数学建模__综合题目参考答案

综合题目参考答案

1. 赛程安排(2002年全国大学生数学建模竞赛D 题)

(1)用多种方法都能给出一个达到要求的赛程。

(2)用多种方法可以证明n 支球队“各队每两场比赛最小相隔场次r 的上界”

(如n =5时上界为1)是⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-23n ，如: 设赛程中某场比赛是i ，j 两队， i 队参加的下一场比赛是i ，k 两队(k ≠j )，

要使各队每两场比赛最小相隔场次为r ，则上述两场比赛之间必须有除i ，j ，k

以外的2r 支球队参赛，于是32+≥r n ，注意到r 为整数即得⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-≤23n r 。 (3)用构造性的办法可以证明这个上界是可以达到的，即对任意的n 编排出达

到该上界的赛程。如对于n =8， n =9可以得到:

可以看到，n =8时每两场比赛相隔场次数只有2，3，4，n =9时每两场比赛

相隔场次数只有3，4，以上结果可以推广，即n 为偶数时每两场比赛相隔场次数

只有22-n ，12-n ，2n ，n 为奇数时只有2

3-n ，21-n 。 (4)衡量赛程优劣的其他指标如

平均相隔场次 记第i 队第j 个间隔场次数为ij c ，

2,2,1,,,2,1-==n j n i ，则平均相隔场次为∑∑=-=-=n i n j ij c n n r 121

)2(1

r 是赛程整体意义下的指标，它越大越好。可以计算n =8，n =9的r ，并讨

论它是否达到上界。

相隔场次的最大偏差 定义

||,r c M a x f ij j i -=

∑-=--=2

1|)2(|n j ij r n c Max g

f 为整个赛程相隔场次的最大偏差，

g 为球队之间相隔场次的最大偏差，

它们都是越小越好。可以计算n =8，n =9的f ，g ，并讨论它是否达到上界。

参考文献工程数学学报第20卷第5期2003

2. 影院座位设计

建立满意度函数),(βαf ，可以认为α和β无关， ()()βαβαh g f -=),(，g ，

h 取尽量简单的形式，

如αα=)(g ;0)(=βh (030≤β)，0)(h h =β)30(0>β。

(1)可030≤β将作为必要条件，以α最大为最佳座位的标准。

在上图

中以第1排座位为坐标原点建

立坐标轴x ，可以得

到 ⎪⎭

⎫ ⎝⎛+----⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=d x x h c H d x x c H d x x c H θθαθβtan arctan tan arctan ,tan arctan β是x 的减函数。可得x ≈1.7m ，即第3(或4)排处030=β。又通过计算或分析

可知α也是x 的减函数，所以第3(或4)排处是最佳座位。

(2)设定一个座位间隔l (如0.5m)， x 从0(或030≤β处)到d D -按l 离散，对

于)20~0(00θ计算α的平均值，得020=θ时其值最大。

(3)可设地板线是x 的二次曲线2bx ax +，寻求a ，b 使α的平均值最大。

实际上，还应考虑前排不应挡住后排的视线。

3.节水洗衣机(1996年全国大学生数学建模竞赛B 题)

该问题不要求对洗衣机的微观机制(物理、化学方面)深入研究，只需要从宏

观层次去把握。宏观上洗衣的基本原理是用洗涤剂通过漂洗把吸附在衣物上的污

物溶于水中，再脱去污水带走污物;洗衣的过程是通过“加水——漂洗——脱水”

程序的反复运行，使残留在衣物的污物越来越少，直到满意的程度;洗涤剂也是

不希望留在衣物上的东西，可将“污物”定义为衣物上原有污物与洗涤剂的总和。

假设每轮漂洗后污物均匀地溶于水中;每轮脱水后衣物含水量为常数c 。0x ~

初始污水量， ~k u 第k 轮加水量，k x ~第k 轮脱水量),,2,1( =k 。设每轮脱水前后污物在水中的浓度不变。于是c

x c u x c x c u x c x u x n n n =+=+=--11221110,,, ， 得到)

()(210c u c u u c x x n n

n ++= 。 在最终污物量与初始污物量之比0/x x n 小于给定的清洁度条件下，求各轮加

水量k u ),,1(n k =，使总用水量最小，即

∑=n

k k u u Min k 1

()ε<++)

(..21c u c u u c t s n n

等价于

)()(21c u c u u Min n u k +++++

α=++)()(..21c u c u u t s n

a 为常数可得c u c u u n +==+= 21，即第n ~2轮加水量u u k =(常数)，第

1轮加水量c u u +=1。

令cx u =，问题简化为

nx Min u n ,

ε<⎪⎭

⎫ ⎝⎛+n

x t s 11..

其解为0→x ，即0→u ，而∞→n 。这与实际上是不合理的。应该加上对u

的限制: 21v u v ≤≤。则得m a x m i n n n n ≤≤，其中 m a m i n n n n ≤≤，

1)/1ln(2min +⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+=c v n α这样，n 为有限的几个数，可一一比较，具体数据计算从略。

参考文献:《数学的实践与认识》第27卷第1期，1997

4.教师工资调整方案(1995年美国大学生数学建模竞赛B 题)

题目对职称提升年限表述得不甚清楚(如未提及助理教授的提升)，教龄也未

区分是什么职称下工作的年限，所以应该作出一些相应的简化假设。按所给信息，

工资仅取决于职称和教龄。建立新方案的一种办法是将职称折合成教龄，如定义

x=教龄t+7×k (对于讲师、助理教授、副教授、教授，k 分别取值0，1，2，3)，

然后寻求工资函数I(x)，使之满足题目的要求，如I(0)=27000，I(7)=32000等，

以及x 较大时022

I d 。另一种办法是职称、教龄分别对待，工资函数J(k ，t)从多种函数中选择，如最简单的线性函数J(k ，t)=k k k k b a t b a ,,+(k=0，1，2，3)根

据一定条件确定。

按照第一种办法得到的新工资方案，以职称和教龄综合指标为x 的教师的工

资都应为I(x)，而人们的目前工资会低于或高于它。根据题目要求，高工资不应

降低，低工资则应逐渐提高，尽快达到理想值I(x)。需要做的只是根据每人(目前)

工资与(理想值的)差额，制定学校提供的提薪资金的分配方案。它应该是简单、

合理、容易被人接受的。

按以上原则可以建立不同的模型，应通过检验比较其恶劣。检验可基于题目

所给数据，按照提薪计划运行若干年，考察接近理想方案的情况，即用过渡时期

的情况检验模型;也可进行随机模拟，按照一定规则随机产生数据(可以包括聘

用、提职、解聘、退休的人数和时间等)，再按照提薪计划运行，考察接近理想

方案的情况。

参考文献：叶其孝，《大学生数学建模竞赛辅导教材》（四），湖南教育出版

社，2001