,CE∥AB,∠ACB=90°.如果∠ECD=36°,那么∠A的度数是.6.如图,一个直角三角形纸片,剪去直角后,得到一个四边形,则∠1+∠2的度数是.7.在△ABC中,若最大角∠A等于最小角∠C的两倍,最大角又比另一个角大20°,则△ABC的三个角的度数分别是多少?8.如图,E是△ABC中边AC上的一点,过点E作ED⊥AB,垂足为D.若∠1=∠2,则△ABC是直角三角形吗?为什么?9.如图,在△ABC中,D是BC上一点,F是BA延长线上一点,连接DF交AC于点E,且∠B=42°,∠C=59°,∠DEC=47°,求∠F的度数.二、创新应用10.如图,在△ABC中,∠ABC,∠ACB的平分线相交于点D.(1)若∠ABC+∠ACB=110°,则∠BDC=;(2)若∠A=100°,则∠BDC=;(3)若∠A=n°,求∠BDC的度数.答案一、能力提升1.B;设∠C的度数为x°,则∠B的度数为x°+25°,则55°+x°+x°+25°=180°,解得x=50,则∠B=75°.2.A;∵CD∥AB,∠1=120°,∴∠CDB=∠1=120°,∴∠EDC=60°.∵∠2=80°,∴∠E=180°-80°-60°=40°.3.C∵∠A=30°,∠B=50°,∴∠ACB=180°-∠A-∠B=100°.又CD平分∠ACB,∴∠ACD=∠ACB=50°.∴∠ADC=180°-∠A-∠ACD=100°.4.90°.5.54°.6.270°.由三角形三内角之间的关系,得∠3+∠4=90°,所以∠1+∠2=(180°-∠3)+(180°-∠4)=2×180°-(∠3+∠4)=360°-90°=270°.7.解：设∠C=x°,则∠A=2x°,∠B=2x°-20°,根据三角形的内角和定理,有2x+(2x-20)+x=180,解得x=40,即∠C=40°.所以2x=80,∠A=80°,2x-20=60,∠B=60°.故△ABC的三个角的度数分别为∠A=80°,∠B=60°,∠C=40°.8.解：△ABC是直角三角形.理由如下:∵ED⊥AB,∴∠ADE=90°,∴∠1+∠A=90°.又∠1=∠2,∴∠2+∠A=90°.∴△ABC是直角三角形.9.解：在△EDC中,∠EDC=180°-(∠C+∠DEC)=180°-(59°+47°)=74°.∴∠FDB=180°-∠EDC=180°-74°=106°.在△BDF中,∠F=180°-(∠B+∠FDB)=180°-(42°+106°)=32°.二、创新应用10.解：(1)125°.(2)140°.(3)∵∠A=n°,∴∠ABC+∠ACB=180°-n°.∵BD平分∠ABC,CD平分∠ACB,∴∠DBC+∠DCB=∠ABC+∠ACB=(∠ABC+∠ACB)=×(180°-n°)=90°-.∴∠BDC=180°-(∠DBC+∠DCB)=180°-=90°+.11.2.2三角形的外角一、能力提升1.一副三角尺有两个直角三角形,如图叠放在一起,则∠α的度数是()A.165°B.120°C.150°D.135°2.如图,在△ABC中,AD为边BC上的中线,在△ABD中,AE为边BD上的中线,在△ACD中,AF为边DC上的中线,则下列结论错误的是()A.∠1>∠2>∠3>∠CB.BE=ED=DF=FCC.∠1>∠4>∠5>∠CD.∠1=∠3+∠4+∠53.如图,若∠A=32°,∠B=45°,∠C=38°,则∠DFE等于()A.120°B.115°C.110°D.105°4.(2020·湖北中考)将一副三角尺按如图摆放,点E在AC上,点D在BC 的延长线上,EF∥BC,∠B=∠EDF=90°,∠A=45°,∠F=60°,则∠CED的度数是()A.15°B.20°C.25°D.30°5.如图,∠ABC的平分线与∠ACD的平分线相交于点P.若∠A=60°,则∠P等于()A.30°B.40°C.50°D.60°6.(2020·湖北黄冈中考)如图,AB∥EF,∠ABC=75°,∠CDF=135°,则∠BCD=.7.如图,已知在△ABC中,D是AB上一点,E是AC上一点,BE与CD相交于点F,∠A=62°,∠ACD=35°,∠ABE=20°,则∠BDC=,∠BFC=.8.如图,D,E,F分别是△ABC三边延长线上的点,求∠D+∠E+∠F+∠1+∠2+∠3的度数.9.如图,在△ABC中,E是AC延长线上的一点,D是BC上的一点.求证:(1)∠BDE=∠E+∠A+∠B.(2)∠BDE>∠A.10.如图,在△ABC中,D是边BC上一点,∠1=∠2,∠3=∠4,∠BAC=63°,求∠DAC的度数.二、创新应用11.如图①,有一个五角形图案ABCDE,你能说明∠A+∠DBE+∠C+∠D+∠E=180°吗?如果点B向下移动到AC上(如图②)或AC的另一侧(如图③),上述结论是否依然成立?请说明理由.答案一、能力提升1.A如图,∵∠2=90°-45°=45°,∴∠1=∠2-30°=15°.∴∠α=180°-∠1=165°.2.C由三角形的一个外角大于与它不相邻的内角,知∠1>∠2>∠3>∠C,故选项A正确;根据三角形中线的定义,知BE=ED=DF=FC,故选项B正确;∠4与∠5的大小不能判定,故选项C错误;根据三角形的一个外角等于与它不相邻两个内角的和,知∠1=∠2+∠4,∠2=∠3+∠5,所以∠1=∠3+∠4+∠5,故选项D正确.3.B4.A5.A利用三角形的外角性质,得∠P=∠PCD-∠PBD=(∠ACD-∠ABC)=∠A=30°.6.30°.7.97°;117°.8.解：∵∠D+∠3=∠CAB,∠E+∠1=∠ABC,∠F+∠2=∠ACB,∴∠D+∠E+∠F+∠1+∠2+∠3=∠CAB+∠ABC+∠ACB=180°.9.证明：(1)∵∠BDE,∠DCE分别是△CDE,△ABC的一个外角,∴∠BDE=∠E+∠DCE,∠DCE=∠A+∠B,∴∠BDE=∠E+∠A+∠B.(2)由(1)得∠BDE=∠E+∠A+∠B,∴∠BDE>∠A.10.解：∵∠3是△ABD的外角,∴∠3=∠1+∠2.∵∠1=∠2,∠3=∠4,∴∠4=2∠2.在△ABC中,∵∠2+∠4=180°-∠BAC=180°-63°=117°,∴∠1=∠2=117°÷(1+2)=39°.∴∠DAC=∠BAC-∠1=63°-39°=24°.二、创新应用11.解：在题图①中,∠A+∠C=∠DNM, ①∠DBE+∠E=∠DMN, ②①+②,得∠A+∠DBE+∠C+∠E=∠DNM+∠DMN.∵∠D+∠DNM+∠DMN=180°,∴∠A+∠DBE+∠C+∠D+∠E=180°.在题图②、题图③中,上述结论仍然成立,理由与题图①完全相同.11.3.1多边形一、能力提升1.在下列关于正多边形的特征说法中,错误的是()A.每一条边都相等B.每一个内角都相等C.每一个外角都相等D.所有对角线都相等2.过多边形的一个顶点可以引2017条对角线,则这个多边形的边数是()A.2017B.2018C.2019D.20203.如果过多边形的一个顶点的对角线把多边形分成8个三角形,那么这个多边形的边数为()A.8B.9C.10D.114.将一个四边形截去一个角后,它不可能是()A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形5.在n边形的一边上任取一点(不包含顶点)与各顶点相连,可得三角形的个数是()A.nB.n-2C.n-1D.n+16.过m边形的一个顶点有7条对角线,n边形没有对角线,则m n=.7.已知一个多边形的边数恰好是从这个多边形的一个顶点出发所作的对角线的条数的2倍,求此多边形的边数.二、创新应用8.观察下面图形,解答下列问题:(1)在上面第四个图中画出六边形的所有对角线;(2)观察规律,把下表填写完整.边数 3 4 5 6 7 …n对角线条0 2 5 …数答案一、能力提升1.D2.D3.C4.D一个多边形截去一个角后,可能出现三种情况:少一个角、角的个数不变或多一个角.5.C6.1000;从m边形的一个顶点出发有(m-3)条对角线,由m-3=7,得m=10. n边形没有对角线,所以n=3.所以m n=103=1000.7.解：设这个多边形的边数为n,则从多边形的一个顶点出发所作的对角线的条数为n-3.依题意,得n=2(n-3),解得n=6.二、创新应用8.解：(1)(2)边数 3 4 5 6 7 …n对角线条数0 2 5 9 14 …n(n-3)11.3.2多边形的内角和一、能力提升1.如果一个正多边形的每一个外角都是锐角,那么这个正多边形的边数一定不小于()A.3B.4C.5D.62.(2020·山东济宁中考)一个多边形的内角和是1080°,则这个多边形的边数是()A.9B.8C.7D.63.若一个多边形的边数由5增加到11,则内角和增加的度数是()A.1080°B.720°C.540°D.360°4.如图,∠1,∠2,∠3,∠4是五边形ABCDE的外角,且∠1=∠2=∠3=∠4=70°,则∠AED的度数是()A.110°B.108°C.105°D.100°5.如果一个多边形的内角和是其外角和的一半,那么这个多边形是()A.六边形B.五边形C.四边形D.三角形6.若凸n边形的内角和为1260°,则从一个顶点出发引的对角线条数是.7.如图,在四边形ABCD中,∠A+∠B=210°,且∠ADC的平分线与∠DCB的平分线相交于点O,则∠COD的度数是.8.一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°,求这个多边形的边数和内角和.9.如图,求∠A+∠B+∠OCD+∠ODC+∠E+∠F的度数.二、创新应用10.在一个多边形中,一个内角相邻的外角与其他各内角的和为600°.(1)如果这个多边形是五边形,请求出这个外角的度数;(2)是否存在符合题意的其他多边形?如果存在,请求出边数及这个外角的度数;如果不存在,请说明理由.答案一、能力提升1.C每个外角都是锐角,即小于90°,设边数为n,则这些锐角的和一定小于n×90°.而外角和为360°,所以360°<n×90°,n>4,即n不小于5.2.B设这个多边形的边数是n,则(n-2)×180°=1080°,解得n=8.3.A因为每增加一条边,内角和增加180°,所以增加6条边,内角和增加180°×6=1080°.4.D由题意知∠AED的补角为80°,则∠AED=100°.5.D多边形的外角和是360°,内角和等于外角和的一半,则内角和是180°,可知此多边形为三角形.6.6因为凸n边形的内角和为1260°,所以(n-2)×180°=1260°,得n=9.故从一个顶点出发引的对角线的条数为9-3=6.7.105°∵四边形的内角和为360°,∠A+∠B=210°,∴∠ADC+∠BCD=360°-210°=150°.∵DO,CO分别为∠ADC与∠BCD的平分线,∴∠ODC=∠ADC,∠OCD=∠BCD.∴∠ODC+∠OCD=(∠ADC+∠BCD)=×150°=75°.∴∠COD=180°-75°=105°.8.解：由题意知这个多边形的内角和为3×360°-180°=900°.设这个多边形的边数为n,根据题意,得(n-2)×180°=900°,解得n=7.故这个多边形的边数为7.9.解：如图,连接BE,则在△COD与△BOE中,∠ODC+∠OCD+∠COD=180°,∠OBE+∠OEB+∠BOE=180°.∵∠COD与∠BOE是对顶角,∴∠COD=∠BOE.∵∠ODC+∠OCD=180°-∠COD,∠OBE+∠OEB=180°-∠BOE,∴∠ODC+∠OCD=∠OBE+∠OEB.∴题图中的∠A+∠B+∠OCD+∠ODC+∠E+∠F等于上图中的∠A+∠F+∠ABC+∠DEF+∠OBE+∠OEB=∠A+∠F+∠ABE+∠BEF=360°,即所求六个角的和为360°.二、创新应用10.解：(1)设这个外角的度数是x°,则(5-2)×180-(180-x)+x=600,解得x=120.故这个外角的度数是120°.(2)存在.设边数为n,这个外角的度数是x°,则(n-2)×180-(180-x)+x=600,整理得x=570-90n.因为0<x<180,即0<570-90n<180,并且n为正整数,所以n=5或n=6.故这个多边形的边数是6,这个外角的度数为30°.。
八年级数学三角形专题训练
八年级数学三角形专题训练一、三角形的基本概念1. 三角形的定义题目：下列图形中，属于三角形的是（）选项：A. 由三条线段首尾顺次相接组成的封闭图形；B. 由三条线段组成的图形；C. 由不在同一直线上的三条直线组成的图形。
解析：三角形的定义是由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形。
选项B中只说三条线段组成的图形，没有强调首尾顺次相接和封闭，选项C中说三条直线是错误的，所以答案是A。
2. 三角形的分类题目：三角形按角分类可分为（）选项：A. 锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；B. 等腰三角形、等边三角形、不等边三角形；C. 直角三角形、等腰三角形、锐角三角形。
解析：三角形按角分类分为锐角三角形（三个角都是锐角）、直角三角形（有一个角是直角）、钝角三角形（有一个角是钝角）。
选项B是按边分类，选项C分类混乱，所以答案是A。
二、三角形的三边关系1. 定理内容题目：已知三角形的两边长分别为3和5，则第三边的取值范围是（）解析：根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
设第三边为x，则5 3<x<5+3，即2<x<8。
2. 应用解析：对于①，3+4 = 7<8，不满足两边之和大于第三边，所以不能组成三角形。
对于②，5+6 = 11>10，6 + 10=16>5，5+10 = 15>6，且10 5 = 5<6，10 6=4<5，6 5 = 1<10，满足三边关系，可以组成三角形。
对于③，5+5 = 10<11，不满足两边之和大于第三边，所以不能组成三角形。
三、三角形的内角和定理1. 定理内容题目：三角形的内角和等于（）选项：A. 90°；B. 180°；C. 360°。
解析：三角形内角和定理表明三角形的内角和等于180°，所以答案是B。
2. 应用题目：在△ABC中，∠A = 50°，∠B = 60°，求∠C的度数。
初二上册几何专项训练
初二上册几何专项训练题目一：已知在三角形ABC 中，AB = AC，∠A = 40°，求∠B 的度数。
解析：因为AB = AC，所以三角形ABC 是等腰三角形。
根据等腰三角形两底角相等的性质，∠B = ∠C。
又因为三角形内角和为180°，所以∠B = (180° - ∠A)÷2 = (180° - 40°)÷2 = 70°。
题目二：在平行四边形ABCD 中，∠A = 60°，求∠C 的度数。
解析：平行四边形的对角相等，所以∠A = ∠C。
已知∠A = 60°，则∠C = 60°。
题目三：矩形ABCD 的对角线AC、BD 相交于点O，若AB = 3，BC = 4，求AC 的长。
解析：在矩形ABCD 中，∠ABC = 90°。
根据勾股定理，AC² = AB² + BC²。
已知AB = 3，BC = 4，则AC = √(3² + 4²)=5。
题目四：菱形ABCD 的边长为5，一条对角线长为6，求另一条对角线的长。
解析：菱形的对角线互相垂直且平分。
设另一条对角线长为x。
根据菱形的性质和勾股定理可得，(6÷2)² + (x÷2)² = 5²，9 + (x²÷4) = 25，x²÷4 = 16，x² = 64，解得x = 8。
题目五：等腰梯形ABCD 中，AD∠BC，AB = CD，∠B = 60°，AD = 3，BC = 7，求梯形的周长。
解析：过点A 作AE∠DC，因为AD∠BC，所以四边形AECD 是平行四边形，所以AE = CD = AB，EC = AD = 3。
又因为∠B = 60°，所以三角形ABE 是等边三角形，AB = BE = BC - EC = 7 - 3 = 4。
八年级数学几何训练题(全等三角形、等腰三角形)
八年级数学几何训练题（全等三角形、等腰三角形）1、如图，平面直角坐标系中，△AOB为等腰直角三角形，且OA-AB.(1)如图，在图中画出△AOB关于BO的轴对称图形△A1OB，若A(-3，1)，请求出A1点的坐标：(2)当△AOB绕着原点O旋转到如图所示的位置时，AB与y轴交于点E，且AE=BE．AF⊥y轴交BO于F，连结EF，作AG//EF交y轴于G．试判断△AGE的形状，并说明理由；(3)当△AOB绕着原点O旋转到如图所示的位置时，若A(，3)，c为x轴上一点，且OC=OA，∠BOC=15°，P为y 轴上一点，过P做PN⊥AC于N，PM⊥AO于M，当P在y轴正半轴上运动时，试探索下列结论：①PO+PN-PM不变，②PO+PM+PN不变．其中哪一个结论是正确的？请说明理由并求出其值．2、如图，已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时，△DMN也随之整体移动）．(1)如图①，当点M在点B左侧时，EN与MF的数量关系为_________；(2)如图②，当．点M在BC上时，其它条件不变，(1)的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图②证明；若不成立，请说明理由；(3)若点M在点C右侧时，请你在图③中画出相应的图形，并判断(1)的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？请直接写出结论，不必证明．3、已知两个全等的等腰直角、△DEF，其中ACB=DFE=90，E为AB中点，△DEF可绕顶点E旋转，线段DE，EF分别交线段CA，CB(或它们所在直线)于M、N．(1)如图l，当线段EF经过的顶点C时，点N与点C重合，线段DE交AC于M,求证：AM=MC；(2)如图2，当线段EF与线段BC边交于N点，线段DE与线段AC交于M点，连MN,EC,请探究AM，MN,CN之间的等量关系，并说明理由；(3)如图3，当线段EF与BC延长线交于N点，线段DE与线段AC交于M点，连MN，EC，请猜想AM，MN，CN之间的等量关系，不必说明理由。
八年级上册数学专项训练题
八年级上册数学专项训练题一、三角形全等专项训练1. 已知：如图，在△ABC和△DEF中，AB = DE，BC = EF，∠A = ∠D。
求证：△ABC≌△DEF。
解析：在三角形全等的判定定理中，有“SSS（边边边）”“SAS（边角边）”“ASA（角边角）”“AAS（角角边）”等。
本题中虽然给出了两组边相等（AB = DE，BC = EF）和一组角相等（∠A = ∠D），但是这组角不是两边的夹角，不满足SAS判定定理，所以不能判定这两个三角形全等。
2. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE = AC，延长BE交AC于F。
求证：∠AEF = ∠EAF。
解析：延长AD到G，使DG = AD，连接BG。
因为AD是BC边上的中线，所以BD = CD。
在△BDG和△CDA中，BD = CD，∠BDG = ∠CDA（对顶角相等），DG = DA。
根据SAS判定定理，△BDG≌△CDA。
所以BG = AC，∠G = ∠EAF。
又因为BE = AC，所以BE = BG，所以∠G = ∠AEF。
所以∠AEF = ∠EAF。
二、轴对称专项训练1. 已知点A（2，3）关于x轴对称的点为A'，求A'的坐标。
解析：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数。
所以点A（2，3）关于x轴对称的点A'的坐标为（2， 3）。
2. 如图，在△ABC中，AB = AC，∠A = 36°，AB的垂直平分线MN交AC于D，交AB于M。
求∠DBC的度数。
解析：因为AB = AC，∠A = 36°，所以∠ABC=∠C=(180° 36°)÷2 = 72°。
因为MN是AB的垂直平分线，所以AD = BD。
所以∠A = ∠ABD = 36°。
所以∠DBC=∠ABC ∠ABD = 72° 36° = 36°。
初中八年级上册数学关于三角的题
初中八年级上册数学关于三角的题一、三角形的基本性质1. （1）已知三角形的两边长分别为3cm和8cm，则此三角形的第三边的长可能是（）A. 4cmB. 5cmC. 6cmD. 13cm【解析】根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
设第三边为xcm，则8 3＜x＜8+3，即5＜x＜11，所以只有6cm符合要求，答案是C。
2. 若一个三角形三个内角的度数之比为1:2:3，则这个三角形是（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等边三角形【解析】设三个内角分别为x，2x，3x，根据三角形内角和为180°，可得x + 2x+3x = 180°，6x = 180°，x = 30°，那么三个角分别为30°、60°、90°，所以这个三角形是直角三角形，答案是B。
二、等腰三角形相关1. 等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（）A. 80°B. 80°或20°C. 80°或50°D. 20°【解析】当80°角是顶角时，顶角就是80°；当80°角是底角时，根据等腰三角形两底角相等，顶角为180° 80°×2 = 20°，所以答案是B。
2. 已知等腰三角形的两边长分别为4和9，则它的周长为（）A. 17B. 22C. 17或22D. 13【解析】当腰长为4时，4+4 = 8＜9，不满足三角形三边关系，所以腰长只能为9，周长为9 + 9+4 = 22，答案是B。
三、全等三角形1. 如图，已知AB = AD，∠1 = ∠2，要使△ABC≌△ADE，还需添加的条件是（只需填一个）____。
【解析】因为AB = AD，∠1 = ∠2，根据全等三角形判定定理（SAS），如果AC = AE，那么△ABC≌△ADE。
三角形初二试题及答案
三角形初二试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 在三角形中，如果一个角是直角，那么这个三角形被称为（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形答案：B2. 三角形的内角和是（）A. 180°B. 360°C. 90°D. 120°答案：A3. 如果一个三角形的两边相等，那么这个三角形被称为（）A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 钝角三角形答案：B4. 在三角形中，如果有一个角大于90°，那么这个三角形被称为（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形答案：C5. 一个三角形的两边之和大于第三边，这个性质被称为（）A. 三角不等式B. 勾股定理C. 欧拉公式D. 费马原理答案：A6. 如果一个三角形的三边都相等，那么这个三角形被称为（）A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 钝角三角形答案：A7. 三角形的外角和是（）A. 180°B. 360°C. 90°D. 120°答案：B8. 在三角形中，如果一个角是锐角，那么这个三角形被称为（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形答案：A9. 如果一个三角形的两边之差小于第三边，这个性质被称为（）A. 三角不等式B. 勾股定理C. 欧拉公式D. 费马原理答案：A10. 在三角形中，如果有一个角等于90°，那么这个三角形被称为（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形答案：B二、填空题（每题3分，共30分）11. 在三角形中，如果一个角是60°，那么这个三角形可能是等边三角形，也可能是等腰三角形，还可能是______三角形。
答案：锐角12. 一个三角形的两边之和大于第三边，这个性质被称为三角形的______。
三角形全等几何模型(一线三等角)(精选精练)(专项练习)(教师版) 24-2025学年八年级数学上册
专题12.12三角形全等几何模型（一线三等角）（精选精练）（专项练习）一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（22-23七年级下·辽宁朝阳·期末）王强同学用10块高度都是2cm 的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC BC =，90ACB ∠=︒），点C 在DE 上，点A 和B 分别与木墙的顶端重合．则两堵木墙之间的距离DE 是（）A ．10cmB ．15cmC ．20cmD ．25cm2．如图所示，,,B C E 三点在同一条直线上，AC CD =，90B E ∠=∠=︒，AC CD ⊥，则下列结论错误的是（）A ．A ∠与D ∠互余B ．2A ∠=∠C ．ABC CED △≌△D ．12∠=∠3．如下图所示，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，BE ⊥CE 于点E ，AD ⊥CE 于点D ．DE=6cm ，AD=9cm ，则BE 的长是（）A ．6cmB ．1.5cmC ．3cmD ．4.5cm4．（23-24八年级上·重庆开州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，ABC 为等腰直角三角形，90,ACB AC BC ∠=︒=．点()0,1B -，点()1,1C ．则点A 坐标为（）A ．()1,3-B ．()3,1-C ．()2,1-D ．()1,2-5．（22-23七年级下·广东深圳·期末）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A 处，OA 与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m 高的B 处接住她后用力一推，爸爸在C 处接住她．若妈妈与爸爸到OA 的水平距离BD 、CE 分别为1.4m 和1.8m ，90BOC ∠=︒．爸爸在C 处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（）A ．1mB ．1.6mC ．1.8mD ．1.4m6．（22-23八年级上·山东青岛·单元测试）2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会，会标中的图案如图，其中的四边形ABCD 和EFGH 都是正方形，则ABF DAE ≌的理由是（）．A ．SSSB ．AASC ．SASD ．HL7．（23-24八年级上·河北唐山·期中）如图，在ABC 和CDE 中，点B ，C ，E 在同一条直线上，B E ACD ∠∠∠==，AC CD =，若2AB =，6BE =，则DE 的长为（）A ．8B ．6C ．4D ．28．（2024·山西吕梁·一模）如图，在平面直角坐标系中，点()0,2A 处有一激光发射器，激光照射到点()1,0B 处倾斜的平面镜上发生反射，使得反射光线照射到点C 处的接收器上，若入射角45α=︒，AB BC =，则点C 处的接收器到y 轴的距离为（）A ．1B ．2C ．3D ．49．（17-18八年级上·河南郑州·期中）如图中，AE ⊥AB 且AE ＝AB ，BC ⊥CD 且BC ＝CD ，若点E 、B 、D 到直线AC 的距离分别为6、3、2，则图中实线所围成的阴影部分面积S 是()A ．50B ．44C ．38D ．3210．（22-23八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，AB CD ⊥，且AB CD =，E ，F 是AD 上两点，CE AD ⊥，BF AD ⊥．若4CE =，3BF =，2EF =，则AD 的长为（）A ．3B ．5C ．6D ．7二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．（21-22八年级上·山西吕梁·期中）如图，一个等腰直角三角形ABC 物件斜靠在墙角处（∠O ＝90°），若OA ＝50cm ，OB ＝28cm ，则点C 离地面的距离是cm ．12．（20-21八年级上·黑龙江·期中）如图，在平面直角坐标系内，OA ⊥OC ，OA=OC ，若点A 的坐标为(4，1)，则点C 的坐标为13．（2022·四川成都·二模）如图所示，ABC 中，,90AB AC BAC =∠=︒．直线l 经过点A ，过点B 作BE l ⊥于点E ，过点C 作CF l ⊥于点F ．若2,5==BE CF ，则EF =．14．（19-20八年级上·江苏苏州·期中）如图，△ABC 中，∠C ＝90°，点D 为AC 上一点，∠ABD ＝2∠BAC ＝45°，若AD ＝12，则△ABD 的面积为．15．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，两根旗杆间相距12米，某人从点B 沿BA 走向点A ，一段时间后他到达点M ，此时他仰望旗杆的顶点C 和D ，两次视线的夹角为90︒，且CM DM =．已知旗杆BD 的高为9米，该人的运动速度为1米/秒，则这个人运动到点M 所用时间是秒．16．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）如图，在ABC 中，90ACB ∠= ，CD 为AB 边上的高，3BC =，6AC =，点E 从点B 出发，在直线BC 上以每秒2cm 的速度移动，过点E 作BC 的垂线交直线CD 于点F ，当点E 运动s 时，AB CF =．17．（19-20八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，线段AB =8cm ，射线AN ⊥AB ，垂足为点A ，点C 是射线上一动点，分别以AC ，BC 为直角边作等腰直角三角形，得△ACD 与△BCE ，连接DE 交射线AN 于点M ，则CM 的长为．18．（22-23七年级下·四川成都·期末）在ABC 中，AB AC =，90BAC ∠<︒，点D 在边BC 上，2CD BD =，点E ，F 在线段AD 上，BED CFD BAC ∠=∠=∠．若ABC 的面积为9，则ABE CDF S S += ．三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，BE CE ⊥，于点E AD CE ⊥，于点D ．BEC 与CDA 全等吗？请说明理由．20．（8分）如图，90ABC ∠=︒，FA AB ⊥于点A ，D 是线段AB 上的点，AD BC =，AF BD =．（1）判断DF 与DC 的数量关系为，位置关系为．（2）如图2，若点D 在线段AB 的延长线上，点F 在点A 的左侧，其他条件不变，试说明（1）中结论是否成立，并说明理由．21．（10分）如图，在ABC 中，AB BC =．（1）如图1，直线NM 过点B ，AM MN ⊥于点M ，⊥CN MN 于点N ，且90ABC ∠=︒，求证：MN AM CN =+．（2）如图2，直线NM 过点B ，AM 交NM 于点M ，CN 交NM 于点N ，且AMB ABC BNC ∠=∠=∠，则MN AM CN =+是否成立？请说明理由！22．（10分）如图，在ABC 中，2AB AC ==，40B C ∠=∠=︒，点D 在线段BC 上运动（D 不与B 、C 重合），连接AD ，作40ADE ∠=︒，DE 交线段AC 于E ．（1）当115BDA ∠=︒时，EDC ∠=°，DEC ∠=°；点D 从B 向C 运动时，BDA ∠逐渐变（填“大”或“小”）；（2）当DC 等于多少时，ABD DCE △△≌，请说明理由；（3）在点D 的运动过程中，ADE V 的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出BDA ∠的度数．若不可以，请说明理由．23．（10分）（23-24八年级上·重庆江津·期末）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：【模型呈现】（1）如图，90ACE ∠=︒，AC CE =，过点A 作AB BC ⊥于点B ，过点E 作ED BC ⊥交BC 的延长线于点D ．由90ACB DCE DCE E ∠+∠=∠+∠=︒，得CAB E ∠=∠．又90ABC CDE ∠=∠=︒，AC CE =，可以推理得到ABC CDE △△≌，进而得到AB ＝______，BC ＝______．（请完成填空）我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三等角”模型．【模型应用】（2）①如图，90ACE BCD ∠=∠=︒，AC CE =，BC CD =，连接AB 、DE ，且DE CG ⊥于点G ，AB 与直线CG 交于点F ，求证：点F 是AB 的中点；②如图，若点M 为x 轴上一动点，点N 为y 轴上一动点，点P 的坐标为()51，，是否存在以M 、N 、P 为顶点且以PM 为斜边的三角形为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．24．（12分）（22-23八年级上·江苏南京·阶段练习）已知，在ABC 中，AB AC =，D A E ，，三点都在直线m 上，且9DE cm BDA AEC BAC =∠=∠=∠，．（1）如图①，若AB AC ⊥，则BD 与AE 的数量关系为___________，CE 与AD 的数量关系为___________；（2）如图②，判断并说明线段BD ，CE 与DE 的数量关系；（3）如图③，若只保持7BDA AEC BD EF cm ∠=∠==，，点A 在线段DE 上以2cm/s 的速度由点D 向点E 运动，同时，点C 在线段EF 上以cm /s x 的速度由点E 向点F 运动，它们运动的时间为s t （）．是否存在x ，使得ABD △与EAC 全等？若存在，求出相应的t 的值；若不存在，请说明理由．参考答案：1．C【分析】由题意易得90ADC CEB ∠=∠=︒，则有BCE DAC ∠=∠，进而可证ADC CEB ∆∆≌，然后根据全等三角形的性质求解即可．【详解】解：∵AC BC =，90ACB ∠=︒，AD DE ⊥，BE DE ⊥，∴90ADC CEB ∠=∠=︒，∴90ACD BCE ∠+∠=︒，90ACD DAC ∠+∠=︒，∴BCE DAC ∠=∠，∵在ADC ∆和CEB ∆中，ADC CEB DAC BCE AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ADC CEB ∆∆≌；∴6cm EC AD ==，14cm DC BE ==，∴20(cm)DE DC CE =+=，故选C ．【点拨】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握三角形全等的判定条件是解题的关键．2．D【分析】利用同角的余角相等求出2A ∠=∠，再利用“角角边”证明ABC 和CED 全等，根据全等三角形对应边相等，对应角相等，即可解答.【详解】∵90B E ∠=∠=︒,∴190A ∠+∠=︒,290D ∠+∠=︒,∵AC CD ⊥,∴1290∠+∠=︒,故D 错误；∴2A ∠=∠,故B 正确；∴90A D ∠+∠=︒,故A 正确；在ABC 和CED 中,2A B E AC CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS ABC CED ≅ ,故C 正确；故选: D .【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，等角的余角相等的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并确定出全等的条件2A ∠=∠是解题的关键.3．C【分析】本题可通过全等三角形来求BE 的长．△BEC 和△CDA 中，已知了一组直角，∠CBE 和∠ACD 同为∠BCE 的余角，AC=BC ，可据此判定两三角形全等；那么可得出的条件为CE=AD ，BE=CD ，因此只需求出CD 的长即可．而CD 的长可根据CE 即AD 的长和DE 的长得出，由此可得解．【详解】解：∵∠ACB=90°，BE ⊥CE ，∴∠BCE+∠ACD=90°，∠BCE+∠CBE=90°；∴∠ACD=∠CBE ，又AC=BC ，∴△ACD ≌△CBE ；∴EC=AD ，BE=DC ；∵DE=6cm ，AD=9cm ，则BE 的长是3cm ．故选C ．【点拨】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．4．D【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．过C 作直线l y ∥轴，过B 作BE l ⊥于E ，过A 作AD l ⊥于D ，于是得到90ADC ACB BEC ∠=∠=∠=︒，得到CAD BCE ∠=∠，根据全等三角形的性质得到,AD CE CD BE ==，根据点()0,1B -，点()1,1C ，得到1,112BE CD AD CE ====+=，于是得到结论．【详解】解：过C 作直线l y ∥轴，过B 作BE l ⊥于E ，过A 作AD l ⊥于D ，∴90ADC ACB BEC ∠=∠=∠=︒，∴90DAC ACD ACD BCE ∠+∠=∠+∠=︒，∴CAD BCE ∠=∠，在ACD 与CBE △中，CAD BCE ADC CEB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS ACD CBE ≌，∴,AD CE CD BE ==，∵点()0,1B -，点()1,1C ，∴1,112BE CD AD CE ====+=，∴()1,2A -．故选：D ．5．D【分析】利用全等三角形判定()AAS ，证得OBD 与COE 全等，根据全等三角形性质可求出OE 和OD 的值，进而求出OA 的值，最后根据OA OE AE -=，即可求出问题答案．【详解】解：90BOC ∠=︒ ，90BOD COE ∴∠+∠=︒，90BDO ∠=︒ ，90CEO ∠=︒，90BOD OBD ∴∠+∠=︒，90COE OCE ∠+∠=︒，COE OBD ∴∠=∠，BOD OCE ∠=∠，又OB CO = ，()OBD COE AAS ∴≅ ，1.4m OE BD ∴==， 1.8m OD CE ==，1.8m 1m 1.4m 1.4m AE OA OE OD DA OE ∴=-=+-=+-=．故选：D ．【点拨】本题考查了利用三角形全等测距离的问题，理解题意及熟知三角形的性质与判定是解题关键．6．B【分析】由正方形的性质知，AB DA =，由同角的余角相等知，BAF ADE ∠=∠，又有90AFB DEA ∠=∠=︒，故根据AAS 证得ABF DAE ≌．【详解】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴90AB DA BAF DAE =∠+∠=︒，，∵90ADE DAE ∠+∠=︒，∵BAF ADE ∠=∠，在ABF △与DAE 中，BAF ADE AFB AED AB AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS ABF DAE ≌△△．故选：B ．【点拨】本题利用了正方形的性质，同角的余角相等，全等三角形的判定，学生要以常用的几种判定方法掌握并灵活运用．7．C【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，根据三角形内角和定理，证明()AAS ABC CED ≌ ，由DE BC BE AB ==-即可求出结果．【详解】解：180B ACB BAC ∠+∠+∠=︒ ，B E ACD ∠∠∠==，180ACD ACB BAC ∴∠+∠+∠=︒，180ACD ACB DCE ∠+∠+∠=︒，BAC DCE ∴∠=∠，在ABC 和CED △中，BAC DCE B E AC CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS ABC CED ≌ ，,BC DE AB CE ∴==，2AB =，6BE =，∴624DE BC BE CE BE AB ==-=-=-=，故选：C ．8．C【分析】本题主要考查坐标与图形，全等三角形的判定与性质，过点C 作CM x ⊥轴于点M ，证明ABO BCM ≌V V 得出2BM OA ==，进一步得出3OM =即可【详解】解：过点C 作CM x ⊥轴于点M ，如图，则90,CBM BCM ∠+∠=︒根据题意得90,ABC ∠=︒∴90,ABO CBM ∠+∠=︒∴,ABO BCM ∠=∠又,90,AB BC AOB BMC =∠=∠=︒∴,AOB BMC ≌V V ∴2,BVM AB ==∴123,OM OB BM =+=+=即点C 处的接收器到y 轴的距离为3，故选：C9．D【分析】由已知和图形根据“K ”字形全等，用AAS 可证△FEA ≌△MAB ，△DHC ≌△CMB ，推出AM =EF =6，AF =BM =3，CM =DH =2，BM =CH =3，从而得出FH =14，根据阴影部分的面积=S 梯形EFHD -S △EF A -S △ABC -S △DHC 和面积公式代入求出即可．【详解】∵AE ⊥AB ，EF ⊥AF ，BM ⊥AM，∴∠F =∠AMB =∠EAB =90°，∴∠FEA +∠EAF =90°，∠EAF +∠BAM =90°，∴∠FEA =∠BAM ，在△FEA 和△MAB 中F BMA FEA BAM AE AB ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△FEA ≌△MAB （AAS ），∴AM =EF =6，AF =BM =3，同理CM =DH =2，BM =CH =3，∴FH =3+6+2+3=14，∴梯形EFHD 的面积=12EF DH FH + （）=126241⨯+⨯（）=56，∴阴影部分的面积=S 梯形EFHD -S △EF A -S △ABC -S △DHC =11566322183322-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=32．故选D ．【点拨】本题考查了三角形的面积，梯形的面积，全等三角形的性质和判定等知识点，关键是把不规则图形的面积转化成规则图形的面积．10．B【分析】本题考查全等三角形的判定和性质．正确掌握相关性质内容是解题的关键．由AB CD ⊥可得90A D ∠+∠=︒，由CE AD ⊥，BF AD ⊥可得90CED AFB ∠=∠=︒，A B ∠∠=︒+90，从而B D ∠=∠，进而证得()AAS ABF CDE ≌，可得4AF CE ==，3BF DE ==，推出()AD AF DF AF DE EF =+=+-，代入数据即可解答．【详解】∵AB CD ⊥，∴90A D ∠+∠=︒，∵CE AD ⊥，BF AD ⊥，∴90CED AFB ∠=∠=︒，∴1801809090A B AFB ∠+∠=︒-∠=︒-︒=︒，∴B D ∠=∠，∵AB CD =，∴()AAS ABF CDE ≌，∴4AF CE ==，3BF DE ==，∴()()4325AD AF DF AF DE EF =+=+-=+-=．故选：B11．28【分析】作CD ⊥OB 于点D ，依据AAS 证明D AOB B C ∆≅∆,GMF ，再根据全等三角形的性质即可得到结论．【详解】解：过点C 作CD ⊥OB 于点D，如图，∴90CDB AOB ∠=∠=︒∵ABC ∆是等腰直角三角形∴AB =CB ，90ABC ∠=︒∴90ABO CBD ∠+∠=︒又90CBD BCD ∠+∠=︒∴ABO BCD∠=∠在ABO ∆和BCD ∆中，AOB BDC ABO BCD AB CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()ABO BCD AAS ∆≅∆∴28cmCD BO ==故答案为：28．【点拨】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键．12．（-1，4）【分析】过点A 和点C 作x 轴的垂线，垂足为D ，E ，证明△COE ≌△OAD ，得到OE=AD ，CE=OD ，再根据点A 的坐标可得结果．【详解】解：过点A 和点C 作x 轴的垂线，垂足为D ，E ，∵∠AOC=90°，∴∠COE+∠AOD=90°，又∠CEO=90°，则∠COE+∠OCE=90°，∴∠OCE=∠AOD ，在△COE 与△OAD 中，OCE AOD CEO ODA OC OA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△COE ≌△OAD （AAS ），∴OE=AD ，CE=OD ，∵点A 的坐标为（4，1），∴OD=4，AD=1，∴CE=OD=4，OE=AD=1，∴点C 的坐标为（-1，4），故答案为：（-1，4）．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，坐标与图形，解题的关键是利用已知条件，作出辅助线，证明全等．13．7【分析】根据全等三角形来实现相等线段之间的关系，从而进行计算，即可得到答案；【详解】解：∵BE ⊥l ，CF ⊥l ，∴∠AEB =∠CFA =90°．∴∠EAB +∠EBA =90°．又∵∠BAC =90°，∴∠EAB +∠CAF =90°．∴∠EBA =∠CAF ．在△AEB 和△CFA 中∵∠AEB =∠CFA ，∠EBA =∠CAF ，AB =AC ，∴△AEB ≌△CFA ．∴AE =CF ，BE =AF ．∴AE +AF =BE +CF ．∴EF =BE +CF ．∵2,5==BE CF ，∴257EF =+=；故答案为：7．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，余角的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的证明三角形全等．14．36．【分析】作DE ⊥DB 交AB 于E ，EF 垂直AC 于F ，则∠DEB =90°-∠ABD =45°，证出AE =DE =DB ，通过证明△AEF ≌△BCD ，得出BC ==AF=12AD=6，由三角形面积公式即可得出答案．【详解】作DE ⊥DB 交AB 于E ，EF 垂直AC 于F ，如图所示：则∠DEB =90°-∠ABD =45°，∴△BDE 是等腰直角三角形，∴DB =DE ，∵∠ABD =2∠BAC =45°，∴∠BAC =22.5°，∴∠ADE =∠DEB -∠BAC =22.5°=∠BAC ，∴AE =DE =DB ，∵∠AFE=90°，∴F 是AD 中点，AF=FD ，又∵∠C=90°，∴∠CBD=90°-45°-22.5°=22.5°，在Rt △AEF 和Rt △BCD 中A CBD AFE BCD AE BD =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠∴Rt △AEF ≌Rt △BCD （AAS ），∴AF=BC=12AD=6，∴△ABD 的面积S=12AD ×BC =12×12×6=36；故答案为：36．【点拨】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积公式的的计算，熟记特殊三角形的判定和性质定理是解题关键．15．3【分析】本题考查了全等三角形的应用；解答本题的关键是利用互余关系找三角形全等的条件，对应角相等，并巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的等量关系．本题的关键是求得ACM BMD ≌．【详解】解：∵90CMD ∠=︒，∴90CMA DMB +=︒∠∠，又∵90CAM ∠=︒，∴90CMA C ︒∠+∠=，∴C DMB ∠=∠，在ACM 和BMD 中，A B C DMB CM MD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS ACM BMD ≌，∴9BD AM ==米，1293BM =-=（米），∵该人的运动速度1米/秒，他到达点M 时，运动时间为313÷=（秒）．故答案为：3．16．1.5或4.5【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，分①当点E 在射线BC 上移动时，639BE CE BC ''=+=+=，②当点E 在射线CB 上移动时，()633cm BE AC BC =-=-=，熟练正确全等三角形的判定和性质是解题的关键．【详解】解：∵EF BC ⊥，∴90CEF ACB ∠=︒=∠，在CEF △和ACB △中，ECF A CEF ACB CF AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS CEF ACB ≌，∴6CE AC ==，如图，①当点E 在射线BC 上移动时，639BE CE BC ''=+=+=，∵点E 从点B 出发，在直线BC 上以2cm 的速度移动，∴E 移动了：()92 4.5s ÷=；②当点E 在射线CB 上移动时，()633cm BE AC BC =-=-=，∵点E 从点B 出发，在直线BC 上以2cm 的速度移动，∴E 移动了：()32 1.5s ÷=；综上所述，当点E 在射线CB 上移动4.5s 或1.5s 时，CF AB =，故答案为：1.5或4.5.17．4cm.【分析】过点E 作EF ⊥AN 于F ，先利用AAS 证出△ABC ≌△FCE ，从而得出AB=FC=8cm ，AC=FE ，然后利用AAS 证出△DCM ≌△EFM,从而求出CM 的长.【详解】解：过点E 作EF ⊥AN 于F ，如图所示∵AN ⊥AB ，△BCE 和△ACD 为等腰直角三角形，∴∠BAC=∠BCE=∠ACD=∠CFE =90°，BC=CE ，AC=CD∴∠ABC+∠ACB=90°，∠FCE+∠ACB =90°，∴∠ABC =∠FCE ，在△ABC 和△FCE 中BAC CFE ABC FCE BC CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△FCE∴AB=FC=8cm ，AC=FE∴CD=FE在△DCM 和△EFM 中90DMC EMF DCM EFM CD FE ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△DCM ≌△EFM∴CM=FM=12FC=4cm.故答案为：4cm.【点拨】此题考查的是全等三角形的判定及性质，掌握用AAS 证两个三角形全等是解决此题的关键.18．6【分析】本题属于全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．证明ABE ≌CAF V ，推出ABE 与CAF V 面积相等，可得结论．【详解】解：在等腰三角形ABC 中，AB AC =，2CD BD =，ABD ∴ 与ADC △等高，底边比值为1:2，ABD ∴ 与ADC △的面积比为1:2．ABC 的面积为9，ABD ∴ 与ADC △的面积分别为3和6，BED CFD ∠=∠ ，AEB AFC ∴∠=∠．BED ABE BAE ∠=∠+∠ ，BAE CAF BAC ∠+∠=∠，BED BAC ∠=∠，BAC ABE BAE ∴∠=∠+∠，CAF ABE ∴∠=∠．在ABE 和CAF V 中，AEB AFC ABE CAF AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AAS ABE CAF ∴ ≌，ABE ∴ 与CAF V 面积相等，ABE ∴ 与CDF 的面积之和为ADC △的面积，ABE ∴ 与CDF 的面积之和为6．故答案为：6．19．全等，理由见解析【分析】首先证明CAD BCE ∠=∠，即可证明CDA BEC ≌V V ，即可解题．【详解】全等，理由如下：BE CE ⊥，E AD CE ⊥，，90ACB ∠=︒∴90BCE DCA ∠+∠=︒，90DAC DCA ∠+∠=︒．∴CAD BCE ∠=∠；在BEC 和DAC △中，90BCE DAC BEC CDA BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴()AAS BEC DAC ≌V V ．【点拨】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定，掌握证明全等三角形的方法是解题的关键．20．(1)CD DF =，CD DF⊥(2)成立，见解析【分析】（1）根据题意可直接证明AFD BDC ≌ ，即可得出结论；（2）仿照（1）的证明过程推出ADF BCD ≌ ，即可得出结论．【详解】（1）解：由题意，90A B ∠=∠=︒，在AFD △与BDC 中，AF BD A B AD BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()SAS AFD BDC ≌ ，∴DF DC =，ADF BCD ∠=∠，在Rt BDC 中，90BDC BCD ∠+∠=︒，∴90BDC ADF ∠+∠=︒，∴90FDC ∠=︒，∴CD DF ⊥，综上可知CD DF =，CD DF ⊥；（2）解：成立，理由如下：AF AB ⊥，∴90DAF ∠=︒，在ADF △和BCD △中，AF DB DAF CBD AD BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ADF BCD ≌ ，∴DF DC =，ADF BCD ∠=∠，90BCD CDB ∠+∠=︒，∴90ADF CDB ∠+∠=︒，即90CDF ∠=︒，∴CD DF ⊥；∴（1）中结论仍然成立．【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，以及直角三角形两锐角互余等，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．21．(1)见解析(2)成立，理由见解析【分析】（1）本题主要考查全等三角形的判定和性质综合，利用题目中的已知条件导角，可推导CBN BAM ∠=∠，最后证明(AAS)≌AMB BNC ，直接可证．（2）利用AMB ABC ∠=∠及ABN ∠是ABM 的外角，可以推出MAB CBN ∠=∠，再利用AAS 可以判定(AAS)≌AMB BNC ，再利用全等的性质导边即可证明．【详解】（1）证明：∵AM MN ⊥于点M ，⊥CN MN 于点N ；∴90AMB BNC ∠=∠=︒；∴90MAB ABM ∠+∠=︒；∵90ABC ∠=︒，∴90ABM NBC ∠+∠=︒；∴MAB NBC ∠=∠；在ABM 和BCN △中，AMB BNC MAB NBC AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()AAS ABM BCN ≌；∴AM BN =，BM CN =；∴MN BN BM AM CN =+=+．（2）MN AM CN =+成立．理由如下：设AMB ABC BNC α∠=∠=∠=；∴180ABM BAM ABM CBN α∠+∠=∠+∠=︒-；∴BAM CBN ∠=∠；在ABM 和BCN △中；BAM CBN AMB BNC AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()AAS ABM BCN ≌；∴AM BN =，BM CN =；∴MN BN BM AM CN =+=+；故MN AM CN =+成立．22．(1)25；115；小(2)当2DC =时，ABD DCE≌△△(3)可以；BDA ∠的度数为110︒或80︒【分析】（1）由已知平角的性质可得180EDC ADB ADE ∠=︒-∠-∠，再利用三角形内角和定理进而求得DEC ∠，即可判断点D 从B 向C 运动过程中，BDA ∠逐渐变小；（2）当2DC =时，由已知和三角形内角和定理可得140DEC EDC ∠+∠=︒，140ADB EDC ∠+∠=︒，等量代换得ADB DEC ∠=∠，又由2AB AC ==，可得()AAS ABD DCE ≌△△；（3）根据等腰三角形的判定定理，利用三角形内角和定理求解即可．【详解】（1）解：1801801154025EDC ADB ADE ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，1801802540115DEC EDC C ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，点D 从B 向C 运动时，BDA ∠逐渐变小，故答案为：25；115；小．（2）解：当2DC =时，ABD DCE ≌△△，理由：40C ∠=︒ ，140DEC EDC ∴∠+∠=︒，又40ADE ∠=︒ ，∴140ADB EDC ∠+∠=︒，ADB DEC ∴∠=∠，又 B C ∠=∠，2AB DC ==，∴()AAS ABD DCE ≌△△；（3）解：当BDA ∠的度数为110︒或80︒时，ADE V 的形状是等腰三角形；理由：110BDA ∠=︒ 时，70704030ADC EDC ∴∠=︒∠=︒-︒=︒，，40C ∠=︒ ，70DAC ∴∠=︒，304070AED C EDC ∠=∠+∠=︒+︒=︒，DAC AED ∴∠=∠，∴ADE V 是等腰三角形；80BDA ∠=︒ 时，100ADC ∴∠=︒，40C ∠=︒ ，40DAC ∴∠=︒，DAC ADE ∴∠=∠，∴ADE V 的形状是等腰三角形．【点拨】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键．23．（1）CD ，DE ；（2）见解析；（3）存在，()4,0-或()6,0-【分析】本题是三角形综合题目，考查了等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质、直角三角形的性质等知识；（1）由全等三角形的性质可得出答案；（2）过点A 作AM FG ⊥交FG 于点M ，过点B 作BN FG ⊥交FG 于点N ，证明(AAS)ACM CEG ≌，得出AM CG =；同理可得：BCN CDG ≌．得出BN CG =，证明(AAS)AMF BNF ≌，由全等三角形的性质可得出AF BF =；（3）分两种情况，由全等三角形的性质可得出答案．【详解】（1）解：由题意可知ABC CDE △≌△，AB CD ∴=，BC DE =，故答案为：CD ，DE ；（2）证明：如图1，过点A 作AM FG ⊥交FG 于点M ，过点B 作BN FG ⊥交FG 于点N，ED CG ⊥ ，90ACE ∠=︒，90ACF ECG ECG E ∴∠+∠=∠+∠=︒，ACF E ∴∠=∠，在ACM △和CEG 中，ACM E AMC CGE AC CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(AAS)ACM CEG ∴ ≌，AM CG ∴=；同理可得：BCN CDG ≌．BN CG ∴=，AM BN ∴=，在AMF 和BNF 中，AFM BFN AMF BNF AM BN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(AAS)AMF BNF ∴ ≌，AF BF ∴=，∴点F 是AB 的中点．（3）解：如图，当点N 在x 轴正半轴上时，由【模型呈现】可知MEN NDP ≌，5EM DN ∴==，DP EN =，514DP ∴=-=，4EN ∴=，(4,0)M ∴-；当点N 在x 轴负半轴上时，同理可得(6,0)M -．综上所述，点M 的坐标为(4,0)-或(6,0)-．24．(1)BD AE CE AD==，(2)DE BD CE=+(3)12t x ==，或928,49t x ==【分析】（1）利用平角的定义和三角形内角和定理得CAE ABD ∠=∠，再利用AAS 证明ABD CAE ≌， 得BD AE CE AD ＝，＝；（2）由（1）同理可得ABD CAE △△≌，得BD AE CE AD ==，，可得答案；（3）分DAB ECA ≌ 或DAB EAC ≌△△两种情形，分别根据全等三角形的性质可解决问题．【详解】（1）解：∵BDA AEC BAC ∠=∠=∠，∴BAD CAE BAD ABD ∠+∠=∠+∠，∴CAE ABD ∠=∠，∵BDA AEC BA CA ∠=∠=，，∴ABD CAE AAS ≌（） ，∴BD AE CE AD ==，，故答案为：BD AE CE AD ==，；（2）DE BD CE =+，由（1）同理可得ABD CAE AAS ≌（） ，∴BD AE CE AD ==，，∴DE BD CE =+；（3）存在，当DAB ECA ≌ 时，∴2,7AD CE cm BD AE cm ====，∴1t =，此时2x =；当DAB EAC ≌△△时，∴ 4.5,7,AD AE cm DB EC cm ====∴924AD t ==，928749x =÷=，综上：12t x ==，或928,49t x ==．【点拨】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握一线三等角基本模型是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想．。
八年级上册数学关于三角形的题目
八年级上册数学关于三角形的题目一、选择题（每题3分，共10题）1. 若一个三角形的两边长分别为3和7，则第三边长可能是（）- A. 6.- B. 3.- C. 2.- D. 11.- 解析：设第三边为x，根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
所以7 - 3< x<7 + 3，即4< x<10。
在选项中，只有6满足条件，答案为A。
2. 三角形的内角和是（）- A. 90°.- B. 180°.- C. 360°.- D. 720°.- 解析：三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°，答案为B。
3. 一个等腰三角形的顶角为80°，则它的底角是（）- A. 100°.- B. 50°.- C. 80°.- D. 60°.- 解析：等腰三角形两底角相等，三角形内角和为180°。
设底角为x，则2x+80 = 180，2x=100，x = 50°，答案为B。
4. 下列能判定三角形是等腰三角形的是（）- A. 有两个角为30°，60°。
- B. 有两个角为40°，100°。
- C. 有两个角为50°，80°。
- D. 有两个角为100°，40°。
- 解析：等腰三角形的判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形。
A选项两角和为30°+60° = 90°≠180°；B选项，40°+100°=140°≠180°；C选项，50°+80° = 130°≠180°；D选项，100°+40° = 140°≠180°，没有符合三角形内角和的选项。
人教版八年级数学上册《三角形基础分类》专项练习题-附含答案
人教版八年级数学上册《三角形基础分类》专项练习题-附含答案1．在三角形中一定能将其面积分成相等两部分的是（）A．中线B．高线C．角平分线D．某一边的垂直平分线【答案】A【解答】解：根据同底等高的两个三角形面积相等可知在三角形中三角形的中线一定能将其面积分成相等两部分故选：A．2．如图为估计池塘岸边A、B的距离小方在池塘的一侧选取一点O测得OA＝17米OB＝9米A、B间的距离不可能是（）A．23米B．8米C．10米D．18米【答案】B【解答】解：∵OA＝17米OB＝9米∴17﹣9＜AB＜17+9即：8＜AB＜26故选：B3．如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点那么这个三角形是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不能确定【答案】C【解答】解：A、锐角三角形三条高线交点在三角形内故错误；B、钝角三角形三条高线不会交于一个顶点故错误；C、直角三角形的直角所在的顶点正好是三条高线的交点可以得出这个三角形是直角三角形故正确；D、能确定C正确故错误．故选：C．4．如图AD是△ABC的中线已知△ABD的周长为25cm AB比AC长6cm则△ACD的周长为（）A．19cm B．22cm C．25cm D．31cm 【答案】A【解答】解：∵AD是BC边上的中线∴BD＝CD∴△ABD和△ACD周长的差＝（AB+BD+AD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC ∵△ABD的周长为25cm AB比AC长6cm∴△ACD周长为：25﹣6＝19cm．故选：A．5．在△ABC中AB＝3 AC＝2 BC＝a a的值可能是（）A．1B．3C．5D．7【答案】B【解答】解：∵△ABC中AB＝3 AC＝2 BC＝a∴1＜a＜5∴B符合故选：B．6．下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A．3cm5cm7cm B．3cm3cm7cmC．4cm4cm8cm D．4cm5cm9cm【答案】A【解答】解：A．∵A3+5＝8＞7∴能组成三角形符合题意；B．∵3+3＜7∴不能组成三角形不符合题意；C．∵4+4＝8∴不能组成三角形不符合题意；D．∵4+5＝9∴不能组成三角形不符合题意．故选：A．7．如图所示四个图形中线段BE能表示三角形ABC的高的是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：由题意线段BE能表示三角形ABC的高时BE⊥AC于E．A选项中BE与AC不垂直；C选项中BE与AC不垂直；D选项中BE与AC不垂直；∴线段BE是△ABC的高的图是B选项．故选：B．8．如图已知△ABC中点D、E分别是边BC、AB的中点．若△ABC的面积等于8 则△BDE的面积等于（）A．2B．3C．4D．5【答案】A【解答】解：∵点D是边BC的中点△ABC的面积等于8∴S△ABD＝S△ABC＝4∵E是AB的中点∴S△BDE＝S△ABD＝4＝2故选：A．9．若△ABC的三边长分别为m﹣2 2m+1 8．（1）求m的取值范围；（2）若△ABC的三边均为整数求△ABC的周长．【解答】解：（1）根据三角形的三边关系解得：3＜m＜5；（2）因为△ABC的三边均为整数且3＜m＜5 所以m＝4．所以△ABC的周长为：（m﹣2）+（2m+1）+8＝3m+7＝3×4+7＝19．10．若三角形三个内角度数比为2：3：4 则这个三角形一定是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定【答案】A【解答】解：设三个内角度数为2x、3x、4x由三角形内角和定理得2x+3x+4x＝180°解得x＝20°则三个内角度数为40°、60°、80°则这个三角形一定是锐角三角形故选：A．11．如图直线a∥b在Rt△ABC中点C在直线a上若∠1＝58°∠2＝24°则∠A的度数为（）A．56°B．34°C．36°D．24°【答案】B【解答】解：如图∵∠1＝54°a∥b∴∠3＝∠1＝58°．∵∠2＝24°∠A＝∠3﹣∠2∴∠A＝58°﹣24°＝34°．故选：B．12．如图将一副直角三角板按如图所示叠放其中∠C＝90°∠B＝45°∠E＝30°则∠BFD的大小是（）A．10°B．15°C．25°D．30°【答案】B【解答】解：∵∠B＝45°∴∠BAC＝45°∴∠EAF＝135°∴∠AFD＝135°+30°＝165°∴∠BFD＝180°﹣∠AFD＝15°故选：B．13．如图在△ABC中∠A＝70°∠B＝60°∠ACD是△ABC的一个外角∠ACD的度数为（）A．50°B．60°C．70°D．130°【答案】D【解答】解：∵△ABC中∠A＝70°∠B＝60°∴∠ACB＝180°﹣70°﹣60°＝50°∴∠ACD＝180°﹣50°＝130°故选：D．14．如图已知△ABC为直角三角形∠C＝90°若沿图中虚线剪去∠C则∠1+∠2等于（）A．90°B．135°C．270°D．315°【答案】C【解答】解：∵四边形的内角和为360°直角三角形中两个锐角和为90°∴∠1+∠2＝360°﹣（∠A+∠B）＝360°﹣90°＝270°．故选：C．15．如图直线AB∥CD如果∠EFB＝31°∠END＝70°那么∠E的度数是（）A．31°B．40°C．39°D．70°【答案】C【解答】解：∵直线AB∥CD∴∠EMB＝∠END＝70°∵∠EFB＝31°∠EMB＝∠E+∠EFB∴∠E＝70°﹣31°＝39°故选：C．16．如图在△ABC中∠BCA＝40°∠ABC＝60°．若BF是△ABC的高与角平分线AE相交于点O 则∠EOF的度数为（）A．130°B．70°C．110D．100°【答案】A【解答】解：∵∠BCA＝40°∠ABC＝60°∴∠BAC＝180°﹣∠BCA﹣∠ABC＝180°﹣40°﹣60°＝80°．∵AE是∠BAC的平分线∴∠EAC＝∠BAC＝40°．∵BF是△ABC的高∴∠BF A＝90°．∴∠AOF＝90°﹣∠EAC＝90°﹣40°＝50°．∴∠EOF＝180°﹣∠AOF＝180°﹣50°＝130°．故选：A．17．如图已知△ABC的外角∠CAD＝120°∠C＝80°则∠B的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°【答案】B【解答】解：∵∠CAD＝∠B+∠C∠CAD＝120°∠C＝80°∴∠B＝∠CAD﹣∠C＝120°﹣80°＝40°故选：B18．如图在△ABC中AD是BC边上的高AE BF分别是∠BAC∠ABC的平分线．∠BAC＝50°∠ABC＝60°．则∠DAE+∠ACD等于（）A．75°B．80°C．85°D．90°【答案】A【解答】解：∵AD是BC边上的高∠ABC＝60°∴∠BAD＝30°∵∠BAC＝50°AE平分∠BAC∴∠BAE＝25°∴∠DAE＝30°﹣25°＝5°∵△ABC中∠C＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝70°∴∠EAD+∠ACD＝5°+70°＝75°．故选：A．19．已知直线a∥b Rt△DCB按如图所示的方式放置点C在直线b上∠DCB＝90°若∠B＝20°则∠1+∠2的度数为（）A．90°B．70°C．60°D．45°【答案】B【解答】解：如图延长BD交直线b于点M．∵∠DCB＝90°∠B＝20°∴∠BDC＝90°﹣20°＝70°∵a∥b∴∠1＝∠BMC∵∠BDC＝∠DMC+∠2＝∠1+∠2∴∠1+∠2＝70°故选：B20．如图在△ABC中∠A＝50°∠1＝30°∠2＝40°∠D的度数是（）A．110°B．120°C．130°D．140°【答案】B【解答】解：∴∠A＝50°∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣50°＝130°∴∠DBC+∠DCB＝∠ABC+∠ACB﹣∠1﹣∠2＝130°﹣30°﹣40°＝60°∴∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝120°故选：B．21．如图将△ABC沿MN折叠使MN∥BC点A的对应点为点A' 若∠A'＝32°∠B＝112°则∠A'NC的度数是（）A．114°B．112°C．110°D．108°【答案】D【解答】解：∵MN∥BC∴∠MNC+∠C＝180°又∵∠A+∠B+∠C＝180°∠A＝∠A′＝32°∠B＝112°∴∠C＝36°∠MNC＝144°．由折叠的性质可知：∠A′NM+∠MNC＝180°∴∠A′NM＝36°∴∠A′NC＝∠MNC﹣∠A′NM＝144°﹣36°＝108°．故选：D．22．已知：如图点D、E、F、G都在△ABC的边上DE∥AC且∠1+∠2＝180°（1）求证：AD∥FG；（2）若DE平分∠ADB∠C＝40°求∠BFG的度数．【解答】证明：（1）∵DE∥AC∴∠2＝∠DAC∵∠l+∠2＝180°∴∠1+∠DAC＝180°∴AD∥GF（2）∵ED∥AC∴∠EDB＝∠C＝40°∵ED平分∠ADB∴∠2＝∠EDB＝40°∴∠ADB＝80°∵AD∥FG∴∠BFG＝∠ADB＝80°23．在△ABC中CD平分∠ACB交AB于点D AH是△ABC边BC上的高且∠ACB＝70°∠ADC＝80°求：（1）∠BAC的度数．（2）∠BAH的度数．【解答】解：（1）∵CD平分∠ACB∠ACB＝70°∴∠ACD＝∠ACB＝35°∵∠ADC＝80°∴∠BAC＝180°﹣∠ACD﹣∠ADC＝180°﹣35°﹣80°＝65°；（2）由（1）知∠BAC＝65°∵AH⊥BC∴∠AHC＝90°∴∠HAC＝90°﹣∠ACB＝90°﹣70°＝20°∴∠BAH＝∠BAC﹣∠HAC＝65°﹣20°＝45°．24．如图在△ABC中点E在AC上点F在AB上点G在BC上且EF∥CD∠1+∠2＝180°．（1）求证：GD∥CA；（2）若CD平分∠ACB DG平分∠CDB且∠A＝40°求∠ACB的度数．【解答】证明：（1）∵EF∥CD∴∠1+∠3＝180°．∵∠1+∠2＝180°∴∠2＝∠3．∴AC∥GD．（2）∵CD平分∠ACB DG平分∠CDB∴∠3＝∠ACB∠2＝∠GDB＝∠CDB．∵∠CDB＝∠A+∠3 ∠2＝∠3∴2∠3＝∠A+∠3．∴∠3＝∠A＝40°．∴∠ACB＝80°．25．如图在△ABC中∠B＝31°∠C＝55°AD⊥BC于D AE平分∠BAC交BC于E DF⊥AE于F求∠ADF的度数．【解答】解：∵∠B＝31°∠C＝55°∴∠BAC＝94°∵AE平分∠BAC∴∠BAE＝∠BAC＝47°∴∠AED＝∠B+∠BAE＝31°+47°＝78°∵AD⊥BC DF⊥AE∴∠EFD＝∠ADE＝90°∴∠AED+∠EDF＝∠EDF+∠ADF∴∠ADF＝∠AED＝78°．26．如图在△ABC中AD平分∠BAC AE⊥BC若∠BAD＝40°∠C＝70°求∠DAE的度数．【解答】解：∵AD平分∠BAC∴∠BAC＝2∠BAD＝80°∵∠C＝70°∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝180°﹣70°﹣80°＝30°∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝30°+40°＝70°∵AE⊥BC∴∠AEB＝90°∴∠DAE＝90°﹣∠ADE＝90°﹣70°＝20°．27．一个正多边形它的一个内角恰好是一个外角的3倍则这个正多边形是（）A．正十二边形B．正十边形C．正八边形D．正六边形【答案】C【解答】解：设这个正多边的一个外角为x°由题意得：x+3x＝180解得：x＝45360°÷45°＝8．故选：C．28．若一个多边形的内角和等于1800°这个多边形的边数是（）A．6B．8C．10D．12【答案】D【解答】解：设这个多边形是n边形根据题意得（n﹣2）×180＝1800解得n＝12∴这个多边形是12边形．故选：D．29．如图足球图片中的一块黑色皮块的内角和是（）A．720°B．540°C．360°D．180°【答案】B【解答】解：∵黑色皮块是正五边形∴黑色皮块的内角和是（5﹣2）×180°＝540°．故选：B．30．如图已知∠1+∠2+∠3＝240°那么∠4的度数为（）A．60°B．120°C．130°D．150°【答案】B【解答】解：∵∠1+∠2+∠3+∠4＝360°∠1+∠2+∠3＝240°∴∠4＝360°﹣（∠1+∠2+∠3）＝360°﹣240°＝120°故选：B．31．若一个正多边形的每个内角都是120°则这个正多边形是（）A．正六边形B．正七边形C．正八边形D．正九边形【答案】A【解答】解：解法一：设所求正多边形边数为n则120°n＝（n﹣2）•180°解得n＝6 ∴这个正多边形是正六边形．解法二：∵正多边形的每个内角都等于120°∴正多边形的每个外角都等于180°﹣120°＝60°又∵多边形的外角和为360°∴这个正多边形边数＝360°÷60°＝6．故选：A．32．小丽利用最近学习的数学知识给同伴出了这样一道题：假如从点A出发沿直线走6米后向左转θ接着沿直线前进6米后再向左转θ……如此下法当他第一次回到A点时发现自己走了72米θ的度数为（）A．28°B．30°C．33°D．36°【答案】B【解答】解：∵第一次回到出发点A时所经过的路线正好构成一个正多边形∴多边形的边数为：72÷6＝12．根据多边形的外角和为360°∴他每次转过的角度θ＝360°÷12＝30°．故选：B．33．将正六边形与正五边形按如图所示方式摆放公共顶点为O且正六边形的边AB与正五边形的边DE 在同一条直线上则∠COF的度数是（）A．74°B．76°C．84°D．86°【答案】C【解答】解：由题意得：∠EOF＝108°∠BOC＝120°∠OEB＝72°∠OBE＝60°∴∠BOE＝180°﹣72°﹣60°＝48°∴∠COF＝360°﹣108°﹣48°﹣120°＝84°故选：C．34．小明把一副含45°30°的直角三角板如图摆放其中∠C＝∠F＝90°∠A＝45°∠D＝30°则∠α+∠β等于（）A．280°B．285°C．290°D．295°【答案】B【解答】解：∵∠C＝∠F＝90°∠A＝45°∠D＝30°∴∠2+∠3＝180°﹣∠D＝150°∵∠α＝∠1+∠A∠β＝∠4+∠C∵∠1＝∠2 ∠3＝∠4∴∠α+∠β＝∠A+∠1+∠4+∠C＝∠A+∠C+∠2+∠3＝45°+90°+150°＝285°故选：B．35．如图若干全等正五边形排成环状．图中所示的是前3个五边形要完成这一圆环还需（）个五边形．A．6B．7C．8D．9【答案】B【解答】解：五边形的内角和为（5﹣2）×180°＝540°所以正五边形的每一个内角为540°÷5＝108°如图延长正五边形的两边相交于点O则∠1＝360°﹣108°×3＝360°﹣324°＝36°360°÷36°＝10∵已经有3个五边形∴10﹣3＝7即完成这一圆环还需7个五边形．故选：B．36．一个多边形它的内角和比外角和的4倍多180°求这个多边形的边数．【解答】解：根据题意得（n﹣2）•180＝1620解得：n＝11．则这个多边形的边数是11 内角和度数是1620度．。
人教版八年级数学上册三角形典型题专题训练
八年级数学三角形典型题专题训练一、知识精讲三角形是最简单、最基本的几何图形，它不仅是研究其他图形的基础，而且在解决实际问题中也有着广泛的应用.本节知识包含：三角形三边关系定理、三角形内角和定理及推论，它们在线段、角度的计算、图形的计数，基本模型的变式等.二、典型例题【例1】已知△ABC中，∠CAB＞∠CBA，CD平分∠ACB，E为直线AB上一点，过E作E D垂直于C D，垂足为D．（1）当E与A重合时，如图 1，求证：∠BED=12(∠CAB－∠CBA)（2）当E在A B延长线上时，如图 2，（1）中的结论是否仍成立，写出证明过程．【练1】如图，∠D=40°，∠C=30°，A E、B E平分∠D A C、∠C B D，求∠A E B的度数.例2：如图已知点P为△ABC内任意一点，证明：PA+PB+PC＞12（AB+BC+AC)【练2】P是△ABC内一点，连接BP，PC延长BP交AC与点D .求证：AB+AC> PB+PC.图形归纳：【例3】如图，P A、P B分别平分△A O B的两个外角，A E⊥P B，求∠P A E.【练3】如图x轴、y轴分别平分∠DBC、∠EAD，求∠AED+∠BCD的值.【例4】如图1，△ABC中AD、AE分别为高、角平分线，F在BC的延长线上，过F作FG⊥AE于G且交AB于H.（1）求证：∠DAE=∠F；（2）求证：2∠DAE=∠ACB－∠B；（3）△ABC中，若∠ACB为钝角，其它条件不变，如图2，请画出图形并直接写出∠DAE、∠ACB、∠B之间的数量关系.【练4】已知在平面直角坐标系中，M、N分别为x轴、y轴上的两个动点，M 在原点的左侧，N在原点的上方．(1)如图1，射线MO、NO平分∠BMC、∠DNC，∠BMC 与∠DNC的各边分别交于A、B、C、D，试判断∠BAD、∠C之间有何确定的数量关系？证明你的结论.（2）如图2，ND平分∠MNO，ND交x轴于E，∠FEO =13∠NEF，且∠ FMO =1n∠ NMF，∠MFE= 11.25°，求n的值．【例5】已知P为第四象限一动点，Q为x轴负半轴上一动点，R在P Q下方且为y轴负半轴上一动点．（1）如图 1，若P（2，－1），Q（－3，0），R（0，－5），求S△P Q R。
人教版八年级上册数学《三角形》单元测试题带答案
人教版数学八年级上学期《三角形》单元测试时间:90分钟总分: 100一、选择题1.能将三角形面积平分的是三角形的..)A.角平分..B...C.中..D.外角平分线2.已知三角形的两边长分别为4cm和9cm, 则下列长度的四条线段中能作为第三边的是.. )A.13c..B.6c..C.5c..D.4cm3.三角形一个外角小于与它相邻的内角, 这个三角形是...)A.直角三角..B.锐角三角..C.钝角三角..D.属于哪一类不能确定4.若一个多边形每一个内角都是135º, 则这个多边形的边数是...)A...B...C.1..D.125.某商店出售下列四种形状的地砖:①正三角形;②正方形;③正五边形;④正六边形.若只选购其中一种地砖镶嵌地面, 可供选择的地砖共有( )A.4..B.3..C.2..D.1种6.一个多边形的外角和是内角和的一半, 则它是. )边形A...B...C...D.47.如图，DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，CF的延长线交AB于点G，若△CEF的面积为12cm2，则S △DGF的值为. )学*科*网...学*科*网...A.4cm..B.6cm..C.8cm..D.9cm28.已知△ABC中, ∠A=20°, ∠B=∠C, 那么三角形△ABC是()A.锐角三角..B.直角三角..C.钝角三角..D.正三角形9.试通过画图来判定, 下列说法正确的是()A.一个直角三角形一定不是等腰三角形B.一个等腰三角形一定不是锐角三角形C.一个钝角三角形一定不是等腰三角形D.一个等边三角形一定不是钝角三角形10.如图，BD平分∠ABC，CD⊥BD，D为垂足，∠C=55°，则∠ABC的度数是()A.35..B.55..C.60..D.70°二、填空题11.如果点G是△ABC的重心.AG的延长线交BC于点D.GD=12.那么AG=________.12.如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1= ，∠2= ，则∠3=_____________°.13.若一个多边形的内角和比外角和大360°, 则这个多边形的边数为_______________.14.如图，△ABC中，∠ACB＞90°，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为D.E、F，则线段___是△ABC中AC边上的高.15.一个多边形的内角和是外角和的2倍, 则这个多边形的边数为___.16.十边形的外角和是_____°.17.若三角形的周长是60cm，且三条边的比为3:4:5，则三边长分别为__________．18.如图，⊿ABC中，∠..40°，∠..72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，则∠CD.=_________度。
2022八年级数学上册第十一章三角形专题训练(二)与三角形的角有关的四种几何模型作业课件新版新人教版
90°－∠AEC＝90°－75°＝15°
(3)∵∠DEF＝∠AEC＝75°，∴∠EFD＝90°－75°＝15°，即∠EFD的度数没有
变化，为15°
解：(3)∠BOC＝90°－12 ∠A
【变式拓展类型】 “8”字形内角平分线的夹角 6 ． ( 中 考 改 编 题 ) 如 图 ， 线 段 AB ， CD 相 交 于 点 O ， 连 接 AC ， DB. 已 知 BE 平 分 ∠ABD交CD于点F，CE平分∠ACD交AB于点G，判断∠A，∠D与∠E之间的关系， 并证明你的结论．
解：∠E＝
1 2
(∠A＋∠D).证明如下：∠DBE＋∠D＝∠E＋
∠DCE①，∠ECA＋∠A＝∠EBA＋∠E②，由题意得∠DBE
＝∠EBA，∠ECA＝∠DCE.由①＋②，得∠DBE＋∠D＋
∠ECA＋∠A＝∠E＋∠DCE＋∠EBA＋∠E，即2∠E＝∠D＋
∠A，∴∠E＝12 (∠A＋∠D)
模型四 角平分线与高线的夹角 7．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，∠B＝40°，∠C＝70°，F为射线AE上 一点(不与点E重合)，且FD⊥BC. (1)若点F与点A重合，如图①，求∠EFD的度数； (2)若点F在线段AE上(不与点A重合)，如图②，求∠EFD的度数； (3)若点F在△ABC外部，如图③，此时∠EFD的度数会变化吗？是多少？ (4)由上可得出∠EFD与∠B，∠C之间的数量关系为_∠__E__F_D_＝__12__(_∠__C_－__∠__B_)____．
【变式5】如图，点A，B，C，D，E，F是平面上的6个点，则∠A＋∠B＋∠C＋ ∠D＋∠E＋∠F的度数是___3_6_0_°____．
模型三 三角形内角与外角平分线所成的角 (一)两内角平分线的夹角 3．(教材P29复习题T11变式)如图，已知△ABC，请解答： (1)若∠B＝70°，点P是△ABC中∠BAC和∠ACB的平分线的交点，则∠APC的度 数为__1_2_5_°___； (2)如果把(1)中“∠B＝70°”这个条件去掉，试探索∠APC和∠B之间有怎样的数 量关系．
三角形全等几何模型(半角模型)(精选精练)(专项练习)(教师版)24-25学年八年级数学上册专项突破
专题12.16三角形全等几何模型（半角模型）（精选精练）（专项练习）1．如图，在正方形ABCD 中，点P 在直线BC 上，作射线AP ，将射线AP 绕点A 逆时针旋转45°，得到射线AQ ，交直线CD 于点Q ，过点B 作BE ⊥AP 于点E ，交AQ 于点F ，连接DF ．（1）依题意补全图形；（2）用等式表示线段BE ，EF ，DF 之间的数量关系，并证明．2．如图，ABC 是边长为3的等边三角形，BDC 是等腰三角形，且120BDC ∠=︒，以D 为顶点作一个60︒角，使其两边分别交AB 于点M ，交AC 于点N ，连接MN ，求AMN 的周长．3．（23-24八年级上·河南漯河·阶段练习）如图，在四边形ABCD 中，AB AD =，90B D ∠=∠=︒，E 、F分别是边BC 、CD 上的点，EAF ∠=12BAD ．(1)求证：EF BE FD =+．(2)求证：AF 平分DFE ∠．4．问题背景：如图1：在四边形ABCD 中，AB AD =，120BAD ∠=︒，90B ADC ∠=∠=︒．E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且60EAF ∠=︒．探究图中线段EF ，BE ，FD 之间的数量关系．（1）小王同学探究此问题的方法是：延长FD 到点G ，使DG BE =．连接AG ，先证明ABE ADG △≌△，再证明AEF AGF ≌，他的结论应是；（并写出证明过程）探索延伸：（2）如图2，若在四边形ABCD 中，AB AD =，180B D ∠∠=︒＋，E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且EAF ∠是BAD ∠的二分之一，上述结论是否仍然成立，并说明理由．5．（22-23九年级下·山东滨州·期中）（1）如图1，在四边形ABCD 中，120AB AD BAD =∠=︒，，90ABC ADC ∠=∠=︒，且60EAF ∠=︒，求证：EF BE FD =+．（2）如图2，若在四边形ABCD 中，AB AD =，180B D ∠+∠=︒，E F 、分别是BC CD 、上的点，且12EAF BAD ∠=∠，上述结论是否仍然成立？请说明理由．6．【问题引领】问题1：如图1．在四边形ABCD 中，CB CD =，90B ADC ∠=∠=︒，120BCD ∠=︒．E ，F 分别是AB ，AD 上的点．且60ECF ∠=︒．探究图中线段BE ，EF ，FD 之间的数量关系．小王祠学探究此问题的方法是，延长FD 到点G ．使DG BE =．连接CG ．先证明CBE CDG △△≌，再证明CEF CGF ≌△△．他得出的正确结论是______．【探究思考】问题2：如图2，若将问题Ⅰ的条件改为：四边形ABCD 中，CB CD =，180ABC ADC ∠+∠=︒，12ECF BCD ∠=∠，问题1的结论是否仍然成立?请说明理由．【拓展延伸】问题3：如图3在问题2的条件下，若点E 在AB 的延长线上，点F 在DA 的延长线上，则问题2的结论是否仍然成立？若不成立，猜测此时线段BE ，EF ，FD 之间存在的等量关系是______．7．（1）如图1：在四边形ABCD 中，AB AD =，120BAD ∠=︒，90B ADC ∠=∠=︒．E ，F 分别是BC ，CD 上的点．且60EAF ∠=︒．探究图中线段EF ，BE ，FD 之间的数量关系．小明同学探究的方法是：延长FD 到点G ．使DG BE =，连接AG ，先证明ABE ADG ≌△△，再证明AEF AGF △△≌，可得出结论，他的结论是________（直接写结论，不需证明）；（2）如图2，若在四边形ABCD 中，AB AD =，180B D ∠+∠=︒，E 、F 分别是BC ，CD 上的点，且EAF ∠是BAD ∠的二分之一，上述结论是否仍然成立，并说明理由；（3）如图3，四边形ABCD 是边长为n 的正方形，45EBF ∠=︒，直接写出三角形DEF 的周长．8．（23-24八年级上·北京朝阳·阶段练习）在ABC 中，AB AC =，点D 是直线BC 上一点（不与B C 、重合），以AD 为一边在AD 的右侧作ADE V ，使,AE AD BD CE ==．设,BAC BCE αβ∠=∠=．(1)如图1，如果90,BAC BCE ∠=︒∠=___________度；(2)如图2，你认为αβ、之间有怎样的数量关系？并说明理由．(3)当点D 在直线BC 上移动时，αβ、之间又有怎样的数量关系？请在备用图上画出图形，并直接写出你的结论．（B 、C 、E 三点不共线）参考答案：1．（1）补全图形见解析；（2）BE+DF=EF，证明见解析．【分析】（1）根据题意补全图形即可．（2）延长FE到H,使EH=EF，根据题意证明△ABH≌△ADF，然后根据全等三角形的性质即可证明．【详解】（1）补全图形（2）BE+DF=EF．证明：延长FE到H,使EH=EF∵BE⊥AP，∴AH=AF，∴∠HAP=∠FAP=45°，∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°∴∠BAP+∠2=45°，∵∠1+∠BAP=45°∴∠1=∠2，∴△ABH≌△ADF，∴DF=BH，∵BE+BH=EH=EF，∴BE+DF=EF．【点睛】此题考查了正方形的性质和全等三角形的性质，解题的关键是根据题意作出辅助线． 的周长为6．2．AMN【分析】要求△AMN的周长，根据题目已知条件无法求出三条边的长，只能把三条边长用其它已知边长来表示，所以需要作辅助线，延长AB至F，使BF=CN，连接DF，通过证明△BDF≌△CDN，及△DMN≌△DMF，从而得出MN=MF，△AMN的周长等于AB+AC的长．【详解】解：∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°∴∠BCD=∠DBC=30°∵△ABC是边长为3的等边三角形∴∠ABC=∠BAC=∠BCA=60°∴∠DBA=∠DCA=90°延长AB至F，使BF=CN，连接DF，在Rt△BDF和Rt△CND中，BF=CN，DB=DC∴△BDF≌△CDN，∴∠BDF=∠CDN，DF=DN∵∠MDN=60°∴∠BDM+∠CDN=60°∴∠BDM+∠BDF=60°，∠FDM=60°=∠MDN，DM为公共边∴△DMN≌△DMF，∴MN=MF∴△AMN的周长是：AM+AN+MN=AM+MB+BF+AN=AB+AC=6．【点睛】此题主要利用等边三角形和等腰三角形的性质来证明三角形全等，构造另一个三角形是解题的关键．3．(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质；（1）延长EB 到G ，使BG DF =，连接AG ．先说明ABG ADF ≌，然后利用全等三角形的性质和已知条件证得AEG AEF ≌，最后再运用全等三角形的性质和线段的和差即可解答；（2）根据（1）的结论可得G AFE ∠=∠，AFD G ∠=∠，即可得出AFD AFE ∠=∠，即可得证．【详解】（1）证明：延长EB 到G ，使BG DF =，连接AG ．90ABG ABC D ∠=∠=∠=︒ ，AB AD =，ABG ADF ∴ ≌．AG AF ∴=，12∠=∠．1323EAF ∴∠+∠=∠+∠=∠=12BAD ∠．GAE EAF ∴∠=∠．又AE AE = ，AEG AEF ∴ ≌．EG EF ∴=．EG BE BG =+ ．EF BE FD ∴=+；（2）证明：∵ABG ADF ≌，∴AFD G ∠=∠，∵AEG AEF ≌，∴G AFE ∠=∠，∴AFD AFE ∠=∠，即AF 平分DFE ∠．4．（1）EF BE DF =+，证明过程见解析（2）成立，理由见解析【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构建全等三角形是解题的关键．（1）先利用“SAS ”判断ABE ADG △≌△得到AE AG =，BAE DAG ∠=∠，再证明EAF GAF ∠=∠，接着根据“SAS ”判断AEF AGF ≌，所以EF FG =，从而得到EF BE DF =+；（2）结论仍然成立，证明方法与（1）相同．【详解】解：（1）EF BE DF =+，证明如下：如下图，延长FD 到点G ，使得DG BE =，连接AG，∵90B ADC ∠=∠=︒，∴18090ADG ADC ∠=︒-∠=︒，在ABE 和ADG △中，90BE DG B ADG AB AD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴(SAS)ABE ADG ≌，∴AE AG =，BAE DAG ∠=∠，∵60EAF ∠=︒，120BAD ∠=︒，∴GAF DAG DAF BAE DAF EAF ∠=∠+∠=∠+∠=∠，在AEF △和AGF 中，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴(SAS)AEF AGF ≌△△，∴EF FG =，∵FG DG DF BE DF =+=+，∴EF BE DF =+；故答案为：EF BE DF =+；（2）结论EF BE DF =+仍然成立，理由如下：如下图，延长FD 到点G ，使得DG BE =，连接AG ，∵180B ADF ∠+∠=︒，180ADF ADG ∠+∠=︒，∴B ADG ∠=∠，在ABE 和ADG △中，BE DG B ADG AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴(SAS)ABE ADG ≌，∴AE AG =，BAE DAG ∠=∠，∵12EAF BAD ∠=∠，∴GAF DAG DAF BAE DAF EAF ∠=∠+∠=∠+∠=∠，在AEF △和AGF 中，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴(SAS)AEF AGF ≌△△，∴EF FG =，∵FG DG DF BE DF =+=+，∴EF BE DF =+．5．（1）见解析；（2）结论EF BE FD =+仍然成立；理由见解析【分析】本题主要考查的是三角形的综合题，主要涉及三角形全等的判定与性质，作辅助线构造全等三角形是解此题的关键．（1）延长FD 到G ，使DG BE =，连接AG ，根据SAS 证明ABE ADG △≌△可得AE AG =，再证明AEF AGF ≌，可得EF FG =，即可得出结论；（2）延长FD 到G ，使DG BE =，连接AG ，根据SAS 证明ABE ADG △≌△可得AE AG =，再证明AEF AGF ≌，可得EF FG =，即可得出结论．【详解】证明：如图，延长FD 到G ，使DG BE =，连接AG ，则18090ADG ADC ∠=︒-∠=︒，又90ABC ∠=︒，∴ABC ADG ∠=∠，在ABE 和ADG △中，DG BE B ADG AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS ABE ADG ∴ ≌，AE AG ∴=，BAE DAG ∠=∠，60EAF ∠=︒ ，120BAD ∠=︒，60GAF DAG DAF BAE DAF BAD EAF EAF ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠-∠=︒=∠，GAF EAF ∴∠=∠，在AEF △和AGF 中，AE AG GAF EAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS AEF AGF ∴ ≌，EF FG ∴=，FG DG DF BE DF =+=+ ，EF BE DF ∴=+；（2）结论EF BE DF =+仍然成立，理由如下：如图，延长FD 到G ，使DG BE =，连接AG ，∵180,180B ADC ADC ADG ∠+∠=︒∠+∠=︒，∴B ADG ∠=∠，在ABE 和ADG △中，DG BE B ADG AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS ABE ADG ∴ ≌，AE AG ∴=，BAE DAG ∠=∠，12EAF BAD ∠=∠ ，GAF DAG DAF BAE DAF BAD EAF EAF ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠-∠=∠，GAF EAF ∴∠=∠，在AEF △和AGF 中，AE AG GAF EAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS AEF AGF ∴ ≌，EF FG ∴=，FG DG DF BE DF =+=+ ，EF BE DF ∴=+．6．问题1：BE FD EF +=；问题2：问题1中结论仍然成立，理由见解析；问题3：结论：DF EF BE =+．【分析】问题1，先证明CBE CDG ≌△△，得到CE CG =，BCE DCG ∠=∠，再证明CEF CGF ≌，得到EF GF =，即可得到EF DG DF BE DF =+=+；问题2，延长FD 到点G ．使DG BE =．连接CG ，先判断出ABC GDC ∠=∠，进而判断出CBE CDG ≌△△，再证明CEF CGF ≌，最后用线段的和差即可得出结论；问题3，在DF 上取一点G ．使DG BE =．连接CG ，然后同问题2的方法即可得出结论．【详解】解：问题1，如图1，延长FD 到点G ．使DG BE =．连接CG，∵90ADC B ∠∠==︒，∴18090CDG ADC ∠-∠=︒=︒，∴90CBE CDG ∠∠==︒，在CBE △和CDG 中，===BE DG CBE CDG BC DC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴()SAS CBE CDG △≌△，∴CE CG =，BCE DCG ∠=∠，∴BCE ECD DCG ECD ∠+∠=∠+∠，即120ECG BCD ∠∠==︒，∵60ECF ∠=︒，∴60GCF ECG ECF ∠∠-∠==︒，∴=ECF GCF ∠∠，在CEF △和CGF △中，===CE CG ECF GCF CF CF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴()SAS CEF CGF ≌，∴EF GF =，∴EF DG DF BE DF =+=+；故他得到的正确结论是：=+EF BE DF ；问题2，问题1中结论仍然成立，如图2，理由：延长FD 到点G ．使DG BE =．连接CG ，∵+=180ABC ADC ∠∠︒，+=180CDG ADC ∠∠︒，∴ABC GDC ∠=∠，在CBE △和CDG 中，BE DG CBE CDG BC DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS CBE CDG △≌△，∴CE CG =，BCE DCG ∠=∠，∴BCE ECD DCG ECD ∠+∠=∠+∠，即ECG BCD ∠=∠，∵12ECF BCD ∠=∠，∴12ECF ECG ∠=∠，∴=ECF GCF ∠∠，在CEF △和CGF △中，CE CG ECF GCF CF CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS CEF CGF ≌，∴EF GF =，∴EF DG DF BE DF =+=+；即=+EF BE DF ；问题3．结论：DF BE EF =+，理由如下：如图3，在DF 上取一点G ．使DG BE =．连接CG ，∵180ABC ADC ∠+∠=︒，180ABC CBE ∠+∠=︒，∴ADC CBE ∠=∠，即CDG CBE ∠=∠，在CBE △和CDG 中，BE DG CBE CDG BC DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS CBE CDG △≌△，∴CE CG =，BCE DCG ∠=∠，∴BCE BCG DCG BCG ∠+∠=∠+∠，即ECG BCD ∠=∠，∵12ECF BCD ∠=∠，∴12ECF ECG ∠=∠，∴=ECF GCF ∠∠，在CEF △和CGF △中，CE CG ECF GCF CF CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS CEF CGF ≌，∴EF GF =，∴EF GF DF DG DF BE ==-=-．即DF BE EF =+．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够正确作出辅助线构造全等三角形．7．（1）EF BE DF =+；（2）结论仍然成立，EF BE FD +＝；（3）2n ．【分析】（1）延长FD 到点G ，使DG BE =，连结AG ，由“SAS ”可证ABE ADG △≌△，可得AE AG =，BAE DAG ∠=∠，再由“SAS ”可证AEF AGF ≌，可得EF FG =，即可解题；（2）延长EB 到G ，使BG DF =，连接AG ，即可证明ABG ADF ≌，可得AF AG =，再证明AEF AEG △≌△，可得EF EG =，即可解题；（3）延长EA 到H ，使AH CF =，连接BH ，由“SAS ”可证ABH CBF ≌，可得BH BF =，ABH CBF ∠=∠，由“SAS ”可证EBH EBF ≌，可得EF EH =，可得EF EH AE CF ==+，即可求解．【详解】（1）延长FD 到点G ，使DG BE =，连结AG ，在ABE 和ADG △中，BE DG B ADG AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ABE ADG △△≌，∴AE AG =，BAE DAG ∠=∠，∵120BAD ∠=︒，60EAF ∠=︒，∴60BAE FAD DAG FAD ∠+∠=∠+∠=︒，∴60EAF FAG ∠=∠=︒，在EAF △和GAF 中，AG AE EAF FAG AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS EAF GAF ≌，∴EF FG DF DG ==+，∴EF BE DF =+，故答案为：EF BE DF =+；（2）结论仍然成立，理由如下：如图2，延长EB 到G ，使BG DF =，连接AG，∵180180ABC D ABG ABC ∠+∠︒∠+∠︒＝，＝，∴ABG D ∠∠＝，同（1）理：()SAS ABG ADF △△≌，∴AG AF =，BAG DAF ∠=∠，∵12EAF BAD ∠=∠，∴12DAF BAE BAG BAE BAD EAF ∠+∠=∠+∠=∠=∠，∴GAE EAF ∠=∠，又AE AE =，∴()SAS AEG AEF △△≌，∴EG EF =，∵EG =BE +BG ，∴EF BE FD +＝；（3）如图，延长EA 到H ，使AH CF =，连接BH ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC AD CD n ====，90BAD BCD ∠=∠=︒，∴90BAH BCF ∠=∠=︒，又∵AH CF =，AB BC =，∴()SAS ABH CBF ≌，∴BH BF =，ABH CBF ∠=∠，∵45EBF ∠=︒，∴45CBF ABE HBA ABE EBH ∠+∠=︒=∠+∠=∠，∴EBH EBF ∠=∠，又∵BH BF =，BE BE ＝，∴()SAS EBH EBF ≌，∴EF EH =，∴EF EH AE CF ==+，∴DEF 的周长2DE DF EF DE DF AE CF AD CD n =++=+++=+=．【点睛】此题主要考查了三角形全等的判定和性质，灵活运用全等三角形的性质和判定是解答本题的关键．8．(1)90；(2)=180αβ+︒；(3)图象见详解；=180αβ+︒；【分析】（1）先证明ABD ACE ≌（SSS ），则可得B ACE ∠∠=，根据90BAC ∠=︒，可知9090B ACB ACE ACB ∠∠∠∠+=︒+=︒，则；（2）已知ABD ACE ≌，则B ACE ∠∠=，则B ACB BCE ∠∠∠+=，根据180180B ACB BAC BCE BAC ∠∠∠++∠=︒+∠=︒，可得，则=180αβ+︒．（3）连接AD ，作AE 使得DAE BAC ∠∠=，AE AD =，连接DE 、CE ：根据BAD BAC CAD ∠∠∠=+，CAE DAE CAD ∠∠∠=+，可得BAD CAE ∠∠=，证明ABD ACE ≌，进而可得B ACE ∠∠=，则B 180BCE AC ACE BCA B BAC ∠∠=+∠=∠+∠=︒-∠，由此可证明αβ、之间存在数量关系为=180αβ+︒；【详解】（1）解：在ABD 与ACE 中，AB AC AE AD BD CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴ABD ACE ≌（SSS ），∴B ACE ∠∠=，∵90BAC ∠=︒，∴90B ACB ∠∠+=︒，∴90ACE ACB ∠∠+=︒，故答案为：90；（2）解：已知ABD ACE ≌，∴B ACE ∠∠=，∴B ACB BCE ∠∠∠+=，∵180B ACB BAC ∠∠++∠=︒，∴180BCE BAC ∠+∠=︒，∴=180αβ+︒．（3）解：连接AD ，作AE 使得DAE BAC ∠∠=，AE AD =，连接DE 、CE，可得下图：∵BAD BAC CAD ∠∠∠=+，CAE DAE CAD ∠∠∠=+，∴BAD CAE ∠∠=；在ABD 和ACE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ABD ACE ≌()SAS ；∴B ACE ∠∠=；∴B 180BCE AC ACE BCA B BAC ∠∠=+∠=∠+∠=︒-∠，∴αβ、之间存在数量关系为=180αβ+︒．【点睛】本题考查全等三角形的性质与判定，能够熟练掌握全等三角形的判定定理，找出相应的判定条件是解决本题的关键．。
三角形(压轴必刷30题5种题型专项训练)—2023-2024学年八年级数学上册(人教版)(解析版)
三角形（压轴必刷30题5种题型专项训练）一．三角形的角平分线、中线和高（共1小题）1．（2022秋•瑞金市校级月考）如图，△ABC的周长是21cm，AB＝AC，中线BD分△ABC为两个三角形，且△ABD的周长比△BCD的周长大6cm，求AB，BC．【分析】由BD是中线，可得AD＝CD，又由△ABD的周长比△BCD的周长大6cm，△ABC的周长是21cm，AB＝AC，可得AB﹣BC＝6cm，2AB+BC＝21cm，继而求得答案．【解答】解：∵BD是中线，∴AD＝CD＝AC，∵△ABD的周长比△BCD的周长大6cm，∴（AB+AD+BD）﹣（BD+CD+BC）＝AB﹣BC＝6cm①，∵△ABC的周长是21cm，AB＝AC，∴2AB+BC＝21cm②，联立①②得：AB＝9cm，BC＝3cm．【点评】此题考查了三角形面积与三角形的中线．注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．二．三角形三边关系（共1小题）2．（2022春•徐汇区校级期末）周长为30，各边互不相等且都是整数的三角形共有个．【分析】不妨设三角形三边为a、b、c，且a＜b＜c，由三角形三边关系定理及题设条件可确定c的取值范围，以此作为解题的突破口．【解答】解：设三角形三边为a、b、c，且a＜b＜c．∵a+b+c＝30，a+b＞c∴10＜c＜15∵c为整数∴c为11，12，13，14∵①当c为14时，有5个三角形，分别是：14，13，3；14，12，4；14，11，5；14，10，6；14，9，7；②当c为13时，有4个三角形，分别是：13，12，5；13，11，6；13，10，7；13，9，8；③当c为12时，有2个三角形，分别是：12，11，7；12，10，8；④当c为11时，有1个三角形，分别是：11，10，9；故答案为：12个．【点评】此题主要考查学生对三角形三边关系的理解及运用能力．三．三角形内角和定理（共12小题）3．（2021秋•新罗区校级月考）在△ABC中，∠A＝36°，当∠C＝，△ABC为等腰三角形．【分析】分三种情形分别讨论，运用三角形内角和定理即可解决问题【解答】解：①当AB＝AC时，∵∠A＝36°，∴∠C＝∠B＝72°．②当CA＝CB时，∵∠A＝∠B＝36°，∴∠C＝108°．③当BA＝BC时，∴∠C＝∠A＝36°，综上所述，∠C的值为72°或108°或36°，故答案为：72°，36°，108°．【点评】本题考查等腰三角形的判定和性质以及三角形内角和定理的运用，解题的关键是用分类讨论的思想思考问题．4．（2022秋•潍坊期末）如图，AB和CD相交于点O，∠C＝∠COA，∠BDC＝∠BOD，AP，DP分别平分∠CAO和∠BDC，若∠C+∠P+∠B＝165°，则∠C的度数是．【分析】设∠C＝∠AOC＝∠BOD＝∠BDO＝x，∠CAP＝∠PAB＝y，∠P＝z，则∠B＝2y，构建方程组解决问题即可．【解答】解：∵∠C＝∠COA，∠BDC＝∠BOD，∠AOC＝∠BOD，∴∠C＝∠AOC＝∠BOD＝∠BDO，∴∠B＝∠CAO，设∠C＝∠AOC＝∠BOD＝∠BDO＝x，∠CAP＝∠PAB＝y，∠P＝z，则∠B＝2y，则有，解得，∴∠C＝70°，故答案为70°．【点评】本题考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题．5．（2021秋•武昌区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝2α，CD平分∠ACB，∠CAD＝30°﹣α，∠BAD＝30°，则∠BDC＝．（用含α的式子表示）【分析】延长CB到E，使CE＝CA，连接DE，EA，利用SAS证明△ADC≌△EDC，得AD＝ED，∠ADC＝∠EDC，再证明△EDA为等边三角形，得出AB是∠EAD的角平分线，再通过导角得出答案．【解答】解：如图，延长CB到E，使CE＝CA，连接DE，EA，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝，在△ADC与△EDC中，，∴△ADC≌△EDC（SAS），∴AD＝ED，∠ADC＝∠EDC，∵∠CAD＝30°﹣α，∠ACD＝α，∴∠ADC＝180°﹣（30°﹣α）﹣α＝150°，∴∠EDC＝∠ADC＝150°，∴∠EDA＝360°﹣150°﹣150°＝60°，∵ED＝AD，∴△EDA为等边三角形，∴∠EAD＝∠AED＝60°，∵∠BAD＝30°，∴∠EAB＝60°﹣30°＝30°，∴AB是∠EAD的角平分线，∵AB是ED的垂直平分线，∴BD＝BE，∴∠BED＝∠BDE，∵∠ACB＝2α，∠EAC＝∠EAD+∠DAC＝60°+30°﹣α＝90°﹣α，∴∠AEC＝180°﹣2α﹣（90°﹣α）＝90°﹣α，∴∠EDB＝∠AEC﹣∠AED＝90°﹣α﹣60°＝30°﹣α，∴∠EDB＝∠BED＝30°﹣α，∴∠DBC＝∠BDE+∠BED＝（30°﹣α）×2＝60°﹣2α，∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB＝180°﹣（60°﹣2α）﹣α＝120°+α，故答案为：120°+α．【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．6．（2020秋•杏花岭区校级月考）如图，在第1个△ABA1中，∠B＝40°，∠BAA1＝∠BA1A，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得在第2个△A1CA2中，∠A1CA2＝∠A1A2C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得在第3个△A2DA3中，∠A2DA3＝∠A2A3D；…，按此做法进行下去，第3个三角形中以A3为顶点的内角的度数为；第n个三角形中以A n为顶点的底角的度数为．【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠BA1A的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠CA2A1，∠DA3A2及∠EA4A3的度数，找出规律即可得出第n个三角形的以An为顶点的底角的度数．【解答】解：∵在△ABA1中，∠B＝40°，AB＝A1B，∴∠BA1A＝（180°﹣∠B）＝（180°﹣40°）＝70°，∵A1A2＝A1C，∠BA1A是△A1A2C的外角，∴∠CA2A1＝∠BA1A＝×70°＝35°；同理可得，∠DA3A2＝×70°＝17.5°，∠EA4A3＝×70°，以此类推，第n个三角形的以An为顶点的底角的度数＝．故答案为：17.5°，．【点评】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠CA2A1，∠DA3A2及∠EA4A3的度数，进而找出规律是解答此题的关键．7．（2022春•台江区校级期末）如图，在△ABC中，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，∠BAC＞∠C，FH⊥BE交BD于G，交BC于H，下列结论：①∠DBE＝∠F；②2∠BEF＝∠BAF+∠C；③∠F＝（∠BAC﹣∠C）；④∠BGH＝∠ABE+∠C．其中正确的是．【分析】①根据BD⊥FD，FH⊥BE和∠FJD＝∠BJH，证明结论正确；②根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确；③证明∠DBE＝∠BAC﹣∠C，根据①的结论，证明结论正确；④根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确．【解答】解：设BE交FH于点J．①∵BD⊥FD，∴∠FGD+∠F＝90°∵FH⊥BE，∴∠BGJ+∠DBE＝90°，∵∠FGD＝∠BGJ，∴∠DBE＝∠F，①正确；②∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∠BEF＝∠CBE+∠C，∴2∠BEF＝∠ABC+2∠C，∠BAF＝∠ABC+∠C，∴2∠BEF＝∠BAF+∠C，②正确；③∠ABD＝90°﹣∠BAC，∠DBE＝∠ABE﹣∠ABD＝∠ABE﹣90°+∠BAC＝∠CBD﹣∠DBE﹣90°+∠BAC，∵∠CBD＝90°﹣∠C，∴∠DBE＝∠BAC﹣∠C﹣∠DBE，由①得，∠DBE＝∠F，∴∠F＝∠BAC﹣∠C﹣∠DBE，∴∠F＝（∠BAC﹣∠C）；③正确；④∵∠AEB＝∠EBC+∠C，∵∠ABE＝∠CBE，∴∠AEB＝∠ABE+∠C，∵BD⊥FC，FH⊥BE，∴∠FGD＝∠BGH＝∠FEB，∴∠BGH＝∠ABE+∠C，④正确，故答案为：①②③④．【点评】本题考查的是三角形内角和定理，正确运用三角形的高、中线和角平分线的概念以及三角形外角的性质是解题的关键．8．（2021秋•雷州市月考）如图，D是△ABC的BC边上的一点，∠B＝∠BAD，∠ADC＝80°，∠BAC＝70°．（1）求∠B的度数．（2）求∠C的度数．【分析】（1）先由三角形外角的性质得出∠ADC＝∠B+∠BAD，再由∠ADC＝80°，∠B＝∠BAD即可得出∠B的度数；（2）直接根据三角形的内角和定理得出∠C的度数．【解答】解：（1）∵∠ADC是△ABD的一个外角，∴∠ADC＝∠B+∠BAD，又∵∠ADC＝80°，∠B＝∠BAD，∴∠B＝∠ADC＝×80°＝40°；（2）在△ABC 中，∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣40°﹣70°＝70°．【点评】本题考查的是三角形内角和定理及外角的性质，熟知三角形的内角和是180°是解答此题的关键．9．（2021春•东台市月考）如图，AD平分∠BAC，∠EAD＝∠EDA．（1）∠EAC与∠B相等吗？为什么？（2）若∠B＝50°，∠CAD：∠E＝1：3，求∠E的度数．【分析】（1）由于AD平分∠BAC，根据角平分线的概念可得∠BAD＝∠CAD，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，结合已知条件可得∠EAC与∠B相等；（2）若设∠CAD＝x°，则∠E＝3x°．根据（1）中的结论以及三角形的内角和定理及其推论列方程进行求解即可．【解答】解：（1）相等．理由如下：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD．又∠EAD＝∠EDA，∴∠EAC＝∠EAD﹣∠CAD＝∠EDA﹣∠BAD＝∠B；（2）设∠CAD＝x°，则∠E＝3x°，由（1）知：∠EAC＝∠B＝50°，∴∠EAD＝∠EDA＝（x+50）°在△EAD中，∵∠E+∠EAD+∠EDA＝180°，∴3x+2（x+50）＝180，解得：x＝16．∴∠E＝48°．【点评】（1）建立要证明的两个角和已知角之间的关系，根据已知的相等的角，即可证明；（2）注意应用（1）中的结论，主要是根据三角形的内角和定理及其推论用同一个未知数表示相关的角，再列方程求解．10．（2021秋•新建区校级月考）如图，∠B＝50°，点P在∠ABC内部，∠P的两边分别交AB，BC于点E，F．（1）若PE⊥AB，PF⊥BC．①如图1，则∠P＝°；②如图2，EQ平分∠BEP，FQ平分∠BFP，求∠Q的度数．（2）若∠BEP与∠BFP两角的平分线交于ABC内一点Q，请写出∠Q与∠P的数量关系，并说明理由．【分析】（1）①由∠BEP＝∠BFP＝90°，∠ABC＝50°，解可得∠EPF＝130°；②根据EQ平分∠BEP，FQ平分∠BFP，得∠QEP＝45°，∠QFP＝45°，即可得∠Q＝140°；（2）分两种情况：①四边形BEPF为凸四边形时，由∠B+2∠2+2∠4+∠P＝360°，∠2+∠4＝360°﹣∠P﹣∠Q，消去∠2、∠4即可得∠Q+∠P＝200°；②四边形BEPF为凹四边形时，可得2∠Q﹣∠P＝40°．【解答】解：（1）①∵PE⊥AB，PF⊥BC，∴∠BEP＝∠BFP＝90°，∵∠ABC＝50°，∴∠EPF＝360°﹣∠BEP﹣∠BFP﹣∠ABC＝130°，故答案为：130；②∵EQ平分∠BEP，FQ平分∠BFP，∴∠QEP＝∠BEP＝45°，∠QFP＝∠BFP＝45°，∴∠Q＝360°﹣∠QEP﹣∠QFP﹣∠EPF＝140°；（2）①四边形BEPF为凸四边形时，如图：∵EQ平分∠BEP，FQ平分∠BFP，∴∠BEP＝2∠2，∠BFP＝2∠4，∵∠B+∠BEP+∠BFP+∠P＝360°，∴∠B+2∠2+2∠4+∠P＝360°，而∠B＝50°，∴2∠2+2∠4＝310°﹣∠P，即∠2+∠4＝155°﹣∠P①，又∠2+∠4＝360°﹣∠P﹣∠Q②，由①②可得：155°﹣∠P＝360°﹣∠P﹣∠Q，整理得：∠Q+∠P＝205°．②四边形BEPF为凹四边形时，如图：∵EQ平分∠BEP，FQ平分∠BFP，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵∠B＝50°，∴2（∠2+∠3）+∠PEF+∠PFE＝130°（Ⅰ），又∠Q+（∠2+∠3）+∠PEF+∠PFE＝180°（Ⅱ），（Ⅱ）×2﹣（Ⅰ）得：2∠Q+∠PEF+∠PFE＝230°（Ⅲ），而∠P+∠PEF+∠PFE＝180°（Ⅳ），（Ⅲ）﹣（Ⅳ）得：2∠Q﹣∠P＝50°；同理当四边形BEPF、四边形BEQF均为凸四边形时，2∠Q﹣∠P＝310°，综上所述，∠Q与∠P的数量关系为∠Q+∠P＝205°或2∠Q﹣∠P＝50°或2∠Q﹣∠P＝310°．【点评】本题考查多边形内角和，涉及角平分线、角的和差等知识，解题的关键是掌握四边形的内角和是360°．11．（2022秋•东港区校级月考）已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC平分线，∠B＝30°，∠DAE＝15°，（1）求∠BAE的度数；（2）求∠C的度数．【分析】（1）由AD是BC边上的高可得出∠ADE＝90°，在△ADE中利用三角形内角和可求出∠AED的度数，再利用三角形外角的性质即可求出∠BAE的度数；（2）根据角平分线的定义可得出∠BAC的度数，在△ABC中利用三角形内角和可求出∠C的度数．【解答】解：（1）∵AD是BC边上的高，∴∠ADE＝90°．∵∠ADE+∠AED+∠DAE＝180°，∴∠AED＝180°﹣∠ADE﹣∠DAE＝180°﹣90°﹣15°＝75°．∵∠B+∠BAE＝∠AED，∴∠BAE＝∠AED﹣∠B＝75°﹣30°＝45°．（2）∵AE是∠BAC平分线，∴∠BAC＝2∠BAE＝2×45°＝90°．∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣90°﹣30°＝60°．【点评】本题考查了三角形内角和定理以及三角形外角的性质，解题的关键是：（1）在△ADE中利用三角形内角和求出∠AED的度数；（2）利用角平分线的定义求出∠BAC的度数．12．（2022秋•香洲区校级月考）△ABC中，∠C＝80°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点，令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．（1）若点P在边AB上，且∠α＝50°，如图1，则∠1+∠2＝；（2）若点P在边AB上运动，如图2所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为．（3）若点P运动到边AB的延长线上，如图3，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由【分析】（1）连接CP，根据三角形外角性质，即可得到∠1＝∠DCP+∠DPC，∠2＝∠ECP+∠EPC，再根据∠1+∠2＝∠ACB+∠DPE进行计算即可；（2）连接CP，根据三角形外角性质，即可得到∠1＝∠DCP+∠DPC，∠2＝∠ECP+∠EPC，再根据∠1+∠2＝∠ACB+∠DPE进行计算即可得到∠α、∠1、∠2之间的关系；（3）根据三角形外角性质，即可得到∠1＝∠C+∠CMD，∠CMD＝∠2+∠α，进而得到∠1＝∠C+∠2+∠α，据此可得∠α、∠1、∠2之间的关系．【解答】解：（1）如图1，连接CP，∵∠1是△CDP的外角，∴∠1＝∠DCP+∠DPC，同理可得，∠2＝∠ECP+∠EPC，∴∠1+∠2＝∠ACB+∠DPE＝80°+50°＝130°，故答案为：130°；（2）如图，连接CP，∵∠1是△CDP的外角，∴∠1＝∠DCP+∠DPC，同理可得，∠2＝∠ECP+∠EPC，∴∠1+∠2＝∠ACB+∠DPE＝80°+∠α，故答案为：∠1+∠2＝80°+∠α；（3）∠1＝80°+∠2+∠α，理由如下：如图3，∵在△CDM中，∠1＝∠C+∠CMD，在△EMP中，∠CMD＝∠2+∠α，∴∠1＝∠C+∠2+∠α，即∠1＝80°+∠2+∠α．【点评】本题主要考查了三角形外角性质以及三角形内角和定理的运用，解题时注意：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．13．（2021秋•仙桃校级月考）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AE平分∠DAC，∠BAC＝80°，∠B＝60°，求∠AEC的度数．【分析】根据三角形的内角和定理求出∠C，再根据直角三角形两锐角互余求出∠DAC，然后根据角平分线的定义求出∠DAE，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【解答】解：∵∠BAC＝80°，∠B＝60°，∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝180°﹣80°﹣60°＝40°，∵AD⊥BC，∴∠DAC＝90°﹣∠C＝90°﹣40°＝50°，∵AE平分∠DAC，∴∠DAE＝∠DAC＝×50°＝25°，∴∠AEC＝∠DAE+∠ADE＝25°+90°＝115°．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的角平分线和高线的定义，解题的关键是学会用分类的思想思考问题，属于中考常考题型．14．（2020秋•官渡区校级月考）如图，AD是△ABC的BC边上的高，AE是△ABC的一条角平分线，若∠B＝42°，∠C＝70°，求∠AEC和∠DAE的度数．【分析】由三角形内角和定理可求得∠BAC的度数，在Rt△ADC中，可求得∠DAC的度数，AE是角平分线，有∠EAC＝∠BAC，故∠EAD＝∠EAC﹣∠DAC．【解答】解：∵∠B＝42°，∠C＝70°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝68°，∵AE是角平分线，∴∠EAC＝∠BAC＝34°．∵AD是高，∠C＝70°，∴∠DAC＝90°﹣∠C＝20°，∴∠EAD＝∠EAC﹣∠DAC＝34°﹣20°＝14°，∠AEC＝90°﹣14°＝76°．【点评】本题考查三角形的内角和定理及角平分线的性质，高线的性质，解答的关键是熟练掌握三角形的内角和定理．四．三角形的外角性质（共10小题）15．（2022春•云龙区校级月考）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC，内角∠ABC，外角∠ACF，以下结论：①AD∥BC；②∠ACB＝∠ADB；③∠ADC+∠ABD＝90°；④，其中正确的结论有．【分析】根据角平分线定义得出∠ABC＝2∠ABD＝2∠DBC，∠EAC＝2∠EAD，∠ACF＝2∠DCF，根据三角形的内角和定理得出∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，根据三角形外角性质得出∠ACF＝∠ABC+∠BAC，∠EAC＝∠ABC+∠ACB，根据已知结论逐步推理，即可判断各项．【解答】解：①∵AD平分∠EAC，∴∠EAC＝2∠EAD，∵∠ABC＝∠ACB，∴∠EAD＝∠ABC，∴AD∥BC，故①正确；②∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∵BD平分∠ABC，∠ABC＝∠ACB，∴∠ABC＝∠ACB＝2∠DBC，∴∠ACB＝2∠ADB，故②错误；③在△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠ACD＝180°，∵CD平分△ABC的外角∠ACF，∴∠ACD＝∠DCF，∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠DCF，∠ADB＝∠DBC，∠CAD＝∠ACB∴∠ACD＝∠ADC，∠CAD＝∠ACB＝∠ABC＝2∠ABD，∴∠ADC+∠CAD+∠ACD＝∠ADC+2∠ABD+∠ADC＝2∠ADC+2∠ABD＝180°，∴∠ADC+∠ABD＝90°，故③正确；④∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∠DCF＝∠ADC，∵∠ADC+∠ABD＝90°，∵∠DCF＝90°﹣∠ABC＝∠DBC+∠BDC，∴∠BDC＝90°﹣2∠DBC，∴∠ADB＝∠DBC＝45°﹣∠BDC，故④正确；故答案为：①③④．【点评】此题考查了三角形外角性质，平行线的判定与性质，主要考查学生的推理能力，有一定的难度．16．（2022秋•游仙区校级月考）如图，D是△ABC内一点，连接AD、BD、CD，P是∠BDC的角平分线的反向延长线上的一点，连接BP，∠ABP＝2∠PBD，△ABC和△ACD的外角平分线相交于点Q，若∠Q ＝45°，∠BDC＝4∠ABD，则∠P的度数为°．【分析】设∠PBD＝α，表示出∠BDE＝6α，于是∠P＝5α，由∠Q＝45°可推出∠BAC+∠ACD＝90°，根据∠BDC＝∠ABD+∠BAC+∠ACD求得α的值，进一步得出结果．【解答】解：如图，设PD的延长线交BC于E，设∠PBD＝α，则∠ABP＝2α，∴∠ABD＝∠ABP+∠PBD＝3α，∴∠BDC＝4∠ABD＝12α，∵DE平分∠BDC，∴∠BDE＝＝6α，∴∠P＝∠BDE﹣∠PBD＝6α﹣α＝5α，在△ACQ中，∠QAC+∠ACQ＝180°﹣∠Q＝135°，∵AQ平分∠FAC，CQ平分∠ACG，∴∠FAC＝2∠QAC，∠ACG＝2∠ACQ，∴∠FAC+∠ACG＝2（∠QAC+∠ACQ）＝270°，∴∠BAC+∠ACD＝180°﹣∠FAC+180°﹣∠ACG＝90°，∵∠BDC＝∠ABD+∠BAC+∠ACD，∴12α＝3α+90°，∴α＝10°，∴∠P＝5α＝50°，故答案为：50．【点评】本题考查了角平分线的性质，三角形内角和定理及其推论等知识，解决问题的关键是设未知数，寻找角之间的数量关系．17．（2021•惠济区校级开学）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题．探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC＝90°+，理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线∴∴又∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A∴∴∠BOC＝180°﹣（∠1+∠2）＝180°﹣（90°﹣∠A）＝探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（只写结论，不需证明）结论：．【分析】（1）根据提供的信息，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用∠A与∠1表示出∠2，再利用∠O与∠1表示出∠2，然后整理即可得到∠BOC与∠A的关系；（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出∠OBC与∠OCB，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解．【解答】解：（1）探究2结论：∠BOC＝∠A，理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的角平分线，∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACD，又∵∠ACD是△ABC的一外角，∴∠ACD＝∠A+∠ABC，∴∠2＝（∠A+∠ABC）＝∠A+∠1，∵∠2是△BOC的一外角，∴∠BOC＝∠2﹣∠1＝∠A+∠1﹣∠1＝∠A；（2）探究3：∠OBC＝（∠A+∠ACB），∠OCB＝（∠A+∠ABC），∠BOC＝180°﹣∠0BC﹣∠OCB，＝180°﹣（∠A+∠ACB）﹣（∠A+∠ABC），＝180°﹣∠A﹣（∠A+∠ABC+∠ACB），结论∠BOC＝90°﹣∠A．【点评】本题考查了三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键，读懂题目提供的信息，然后利用提供信息的思路也很重要．18．（2021秋•回民区校级月考）如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝70°，AD是△ABC的角平分线，点E在BD上，点F在CA的延长线上，EF∥AD．（1）求∠BAF的度数．（2）求∠F的度数．【分析】（1）根据外角的性质即可得到结论；（2）根据角平分线的定义得到∠DAC＝BAC＝35°，根据平行线的性质即可得到结论．【解答】解：（1）∵∠BAF＝∠B+∠C，∵∠B＝40°，∠C＝70°，∴∠BAF＝110°；（2）∵∠BAF＝110°，∴∠BAC＝70°，∵AD是△ABC的角平分线，∴∠DAC＝BAC＝35°，∵EF∥AD，∴∠F＝∠DAC＝35°．【点评】本题考查了三角形外角的性质，平行线的性质，三角形的内角和，角平分线的定义，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键．19．（2020秋•顺昌县月考）如图，已知：点P是△ABC内一点．（1）求证：∠BPC＞∠A；（2）若PB平分∠ABC，PC平分∠ACB，∠A＝40°，求∠P的度数．【分析】（1）延长BP交AC于D，根据△PDC外角的性质知∠BPC＞∠1；根据△ABD外角的性质知∠1＞∠A，所以易证∠BPC＞∠A．（2）由三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB＝140°，由角平分线和三角形内角和定理即可得出结果．【解答】（1）证明：延长BP交AC于D，如图所示：∵∠BPC是△CDP的一个外角，∠1是△ABD的一个外角，∴∠BPC＞∠1，∠1＞∠A，∴∠BPC＞∠A；（2）在△ABC中，∵∠A＝40°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣40°＝140°，∵PB平分∠ABC，PC平分∠ACB，∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，在△ABC中，∠P＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣×140°＝110°．【点评】此题主要考查了三角形的外角性质、三角形内角和定理、三角形的角平分线定义；熟练掌握三角形的外角性质和三角形内角和定理是解决问题的关键．20．（2022秋•威县校级月考）综合与探究：【情境引入】（1）如图1，BD，CD分别是△ABC的内角∠ABC，∠ACB的平分线，说明∠D＝90°+∠A的理由．【深入探究】（2）①如图2，BD，CD分别是△ABC的两个外角∠EBC，∠FCB的平分线，∠D与∠A之间的等量关系是；②如图3，BD，CD分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线，BD，CD交于点D，探究∠D与∠A之间的等量关系，并说明理由．【拓展应用】（3）请用以上结论解决下列问题：如图4，在△ABC中，BD，CD分别平分∠ABC，∠ACB，M，N，Q 分别在DB，DC，BC的延长线上，BE，CE分别平分∠MBC，∠BCN，BF，CF分别平分∠EBC，∠ECQ．若∠A＝80°，则∠F的度数是．【分析】（1）利用角平分线的定义得出∠1+∠2＝（∠ABC+∠ACB），再利用三角形内角和定理即可求解；（2）①利用三角形内角和定理可得∠DBC+∠DCB+∠D＝180°，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，利用角平分线的定义可得∠EBD＝∠DBC，∠BCD＝∠DCF，从而得到∠A﹣2（180°﹣∠D）＝﹣180°，化简即可求解；②利用三角形的外角性质可得∠DCE＝∠DBC+∠D，∠A+2∠DBC＝2∠DCE，从而得到∠A+2∠DBC＝2∠DBC+2∠D，化简即可求解；（3）由（1）知：∠D＝90°+∠A，即可求出∠A，利用三角形内角和定理可得∠MBC+∠NCB，再利用角平分线的性质可得∠CBE+∠BCE，利用三角形内角和定理可得∠E，再由（2）②可知∠F＝∠E，求解即可．【解答】解：（1）∵BD、CD分别是∠ABC、∠ACB的平分线，∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB，∴∠1+∠2＝（∠ABC+∠ACB），∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠1+∠2+∠D＝180°，∴∠D＝180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣（∠ABC+∠ACB），∴∠D＝90°+∠A；（2）①∠D与∠A之间的等量关系是：∠D＝90°﹣∠A，理由如下：∵BD、CD分别是△ABC的两个外角∠EBC、∠FCB的平分线，∴∠EBD＝∠DBC，∠BCD＝∠DCF，∵∠DBC+∠DCB+∠D＝180°，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠ABC＝180°﹣2∠DBC，∠ACB＝180°﹣2∠DCB，∴∠A+180°﹣2∠DBC+180°﹣2∠DCB＝180°，∠DBC+∠DCB＝180°﹣∠D，∴∠A﹣2（∠DBC+∠DCB）＝﹣180°，∴∠A﹣2（180°﹣∠D）＝﹣180°，∴∠A+2∠D＝180°，∴∠D＝90°﹣∠A，故答案为：∠D＝90°﹣∠A；②∠D与∠A之间的等量关系是：∠D＝∠A，理由如下：∵BD、CD分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线，∵∠DCE＝∠DBC+∠D，∠A+2∠DBC＝2∠DCE，∴∠A+2∠DBC＝2∠DBC+2∠D，∴∠A＝2∠D，∴∠D＝∠A；（3）由（1）知：∠D＝90°+∠A，∵∠A＝80°，∴∠D＝130°，∴∠DBC+∠DCB＝50°，∴∠MBC+∠NCB＝360°﹣50°＝310°，∵BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，∴∠CBE+∠BCE＝（∠MBC+∠NCB）＝155°，∴∠E＝180°﹣155°＝25°．由（2）②知：∠F＝∠E，∴∠F＝∠E＝12.5°，故答案为：12.5°．【点评】本题考查三角形的外角性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，解题的关键是熟记三角形外角性质，内角和定理，角平分线的定义．21．（2021秋•信丰县校级月考）如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数．【分析】要求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数，只要求出∠D+∠1+∠2的度数，利用三角形外角性质得，∠1＝∠A+∠E，∠2＝∠B+∠C；在△DOF中，∠D+∠1+∠2＝180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝∠D+∠1+∠2＝180°．【解答】解：∵∠1是△AEF的外角，∴∠1＝∠A+∠E．∵∠2是△BOC的外角，∴∠2＝∠B+∠C．在△DOF中，∠D+∠1+∠2＝180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝∠D+∠1+∠2＝180°．【点评】考查三角形外角性质与内角和定理．将∠A+∠B+∠C+∠D+∠E拼凑在一个三角形中是解题的关键．22．（2020秋•兴义市校级月考）（1）如图1，这是一个五角星ABCDE，你能计算出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数吗？为什么？（必须写推理过程）（2）如图2，如果点B向右移动到AC上，那么还能求出∠A+∠DBE+∠C+∠D+∠E的大小吗？若能结果是多少？（可不写推理过程）（3）如图，当点B向右移动到AC的另一侧时，上面的结论还成立吗？（4）如图4，当点B、E移动到∠CAD的内部时，结论又如何？根据图3或图4，说明你计算的理由．【分析】（1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠A+∠C＝∠1，∠B+∠D＝∠2，然后利用三角形的内角和定理列式即可得解；（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠A+∠D＝∠1，在△BCE中，利用三角形的内角和列式计算即可得解；（3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠A+∠C＝∠1，∠B+∠D＝∠2，然后利用三角形的内角和定理列式即可得解；（4）延长CE与AD相交，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠A+∠C＝∠1，∠B+∠E＝∠2，然后利用三角形的内角和定理列式即可得解．【解答】解：（1）如图，由三角形的外角性质，∠A+∠C＝∠1，∠B+∠D＝∠2，∵∠1+∠2+∠E＝180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°；（2）如图，由三角形的外角性质，∠A+∠D＝∠1，∵∠1+∠DBE+∠C+∠E＝180°，∴∠A+∠DBE+∠C+∠D+∠E＝180°；（3）如图，由三角形的外角性质，∠A+∠C＝∠1，∠B+∠D＝∠2，∵∠1+∠2+∠E＝180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°；（4）如图，延长CE与AD相交，由三角形的外角性质，∠A+∠C＝∠1，∠B+∠E＝∠2，∵∠1+∠2+∠D＝180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形内角和定理，比较简单，关键在于准确识图，理清图中各角度之间的联系与转化．23．（2022秋•冷水滩区校级月考）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹的探究片段，完成所提出的问题．探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC＝90°+∠A，理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB，∴∠1+∠2＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A，∴∠BOC＝180°﹣（∠1+∠2）＝180°﹣（90°﹣∠A）＝90°+∠A．（1）探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．（2）探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（直接写出结论）（3）拓展：如图4，在四边形ABCD中，O是∠ABC与∠DCB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A+∠D有怎样的关系？（直接写出结论）【分析】（1）根据角平分线的定义表示出∠OBC，∠OCD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠ACD和∠OCD，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式整理即可得解；（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠DBC和∠BCE，再根据角平分线的定义求出∠OBC+∠OCB，然后根据三角形内角和定理列式整理即可得解；（3）根据四边形内角和等于360°求出∠ABC+∠BCD，再根据角平分线的定义求出∠OBC+∠OCB，然后利用三角形内角和定理列式整理即可得解．【解答】解：（1）探究2结论：∠BOC＝∠A．理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的角平分线，∴∠OBC＝∠ABC，∠OCD＝∠ACD，又∵∠ACD是△ABC的一个外角，∴∠ACD＝∠A+∠ABC，∴∠OCD＝（∠A+∠ABC）＝∠A+∠ABC＝∠A+∠OBC，又∵∠OCD是△BOC的一个外角，∴∠BOC＝∠OCD﹣∠OBC＝∠A+∠OBC﹣∠OBC＝∠A；（2）探究3：结论∠BOC＝90°﹣∠A．根据三角形的外角性质，∠DBC＝∠A+∠ACB，∠BCE＝∠A+∠ABC，∵O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，∴∠OBC＝∠DBC，∠OCB＝∠BCE，∴∠OBC+∠OCB＝（∠DBC+∠BCE）＝（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC），∵∠A+∠ACB+∠ABC＝180°，∴∠OBC+∠OCB＝90°+∠A，在△OBC中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣∠A；（3）拓展：结论∠BOC＝（∠A+∠D）．在四边形ABCD中，∠ABC+∠BCD＝（360°﹣∠A﹣∠D），∵O是∠ABC与∠DCB的平分线BO和CO的交点，∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠BCD，∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠BCD）＝（360°﹣∠A﹣∠D），在△OBC中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（360°﹣∠A﹣∠D）＝（∠A+∠D），即∠BOC＝（∠A+∠D）．【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键．24．（2023•东兴区校级二模）如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；（2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系．（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数．【分析】（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出∠PBC+∠PCB，进而求出∠BPC即可解决问题；（2）根据三角形的外角性质分别表示出∠MBC与∠BCN，再根据角平分线的性质可求得∠CBQ+∠BCQ，最后根据三角形内角和定理即可求解；（3）在△BQE中，由于∠Q＝90°﹣∠A，求出∠E＝∠A，∠EBQ＝90°，所以如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况进行讨论：①∠EBQ＝2∠E＝90°；②∠EBQ＝2∠Q＝90°；③∠Q＝2∠E；④∠E＝2∠Q；分别列出方程，求解即可．【解答】（1）解：∵∠A＝80°．∴∠ABC+∠ACB＝100°，∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，∴∠P＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣×100°＝130°，（2）∵外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，∴∠QBC+∠QCB＝（∠MBC+∠NCB）＝（360°﹣∠ABC﹣∠ACB）＝（180°+∠A）＝90°+∠A∴∠Q＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣∠A；（3）延长BC至F，∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，∴∠ACF＝2∠ECF，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠EBC，∵∠ECF＝∠EBC+∠E，∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，即∠ACF＝∠ABC+2∠E，又∵∠ACF＝∠ABC+∠A，∴∠A＝2∠E，即∠E＝∠A；∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ＝∠ABC+∠MBC＝（∠ABC+∠A+∠ACB）＝90°．如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况：①∠EBQ＝2∠E＝90°，则∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°；②∠EBQ＝2∠Q＝90°，则∠Q＝45°，∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°；③∠Q＝2∠E，则90°﹣∠A＝∠A，解得∠A＝60°；④∠E＝2∠Q，则∠A＝2（90°﹣∠A），解得∠A＝120°．综上所述，∠A的度数是90°或60°或120°．【点评】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键．五．多边形内角与外角（共6小题）25．（2021秋•盖州市校级月考）如果一个多边形的内角和等于1800°，则这个多边形是边形；如果一个n边形每一个内角都是135°，则n＝；如果一个n边形每一个外角都是36°，则n ＝．【分析】n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，设这个正多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数．【解答】解：这个多边形的边数是n，则（n﹣2）•180°＝1800°，解得：n＝12，则这个多边形是12．如果一个n边形每一个内角都是135°，∴每一个外角＝45°，则n＝＝8，如果一个n边形每一个外角都是36°，则n＝＝10，故答案为：十二，8，10．【点评】此题考查了多边形的内角和定理．注意多边形的内角和为：（n﹣2）×180°．26．（2021秋•河东区校级期末）如图，AD，CE是△ABC的两条高，它们相交于点P，已知∠BAC的度数为α，∠BCA的度数为β，则∠APC的度数是．【分析】利用三角形的内角和定理和三角形的外角性质解决问题即可．【解答】解：∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝180°﹣（α+β），∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠AEC＝∠ADB＝90°，∴∠BAD＝90°﹣[180°﹣（α+β）]＝α+β﹣90°，∴∠APC＝∠AEC+∠BAD＝α+β故填α+β．【点评】主要考查了三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件，同时考查了四边形内角和定理．垂直和直角总是联系在一起．27．（2021秋•仙桃校级月考）如图，在五边形ABCDE中，AP平分∠EAB，BP平分∠ABC．（1）五边形ABCDE的内角和为度；（2）若∠C＝100°，∠D＝75°，∠E＝135°，求∠P的度数．【分析】（1）根据多边形内角和公式求出即可；（2）求出∠EAB+∠ABC，根据角平分线定义求出∠PAB+∠PBA，即可求出答案．【解答】解：（1）五边形ABCDE的内角和为（5﹣2）×180°＝540°，故答案为：540；（2）∵在五边形ABCDE中，∠EAB+∠ABC+∠C+∠D+∠E＝540°，∠C＝100°，∠D＝75°，∠E＝135°，∴∠EAB+∠ABC＝230°，∵AP平分∠EAB，BP平分∠ABC，∴∠PAB＝∠EAB，∠PBA＝∠ABC，∴∠PAB+∠PBA＝115°，∴∠P＝180°﹣（∠PAB+∠PBA）＝65°．【点评】本题考查了多边形的内角和外角，能熟记多边形的内角和定理是解此题的关键．28．（2022秋•礼县月考）小明计算一个多边形的内角和时误把一个外角加进去了，得其和为2620°．（1）求这个多加的外角的度数；（2）求这个多边形的边数．【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°可知，多边形的内角和是180°的倍数，然后求出多边形的边数以及多加的外角的度数即可得解．【解答】解：设多边形的边数为n，多加的外角度数为α，则（n﹣2）•180°＝2620°﹣α，∵2620°＝14×180°+100°，内角和应是180°的倍数，∴小明多加的一个外角为100°，∴这是14+2＝16边形的内角和．故这个多加的外角的度数为100°，这个多边形的边数是16．【点评】本题考查了多边形的内角和公式，根据多边形的内角和公式判断出多边形的内角和公式是180°的倍数是解题的关键．29．（2020秋•夏津县校级月考）如图，AO、BO、CO、DO分别是四边形ABCD的四个内角的平分线．（1）判断∠AOB与∠COD有怎样的数量关系，为什么？（2）若∠AOD＝∠BOC，AB、CD有怎样的位置关系，为什么？【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠1＝DAB，∠2＝ABC，∠3＝ADC，∠4＝BCD，根据四边形的内角和即可得到结论；（2）由（1）证得∠AOB+∠COD＝180°，得到∠AOD+∠BOC＝180°，根据角平分线的定义得到∠BAD+∠ADC＝180°，由平行线的判定定理即可得到结论．【解答】解：（1）∠AOB+∠COD＝180°，理由：∵AO、BO、CO、DO分别是四边形ABCD的四个内角的平分线，∴∠1＝DAB，∠2＝ABC，∠3＝ADC，∠4＝BCD，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝（∠DAB+∠ABC+∠ADC+∠BCD）＝＝180°，∴∠AOB+∠COD＝360°﹣∠1﹣∠2﹣∠3﹣∠4＝180°；（2）AB∥CD；理由：由（1）证得∠AOB+∠COD＝180°，∴∠AOD+∠BOC＝180°，∵∠AOD＝∠BOC，∴∠AOD＝90°，∵AO、BO、CO、DO分别是四边形ABCD的四个内角的平分线，∴∠OAD+∠ADO＝（∠BAD+∠ADC）＝90°，∴∠BAD+∠ADC＝180°，∴AB∥CD．【点评】本题考查了多边形的内角和外角，平行线的判定，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．30．（2019秋•广丰区校级月考）请你参与下面探究过程，完成所提出的问题．（1）探究1：如图1，P是△ABC的内角∠ABC与∠ACB的平分线BP和CP的交点，若∠A＝70°，则∠BPC＝度；（2）探究2：如图2，P是△ABC的外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BP和CP的交点，求∠BPC与∠A的数量关系？并说明理由．（3）拓展：如图3，P是四边形ABCD的外角∠EBC与∠BCF的平分线BP和CP的交点，设∠A+∠D ＝α．①直接写出∠BPC与α的数量关系；②根据α的值的情况，判断△BPC的形状（按角分类）．。
专题1 全等三角形几何模型(半角模型)(专项练习)八年级数学上册专题突破讲与练
专题1.11全等三角形几何模型（半角模型）（专项练习）1．如图，已知：正方形ABCD ，点E ，F 分别是BC ，DC 上的点，连接AE ，AF ，EF ，且45EAF ∠=︒，求证：BE DF EF +=．2．如图，正方形ABCD 中，E 、F 分别在边BC 、CD 上，且∠EAF ＝45°，连接EF ，这种模型属于“半角模型”中的一类，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的分析思路．例如图中△ADF 与△ABG 可以看作绕点A 旋转90°的关系．这可以证明结论“EF ＝BE ＋DF ”，请补充辅助线的作法，并写出证明过程．（1）延长CB 到点G ，使BG ＝，连接AG ；（2）证明：EF ＝BE ＋DF3．（2020九年级·全国·专题练习）如图，ABC V 是边长为3的等边三角形，BDC 是等腰三角形，且120BDC ∠=︒，以D 为顶点作一个60︒角，使其两边分别交AB 于点M ，交AC 于点N ，连接MN ，求AMN 的周长．4．（23-24八年级上·江苏连云港·期中）在四边形ABDC 中，AC AB =，DC DB =，60CAB ∠=︒，120CDB ∠=︒，E 是AC 上一点，F 是AB 延长线上一点，且CE BF =．(1)在图1中，试说明：DE DF =；(2)在图2中，若G 在AB 上且60EDG ∠=︒，试猜想CE EG BG 、、之间的数量关系并证明所归纳结论；(3)若题中条件“60CAB ∠=︒且120CDB ∠=︒”改为CAB α∠=，180CDB α∠=︒-，G 在AB 上，EDG ∠满足什么条件时，（2）中结论仍然成立？（只写结果不要证明）．5．（2023·吉林松原·模拟预测）【问题引领】问题1：如图①，在四边形ABCD 中，CB CD =，90B ADC ∠=∠=︒，120BCD ∠=︒．E 、F 分别是AB ，AD 上的点．且60ECF ∠=︒BE ，EF ，FD 之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD 到点G ．使DG BE =．连接CG ，先证明CBE CDG ≌△△，再证明CEF CGF ≌．他得出的正确结论是．【探究思考】问题2：如图②，若将问题1的条件改为：四边形ABCD 中，CB CD =，180ABC ADC ∠+∠=︒，12ECF BCD ∠=∠，问题1的结论是否仍然成立？请说明理由．6．（2020九年级·全国·专题练习）如图，ABC V 是边长为2的等边三角形，BDC 是顶角为120°的等腰三角形，以点D 为顶点作60MDN ∠=︒，点M 、N 分别在AB 、AC 上．（1）如图①，当//MN BC 时，则AMN 的周长为______；（2）如图②，求证：BM NC MN +=．7．（11-12九年级上·黑龙江绥化·期末）已知：正方形ABCD 中，45MAN ∠= ，MAN ∠绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB DC ，（或它们的延长线）于点M N ，．当MAN ∠绕点A 旋转到BM DN =时（如图1），易证BM DN MN +=．（1）当MAN ∠绕点A 旋转到BM DN ≠时（如图2），线段,BM DN 和MN 之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．（2）当MAN ∠绕点A 旋转到如图3的位置时，线段,BM DN 和MN 之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．8．（2020九年级·全国·专题练习）如图，在四边形ABCD 中，90B D ∠=∠=︒，E ，F 分别是BC ，CD 上的点，连接AE ，AF ，EF ．（1）如图①，AB AD =，120BAD ∠=︒，60EAF ∠=︒．求证：EF BE DF =+；（2）如图②，120BAD ∠=︒，当AEF △周长最小时，求AEF AFE +∠∠的度数；（3）如图③，若四边形ABCD 为正方形，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，且45EAF ∠=︒，若3BE =，2DF =，请求出线段EF 的长度．9．（21-22八年级上·浙江绍兴·期中）问题情境在等边△ABC 的两边AB ，AC 上分别有两点M ，N ，点D 为△ABC 外一点，且∠MDN ＝60°，∠BDC ＝120°，BD ＝DC ．特例探究如图1，当DM ＝DN 时，（1）∠MDB ＝度；（2）MN 与BM ，NC 之间的数量关系为；归纳证明（3）如图2，当DM ≠DN 时，在NC 的延长线上取点E ，使CE ＝BM ，连接DE ，猜想MN 与BM ，NC 之间的数量关系，并加以证明．拓展应用（4）△AMN 的周长与△ABC 的周长的比为．10．（21-22九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与实践（1）如图1，在正方形ABCD 中，点M 、N 分别在AD 、CD 上，若∠MBN ＝45°，则MN ，AM ，CN 的数量关系为．（2）如图2，在四边形ABCD 中，BC ∥AD ，AB ＝BC ，∠A +∠C ＝180°，点M 、N 分别在AD 、CD 上，若∠MBN ＝12∠ABC ，试探索线段MN 、AM 、CN 有怎样的数量关系？请写出猜想，并给予证明．（3）如图3，在四边形ABCD 中，AB ＝BC ，∠ABC +∠ADC ＝180°，点M 、N 分别在DA 、CD 的延长线上，若∠MBN ＝12∠ABC ，试探究线段MN 、AM 、CN 的数量关系为．11．（21-22八年级下·浙江舟山·期末）已知：边长为4的正方形ABCD ，∠EAF 的两边分别与射线CB 、DC 相交于点E 、F ，且∠EAF ＝45°，连接EF ．求证：EF ＝BE +DF ．思路分析：(1)如图1，∵正方形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝∠B ＝∠ADC ＝90°，∴把△ABE 绕点A 逆时针旋转90°至△ADE '，则F 、D 、E '在一条直线上，∠E 'AF ＝度，……根据定理，可证：△AEF ≌△AE 'F ．∴EF ＝BE +DF ．类比探究：(2)如图2，当点E 在线段CB 的延长线上，探究EF 、BE 、DF 之间存在的数量关系，并写出证明过程；拓展应用：(3)如图3，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 、E 在BC 上，∠BAC ＝2∠DAE ．若S △ABC ＝14，S △ADE ＝6，求线段BD 、DE 、EC 围成的三角形的面积．12．（22-23八年级上·江西宜春·期中）问题背景：“半角模型”问题．如图1，在四边形ABCD 中，AB AD =，120BAD ∠=︒，90B ADC ∠=∠=︒，点E ，F 分别是，BC CD 上的点，且60EAF ∠=︒，连接EF ，探究线段BE EF DF ，，之间的数量关系．(1)探究发现：小明同学的方法是延长FD 到点G ．使DG BE =．连结AG ，先证明ABE ADG ≌△△，再证明AEF AGF △△≌，从而得出结论：_____________；(2)拓展延伸：如图2，在四边形ABCD 中，AB AD =，180B D ∠+∠=︒，E 、F 分别是边，BC CD 上的点，且12EAF BAD ∠=∠，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由．(3)尝试应用：如图3，在四边形ABCD 中，AB AD =，180B ADC ∠+∠=︒，E 、F 分别是边，BC CD 延长线上的点，且12EAF BAD ∠=∠，请探究线段BE EF DF ，，具有怎样的数量关系，并证明．13．（18-19七年级上·山东威海·期末）（1）如图1，在四边形ABCD 中，AB AD =，90B D ∠=∠=︒，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，若12EAF BAD ∠=∠，可求得EF 、BE 、FD 之间的数量关系为________．（只思考解题思路，完成填空即可，不必书写证明过程）（2）如图2，在四边形ABCD 中，AB AD =，180B ADC ∠+∠=︒，E 、F 分别是边BC 、CD 延长线上的点，若12EAF BAD ∠=∠，判断EF 、BE 、FD 之间的数量关系还成立吗，若成立，请完成证明，若不成立，请说明理由．14．（19-20八年级上·湖北黄石·期中）如图，四边形ABCD为正方形（各边相等，各内角为直角），E是BC 边上一点，F是CD上的一点．（1）若△CFE的周长等于正方形ABCD的周长的一半，求证：∠EAF=45°；（2）在（1）的条件下，若DF=2，CF=4，CE=3，求△AEF的面积．15．（20-21八年级下·吉林白城·期末）【感知】如图①，点M是正方形ABCD的边BC上一点，点N是CD 延长线上一点，且MA⊥AN，易证△ABM≌△ADN，进而证得BM=DN（不要求证明）【应用】（1）如图②，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF=45°．求证：BE+DF=EF．【拓展】（2）如图③，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，∠ABC+∠ADC=180°，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF=45°，若=3.5，EF=2，则四边形BEFD的周长为．16．（21-22八年级上·江苏宿迁·期中）（1）如图①，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、DC 上的点，且45EAF ∠=︒，连接EF ，探究BE 、DF 、EF 之间的数量关系，并说明理由；（2）如图②，在四边形ABCD 中，AB AD =，180B D ∠+∠=︒，E 、F 分别是BC 、DC 上的点，且12EAF BAD ∠=∠，此时（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．17．（21-22八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）【问题背景】如图1：在四边形ABCD 中，AB AD =，120BAD ∠=︒，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且60EAF ∠=︒，小王同学探究此问题的方法是：延长FD 到点G ，使DG BE =，连接AG ，再证明AEF AGF ≅△△，可得出结论．【探索延伸】如图2，若在四边形ABCD 中，AB AD =，E 、F 分别是BC ，CD 上的点12BAD ，上述结论是否仍然成立【学以致用】如图3，四边形ABCD 是边长为5的正方形，45EBF ∠=︒，求DEF 的周长．18．（21-22七年级下·广东揭阳·期末）【问题提出】（1）如图1，在四边形ABCD 中，AB AD =，120BAD ∠=︒，90B ADC ∠=∠=︒，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，探究当EAF ∠为多少度时，使得BE DF EF +=成立．小亮同学认为：延长FD 到点G ，使DG BE =，连接AG ，先证明ABE ADG ≌△△，再证明AEF AGF △△≌，则可求出∠EAF 的度数为______；【问题探究】（2）如图2，在四边形ABCD 中，AB AD =，180B D ∠+∠=︒，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，当∠EAF 与∠BAD 满足怎样的数量关系时，依然有BE DF EF +=成立，并说明理由．【问题解决】（3）如图3，在正方形ABCD 中，45EBF ∠=︒，若DEF 的周长为8，求正方形ABCD 的面积．19．（23-24八年级上·山东临沂·期中）【基本模型】（1）如图1，ABCD 是正方形，45EAF ∠=︒，当E 在BC 边上，F 在CD 边上时，请你探究BE 、DF 与EF 之间的数量关系，并证明你的结论．【模型运用】（2）如图2，ABCD 是正方形，45EAF ∠=︒，当E 在BC 的延长线上，F 在CD 的延长线上时，请你探究BE 、DF 与EF 之间的数量关系，并证明你的结论．20．（21-22九年级上·山西·期末）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：从正方形的一个顶点引出夹角为45︒的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可证出多个几何结论，例如：如图1，在正方形ABCD 中，以A 为顶点的45EAF ∠=︒，AE 、AF 与BC 、CD 边分别交于E 、F 两点．易证得EF BE FD =+．大致证明思路：如图2，将ADF △绕点A 顺时针旋转90︒，得到ABH ，由180HBE ∠=︒可得H 、B 、E 三点共线，45HAE EAF ∠=∠=︒，进而可证明AEH AEF ≌，故EF BE DF =+．任务：如图3，在四边形ABCD 中，AB AD =，90B D ∠=∠=︒，120BAD ∠=︒，以A 为顶点的60EAF ∠=︒，AE 、AF 与BC 、CD 边分别交于E 、F 两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论EF BE DF =+是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．21．（22-23八年级上·江西宜春·阶段练习）（1）如图1，在四边形ABCD 中，AB AD =，90B ADF ∠=∠=︒，120BAD ∠=︒，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且60EAF ∠=︒，小王同学探究此问题的方法是:延长FD 到点G ，使DG BE =，连接AG ，证明AEF AGF ≅△△．请直接写出EF 、BE 、DF 条线段之间的数量关系．（2）如图2，若在四边形ABCD 中，AB AD =，B ∠与D ∠互补，E 、F 分别是BC ，CD 上的点，12EAF BAD ∠=∠EF 、BE 、DF 是否还存在上述关系，若存在，请证明；若不存在，请说明理由．（3）如图3，四边形ABCD 是边长为5的正方形，45EBF ∠=︒，求DEF 的周长．22．（2024·宁夏银川·模拟预测）（1）特例探究：如图①，在正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC ，CD 上的点，45EAF ∠=︒，探究BE ，EF DF 之间的数量关系．小明是这么思考的：延长FD ，截取DG BE =，连接AG ，易证ADG ABE ≌，从而得到AG AE =，再由“SAS ”证明AGF AEF △≌△，从而得出结论：__________________________．（2）一般探究：如图②，在四边形ABCD 中，AD AB =，B ∠与D ∠互补，E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且满足12EAF BAD ∠=∠，探究BE ，EF ，DF 之间的数量关系．（3）实际应用：如图③，在四边形ABCD 中，AB AD =，6AC =，90DAB DCB ∠=∠=︒，则四边形ABCD 的面积为．23．（23-24八年级上·陕西安康·期中）八年级的数学课堂上，老师布置了以下两个任务．任务一：自主探究，再合作交流展示．如图1，在四边形ABCD 中，12090AB AD BAD B ADC E F =∠=︒∠=∠=︒，，，，分别是BC CD ，上的点，且60EAF ∠=︒，连接EF ，探究BE EF DF ，，之间的数量关系．经过小组交流讨论，最后给出的解决方案是：延长FD 到点G ，使DG BE =，连接AG ，先证明ABE ADG △≌△，再证明AEF AGF ≌，最后得到结论：EF BE DF =+．任务二：问题解决．如图2，在四边形ABCD 中，180AB AD B D E F =∠+∠=︒，，，分别是边BC CD ，上的点，且12EAF BAD ∠=∠，试探究BE EF DF ，，之间的数量关系．24．（23-24八年级上·四川德阳·阶段练习）【问题背景】如图1，在四边形ABCD 中，AB AD =，120BAD ∠=︒，90B ADC ∠=∠=︒，E 、F 分别是BC CD 、上的点，且60EAF ∠=︒，试探究图1中线段BE EF FD 、、之间的数量关系．(1)【初步探索】小亮同学认为：如图1，延长FD 到点G ，使DG BE =，连接AG ，先证明ABE ADG △≌△，再证明AEF AGF ≌，则可得到BE EF FD 、、之间的数量关系是．(2)【探索延伸】在四边形ABCD 中如图2，180AB AD B D =∠+∠=︒，，E 、F 分别是BC CD 、上的点，12EAF BAD ∠=∠，上述结论是否仍然成立？说明理由．(3)【结论运用】如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30︒的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70︒的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以40海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50︒的方向以60海里/小时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到∠）为70︒，试求此时两舰艇之间的距离．甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角（EOF15。
部编数学八年级上册专题01三角形六大重难题型(期末真题精选)(解析版)含答案
专题01 三角形六大重难题型一．中线分周长（分类讨论）1．如图，已知BD 是△ABC 的中线，AB ＝5，BC ＝3，且△ABD 的周长为12，则△BCD 的周长是 10 ．试题分析：先根据三角形的中线、线段中点的定义可得AD ＝CD ，再根据三角形的周长公式即可求出结果．答案详解：解：∵BD 是△ABC 的中线，即点D 是线段AC 的中点，∴AD ＝CD．实战训练∵AB＝5，△ABD的周长为12，∴AB+BD+AD＝12，即5+BD+AD＝12．解得BD+AD＝7．∴BD+CD＝7．则△BCD的周长是BC+BD+CD＝3+7＝10．所以答案是：10．2．已知AD是△ABC的中线，若△ABD与△ACD的周长分别是17和15，△ABC的周长是22，则AD的长为 5 ．试题分析：根据三角形的周长公式列式计算即可得解．答案详解：解：∵△ABD与△ACD的周长分别是17和15，∴AB+BC+AC+2AD＝17+15＝32，∵△ABC的周长是22，∴AB+BC+AC＝22，∴2AD＝32﹣22＝10，∴AD＝5．所以答案是：5．3．如图所示，AD是△ABC的中线．若AB＝7cm，AC＝5cm，则△ABD和△ADC的周长的差为 2 cm．试题分析：根据三角形中线的定义得到BD＝CD，求得△ABD和△ACD的周长差＝（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC，于是得到结论．答案详解：解：∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，∴△ABD和△ACD的周长差＝（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC，∵AB＝7cm，AC＝5cm，∴△ABD和△ACD的周长差＝7﹣5＝2cm．所以答案是：2．二．中线之等分面积4．如图，已知△ABC 中，点D 、E 分别是边BC 、AB 的中点．若△ABC 的面积等于8，则△BDE 的面积等于（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5试题分析：根据三角形的面积公式即可得到结论．答案详解：解：∵点D 是边BC 的中点，△ABC 的面积等于8，∴S △ABD =12S △ABC ＝4，∵E 是AB 的中点，∴S △BDE =12S △ABD =12×4＝2，所以选：A ．5．已知：如图所示，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别为BC ，AD ，CE 的中点，且S △ABC ＝4cm 2，则阴影部分的面积为 1 cm 2．试题分析：易得△ABD ，△ACD 为△ABC 面积的一半，同理可得△BEC 的面积等于△ABC 面积的一半，那么阴影部分的面积等于△BEC 的面积的一半．答案详解：解：∵D 为BC 中点，根据同底等高的三角形面积相等，∴S △ABD ＝S △ACD =12S △ABC =12×4＝2（cm 2），同理S △BDE ＝S △CDE =12S △BCE =12×2＝1（cm 2），∴S △BCE ＝2（cm 2），∵F 为EC 中点，∴S △BEF =12S △BCE =12×2＝1（cm 2）．所以答案是1．三．三角形的高的辨别6．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，点E在CD上，则图中以AD为高的三角形有 6 个．试题分析：由于AD⊥BC于D，图中共有6个三角形，它们都有一边在直线CB上，由此即可确定以AD为高的三角形的个数．答案详解：解：∵AD⊥BC于D，而图中有一边在直线CB上，且以A为顶点的三角形有6个，∴以AD为高的三角形有6个．所以答案是：6．7．如图，△ABC中，BC边所在直线上的高是线段 AD ．试题分析：根据三角形的高的概念解答即可．答案详解：解：△ABC中，BC边所在直线上的高是线段AD，所以答案是：AD四．多边形的内角和与外角和8．若一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是 五 边形．试题分析：根据多边形的内角和公式求出边数即可．答案详解：解：设多边形的边数是n，则（n﹣2）•180°＝540°，解得n＝5，所以答案是：五．9．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的值是（ ）A．240°B．360°C．540°D．720°试题分析：根据四边形的内角和及三角形的外角定理即可求解．答案详解：解：如图，AC、DF与BE分别相交于点M、N，在四边形NMCD中，∠MND+∠CMN+∠C+∠D＝360°，∵∠CMN＝∠A+∠E，∠MND＝∠B+∠F，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°，所以选：B．10．一个多边形的内角和等于1260°，从它的一个顶点出发，可以作对角线的条数是（ ）A．4B．6C．7D．9试题分析：设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和定理得到（n﹣2）×180°＝1260°，然后解方程即可．答案详解：解：设这个多边形的边数为n，∴（n﹣2）×180°＝1260°，解得n＝9，∴这个多边形为九边形；从这个多边形的一个顶点出发共有：9﹣3＝6（条）．所以选：B．五．三角形的内角和11．如图，在△ABC中，D是AC上一点，E是AB上一点，BD，CE相交于点F，∠A＝60°，∠ABD＝20°，∠ACE＝35°，则∠EFD的度数是（ ）A．115°B．120°C．135°D．105°试题分析：由△ABD的内角和为180°，可以求∠ADB，由△AEC内角和为180°，可以求∠AEC，再根据四边形AEFD内角和为360°，可求∠EFD．答案详解：解：在△AEC中，∠A+∠ACE+∠AEC＝180°，∴∠AEC＝180°﹣∠A﹣∠ACE＝180°﹣60°﹣35°＝85°，在△ABD中，∠A+∠ABD+∠ADB＝180°，∴∠ADB＝180°﹣∠A﹣∠ABD＝180°﹣60°﹣20°＝100°，在四边形AEFD中，∠A+∠AEC+∠ADB+2∠EFD＝360°，∴∠EFD＝360°﹣∠A﹣∠AEC﹣∠ADB＝360°﹣60°﹣85°﹣100°＝115°，所以选：A．12．如图，△ABC中，∠BAC＞∠B，∠C＝70°，将△ABC折叠，使得点B与点A重合，折痕PD 分别交AB、BC于点D、P，当△APC中有两个角相等时，∠B的度数为（ ）A．35°或20°B．20°或27.5°C．35°或25°或32.5°D．35°或20°或27.5°试题分析：分三种情况，利用三角形的内角和定理、等腰三角形的性质先求出∠APC的度数，再利用折叠的性质和三角形的内角和定理求出∠B．答案详解：解：由折叠的性质知：∠BPD＝∠APD=12∠BPA，∠BDP＝∠ADP＝90°．当AP＝AC时，∠APC＝∠C＝70°，∵∠BPD=12（180°﹣∠APC）＝55°，∴∠B＝90°﹣55°＝35°；当AP＝PC时，∠PAC＝∠C＝70°，则∠APC＝40°．∵∠BPD=12（180°﹣∠APC）＝70°，∴∠B＝90°﹣70°＝20°；当PC＝AC时，∠APC＝∠PAC，则∠APC＝55°．∵∠BPD=12（180°﹣∠APC）＝62.5°，∴∠B＝90°﹣62.5°＝27.5°．所以选：D．13．如图，∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，若∠A＝48°，∠D＝10°，则∠P的度数为（ ）A．19°B．20°C．22°D．25°试题分析：延长PC交BD于E，根据角平分线的定义可得∠1＝∠2，∠3＝∠4，再根据三角形的内角和定理可得∠A+∠1＝∠P+∠3，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠5，整理可得∠P=12（∠A﹣∠D），然后代入数据计算即可得解．答案详解：解：如图，延长PC交BD于E，∵∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，由三角形的内角和定理得，∠A+∠1＝∠P+∠3①，在△PBE中，∠5＝∠2+∠P，在△DCE中，∠5＝∠4﹣∠D，∴∠2+∠P＝∠4﹣∠D②，①﹣②得，∠A﹣∠P＝∠P+∠D，∴∠P=12（∠A﹣∠D），∵∠A＝48°，∠D＝10°，∴∠P=12（48°﹣10°）＝19°．所以选：A．14．如图，在△ABC中，∠B＝28°，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是（ ）A．42°B．46°C．52°D．56°试题分析：根据折叠得出∠D＝∠B＝28°，根据三角形的外角性质得出∠1＝∠B+∠BEF，∠BEF ＝∠2+∠D，求出∠1＝∠B+∠2+∠D即可．答案详解：解：∵∠B＝28°，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，∴∠D＝∠B＝28°，∵∠1＝∠B+∠BEF，∠BEF＝∠2+∠D，∴∠1＝∠B+∠2+∠D，∴∠1﹣∠2＝∠B+∠D＝28°+28°＝56°，所以选：D．15．如图，将△ABC沿DE、HG、EF翻折，三个顶点均落在点O处，若∠1＝131°，则∠2的度数为（ ）A．49°B．50°C．51°D．52°试题分析：先根据折叠性质得：∠HOG＝∠B，∠DOE＝∠A，∠EOF＝∠C，根据三角形内角和为180°和周角360°求出结论．答案详解：解：由折叠得：∠HOG＝∠B，∠DOE＝∠A，∠EOF＝∠C，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠HOG+∠DOE+∠EOF＝180°，∵∠1+∠2+∠HOG+∠DOE+∠EOF＝360°，∴∠1+∠2＝180°，∵∠1＝131°，∴∠2＝180°﹣131°＝49°，所以选：A．16．如图，在△ABC中，∠1＝100°，∠C＝80°，∠2=12∠3，BE平分∠ABC交AD于E，求∠4的度数．试题分析：首先根据三角形的外角的性质求得∠3，再根据已知条件求得∠2，进而根据三角形的内角和定理求得∠ABD，再根据角平分线的定义求得∠ABE，最后根据三角形的外角的性质求得∠4．答案详解：解：∵∠1＝∠3+∠C，∠1＝100°，∠C＝80°，∴∠3＝20°，∵∠2=12∠3，∴∠2＝10°，∴∠ABC＝180°﹣100°﹣10°＝70°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝35°，∵∠4＝∠2+∠ABE，∴∠4＝45°．17．如果在直角三角形中，一个锐角是另一个锐角的3倍，那么这个三角形中最小的一个角等于 22.5 度．试题分析：在直角三角形中，设最小的锐角的度数为x，则另一个锐角的度数则为3x．由“直角三角形的两个锐角互余”的性质知，x+3x＝90°．通过解方程即可求得x的值．答案详解：解：在直角三角形中，设最小的锐角的度数为x，则另一个锐角的度数则为3x．则x+3x＝90°，即4x＝90°，解得，x＝22.5°，即这个直角三角形中最小的一个角等于22.5°．所以答案是：22.5．六．新定义类18．新定义：在△ABC中，若存在最大内角是最小内角度数的n倍（n为大于1的正整数），则称△ABC为“n倍角三角形”．例如，在△ABC中，若∠A＝90°，∠B＝60°，则∠C＝30°，因为∠A最大，∠C最小，且∠A＝3∠C，所以△ABC为“3倍角三角形”．（1）在△DEF中，若∠E＝40°，∠F＝60°，则△DEF为“ 2 倍角三角形”．（2）如图，在△ABC中，∠C＝36°，∠BAC、∠ABC的角平分线相交于点D，若△ABD为“6倍角三角形”，请求出∠ABD的度数．试题分析：（1）根据三角形内角和定理求出∠D，根据n倍角三角形的定义判断；（2）根据角平分线的定义、三角形内角和定理求出∠ADB，n倍角三角形的定义分情况讨论计算，得到答案．答案详解：解：（1）在△DEF中，∠E＝40°，∠F＝60°，则∠D＝180°﹣∠E﹣∠F＝80°，∴∠D＝2∠E，∴△DEF为“2倍角三角形”，所以答案是：2；（2）∵∠C＝36°，∴∠BAC+∠ABC＝180°﹣36°＝144°，∵∠BAC、∠ABC的角平分线相交于点D，∴∠DAB=12∠BAC，∠DBA=12∠ABC，∴∠DAB+∠DBA=12×144°＝72°，∴∠ADB＝180°﹣72°＝108°，∵△ABD为“6倍角三角形”，∴∠ADB＝6∠ABD或∠ADB＝6∠BAD，当∠ADB＝6∠ABD时，∠ABD＝18°，当∠ADB＝6∠BAD时，∠BAD＝18°，则∠ABD＝180°﹣108°﹣18°＝54°，综上所述，∠ABD的度数为18°或54°．19．在△ABC中，若存在一个内角角度是另外一个内角角度的n倍（n为大于1的正整数），则称△ABC为n倍角三角形．例如，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝75°，∠C＝25°，可知∠B＝3∠C，所以△ABC为3倍角三角形．（1）在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝60°，则△ABC为 2 倍角三角形；（2）若锐角三角形MNP是3倍角三角形，且最小内角为α，请直接写出α的取值范围为 22.5°＜α＜30° ．（3）如图，直线MN与直线PQ垂直相交于点O，点A在射线OP上运动（点A不与点O重合），点B在射线OM上运动（点B不与点O重合）．延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线所在的直线分别相交于E、F，若△AEF为4倍角三角形，求∠ABO 的度数．试题分析：（1）由∠A＝80°，∠B＝60°，可求∠C的度数，发现内角之间的倍数关系，得出答案，（2）△DEF是3倍角三角形，必定有一个内角是另一个内角的3倍，然后根据这两个角之间的关系，分情况进行解答，（3）首先证明∠EAF＝90°，分两种情形分别求出即可．答案详解：解：（1）∵∠A＝80°，∠B＝60°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝40°，∴∠A＝2∠C，∴△ABC为2倍角三角形，所以答案是：2；（2）∵最小内角为α，∴3倍角为3α，由题意可得：3α＜90°，且180°﹣4α＜90°，∴最小内角的取值范围是22.5°＜α＜30°．所以答案是22.5°＜α＜30°．（3）∵AE平分∠BAO，AF平分∠AOG，∴∠EAB＝∠EAO，∠OAF＝∠FAG，∴∠EAF＝∠EAO+∠OAF=12（∠BAO+∠OAG）＝90°，∵△EAF是4倍角三角形，∠F显然大于∠E,∴∠E=14×90°或15×90°，∵AE平分∠BAO，OE平分∠BOQ，∴∠E=12∠ABO，∴∠ABO＝2∠E，∴∠ABO＝45°或36°．20．在△ABC中，若存在一个内角角度，是另外一个内角角度的n倍（n为大于1的正整数），则称△ABC为n倍角三角形．例如，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝75°，∠C＝25°，可知∠B＝3∠C，所以△ABC为3倍角三角形．（1）在△ABC中，∠A＝55°，∠B＝25°，则△ABC为 4 倍角三角形；（2）若△DEF是3倍角三角形，且其中一个内角的度数是另外一个内角的余角的度数的13，求△DEF的最小内角；（3）若△MNP是2倍角三角形，且∠M＜∠N＜∠P＜90°，请直接写出△MNP的最小内角的取值范围．试题分析：（1）由∠A＝55°，∠B＝25°，可求∠C的度数，发现内角之间的倍数关系，得出答案，（2）△DEF是3倍角三角形，必定有一个内角是另一个内角的3倍，然后根据这两个角之间的关系，分情况进行解答，（3）可设未知数表示2倍角三角形的各个内角，然后列不等式组确定最小内角的取值范围．答案详解：解：（1）∵∠A＝55°，∠B＝25°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝100°，∴∠C＝4∠B，所以答案是：4（2）设最小的内角为x°，则3倍角为3x°①当最小的内角的度数是3倍内角的余角的度数的13时，即：x=13（90°﹣3x），解得：x＝15°②3倍内角的度数是最小内角的余角的度数的13时，即：3x=13（90°﹣x），解得：x＝9°，因此，△DEF的最小内角是9°或15°．（3）设∠M的度数为x，则其它的两个角分别为2x，（180°﹣3x），由∠M＜∠N＜∠P＜90°可得：2x＜90°且180°﹣3x＜90°且2x≠180°﹣3x∴30°＜x＜45°且x≠36°．答：△MNP的最小内角的取值范围是30°＜x＜45°且x≠36°．21．若△ABC中刚好有∠B＝2∠C，则称此三角形为“可爱三角形”，并且∠A称作“可爱角”．现有一个“可爱且等腰的三角形”，那么聪明的同学们知道这个三角形的“可爱角”应该是（ ）A．45°或36°B．72°或36°C．45°或72°D．45°或36°或72°试题分析：分设三角形底角为α，顶角为2α或设三角形的底角为2α，顶角为α，根据三角形的内角和为180°，得出答案．答案详解：解：①设三角形底角为α，顶角为2α，则α+α+2α＝180°，解得：α＝45°，②设三角形的底角为2α，顶角为α，则2α+2α+α＝180°，解得：α＝36°，∴2α＝72°，∴三角形的“可爱角”应该是45°或72°，所以选：C．22．若三角形满足一个角α是另一个角β的3倍，则称这个三角形为“智慧三角形”，其中α称为“智慧角”．在有一个角为60°的“智慧三角形”中，“智慧角”是 60或90 度．试题分析：根据“智慧三角形”及“智慧角”的意义，列方程求解即可．答案详解：解：在有一个角为60°的三角形中，①当另两个角分别是100°、20°时，“智慧角”是60°；②α+β＝120°且α＝3β，∴α＝90°．，即“智慧角”是90°．所以答案是：60或90．。
三角形中的几个重要几何模型(专项练习)(教师版) 2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项
专题11.13三角形中的几个重要几何模型（专项练习）一、单选题1．如图，在由线段,,,,AB CD DF BF CA 组成的平面图形中，28D ∠=︒，则A B C F ∠+∠+∠+∠的度数为（）．A ．262︒B ．152︒C ．208︒D ．236︒2．如图，已知在ABC 中，40A ∠=︒，现将一块直角三角板放在ABC 上，使三角板的两条直角边分别经过点,B C ，直角顶点D 落在ABC 的内部，则ABD ACD +=∠∠（）．A ．90︒B ．60︒C ．50︒D ．40︒3．如图，∠1=60°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=（）A ．240°B ．280°C ．360°D ．540°4．如图，在ABC 中，20A ∠=︒，ABC ∠与ACB ∠的角平分线交于1D ，1ABD ∠与1ACD ∠的角平分线交于点2D ，依此类推，4ABD ∠与4ACD ∠的角平分线交于点5D ，则5BD C ∠的度数是（）A ．24︒B ．25︒C ．30︒D ．36︒5．如图所示，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E 的结果为（）A ．90°B ．360°C ．180°D ．无法确定6．如图，已知BE ，CF 分别为△ABC 的两条高，BE 和CF 相交于点H ，若∠BAC=50°，则∠BHC 为（）A ．115°B ．120°C ．125°D ．130°7．如图，ABD ∠，ACD ∠的角平分线交于点P ，若48A ∠=︒，10D ∠=︒，则P ∠的度数（）A ．19︒B ．20︒C ．22︒D ．25︒8．如图，BE 平分ABD ∠，CF 平分ACD ∠，BE 与CF 交于点G ，若140BDC ∠=︒，100BGC ∠=︒，则A ∠=（）A ．80°B ．75°C ．60°D ．45°9．如图，△ABC 中，∠E =18°，BE 平分∠ABC ，CE 平分∠ACD ，则∠A 等于（）A ．36°B ．30°C ．20°D ．18°10．如图，已知△ABC ，O 是△ABC 内的一点，连接OB 、OC ，将∠ABO 、∠ACO 分别记为∠1、∠2，则∠1、∠2、∠A 、∠O 四个角之间的数量关系是（）A ．∠1+∠0=∠A+∠2B ．∠1+∠2+∠A+∠O=180°C ．∠1+∠2+∠A+∠O=360°D ．∠1+∠2+∠A=∠O二、填空题11．如图，求∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F +∠G +∠H +∠I ＝．12．如图，则A B C D E ∠+∠+∠+∠+∠的度数是．13．如图，若115EOC ∠=︒，则A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠=．14．如图，在ABC 中，BO 、CO 分别平分ABC ∠，ACB ∠，BO 的延长线交外角ACD ∠的角平分线于点E ．以下结论：①122∠=∠；②32BOC ∠=∠；③902BOC ∠=︒+∠；④901BOC ∠=︒+∠．其中正确的结论有（填序号）．15．如图，在ABC 中，A α∠=，ABC ∠与ACD ∠的平分线交于点1A ，得1A ∠；1A BC ∠与1ACD ∠的平分线相交于点2A ，得2A ；L ；2019A BC ∠与2019A CD ∠的平分线相交于点2020A ，得2020A ∠，则2020A ∠=．16．如图，五边形ABCDE 在,BCD EDC ∠∠处的外角分别是,,,FCD GDC CP DP ∠∠分别平分FCD ∠和GDC ∠且相交于点P ．若160,80,90A B E ∠=︒∠=︒∠=︒，则CPD ∠=．17．如图，已知ABC 的两条高BD 、CE 交于点F ，ABC ∠的平分线与ABC 外角ACM ∠的平分线交于点G ，若8BFC G ∠=∠，则A ∠=︒．18．如图，点M 是△ABC 两个内角平分线的交点，点N 是△ABC 两外角平分线的交点，如果∠CMB ：∠CNB ＝3：2，那么∠CAB ＝．三、解答题19．如图所示，ABC ADE △△≌，且1025120，,CAD D EAB ∠=︒∠=︒∠=︒，求DFB ∠和DGB ∠的度数．20．如图，ABC ∆中，（1）若ABC ∠、ACB ∠的三等分线交于点1O 、2O ，请用A ∠表示1BO C ∠、2BO C ∠；（2）若ABC ∠、ACB ∠的n 等分线交于点1O 、21n O O -⋅⋅⋅⋅⋅⋅（1O 、21n O O -⋅⋅⋅⋅⋅⋅依次从下到上），请用A ∠表示1BO C ∠，1n BO C -∠．21．如图，已知ABC ∠、ACB ∠的平分线相交于点O ，EF 过点O 且//EF BC ．（1）若50ABC ∠=︒，60ACB ∠=︒，求BOC ∠的度数；（2）若130BOC ∠=︒，1:22:3∠∠=，求ABC ∠、ACB ∠的度数．22．（1）如图所示，在ABC 中，,BO CO 分别是ABC ∠和ACB ∠的平分线，证明：1902BOC A ∠=+∠︒．（2）如图所示，ABC 的外角平分线BD 和CD 相交于点D ，证明：1902BDC A -︒∠=∠．（3）如图所示，ABC 的内角平分线BD 和外角平分线CD 相交于点D ，证明：12D A ∠=∠．（2）如图②，AP ，CP 分别平分BAD ∠，BCD ∠，若36ABC ∠=︒，16ADC ∠=︒，求P ∠的度数．（3）如图（3），直线AP 平分BAD ∠，CP 平分BCD ∠的外角BCE ∠，猜想P ∠与B ∠、D ∠的数量关系是________；（4）如图（4），直线AP 平分BAD ∠的外角FAD ∠，CP 平分BCD ∠的外角BCE ∠，猜想P ∠与B ∠、D ∠的数量关系是________．（2）如图②，,AP CP 分别平分,BAD BCD ∠∠，若36,16ABC ADC ∠=︒∠=︒，求P ∠的度数．（3）如图③，直线AP 平分BAD ∠的外角,FAD CP ∠平分BCD ∠的外角BCE ∠，若,ABC ADC αβ∠=∠=，则P ∠=________用αβ、的代数式表示）25．（1）问题发现：如图1，在ABC 中，40A ∠=︒，ABC ∠和ACB ∠的平分线交于P ，则BPC ∠的度数是______（2）类比探究：如图2，在ABC 中，ABC ∠的平分线和ACB ∠的外角ACE ∠的角平分线交于P ，则BPC ∠与A ∠的关系是______，并说明理由．（3）类比延伸：如图3，在ABC 中，ABC ∠外角FBC ∠的角平分线和ACB ∠的外角BCE ∠的角平分线交于P ，请直接写出BPC ∠与A ∠的关系是______．26．【问题背景】（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明∠A+∠B=∠C+∠D；【简单应用】（2）如图2，AP、CP分别平分∠BAD．∠BCD，若∠ABC=46°，∠ADC=26°，求∠P的度数；【问题探究】（3）如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，请猜想∠P的度数，并说明理由．【拓展延伸】（4）①在图4中，若设∠C=α，∠B=β，∠CAP=13∠CAB，∠CDP=13∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为：（用α、β表示∠P）；②在图5中，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的关系，直接写出结论．参考答案：1．C【分析】如图标记1,2,3行，然后利用三角形的外角性质得13B F D ∠=∠+∠=∠+∠，2A C ∠=∠+∠，再利用2,3∠∠互为邻补角，即可得答案．【详解】解：如下图标记1,2,3行， 13B F D ∠=∠+∠=∠+∠，28D ∠=︒ ，328B F ∴∠=∠+∠-︒，又2A C ∠=∠+∠ ，2328A C B F ∴∠+∠=∠+∠+∠+∠-︒，23180∠+∠=︒18028A C B F ∴︒=∠+∠+∠+∠-︒，18028208A C B F ∴∠+∠+∠+∠=︒+︒=︒，故选C ．【点拨】此题考查了三角形的外角性质与邻补角的意义，熟练掌握并灵活运用三角形的外角性质与邻补角的意义是解答此题的关键．2．C【分析】由三角形内角和定理可得∠ABC +∠ACB +∠A =180°，即∠ABC +∠ACB =180-∠A =140°，再说明∠DBC +∠DCB =90°，进而完成解答．【详解】解：∵在△ABC 中，∠A =40°∴∠ABC +∠ACB =180-∠A =140°∵在△DBC 中，∠BDC =90°∴∠DBC +∠DCB =180°-90°=90°∴ABD ACD +=∠∠40°-90°=50°故选C．【点拨】本题主要考查三角形内角和定理，灵活运用三角形内角和定理成为解答本题的关键．3．A【分析】根据三角形内角和定理得到∠B与∠C的和，然后在五星中求得∠1与另外四个角的和，加在一起即可．【详解】解：由三角形外角的性质得：∠3=∠A+∠E，∠2=∠F+∠D，∵∠1+∠2+∠3=180°，∠1=60°，∴∠2+∠3=120°，即：∠A+∠E+∠F+∠D=120°，∵∠B+∠C=120°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=240°．故选A．【点拨】本题考查了三角形的外角和三角形的内角和的相关知识，解决本题的关键是将题目中的六个角分成两部分来分别求出来，然后再加在一起．4．B【分析】根据题意可得∠ABC+∠ACB=160°，BD1，CD1，CD2，BD2…BD n，CD n是角平分线，可得∠ABD n+∠ACD n=160×（12）n，可求∠BCD n+∠CBD n的值，再根据三角形内角和定理可求结果．【详解】解：∵∠A=20°，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠ABC+∠ACB=160°，∵BD1平分∠ABC，CD1平分∠ACB，∴∠ABD1=12∠ABC，∠ACD1=12∠ACD，∵BD2平分∠ABD1，CD2平分∠ACD1，∴∠ABD2=12∠ABD1=14∠ABC，∠ACD2=12∠ACD1=14∠ACB，同理可得∠ABD5=132∠ABC，∠ACD5=132∠ACB，∴∠ABD5+∠ACD5=160×132=5°，∴∠BCD5+∠CBD5=155°，∴∠BD5C=180-∠BCD5-∠CBD5=25°，故选B．【点拨】本题考查了三角形内角和定理，角平分线，关键是找出其中的规律，利用规律解决问题．5．C【详解】如图，连接BC，∵∠D+∠E+∠DOE=∠BOC+∠OCB+∠BOC=180°，∠DOE=∠BOC，∴∠D+∠E=∠OBC+∠OCB，又∵∠A+∠ABO+∠ACO+∠OBC+∠OCB=180°，∴∠A+∠ABO+∠ACO+∠D+∠E=180°．故选：C．6．D【详解】∵BE为△ABC的高，∠BAC=50°，∴∠ABE=90°-50°=40°，∵CF为△ABC的高，∴∠BFC=90°，∴∠BHC=∠ABE+∠BFC=40°+90°=130°．故选D．7．A【分析】法一：延长PC交BD于E，设AC、PB交于F，根据三角形的内角和定理得到∠A＋∠ABF＋∠AFB ＝∠P＋∠PCF＋∠PFC＝180°推出∠P＋∠PCF＝∠A＋∠ABF，根据三角形的外角性质得到∠P＋∠PBE ＝∠PED，推出∠P＋∠PBE＝∠PCD−∠D，根据PB、PC是角平分线得到∠PCF＝∠PCD，∠ABF＝∠PBE，推出2∠P＝∠A−∠D，代入即可求出∠P．法二：延长DC，与AB交于点E．设AC与BP相交于O，则∠AOB＝∠POC，可得∠P＋12∠ACD＝∠A＋12∠ABD，代入计算即可．【详解】解：法一：延长PC交BD于E，设AC、PB交于F，∵∠A＋∠ABF＋∠AFB＝∠P＋∠PCF＋∠PFC＝180°，∵∠AFB＝∠PFC，∴∠P＋∠PCF＝∠A＋∠ABF，∵∠P＋∠PBE＝∠PED，∠PED＝∠PCD−∠D，∴∠P＋∠PBE＝∠PCD−∠D，∴2∠P＋∠PCF＋∠PBE＝∠A−∠D＋∠ABF＋∠PCD，∵PB、PC是角平分线∴∠PCF＝∠PCD，∠ABF＝∠PBE，∴2∠P＝∠A−∠D∵∠A＝48°，∠D＝10°，∴∠P＝19°．法二：延长DC，与AB交于点E．∵∠ACD是△ACE的外角，∠A＝48°，∴∠ACD＝∠A＋∠AEC＝48°＋∠AEC．∵∠AEC是△BDE的外角，∴∠AEC ＝∠ABD ＋∠D ＝∠ABD ＋10°，∴∠ACD ＝48°＋∠AEC ＝48°＋∠ABD ＋10°，整理得∠ACD −∠ABD ＝58°．设AC 与BP 相交于O ，则∠AOB ＝∠POC ，∴∠P ＋12∠ACD ＝∠A ＋12∠ABD ，即∠P ＝48°−12（∠ACD −∠ABD ）＝19°．故选A .【点拨】本题主要考查对三角形的内角和定理，三角形的外角性质，对顶角的性质，角平分线的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键．8．C【分析】连接,BC 先求解,DBC DCB ∠+∠再求解,GBC GCB ∠+∠可得,GBD GCD ∠+∠再利用角平分线的定义可得：,ABD ACD ∠+∠从而可得：,ABC ACB ∠+∠再利用三角形的内角和定理可得A ∠的大小.【详解】解：连接,BC 140,BDC ∠=︒ 18014040,DBC DCB ∴∠+∠=︒-︒=︒100,BGC ∠=︒ 18010080,GBC GCB ∴∠+∠=︒-︒=︒40,GBD GCD GBC GCB DBC DCB ∴∠+∠=∠+∠-∠-∠=︒ BE 平分ABD ∠，CF 平分ACD ∠，()280,ABD ACD GBD GCD ∴∠+∠=∠+∠=︒+8040120,ABC ACB ABD ACD DBC DCB ∴∠+∠=∠∠+∠+∠=︒+︒=︒()18060.A ABC ACB ∴∠=︒-∠+∠=︒故选：.C 【点拨】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，角平分线的定义，熟练利用三角形的内角和定理求解与之相关的角的大小是解题的关键.9．A【分析】由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠ACD=∠A+∠ABC，∠ECD=∠E+∠EBC；由角平分线的性质，得∠ECD=12（∠A+∠ABC），∠EBC=12∠ABC，利用等量代换，即可求得∠A与∠E的关系，即可得到结论．【详解】解：∵∠ACD=∠A+∠ABC，∴∠ECD=12（∠A+∠ABC）．又∵∠ECD=∠E+∠EBC，∴∠E+∠EBC=12（∠A+∠ABC）．∵BE平分∠ABC，∴∠EBC=12∠ABC，∴12∠ABC+∠E=12（∠A+∠ABC），∴∠E=12∠A=18°，∴∠A=36°．故选A．10．D【分析】连接AO并延长，交BC于点D，由三角形外角的性质可知∠BOD=∠BAD+∠1，∠COD=∠CAD+∠2，再把两式相加即可得出结论．【详解】解：连接AO并延长，交BC于点D，∵∠BOD是△AOB的外角，∠COD是△AOC的外角，∴∠BOD=∠BAD+∠1①，∠COD=∠CAD+∠2②，①+②得，∠BOC=（∠BAD+∠CAD）+∠1+∠2，即∠BOC=∠BAC+∠1+∠2．故选：D．【点拨】本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．11．900°【分析】根据多边形的内角和，可得答案．【详解】解：连EF ，GI ，如图，∵6边形ABCDEFK 的内角和＝（6－2）×180°＝720°，∴∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝720°－（∠1＋∠2），即∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋（∠1＋∠2）＝720°，∵∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H ＝180°，∴∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ∠H ＋（∠3＋∠4）＝900°，∴∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F （∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H ＝720°＋180°，∴∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠G ＋∠H ＋∠I ＝900°，故答案为：900°．【点拨】本题考查了n 边形的内角和定理：n 边形的内角和为（n －2）×180°（n ≥3的整数）．12．180︒/180度【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得ANB A D ∠=∠+∠，BMC C E ∠=∠+∠，然后利用三角形的内角和定理即可得解．【详解】解：如图，∵ANB ∠是ADN △的外角，BMC ∠是CEM 的外角，∴ANB A D ∠=∠+∠，BMC C E ∠=∠+∠，又∵180ANB BMC B ∠+∠+∠=︒，∴180A B C D E ∠+∠+∠+∠+∠=︒．故答案为：180︒．【点拨】本题考查三角形外角的性质，三角形的内角和定理．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．熟记性质并准确识图是解题的关键．13．230°【分析】根据三角形外角的性质，得到∠EOC =∠E +∠2=115°，∠2=∠D +∠C ，∠EOC =∠1+∠F =115°，∠1=∠A +∠B ，即可得到结论．【详解】解：如图∵∠EOC =∠E +∠2=115°，∠2=∠D +∠C ，∴∠E +∠D +∠C =115°，∵∠EOC =∠1+∠F =115°，∠1=∠A +∠B ，∴∠A +∠B +∠F =115°，∴∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F =230°，故答案为：230°．【点拨】本题主要考查三角形内角和定理和三角形外角的性质，解决本题的关键是要熟练掌握三角形外角性质．14．①③/③①【分析】依据角平分线的性质以及三角形外角性质，即可得到122∠=∠，19012BOC ∠=︒+，902BOC ∠=︒+∠，即可得出答案．【详解】解：∵CE 为外角ACD ∠的平分线，BE 平分ABC ∠，∴1122DCE ACD DBE ABC ∠=∠∠=∠，，又∵DCE ∠是BCE 的外角，∴()112122DCE DBE ACD ABC ∠=∠-∠=∠-∠=∠，即122∠=∠，故①正确；∵BO 、CO 分别平分ABC ∠，ACB ∠，∴1122OBC ABC OCB ACB ∠=∠∠=∠，，∴()180BOC OBC OCB ∠=︒-∠+∠()11802ABC ACB =-∠+∠︒()118018012=︒-︒-∠19012=︒+∠，故④错误；∵CO 平分ACB ∠，CE 平分ACD ∠，∴1122ACO ACB ACE ACD ∠=∠∠=，，∴()111809022OCE ACB ACD ∠=∠+∠=⨯︒=︒，∵BOC ∠是COE 的外角，∴2902BOC OCE ∠=∠+∠=︒+∠，故②错误、③正确；综上，正确的有①③．故答案为：①③．【点拨】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，以及角平分线的定义．15．20202α【分析】结合题意，根据角平分线、三角形外角、三角形内角和的性质，得112A A ∠=∠，同理得212122A A α∠=∠=；再根据数字规律的性质分析，即可得到答案．【详解】根据题意，A α∠=，ABC ∠与ACD ∠的平分线交于点1A ∴11118022A ABC ACB ACD ∠=︒-∠-∠-∠∵ACD A ABC∠=∠+∠∴111802A ABC ACB A ∠=︒-∠-∠-∠∵180A ABC ACB ∠+∠+∠=︒∴112A A ∠=∠同理，得2121112222A A A α∠=∠=⨯∠=；323111122222A A A α∠=∠=⨯⨯∠=；43411111222222A A A α∠=∠=⨯⨯⨯∠=；…1122n n n A A α-∠=∠=∴202020202A α∠=故答案为：20202α．【点拨】本题考查了三角形和数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握三角形内角和、三角形外角、角平分线、数字规律的性质，从而完成求解．16．105°【分析】根据多边形内角和公式求出五边形的内角和，根据题意求出∠BCD ＋∠CDE 的度数，从而求出∠PCD ＋∠PDC 的度数，运用三角形内角和定理即可求出∠CPD 的度数．【详解】解：∵∠A ＝160°，∠B ＝80°，∠E ＝90°，∴∠BCD ＋∠CDE ＝（5−2）×180°−160°−80°−90°＝210°，∴∠PCD ＋∠PDC ＝12（180°×2−210°）＝75°，在△CPD 中，∠CPD ＝180°−（∠PCD ＋∠PDC ）＝180°−75°＝105°，故答案为：105°．【点拨】本题主要考查多边形内角和公式，三角形内角和定理，以及外角的平分线，根据已知条件求出∠BCD ＋∠CDE 的度数是解题的关键．17．36【分析】首先根据三角形的外交性质求出2A G ∠=∠，结合三角形的高的知识得到G ∠和A ∠之间的关系，进而可得结果；【详解】由图知：ACM A ABC ∠=∠+∠，∵CG 是ACM ∠的角平分线，∴2ACM GCM ∠=∠，∴2A ABC GCM ∠+∠=∠，∵BG 是ABC ∠的角平分线，∴12GBC ABC ∠=∠，∴GBC G GCM ∠+∠=∠，即12ABC G GCM ∠+∠=∠，∴22ABC G GCM ∠+∠=∠，∴2ABC G A ABC ∠+∠=∠+∠，∴2A G ∠=∠，∵ABC 的两条高BD 、CE 交于点F ，∴CE AB ⊥，BD AC ⊥，∴90AEF ADF ∠=∠=︒，∴在四边形AEFD 中有：180A DFE ∠+∠=︒，∵DFE BFC ∠=∠，∴180A BFC ∠+∠=︒，∵18842BFC G A A ∠=∠=⨯∠=∠，∴45180A BFC A A A ∠+∠=∠+∠=∠=︒，∴180536A ︒∠=÷=︒．故答案为：36．【点拨】本题主要考查了与角平分线有关的三角形的内角和与外角性质，准确分析计算是解题的关键．18．36°【分析】由角平分线的定义得∠NCM =∠MBN =12×180°=90°，再比的关系可求得∠CMB =108°，再由内角平分线及三角形内角和即可求得结果．【详解】由题意得：∠NCM =∠MBN =12×180°=90°，∴∠CMB +∠CNB =180°，又∠CMB ：∠CNB =3：2，∴∠CMB =108°，∴12（∠ACB +∠ABC ）=180°-∠CMB =72°，∴∠ACB +∠ABC =144°，∴∠CAB =180°-（∠ACB +∠ABC ）=36°．【点拨】本题考查了三角形内角和定理、三角形角平分线的定义等知识，由条件得到∠NCM =∠MBN =90°是关键．19．9065，DFB DGB ∠=︒∠=︒【分析】本题主要考查三角形全等的性质，找到相应等量关系的角是解题的关键，做题时要结合图形进行思考．由ABC ADE △△≌，可得()12DAE BAC EAB CAD ∠=∠=∠-∠，根据三角形外角性质可得DFB FAB B ∠=∠+∠，可得DFB ∠的度数；根据三角形内角和定理可得90DGB D ∠=︒-∠，即可得DGB ∠的度数．【详解】解：∵ABC ADE △△≌，∴()()11120106522DAE BAC EAB CAD ∠=∠=∠-∠=⨯︒-︒=︒，25B D ∠=∠=︒，∴652590＝DFG FAB B ∠=∠+∠=︒+︒︒，∴90DFB DFG ∠=∠=︒，在Rt DCG △中，90902565DGB D ∠=︒-∠=︒-︒=︒．20．(1)111203BO C A ∠=︒+∠，22603BO C A ∠=︒+∠，(2)()118011n BO C A n n︒-∠=+∠，11801n n BO C A n n -︒-∠=+∠【分析】（1）根据三角形的内角和定理可得180ABC ACB A ∠+∠=︒-∠，再由ABC ∠、ACB ∠的三等分线交于点1O 、2O ，可得111(180),3O BC O CB A ∠+∠=︒-∠222(180),3O BC O CB A ∠+∠=︒-∠再根据三角形的内角和定理，即可求解；（2）根据三角形的内角和定理可得180ABC ACB A ∠+∠=︒-∠，再由ABC ∠、ACB ∠的n 等分线交于点1O 、21n O O -⋅⋅⋅⋅⋅⋅，可得111(180),O BC O CB A n ∠+∠=︒-∠111(180),n n n O BC O CB A n---∠+∠=︒-∠再根据三角形的内角和定理，即可求解．【详解】（1）解：∵180A ABC ACB ∠+∠+∠=︒，∴180ABC ACB A ∠+∠=︒-∠，∵ABC ∠、ACB ∠的三等分线交于点1O 、2O ，∴111(180),3O BC O CB A ∠+∠=︒-∠222(180),3O BC O CB A ∠+∠=︒-∠∴11111180()180(180)12033BO C O BC O CB A A ∠=︒-∠+∠=︒-︒-∠=︒+∠，22222180()180(180)6033BO C O BC O CB A A ∠=︒-∠+∠=︒-︒-∠=︒+∠；（2）解：∵180A ABC ACB ∠+∠+∠=︒，∴180ABC ACB A ∠+∠=︒-∠，∵ABC ∠、ACB ∠的n 等分线交于点1O 、21n O O -⋅⋅⋅⋅⋅⋅，∴111(180),O BC O CB A n ∠+∠=︒-∠111(180),n n n O BC O CB A n---∠+∠=︒-∠∴()()111180111180180(180)n BO C O BC O CB A A n n n︒-∠=︒-∠+∠=︒-︒-∠=+∠，()11111801180180(180)n n n n n BO C O BC O CB A A n n n----︒-∠=︒-∠+∠=︒-︒-∠=+∠．【点拨】本题主要考查了有关角平分线三角形的内角和问题，熟练掌握三角形的内角和定理，并利用类比思想解答是解题的关键．21．（1）125°（2）60°；40°【分析】（1）由角平分线的定义可求得∠OBC=25°，∠OCB=30°，再利用三角形的内角和定理求解即可；（2）由已知条件易求∠1，∠2的度数，根据平行线的性质即可得∠OBC ，∠OCB 的度数，利用角平分线的定义可求解；【详解】解：（1）∵ABC ∠和ACB ∠的平分线BO 与CO 相交于点O ，∴12EBO OBC ABC ∠=∠=∠，12FCO OC ACB ∠=∠=∠，又50ABC ∠=︒，60ACB ∠=︒，∴25OBC ∠=︒，30OCB ∠=︒，∴180125BOC OBC OCB ∠=-∠-∠=︒︒；（2）∵130BOC ∠=︒，∴1250∠+∠=︒，∵1:23:2∠∠=，∴3150305∠=⨯︒=︒，2250205∠=⨯︒=︒，∵//BF BC ，∴130OBC ∠=∠=︒，220OCB ∠=∠=︒，∵ABC ∠和ACB ∠的平分线BO 与CO 相交于点O ，∴60ABC ∠=︒，40ACB ∠=︒．【点拨】本题主要考查角平分线的定义，三角形的内角和定理，平行线的性质，等腰三角形的性质等知识点的综合运用．22．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【详解】（1）设,ABO OBC x ACO BCO y ∠=∠=∠=∠=．由ABC 的内角和为180︒，得22180A x y ︒∠++=．①由BOC 的内角和为180︒，得180BOC x y ∠++=︒．②由②得180x y BOC +=-∠︒．③把③代入①，得()2180180A BOC ∠+-∠=︒︒，即2180BOC A ∠=︒+∠，即1902BOC A ∠=+∠︒（2）∵BD 、CD 为△ABC 两外角∠ABC 、∠ACB 的平分线，∴()()1122BCD A ABC DBC A ACB ∠=∠+∠∠=∠+∠、，由三角形内角和定理得，180BDC BCD DBC ∠=︒-∠-∠，=180°-12[∠A +（∠A +∠ABC +∠ACB ）]，=180°-12（∠A +180°），=90°-12∠A ；（3）如图：∵BD 为△ABC 的角平分线，交AC 与点E ，CD 为△ABC 外角∠ACE 的平分线，两角平分线交于点D ∴∠1=∠2，∠5=12（∠A +2∠1），∠3=∠4，在△ABE 中，∠A =180°-∠1-∠3∴∠1+∠3=180°-∠A ①在△CDE 中，∠D =180°-∠4-∠5=180°-∠3-12（∠A +2∠1），即2∠D =360°-2∠3-∠A -2∠1=360°-2（∠1+∠3）-∠A ②，把①代入②得∠D =12∠A ．【点拨】此题考查的是三角形内角与外角的关系，角平分线的性质，三角形内角和定理，属中学常规题．23．（1）见解析；（2）26°；（3）()1902P B D ∠=︒+∠+∠；（4）()11802P B D ∠=︒-∠+∠【分析】（1）根据三角形的内角和等于180°和对顶角的性质即可得证；（2）设BAP PAD x ∠=∠=，BCP PCD y ∠=∠=，x ABC y P x P y ADC +∠=+∠⎧⎨+∠=+∠⎩解方程即可得到答案；（3）根据直线AP 平分BAD ∠，CP 平分BCD ∠的外角BCE ∠，得到1=2PAB PAD BAD ∠=∠∠，1=2PCB PCE PCD ∠=∠∠从而可以得到180°()2PAB PCB D B -∠+∠+∠=∠，再根据∠P +∠PAD =∠PCD +∠D ，∠BAD +∠B =∠BCD +∠D 得到=P B PAD PCB PAB PCB ∠-+=∠+∠∠∠∠即可求解；（4）连接PB ，PD 根据APB PBA PAB +∠+∠=∠180°，PCB PBC BPC +∠+∠=∠180°得到APC ABC PCB PAB ∠+∠+∠+=∠360°，同理得到：APC ADC PCD PAD ∠+∠+∠+=∠360°，再根据=PCE PCD ∠+∠180°，=PAB PAF +∠∠180°，FAP PAO ∠=∠，PCE PCB ∠=∠，即可求解.【详解】解：（1）A B AOB ∠+∠+∠= 180°，C D COD ∠+∠+∠=180°，A B AOB C D COD ∴∠+∠+∠=∠+∠+∠．AOB COD ∠=∠ ，A B C D ∴∠+∠=∠+∠；（2）AP ，CP 分别平分BAD ∠，BCD ∠，设BAP PAD x ∠=∠=，BCP PCD y ∠=∠=，则有x ABC y P x P y ADC+∠=+∠⎧⎨+∠=+∠⎩，ABC P P ADC ∴∠-∠=∠-∠，()1122P ABC ADC ∴∠=∠+∠=（36°+16°）=26°（3） 直线AP 平分BAD ∠，CP 平分BCD ∠的外角BCE ∠，1=2PAB PAD BAD ∴∠=∠，1=2PCB PCE BCE ∠=∠∠，∴2PAB B ∠+∠=180°-2PCB D ∠+∠，∴180°()2PAB PCB D B-∠+∠+∠=∠∵∠P +∠PAD =∠PCD +∠D ，∠BAD +∠B =∠BCD +∠D∴=P PAD BAD B PCD BCD∠+---∠∠∠∠∠,P PAB B PCB ∴∠-∠-∠=∠∴P B PAB PCB∠-=∠+∠∠∴180°()2P B D B -∠-∠+∠=∠，即P ∠=90°()12B D +∠+∠．（4）连接PB ，PD直线AP 平分BAD ∠的外角FAD ∠，CP 平分BCD ∠的外角BCE ∠，FAP PAO ∴∠=∠，PCE PCB ∠=∠，∵APB PBA PAB +∠+∠=∠180°，PCB PBC BPC +∠+∠=∠180°∴APC ABC PCB PAB ∠+∠+∠+=∠360°同理得到：APC ADC PCD PAD ∠+∠+∠+=∠360°∴2APC ABC ADC PCB PAB PCD PAD ∠+∠+∠+∠++∠+=∠∠720°∴2APC ABC ADC PCE PAB PCD PAF ∠+∠+∠+∠++∠+=∠∠720°∵=PCE PCD ∠+∠180°，=PAB PAF +∠∠180°∴2APC ABC ADC ∠+∠+∠=360°，APC ∴∠=180°-()12ABC ADC ∠+∠【点拨】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.24．（1）证明见解析；（2）26P ∠=︒；（3）1()2P αβ∠=+．【分析】（1）根据三角形的内角和等于180°列式整理即可得证；（2）设∠BAP =∠PAD =x ，∠BCP =∠PCD =y ，利用（1）中结论，构建方程组即可解决问题；（3）表示出∠PAD 和∠PCD ，再根据（1）的结论列出等式并整理即可得解．【详解】解：（1）∵∠A +∠B +∠AOB =180°，∠C +∠D +∠COD =180゜，∴∠A +∠B +∠AOB =∠C +∠D +∠COD ．∵∠AOB =∠COD ，∴∠A +∠B =∠C +∠D ；（2）∵,AP CP 分别平分,BAD BCD ∠∠，设∠BAP =∠PAD =x ，∠BCP =∠PCD =y ，则有x ABC y P x P y ADC +∠=+∠⎧⎨+∠=+∠⎩，∴∠ABC -∠P =∠P -∠ADC ，∴11()(3616)2622P ABC ADC ∠=∠+∠=︒+︒=︒；（3）如图，∵AP 平分∠BAD 的外角∠FAD ，CP 平分∠BCD 的外角∠BCE ，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠PAD =180°-∠2=180°-∠1，∠PCD =180°-∠3，∵∠P +（180°-∠1）=∠ADC +（180°-∠3），∠P +∠1=∠ABC +∠4，∴2∠P =∠ABC +∠ADC ，∵,ABC ADC αβ∠=∠=，∴11()()22P ABC ADC αβ∠=∠+∠=+．【点拨】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，准确识图并运用好“8字形”的结论，然后列出两个等式是解题的关键，用阿拉伯数字加弧线表示角更形象直观．25．（1）110°；（2）12BPC A ∠=∠；（3）1902BPC A ∠=︒-【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB ，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可；（2）根据三角形外角的性质得到∠ACE=∠ABC+∠A 、∠PCE=∠PBC+∠BPC ，根据角平分线的定义解答；（3）根据（1）的结论然后用角分线的定义，计算即可．【详解】解：（1）∵40A ∠=︒，∴18040ABC ACB ∠+∠=︒-，∵ABC ∠和ACB ∠的平分线交于P ，∴12PBC ABC ∠=∠，12PCB ACB ∠=，∴()118090202BPC ABC ACB ∠=︒-∠+=︒+︒故答案为110°（2）12BPC A ∠=∠，证明：∵ACE ∠是ABC 的外角，PCE ∠是PBC 的外角，∴ACE ABC A∠=∠+∠PCE PBC BPC ∠=∠+∠，∵BP 平分ABC ∠，CP 平分ACE ∠，∴1122PBC ABC PCE ACE ∠=∠∠=∠，∴1122ACE ABC BPC ∠=∠+∠，∴()111222BPC ABC ACE ABC ACE ∠=∠-∠=∠-∠，∴12BPC A ∠=∠，故答案为：12BPC A ∠=∠；（3）由（1）得，1902BPC A ∠=︒-∠，故答案为：1902 BPC A ∠=︒-．【点拨】本题考查的是三角形内角和定理的应用以及角平分线的定义，掌握三角形内角和等于180°和三角形外角性质是解题的关键．26．（1）见解析；（2）36°；（3）26°，理由见解析；（4）①∠P=23αβ+②∠P=1802B D︒+∠+∠【分析】（1）根据三角形内角和定理即可证明；（2）直接利用（1）中的结论两次，两式相加，然后根据角平分线的性质求解即可；（3）由AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，推出∠1=∠2，∠3=∠4，推出∠PAD=180°﹣∠2，∠PCD=180°﹣∠3，由∠P+（180°﹣∠1）=∠D+（180°﹣∠3），∠P+∠1=∠B+∠4，推出2∠P=∠B+∠D，即可解决问题．（4）①同法利用（1）种的结论列出方程即可解决问题．②同法利用（1）种的结论列出方程即可解决问题．【详解】（1）在△AEB中，∠A+∠B+∠AEB=180°．在△CED中，∠C+∠D+∠CED=180°．∵∠AEB=∠CED，∴∠A+∠B=∠C+∠D；（2）由（1）得：∠1+∠B=∠3+∠P，∠4+∠D=∠2+∠P，∴∠1+∠B+∠4+∠D=∠3+∠P+∠2+∠P．∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴2∠P=∠B+∠D=46°+26°=72°，∴∠P=36°．（3）∠P=26°，理由是：如图3：∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠PAD=180°﹣∠2，∠PCD=180°﹣∠3．∵∠PAB=∠1，∠P+∠PAB=∠B+∠4，∴∠P+∠1=∠B+∠4．∵∠P+（180°﹣∠2）=∠D+（180°﹣∠3），∴2∠P=∠B+∠D，∴∠P=12（∠B+∠D）=12×（36°+16°）=26°．（4）①设∠CAP=m，∠CDP=n，则∠CAB=3m，，∠CDB=3n，∴∠PAB=2m，∠PDB=2n．∵∠C+∠CAP=∠P+∠PDC，∠P+∠PAB=∠B+∠PDB，∵∠C=α，∠B=β，∴α+m=∠P+n，∠P+2m=β+2n，∴α－∠P=n－m，∠P－β=2n－2m=2（n－m），∴2α+β=3∠P∴∠P=23αβ+．故答案为：∠P=23αβ+．②设∠BAP=x，∠PCE=y，则∠PAO=x，∠PCB=y．∵∠PAO+∠P=∠PCD+∠D，∠B+∠BAO=∠OCD+∠D，∴x+∠P=180°－y+∠D，∠B+2x=180°－2y+∠D，∴∠P=1802B D︒+∠+∠．故答案为：∠P=1802B D︒+∠+∠．【点拨】本题考查了三角形内角和，三角形的外角的性质、多边形的内角和等知识，解题的关键是学会用方程的思想思考几何问题，属于中考常考题型．。
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条件充足时直接用判定方法
1．(2014·武汉)如图，AC和BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD，求证：AB∥CD.
条件不足时添加条件用判定方法
2．(改编·衡阳)如图，点A，F，C，D在一条直线上，AF＝DC，BC∥EF，请只补充一个条件，使得△ABC≌△DEF，并说明理由．
非三角形问题中构造全等三角形用判定方法
3．如图，在四边形OACB中，CM⊥OA于M，∠1＝∠2，CA＝CB，求证：(1)∠3＋∠4＝180°；(2)OA＋OB＝2OM.
实际问题中建立全等三角形模型用判定方法
4．如图，要测量AB的长，因为无法过河接近点A，可以在AB所在直线外任取一点D，在AB的延长线上任取一点E，连接ED和BD，并且延长BD到G，使DG＝BD，延长ED到F，使DF＝ED，连接FG，并延长FG到H，使H、D、A在一条直线上，则HG＝AB，试说明理由．
位置关系
1．如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，BM＝AC，CN＝AB.求证：AM⊥AN.
2．(2015·
(1)如图①，连接
(2)如图②，
，DF于点
3．如图，
＝∠CFA＝α
明．
4．如图，
EDF＝90°
于点E，F.
专训三：四类常见的热门题型
全等三角形的性质与判定
1．(2015·杭州)如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AD平分∠BAC，点M，N分别在AB，AC边上，AM＝2MB，AN＝2NC，求证：DM＝DN.
全等三角形性质与判定的实际应用
2．某铁路施工队在建设铁路的过程中，需要打通一座小山，如图，设计时要测量隧道AB的长度．恰好山的前面是一片空地，利用这样的有利地形，测量人员是否可以利用三角形全等的知识测量出需要开挖隧道的长度？请画出你设计的测量方法图并说明理由．
角平分线的性质与判定
3．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG 和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为()
A．11 B．5.5 C．7 D．3.5
4．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝7，BC＝24，AC
＝25，点P是△ABC三个内角平分线的交点，则点P到三边的距离为________．
5．(2014·黄冈)已知：如图，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：DE＝DF.。