反比例函数常见几何模型
初中人教版反比例函数中常见的几何模型
两点，且与坐标轴交于B、C两点 则有
数 学
反比例函数中 常见几何模型
06
如图：点A、B是双曲线
y
k (k x
0)
任意不重合
的两点，直线AB交x轴于M点，交y轴于N点，
再过A、B两点分别作AD⊥y轴于D点，BF⊥y轴
于F点，再连结DF两点，则有
BM＝AN，DF∥AB
数
D
学
F
反比例函数中 常见几何模型
O
B
反比例函数中 常见几何模型
10 点A、B是反比例函数 ， 任意两点， 并满足AO⊥BO，过点B作BC⊥x轴，过点A作 AD⊥x轴，则有
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03 如图，点D、C为反比例函数 y k 图象上的
x
任意一点，且AD垂直于x轴，BC垂直于x轴， 则有
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反比例函数中 常见几何模型
04 如图，直线AD与反比例函数 y k 交于B、C
x
两点，则有
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反比例函数中 常见几何模型
05 如图，直线AD与反比例函数 y k 交于A、D
x
反比例函数常见几何模型
反比例函数常见模型一、知识点回顾1..反比例函数的图像是双曲线，故也称双曲线y=kx（k≠0）．其解析式有三种表示方法：①xk y =（0≠k ）；②1-=kx y （0≠k ）；③k xy = 2．反比例函数y=kx（k≠0）的性质（1）当k>0时⇔函数图像的两个分支分别在第一，三象限内⇔在每一象限内，y 随x 的增大而减小．（2）当k<0时⇔函数图像的两个分支分别在第二，四象限内⇔在每一象限内，y 随x 的增大而增大．（3）在反比例函数y=kx中，其解析式变形为xy=k ，故要求k 的值(也就是求其图像上一点横坐标与纵坐标之积).（4）若双曲线y=kx图像上一点（a ，b ）满足a ，b 是方程Z 2－4Z －2=0的两根，求双曲线的解析式．由根与系数关系得ab=－2，又ab=k ，∴k=－2，故双曲线的解析式是y=2x-．（5）由于反比例函数中自变量x 和函数y 的值都不能为零，所以图像和x 轴，y 轴都没有交点，但画图时要体现出图像和坐标轴无限贴近的趋势．二、新知讲解与例题训练 模型一：如图，点A 为反比例函数xk y =图象上的任意一点，且AB 垂直于x 轴，则有2||k S OAB =∆例1：如图ABC Rt ∆的锐角顶点是直线y=x+m 与双曲线y=xm在第一象限的交点，且3=∆AOB S ,（1）求m 的值 （2）求ABC ∆的面积变式题1、如图所示，点1A ,2A ,3A 在x 轴上，且O 1A =21A A =32A A ,分别过1A ,2A ,3A 作y 轴平行线，与反比例函数y=x8(x>0)的图像交于点1B ,2B ,3B ，分别过点1B ,2B ,3B 作x 轴的平行线，分别与y 轴交于点1C ,2C ,3C ,连结321,,OB OB OB ,那么图中阴影部分的面积之和为__________2、 如图，点A 在双曲线1y x =上，点B 在双曲线3y x=上，且AB ∥x 轴，C 、D 在x 轴上，若四边形ABCD 为矩形，则它的面积为 .模型二：如图：点A 、B 是双曲线)0(≠=k xky 任意不重合的两点，直线AB 交x 轴于M 点，交y 轴于N 点，再过A 、B 两点分别作y AD ⊥轴于D 点，x BF ⊥轴于F 点，再连结DF 两点，则有：AB DF ||且BM ＝ANDFAB DF MN xy O例2：如图，一次函数y a x b =+的图象与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，与反比例函数ky x=的图象相交于C ，D 两点，分别过C ，D 两点作y 轴，x 轴的垂线，垂足为E ，F ，连接CF ，DE ．有下列四个结论：①DEF CEF S S ∆∆=；②AOB ∆相似于FOE ∆；③△DCE ≌△CDF ；④A C B D =其中正确的结论是 ．（把你认为正确结论的序号都填上）例3：一次函数y ax b =+的图象分别与x 轴、y 轴交于点,M N ，与反比例函数ky x=的图象相交于点,A B ．过点A 分别作AC x ⊥轴，AE y ⊥轴，垂足分别为,C E ；过点B 分别作BF x ⊥轴，BD y ⊥轴，垂足分别为F D ，，AC 与BD 交于点K ，连接CD ．（1）若点A B ，在反比例函数ky x=的图象的同一分支上，如图1，试证明： ①AEDK CFBK S S =四边形四边形；②AN BM =． （2）若点A B ，分别在反比例函数ky x=的图象的不同分支上，如图2，则AN 与BM 还相等吗试证明你的结论．y x DC A B O FE 图1图2模型三：如图，已知反比例函数ky x=（k ≠0，x>0）上任意两点P 、C ，过P 做PA ⊥x 轴，交x 轴于点A ，过C 做CD ⊥x 轴，交x 轴于点D ，则OPC PADC S S ∆=梯形.例4：如图，在直角坐标系中，一次函数y =k 1x+b 的图象与反比例函数2k y x=的图象交于A (1,4)、B (4，1)两点，则△AOB 的面积是______.例5：如图，在直角坐标系中，一次函数1y k x b =+的图象与反比例函数2k y x=的图象交于A （1,4）、B （3，m ）两点，则△AOB 的面积是______.例6：如图1，已知直线12y x =与双曲线(0)ky k x=>交于A 、B 两点，且点A 的横坐标为4． （1）求k 的值；（2）如图2，过原点O 的另一条直线l 交双曲线(0)ky k x=>于C 、D 两点（点C在第一象限且在点A 的左边），当四边形ACBD 的面积为24时，求点C 的坐标．模型四：在矩形AOBC 中，OB =a ，OA =b ，分别以OB ，OA 所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是BC 上的一个动点（不与B 、C 重合），过F 点的反比例函数(0)ky x x =>的图象与AC 边交于点E，则CEa CF b=.例7：两个反比例函数k y x =和1y x =在第一象限内的图象如图所示，点P 在ky x=的图象上，PC ⊥x 轴于点C ，交1y x =的图象于点A ，PD ⊥y 轴于点D ，交1y x =的图象于点B ，当点P 在ky x=的图象上运动时，以下结论：①△ODB 与△OCA 的面积相等；②四边形PAOB 的面积不会发生变化；③PA 与PB 始终相等；④当点A 是PC 的中点时，点B 一定是PD 的中点．其中一定正确的是 _________（把你认为正确结论的序号都填上）．课堂练习： 一、选择题1、已知m<0，则函数mx y =1与xmy -=2的图像如图，大致是（ ）xB FC E A O yA. B. C. D 2、如图，点A 在双曲线xy 6=上，且OA=4,过点 A 作AC ⊥x 轴，垂足为c ，OA 的垂直平分线交OC 于B,则ABC ∆的周长为（ ） A.72 C.74 D.22 3、如图，双曲线xky =（k>0）经过矩形OABC 的边BC 的中点E ，交AB 于点D ，若梯形ODBC 的面积为3，则双曲线的解析式为（ ） A.x y 1=B. x y 2=C. x y 3=D. xy 6=题 3 题 4 题54、如图，A,B 是函数xy 2=的图像上关于原点对称的任意两点，BC ABC∆k x 1y x =3y x=DB AyxO C2、如图，双曲线)0(2φx xy =经过四边形OABC 的顶点A 、C ，∠ABC ＝90°，OC 平分OA 与x 轴正半轴的夹角，AB ∥x 轴，将△ABC 沿AC 翻折后得到△AB ＇C ，B ＇点落在OA 上，则四边形OABC 的面积是 .3、如图，将一块直角三角板OAB 放在平面直角坐标系中，B （2，0），∠AOB ＝60°，点A 在第一象限，过点A 的双曲线为y = kx ，在x 轴上取一点P ，过点P 作直线OA 的垂线l ，以直线l 为对称轴，线段OB 经轴对称变换后的像是O ′B ′. （1）当点O ′与点A 重合时，点P 的坐标是 .（2）设P （t ，0）,当O ′B ′与双曲线有交点时，t 的取值范围是 .4、如图，已知双曲线(0)ky k x=<经过直角三角形OAB 斜边OA 的中点D ，且与直角边AB 相交于点C ．若点A 的坐标为（6-，4），则△AOC 的面积为 .5、双曲线1y 、2y 在第一象限的图像如图，14y x=， 过1y 上的任意一点A ，作x 轴的平行线交2y 于B ， 交y 轴于C ，若1AOB S ∆=，则2y 的解析式是 ．课后习练一、填空题1、如图，直线y=kx （k>0）与双曲线y=4x交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，则2x 1y 2－7x 2y 1的值等于_______．2、反比例函数y=kx的图像上有一点P （a ，b ），且a ，b 是方程t 2－4t －2=0的两个根，则k=_______；点P 到原点的距离OP=_______．3、已知双曲线xy=1与直线y=－x+b 无交点，则b 的取值范围是______．4、反比例函数y=kx的图像经过点P （a ，b ），其中a ，b 是一元二次方程x 2+kx+4=0的两个根，那么点P 的坐标是_______． 5、如图，已知双曲线)0k (xky ＞经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 相交于点C ．若△OBC 的面积为3，则k ＝___．第5题图 第6题图 与反比例函数y=2x的图像6、如图，已知点A 是一次函数y=x 的图像在第一象限内的交点，点B 在x 轴的负半轴上，且OA=OB ，那么△AOB 的面积为（ ） A ．2 B ．22C ．2D ．227、已知P 为函数y=2x的图像上一点，且P 到原点的距离为3，则符合条件的P 点数为（ ） A ．0个 B ．2个 C ．4个 D ．无数个AB CD E yx O。
反比例函数19种模型
反比例函数19种模型反比例函数是数学中常见的函数类型之一，用来表示两个变量之间的反比关系。
以下是反比例函数的一些常见模型：1.直线模型：y = k/x，其中k为常数。
2.比例关系模型：y = (kx)/(ax + b)，其中k、a、b为常数。
3.反比例关系模型：y = (k/x) + a，其中k、a为常数。
4.工作时间模型：y = k/t，其中k为常数，t表示时间。
5.人口密度模型：y = k/A，其中k为常数，A表示面积。
6.速度和时间模型：y = k/t，其中k为常数，t表示时间。
7.飞行时间和飞行距离模型：y = k/(x^2)，其中k为常数，x表示距离。
8.投资收益模型：y = k/(x+a)，其中k和a为常数，x表示投资金额。
9.流量与管道直径模型：y = k/(x^2)，其中k为常数，x表示管道直径。
10.压力和体积模型：y = k/x，其中k为常数，x表示体积。
11.购买力和价格模型：y = k/x，其中k为常数，x表示价格。
12.照明强度和距离模型：y = k/(x^2)，其中k为常数，x表示距离。
13.土地价格和面积模型：y = k/A，其中k为常数，A表示面积。
14.音量和距离模型：y = k/(x^2)，其中k为常数，x表示距离。
15.饼干消耗和人数模型：y = k/n，其中k为常数，n表示人数。
16.温度和容器大小模型：y = k/V，其中k为常数，V表示容器大小。
17.实验结果和样本数量模型：y = k/n，其中k为常数，n表示样本数量。
18.电阻和电流模型：y = k/I，其中k为常数，I表示电流。
19.体积和浓度模型：y = k/C，其中k为常数，C表示浓度。
这些模型仅是反比例函数在不同应用领域中的一些示例。
实际上，反比例函数可以描述的反比关系很多，取决于具体应用的背景和需求。
对于不同的问题和场景，可以选择适合的反比例模型来建模和分析。
反比例函数常见几何模型归纳(七大模型)(解析版)-初中数学
反比例函数常见几何模型归纳(七大模型)考点归纳【模型1：定值矩形与定值三角形】【模型2：平行线之间的定值三角形】【模型3：“重叠型”定值矩形/定值三角形】【模型4：“喇叭三角形”】【模型5：中点模型】【模型6：比例模型】【模型7：相等模型】考点精讲【模型1：定值矩形与定值三角形】【方法点拨】1.如图，在平面直角坐标系xOy 中，点P 在反比例函数y =6x的图象上，过点P 作P A ⊥y 轴，PB ⊥x 轴，垂足分别为A 、B ，则矩形AOBP 的面积是()A.12B.9C.6D.3【答案】C【分析】本题考查了反比例函数y =k x k ≠0 系数k 的几何意义：从反比例函数y =kxk ≠0 图象上任意一点向x 轴和y 轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为k ．因为过双曲线上任意一点引x 轴、y 轴垂线，所得矩形面积S 是个定值，即S =k ，据此解答即可．【详解】解：∵点P 在反比例函数y =6x的图象上，过点P 作P A ⊥y 轴，PB ⊥x 轴，∴矩形AOBP 的面积=6 =6．故选：C ．2.如图，点A 是反比例函数y =-4x <0 的图象上的一点，过点A 作平行四边形ABCD ，使B 、C 在x 轴上，点D 在y 轴上，则平行四边形ABCD 的面积为()A.2B.4C.6D.8【答案】B【分析】本题考查了反比例函数y =k x k ≠0 系数k 的几何意义：从反比例函数y =kxk ≠0 图象上任意一点向x 轴和y 轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为k ．作AH ⊥OB 于H ，根据平行四边形的性质得AD ∥OB ，则S 平行四边形ABCD =S 矩形AHOD ，再根据反比例函数y =kxk ≠0 系数k 的几何意义得到S 矩形AHOD =-4 =4，所以有S 平行四边形ABCD =4．【详解】解：作AH ⊥OB 于H ，如图，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥OB ，∴S 平行四边形ABCD =S 矩形AHOD ，∵点A 是反比例函数y =-4xx <0 的图象上的一点，∴S 矩形AHOD =-4 =4，∴S 平行四边形ABCD =4．故选：B ．3.如图，A 、B 是反比例函数y =kx(k ≠0)的图象上两点，点C 、D 、E 、F 分别在坐标轴上，若正方形OCAD 的面积为6，则矩形OEBF 的面积为．【答案】6【分析】本题主要考查反比例函数中比例系数k 的几何意义和函数图象的对称性，难易程度适中，是中考较常见的考查点．根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的四边形的面积S 的关系即S =k ，进行解答即可．【详解】解：∵S 正方形OCAD =OD ⋅OC =x A ⋅y A =k =6，∴S 长方形OCAD =OE ⋅OF =x B ⋅y B =k =6．故答案为：6．4.如图是反比例函数y =-4x在第二象限内的图象，则图中矩形BCOA 的面积为．【答案】4【分析】根据矩形的面积公式S 矩形BCOA =AB ⋅BC =a ⋅b =ab ，再根据反比例函数的性质解答即可．本题考查了矩形的面积公式，反比例函数的性质，熟练运用反比例函数的性质是解题的关键．【详解】解：设点B a ,b ，∵四边形BCOA 是矩形，∴AB =a ，BC =b ，∴S 矩形BCOA =AB ⋅BC =a ⋅b =ab ，∵点B 在反比例函数y =-4x在图象上，∴a ⋅b =-4，∴a ⋅b =4，∴S 矩形BCOA =ab =4；故答案为4．【模型2：平行线之间的定值三角形】【方法点拨】5.如图，是反比例函数y =5x 和y =-9x在x 轴上方的图象，x 轴的平行线AB 分别与这两个函数图象相交于点A ，B ，则△AOB 的面积是()A.7B.14C.18D.28【答案】A【分析】本题考查了反比例函数k 的几何意义，利用反比例函数的比例系数的几何意义直接写出答案即可．【详解】解：∵x 轴的平行线AB 分别与这两个函数图象相交于点A ．B ，∴AB ⊥y 轴，∵点A 、B 在反比例函数y =5x 和y =-9x 的x 轴上方的图象上，∴S △AOB =S △COB +S △AOC =12(5+9)=7，故选：A ．6.已知反比例函数y =-6x x <0 与y =2xx >0 的图象如图所示，过y 轴正半轴上的任意一点P 作x 轴的平行线，分别与这两个函数的图象交于M ，N 两点．若点A 是x 轴上的任意一点，连接MA ，NA ，则S △AMN 等于．【答案】4【分析】本题考查了反比例函数k 的几何意义，连接MO ,NO ，根据MN ∥x 轴可得，S △AMN =S △OMN ，进而即可求解．【详解】解：如图所示，连接MO ,NO ，∵MN ∥x 轴∴S △AMN =S △OMN =S △POM +S △PON =-62+22=4故答案为：4．7.如图，在函数y =2x x >0 的图象上任取一点A ，过点A 作y 轴的垂线交函数y =-8xx <0 的图象于点B ，连接OA 、OB ，则△AOB 的面积是．【答案】5【分析】根据反比例函数系数k 的几何意义进行计算即可．理解反比例函数系数k 的几何意义是正确解答的关键．【详解】解：如图，∵点A 在函数y =2xx >0 的图象上，∴S △AOC =12×2=1，又∵点B 在反比例函数y =-8xx <0 的图象上，∴S △BOC =12×8=4，∴S △AOB =S △AOC +S △BOC =1+4=5，故答案为：5．8.如图，B 、C 两点分别在函数y =5x (x >0)和y =-1x(x <0)的图象上，线段BC ⊥y 轴，点A 在x 轴上，则△ABC 的面积为．【答案】3【分析】设B m ,n ，则mn =5，结合BC ⊥y 轴，得到C -1n ,n ，计算BC =m --1n =m +1n，根据平行线间的距离处处相等，得到△ABC 的面积为1BC ·y B =1m +1×n 计算即可．本题考查了反比例函数的性质，平行线间距离处处相等，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．【详解】设B m ,n ，根据题意，得mn =5，∵BC ⊥y 轴，∴C -1n ,n ，∴BC =m --1n =m +1n，根据平行线间的距离处处相等，得到△ABC 的面积为12BC ·y B =12m +1n ×n =12mn +1 =3，故答案为：3．【模型3：“重叠型”定值矩形/定值三角形】【方法点拨】9.如图，点A 在反比例函数y =1x 的图像上，点B 在反比例函数y =3x的图像上，且AB ∥x 轴，点C ．D 在x 轴上，若四边形ABCD 为长方形，则它的面积为．【答案】2【分析】此题考查了反比例函数的系数k 的几何意义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．首先延长BA 交y 轴于点E ，易得四边形ADOE 与四边形BCOE 是矩形，又由点A 在反比例函数y =1x 的图像上，点B 在反比例函数y =3x的图像上，即可得S 矩形ADOE =1,S 矩形BCOE =3，继而求得答案．【详解】解：延长BA 交y 轴于点E ，∵四边形ABCD 为矩形，且AB ∥x 轴，点C 、D 在x 轴上，∴AE ⊥y 轴，∴四边形ADOE 与四边形BCOE 是矩形，∵点A 在反比例函数y =1x 的图像上，点B 在反比例函数y =3x的图像上，∴S 矩形ADOE =1,S 矩形BCOE =3，∴S 矩形ABCD =S 矩形BCOE -S 矩形ADOE =3-1=2．故答案为：2．10.如图，点A 、B 分别是反比例函数y =3xx >0 的图象上两点，分别过点A 、B 向坐标轴作垂线，四边形ACEG 的面积记作S 1，四边形BFDG 的面积记作S 2，则S 1S 2(填>、<或=)．【答案】=【分析】本题考查了反比例系数k 的几何意义，在反比例函数y =kx图像中任取一点，过这一个点向x 轴和y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值k ，在反比例函数的图像上任意一点作坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是12k ，且保持不变．根据反比例函数解析式中k 的几何意义可知S 矩形ACOD =S 矩形BEOF =3，设S 矩形DOEG =m ，得出S 1=3-m ，S 2=3-m ，即可得出答案．【详解】解：∵A ，B 两点在反比例函数y =3xx >0 的图像上，∴S 矩形ACOD =S 矩形BEOF =3，设S 矩形DOEG =m ，∴S 1=3-m ，S 2=3-m ，∴S 1=S 2．故答案为：=．11.如图，平行于x 轴的直线l 与函数y =6x (x >0)和y =2x(x >0)的图象分别相交于A ,B 两点，分别连接AO 、BO ，则△ABO 的面积为．【答案】2【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，k 的几何意义，设l 交y 轴于点M ，根据反比例函数k 的几何意义，得出S △ABO =S △AOM -S △BOM =2，即可求解．【详解】解：如图，设l 交y 轴于点M ，∵S △AOM =3，S △BOM =1，则S △ABO =S △AOM -S △BOM =2，故答案为：2．12.如图，点A 在双曲线y =1x 上，点B 在双曲线y =3x上，且AB ∥x 轴，则△ABO 的面积是．【答案】1【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，延长BA 交y 轴于C ，则AB ⊥y 轴，根据反比例函数比例系数的几何意义可得S △AOC =12，S △BOC =32，则S △AOB =S △BOC -S △AOC =1．【详解】解：如图所示，延长BA 交y 轴于C ，∵AB ∥x 轴，∴AB ⊥y 轴，∵点A 在双曲线y =1x 上，点B 在双曲线y =3x上，∴S △AOC =12，S △BOC =32，∴S △AOB =S △BOC -S △AOC =1，故答案为：1．【模型4：“喇叭三角形”】【方法点拨】13.如图，点A ，B ，在反比例函数y =4x的图象上，连接OA ，OB ，分别过点A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为M ，N ，图中两块阴影部分面积分别为S 1、S 2；若S 1=1，则AMBN=．【答案】2【分析】本题考查的是反比例函数系数k 的几何意义，熟知在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积为12|k |是解答此题的关键．利用k 的几何意义求出△OAM 、△OBN 的面积，然后求出△OCM 的面积，利用相似三角形的性质得到S △OCM S △OBN =OM ON 2即可求解．【详解】解：设OB 交AM 于点C ，∵分别过点A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为M ，N ，∴S △OAM =S △OBN =2，∴S △OCM =S △OAM -S 1=2-1=1，又∵AM ∥BN ，∴△OCM ∽△OBN ，∴S △OCM S △OBN =OM ON2=12，∴OM ON=22，又∵OM ⋅AM =ON ⋅BN ，∴AM BN =ON OM =2．故答案为：214.如图是一个反比例函数(x >0)的图象，点A (2，4)在图象上，AC ⊥x 轴于C ，当点A 运动到图象上的点B (4，2)处，BD ⊥x 轴于D ，△AOC 与△BOD 重叠部分的面积为()A.1B.2C.34D.13【答案】A【解答】解：如图所示：∵点A (2，4)，点B (4，2)，AC ⊥x 轴于C ，BD ⊥x 轴于D ，∴点C 的坐标为(2，0)，点D 的坐标为(4，0)，AC ∥BD ，∴△OCE ∽△ODB ，∴OC OD =CE DB ，即24=CE 2解得CE =1，∴S △OCE OC ⋅CE 2=2×12=1，即△AOC 与△BOD 重叠部分的面积为1．故选：A ．15.如图，过反比例函数y =9x(x >0)的图象上任意两点A 、B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，连接OA 、OB ，设△AOC 和△BOD 的面积分别是S 1、S 2，比较它们的大小，可得()A.S 1>S 2B.S 1=S 2C.S 1<S 2D.大小关系不能确定【答案】B 【解答】解：由于A 、B 均在反比例函数y =9x 的图象上，且AC ⊥x 轴，BD ⊥x 轴，则S 1=92；S 2=92．故S 1=S 2．故选：B ．16.如图，在第一象限内，点P (2，3)，M (a ，2)是双曲线y =k x (k ≠0)上的两点，P A ⊥x 轴于点A ，MB ⊥x 轴于点B ，P A 与OM 交于点C ，则△OAC 的面积为()A.32B.43C.2D.83【答案】B 【解答】解：把P (2，3)，M (a ，2)代入y =k x得k =2×3=2a ，解得k =6，a =3，设直线OM 的解析式为y =mx ，把M (3，2)代入得3m =2，解得m =23，所以直线OM 的解析式为y =23x ，当x =2时，y =23×2=43，所以C 点坐标为(2，43)，所以△OAC 的面积=12×2×43=43．故选：B ．【方法点拨】条件：A /B 两点分别位y =k x上不同两点，延长AB 交x 轴与点F ，B 位AF 的中点结论：①▲ACF ~▲BDF ，且相似比为BF AF =12。
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【最新整理，下载后即可编辑】反比例函数常见模型一、知识点回顾1..反比例函数的图像是双曲线，故也称双曲线y=k x（k≠0）．其解析式有三种表示方法：①xk y = （0≠k ）；②1-=kx y （0≠k ）；③k xy =2．反比例函数y=k x（k≠0）的性质（1）当k>0时⇔函数图像的两个分支分别在第一，三象限内⇔在每一象限内，y 随x 的增大而减小．（2）当k<0时⇔函数图像的两个分支分别在第二，四象限内⇔在每一象限内，y 随x 的增大而增大．（3）在反比例函数y=k x 中，其解析式变形为xy=k ，故要求k 的值(也就是求其图像上一点横坐标与纵坐标之积).（4）若双曲线y=k x图像上一点（a ，b ）满足a ，b 是方程Z 2－4Z －2=0的两根，求双曲线的解析式．由根与系数关系得ab=－2，又ab=k ，∴k=－2，故双曲线的解析式是y=2x-． （5）由于反比例函数中自变量x 和函数y 的值都不能为零，所以图像和x 轴，y 轴都没有交点，但画图时要体现出图像和坐标轴无限贴近的趋势．二、新知讲解与例题训练 模型一：如图，点A 为反比例函数xk y =图象上的任意一点，且AB 垂直于x 轴，则有2||k S OAB =∆例1：如图ABC Rt ∆的锐角顶点是直线y=x+m 与双曲线y=m 在第一象限的交点，且3=∆AOB S ,（1）求m 的值 （2）求ABC ∆的面积变式题1、如图所示，点1A ,2A ,3A 在x 轴上，且O 1A =21A A =32A A ,分别过1A ,2A ,3A 作y 轴平行线，与反比例函数y=x8(x>0)的图像交于点1B ,2B ,3B ，分别过点1B ,2B ,3B 作x 轴的平行线，分别与y 轴交于点1C ,2C ,3C ,连结321,,OB OB OB ,那么图中阴影部分的面积之和为__________2、 如图，点A 在双曲线1y x=上，点B 在双曲线3y x=上，且AB∥x 轴，C 、D 在x 轴上，若四边形ABCD 为矩形，则它的面积为 .模型二：如图：点A 、B 是双曲线)0(≠=k xk y 任意不重合的两点，直线AB交x 轴于M 点，交y 轴于N 点，再过A 、B 两点分别作y AD ⊥轴于D 点，x BF ⊥轴于F 点，再连结DF 两点，则有：AB DF ||且BM ＝AN例2：如图，一次函数y a x b =+的图象与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，与反比例函数kyx=的图象相交于C ，D 两点，分别过C ，D 两点作y 轴，x 轴的垂线，垂足为E ，F ，连接CF ，DE ．有下列四个结论：①DEF CEFS S ∆∆=；②AOB ∆相似于FOE ∆；③△DCE≌△CDF ；④A CB D =其中正确的结论是 ．（把你认为正确结论的序号都填上）y xDC A BOFEDFABDF MN xy O例3：一次函数y ax b=+的图象分别与x轴、y轴交于点,M N，与反比例函数kyx=的图象相交于点,A B．过点A分别作AC x⊥轴，AE y⊥轴，垂足分别为,C E；过点B分别作BF x⊥轴，BD y⊥轴，垂足分别为F D，，AC与BD交于点K，连接CD．（1）若点A B，在反比例函数kyx=的图象的同一分支上，如图1，试证明：①AEDK CFBKS S=四边形四边形；②AN BM=．（2）若点A B，分别在反比例函数kyx=的图象的不同分支上，如图2，则AN与BM还相等吗？试证明你的结论．模型三：如图，已知反比例函数kyx=（k≠0，x>0）上任意两点P、C，过P做PA⊥x轴，交x轴于点A，过C做CD⊥x轴，交x轴于点D，则OPC PADCS S∆=梯形.图1 图2例4：如图，在直角坐标系中，一次函数y =k 1x+b 的图象与反比例函数2k y x=的图象交于A (1,4)、B (4，1)两点，则△AOB 的面积是______.例5：如图，在直角坐标系中，一次函数1y k x b =+的图象与反比例函数2k y x=的图象交于A （1,4）、B （3，m ）两点，则△AOB 的面积是______.例6：如图1，已知直线12y x =与双曲线(0)k y k x=>交于A 、B 两点，且点A 的横坐标为4． （1）求k 的值；（2）如图2，过原点O 的另一条直线l 交双曲线(0)k y k x=>于C 、D 两点（点C 在第一象限且在点A 的左边），当四边形ACBD 的面积为24时，求点C 的坐标．模型四：在矩形AOBC 中，OB =a ，OA =b ，分别以OB ，OA 所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是BC 上的一个动点（不与B 、C 重合），过F 点的反比例函数(0)k y x x=>的图象与AC 边交于点E ，则CEaCFb=.例7：两个反比例函数k y x=和1y x=在第一象限内的图象如图所示，点P 在k y x=的图象上，PC ⊥x 轴于点C ，交1y x=的图象于点A ，PD ⊥y 轴于点D ，交1y x=的图象于点B ，当点P 在k y x=的图象上运动时，以下结论： ①△ODB 与△OCA 的面积相等；②四边形PAOB 的面积不会发xBFC EAOy生变化；③PA 与PB 始终相等；④当点A 是PC 的中点时，点B 一定是PD 的中点．其中一定正确的是 _________（把你认为正确结论的序号都填上）．课堂练习： 一、选择题1、已知m<0，则函数mx y =1与xmy -=2的图像如图，大致是（ ）A. B. C. D2、如图，点A 在双曲线xy 6=上，且OA=4,过点A 作AC ⊥x 轴，垂足为c ，OA 的垂直平分线交OC于B,则ABC ∆的周长为（ ）A.72B.5C.74D.223、如图，双曲线xk y =（k>0）经过矩形OABC 的边BC 的中点E ，交AB 于点D ，若梯形ODBC 的面积为3，则双曲线的解析式为（ ）A.xy 1= B.xy 2=C.xy 3=D.x y 6=题 3 题 4 题54、如图，A,B 是函数xy 2=的图像上关于原点对称的任意两点，BC//x 轴，AC//y 轴，ABC ∆的面积记为S ，则S （ ）A.S=2B.S=4C.2<S<4D.S>45、如图所示，等腰直角三角形ABC 位于第一象限，AB=AC=2，直角顶点A 在直线y=x 上，其中A 点的横坐标为1，且两条直角边AB ，AC 分别平行于x 轴，y 轴，若双曲线y=k x（k≠0）与△ABC 有交点，则k 的取值范围是（ ）A ．1<k<2B ．1≤k≤3C ．1≤k≤4 D．1≤k<4二、填空题1、如图，点A 在双曲线1y x=上，点B 在双曲线3y x=上，且AB∥x 轴，C 、D 在x 轴上，若四边形ABCD 为矩形，则它的面积为 .2、如图，双曲线)0(2 x xy =经过四边形OABC 的顶点A 、C ，∠ABC ＝90°，OC 平分OA 与x 轴正半轴的夹角，AB ∥x 轴，将△ABC 沿AC 翻折后得到△AB ＇C ，B ＇点落在OA 上，则四边形OABC 的面积是 . 3、如图，将一块直角三角板OAB 放在平面直角坐标系中，B （2，0），∠AOB ＝60°，点A 在第一象限，过点A 的双曲线为y = k x，在x 轴上取一点P ，过点P 作直线OA 的垂线l ，以直线l 为对称轴，线段OB 经轴对称变换后的像是O ′B ′.（1）当点O ′与点A 重合时，点P 的坐标是 .（2）设P （t ，0）,当O ′B ′与双曲线有交点时，t 的取值范围是 .4、如图，已知双曲线(0)k y k x=<经过直角三角形OAB 斜边OA 的DBAyxOC中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（6-，4），则△AOC的面积为.5、双曲线1y、2y在第一象限的图像如图，14yx=，过1y上的任意一点A，作x轴的平行线交2y于B，交y轴于C，若1AOBS∆=，则2y的解析式是．课后习练一、填空题1、如图，直线y=kx（k>0）与双曲线y=4x交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则2x1y2－7x2y1的值等于_______．2、反比例函数y=kx的图像上有一点P（a，b），且a，b是方程t2－4t－2=0的两个根，则k=_______；点P到原点的距离OP=_______．3、已知双曲线xy=1与直线y=－x+b无交点，则b的取值范围是______．4、反比例函数y=kx的图像经过点P（a，b），其中a，b是一元学习靠自觉，进步靠努力，每天比别人多付出一点点，将来比别人收获多许多!!! 【最新整理，下载后即可编辑】 二次方程x 2+kx+4=0的两个根，那么点P 的坐标是_______．5、如图，已知双曲线)0k (xk y ＞ 经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 相交于点C ．若△OBC 的面积为3，则k ＝___．第5题图 第6题图6、如图，已知点A 是一次函数y=x 的图像与反比例函数y=2x 的图像在第一象限内的交点，点B 在x 轴的负半轴上，且OA=OB ，那么△AOB 的面积为（ ）A ．2B ．22C ．2D ．22 7、已知P 为函数y=2x 的图像上一点，且P 到原点的距离为3，则符合条件的P 点数为（ ） A ．0个 B ．2个C ．4个D ．无数个AB CD E y x O。
反比例函数常见几何模型
反比例函数常见几何模型反比例函数是一种特殊的函数类型，它描述了一种比例关系，其中一个变量的变化与另一个变量的变化成反比。
它在数学上的一般形式为y=k/x，其中k是一个常数，x和y是变量。
在几何学中，反比例函数常见于许多不同的模型中。
以下是一些常见的几何模型，这些模型可以用反比例函数来描述。
1.电阻和电流：欧姆定律描述了电阻和电流之间的关系，即电流与电阻成反比。
根据欧姆定律，电流I在电阻R中的关系为I=V/R，其中V是电压。
这个关系可以使用反比例函数来描述。
2.凸透镜的放大力：凸透镜的放大力与物体离透镜的距离成反比。
放大力是指通过透镜放大影像的能力。
根据物理学的知识，放大力F与物体离透镜的距离s的关系为F=k/s，其中k是一个常数。
这个关系可以使用反比例函数来表示。
3.时间和速度：根据物理学中的速度定义，速度v等于物体所走的距离d除以所花费的时间t。
因此，速度与时间成反比。
速度v和时间t之间的关系可以表示为v=k/t，其中k是一个常数。
这个关系可以使用反比例函数来描述。
4.管道流量和管道直径：在液体或气体流体力学中，管道的直径和流量之间成反比。
根据伯努利原理，如果管道的截面积减小，则液体或气体的速度增加，从而使流量增加。
因此，管道的直径和流量之间的关系可以用反比例函数表示。
5.球体的表面积和半径：球体的表面积与其半径成反比。
根据数学知识，球体的表面积S与其半径r之间的关系为S=4πr^2、从这个方程可以看出，当半径增加时，表面积会减小。
因此，球体的表面积和半径之间可以用反比例函数描述。
6.声波的衰减：声波在传播过程中会经历衰减，衰减的程度与传播距离成反比。
声波的衰减率与传播距离之间的关系可以用反比例函数来描述。
以上是反比例函数在几何模型中的一些常见应用。
这些模型在科学研究和实际应用中都具有重要的意义。
通过理解和运用反比例函数，我们可以更好地了解和解释这些几何模型。
初中数学解题模型专题讲解36---反比例函数常见几何模型
初中数学解题模型专题讲解 专题36 反比例函数常见模型一、知识点回顾1..反比例函数的图像是双曲线，故也称双曲线y=kx（k≠0）．其解析式有三种表示方法：①xky = （0≠k ）；②1−=kx y （0≠k ）；③k xy =2．反比例函数y=kx（k≠0）的性质 （1）当k>0时⇔函数图像的两个分支分别在第一，三象限内⇔在每一象限内，y 随x 的增大而减小．（2）当k<0时⇔函数图像的两个分支分别在第二，四象限内⇔在每一象限内，y 随x 的增大而增大．（3）在反比例函数y=kx中，其解析式变形为xy=k ，故要求k 的值(也就是求其图像上一点横坐标与纵坐标之积).（4）若双曲线y=kx图像上一点（a ，b ）满足a ，b 是方程Z 2－4Z －2=0的两根，求双曲线的解析式．由根与系数关系得ab=－2，又ab=k ，k=∴－2，故双曲线的解析式是y=2x−． （5）由于反比例函数中自变量x 和函数y 的值都不能为零，所以图像和x 轴，y 轴都没有交点，但画图时要体现出图像和坐标轴无限贴近的趋势．二、新知讲解与例题训练 模型一模型一：：如图如图，，点A 为反比例函数xk y =图象上的任意一点图象上的任意一点，，且AB 垂直于x 轴，则有2||k S OAB =∆例1：如图ABC Rt ∆的锐角顶点是直线y=x+m 与双曲线y=xm在第一象限的交点，且3=∆AOB S ,（1）求m 的值 （2）求ABC ∆的面积变式题1、如图所示，点1A ,2A ,3A 在x 轴上，且O 1A =21A A =32A A ,分别过1A ,2A ,3A 作y 轴平行线，与反比例函数y=x8(x>0)的图像交于点1B ,2B ,3B ，分别过点1B ,2B ,3B 作x 轴的平行线，分别与y 轴交于点1C ,2C ,3C ,连结321,,OB OB OB ,那么图中阴影部分的面积之和为__________2、 如图，点A 在双曲线1y x =上，点B 在双曲线3y x=上，且AB∥x 轴，C、D 在x 轴上，若四边形ABCD 为矩形，则它的面积为 .模型二模型二：：如图如图：：点A 、B 是双曲线)0(≠=k xky 任意不重合的两点任意不重合的两点，，直线AB 交x 轴于M 点，交y 轴于N 点，再过A 、B 两点分别作y AD ⊥轴于D 点，x BF ⊥轴于F 点，再连结DF 两点两点，，则有则有：：AB DF ||且BM ＝AN例2：如图，一次函数y ax b =+的图象与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，与反比例函数ky x=的图象相交于C ，D 两点，分别过C ，D 两点作y 轴，x 轴的垂线，垂足为E ，F ，连接CF ，DE ．有下列四个结论：①DEF CEF S S ∆∆=；②AOB ∆相似于FOE ∆；③△DCE ≌△CDF ；④AC BD =其中正确的结论是 ．（把你认为正确结论的序号都填上）例3：一次函数y ax b =+的图象分别与x 轴、y 轴交于点,M N ，与反比例函数k y x=的 DF图象相交于点,A B ．过点A 分别作AC x ⊥轴，AE y ⊥轴，垂足分别为,C E ；过点B 分别作BF x ⊥轴，BD y ⊥轴，垂足分别为F D ，，AC 与BD 交于点K ，连接CD ． （1）若点A B ，在反比例函数ky x=的图象的同一分支上，如图1，试证明： ①AEDK CFBK S S =四边形四边形；②AN BM =． （2）若点A B ，分别在反比例函数ky x=的图象的不同分支上，如图2，则AN 与BM 还相等吗？试证明你的结论．模型模型三三：如图，已知反比例函数ky x=（k ≠0，x>0）上任意两点P 、C ，过P 做PA ⊥x 轴，交x 轴于点A ，过C 做CD ⊥x 轴，交x 轴于点D ，则OPC PADC S S ∆=梯形.例4：如图，在直角坐标系中，一次函数y =k 1x+b 的图象与反比例函数2k y x=的图象交于A (1,4)、B (4，1)两点，则△AOB 的面积是______.例5：如图，在直角坐标系中，一次函数1y k x b =+的图象与反比例函数2k y x=的图象交于A （1,4）、B （3，m ）两点，则△AOB 的面积是______.例6：如图1，已知直线12y x =与双曲线(0)ky k x=>交于A 、B 两点，且点A 的横坐标为4． （1）求k 的值；（2）如图2，过原点O 的另一条直线l 交双曲线(0)ky k x=>于C 、D 两点（点C 在第一象限且在点A 的左边），当四边形ACBD 的面积为24时，求点C 的坐标．模型模型四四：在矩形AOBC 中，OB =a ，OA =b ，分别以OB ，OA 所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系所示的平面直角坐标系．．F 是BC 上的一个动点上的一个动点（（不与B 、C 重合重合），），过过F 点的反比例函数(0)ky x x=>的图象与AC 边交于点E ，则CE aCF b=.例7：两个反比例函数k y x =和1y x =在第一象限内的图象如图所示，点P 在ky x=的图象上，PC ⊥x 轴于点C ，交1y x =的图象于点A ，PD ⊥y 轴于点D ，交1y x=的图象于点B ，当点P 在ky x=的图象上运动时，以下结论：①△ODB 与△OCA 的面积相等；②四边形P AOB 的面积不会发生变化；③P A 与PB 始终相等；④当点A 是PC 的中点时，点B 一定是PD 的中点．其中一定正确的是 _________（把你认为正确结论的序号都填上）．课堂练习课堂练习：： 一、选择题x1、已知m<0，则函数mx y =1与xmy −=2的图像如图，大致是（ ）A. B. C. D 2、如图，点A 在双曲线xy 6=上，且OA=4,过点 A 作AC ⊥x 轴，垂足为c ，OA 的垂直平分线交OC于B,则ABC ∆的周长为（ ）A.72B.5C.74D.22 3、如图，双曲线xky =（k>0）经过矩形OABC 的边BC 的中点E ，交AB 于点D ，若梯形ODBC 的面积为3，则双曲线的解析式为（ ）A.x y 1=B. x y 2=C. x y 3=D. xy 6=题3 题4 题5 4、如图，A,B 是函数xy 2=的图像上关于原点对称的任意两点，BC//x 轴，AC//y 轴，ABC ∆的面积记为S ，则S （ ）A.S=2B.S=4C.2<S<4D.S>45、如图所示，等腰直角三角形ABC 位于第一象限，AB=AC=2，直角顶点A 在直线y=x 上，其中A 点的横坐标为1，且两条直角边AB ，AC 分别平行于x 轴，y 轴，若双曲线y=kx（k≠0）与ABC △有交点，则k 的取值范围是（ ） A ．1<k<2 B ．1≤k≤3 C ．1≤k≤4 D ．1≤k<4二、填空题1、如图，点A 在双曲线1y x =上，点B 在双曲线3y x=上，且AB∥x 轴，C、D 在x 轴上，若四边形ABCD 为矩形，则它的面积为 .2、如图，双曲线)0(2f x xy =经过四边形OABC 的顶点A、C，∠ABC＝90°，OC 平分OA 与x 轴正半轴的夹角，AB∥x 轴，将△ABC 沿AC 翻折后得到△AB＇C，B＇点落在OA 上，则四边形OABC 的面积是 .3、如图，将一块直角三角板OAB 放在平面直角坐标系中，B （2，0），∠AOB ＝60°，点A 在第一象限，过点A 的双曲线为y = kx ，在x 轴上取一点P ，过点P 作直线OA 的垂线l ，以直线l 为对称轴，线段OB 经轴对称变换后的像是O ′B ′. （1）当点O ′与点A 重合时，点P 的坐标是.（2）设P （t ，0）,当O ′B ′与双曲线有交点时，t 的取值范围是 .4、如图，已知双曲线(0)ky k x=<经过直角三角形OAB 斜边OA 的中点D ，且与直角边AB 相交于点C ．若点A 的坐标为（6−，4），则△AOC 的面积为 .5、双曲线1y 、2y 在第一象限的图像如图，14y x=， 过1y 上的任意一点A ，作x 轴的平行线交2y 于B ， 交y 轴于C ，若1AOB S ∆=，则2y 的解析式是 ．课后习练 一、填空题1、如图，直线y=kx （k>0）与双曲线y=4x交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，则2x 1y 2－7x 2y 1的值等于_______．2、反比例函数y=kx的图像上有一点P （a ，b ），且a ，b 是方程t 2－4t －2=0的两个根，则k=_______；点P 到原点的距离OP=_______．3、已知双曲线xy=1与直线y=－无交点，则b 的取值范围是______． 4、反比例函数y=kx的图像经过点P （a ，b ），其中a ，b 是一元二次方程x 2+kx+4=0的两个根，那么点P 的坐标是_______．5、如图，已知双曲线)0k (xk y ＞=经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 相交于点C ．若△OBC 的面积为3，则k ＝___．第5题图 第6题图6、如图，已知点A 是一次函数y=x 的图像与反比例函数y=2x的图像在第一象限内的交点，点B 在x 轴的负半轴上，且OA=OB ，那么AOB △的面积为（ ） A ．2 BCD ．7、已知P 为函数y=2x的图像上一点，且P，则符合条件的P 点数为（ ）A ．0个B ．2个C ．4个D ．无数个。
反比例函数八大解题模型(模型+例题+练习题)
3、特征
[象限]经过一三象限或二四象限 [坐标轴]双曲线与x轴或y轴无限接近, 但永不相交 [变化趋势]在一三象限,图象呈下降趋势, 在二四象限,图象呈上升趋势
模型一： 模型一：判断是否为反比例函数
（1）给出解析式判断是否为反比例函数（y 是 x 的函数） 例 1、下列函数中，是反比例函数的是（ ） A y = x +1 B y=
2、下列函数中 y 是 x 的反比例函数的是（ ） （A 级） A y=
y=
2 x +1
D y=
1 −1 x
（2）给出文字先列解析式再判断是否为反比例函数 例 2：当路程 s 一定时。速度 v 与时间 t 之间的函数是（ A 正比例函数 B 反比例函数 C 一次函数 对象：路程 s 角度：速度 v、时间 t 分析与解：路程=速度 × 时间 即 s = vt → v = ） （A 级） D 二次函数
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是:________________;药物燃烧后 y 关于 x 的函数关系式为:___________________. (2)研究表明,当空气中每立方米的含药量低于 1.6 毫克时学生方可进教室,那么从消毒开始,至少需要经 过_______分钟后,学生才能回到教室; (3)研究表明,当空气中每立方米的含药量不低于 3 毫克且持续时间不低于 10 分钟时,才能有效杀灭空 气中的病菌,那么此次消毒是否有效?为什么?
反比例函数八大 反比例函数八大解题模型 八大解题模型（ 解题模型（模型+例题+练习题） 练习题）
基本知识点 1、定义：反比例函数的图像是经过 A（1，k）和 B（k，1）的双曲线 对应解析式 y = 2、举例说明： y =
k k ← 经过（x， （k 是常数，k≠0） ） x x
反比例函数k的八种几何模型及解法(解析版)-2023年中考数学重难点解题大招复习讲义-函数
模型介绍考点1一点一垂线模型【模型讲解】反比例函数图象上一点关于坐标轴的垂线、另一坐标轴上一点（含原点）围成的三角形面积等于12|k|．【示例】拓展：【例1】．如图，已知动点A，B分别在x轴，y轴正半轴上，动点P在反比例函数y＝（x ＞0）图象上，PA⊥x轴，△PAB是以PA为底边的等腰三角形．当点A的横坐标逐渐增大时，△PAB的面积将会（）A．越来越小B．越来越大C．不变D．先变大后变小解：如图，过点B作BC⊥PA于点C，则BC＝OA，设点P（x，），＝PA•BC＝••x＝3，则S△P AB当点A的横坐标逐渐增大时，△PAB的面积将会不变，始终等于3，故选：C．变式训练【变1-1】．如图，点A、B在反比例函数的图象上，过点A、B作x轴的垂线，垂足分别是M、N，射线AB交x轴于点C，若OM＝MN＝NC，四边形AMNB的面积是4，则k的值为﹣．解：设OM＝a，则OM＝MN＝NC＝a，∵点A、B在反比例函数y＝的图象上，AM⊥OC、BN⊥OC，∴AM＝，BN＝，＝S△AOM+S四边形AMNB+S△BNC，∵S△AOC∴﹣×3a×＝﹣k+4﹣×a×，解得k＝﹣，故答案为：﹣．【变1-2】．如图，在第一象限内，点P（2，3），M（a，2）是双曲线y＝（k≠0）上的两点，PA⊥x轴于点A，MB⊥x轴于点B，PA与OM交于点C，则△OAC的面积为（）A．B．C．2D．解：把P（2，3），M（a，2）代入y＝得k＝2×3＝2a，解得k＝6，a＝3，设直线OM的解析式为y＝mx，把M（3，2）代入得3m＝2，解得m＝，所以直线OM的解析式为y＝x，当x＝2时，y＝×2＝，所以C点坐标为（2，），所以△OAC的面积＝×2×＝．故选：B．考点2一点两垂线模型【模型讲解】反比例函数图象上一点与坐标轴的两条垂线所围成的矩形面积等于|k |．【示例】ABCD S k【例2】．双曲线与在第一象限内的图象如图所示，作一条平行于y 轴的直线分别交双曲线于A 、B 两点，连接OA 、OB ，则△AOB 的面积为（）A ．1B ．2C ．3D ．4解：设直线AB 与x 轴交于点C ．∵AB ∥y 轴，∴AC ⊥x 轴，BC ⊥x 轴．∵点A 在双曲线y ＝的图象上，∴△AOC 的面积＝×10＝5．∵点B 在双曲线y ＝的图象上，∴△COB的面积＝×6＝3．∴△AOB的面积＝△AOC的面积﹣△COB的面积＝5﹣3＝2．故选：B．变式训练【变2-1】．如图，函数y＝（x＞0）和（x＞0）的图象分别是l1和l2．设点P在l2上，PA∥y轴交l1于点A，PB∥x轴交l1于点B，△PAB的面积为．解：设点P（x，），则点B（，），A（x，），∴BP＝x﹣＝，AP＝﹣＝，＝＝，∴S△ABP故答案为：．【变2-2】．如图，直线AB∥x轴，分别交反比例函数y＝图象于A、B两点，若S△AOB＝2，则k2﹣k1的值为4．解：设A（a，b），B（c，d），代入得：k1＝ab，k2＝cd，＝2，∵S△AOB∴cd﹣ab＝2，∴cd﹣ab＝4，∴k2﹣k1＝4，故答案为：4．【变2-3】．如图，在平面直角坐标系中，M为y轴正半轴上一点，过点M的直线l∥x轴，l分别与反比例函数y＝和y＝的图象交于A、B两点，若S△AOB＝3，则k的值为﹣2．解：∵直线l∥x轴，∴AM⊥y轴，BM⊥y轴，＝|k|，S△BOM＝×4＝2，∴S△AOM＝3，∵S△AOB＝1，∴S△AOM∴|k|＝2，∵k＜0，∴k＝﹣2，故答案为：﹣2．考点3两曲一平行模型【模型讲解】两条双曲线上的两点的连线与一条（或两条）坐标轴平行，求这两点与原点或坐标轴上的点围成的图形面积，过这两点作坐标轴的垂线，结合k的几何意义求解．类型1两条双曲线的k值符号相同【示例】【例3】．如图，四边形OABC是矩形，四边形ADEF是正方形，点A、D在x轴的负半轴上，点C在y轴的正半轴上，点F在AB上，点B、E在反比例函数y＝（k为常数，k ≠0）的图象上，正方形ADEF的面积为16，且BF＝2AF，则k值为（）A．﹣8B．﹣12C．﹣24D．﹣36解：设A（x，0）．∵正方形ADEF的面积为16，∴ADEF的边长为4，∴E（x﹣4，4），∵BF＝2AF，∴BF＝2×4＝8，∴B（x，12）．∵点B、E在反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象上，∴4（x﹣4）＝12x，解得x＝﹣2，∴B（﹣2，12），∴k＝﹣2×12＝﹣24，故选：C．变式训练【变3-1】．若正方形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在函数的图象上．若正方形OABC的面积为1，则k的值为1；点E的坐标为（+，﹣）．解：∵正方形OABC和正方形AEDF各有一个顶点在一反比例函数图象上，且正方形OABC的边长为1．∴B点坐标为：（1，1），设反比例函数的解析式为y＝；∴xy＝k＝1，设正方形ADEF的边长为a，则E（1+a，a），代入反比例函数y＝（x＞0）得：1＝（1+a）a，又a＞0，解得：a＝﹣．∴点E的坐标为：（+，﹣）．【变3-2】．如图，A、B两点在双曲线y＝上，分别经过A、B两点向坐标轴作垂线段，已知S＝1.7，则S1+S2等于 4.6．阴影解：如图，∵A、B两点在双曲线y＝上，＝4，S四边形BDOC＝4，∴S四边形AEOF∴S1+S2＝S四边形AEOF+S四边形BDOC﹣2×S阴影，∴S1+S2＝8﹣3.4＝4.6故答案为：4.6．【变3-3】．如图，在反比例函数（x＞0）的图象上，有点P1，P2，P3，P4，…，它们的横坐标依次为1，2，3，4，…．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，…，则S1+S2+S3+…+S n＝．（用n的代数式表示，n为正整数）解：当x＝1时，P1的纵坐标为2，当x＝2时，P2的纵坐标1，当x＝3时，P3的纵坐标，当x＝4时，P4的纵坐标，当x＝5时，P5的纵坐标，…则S1＝1×（2﹣1）＝2﹣1；S2＝1×（1﹣）＝1﹣；S3＝1×（﹣）＝﹣；S4＝1×（﹣）＝﹣；…S n＝﹣；S1+S2+S3+…+S n＝2﹣1+1﹣+﹣+﹣+…+﹣＝2﹣＝．故答案为：．考点4两点一垂线模型【模型讲解】反比例函数与正比例函数图象的交点及由交点向坐标轴所作垂线围成的三角形面积等于|k|，反比例函数与一次函数图象的交点及坐标轴上任一点构成三角形的面积，等于坐标轴所分的两个三角形面积之和．【示例】【例4】．如图，正比例函数y＝kx与反比例函数y＝﹣相交于A，C两点，点A的横坐标为﹣4，过点A作x轴的垂线交x轴于B点，连接BC，下列结论：①k＝﹣；②不等式kx＜﹣的解集为﹣4＜x＜0或x＞4；③△ABC的面积等于16．其中正确的结论个数为（）A．0B．1C．2D．3解：将x＝﹣4代入y＝﹣得y＝﹣＝2，∴点A坐标为（﹣4，2），将（﹣4，2）代入y＝kx得2＝﹣4k，解得k＝﹣，∴①正确．由反比例函数及正比例函数的对称性可得点C坐标为（4，﹣2），∴当﹣4＜x＜0或x＞4时，kx＜﹣，∴②正确．＝S△AOB+S△BOC＝OB•y A+OB•（﹣y C）＝BO（y A﹣y C）＝×（2+2）∵S△AOC＝8，∴③错误．故选：C．变式训练【变4-1】．如图所示，一次函数y＝kx（k＜0）的图象与反比例函数y＝﹣的图象交于A，B两点，过点B作BC⊥y轴于点C，连接AC，则△ABC的面积为4．解：∵BC⊥y轴于点C，＝|﹣4|＝2，∴S△COB∵正比例函数y＝kx（k＞0）与反比例函数y＝﹣的图象均关于原点对称，∴OA＝OB，＝S△COB＝2，∴S△AOC＝S△AOB+S△BOC＝2+2＝4，∴S△ABC故答案为：4．【变4-2】．如图，过点O的直线与反比例函数y＝的图象交于A、B两点，过点A作AC⊥x轴于点C，连接BC，则△ABC的面积为．解：∵点A反比例函数y＝的图象上，过点A作AC⊥x轴于点C，＝|k|＝，∴S△AOC∵过点O的直线与反比例函数y＝的图象交于A、B两点，∴OA＝OB，＝S△AOC＝∴S△BOC＝2S△ACO＝，∴S△ABC故答案为：．【变4-3】．如图，函数y＝x与y＝的图象交于A、B两点，过点A作AC垂直于y轴，垂＝3，则k＝3．足为C，连接BC，若S△ABC解：设A（a，a）（a＞0），∵函数y＝x与y＝的图象的中心对称性，∴B（﹣a，﹣a），＝•a•2a＝a2＝3，∴S△ABC∴a＝，∴A（，），把A（，）代入y＝得k＝＝3．故答案为：3．考点5两点两垂线模型【模型讲解】反比例函数与正比例函数图象的交点及由交点向坐标轴所作两条垂线围成的图形面积等于2|k|．【示例】【例5】．如图，正比例函数y＝kx与反比例函数y＝﹣的图象交于A，C两点，过点A作AB⊥x轴于点B，过点C作CD⊥x轴于点D，则△ABD的面积为4．解：∵点A在反比例函数y＝﹣上，且AB⊥x轴，∴＝2，∵A，C是反比例函数与正比例函数的交点，且CD⊥x轴，∴O是BD的中点，＝2S△ABO＝4．∴S△ABD故答案为：4．变式训练【变5-1】．如图，一次函数y＝kx与反比例函数上的图象交于A，C两点，AB∥y轴，BC∥x轴，若△ABC的面积为4，则k＝﹣2．解：设AB交x轴于点D，的面积为，由反比例函数系数的几何意义可得S△ADO由函数的对称性可得点O为AC中点，即DO为△ABC中位线，∴＝，＝4S△ADO＝2|k|＝4，∴S△ABC∵k＜0，∴k＝﹣2．故答案为：﹣2．【变5-2】．如图，正比例函数y＝kx（k＞0）与反比例函数y＝的图象交于A，C两点，过点A作x轴的垂线，交x轴于点B，过点C作x轴的垂线，交x轴于点D，连接AD，BC，则四边形ABCD的面积为2．解：∵A、C是两函数图象的交点，∴A、C关于原点对称，∵CD⊥x轴，AB⊥x轴，∴OA＝OC，OB＝OD，＝S△BOC＝S△DOC＝S△AOD，∴S△AOB又∵A点在反比例函数y＝的图象上，＝S△BOC＝S△DOC＝S△AOD×1＝，∴S△AOB＝4S△AOB＝4×＝2，∴S四边形ABCD故答案为：2．【变5-3】．如图，直线分别与反比例函数y＝﹣和y＝的图象交于点A和点B，与y轴交于点P，且P为线段AB的中点，作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴交于点D，则四边形ABCD的面积是5．解：过点A作AF⊥y轴，垂足于点F；过点B作BE⊥y轴，垂足为点E．∵点P是AB中点．∴PA＝PB．又∵∠APF＝∠BPE，∠AFP＝∠BEP＝90°，∴△APF≌△BPE．＝S△BPE．∴S△APF＝S四边形ACOF+S四边形EODB＝|﹣2|+|3|＝5．∴S四边形ABCD故答案为：5．考点6反比例函数上两点和外一点模型【模型讲解】反比例函数与一次函数图象的交点和原点所围成的三角形面积，若两交点在同一分支上，用减法．【示例】方法一：S △AOB ＝S △COD －S △AOC －S △BOD ．方法二：作AE ⊥x 轴于点E ，交OB 于点M ，BF ⊥x 轴于点F ，则S △OAM ＝S 四边形MEFB （划归到模型一），则S △AOB ＝S 直角梯形AEFB ．【拓展】方法一：当BE CE 或BFFA＝m 时，则S 四边形OFBE ＝m |k |．方法二：作EM ⊥x 轴于M ，则S △OEF ＝S 直角梯形EMAF （划归到上一个模型示例）．【例6】．如图，一次函数y ＝ax +b 的图象与反比例函数y ＝的图象交于A ，B 两点，则S△AOB＝（）A．B．C．D．6解：把A（﹣4，1）代入y＝的得：k＝﹣4，∴反比例函数的解析式是y＝﹣，∵B（1，m）代入反比例函数y＝﹣得：m＝﹣4，∴B的坐标是（1，﹣4），把A、B的坐标代入一次函数y＝ax+b得：，解得：a＝﹣1，b＝﹣3，∴一次函数的解析式是y＝﹣x﹣3；把x＝0代入一次函数的解析式是y＝﹣x﹣3得：y＝﹣3，∴D（0，﹣3），＝S AOD+S△BOD＝×3×（1+4）＝．∴S△AOB故选：A．变式训练【变6-1】．如图，直线AB经过原点O，且交反比例函数的图象于点B，A，点C在x＝12，则k的值为（）轴上，且．若S△BCAA．12B．﹣12C．﹣6D．6解：作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，∵点A、B在反比例函数的图象上，直线AB经过原点，∴OA＝OB＝AB，＝12，∵，S△BCA＝S△BCA＝6，∴OB＝BC，S△BCO∵BE⊥OC，∴OE＝CE，＝S△BCO＝3，∴S△OBE∵BE⊥x轴于E，＝|k|，∴S△OBE∴|k|＝6，∵k＜0，∴k＝﹣6．故选：C．【变6-2】．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝与直线y＝交于A，B，x轴的正半轴上有一点C 使得∠ACB ＝90°，若△OCD 的面积为25，则k 的值为48．解：设点A 坐标为（3a ，4a ），由反比例函数图象与正比例函数图象的对称性可得点B 坐标为（﹣3a ，﹣4a ），∴OA ＝OB ＝＝5a ，∵∠ACB ＝90°，O 为AB 中点，∴OC ＝OA ＝OB ＝5a ，设直线BC 解析式为y ＝kx +b ，将（﹣3a ，﹣4a ），（5a ，0）代入y ＝kx +b 得，解得，∴y ＝x ﹣a ，∴点D 坐标为（0，﹣a ），∴S △OCD ＝OC •OD ＝5a ×a ＝25，解得a ＝2或a ＝﹣2（舍），∴点A 坐标为（6，8），∴k ＝6×8＝48．故答案为：48．【变6-3】．如图，正比例函数y ＝﹣x 与反比例函数y ＝的图象交于A ，B 两点，点C 在x 轴上，连接AC ，BC ．若∠ACB ＝90°，△ABC 的面积为10，则该反比例函数的解析式是y ＝﹣．解：设点A 为（a ，﹣a ），则OA ＝＝﹣a ，∵点C 为x 轴上一点，∠ACB ＝90°，且△ACB 的面积为20，∴OA ＝OB ＝OC ＝﹣a ，∴S △ACB ＝×OC ×（y A +|y B |）＝×（﹣a ）×（﹣a ）＝10，解得，a ＝±（舍弃正值），∴点A 为（﹣，2），∴k ＝﹣×2＝﹣6，∴反比例函数的解析式是y ＝﹣，故答案为：y ＝﹣．考点7反比例函数上两点和原点模型【模型讲解】反比例函数与一次函数图象的交点和原点所围成的三角形面积，若两交点分别在两个分支上，用加法．【示例】方法一：S △AOB ＝12OD ·|x B －x A |＝12OC ·|y A －y B |．方法二：S △AOB ＝S △AOC ＋S △OCD ＋S △OBD ．方法三：作AE ⊥y 轴于点E ，BF ⊥x 轴于点F ，延长AE 与BF 相交于点N ，则S △AOB ＝S △ABN －S △AOE －S △OBF －S 矩形OENF ．【例7】．如图，直线AB 交双曲线于A 、B ，交x 轴于点C ，B 为线段AC 的中点，过＝12．则k的值为8．点B作BM⊥x轴于M，连接OA．若OM＝2MC，S△OAC解：过A作AN⊥OC于N，∵BM⊥OC∴AN∥BM，∵，B为AC中点，∴MN＝MC，∵OM＝2MC，∴ON＝MN＝CM，设A的坐标是（a，b），则B（2a，b），＝12．∵S△OAC∴•3a•b＝12，∴ab＝8，∴k＝ab＝8，故答案为：8．变式训练【变7-1】．如图，在以O为原点的直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数y＝（x＞0）与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BD＝3AD，且四边形ODBE的面积为21，则k＝7．解：设D点的横坐标为x，则其纵坐标为，∵BD＝3AD，∴点B点的坐标为（4x，），点C的坐标为（4x，0）＝21，∵S四边形ODBE﹣S△OCE﹣S△OAD＝21，∴S矩形ABCD即：4x•﹣﹣＝21解得：k＝7．故答案为：7．【变7-2】．如图，点是直线AB与反比例函数图象的两个交点，AC⊥x轴，垂足为点C，已知D（0，1），连接AD，BD，BC．（1）求反比例函数和直线AB的解析式；（2）△ABC和△ABD的面积分别为S1，S2，求S2﹣S1．解：（1）由点A（，4）在反比例函数y＝（x＞0）图象上，∴n＝×4＝6，∴反比例函数的解析式为y＝（x＞0），将点B（3，m）代入y＝（x＞0）并解得m＝2，∴B（3，2），设直线AB的表达式为y＝kx+b，∴，解得，∴直线AB的表达式为y＝﹣x+6；（2）由点A坐标得AC＝4，则点B到AC的距离为3﹣＝，∴S1＝＝3，设AB与y轴的交点为E，则点E（0，6），如图：∴DE＝6﹣1＝5，由点A（，4），B（3，2）知，点A，B到DE的距离分别为，3，∴S2＝S△BDE﹣S△AED＝﹣＝，∴S2﹣S1＝﹣3＝．考点8两双曲线k值符号不同模型【模型讲解】两条双曲线上的两点的连线与一条（或两条）坐标轴平行，求这两点与原点或坐标轴上的点围成的图形面积，过这两点作坐标轴的垂线，结合k的几何意义求解．类型1两条双曲线的k值符号相同【示例】【例8】．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝kx与的图象交于A、B两点，过A作y轴的垂线，交函数的图象于点C，连接BC，则△ABC的面积为（）A．2B．3C．5D．6解：∵正比例函数y＝kx与反比例函数y＝﹣的图象交点关于原点对称，∴设A点坐标为（x，﹣），则B点坐标为（﹣x，），C（﹣2x，﹣），＝×（﹣2x﹣x）•（﹣﹣）＝×（﹣3x）•（﹣）＝6．∴S△ABC故选：D．变式训练【变8-1】．如图，过x轴正半轴上的任意一点P，作y轴的平行线，分别与反比例函数y＝（x＞0）和y＝﹣（x＞0）的图象交于B、A两点．若点C是y轴上任意一点，则△ABC的面积为（）A．3B．6C．9D．解：设P（a，0），a＞0，则A和B的横坐标都为a，将x＝a代入反比例函数y＝﹣中得：y＝﹣，故A（a，﹣）；将x＝a代入反比例函数y＝中得：y＝，故B（a，），∴AB＝AP+BP＝+＝，＝AB•x P的横坐标＝××a＝，则S△ABC故选：D．【变8-2】．如图，点A和点B分别是反比例函数y＝（x＞0）和y＝（x＞0）的图象上＝2，则m﹣n的值为4．的点，AB⊥x轴，点C为y轴上一点，若S△ABC解：连接AO．CO，∵AB⊥x轴，点C为y轴上一点，∴AB∥y轴，＝S△ABO＝2，∴S△ABC∴＝2．∴＝2，即m﹣n＝4．故答案为：4．1．如图，Rt△ABC的顶点A在双曲线y＝的图象上，直角边BC在x轴上，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，OC＝4，连接OA，∠AOB＝60°，则k的值是（）A．4B．﹣4C．2D．﹣2解：∵∠ACB＝30°，∠AOB＝60°，∴∠OAC＝∠AOB﹣∠ACB＝30°，∴∠OAC＝∠ACO，∴OA＝OC＝4，在△AOB中，∠ABC＝90°，∠AOB＝60°，OA＝4，∴∠OAB＝30°，∴OB＝OA＝2，∴AB＝OB＝2，∴A点坐标为（﹣2，2），把A（﹣2，2）代入y＝得k＝﹣2×2＝﹣4．故选：B．2．如图，平行四边形OABC的顶点B，C在第一象限，点A的坐标为（3，0），点D为边AB的中点，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过C，D两点，若∠COA＝α，则k的值等于（）A．8sin2αB．8cos2αC．4tanαD．2tanα解：方法一：过点C作CE⊥OA于点E，过点D作DF⊥OA交OA的延长线于点F，设C点横坐标为：a，则：CE＝a•tanα，∴C点坐标为：（a，a•tanα），∵平行四边形OABC中，点D为边AB的中点，∴D点纵坐标为：a•tanα，设D点横坐标为x，∵C，D都在反比例函数图象上，∴a×a•tanα＝x×a•tanα，解得：x＝2a，则FO＝2a，∴FE＝a，∵∠COE＝∠DAF，∠CEO＝∠DFA，∴△COE∽△DAF，∴＝＝2，∴AF＝，∴AO＝OF﹣AF＝a，∵点A的坐标为（3，0），∴AO＝3，∴a＝3，解得：a＝2，∴k＝a×a•tanα＝2×2tanα＝4tanα．方法二：∵C（a，a tanα），A（3，0），∴B（a+3，a tanα），∵D是线段AB中点，∴D（，a tanα），即D（，a tanα）．∵反比例函数过C，D两点，∴k＝a•a tanα＝（a+6）•a tanα，解得a＝2，∴k＝4tanα．故选：C．3．如图，在直角坐标系xOy中，点A，B分别在x轴和y轴，＝．∠AOB的角平分线与OA的垂直平分线交于点C，与AB交于点D，反比例函数y＝的图象过点C．当以CD为边的正方形的面积为时，k的值是（）A．2B．3C．5D．7解：设OA＝3a，则OB＝4a，∴A（3a，0），B（0，4a）．设直线AB的解析式是y＝kx+b，则根据题意得：，解得：，则直线AB的解析式是y＝﹣x+4a，直线CD是∠AOB的平分线，则OD的解析式是y＝x．根据题意得：，解得：则D的坐标是（，），OA的中垂线的解析式是x＝，则C的坐标是（，），将C点坐标代入反比例函数y＝，则k＝．设OA的垂直平分线交x轴于点F，过点D作DE⊥x轴于点E，如图，则OF＝CF＝，OE＝DE＝a，∵∠DOA＝45°，∴△COF和△DOE为等腰直角三角形，∴OC＝OF＝a，OD＝OE＝a，∴CD＝OD﹣OC＝（）＝（﹣）＝a．∵以CD为边的正方形的面积为，∴＝，则a2＝，∴k＝×＝7．故选：D．4．如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y＝的图象上，第二象限内的点B在反比例函数y＝的图象上，且OA⊥OB，cos A＝，则k的值为（）A．﹣3B．﹣4C．﹣D．﹣2解：过A作AE⊥x轴，过B作BF⊥x轴，∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°，∴∠BOF+∠EOA＝90°，∵∠BOF+∠FBO＝90°，∴∠EOA＝∠FBO，∵∠BFO＝∠OEA＝90°，∴△BFO∽△OEA，在Rt△AOB中，cos∠BAO＝＝，设AB＝，则OA＝1，根据勾股定理得：BO＝，∴OB：OA＝：1，：S△OEA＝2：1，∴S△BFO∵A在反比例函数y＝上，＝1，∴S△OEA＝2，∴S△BFO则k＝﹣4．故选：B．5．如图，反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点A（﹣1，1），过点A作AB⊥y轴，垂足为B，在y轴的正半轴上取一点P（0，t），过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，点B经轴对称变换得到的点B′在此反比例函数的图象上，则t的值是（）A．B．C．D．解：如图，∵点A坐标为（﹣1，1），∴k＝﹣1×1＝﹣1，∴反比例函数解析式为y＝﹣，∵OB＝AB＝1，∴△OAB为等腰直角三角形，∴∠AOB＝45°，∵PQ⊥OA，∴∠OPQ＝45°，∵点B和点B′关于直线l对称，∴PB＝PB′，BB′⊥PQ，∴∠B′PQ＝∠OPQ＝45°，∠B′PB＝90°，∴B′P⊥y轴，∴点B′的坐标为（﹣，t），∵PB＝PB′，∴t﹣1＝|﹣|＝，整理得t2﹣t﹣1＝0，解得t1＝，t2＝（不符合题意，舍去），∴t的值为．故选：A．6．如图，菱形OABC的顶点B在y轴上，顶点C的坐标为（﹣3，2），若反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A，则k的值为（）A．﹣6B．﹣3C．3D．6解：∵A与C关于OB对称，∴A的坐标是（3，2）．把（3，2）代入y＝得：2＝，解得：k＝6．故选：D．7．如图，直线y＝与双曲线y＝（k＞0，x＞0）交于点A，将直线y＝向上平移4个单位长度后，与y轴交于点C，与双曲线y＝（k＞0，x＞0）交于点B，若OA＝3BC，则k的值为（）A．3B．6C．D．解：∵将直线y＝向上平移4个单位长度后，与y轴交于点C，∴平移后直线的解析式为y＝x+4，分别过点A、B作AD⊥x轴，BE⊥x轴，CF⊥BE于点F，设A（3x，x），∵OA＝3BC，BC∥OA，CF∥x轴，∴△BCF∽△AOD，∴CF＝OD，∵点B在直线y＝x+4上，∴B（x，x+4），∵点A、B在双曲线y＝上，∴3x•x＝x•（x+4），解得x＝1，∴k＝3×1××1＝．故选：D．8．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，BC＝2AB．A，B两点的坐标分别是（﹣1，0），（0，2），C，D两点在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，则k等于﹣12．解：设点C坐标为（a，），（k＜0），点D的坐标为（x，y），∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC与BD的中点坐标相同，∴（，）＝（，），则x＝a﹣1，y＝，代入y＝，可得：k＝2a﹣2a2①；在Rt△AOB中，AB＝＝，∴BC＝2AB＝2，故BC2＝（0﹣a）2+（﹣2）2＝（2）2，整理得：a4+k2﹣4ka＝16a2，将①k＝2a﹣2a2，代入后化简可得：a2＝4，∵a＜0，∴a＝﹣2，∴k＝﹣4﹣8＝﹣12．故答案为：﹣12．方法二：因为ABCD是平行四边形，所以点C、D是点B、A分别向左平移a，向上平移b得到的．故设点C坐标是（﹣a，2+b），点D坐标是（﹣1﹣a，b），（a＞0，b＞0），∴﹣a（2+b）＝b（﹣1﹣a），整理得2a+ab＝b+ab，解得b＝2a．过点D作x轴垂线，交x轴于H点，在直角三角形ADH中，由已知易得AD＝2，AH＝a，DH＝b＝2a．AD2＝AH2+DH2，即20＝a2+4a2，得a＝2．所以D坐标是（﹣3，4）所以k＝﹣12．9．如图，点E，F在函数y＝（x＞0）的图象上，直线EF分别与x轴、y轴交于点A，B，且BE：BF＝1：m．过点E作EP⊥y轴于P，已知△OEP的面积为1，则k值是2，△OEF的面积是（用含m的式子表示）解：作EC⊥x轴于C，FD⊥x轴于D，FH⊥y轴于H，如图，∵△OEP的面积为1，∴|k|＝1，而k＞0，∴k＝2，∴反比例函数解析式为y＝，∵EP⊥y轴，FH⊥y轴，∴EP∥FH，∴△BPE∽△BHF，∴＝＝，即HF＝mPE，设E点坐标为（t，），则F点的坐标为（tm，），+S△OFD＝S△OEC+S梯形ECDF，∵S△OEF＝S△OEC＝1，而S△OFD＝S梯形ECDF＝（+）（tm﹣t）∴S△OEF＝（+1）（m﹣1）＝．故答案为：2，．10．如图，在Rt△OAB中，OA＝4，AB＝5，点C在OA上，AC＝1，⊙P的圆心P在线段BC上，且⊙P与边AB，AO都相切．若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过圆心P，则k＝．解：设⊙P与边AB，AO分别相切于点E、D，连接PE、PD、PA，如图所示．则有PD⊥OA，PE⊥AB．设⊙P的半径为r，∵AB＝5，AC＝1，＝AB•PE＝r，S△APC＝AC•PD＝r．∴S△APB∵∠AOB＝90°，OA＝4，AB＝5，∴OB＝3．＝AC•OB＝×1×3＝．∴S△ABC＝S△APB+S△APC，∵S△ABC∴＝r+r．∴r＝．∴PD＝．∵PD⊥OA，∠AOB＝90°，∴∠PDC＝∠BOC＝90°．∴PD∥BO．∴△PDC∽△BOC．∴＝．∴PD•OC＝CD•BO．∴×（4﹣1）＝3CD．∴CD＝．∴OD＝OC﹣CD＝3﹣＝．∴点P的坐标为（，）．∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过圆心P，∴k＝×＝．故答案为：．11．如图，OABC是平行四边形，对角线OB在轴正半轴上，位于第一象限的点A和第二象限的点C分别在双曲线y＝和y＝的一支上，分别过点A、C作x轴的垂线，垂足分别为M和N，则有以下的结论：①＝；②阴影部分面积是（k1+k2）；③当∠AOC＝90°时，|k1|＝|k2|；④若OABC是菱形，则两双曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称．其中正确的结论是①④（把所有正确的结论的序号都填上）．解：作AE⊥y轴于E，CF⊥y轴于F，如图，∵四边形OABC是平行四边形，∴S△AOB＝S△COB，∴AE＝CF，∴OM＝ON，∵S△AOM＝|k1|＝OM•AM，S△CON＝|k2|＝ON•CN，∴＝，故①正确；∵S△AOM＝|k1|，S△CON＝|k2|，∴S阴影部分＝S△AOM+S△CON＝（|k1|+|k2|），而k1＞0，k2＜0，∴S阴影部分＝（k1﹣k2），故②错误；当∠AOC＝90°，∴四边形OABC是矩形，∴不能确定OA与OC相等，而OM＝ON，∴不能判断△AOM≌△CNO，∴不能判断AM＝CN，∴不能确定|k1|＝|k2|，故③错误；若OABC是菱形，则OA＝OC，而OM＝ON，∴Rt△AOM≌Rt△CNO，∴AM＝CN，∴|k1|＝|k2|，∴k1＝﹣k2，∴两双曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称，故④正确．故答案为：①④．12．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y＝﹣x﹣1，双曲线y＝，在l上取一点A1，过A1作x轴的垂线交双曲线于点B1，过B1作y轴的垂线交l于点A2，请继续操作并探究：过A2作x轴的垂线交双曲线于点B2，过B2作y轴的垂线交l于点A3，…，这样依次得到l上的点A1，A2，A3，…，A n，…记点A n的横坐标为a n，若a1＝2，则a2＝﹣，a2013＝﹣；若要将上述操作无限次地进行下去，则a1不可能取的值是0、﹣1．解：当a1＝2时，B1的纵坐标为，B1的纵坐标和A2的纵坐标相同，则A2的横坐标为a2＝﹣，A2的横坐标和B2的横坐标相同，则B2的纵坐标为b2＝﹣，B2的纵坐标和A3的纵坐标相同，则A3的横坐标为a3＝﹣，A3的横坐标和B3的横坐标相同，则B3的纵坐标为b3＝﹣3，B3的纵坐标和A4的纵坐标相同，则A4的横坐标为a4＝2，A4的横坐标和B4的横坐标相同，则B4的纵坐标为b4＝，即当a1＝2时，a2＝﹣，a3＝﹣，a4＝2，a5＝﹣，b1＝，b2＝﹣，b3＝﹣3，b4＝，b5＝﹣，∵＝671，∴a2013＝a3＝﹣；点A1不能在y轴上（此时找不到B1），即x≠0，点A1不能在x轴上（此时A2，在y轴上，找不到B2），即y＝﹣x﹣1≠0，解得：x≠﹣1；综上可得a1不可取0、﹣1．故答案为：﹣；﹣；0、﹣1．13．如图，一次函数y＝x+1的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（a，3），与y轴交于点B．（1）求a，k的值；（2）直线CD过点A，与反比例函数图象交于点C，与x轴交于点D，AC＝AD，连接CB．①求△ABC的面积；②点P在反比例函数的图象上，点Q在x轴上，若以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点P坐标．解：（1）把x＝a，y＝3代入y＝x+1得，，∴a＝4，把x＝4，y＝3代入y＝得，3＝，∴k＝12；（2）∵点A（4，3），D点的纵坐标是0，AD＝AC，∴点C的纵坐标是3×2﹣0＝6，把y＝6代入y＝得x＝2，∴C（2，6），①如图1，作CF⊥x轴于F，交AB于E，当x＝2时，y＝＝2，∴E（2，2），∵C（2，6），∴CE＝6﹣2＝4，∴x A＝＝8；②如图2，当AB是对角线时，即：四边形APBQ是平行四边形，∵A（4，3），B（0，1），点Q的纵坐标为0，∴y P＝1+3﹣0＝4，当y＝4时，4＝，∴x＝3，∴P（3，4），当AB为边时，即：四边形ABQP是平行四边形（图中的▱ABQ′P′），﹣y B＝y P′﹣y A得，由y Q′0﹣1＝y P′﹣3，＝2，∴y P′当y＝2时，x＝＝6，∴P′（6，2），综上所述：P（3，4）或（6，2）．14．在平面直角坐标系中，已知一次函数y1＝k1x+b与坐标轴分别交于A（5，0），B（0，）两点，且与反比例函数y2＝的图象在第一象限内交于P，K两点，连接OP，△OAP的面积为．（1）求一次函数与反比例函数的解析式．（2）当y2＞y1时，求x的取值范围．（3）若C为线段OA上的一个动点，当PC+KC最小时，求△PKC的面积．解：（1）∵一次函数y1＝k1x+b与坐标轴分别交于A（5，0），B（0，）两点，∴，解得．∴一次函数的解析式为：y1＝﹣x+．∵△OAP的面积为，∴•OA•y P＝，∴y P＝，∵点P在一次函数图象上，∴令﹣x+＝．解得x＝4，∴P（4，）．∵点P在反比例函数y2＝的图象上，∴k2＝4×＝2．∴一次函数的解析式为：y1＝﹣x+．反比例函数的解析式为：y2＝．（2）令﹣x+＝，解得x＝1或x＝4，∴K（1，2），由图象可知，当y2＞y1时，x的取值范围为：0＜x＜1或x＞4．（3）如图，作点P关于x轴的对称点P′，连接KP′，线段KP′与x轴的交点即为点C，∵P（4，）．∴P′（4，﹣）．∴PP′＝1，∴直线KP′的解析式为：y＝﹣x+．令y＝0，解得x＝．∴C（，0）．＝•（x C﹣x K）•PP′∴S△PKC＝×（﹣1）×1＝．∴当PC+KC最小时，△PKC的面积为．15．如图，一次函数y＝x+1与反比例函数y＝的图象相交于A（m，2），B两点，分别连接OA，OB．（1）求这个反比例函数的表达式；（2）求△AOB的面积；（3）在平面内是否存在一点P，使以点O，B，A，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵一次函数y＝x+1经过点A（m，2），∴m+1＝2，∴m＝1，∴A（1，2），∵反比例函数y＝经过点（1，2），∴k＝2，∴反比例函数的解析式为y＝；（2）由题意，得，解得或，∴B（﹣2，﹣1），∵C（0，1），＝S△AOC+S△BOC＝×1×2+×1×1＝1.5；∴S△AOB（3）有三种情形，如图所示，满足条件的点P的坐标为（﹣3，﹣3）或（﹣1，1）或（3，3）．16．已知A（3，0）、B（0，4）是平面直角坐标系中两点，连接AB．（1）如图①，点P在线段AB上，以点P为圆心的圆与两条坐标轴都相切，求过点P 的反比例函数表达式；（2）如图②，点N是线段OB上一点，连接AN，将△AON沿AN翻折，使得点O与线段AB上的点M重合，求经过A、N两点的一次函数表达式．解：（1）作PC⊥x轴于C，PD⊥y轴于D，则四边形OCPD是矩形，∵以点P为圆心的圆与两条坐标轴都相切，∴PC＝PD，∴矩形OCPD是正方形，设PD＝PC＝x，∵A（3，0）、B（0，4），∴OA＝3，OB＝4，∴BD＝4﹣x，∵PD∥OA，∴△PDB∽△AOB，∴，∴，解得x＝，∴P（，），设过点P的函数表达式为y＝，∴k＝xy＝＝，∴y＝；（2）方法一：∵将△AON沿AN翻折，使得点O与线段AB上的点M重合，∴ON＝NM，MN⊥AB，由勾股定理得，AB＝5，＝S△AON+S△ABN，∴S△AOB∴＝+，解得，ON＝，∴N（0，），设直线AN的函数解析式为y＝mx+，则3m+＝0，∴m＝﹣，∴直线AN的函数解析式为y＝﹣x+．方法二：利用△BMN∽△BOA，求出BN的长度，从而得出ON的长度，。
6反比例函数九种基本模型
反比例函数九种基本模型
一、2个矩形模型
模型特点：曲线切坐标矩形 模型特点：曲线截坐标矩形
结论：k S OABC ＝矩形 结论：（1）DE ∥AC （2）2)(OB
OF CB CE AB AD == 二、3个等线段模型
模型特点：经过原点双交曲 模型特点：与双曲线单支 模型特点：与双曲线双交直线 线的直线 相交直线
结论：OA ＝OB 结论：AB ＝CD 结论：AB ＝CD 三、4类三角形模型
（1）一点在线，两点在轴，一边或两边垂直于轴 结论：k S 2
1=∆
（2）两点在线，原点对称，一边垂直于轴 结论：k S =∆
（3）两点在线，原点对称，两边垂直于轴 （4）两点在线，一点在心
结论：k S 2=∆ 结论：ACDB OAB S S 梯形=∆。
反比例函数的常见模型
反比例函数的常见模型
解决反比例函数的问题，除了掌握反比例函数的图像及性质以及反比例函数常见的面积模型之外，还要熟练掌握以下几个经典模型：【模型 1】正比例函数图像被反比例函数图像所截得的线段相等【模型2】一次函数图像被坐标系和反比例函数图像所截得的相等线段
【模型 3】同一象限内反比例函数图像上两点连线的平行线
【模型 4】反比例函数与矩形（1）
【模型 5】反比例函数与矩形（2）
【模型 6】反比例函数与最值
【模型 7】反比例函数与黄金分割。
反比例函数：11类模型梳理
反⽐例函数：11类模型梳理⼀、反⽐例函数的基本性质1、反⽐例函数图象是由两条曲线组成的双曲线，双曲线向坐标轴⽆限延伸，但不能与坐标轴相交；2、k的正负性，决定双曲线⼤致位置及y随x的变化情况；3、双曲线上的点是关于中⼼对称的，双曲线也是轴对称图形，对称轴是直线y=x及y=-x.4、反⽐例函数y=k/x中| k |的⼏何意义是：| k |等于双曲线上任意⼀点作x轴、y轴的垂线的矩形的⾯积。
⼆、反⽐例函数的基本模型模型⼀、对称性结论：∵正⽐例、反⽐例函数的图象都是关于原点成中⼼对称图形，∴①OA=OB，OC=OD；②四边形ACBD是平⾏四边形；模型⼆：双曲矩形结论：1、不论P在双曲线上何处，2、当OA在x轴上平移时，同理：当OB在y轴上平移时，等底同⾼可证，证明略模型三：双曲三⾓形结论：1、不论P在双曲线上何处，2、不论O'在y轴上何处，同底等⾼可证，证明略模型四：等分⾯积结论：3、若Q为AB中点，则P也必为BC中点。
由2可得，证明略模型五：三⾓转梯形结论：模型六：斜向平⾏线结论：过双曲线上任意两点P、Q分别作PC⊥y轴于C，QA⊥x轴于A，连结AC，则PQ∥AC模型七：等长线段结论：过双曲线上任意两点P、Q作直线PQ分别交x轴、y轴于点M、N，则PN=QM模型⼋：等⾓1——平四型结论：P、Q在双曲线上，A、B分别在y轴和x轴上，若四边形ABQP为平⾏四边形，则∠1=∠2，∠3=∠4证明：过P作DE⊥y轴于E过Q作DC⊥x轴于C交DE于D，延长PQ交x轴、y轴于M、N由模型七得∵ABQP为平⾏四边形∴PQ∥AB，AP∥BQ，PQ=AB，AP=BQ∴∠2=∠6=∠EPA∵∠PEA=∠BCQ=90°∴△PEA≌△BCQ（AAS）∴PE=BC=a，∵OM=a+b，OC=b，∴CM=OM-OC=a∴BC=CM∴△QCB≌△QCM，∴∠2=∠5，⼜∵∠1=∠5，∴∠1=∠2同理可证∠3=∠4模型九：等⾓2——对称型结论：正⽐例函数图象与双曲线交于Q、R两点，则∠1=∠2，∠3=∠4证明：作P点关于点O对称点S，连SR,SP,SQ易证四边形PQSQ为平⾏四边形由模型⼋可知∠2=∠5，⼜∵PR∥QS，∴∠5=∠1，∴∠1=∠2∵∠2+∠4=90°，∠3+∠1=90°∴∠3=∠4模型⼗：等腰黄⾦⽐结论：P、Q都在双曲线上，OP=PQ，OP⊥PQ，证明：过P作BC⊥y轴于C，过Q作BA⊥x轴于A交BC于B ∵P（a，b）∴PC=a，OC=b∵OP=PQ，OP⊥PQ，∴∠CPO +∠COP= 90°，∠CPO+∠BPQ=90°∴∠COP=∠BPQ∵∠OCP=∠PBQ，∴△OCP≌△PBQ∴PC=BQ=a，OC=PB=b∴B（a+b，b-a），Q（a+b，b-a）连AC，由模型六可知，PQ∥AC模型⼗⼀：平⾏黄⾦⽐结论：P在双曲线上，过P作PA⊥x轴于A，过A作AQ∥OP交双曲线于Q.证明：过P作BC⊥y轴于C,过Q作BD⊥x轴于D,交BC于B由AQ∥OP易证△OAP≌△ADQ怎么样？11类反⽐例模型都掌握了么？除此，今天⾼分君给⼤家带了《反⽐例函数培优40讲》课程。
2021中考备考资料-中考数学专题讲义-反比例函数常见几何模型
分别过,,作y 轴平行1A 2A 3A ,作x 轴的平行线，2B 3B 影部分的面积之和为上，且AB ∥x 轴，C 、D 在x 轴上，任意不重合的两点，直线AB 交轴于M x 轴于F 点，x BF ⊥D
F
图1图2
x 的面
两点，
A. B. C. D
的中点E ，交AB 于点D ，若梯形 D. x
y 6
= 题3 题4 如图，A,B 是函数的图像上关于原点对称的任意两点，x
y 2=的面积记为S ，则S （ ）A.S=2 B.S=4
C.2<S<4 、如图所示，等腰直角三角形ABC 位于第一象限，
AB=AC=2，直角顶点A 在直线1≤k<4上，且AB ∥x 轴，C 、D 在x 轴上，
B
、如图，双曲线经过四边形的顶点A 、C ，∠ABC ＝90°，OC )0(2 x x
y =轴正半轴的夹角，AB ∥轴，将△x
2、反比例函数y=k
x
的图像上有一点
k=_______；点P到原点的距离3、已知双曲线xy=1与直线
4、反比例函数y=k
的图像经过点
2
x
的图像在第一象限内的交点，
的面积为（）
2。
7个反比例函数常见几何模型
7个反⽐例函数常见⼏何模型
考点⼀：反⽐例函数的图象与性质
【典型例题1】
【答案解析】∵函数的图象在第⼀、三象限，∴m－1＞0，∴m＞1.
【⽅法总结】1．由于双曲线⾃变量的取值范围是x≠0的实数，故其性质强调在每个象限
内y随x的变化⽽变化的情况．
2．反⽐例函数图象的分布取决于k的符号，当k＞0时，图象在第⼀、三象限，当k＜0时，图象在第⼆、四象限．
考点⼆：反⽐例函数图像与⼀次函数⼆次函数图像的性质考察
【典型例题2】
【答案解析】
【典型例题3】
【思路分析】直接利⽤⼆次函数图象经过的象限得出a，b的值取值范围，进⽽利⽤反⽐例函数的性质得出答案．
【答案解析】
7个反⽐例函数常见⼏何模型。
反比例函数6个模型
反比例函数6个模型反比例函数是数学中常见的一种函数关系，表示两个变量之间的关系，其中一个变量的值与另一个变量的值成反比。
在实际生活中，有很多与反比例函数相关的问题，如速度与时间、密度与体积等。
下面将介绍6个反比例函数的模型及其应用。
一、速度与时间模型速度与时间成反比例函数的模型可以表示为v=k/t，其中v表示速度，t表示时间，k为比例常数。
在实际应用中，比如汽车行驶，行驶的速度与所用的时间成反比。
这个模型在物理学和工程学中非常常见。
二、密度与体积模型密度与体积成反比例函数的模型可以表示为d=k/V，其中d表示密度，V表示体积，k为比例常数。
例如，气体的密度与其体积成反比，当气体的体积增大时，密度相应减小。
三、电阻与电流模型电阻与电流成反比例函数的模型可以表示为R=k/I，其中R表示电阻，I表示电流，k为比例常数。
这个模型在电路中非常重要，它描述了电阻对电流的阻碍作用。
四、人口增长与资源消耗模型人口增长与资源消耗成反比例函数的模型可以表示为P=k/R，其中P表示人口数量，R表示资源消耗，k为比例常数。
这个模型可以用来研究人口爆炸对资源的需求与消耗关系。
五、物体质量与重力加速度模型物体质量与重力加速度成反比例函数的模型可以表示为m=k/g，其中m表示物体质量，g表示重力加速度，k为比例常数。
这个模型可用于计算物体在不同重力场中的质量。
六、电压与电流模型电压与电流成反比例函数的模型可以表示为V=k/I，其中V表示电压，I表示电流，k为比例常数。
这个模型在电路分析中广泛使用，它描述了电阻对电流和电压的影响。
总结起来，反比例函数具有多种模型，分别应用于速度与时间关系、密度与体积关系、电阻与电流关系、人口增长与资源消耗关系、物体质量与重力加速度关系以及电压与电流关系。
这些模型在不同领域有着广泛的应用，帮助我们理解和解决实际问题。
反比例函数常见几何模型
反比例函数常见模型一、知识点回顾1..反比例函数的图像是双曲线，故也称双曲线y=kx （k≠0）．其解析式有三种表示方法：①xk y =（0≠k ）；②1-=kx y （0≠k ）；③k xy = 2．反比例函数y=kx（k≠0）的性质 （1）当k>0时⇔函数图像的两个分支分别在第一，三象限内⇔在每一象限内，y 随x 的增大而减小． （2）当k<0时⇔函数图像的两个分支分别在第二，四象限内⇔在每一象限内，y 随x 的增大而增大．（3）在反比例函数y=kx中，其解析式变形为xy=k ，故要求k 的值(也就是求其图像上一点横坐标与纵坐标之积).（4）若双曲线y=k x图像上一点（a ，b ）满足a ，b 是方程Z 2－4Z －2=0的两根，求双曲线的解析式．由根与系数关系得ab=－2，又ab=k ，∴k=－2，故双曲线的解析式是y=2x-．（5）由于反比例函数中自变量x 和函数y 的值都不能为零，所以图像和x 轴，y 轴都没有交点，但画图时要体现出图像和坐标轴无限贴近的趋势．二、新知讲解与例题训练 模型一：如图，点A 为反比例函数xk y =图象上的任意一点，且AB 垂直于x 轴，则有2||k S OAB =∆ 例1：如图ABC Rt ∆的锐角顶点是直线y=x+m 与双曲线y=xm在第一象限的交点，且3=∆AOB S ,（1）求m 的值（2）求ABC ∆的面积 变式题1、如图所示，点1A ,2A ,3A 在x 轴上，且O 1A =21A A =32A A ,分别过1A ,2A ,3A 作y 轴平行线，与反比例函数y=x8(x>0)的图像交于点1B ,2B ,3B ，分别过点1B ,2B ,3B 作x 轴的平行线，分别与y 轴交于点1C ,2C ,3C ,连结321,,OB OB OB ,那么图中阴影部分的面积之和为__________ 2、如图，点A 在双曲线1y x =上，点B 在双曲线3y x=上，且AB ∥x 轴，C 、D 在x 轴上，若四边形ABCD 为矩形，则它的面积为.模型二：如图：点A 、B 是双曲线)0(≠=k xky 任意不重合的两点，直线AB 交x 轴于M 点，交y 轴于N 点，再过A 、B 两点分别作y AD ⊥轴于D 点，x BF ⊥轴于F 点，再连结DF 两点，则有：AB DF ||且BM ＝AN例2：如图，一次函数y a x b =+的图象与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，与反比例函数ky x=的图象相交于C ，D 两点，分别过C ，D 两点作y 轴，x 轴的垂线，垂足为E ，F ，连接CF ，DE ．有下列四个结论：①DEF CEF S S ∆∆=；②AOB ∆相似于FOE ∆；③△DCE ≌△CDF ；④AC BD =其中正确的结论是．（把你认为正确结论的序号都填上）例3：一次函数y ax b =+的图象分别与x 轴、y 轴交于点,M N ，与反比例函数ky x=的图象相交于点,A B ．过点A 分别作AC x ⊥轴，AE y ⊥轴，垂足分别为,C E ；过点B 分别作BF x ⊥轴，BD y ⊥轴，垂足分别为F D ，，AC 与BD交于点K ，连接CD ．（1）若点A B ，在反比例函数ky x=的图象的同一分支上，如图1，试证明： ①AEDK CFBK S S =四边形四边形；②AN BM =． （2）若点A B ，分别在反比例函数ky x=的图象的不同分支上，如图2，则AN 与BM 还相等吗？试证明你的结论．模型三：如图，已知反比例函数ky x=（k ≠0，x>0）上任意两点P 、C ，过P 做PA ⊥x 轴，交x 轴于点A ，过C 做CD ⊥x 轴，交x 轴于点D ，则OPC PADC S S ∆=梯形. 例4：如图，在直角坐标系中，一次函数y =k 1x+b 的图象与反比例函数2ky x=的图象交于A (1,4)、B (4，1)两点，则△AOB 的面积是______.例5：如图，在直角坐标系中，一次函数1y k x b =+的图象与反比例函数2k y x=的图象交于A （1,4）、B （3，m ）两点，则△AOB 的面积是______.例6：如图1，已知直线12y x =与双曲线(0)ky k x=>交于A 、B两点，且点A 的横坐标为4．y xDCA B O FE图1图2 DF A BDF MNxyO（1）求k 的值；（2）如图2，过原点O 的另一条直线l 交双曲线(0)ky k x=>于C 、D 两点（点C 在第一象限且在点A 的左边），当四边形ACBD 的面积为24时，求点C 的坐标．模型四：在矩形AOBC 中，OB =a ，OA =b ，分别以OB ，OA 所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是BC 上的一个动点（不与B 、C 重合），过F 点的反比例函数(0)k y x x=>的图象与AC 边交于点E ，则CE aCF b=. 例7：两个反比例函数k y x =和1y x =在第一象限内的图象如图所示，点P 在ky x =的图象上，PC ⊥x 轴于点C ，交1y x =的图象于点A ，PD ⊥y 轴于点D ，交1y x =的图象于点B ，当点P 在ky x=的图象上运动时，以下结论：①△ODB 与△OCA 的面积相等；②四边形P AOB 的面积不会发生变化；③P A 与PB 始终相等；④当点A 是PC 的中点时，点B 一定是PD 的中点．其中一定正确的是_________（把你认为正确结论的序号都填上）． 课堂练习： 一、选择题1、已知m<0，则函数mx y =1与xmy -=2的图像如图，大致是（）A.B.C.D2、如图，点A 在双曲线xy 6=上，且OA=4,过点 A 作AC ⊥x 轴，垂足为c ，OA 的垂直平分线交OC 于B,则ABC ∆的周长为（） A.72 B.5 C.74 D.22 3、如图，双曲线xky =（k>0）经过矩形OABC 的边BC 的中点E ，交AB 于点D ，若梯形ODBC 的面积为3，则双曲线的解析式为（） A.x y 1=B.x y 2=C.x y 3=D.xy 6= 题3题4题54、如图，A,B 是函数xy 2=的图像上关于原点对称的任意两点，BC//x 轴，AC//y 轴，ABC ∆的面积记为S ，则S （）A.S=2B.S=4C.2<S<4D.S>45、如图所示，等腰直角三角形ABC 位于第一象限，AB=AC=2，直角顶点A 在直线y=x 上，其中A 点的横坐标为1，且两条直角边AB ，AC 分别平行于x 轴，y 轴，若双曲线y=kx（k≠0）与△ABC 有交点，则k 的取值范围是（）A ．1<k<2B ．1≤k≤3C．1≤k≤4D．1≤k<4 二、填空题1、如图，点A 在双曲线1y x =上，点B 在双曲线3y x=上，且AB ∥x 轴，C 、D 在x 轴上，若四边形ABCD 为矩形，则它的面积为. 2、如图，双曲线)0(2x xy =经过四边形OABC 的顶点A 、C ，∠ABC ＝90°，OC 平分OA 与x 轴正半轴的夹角，AB ∥x 轴，将△ABC 沿AC 翻折后得到△AB ＇C ，B ＇点落在OA 上，则四边形OABC 的面积是 . 3、如图，将一块直角三角板OAB 放在平面直角坐标系中，B （2，0），∠AOB ＝60°，点A 在第一象限，过点A 的双曲线为y =x)，在x 轴上取一点P ，过点P 作直线OA 的垂线l ，以直线l 为对称轴，线段OB 经轴对称变换后的像是O ′B ′.（1）当点O ′与点A 重合时，点P 的坐标是 .（2）设P （t ，0）,当O ′B ′与双曲线有交点时，t 的取值范围是. 4、如图，已知双曲线(0)ky k x=<经过直角三角形OAB 斜边OA 的中点D ，且与直角边AB 相交于点C ．若点A 的坐标为（6-，4），则△AOC 的面积为.5、双曲线1y 、2y 在第一象限的图像如图，14y x=， 过1y 上的任意一点A ，作x 轴的平行线交2y 于B ， 交y 轴于C ，若1AOB S ∆=，则2y 的解析式是．课后习练一、填空题1、如图，直线y=kx （k>0）与双曲线y=4x交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，则2x 1y 2－7x 2y 1的值等于_______． 2、反比例函数y=k x的图像上有一点P （a ，b ），且a ，b 是方程t 2－4t －2=0的两个根，则k=_______；点P 到原点的距离OP=_______．3、已知双曲线xy=1与直线y=－x+b 无交点，则b 的取值范围是______．4、反比例函数y=kx的图像经过点P （a ，b ），其中a ，b 是一元二次方程x 2+kx+4=0的两个根，那么点P 的坐标是_______． 5、如图，已知双曲线)0k (xky ＞=经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB相交于点C ．若△OBC 的面积为3，则k ＝___．第5题图第6题图 6、如图，已知点A 是一次函数y=x 的图像与反比例函数y=2x的图像在第一象限内的交点，点B 在x 轴的负半轴上，且OA=OB ，那么△AOB 的面积为（）A ．2B ．22C ．2D ．22 ABCDEyxO7、已知P为函数y=2x的图像上一点，且P到原点的距离为3，则符合条件的P点数为（）A．0个B．2个C．4个D．无数个。
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反比例函数常见模型一、知识点回顾1..反比例函数的图像是双曲线，故也称双曲线y=kx（k≠0）．其解析式有三种表示方法：①xk y =（0≠k ）；②1-=kx y （0≠k ）；③k xy = 2．反比例函数y=kx（k≠0）的性质（1）当k>0时⇔函数图像的两个分支分别在第一，三象限内⇔在每一象限内，y 随x 的增大而减小．（2）当k<0时⇔函数图像的两个分支分别在第二，四象限内⇔在每一象限内，y 随x 的增大而增大．（3）在反比例函数y=kx中，其解析式变形为xy=k ，故要求k 的值(也就是求其图像上一点横坐标与纵坐标之积).（4）若双曲线y=kx图像上一点（a ，b ）满足a ，b 是方程Z 2－4Z －2=0的两根，求双曲线的解析式．由根与系数关系得ab=－2，又ab=k ，∴k=－2，故双曲线的解析式是y=2x-．（5）由于反比例函数中自变量x 和函数y 的值都不能为零，所以图像和x 轴，y 轴都没有交点，但画图时要体现出图像和坐标轴无限贴近的趋势．二、新知讲解与例题训练 模型一：如图，点A 为反比例函数xk y =图象上的任意一点，且AB 垂直于x 轴，则有2||k S OAB =∆例1：如图ABC Rt ∆的锐角顶点是直线y=x+m 与双曲线y=xm在第一象限的交点，且3=∆AOB S ,（1）求m 的值 （2）求ABC ∆的面积变式题1、如图所示，点1A ,2A ,3A 在x 轴上，且O 1A =21A A =32A A ,分别过1A ,2A ,3A 作y 轴平行线，与反比例函数y=x8(x>0)的图像交于点1B ,2B ,3B ，分别过点1B ,2B ,3B 作x 轴的平行线，分别与y 轴交于点1C ,2C ,3C ,连结321,,OB OB OB ,那么图中阴影部分的面积之和为__________2、 如图，点A 在双曲线1y x =上，点B 在双曲线3y x=上，且AB ∥x 轴，C 、D 在x 轴上，若四边形ABCD 为矩形，则它的面积为 .模型二：如图：点A 、B 是双曲线)0(≠=k xk y 任意不重合的两点，直线AB 交x 轴于M点，交y 轴于N 点，再过A 、B 两点分别作y AD ⊥轴于D 点，x BF ⊥轴于F 点，再连结DF 两点，则有：AB DF ||且BM ＝ANDFABDF MNxy O例2：如图，一次函数y a x b =+的图象与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，与反比例函数ky x=的图象相交于C ，D 两点，分别过C ，D 两点作y 轴，x 轴的垂线，垂足为E ，F ，连接CF ，DE ．有下列四个结论：①DEF CEF S S ∆∆=；②AOB ∆相似于FOE ∆；③△DCE ≌△CDF ；④A C B D =其中正确的结论是 ．（把你认为正确结论的序号都填上）例3：一次函数y ax b =+的图象分别与x 轴、y 轴交于点,M N ，与反比例函数ky x=的图象相交于点,A B ．过点A 分别作AC x ⊥轴，AE y ⊥轴，垂足分别为,C E ；过点B 分别作BF x ⊥轴，BD y ⊥轴，垂足分别为F D ，，AC 与BD 交于点K ，连接CD ．（1）若点A B ，在反比例函数ky x=的图象的同一分支上，如图1，试证明： ①AEDK CFBK S S =四边形四边形；②AN BM =． （2）若点A B ，分别在反比例函数ky x=的图象的不同分支上，如图2，则AN 与BM 还相等吗？试证明你的结论．y x DC A B O F E图 1图2模型三：如图，已知反比例函数ky x=（k ≠0，x>0）上任意两点P 、C ，过P 做PA ⊥x 轴，交x 轴于点A ，过C 做CD ⊥x 轴，交x 轴于点D ，则OPC PADC S S ∆=梯形.例4：如图，在直角坐标系中，一次函数y =k 1x+b 的图象与反比例函数2k y x=的图象交于A (1,4)、B (4，1)两点，则△AOB 的面积是______.例5：如图，在直角坐标系中，一次函数1y k x b =+的图象与反比例函数2ky x=的图象交于A （1,4）、B （3，m ）两点，则△AOB 的面积是______.例6：如图1，已知直线12y x =与双曲线(0)ky k x=>交于A 、B 两点，且点A 的横坐标为4． （1）求k 的值；（2）如图2，过原点O 的另一条直线l 交双曲线(0)ky k x=>于C 、D 两点（点C 在第一象限且在点A 的左边），当四边形ACBD 的面积为24时，求点C 的坐标．模型四：在矩形AOBC 中，OB =a ，OA =b ，分别以OB ，OA 所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是BC 上的一个动点（不与B 、C 重合），过F点的反比例函数(0)ky x x =>的图象与AC 边交于点E ，则CE a CF b=.例7：两个反比例函数k y x =和1y x=在第一象限内的图象如图所示，点P 在k y x =的图象上，PC ⊥x 轴于点C ，交1y x =的图象于点A ，PD ⊥y 轴于点D ，交1y x =的图象于点B ，当点P 在ky x=的图象上运动时，以下结论：①△ODB 与△OCA 的面积相等；②四边形P AOB 的面积不会发生变化；③P A 与PB 始终相等；④当点A 是PC 的中点时，点B 一定是PD 的中点．其中一定正确的是 _________（把你认为正确结论的序号都填上）．课堂练习： 一、选择题1、已知m<0，则函数mx y =1与xmy -=2的图像如图，大致是（ ）xB FC E A OyA. B. C. D 2、如图，点A 在双曲线xy 6=上，且OA=4,过点 A 作AC ⊥x 轴，垂足为c ，OA 的垂直平分线交OC 于B,则ABC ∆的周长为（ ）A.72B.5C.74D.22 3、如图，双曲线xky =（k>0）经过矩形OABC 的边BC 的中点E ，交AB 于点D ，若梯形ODBC 的面积为3，则双曲线的解析式为（ ） A.x y 1=B. x y 2=C. x y 3=D. xy 6=题 3 题 4 题54、如图，A,B 是函数xy 2=的图像上关于原点对称的任意两点，BC//x 轴，AC//y 轴，ABC ∆的面积记为S ，则S （ ）A.S=2B.S=4C.2<S<4D.S>45、如图所示，等腰直角三角形ABC 位于第一象限，AB=AC=2，直角顶点A 在直线y=x 上，其中A 点的横坐标为1，且两条直角边AB ，AC 分别平行于x 轴，y 轴，若双曲线y=k x（k≠0）与△ABC 有交点，则k 的取值范围是（ ）A ．1<k<2B ．1≤k≤3C ．1≤k≤4D ．1≤k<4二、填空题DB AyxO C1、如图，点A 在双曲线1y x =上，点B 在双曲线3y x=上，且AB ∥x 轴，C 、D 在x 轴上，若四边形ABCD 为矩形，则它的面积为.2、如图，双曲线)0(2x xy =经过四边形OABC 的顶点A 、C ，∠ABC ＝90°，OC 平分OA 与x 轴正半轴的夹角，AB ∥x 轴，将△ABC 沿AC 翻折后得到△AB ＇C ，B ＇点落在OA 上，则四边形OABC 的面积是 .3、如图，将一块直角三角板OAB 放在平面直角坐标系中，B （2，0），∠AOB ＝60°，点A 在第一象限，过点A 的双曲线为y = k x，在x 轴上取一点P ，过点P 作直线OA 的垂线l ，以直线l 为对称轴，线段OB 经轴对称变换后的像是O ′B ′. （1）当点O ′与点A 重合时，点P 的坐标是 .（2）设P （t ，0）,当O ′B ′与双曲线有交点时，t 的取值范围是.4、如图，已知双曲线(0)ky k x=<经过直角三角形OAB 斜边OA 的中点D ，且与直角边AB 相交于点C ．若点A 的坐标为（6-，4），则△AOC 的面积为 .5、双曲线1y 、2y 在第一象限的图像如图，14y x=， 过1y 上的任意一点A ，作x 轴的平行线交2y 于B ，交y 轴于C ，若1AOB S ∆=，则2y 的解析式是 ．课后习练一、填空题1、如图，直线y=kx （k>0）与双曲线y=4x交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，则2x 1y 2－7x 2y 1的值等于_______．2、反比例函数y=kx的图像上有一点P （a ，b ），且a ，b 是方程t 2－4t －2=0的两个根，则k=_______；点P 到原点的距离OP=_______．3、已知双曲线xy=1与直线y=－x+b 无交点，则b 的取值范围是______．4、反比例函数y=kx的图像经过点P （a ，b ），其中a ，b 是一元二次方程x 2+kx+4=0的两个根，那么点P 的坐标是_______． 5、如图，已知双曲线)0k (xky ＞=经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 相交于点C ．若△OBC 的面积为3，则k ＝___．第5题图 第6题图像与反比例函数y=2x的图6、如图，已知点A 是一次函数y=x 的图像在第一象限内的交点，点B 在x 轴的负半轴上，且OA=OB ，那么△AOB 的面积为（ ） A ．2 B ．22C ．2D ．22 7、已知P 为函数y=2x的图像上一点，且P 到原点的距离为3，则符合条件的P 点数为（ ） ABCD EyxOA．0个B．2个C．4个D．无数个。