ch2质点的运动定理

y
a2 T
T
a1 2m1 m2 T ( g a) P1 y m1 m2
P2 0
又解：以电梯为参考系
两物体相对于电梯的加速度为 ar
0
T
ar P1 y m1a
y
T ar
m1 g m1a T m1ar m2 g m 2 a T m 2 a r
m1 m2 ar ( g a) m1 m2 2m1 m2 T ( g a) m1 m2
(inertial system)。在此参考系中，一个不受力作用的物体将保 持静止或作匀速直线运动。 相对于已知惯性系做匀速直线运动的参考系都是惯性系。
2. 非惯性系：凡是相对于惯性系作加速运动的参考系，叫非
惯性参考系，简称非惯性系。
实际中所用到的近似惯性系 地面参考系、地心参考系、太阳参考系
1 7.3 10 rad/s
ar
解：以地面为参考系
设两物体相对于地面的加速度分别 为 a1、 a 2 ，且相对电梯的加速度为 a r
ar
m1 m 2
0
a
m1 g T m1a1 a1 ar a m2 g T m 2 a 2 a2 ar a
m1 m2 ar ( g a) m1 m2
解：以地面为参考系 画受力图、选取坐标如图
m1
T
m2
m1 g T m1a m2 g T m2 a
0
y
a
T
m1 m2 2m1 m2 a g T g m1 m2 m1 m2
a
P1 y P2 0
(2) 若将此装置置于电梯顶部，当电梯 以加速度 a 相对地面向上运动时，求两 物体相对电梯的加速度和绳的张力。
g
v T mg cos m l dv mg sin m dt θ
2
v2 T m l
θ
mg
v T’ g
T v
mg 下落之前
mg 下落中（木板参考系）
例 阿特伍德机 (1) 如图所示滑轮和绳子的质量均不计， 滑轮与绳间无相对滑动，以及滑轮与轴 间的摩擦力不计。且 m1 m2 。求重物 释放后，物体的加速度和绳的张力。
符合伽利略 相对性原理
1. 加速平动的非惯性系
平移惯性力
两个平动参考系之间的加速度变换
a a a0
在惯性系 S 系中牛顿定律成立
F ma
惯性力 Fi ma0
在非惯性系中牛二定理 在形式上被恢复了
在非惯性系S’系中有
或
F m ( a a0 ) F ma0 ma
Fi
Fi ma0
T sin Fi 0 T cos mg 0
a0 arctan g
讨论题 一单摆挂在木板的小钉上（单摆的质量 << 木板的质 量）。木板可沿两竖直无摩擦的轨道下滑，开始木板被 托住，使单摆摆动，当摆球未达到最高点时，移开支撑 物，木板自由下落，则在自由下落的过程中，摆球相对 于木板： (1) 作匀速率圆周运动 (2) 静止 (3) 仍作单摆运动 (4) 作上述情况以外的运动
P2 0 m2 a
2. 转动的非惯性系 弹性力
惯性离心力
2 F man m r
Fi F
在转盘参考系上，a 0 ： F Fi 0
2 Fi m r man
惯性离心力
r
注意：向心力与惯性离心力不是一对作用力与反作用力
例2.1-11 一环穿在光滑棒上，棒绕竖直轴以匀角速 ω 转动，棒始终与竖直方向成 角，求环的平衡位置。( 即求 l 的值)
F Fi ma
F Fi ma
在非惯性系中，质点受到的 总有效力——―真实的”力 F 与“假想的”惯性力 Fi 的矢 量和。
不是由物体的相互作用引起 的，而是在非惯性系中能沿 用牛顿定律而引入的。
Fi ma0
a0
光滑桌面
Fi ma0
5
2 2.0 10 rad/s
7
3 8.0 1016 rad/s
不可能在惯性系的内部进行任何力学实验，来确定该 系统的物理状态。即对于力学规律来说，一切惯性系 都是等价的。
在经典力学的范畴内，
m m F F a a F ma F ma
课堂习题
gx dv g v xdx vdv l dx l
v g 积分 l0 O xdx vdv l0 l 0 A g 2 x g 2 2 2 x v x |l 0 ( x l 0 ) l l g 2 2 得： v ( x l 0 ) 绳子的速度随下垂部分长度 x 的增加 而增大，还与初始下垂长度 l0 有关。 l x
第三节 牛顿运动定律
2.1
Newton’s law of motion
英国物理学家，经典物 理学的奠基人。 他对力 学、光学、天文学和数 学等学科都有重大发现， 其代表作《自然哲学的 数学原理》是力学的经 典著作。牛顿是近代自 然科学奠基时期具有集 前人之大成的贡献的伟 大科学家。
Isaac Newton
ω
解：在转动的木棒上，环静止，故
N sin mg N cos m 2 r m 2 l sin

y N r
l
sin g 2 cos l sin
得：
x
g cos l 2 2 sin
m 2 r
mg

例2.1-12
FT dFT
A
0
O
FT ( x ) ?
课堂习题
l0 O A
x
在光滑的桌面上有一光滑的小孔，一匀质绳子 通过小孔而下垂，由于下垂部分绳子的质量，绳子将逐渐通过 小孔而下落。设已知绳子全长为 l，开始时刻速度为零，下垂部 分长 l0，求绳子下滑的速度与下落长度 x 的关系 v( x ) 。
课堂习题
m 绳子所受的合外力为 xg （ l 列出牛二方程：
定对象 随堂练习 看运动
续练习一
查受力
列方程
匀角速椭圆运动
F 恒与 r 反向
随堂练习四
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随堂练习二
在光滑的桌面上有一光滑的小孔，一匀质绳子 通过小孔而下垂，由于下垂部分绳子的质量，绳子将逐渐通过 小孔而下落。设已知绳子全长为 l，开始时刻速度为零，下垂部 分长 l0，求绳子下滑的速度与下落长度 x 的关系 v( x ) 。
FT FT
x x dx
FT dFT
l
x
dFT ( x ) dm 2 x 0 dFT ( x ) dm 2 x
m 2 l FT dFT ( x ) l x xdx
0
m dFT ( x ) dx 2 x l
m 2 2 FT ( x ) ( l x 2 ) 2l
例如 直角坐标投影式
x
ax
,
y
t
ay at
, ,
z n
az an
自然坐标投影式
牛顿运动定律将质点运动规律进一步与力联系起来， 属动力学问题。质点动力学中也有两类基本问题。
一般方法
动力学两类问题
第 一 类
第 二 类
常用的分析方法与步骤
定对象 随堂练习 看运动
随堂练习一
查受力
列方程
常用的分析方法与步骤
讨论题2
在门窗都关好的行驶的汽车内，漂浮着一个氢气球，当汽车向左转 弯时，氢气球在车内将向左还是向右运动？
为绳子的质量线密度），
xg ma la
故
gx dv a l dt
dv dv dx dv a v dt dx dt dx
l0 O A
x 初始时端点 A，x0 = l0， v0 = 0。
又
在光滑的桌面上有一光滑的小孔，一匀质绳子 通过小孔而下垂，由于下垂部分绳子的质量，绳子将逐渐通过 小孔而下落。设已知绳子全长为 l，开始时刻速度为零，下垂部 分长 l0，求绳子下滑的速度与下落长度 x 的关系 v( x ) 。
(1642-1727)
18世纪英国著名诗人 亚历山大•波普：
自然和自然的法则躲藏在黑夜之中； 上帝说，让牛顿来吧！于是一切都变得明亮。
物体保持静止或匀速直线运动状态，直到受到其它物体的作用。
物体运动的变化与合外力的大小成正比，并且发生在沿着合外 力的方向上。 “力等于物体动 ——动量 “运动” 量的变化率”
本章目录
牛顿运动定律
Newton’s law of motion
Contents
chapter 2
质点的动量定理
Theorem of momentum for particles
质点的动能定理
Theorem of kinetic energy for particles
质点的角动量定理
Theorem of angular momentum for particles
例子(2) ：水平转盘
E (地面参考系)
S
r
F
在 E 参考系中观察， 受弹性力的作用，作圆周运动，具有向 心加速度，F = man，这符合牛顿定律。 在 S 参考系中观察， 总是保持静止，加速度为零，但是它依 然受着弹性力的作用。合力不为零，却没有加速，这违背了牛顿 定律。
1. 惯性参考系：用牛顿第一定律定义的参考系，简称惯性系
讨论题1
当飞机由爬升转为俯冲时，飞行员会由于脑充血而“红视”（视场 变红），当飞行员由俯冲拉起时，飞行员由于脑失血而“黑晕” （眼睛失明），这是为什么？
若飞行员穿上一种G套服（把躯干和四肢肌肉缠得紧紧的一种衣 服），当飞行员由俯冲拉起时，他能经得住5g的加速度而避免黑晕， 但飞行员开始俯冲时，最多禁得住−2g的加速度而仍免不了红视。 这是为什么？（定性分析）
定律表达式
(
)
a
两物体间的相互作用力总是等值反向，且在同一直线上。
12 21
应用：
运用牛顿运动定律时应注意理解并掌握一些基本方法 牛顿第二运动定律说明了力是产生加速度的原因 （ a = F / m ) ，注意 1. 这个力是合外力， 2. 力与加速度是瞬时关系，某时刻有力，该时刻 就一定有加速度。 3. 力与加速度是矢量关系，有对应的坐标投影式。
思考：有一条单位长度质量为 的匀质软绳，开始时盘 绕在光滑的水平桌面上。现以一恒定的加速度竖直向上 提绳，当提起的高度为 y 时，作用在绳端的力为多少？ 若以一恒定速度竖直向上提绳时，仍提到 y 高度，此时 作用在绳端的力又时多少？ 解：以被提起的绳段 y 为研究对象，建立坐
标 Oy，它受拉力 F 和重力 yg 的作用，由牛 顿第二定律（动量定律的微分式）：
y
O
例子(1) ：站台上的小车
站台上停有一辆小车，相对于地面参考系来说，作用在小车上 的合外力为零，小车加速度为零，这符合牛顿定律。如果以另 一个加速起动的列车车厢为参考系来观察这辆小车，小车是向 列车车尾方向作加速运动，此时小车受力情况没有改变，所受 合力仍然为零，却有了加速度，这违背了牛顿定律。
f ma0
a0
例如：在水平方向上有一车厢以加速度a0 行进，在车 厢的天花板上悬挂一质量为m 的小球。分析小球受到 的惯性力Fi 及小球在车厢内的平衡状态与加速度a0 的 关系。 分析：在车厢参考系中观察， 小球是静止的，即 a′ = 0。小 球受重力，绳的拉力，此外还 有一惯性力：
a0 T mg
y
d( mv ) d( yv ) F yg dt dt dy dv ( v y ) (v 2 ay ) dt dt
y
O
思考：有一条单位长度质量为 的匀质细绳，开始时盘 绕在光滑的水平桌面上。现以一恒定的加速度竖直向上 提绳，当提起的高度为 y 时，作用在绳端的力为多少？ 若以一恒定速度竖直向上提绳时，仍提到 y 高度，此时 作用在绳端的力又时多少？
解：以被提起的绳段 y v 2 ay ) F ( yg 为研究对象，建立坐
标 Oy，它受拉力 F 和重力 yg 的作用，由牛 (1) 当 a const. 时， 顿第二定律（动量定律的微分式）：
y
v 2 2ay d( mv ) d( yv ) F yg dt d F1 yg 2ay ay t g 3a y dy dv (2) 当 v v y 时， (v 2 ay ) const. ) ( dt dt a 0 F2 gy v 2