玻色统计和费米统计

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第八章 玻色统计和费米统计
复习. Boltzmann 统计，玻色统计和费米统计。
玻耳兹曼系统：粒子可以分辨，每一个个体量子态能够容纳的粒 子数不受限制。 玻色系统：粒子不可分辨，每一个个体量子态能够容纳的粒子数 不受限制。 费米系统：粒子不可分辨，每一个个体量子态最多能够容纳一个 粒子。
玻耳兹曼统计是假设系统由大量全同近独立的粒子组成， 具有确 定的粒子数 N ，能量 E ，体积 V . 能级： 简并度: 离子数:
al
ωl
<< 1 ，
又叫做非
简并条件）都遵从玻耳兹曼分布。不满足上述条件的系统遵从玻 色统计分布或者费米统计分布。
玻色统计分布满足
al =
ωl
e
α + β El
−1
， 费米统计分布满足。 al
= E 确定。
=
ωl
e
α + β El
+1
系数 α 与 β 由 ∑ al = N 与
l
∑a E
l l
l
8.1 热力学量的统计表达式
U=
V π 2c3
∞
∫
0
ηω 3 dω e
ηω kT
=
π 2k 4
15c η
3 3
VT 4 。
−1
和热力学结果一致，区别在于热力学中比例系数由实验确定。而 统计物理可以直接求出比例系数。 2．由普朗克公式看出，辐射场的内能密度 U (ω , T ) 随频率 ω 的分布 有一个极大值 ω m ， 用数值计算方法可以求得 出 ω m 与温度成正比，这就是维恩位移定理。
S = k (ln Ζ + βU ) =
U
平衡辐射的通量密度 J u 与内能
的关系为 J u =
习题 (1).证明对于玻色系统与费米系统 S = k ln Ω 证明如下: 对于玻色系统由公式:
al =
ωl
e
α + β El
−1 ,
∑a
l
l
=N
,
∑a E
l l
l
= E Ζ = ∏ (1 − e −α − βEl ) −ωl
= 3 1 NkT (1 ± nλ 3 ) 2 4 2g
第一项是由玻耳兹曼分布得到的内能，第二项是由微观 粒子的全同性原理引起的量子统计关联所导致的附加内能， 在弱简并条件下，附加内能是小的。玻色气体是正的，费米 气体是负的，可见，费米粒子间出现等效的排斥作用，玻色 粒子间出现等效的吸引作用。
8.3 玻色爱因斯坦凝结
E1 ， E 2 ，
El ，
ω1 ， ω 2 ，
a1 ， a 2 ，
ωl ，
al ，
l
则在能级 El 上的粒子数为 al = ωl e −α = βE ， 系数 α 与 β 由 ∑ al
l
=N与
∑a E
l l
l
= E 确定。
定域系统（由定域粒子组成的系统）与满足经典极限条件的玻色 （费米）系统（ eα >> 1 ， 或者对于所有的 l ,
p = ηk ，
ε = ηω ，
因为
ω = ck ， 所以， ε = cp
al =
对于平衡辐射, 光子数量不守恒，所以
ωl
e
βε l
−1
， μ = 0，
光子的化学势为零. 考虑到光子有两个自旋方向， 所以动量在
p 到 p + dp 内光子的量子态数为
8πV 2 p dp ， h3
或者
V 光 ω 2 dω ， 2 3 π c
s
证明： 因为，
fs = 1 e α + βE s + 1
N = ∑ al = ∑ f s
l s
U = ∑ f s E s ， S = k (ln Ζ + αN + βU ) ，
s
， 由这些公式可以得到： α + βE s = ln(1 − f s ) − ln f s ，
1 + e −α − βEs =
l
l
l
如果已知巨配分函数 Ζ , 则可以按以下的公式求得热力学量.
N =− ∂ ln Ζ ∂α
,
Y =−
1 ∂ ln Ζ β ∂y 1 kT
,
μ
kT
U =−
∂ ln Ζ ∂β
,
S = k ln Ω
= − kT ln Ζ
,
S = k (ln Ζ + αN + βU ) ,
β=
,
α =−
, 巨热力学函数 J
目的 1： 了解
8.4 光子气体
目的 1： 根据玻色分布讨论平衡辐射(黑体辐射)问题,
推导出平衡辐射问题的普朗克公式， 瑞利-金斯公式， 维恩公式。
1． 推导普朗克公式如下
平衡辐射问题可以看成是光子气体.设光子的动量为 p , 能量为 ε , 它对应的单色平面波的波矢 k ,圆频率 ω 存在如下的 德布罗意关系.
如果
3． 推导维恩公式如下
如果 公式：
ηω >> 1 (高频范围), kT
普朗克公式就变为维恩
− V U (ω , T )dω = 2 3 ηω 3 e kT dω 。 π c
ηω
4. 普朗克公式与实验符合, 瑞利-金斯公式在低频范围内与实验 符合. 维恩公式在高频范围内与实验符合. 目的 2： 根据平衡辐射问题的普朗克公式，推导热力学量的表 达式 1．应用普朗克公式可以求得空窖辐射（黑体辐射）的内能为
ηω m 可以看 ≈ 2.822 。 kT
3．由玻色统计巨配分函数的定义通过积分可以求出光子气体的 巨配分函数
ln Ζ =ຫໍສະໝຸດ π 2V45c3
(
1 3 ) βη
4. 由玻色统计的热力学公式可以求的热力学量
π 2 k 4V 4 ∂ U =− ln Ζ = T ∂β 15c 3 η3
p= 1 ∂ π 2k 4 4 ln Ζ = T β ∂V 45c 3 η3 4π 2 k 4V 4 T V 45c 3 η3 cU cV
,
l
, S = k (ln Ζ + αN + βU ) , 可以变为
− ∑ ω l ln
l
ln Z = −∑ ω l ln
l
ωl
al + ω l
ωl
al + ω l
，又因为 ln Ω ≈ k[
+ ∑ (α + β El )al
l
]
最后可以得到 S = k (ln Ζ + αN + βU ) = k ln Ω 。 同样可以证明对于费米系统有相同得结论。 （2） 证明对于费米系统有 S F , D = −k ∑ [ f s ln f s + (1 − f s ) ln(1 − f s )]
子数为
V ω 2 dω . ω π 2c3 η e kT − 1
辐射场中内能 U (ω , T ) 随频率 ω 的分布关系 这就是普朗克公式。
为: Udω =
V ηω 3 dω ， ω π 2c3 η kT e −1
2． 推导瑞利-金斯公式如下
ηω << 1 (低频范围), 普朗克公式就变为瑞利-金 kT V 斯公式： U (ω , T )dω = 2 3 ω 2 kTdω 。 π c
目的 1： 引入玻色系统与费米系统的巨配分函数 Ζ ，通过巨配
分函数求系统的热力学量，如粒子数 N ，内能 U ，广义力 Y ，熵 S 等。 1. 主要内容如下： 玻色统计巨配分函数是 Ζ = ∏ (1 − e −α − βE ) −ω
l l
l
费米统计巨配分函数是 Ζ = ∏ (1 + e −α − βE ) ω
1 ， 所以最后可由公式 1− fs
S = k (ln Ζ + αN + βU ) = k[∑ ln(1 + e −α − βEs ) + ∑ αf s + ∑ β f s E s ] ，化简可得
s s s
S F , D = −k ∑ [ f s ln f s + (1 − f s ) ln(1 − f s )]
8.2 弱简并理想玻色气体和费米气体
目的 1： 了解弱简并的定义, 并且初步了解玻色气体和费米 气体的差异. 主要内容如下： 非简并条件是 eα >> 1 (nλ3 << 1) ， 或者对于所有的 l ,
al
ωl
<< 1 ，
弱简并条件是 e −α 或者 nλ3 小但是不能忽略, 由量子统计理论可以得到 U