函数的极限

三、函数极限的性质
y
A
A
A
y f (x)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
o
x0 x0 x0
x
例5
局部保号 性
三、函数极限的性质
一致性
若在x0附近有f
(x)
g(x),且 lim x x0
f
(x)
A,
lim g(x) B,则A B
x x0
思考：去掉“=”还成立吗？
四、小结
1.函数极限的概念、性质 2.函数极限存在的充要条件
观察函数 sin x 当 x 时的变化趋势. x
1. 自变量趋向无穷大时函数的变化趋势
观察函数 sin x 当 x 时的变化趋势. x
当x 无限增大时，f (x) sin x 的值无限逼近0。 x
即，当x 时，f ( x) sin x 0。 x
并称0为x 时，f ( x) sin x 的极限，记为 x
思考与总结: 在一点处极限与函数值的关系?
二、函数在无穷远处的极限
1. 自变量趋向无穷大时函数的变化趋势
观察函数 sin x 当 x 时的变化趋势. x
二、函数在无穷远处的极限
1. 自变量趋向无穷大时函数的变化趋势
观察函数 sin x 当 x 时的变化趋势. x
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1. 自变量趋向无穷大时函数的变化趋势
1.4 函数的极限 (limit of function)
1. x x0时函数极限的直观描述
考虑x无限逼近1时，f (x) x 1的变化趋势。
2
记为 lim(x 1) 2.
1
x1
0
1
考虑x无限逼近1时，f ( x) x2 1的变化趋势。 x1
记为
x2 1
lim
2.
x1 x 1
2
1 0
lim
x x0
f (x)
A或f
(x)
A( x
x0 )
ε 0,δ 0,使当0 x x0 δ时, 恒有 f (x) A ε .
注意
1.函数极限与f (x)在点x0是否有定义或 取值都无关;
2.正数的任意性与给定性.
3.的相应性与不唯一性
4. 几何解释:
y
当x在x
的去
0
心邻
A
域时,函数y f ( x) A
1
例 lim(1 ) 1,
x
x
直线y 1是曲线y 1 1 的水平渐近线。 x
特别注意----双侧与单侧极限
例
lim
x
x 1，lim x 1,
x2 1
x x2 1
y 1
0
x
-1
三、函数极限的性质
三、函数极限的性质 局部有界性
设 则存在 M 0, 和 U 0 ( x0 ) , x U 0 ( x0 ) 有 f (x) M
五、作业
>0 >0 当 0<|xx0|< 有|f(x)A|<
例1
证明 因为>0 >0 当0|xx0| 时 都有 |f(x)A||cc|0
分析: |f(x)A||cc|0.
>0 >0 当0|xx0| 时 都有|f(x)A|
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>0 >0 当 0<|xx0|< 有|f(x)A|<
1. 自变量趋向无穷大时函数的变化趋势
观察函数 sin x 当 x 时的变化趋势. x
1. 自变量趋向无穷大时函数的变化趋势
观察函数 sin x 当 x 时的变化趋势. x
1. 自变量趋向无穷大时函数的变化趋势
观察函数 sin x 当 x 时的变化趋势. x
1. 自变量趋向无穷大时函数的变化趋势
观察函数 sin x 当 x 时的变化趋势. x
1. 自变量趋向无穷大时函数的变化趋势
观察函数 sin x 当 x 时的变化趋势. x
1. 自变量趋向无穷大时函数的变化趋势
观察函数 sin x 当 x 时的变化趋势. x
1. 自变量趋向无穷大时函数的变化趋势
观察函数 sin x 当 x 时的变化趋势. x
2. 自变量趋向无穷大时函数的极限定义 描述性极限定义
设对给定的常数A，当x无限逼近时， 函数f (x)无限逼近A,则称A为x 时f (x)的极 限，记为
易知：
几何意义
若极限lim f ( x) A存在，则称直线y A为 x
曲线y f (x)的水平渐近线。
说明
函数在无穷远处存在极限的几何意义就是它 的图像有水平渐近线.
图形完全落在以直 A
线y A为中心线,
宽为2的带形区域内. o
y f (x)
x0 x0 x0
x
显然,找到一个后, 越小越好.
5. 函数的单侧极限
6. 单侧极限与极限的关系
说明: (1) 考察分段函数在分界点处极限， 必须求左右极限，只有二者都存在且相等 时极限才存在。 (2) 定理的作用: 用来证明函数在一点的极 限不存在.
例3 设
例4 函数 当x0时的极限不存在 这是因为
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思考与练习
5 3x, x 1
12. .设f (x) 3 x,1 x 2,
x 5, x 2
考察 lim f (x), lim f (x)
x1
x2
思考与总结: 极限不存在的有几种情况?
总结: 函数极限存在的两个充要条件
1. lim f ( x) A x x0 0 , 0 , 使当0 x x0 时, 恒有 f (x) A .
1
2. 函数极限的描述性定义 （描述性定义）
设f x在U 0( x0 )内有定义，A是一个
常数。如果当自变量x无限逼近x0时，函数
f ( x)无限逼近A,则称当x x0时，f ( x)的
极限A, 记为
引出函数极限精确定义
问题:函数 y f ( x)在 x x0的过程中,对应 函数值 f ( x)无限趋近于确定值 A.
当|xx0|小于某一正数后 |f(x)A|能小于给定的 正数
任给 0 存在 0 使当|xx0| 时 有|f(x)A|
3. 函数极限的描述性定义
如果对于任意给定的正数 (不论它多 么小 ), 总存在正数 ,使得对于适合不等式 0 x x0 的一切x,对应的函数值f ( x)都 满足不等式 f ( x) A ,那末常数 A就叫函数 f ( x)当 x x0时的极限 ,记作
f ( x) A 表示 f ( x) A任意小;
0 x x0 δ 表示x x0的过程.
x0
x0
x0 x
点x0的去心邻域, 体现x接近x0程度.
如果当x无限地接近于x0时 函数f(x)的值无限 地接近于常数A 则常数A就叫做函数f(x)当xx0时 的极限
分析: 当xx0时 f(x)A 当|xx0|0时 |f(x)A|0