数学物理方程第12讲 贝塞尔函数

N 2m x J N ( x) (1) m N 2 m 2 m!( N m)! m N N N 2 N 4 x x x (1) N N (1) N 1 N 2 (1) N 2 N 4 ... 2 N! 2 ( N 1)! 1! 2 ( N 2)!2! N N 21 N 22 x x x (1) N N N 21 N 22 ..... ( N 1)! 2 ( N 2)!2! 2 N! 2 (1) N J N ( x)
2）c=n,-n c=-n,
方程的另一个特解：
x J n ( x) (1) n 2m (n 1,2....) 2 m!(n m 1) m 0
m

n2m
也称为n阶第一类贝塞尔函数, 也是方程的一个特解
特别的，N=整数时，
x J N ( x) (1) N 2 m 2 m!( N m 1) m N
m

n2m
n阶第一类贝塞尔函数,是方程的一个特解
特别的，n 整数， （n 1) n(n) n(n 1)(n 1) ... n!
x J n ( x) (1) n 2 m (n 0,1,2.....) 2 m!(n m)! m 0
m n2m
1 令a0 n 2 (n 1)
n2m x J n ( x) (1) m n 2 m 2 m!(n 1)(n 2)...(n m)(n 1) m 0
补充 (1) 1 t x 1 ( x) e t dt ( x 1) x( x) 0
x0
n2m x J n ( x) (1) m n 2 m 2 m!(n 1)(n 2)...(n m)(n 1) m 0 n2m x J n ( x) (1) m n 2 m 2 (n m 1) m 0
x J n ( x) (1) n 2 m (n 0) 2 m!(n m 1) m 0
当
r

2
) F (r )
得到r F (r ) rF (r ) (r n ) F (r ) 0
2 2
n阶贝塞尔方程 最常见的形式
5.2 贝塞尔方程的求解
x y xy ( x n ) y 0
2 2 2
1）n为任意实数或者复数，不只是整数， 可以是非整数 2）这个方程的解称为n阶贝塞尔函数 3）变系数的二阶常微分方程
y AJn ( x) BJ n( x)
所以我们要寻求另一个特解， 我们定义第二类Fra Baidu bibliotek塞尔函数
J（ n x) cos n J n ( x) (n 整数） cot nJ n ( x) csc nJ n ( x) sin n Yn ( x) J（ x) cos J ( x) lim (n 整数） n sin
m 2 n 2 m 1 2n2m

n2m
x x (1) n 2 m 1 2 m!(n m) m 0
n m

n 2 m 1
x J n 1 ( x)
n
d 再证明 [ J 0 ( x)] J1 ( x) dx
至少用2种方法
x J n ( x) (1) n 2 m (n 0,1,2.....) 2 m!(n m)! m 0
Solve: 1)设方程有一个级数解
y ak x c k
k 0

2 2 2 代入到n阶贝塞尔方程， x y xy ( x n ) y 0
求c和系数ak
2）c=n,-n c=n,
ak 2 ak k ( 2n k )
a1 a3 ....a2m1 0
a0 , a2 ,....a2 m满足递推关系 a2 m (1) m a0 2m 2 m!(n 1)(n 2)...(n m)
y ak x
k 0

ck
x a0 (1) 2 m 2 m!(n 1)(n 2)...(n m)! m 0
m

n2m
m N 2m x m (1) N 2 m 2 m!( N m)! m N N 2m
ξ 5.3 贝塞尔方程的通解
n不为整数时，
y AJn ( x) BJ n( x)
n 为整数时
J N ( x) (1) J N( x)
N
线性相关
m

n2m
n阶贝塞尔函数
5.1
的引出
以圆盘热传导过程中瞬时温度分布为例
一个半径为 R 的薄圆盘，侧面绝热，
圆周边缘温度为零度，且初始温度已知，
求圆盘内瞬时温度分布规律。
P"( ) P' ( ) ( n )P( ) 0
2 2 2
0 时，
令r ，并记P( ) P(
y C1J n ( x) C2Y n( x)
ξ 5.4 贝塞尔函数的递推公式
探讨J n ( x)与J n1 ( x), J n1 ( x)之间的关系
d n n 证明 [ x J n ( x)] x J n 1 ( x) dx (n 0的实数）
d x n m x (1) n 2 m dx m 0 2 m!(n m 1) d x m (1) n 2 m dx m 0 2 m!(n m 1) ( 2 n 2 m) x (1) n 2 m 2 m!(n m 1) m 0
特殊函数
1）这些函数在解决工程实际 问题中具有重要作用，地位特殊
为什么 特殊
2）它不能通过五种基本的初等函数的四则运算 和乘方开方得到，它一般是
收敛的无穷级数来表达
举例
n2m x J n ( x) (1) m n 2 m 2 m!(n 1)(n 2)...(n m)(n 1) m 0