电磁场理论与微波技术基础解题指导0001-178454156
电磁场与微波技术复习2009
D
q r2
q
r1
q 1 q 1 0
4 0 r1 4 0 r2
等效问题：
选择d值使 POB与 AOP相似
p
oHale Waihona Puke r20 0 d BqR(r, )
r1
r2
r1 Aq
D
(r) 1 ( q q) 40 r1 r2
a d r2 D a r1
d a2 D
q a q D
r1 D2 r2 2r D cos
30
切向条件
n (H1 H2) J S
H1t H2t J S 分界面没有自由面电流 H1t H2t
B1t B2t
1 2
n (E1 E2) 0 E1t E2t
D1t D2t
1 2
31
没有自由电荷与电流的特殊情况
矢量形式的边界条件为
n (H1 H2) 0 n (E1 E2) 0 n (B1 B2 ) 0 n (D1 D2 ) 0
9
( A ' ekxx B ' ekxx )(C ' eky y Deky y )
（1） kx k, ky jk :
1 ( Achkx Bshkx)(C cos ky D sin ky) 2 ( A'ekx B 'ekx )(C cos ky D sin ky)
（2） kx jk, ky k :
n1
rn (Cn cos n Dn sin n)
n 1
13
镜像法
唯一性定理：当电位满足泊松方程或拉普拉斯方程，在边界 上满足三类边界条件之一时，电位的解是唯一的。
两问题的等效条件：研究域内源的分布不变； 边界上电位的边界条件不变。
大连海事电磁场理论课后习题答案
电磁场理论习题解答信息科学技术学院第1章习题答案1-1 在直角坐标系中，试将微分形式的麦克斯韦方程写成8个标量方程。
解：在直角坐标系中矢量D 的散度运算如下：()z D y D x D D D D z y x z y x z y x ∂∂+∂∂+∂∂=++⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=∇⋅⋅k j i k j i D (1) 因此，高斯通量定理和磁通连续性原理分别是两个标量方程：0 , =∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂zB y B x Bz D y D x D z y x z y x ρ (2) 在直角坐标系中矢量E 的旋度运算如下：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=∂∂∂∂∂∂=⨯∇y E x E x E z E z E y E E E E z y x x y z x y z zy x k j i kj i E (3) 法拉第电磁感应定律可以写成3个标量方程：tBy E x E t B x E z E t B z E y E z x y y z x x y z ∂∂-=∂∂-∂∂∂∂-=∂∂-∂∂∂∂-=∂∂-∂∂ ，， (4) 全电流定律也可以写成3个标量方程：tH J y H x H t D J x H z H t D J z H y H zz x y y y z x x x y z ∂∂+=∂∂-∂∂∂∂+=∂∂-∂∂∂∂+=∂∂-∂∂ ，， (5) 共8个标量方程。
1-2 试证明：任意矢量E 在进行旋度运算后再进行散度运算，其结果恒为零，即∇ ⋅ (∇ ⨯ E ) = 0 (1)证明：设A 为任意矢量场函数，由题1-1式(3)可知，在直角坐标系中，它的旋度为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂=⨯∇y E x E x E z E z E y E x y z x y z k j i E (2) 再对上式进行散度运算0)(222222=∂∂∂-∂∂∂+∂∂∂-∂∂∂+∂∂∂-∂∂∂=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂=⨯∇∇⋅zy E x z E y x E z y E x z E y x E y E x E z x E z E y z E y E x x y z x y z x y z x y z E (3)得证。
电磁场理论与微波技术第二章12
©2012 by Y. J. FENG
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引入位移电流密度物理量：
jD ，满足： ( j jD ) 0
和高斯定律：
E
B 0 ( j jD )
j 0 由电荷守恒定律： t
0
E AUTUMN
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Faraday 电磁感应定律
B ds Wb
S
2012 AUTUMN
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D ( j )0 t 全电流连续性方程：
2012 AUTUMN
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2.3
麦克斯韦( Maxwell)方程组
B l E d l S t d s D H d l ( j f )ds S l t D d s Q f S B d s 0 积分形式 S
E
p P V
j σE
2012 AUTUMN
m ia
i
pi qi l
i
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微观安培环路定理：
自由电子传导电流密度 分子电流密度
jm
jf
b μ0 ( j f jm )
时空平均：
l所链环的分子电流对总磁化
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电流有贡献
S
l
m ia
IM
l所链环的分子数目：
na dl
l l
l n a d l
l
I M ni a d l n m d l M d l
电磁场与无线技术基础知识单选题100道及答案解析
电磁场与无线技术基础知识单选题100道及答案解析1. 在静电场中，电场强度的环流恒等于（）A. 1B. 0C. 电场强度的大小D. 不确定答案：B解析：静电场是保守场，电场强度的环流恒等于0。
2. 真空中的介电常数为（）A. 8.85×10⁻¹²F/mB. 4π×10⁻⁷H/mC. 1.26×10⁻⁶H/mD. 无法确定答案：A解析：真空中的介电常数约为8.85×10⁻¹²F/m 。
3. 磁场强度沿闭合路径的线积分等于（）A. 穿过该闭合路径所围面积的电流代数和B. 0C. 该闭合路径所围面积的磁通量D. 不确定答案：A解析：这是安培环路定理的内容。
4. 电磁波在真空中的传播速度为（）A. 3×10⁵km/sB. 3×10⁸m/sC. 3×10⁶m/sD. 3×10⁷m/s答案：B解析：电磁波在真空中的传播速度约为3×10⁸m/s 。
5. 对于均匀平面波，电场和磁场的相位关系是（）A. 同相B. 反相C. 相差90°D. 不确定答案：C解析：均匀平面波中电场和磁场的相位相差90°。
6. 能流密度矢量的方向与（）的方向相同。
A. 电场强度B. 磁场强度C. 波的传播方向D. 无法确定答案：C解析：能流密度矢量（坡印廷矢量）的方向与波的传播方向相同。
7. 电位移矢量D 与电场强度E 的关系为（）A. D = εEB. D = ε₀EC. D = ε₀εᵣED. 不确定答案：C解析：电位移矢量D = ε₀εᵣE ，其中εᵣ为相对介电常数。
8. 磁通量的单位是（）A. 特斯拉（T）B. 韦伯（Wb）C. 安培（A）D. 伏特（V）答案：B解析：磁通量的单位是韦伯（Wb）。
9. 法拉第电磁感应定律中，感应电动势的大小与（）成正比。
A. 磁通量的变化率B. 磁通量C. 磁场强度D. 电流强度答案：A解析：感应电动势的大小与磁通量的变化率成正比。
微波技术基础第二章课后答案杨雪霞汇总
微波技术基础第二章课后答案---杨雪霞汇总2-1 波导为什么不能传输TEM 波？答：一个波导系统若能传输TEM 波型，则在该系统中必须能够存在静电荷静电核或恒定电流，而在单导体所构成的空心金属波导馆内，不可能存在静电荷或恒定电流，因此也不可能传输TEM 波型。
2-2 什么叫波型？有哪几种波型？答：波型是指每一种能够单独地在规则波导中存在的电磁场的一种分布状态。
根据场的横向分量与纵向分量之间的关系式划分波型，主要有三种： TEM 波（0zE =，0zH=），TE 波(0zE=,0z H ≠),TM 波（0zE≠，0zH=）2-3 何谓TEM 波，TE 波和TM 波？其波阻抗和自由空间波阻抗有什么关系？ 答：0zE=，0zH=的为TEM 波；0zE=,0z H ≠为TE 波；z E ≠，0zH =为TM 波。
TE 波阻抗： 21()x TE y cE wuZ H ηβλλ===>- TM 波阻抗：21()x TM y cE Z H w βληελ===-<其中η为TEM 波在无限答煤质中的波阻抗。
2-4 试将关系式yz x H H jw E y zε∂∂-=∂∂，推导为1()zx y H E j H jw yβε∂=+∂。
解：由yH 的场分量关系式0j zyH H e β-=（0H 与z 无关）得：y yH j H zβ∂=-∂利用关系式yz x H H jw E y zε∂∂-=∂∂可推出：11()()y z zx y H H H E j H jw y z jw yβεε∂∂∂=+=+∂∂∂2-5 波导的传输特性是指哪些参量？答：传输特性是指传输条件、传播常数、传播速度、波导波长、波形阻抗、传输功率以及损耗和衰减等。
2-6 何为波导的截止波长cλ？当工作波长λ大于或小于cλ时，波导内的电磁波的特性有何不同？答： 当波沿Z 轴不能传播时呈截止状态，处于此状态时的波长叫截止波长，定义为2cck πλ=；当工作波长大于截止波长时，波数ck k <，此时电磁波不能在波导中传播；当工作波长小于截止波长时，波数ck k >，此时电磁波能在波导内传播；2-7 矩形波导中的截止波长cλ和波导波长gλ，相速度pυ和群速度gυ有什么区别和联系？它们与哪些因素有关？ 答：波导波长为221()gcπλλβλλ==>-，cλ为截止波长群速为21()gc c c λυλ=-<，相速为2/1()r r p cc u ευλλ=-，且2pg c υυ⋅=，与c ，工作波长λ，截止波长cλ有关。
电磁场习题答案
1-8 参照例图 1.1，设有标量 f ( R) ，求证：以 p ′( x ′, y ′, z ′) 为动点时的梯度 ∇ ′f ( R) 间与
以 p ( x, y, z ) 为 动 点 的 梯 度 ∇f ( R ) 间 满 足 关 系 ： ∇ ′f ( R ) = −∇f ( R ) 。 其 中
R = r − r′ 。
∇• （AR） 。
答案： ∇ ? R = ; ∇ × R = 0; ∇ × ( R R ) = 0; ∇ ? AR ) = 3 A 。
( )
1-12 证明： ∇ • ( A × B) = B • (∇ × A) − A • (∇ × B) 。 1-13 证明旋度定理（1.47） 。
2 2 1-14 在圆球坐标系中， 已知 A = (sin θ R )a R + R sin θa θ + R sin θ cos ϕa ϕ ， 求∇ • A 。
2
坐标原点一侧空间中的电场强度。 答案： E = 8.34( ax − 3a y + 6az ) 2—5
V m。
一点电荷 Q = 50 nC ，位于直角坐标系的原点，求点 （2，， 4 − 5） 处的电通量密度。
答案： D = 2—6
5 (2ax + 4a y − 5az ) 。 54π
两种理想电介质的相对介电常数分别为 ε r1 = 2.5和ε r 2 = 5 ，其分界面为 z = 0 的平 面。若已知介质 1 中的电场强度 E = 3a x + 4 a y + 6 a z ，求：① 介质 2 一侧的电场强 度 E2 和电位移矢量 D2 ；② E2 和 D2 是介质 2 中任意点处的场量表达式吗？为什 么？ 答案：① E2 = 3ax + 4a y + 3az ; D2 = ε 0 (15ax + 20a y + 15az ) 。
《电磁场理论基础》课后答案
Q
3a
Q
a
Q
a
qax q a q 3a q aq q aq QQ
a x 2qax 4qℓy a q 4ℓ 2q 8qℓ 3 · 4ℓ 4ℓ 2q 16qℓ 4ℓ 2q 8qℓ QQ0
2-10. （教材 2-15）以下列出三种电场分布，求包含在各体积内的总电荷。 （1） 半径为 R 的球， （2） 半径为 a，长度为 L 的圆柱， （3） 一顶点位于原点，边长为 a 的立方体， 其中 A 是常数 解： （1）
Qε (2)
E · ds ε AR 4πR
R
Q ε Aa 2πaL 2πε Aa L
(3)
Q ε Aaa Aaa 2ε Aa
4πε AR
2-11. （教材 2-17）一个半径为 a，中心在原点的球形带电体，已知其电位分布为
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《电磁场理论基础》 王蔷 李国定 龚克 清华大学出版社
中国科学技术大学 电子科学与技术系 电磁场理论
s
s
d
解： 取坐标系 x 轴垂直于两电荷平面，坐标原点位于两平面中心。由高斯定律，得 E x 0, |x| d⁄2 E x ρ ⁄ε x, |x| d⁄2
2-2. （教材 2-2）一半径为 a 的圆环，环上均匀分布着线电荷，其线电荷密度为 ，求圆 环轴线上任一点处的电场。
解： 取直角坐标系，原点位于圆环中心，z 轴垂直于圆环面。显然轴线上电场方向为垂直于 圆环面，远离圆环。
x ρ cos φ y ρ sin φ
zz
h
cos φ sin φ 1
h
ρ sin φ ρ cos φ ρ
h1
Φ
ρ
∂Φ ∂ρ
φ ∂Φ ρ ∂φ
电磁场与微波技术-ch3
西安电子科技大学·电子工程学院
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静电场问题的解法—分离变量法
2 2 C 不过， C1 = −C2 关系是确定的。当 C1 = kn ， 2 = − kn 。此 时 解为 时通解为
φ ( x, y ) = ( A0 + B0 x )( C0 + D0 y )
+ ∑ ⎡ An ch ( kn x ) + Bnsh ( kn x )⎤ ⎡Cn cos ( kn y ) + Dnsin ( kn y )⎤ ⎣ ⎦⎣ ⎦
φ ( x, y ) = ( A0 + B0 x )( C0 + D0 y )
+ ∑ ⎡ An cos ( kn x ) + Bn sin ( kn x )⎤ ⎡Cn ch ( kn y ) + Dnsh ( kn y )⎤ ⎣ ⎦⎣ ⎦
n=1 2 2 当然 C1 = − kn 还是 C1 = kn 要根据边值问题特征而定， ∞
Y0 = A0 + B0 y
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静电场问题的解法—分离变量法
当 kn ≠ 0 时， 和
X n = An cos ( kn x ) + Bn sinபைடு நூலகம்( kn x )
Yn = Cn ch ( kn x ) + Dnsh ( kn x )
最终，方程的解为 kn 取各种可能的值时的线性组合 终 种
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3
静电场问题的解法—唯一性定理
唯一性定理
[定理] 在静电场问题中 如果带电导体系统的形状 尺寸 在静电场问题中，如果带电导体系统的形状、尺寸、 相对位置一定，则满足边界条件的拉普拉斯方程和泊 松方程的解是唯 的 松方程的解是唯一的。 [证明] 在开始证明之前，先来补充和讨论格林第一定理。设
电磁场与微波技术01场论.ppt
4
1.1 矢量的基本运算公式 1.1.2 矢量的基本公式
(3) 标量积和矢量积
矢量的相乘有两种定义-标量积(点乘)和矢量积(叉乘)。
标量积A·B A B AB cosaAB
A B B A
并有 xˆ yˆ yˆ zˆ zˆ xˆ 0, xˆ xˆ yˆ yˆ zˆ zˆ 1
例如,在直角坐标下,
如温度场,电位场,高度场等;
如流速场,电场,涡流场等。
标量场 矢量场
3
1.1 矢量的基本运算公式 1.1.2 矢量的基本公式
设 A xˆAx yˆAy zˆAz
B xˆBx yˆBy zˆBz
(1) 矢量的数乘
aA xˆaAx yˆaAy zˆaAz
(2) 矢量的加法和减法
M
l3 3 3
r 1 1 0 2 1 2 1
所以
l M 2 3 2 3 2 3 226
1.3.3 梯度的物理意义
• 标量场的梯度是一个矢量,是空间坐标点的函数;
• 梯度的大小为该点标量函数 的最大变化率，即该点最
大方向导数; • 梯度的方向为该点最大方向 导数的方向,即与等值线（面）
相垂直的方向，它指向函数的
dz y2z
解得矢量方程 xz2c1yx2 c2
c1和c2是积分常数。
16
1.2.3 场图
形象描绘场分布的工具--场线 标量场--等值线(面)。 其方程为 h (x, y, z) const
矢量场--矢量线
其方程为 Adl 0
在直角坐标下:
Ax Ay dx dy
在某一温度上沿什么方向温度变化最快？
《电磁场微波技术与天线》习题参考答案
《电磁场微波技术与天线》习题及参考答案一、填空题：1、静止电荷所产生的电场，称之为_静电场_；电场强度的方向与正电荷在电场中受力的方向__相同_。
2、电荷之间的相互作用力是通过电场发生的，电流与电流之间的相互作用力是通过磁场发生的。
3、矢量场基本方程的微分形式是：A V和AJ；说明矢量场的散度和旋度可以描述矢量场在空间中的分布和变化规律。
4、矢量场基本方程的积分形式是：SAdSV V dV和l AdlsJdS；说明矢量场的环量和通量可以描述矢量场在空间中的分布和变化规律。
5、矢量分析中的两个重要定理分别是高斯定理和斯托克斯定理,它们的表达式分别是：v和lAdl s rotAdS。
AdV S AdS6、静电系统在真空中的基本方程的积分形式是：∮Ds·d S=q和E·d=0。
7、静电系统在真空中的基本方程的微分形式是：D V和E0。
8、镜象法的理论依据是静电场的唯一性定理。
基本方法是在所求场域的外部放置镜像电荷以等效的取代边界表面的感应电荷或极化电荷。
9、在两种媒质分界面的两侧，电场E的切向分量E1t－E2t＝_0__；而磁场B的法向分量B1n－B2n＝__0__。
10、法拉弟电磁感应定律的方程式为En=- ddt，当dφ/dt>0时，其感应电流产生的磁场将阻止原磁场增加。
11、在空间通信中，为了克服信号通过电离层后产生的法拉第旋转效应，其发射和接收天线都采用圆极化天线。
12、长度为2h=λ/2的半波振子发射天线，其电流分布为：I （z）=Im sink（h-|z|）。
13、在介电常数为e的均匀各向同性介质中，电位函数为1122xy5z,则电场强22度E=xeye5e。
xyz14、要提高天线效率，应尽可能提高其辐射电阻，降低损耗电阻。
15、GPS接收机采用圆极化天线，以保证接收效果。
二、选择题：1、电荷只能在分子或原子范围内作微小位移的物质称为(D)。
A.导体B.固体C.液体D.2、相同的场源条件下，真空中的电场强度是电介质中的(D)倍。
微波遥感第二章电磁场理论_电磁场基本知识
26
普朗克Planck Law (1901)
1901年Planck提出量子化辐射的假设，对于绝 对黑体物质，单色辐射通量密度与发射物质的 温度和辐射波长或频率的关系。
从理论上得出，与实验精确符合
Planck函数：
Bf
2hf 3 1 c ( ehf / kT
) 1
27
瑞利-琼斯定律
若hf/kT<<1,利用近似：
25
电磁场理论基础
黑体
Planck 定律
L
2hf 3 c2 (ehf / kT 1)
Stephen Boltzmann 定律
M T 4
Wien’s Displacement 定律
m a x
A T
Stefan-Boltzmann 常数 =5.6697 x 10 -8 W m-2 K -4
常数 A = 2898 m K
真空中的磁导率 真空中的介电常数
7
电磁场理论基础
角频率
2 f
波长
C 2 C f
波数
k 2
幅度 通量密度
E0
H0
E0 Z0
F
1 2
E0 H 0
E02 2Z0
真空中的阻抗
Z0
0 120 377 0
8
电磁场理论基础
电磁波谱
9
电磁场理论基础
10
1.平面波
电磁场理论基础
E Ex xˆ Ey yˆ Ez zˆ ( Axˆ Byˆ Czˆ)eikr E0eik r
当空间同时存在由两个或者两个以上的波源所产生的波时， 每个波并不因其他的波的存在改变其传播规律，仍保持原有 的频率和振动方向，按照自己的传播方向继续前进，而空间 相遇点的振动的物理量则等于各个独立波在该点激起的振动 的物理量之和。
电磁场与电磁波试题与答案
电磁场与微波技术基础试题一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的序号填在题干的括号内。
每小题2分，共20分)1.设一个矢量场 =x x+2y y+3z z，则散度为( )A. 0B. 2C. 3D. 62.人们规定电流的方向是( )运动方向。
A.电子B.离子C.正电荷D.负电荷3.在物质中没有自由电子，称这种物质为( )A.导体B.半导体C.绝缘体D.等离子体4.静电场能量的来源是( )A.损耗B.感应C.极化D.做功5.对于各向同性介质，若介电常数为ε，则能量密度we为( )A. •B. E2C. εE2D. εE26.电容器的大小( )A.与导体的形状有关B.与导体的形状无关C.与导体所带的电荷有关D.与导体所带的电荷无关7.电矩为的电偶极子在均匀电场中所受的作用力和库仑力矩为( )A. =0,Tq= •B. =0, = ×C. = •， = ×D. = •， =08.在 =0的磁介质区域中的磁场满足下列方程( )A. × =0, • =0B. ×≠0, •≠0C. ×≠0, • =0D. × =0, •≠09.洛伦兹条件人为地规定的( )A.散度B.旋度C.源D.均不是10.传输线的工作状态与负载有关，当负载短路时，传输线工作在何种状态?( )A.行波B.驻波C.混合波D.都不是二、填空题(每空2分，共20分)1.两个矢量的乘法有______和______两种。
2.面电荷密度ρs( )的定义是______，用它来描述电荷在______的分布。
3.由库仑定律可知，电荷间作用力与电荷的大小成线性关系，因此电荷间的作用力可以用______原理来求。
4.矢量场的性质由它的______决定。
5.在静电场中，电位相同的点集合形成的面称为______。
6.永久磁铁所产生的磁场，称之为______。
7.在电场中电介质在外电场的作用下会产生______，使电场发生变化。
成都大学电磁场与微波技术习题讲座(含答卷)
1； 2
6、
7、 16， 1/4
8、 v p 1.8 108 m/s；
D2：
1、在电磁场理论中， 常把某个空间区域内的连续函数， 如：电位分布函数 (r ) 称为
场，磁场分布函数
B(r ,
t
)
则称为
场；
2、已知矢量
A
ex
2
ey
3
ez
4，则单位矢量源自 eA；任何电磁场都存
A
e
ckr
ck
A
e
ckr
；
B、 eckr ckeckr
C、 eckr
cke
ckr
；
D、以上都不对。
15．频率为 f 50 Hz 的电磁波在铜中的趋肤深度是（已知金的 0 ， 0 ，
4.1107 S/m）
波、
波和 TE 波三类。
2. 对 一 般 的 时 变 电 磁 场 ， 麦 克 斯 韦 （ 微 分 ） 方 程 组 的 复 矢 形 式 的 四 个 方 程 分 别 为
（1）
、（2）
（3）
、（4）
。
3. 均匀平面波在自由空间的相速 v p 与介电常数 0 和磁导率 0 的关系式为
；通常把电
场振幅与磁场振幅之比称为
一、填空题
D1：
1、均匀平面波在自由空间的相速 v p 与介电常数 0 和磁导率 0 的关系式为
电场振幅与磁场振幅之比称为
阻抗；
；通常把
2、已知双曲线族为 u x2 y 2 ，则该曲线上任意点的单位法向矢量 a2 b2
为
；任何电磁场都存在于一定媒质中，媒质中
电磁场与微波技术第一二三章课后习题及部分答案
电磁场与微波技术第一二三章课后习题及部分答案第 1 章习题1、求函数()D Cz By Ax u +++=1的等值面方程。
解：根据等值面的定义：标量场中场值相同的空间点组成的曲面称为标量场的等值面，其方程为)( ),,(为常数c c z y x u =。
设常数E ，则，()E D Cz By Ax =+++1，即：()1=+++D Cz By Ax E针对不同的常数E （不为0），对应不同的等值面。
2、已知标量场xy u =，求场中与直线042=-+y x 相切的等值线方程。
解：根据等值线的定义可知：要求解标量场与直线相切的等值线方程，即是求解两个方程存在单解的条件，由直线方程可得：42+-=y x ，代入标量场C xy =，得到： 0422=+-C y y ，满足唯一解的条件：02416=??-=?C ，得到：2=C ，因此，满足条件的等值线方程为：2=xy3、求矢量场z zy y y x xxy A 222++=的矢量线方程。
解：由矢量线的微分方程：zy x A dz A dy A dx ==本题中，2xy A x =，y x A y 2=，2zy A z =，则矢量线为：222zy dzy x dy xy dx ==，由此得到三个联立方程：x dy y dx =，z dz xdx =，zy dzx dy =2，解之，得到： 22y x =，z c x 1=，222x c y =，整理，y x ±=，z c x 1=，x c y 3±=它们代表一簇经过坐标原点的直线。
4、求标量场z y z x u 2322+=在点M (2,0,-1)处沿z z y xy x x t ?3??242+-=方向的方向导数。
解：由标量场方向导数的定义式：直角坐标系下，标量场u 在可微点M 处沿l 方向的方向导数为γβαcos cos cos zuy u x u l u ??+??+??=??α、β、γ分别是l 方向的方向角，即l 方向与z y x、、的夹角。