例谈数学知识在物理中的应用

例谈数学知识在物理中的应用

新的物理学科的考试说明对学生的能力考核从五个方面提出了具体的要求：一是理解能力，二是推理能力，三是分析综合能力，四是应用数学知识处理物理问题的能力，五是实验能力，尤其是创新实验能力。其中对应用数学知识处理物理问题的能力具体说明是：要求学生能够根据具体问题列出物理量之间的关系式，进行相关推导和求解，并根据计算结果得出物理结论；必要时能灵活运用几何图形、图像或函数关系式进行表达、分析。

数学是与物理联系最为紧密的学科之一。随着高考改革的深入及素质教育的全面推开。各学科之间的渗透不断加强，作为对理解能力和演绎推理能力及运算能力都有很高要求的物理学科，在平时的教学中，及时灵活地渗透数学知识，培养学生运用数学知识解决物理问题的能力尤为重要。我们在平时的教学中要随时注重数学知识和物理内容的整合。

运用数学工具解决物理问题的能力，主要指两个方面。一是从物理现象与过程出发，经过概括、抽象，把物理问题转化为数学问题；二是综合运用数学知识，例如比例关系、函数关系、不等式关系、几何关系、极值关系等，正确、简洁地进行有关问题的求解。

1、运用数学语言和方法表述物理概念、物理规律，便于理解。

物理中有大量的物理概念和物理规律，其中有很多概念的引入，就是通过数学语言来描述的。例如，金属导体两端的电压与其流过的电流成正比。为了描述它们

的比例系数，引入了电阻R的概念。同类的概念还有，电容器的电容C、电场强度E、物体运动的速度v、加速度a等。不过，物理知识毕竟与数学知识不同，所以教师在教授这类物理概念和物理规律时，要特别强调它们的物理含义和成立条件，不能进行简单的数学类推。例如：对于电阻的定义式R=U/I，我们就不能说成R与U成正比，与I成反比。

物理规律是对各种物理现象或物理变化的精辟概括。是人类智慧的结晶。为了便于表述或理解，有许多规律使用了数学方法。例如在研究理想气体状态参量间的制约关系时，使用了P-V、V-T、P-T图像。又如为了分析线圈在匀强磁场中匀角速转动过程中，线圈中的磁通量、瞬时感应电动势、感应电流随时间的变化规律，采用了正弦波图像的数学方法。除了图像描述外，物理中几乎所有的规律都可以写成数学解析式的公式。

2、恰当选用数学工具解决各类物理问题，化繁为简。

中学物理中，除了大量用到初等数学的各种基本运算和方程、恒等变换等数学知识外，在许多问题中，还可以灵活运用数学中的其他知识，另辟捷径，化繁为简。

2.1几何知识的运用

平面几何知识是物理中应用最广泛的数学知识之一。例如两边互相垂直或两边互相平行的两角相等，相似三角形对应边成比例，这两种判断方法常用于受力分析图中。又如光的反射、光的折射中更是用到大量的几何知识。

2.2三角知识的应用

物理学中的力、速度、位移等矢量物理量的合成均遵循平行四边形法则。因此，在对这些物理量进行分析时，经常会大量应用三角知识。许多题目因此会大大简化分析过程或运算步骤，起到曲径通幽的效果。

2.3极值判别式的应用

物理量间的关系往往是相互制约的，当某个量发生变化时其他量随之变化。在变化过程中常常会出现极值问题。若能合理利用数学中的极值问题的判别式，常能简化解题过程。

[例3]一个下端封闭，上端开口的粗细均匀的玻璃管，竖直放置，管的全长为90cm，管中有一段20cm的水银柱，在温度为27℃时，水银下面的空气柱长为60cm，若外界大气压为1大气压，问温度升至多少时，水银全部溢出？

[解析]管内的封闭气体在水银溢出前作等压变化，当水银溢出后，气体的温度，体积和压强都要发生变化。但始终遵循理想气体状态方程。设管内还剩余xcm水银柱时，温度为T，则整理得T= ，可见T是x的二次函数：因（76+x）和（90-x）这两项之和为定值，根据数学中极值知识可知：当76+x=90-x时，即x=7cm时，T有极大值，为T=358.8K。

[例4]在磁感应强度为B的匀强磁场中，有一根长为L的软导线，制成的封闭线圈，开始时，线圈面积为零，当它在t秒内迅速张开，所张的曲线平面与磁场垂直时，求线圈中所能产生的平均感应电动势的最大值。

[解析]本题是电磁感应中求感应电动势问题，根据法拉第电磁感应定律，，可知，要使ε有最大值，只有使线圈面积扩张到最大才行。由数学中边长和所围面积间关系可得，在周长恒定的情况下，圆形面积最大。因此本题答案为。2.4数列知识的应用

[例5]小球从h0=45m高处自由下落，着地后跳起，然后又下落，每与地面相碰一次，速度就减少为原来的k倍。若k= ，求小球从下落开始直至停止运动所用的总时间。（g取10m/s2，碰撞时间忽略不计）

[解析]要求小球运动的总时间，必须根据小球的运动特征，由运动学公式将小球每碰一次在空中运动的时间求出，然后再累加求和。

小球从h0处下落到地面时的速度：，运动的时间：。

第一次碰地后小球的速度：。小球在再次与地面碰撞之前作竖直上抛运动，这一过程小球运动的时间：。同理可推得，第n次碰地后，小球的运动速度为：，运动时间为：，由此可知，小球从下落到停止运动的总时间为：

t = t0+t1+……+t n+……= +2k +2k2 +……+2k n +……

= +2 (k+k2+……+k n+……)

上式括号中是一个无穷递减的等比数列，其首项为k，公式也为k，可用数学中等比数列的求和公式求得其最终答案：t=9s。

本题是数学中的数列与物理学中的运动学的数理结合问题，在求解该问题中，正确写出某一物理量的通项表达式是解题的关键。

在解决物理问题时除了以上几种数学知识经常运用外，比例知识、正弦定理、余弦定理、不等式知识等也时时会涉及。

数学是解决物理问题的重要工具，借助数学方法可使一些复杂的物理问题显示出明显的规律性，能达到打通关卡、长驱直入地解决问题的目的．中学物理《考试大纲》中对学生应用数

学方法解决物理问题的能力作出了明确的要求，要求考生有“应用数学处理物理问题”的能

力．对这一能力的考查在历年高考试题中也层出不穷，如2009年高考北京理综卷第20题、宁夏理综卷第18题、江苏物理卷第15题；2008年高考四川理综卷第24题、延考区理综卷第25题、上海物理卷第23题、北京理综卷第24题等．

所谓数学方法，就是要把客观事物的状态、关系和过程用数学语言表达出来，并进行推导、演算和分析，以形成对问题的判断、解释和预测．可以说，任何物理问题的分析、处理过程，都是数学方法的运用过程．本专题中所指的数学方法，都是一些特殊、典型的方法，常用的有极值法、几何法、图象法、数学归纳推理法、微元法、等差(比)数列求和法等．

一、极值法

数学中求极值的方法很多，物理极值问题中常用的极值法有：三角函数极值法、二次函数极值法、一元二次方程的判别式法等．

1．利用三角函数求极值

y＝acos θ＋bsin θ

＝a2＋b2(aa2＋b2cos θ＋ba2＋b2sin θ)

令sin φ＝aa2＋b2，cos φ＝ba2＋b2

则有：y＝a2＋b2(sin φcos θ＋cos φsin θ)

＝a2＋b2sin (φ＋θ)

所以当φ＋θ＝π2时，y有最大值，且ymax＝a2＋b2．

2．利用二次函数求极值

二次函数：y＝ax2＋bx＋c＝a(x2＋bax＋b24a2)＋c－b24a＝a(x＋b2a)2＋4ac－b24a(其中a、b、c为实常数)，当x＝－b2a 时，有极值ym＝4ac－b24a(若二次项系数a>0，y有极小值；若a<0，y有极大值)．

3．均值不等式

对于两个大于零的变量a、b，若其和a＋b为一定值p，则当a＝b时，其积ab取得极大值